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MATEMTICAS I GUA No. 2

INTRODUCCIN A LA TEORA DE CONJUNTOS

1. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS CON DIAGRAMAS DE VENN

A. DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn se usan para ilustrar operaciones y combinaciones entre conjuntos en forma sencilla. El conjunto Universal se representa por una regin circular o poligonal, y los conjuntos se representan con regiones circulares o elpticas que se crucen entre s. En la figura 1, se representa el conjunto de todos los mdicos especialistas, que es a la vez un conjunto referencial o universal. El rectngulo representa todos los mdicos especialistas. En la figura 2, se representa el conjunto de todos los mdicos cardilogos. La regin elptica representa al subconjunto de los mdicos cardilogos.

Figura 1. Figura 2.

Los diagramas de Venn permiten representar grficamente combinaciones y operaciones entre conjuntos. En los siguientes grficos se representan las operaciones definidas en la seccin anterior.

Figura 3. AB

Figura 4. AB

Figura 5. A B

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Figura 6. AC Figura 7. ADB

Los diagramas de Venn son tiles para representar las combinaciones y operaciones entre

tres conjuntos. En las siguientes figuras se presentan tres ejemplos.

Figura 8.

(C B A) [(ABC)]

Figura 9.

(AB) (AC) (BC)

Figura 10. (ADB) C

Los diagramas de Venn facilitan la simplificacin de operaciones complejas entre conjuntos y la solucin de problemas de conteo de datos relacionados con el principio de Inclusin-Exclusin, ya que permiten organizar la informacin y guardar cantidades en cada una de las regiones. Ejemplo 1: Represente grficamente la operacin ( A BC CC ) [ ( A B ) ( A B C )C ] y determine a qu operacin es equivalente. Solucin: Primero se representan los conjuntos A (Figura 11), BC (Figura 12) y CC (Figura 13), stos se solapan y da como resultado ABC CC (Figura 14).

Figura 11. A Figura 12. BC Figura 13. CC

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Figura 14. ABC CC Ahora, se representan los conjuntos AB (Figura 15) y (ABC)C (Figura 16). Al solapar

estas regiones sombreadas resulta la regin que representa al conjunto (AB)(ABC)C

(Figura 17).

Figura 15. AB Figura 16. (ABC)C Figura 17. (AB)(ABC)C

Se puede ver en las figuras 14 y 17 que los conjuntos (ABC CC) y [(AB)(ABC)C ]

son disjuntos y que su unin es equivalente al conjunto A-C. (Figura 18).

Figura 18. (ABCCC )[(AB)(ABC)C]= A-C

Ejemplo 2: Represente grficamente la operacin (ABCC)(ABC) y determine a qu operacin es equivalente. Solucin: Obsrvese que ABCC = A(BCC ) = A(B-C), que es la regin que se muestra en la Figura 19. Luego se dibuja la regin que representa a (ABC), que es la regin comn a las tres intersecciones AB, AC y BC. (Figura 20).

Se puede ver que (ABCC ) y (ABC) son conjuntos disjuntos y que su unin es igual al conjunto AB. (Figura 21).

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Figura 19. ABCC Figura 20. ABC Figura 21. AB

Ejemplo 3: Se examinaron los gustos de un cierto nmero de estudiantes de la universidad hacia tres gneros musicales (clsica, rock, bolero) y se encontr que: a 22 les gusta el rock, a 25 les gusta la msica clsica, a 39 les gusta el bolero, a 9 les gusta la msica clsica y el rock, a 17 les gusta el rock y el bolero, a 20 les gusta la msica clsica y el bolero, a 6 les gustan los tres gneros, a 4 no les gusta ninguno de estos gneros. a) Cuntos estudiantes tienen gusto por dos gneros musicales, pero no por los tres? b) Cuntos estudiantes tienen gusto por un solo gnero musical? c) A cuntos estudiantes les gusta la msica clsica y el bolero, pero no les gusta el

rock? Solucin: Sean R, C y B los conjuntos definidos como:

R = { x | x le gusta el rock },

C = { x | x le gusta la msica clsica } y

B = { x | x le gusta el bolero }.

Ahora se organiza la informacin en un diagrama de Venn con los conjuntos R, C y B. Se ubica inicialmente la cantidad correspondiente a RCB, luego se ubican las cantidades correspondientes a RC, RB y CB, teniendo en cuenta que ya se ubicaron 6 personas en RCB. Finalmente se ubican las cantidades correspondientes a R, C y B, Atendiendo a que deben restarse las cantidades correspondientes a las anteriores intersecciones. (Ver figura22). a) En la figura 23 se sealan las regiones que corresponden a los conjuntos (RC)B,

(RB)C y (CB)R, que son los conjuntos de estudiantes con gusto hacia dos gneros musicales pero no por los tres. Entonces hay 3 + 11 + 14 = 28 estudiantes.

Figura 22. Figura 23.

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b) En la figura 24 se sealan las regiones que corresponden a los conjuntos (RB)C,

(CR)B y (BR)C, que son los conjuntos de estudiantes con gusto hacia un solo gnero musical. Entonces hay 2 + 2 + 8 = 12 estudiantes.

c) En la figura 25 se seala la regin que corresponde al conjunto (CB)R, que es el

conjunto de los estudiantes con gusto hacia la msica clsica y el bolero pero no les gusta el rock. Entonces hay 14 estudiantes.

Figura 24. Figura 25.

EJERCICIOS Diagramas de Venn

1) Un grupo de congresistas se rene para discutir cules son las mayores necesidades

de inversin en obras de infraestructura para la ciudad y concluyen que hay dos prioridades: Mantenimiento del alcantarillado de la ciudad (MA) y Reparacin de las vas (RV). Se aprueba una partida de $ 500,000 millones y se debe decidir en cul de las obras se invierte el dinero. Para evitar mayores discusiones se entrega a cada congresista una tarjeta en donde debe marcar qu obra apoya para ser ejecutada. Despus de revisar las tarjetas qued la informacin que se representa en el siguiente diagrama:

MA: Mantenimiento de alcantarillado. RV: Reparacin de Vas. MARV: Las dos obras. NM: Tarjetas no marcadas. Figura 1.

Cuntos congresistas participaron en la discusin?

a) 21 b) 23 c) 33 d) 37

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2) En la situacin anterior, cuntos congresistas marcaron estrictamente a favor de una sola obra?

a) 17 b) 13 c) 12 d) 9

3) Una encuesta aplicada a amas de casa, acerca del consumo de dos marcas de lcteos, arroj la siguiente informacin: 50 hogares consumen nicamente el lcteo tipo A. 30 hogares consumen los dos tipos de lcteos. 120 hogares consumen el lcteo tipo B. 80 hogares no consumen ninguno de los dos tipos de lcteos. El nmero de amas de casa a quienes se aplic la encuesta es: a) 280 b) 250 c) 220 d) 180

4) Un grupo de jvenes asisti a una feria acadmica en donde se presentan los programas que ofrecen las diferentes universidades de la ciudad. En uno de los salones se presentaron los tres programas que ofrece la facultad de Ciencias Humanas de una universidad estatal. Al finalizar la presentacin se realiz una pequea encuesta con el fin de determinar cul de los programas (Historia (H), Estudios Literarios (EL) y Filosofa (F)) tena ms aceptacin en los jvenes. Los resultados de la encuesta fueron los siguientes:

Preferencias: Cantidad de jvenes:

Solamente Historia 20 Historia 65

Historia, Estudios Literarios y Filosofa 2

Historia y Estudios Literarios, pero no Filosofa 42 Historia y Filosofa pero no Estudios Literarios 59

No les gusta la Historia 23

Ninguna de las tres carreras 1 Les gusta Historia y Filosofa 40

Cul de los siguientes diagramas de Venn representa la informacin recolectada?

a)

b)

c)

d)

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5) Con respecto al problema 4, Cul fue el nmero de jvenes encuestados?

a) 96 b) 95 c) 89 d) 88

6) Con respecto al problema 4, A cuntos jvenes les gustaban los Estudios Literarios?

a) 29 b) 24 c) 20 d) 17

7) Con respecto al problema 4, A cuntos jvenes le gustaba solamente la Filosofa?

a) 46 b) 17 c) 13 d) 1

8) Con respecto al problema 4, A cuntos jvenes le gustaban slo una carrera?

a) 39 b) 38 c) 37 d) 35

9) Una encuesta aplicada a 700 personas revel los siguientes datos acerca del consumo de dos productos lquidos: Coca Cola y Postobn. 590 personas consuman por lo menos uno de los dos productos. 390 personas consuman productos Coca cola. 216 personas consuman productos Coca cola pero no Postobn. Qu porcentaje de las personas consuma solamente productos Postobn?

a) 53,4% b) 35,5% c) 28% d) 28,6%

10) Con respecto al problema 9, Qu porcentaje de personas consuma los dos productos?

a) 84,28% b) 24,8% c) 15,7% d) 13,2%

11) Con respecto al problema 9, Qu porcentaje de personas no consuma ninguno de los dos productos?

a) 53,4% b) 28,6% c) 24,8% d) 15,7% 12) Los conjuntos X, Y y Z se representan en los siguientes grficos:

(I) Conjunto X (II) Conjunto Y (III) Conjunto Z

El conjunto (ABC) (AB) es equivalente a:

a) XY b) XY c) XZ d) XZ

13) El conjunto Y Z es equivalente a:

a) C(AB)(ABC) b) (AB)(BC) c) [(ADB)C]C d) C(AB)(ABC)

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14) El conjunto referencial U={a, b, c, e, f, g, p, q, w, x, r, s, u, v, k, m, n, y, z}, y los

conjuntos A, B y C se representan en el siguiente diagrama de Venn.

El conjunto (AB)(CA) es: a) { p, q, k, m, n } b) { p, q, w, x, k, m, n, u, v } c) { u, v, k, m, n, p, q } d) { a, b, c, p, q, w, x }

15) Con respecto al diagrama anterior, el conjunto [(ADB) C] es:

a) { a, b, c, e, f, g, p, q, w, x } b) { a, b, c, e, f, g, w, x } c) { a, b, c, e, f, g, p, q } d) { a, b, c, e. f, g }

Resuelva los siguientes problemas: 16) Se indag en un numeroso grupo de estudiantes de una universidad estatal sobre las

prioridades en el tema de la inversin social, que deben ser agendadas por el prximo presidente. Los resultados parciales de esta encuesta se presenta en la siguiente tabla:

Se debe dar prioridad a: Cantidad de estudiantes que opinan:

Vivienda 6750 Salud 6750 Educacin 6450 Vivienda y Salud 3750 Vivienda y Educacin 3550 Salud y Educacin 3650 Salud, Vivienda y Educacin 2000 No contestaron 1150

a. Cuntos estudiantes consideran que se debe dar prioridad slo a dos temticas? b. Cuntos estudiantes consideran que se debe dar prioridad a la educacin y la

salud, pero no a la vivienda? c. Cuntos estudiantes consideran que debe darse prioridad a salud o educacin, y

no dar prioridad a la vivienda? 17) Exprese los conjuntos que se representan a continuacin en trminos de las

operaciones bsicas entre los conjuntos A, B y C.

(I) (II) (III)

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18) En un colegio se investig a 80 estudiantes de primer ao y se encontr que: 36 tomaban Ingls, 32 tomaban Historia, 32 tomaban Ciencias Polticas, 16 tomaban Ciencias polticas e Historia, 16 tomaban Historia e Ingls, 14 tomaban Ciencias Polticas e Ingls, y 6 tomaban las tres materias. Organice en un diagrama de Venn las cantidades correspondientes a las siguientes preguntas:

a) Cuntos estudiantes toman Ingls y ninguna de las otras dos? b) Cuntos estudiantes no toman ninguno de estos tres cursos? c) Cuntos estudiantes toman Historia pero ninguno de los otros dos cursos?

d) Cuntos estudiantes toman Ciencias polticas e Historia pero no Ingls? e) Cuntos estudiantes no toman Ciencias Polticas?

19) En los siguientes grficos se presentan los conjuntos X, Y y Z.

Conjunto X. Conjunto Y. Conjunto Z.

Exprese las siguientes operaciones en trminos de los conjuntos A, B y C: a. X Y Z b. X(YZ) c. X(YZ) d. (XYZ)C

20) Suponga que una familia realiza una excursin de vacaciones en su vehculo de

acampar. Considere los eventos A, B y C definidos como: A = {Que el vehculo

presente problemas mecnicos durante la excursin}, B = {Que sean multados por

violar alguna norma de trnsito durante la excursin} y C = {Que lleguen a una zona

de campamento ocupada por otros excursionistas}. En el diagrama de Venn se

muestran 8 regiones, cada una representa un evento. Explique con sus palabras los

eventos representados por las siguientes regiones:

a) Regin 5.

b) Regin 3.

c) Regiones 1 y 2 juntas.

d) Regiones 4 y 7 juntas.

e) Regiones 3, 6, 7 y 8 juntas.

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2. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

A. LEYES DE IDENTIDAD

Sea U el conjunto referencial o universal y A un subconjunto de U, entonces: A1. A = A A2. AU = U A3. AU = A A4. A =

B. LEYES DE COMPLEMENTO Sea U el conjunto referencial o universal y A un subconjunto de U, entonces: B1. AAC = U B2. (AC )C = A B3. AAC =

B4. UC = B5. C = U B6. A ? AC

B7. (AB)C = AC BC B8. (AB)C = AC BC

C. LEYES DE IDEMPOTENCIA Sea U el conjunto referencial o universal y A un subconjunto de U, entonces: C1. AA = A C2. AA = A

D. LEYES CONMUTATIVAS Sea U el conjunto referencial o universal, A y B subconjuntos de U, entonces: D1. AB = BA D2. AB = BA

E. LEYES ASOCIATIVAS Sea U el conjunto referencial o universal. A, B y C subconjuntos de U, entonces: E1. (AB)C = A(BC) E2. (AB)C = A(BC)

F. LEYES DISTRIBUTIVAS Sea U el conjunto referencial o universal. A, B y C subconjuntos de U, entonces: F1. A(BC) = (AB)(AC) F2. A(BC) = (AB)(AC)

G. OTRAS PROPIEDADES

Sea U el conjunto referencial o universal. A, B y C subconjuntos de U, entonces: G1. Si AB, entonces AB = A. G2. Si AB, entonces AB = B.

G3. A B = ABC G4. (AB)(AC) = A(BC)

G5. (AC)(BC) = (AB)C G6. (AB)(AC) = A(CB)

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Ejemplo 1: Considere los intervalos A = (0,6) y B = (3,9). a) Halle (AB)C . b) Halle AC BC . Solucin:

a) AB = (0,6) (3,9) = (0,9). (0,9)C = (-,0][9,+).

b) AC = (0,6)C = (-,0][6,+). BC = (3,9)C = (-,3][9,+). AC BC = ((-,0][6,+) )C ((-,3][9,+) )C = (-,0][9,+). Comparando a) y b) se puede ver que (AB)C = AC BC . Ejemplo 2: Considere los intervalos A = [0,10) y B = (2,6). a) Halle AB. b) Halle AB.

Solucin:

a) Como el conjunto B = (2,6) est contenido en el conjunto A = [0,10), entonces AB = [0,10).

b) Como el conjunto B = (2,6) est contenido en el conjunto A = [0,10), entonces AB = (2,6).

Ejemplo 3: Considere los conjuntos A, B y C definidos como: A = {x l x es divisor de 6}, B = {x l x es divisor de 9} y C = { x l x es divisor de 12}. Seale en un diagrama de Venn los conjuntos (AB), (AC) y A(BC).

Solucin:

Los conjuntos A, B y C son:

A = {1, 2, 3, 6}; B = {1, 3, 6, 9}; C = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Los diagramas de Venn correspondientes a (AB), (AC) y A(BC) son:

(AB) (AC) A(BC)

La interseccin de los conjuntos (AB) y (AC) da como resultado el conjunto A(BC), como se puede apreciar en los tres diagramas.

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EJERCICIOS Propiedades de los Conjuntos

Para los ejercicios del 1 al 5, tenga en cuenta los conjuntos A, B, C y universal U definidos como:

A = {xR l x5 3x4 5x3 + 15x2 + 4x 12 = 0}, B = {xR l x5 + 5x4 3x3 29x2 + 2x + 24 = 0}, C = {xR l x5 x4 5x3 + 5x2 + 4x 4 = 0}, U = ABC.

1. Los elementos del conjunto ABC son:

a) {-1, 2}. b) {-1, -2}. c) {-1, 2}. d) {-2, 2}.

2. Los elementos del conjunto A?B son:

a) {-1, -2, 2, 3}. b) {-1, -2, -3, 3}. c) {-2, 3, -3, -4}. d) {-2, 3, -3, 4}. 3. Los elementos de (AB)C son:

a) {-1, -2, 2}. b) {3, -3, -4}. c) {-2, 3, -4}. d) {1, 3, 4}.

4. Los elementos de BCC son: a) {-1, 2}. b) {-1, -4}. c) {-3, -4}. d) {1, 4}.

5. Los elementos de (ABC)(BAC)(CBA) son: a) {-1, 1, 2, 3}. b) {-1, 2, -3, -4} .c) {-1, 3, 4, -4}. d) {1, 3, -3, -4}.

Para los ejercicios del 6 al 10, tome las regiones limitadas por los siguientes grficos como conjuntos A, B y C.

Conjunto A. Conjunto B. Conjunto C.

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6. La regin sombreada que representa al conjunto (B C) es:

a) b) c) d)

7. La regin sombreada que representa al conjunto (B A) es:

a) b) c) d)

8. La regin sombreada que representa al conjunto (ABC) es:

a) b) c) d)

9. La regin sombreada que representa al conjunto (A - C) es:

a) b) c) d)

10. La regin sombreada que representa al conjunto A(BC) es:

a) b) c) d)

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11. El conjunto A(BC) es igual al conjunto:

a) (AB)(AC). b) A B C. c) A (BC). d) (AB) C.

12. El conjunto A(BC) es igual al conjunto:

a) (AB)(AC). b) A B C. c) A (BC). d) (AB)(AC).

13. El conjunto A(B-A) es igual al conjunto:

a) (AB). b) A B. c) B A. d) .

14. El conjunto AC BC es igual al conjunto:

a) (AB)C . b) AC BC. c) (AB)C . d) BC AC.

15. El conjunto AC BC es igual al conjunto:

a) (AB)C . b) AC BC. c) (AB)C . d) BC AC.

16. La afirmacin falsa es:

a) (AB)C= AC BC. b) AC BC = B A.

c) (AB)C = AC BC. d) BC AC = BC A.

17. La afirmacin falsa es:

a) (AB)C= AC BC. b) AC BC = BC AC.

c) (AB)C = AC BC. d) A B = BC A.

18. La afirmacin falsa es:

a) (A B)C = AC BC. b) A(BC) = (AB)(AC).

c) (AB)C = AC BC. d) BC AC = A B.

19. La afirmacin verdadera es:

a) AAC = . b) AAC = C.

c) A = A. d) C AC = AC .

20. La afirmacin verdadera es:

a) (AB) B. b) (AB) A.

c) (AB) (AB). d) (AB) (ABC).