OPERADOR DE LAPLACE

TRABAJO DE GRADOPROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

EDISSON ARLEY ARCOS BRIÑEZDIRECTOR: ARTURO SANJUÁN

Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.

2016

A mis padres por el apoyo y la paciencia durante esta parte de mi vida.

Agradecimientos

Quiero agradecer a mis maestros por sus enseñanzas durante este pregrado. y En especial a mi director de tesis, elprofesor Arturo Sanjuán por se mi mentor. Ha sido una gran influencia en mi formación académica.

También le agradezco a mis padres. Gracias a su confianza y apoyo he llegado a donde estoy. También a mishermanos Sebastián y James por ser estar mi lado.

Agradezco especialmente a mi difunto hermano Oscar Danilo. Gracias a sus enseñansas y a sus consejos fue queemprendí este camino de ser profesional. Hoy honró en su memoria finalizando esta carrera.

Por ultimo agradezco a la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por darme la oportunidad de ingresar yculminar con este trabajo mis estudios en matemáticas.

I

Índice general

Introducción III

1. Preliminares 1

1.1. La Identidad de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Soluciones en el Sentido de las Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Operador de Laplace 9

2.1. Funciones Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Principio del Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. El problema de Dirichlet y la fórmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Solución del problema de Dirichlet por métodos de Espacios de Hilbert 26

Apéndices 30

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II

Introducción

El operador laplaciano es el operador diferencial elíptico de segundo orden denotado por 4. El operador tieneese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace por sus estudios en ecuaciones diferenciales en derivadasparciales en las que aparecía dicho operador.

En Física el laplaciano aparece en multíples contextos como la teoría del potencial, la propagación de ondas, laconducción del calor, electroestática, etc. El operador laplaciano aparece en la ecuación de Laplace (4u = 0) y laecuación de Poisson (4u = f ). En matemáticas las funciones tales que su laplaciano se anule en un dominio, sellaman funciones armónicas sobre el dominio.

En este trabajo revisamos la solución al problema clásico de Dirichlet para la ecuación de Laplace se plantea así

Dado Ω ⊂ Rn abierto, conexo y acotado. Dada una función f con valores en todos los puntos de ∂Ω encontrar u talque u es armónica en Ω y u = f en ∂Ω.

A través de este plantea el problema de Dirichlet modificado para el espacio H10 (Ω) de la siguiente manera

Encontrar a v ∈ H10 (Ω), tal que

(u, v) = φ(u) para todo u ∈ H10 (Ω)

donde (u, v) y φ están definidos por (3.2), (3.4) en C10 y por extensión en H1

0 .

Para esto daremos un preámbulo de la identidad de Green, que deduciremos apoyándonos en el Teorema de laDivergencia de Gauss. Después hablaremos de las soluciones en el sentido de las distribuciones. En el primercapítulo nos enfocamos en esto y nos servirá para extender el concepto de derivada de todas las funciones que sonlocalmente integrables.

En el capítulo dos nos enfocamos ya en nuestro operador. Empezamos definiendo a las funciones armónicas y mos-traremos que el problema de Dirichlet tiene una única solución. También mostramos que las funciones armónicasson invariantes bajo rotaciones y traslaciones. Además buscamos las soluciones que son radiálmente simétricas.Trabajaremos con la identidad de Green en recintos abiertos, acotados y recintos con huecos. Mostraremos unarepresentación de como son las soluciones. Demostramos la ley de Gauss de la media aritmética y de aquí a la

III

fórmula de Poisson. En este mismo capítulo trabajaremos con el Principio del Máximo, la fórmula de Green pa-ra el problema de Dirichlet, la fórmula integral de Poisson, el núcleo de Poisson, el Teorema de Liouville y laDesigualdad de Harnack.

En el tercer capítulo sólo nos enfocamos en la solución al problema de Dirichlet por el método de espacios deHilbert y apoyándonos en el Teorema de Representación de Riez.

Notación

A lo largo de este trabajo, cuando nos referimos a Ω, nos estamos refiriendo a un subconjunto abierto del espacioeuclídeo n-dimensional Rn, en algunos casos se cambiara las condiciones de Ω pero son mencionadas previamente.En el caso, que no se especifique la región es por que nos referimos a todo el espacio.

∂Ω es la frontera de Ω.

Ω = Ω ∪ ∂Ω es la cerradura de Ω.

B(ξ, ρ) = x ∈ Rn : |x− ξ| < ρ es la bola con centro en ξ y radio ρ > 0.

S(ξ, ρ) = ∂B(ξ, ρ) la frontera de la bola con centro en ξ y radio ρ > 0.

α(n) = λ(B(0, 1)) = πn2

Γ( n2 +1) es el volumen de la bola unitaria en Rn. λ es la medida de Lebesgue y Γ es la

función Gama.

α(n)rn = λ(B(x, r)) es el volumen de la bola B(x, r)

ωn = nα(n) = λ(S(0, 1)) es el área de la superficie de la esfera unitaria.

Adoptamos la notación multí-índice.Un vector de la forma α = (α1, · · · , αn), donde cada αi es un entero positivo es llamado multí-índice de orden|α| = α1 + · · ·+ αn. Dado un multí-índice α definimos

Dαu := ∂|α|u∂α1 x1···∂αn xn

Notación para espacios de funciones.C(Ω) = u : Ω→ R : u es continuaC(Ω) = u : Ω→ R : u es uniformemente continuaCk(Ω) = u : Ω→ R : Dαu es continua siempre que |α| ≤ kCk(Ω) = u : Ω→ R : Dαu es uniformemente continua siempre que |α| ≤ k

|| · ||L1 Norma del espacio de las funciones Lebesgue integrables.

|| · ||L∞ Norma en el espacio de las funciones esencialmente acotadas

|| · || Norma del espacio de las funciones de cuadrado integrable en el sentido de Lebesgue o L2.

IV

CAPÍTULO 1

Preliminares

En este capítulo empezaremos trabajando con las identidades de Green, el cual sera nuestro primer paso a lateória del operador laplaciano. En el segundo capítulo entraremos mas a fondo en el propósito fundamental de laidentidad de Green en dominios con condiciones de frontera.

El sentido central de este capítulo es dar a conocer un poco de la teória de distribuciones o funciones generali-zadas.Fue el matemático ruso Sergei Sobolev quien dio los primeros pasos en una adecuada formalización de lasfunciones generalizadas en 1935 mientras trabajaba en soluciones débiles de ecuaciones diferenciales parciales.Independientemente el Francés Laurent Schwartz formalizo la teória de las distribuciones en la década de 1940,por el cual recibió medalla Fields en 1950.

La noción de Distribución sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones que son localmenteintegrables. Incluso para tratar problemas donde aparece la derivada de una función discontinua o la función deDirac introducida por primera vez por el físico Ingles Paul Dirac. No es una función estrictamente hablando.Enocasiones se denomina también como la función de impulso (ver figura 1.1).

1.1. La Identidad de Green

En esta sección seguimos principalmente las ideas de [Joh81, p. 79], para obtener las dos identidades de greenusando el Teorema de la divergencia.

Teorema 1.1 (Teorema de la divergencia de Gauss). Sea∫Ω

Dku(x) dx =∫

∂Ωu(x)

dxkdn

=∫

∂Ωu(x)ζk dSx (1.1)

1

Figura 1.1: Delta de Dirac

donde ddn denota la diferenciación en la dirección de la unidad normal exterior ζ = (ζ1, . . . , ζn) de ∂Ω y dx = dx1 · · · dxn,

dSx es el elemento de superficie con integración en x.

Sean u, v ∈ C2(Ω), aplicando (1.1) al campo u∇v obtenemos,∫∂Ω

vdudn

dSx =∫

Ω~∇(v∇u) dx

=∫

Ω~∇(v(uxi )i) dx

=∫

Ω∑

i

∂

∂xi

(v(

∂u∂xi

))dx

=∫

Ω∑

i

(∂v∂xi· ∂u

∂xi+ v

∂2u∂x2

i

)dx

=∫

Ωv4u dx +

∫Ω

∑i

vxi uxi dx

Por tanto tenemos la primera Identidad de Green para4∫∂Ω

vdudn

dSx −∫

Ω∑

ivxi uxi dx =

∫Ω

v4u dx. (1.2)

La segunda identidad se deduce de la primera intercambiando los papeles de u y v tenemos∫∂Ω

udvdn

dSx −∫

Ω∑

ivxi uxi dx =

∫Ω

u4v dx (1.3)

2

restando (1.3) de (1.2)

∫Ω

v4u dx−∫

Ωu4v dx =

(∫∂Ω

vdudn

dSx −∫

Ω∑

ivxi uxi dx

)−(∫

∂Ωu

dvdn

dSx −∫

Ω∑

ivxi uxi dx

)

=∫

∂Ωv

dudn

dSx −∫

∂Ωu

dvdn

dSx

=∫

∂Ω

(v

dudn− u

dvdn

)dSx.

Por tanto tenemos la Segunda Identidad de Green para4∫Ω

v4u dx =∫

Ωu4v dx +

∫∂Ω

(v

dudn− u

dvdn

)dSx (1.4)

La deducción de estas dos identidades es una parte fundamental de nuestro trabajo, ya que estas nos darán pasoa varias deducciones para el operador4.

1.2. Soluciones en el Sentido de las Distribuciones

La segunda identidad de Green se reduce a ∫Ω

v4u dx =∫

Ωu4v dx

en el caso cuando los termínos se desvanecen en la frontera. Cuando cualquiera u o v tienen valor cero. En parti-cular si

4u = w en ΩDβv = 0 en ∂Ω para |β| < m de Cm(Ω)

tenemos la identidad ∫Ω

vw dx =∫

Ωu4v dx.

Podemos utilizar esta identidad para definir soluciones generalizadas u de4u = w. Por ejemplo, si u es continuapodemos usar la identidad que se da para todo v que se desvanece cerca a ∂Ω. Esto conduce a la noción de soluciónde distribuciones en el sentido de Laurent Schwartz.

La idea es remplazar una función f (x) que se define en un conjunto abierto Ω en Rn. Para ello vemos lo siguiente.

Definición. Dada φ ∈ C0(Ω), se define el soporte de φ

supp φ = x ∈ Ω|φ(x) 6= 0

Definición. Una función test en Ω es, por definición, una función φ ∈ C∞(Ω) de soporte compacto. NotaremosD(Ω) al espacio de las funciones test en Ω.

3

Un ejemplo de una función test la podemos ver en la Figura 1.2

Definición. Si f es continua en Ω, f es localmente integrable en Ω o f ∈ L1loc(Ω) si y solo si∫

K| f | < +∞

para todo K compacto contenido en Ω.

-1 -0.5 0.5 1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

e−1/(1− x2)

Figura 1.2: Un Ejemplo de Función Test

Definición. Para f ∈ L1loc(Ω) definimos el funcional

f [φ] =∫

Ωφ(x) f (x) dx

donde φ ∈ D(Ω).

El funcional f existe para cualquier función continua o localmente integrable f , veamos que la integral para f [φ]define un funcional lineal en D(Ω). Aplicando desigualdad de Hölder tenemos

∣∣ f [φ]∣∣ = ∣∣∣∣∫Ωφ(x) f (x) dx

∣∣∣∣≤∫

Ω|φ(x) f (x)| dx

=∫

k|φ(x) f (x)| dx

≤ ||φ||L∞(K)|| f ||L1(K).

4

Ahora vemos que es lineal

f [αφ + ψ] =∫

Ω(αφ(x) + ψ(x)) f (x) dx

=∫

Ω(αφ(x) f (x) + ψ(x) f (x)) dx

= α∫

Ωφ(x) f (x)dx +

∫Ω

ψ(x) f (x) dx

= α f [φ] + f [ψ].

Lema 1.1. Sea f , g ∈ C, si f [φ] = g[φ] para todo φ ∈ D(Ω). Entonces f (x) = g(x).

Demostración. Supongamos que f (x) 6= g(x) y que f [φ] = g[φ]. Así

f [φ]− g[φ] = 0∫Ω

φ(x) f (x)dx−∫

Ωφ(x)g(x) dx = 0∫

Ωφ(x)( f (x)− g(x)) dx = 0.

Ya que es para todo φ ∈ D(Ω) que es no negativa y f − g > 0 en una vecindad de un punto p, la integral∫Ω φ(x)( f (x)− g(x)) dx > 0, lo cual es una contradicción.

Veamos ahora que si f ∈ C1(Ω) y φ una función test , al integrar por partes tenemos

Dk f [φ] =∫

Ωφ(x)(Dk f (x)) dx

= φ f (x)∣∣∂Ω −

∫Ω(Dkφ(x)) f (x) dx

= −∫

Ω(Dkφ(x)) f (x) dx

= − f [Dkφ].

Podemos utilizar el último resultado para cuando f no tiene derivadas o ni siquiera sea continua. Mientras elfuncional asociado a f se define para todas las funciones test φ, el funcional asociado con Dk f tiene sentido. Másgeneralmente, esto nos lleva a la noción de una distribución.

Definición. Una Distribución es una función lineal f [φ] definido para todo φ ∈ C∞(Ω) de soporte compacto ycontinua en el siguiente sentido: Sea φr una sucesión en C∞(Ω) de soporte compacto, entonces

lımk→∞

f [φk] = 0

Siempre que

todo φk se anula fuera del mismo subconjunto compacto de Ω, y

5

lımk→∞

Dαφk(x) = 0 (1.5)

uniformemente en x para cada α.

Veamos ahora que cada función continua o incluso localmente integrable genera una distribución. En efecto yavimos que definen un funcional lineal, solo falta ver que es continua en el sentido de las distribuciones. Así pordefinición de localmente integrable, tomemos K y φn tal que φn(Kc) = 0 y cumple (1.5)

∣∣ f [φn]∣∣ = ∣∣∣∣∫Ω

φn(x) f (x) dx∣∣∣∣

≤∫

Ω|φn(x) f (x)| dx

=∫

k|φn(x) f (x)| dx

≤ ||φn||L∞(K)|| f ||L1(K)n→∞−−−→ 0.

Una distribución especialmente importante, no generada por una función punto, integrable, esta es llamada fun-ción de Dirac con singularidad ξ denotado por δξ . Se define simbólicamente por

δξ [φ] := φ(ξ) =∫

Ωφ(x)δξ(x) dx. (1.6)

Es lineal ya que

δξ [αφ + ψ] = (αφ + ψ)(ξ)

= αφ(ξ) + ψ(ξ)

= αδξ [φ] + δξ [ψ]

Veamos que es una distribución, primero para ξ 6∈ K y φn tenemos que

δξ [φn] = φn(ξ) = 0

ya que φn(Kc) = 0. Para ξ ∈ k, tenemosδξ [φn] = φn(ξ)

n→∞−−−→ 0.

Dos distribuciones f [φ] y g[φ] se llaman iguales, f [φ] = g[φ] para todo φ ∈ D. Más generalmente para un sub-conjunto abierto ω de Ω, f [φ] = g[φ] para todo φ ∈ D que tiene su soporte ω. Esto nos permite en algunos casos,asignar valores puntuales a una distribución en un subconjunto de Ω. Así para la función de Dirac δξ definido por(1.6) tenemos

δξ(x) = 0 para x ∈ Ω , x 6= ξ.

De hecho tomando f = δxi, g ≡ 0 tenemosf [φ] = g[φ] = 0

para cualquier φ con soporte en un conjunto ω obtenido de quitar ξ de Ω.

6

Definición. Para una distribución f se define la Derivada Dk f como la distribución dada por

Dk f [φ] = − f [Dkφ]

y mas generalmente Dα f porDα f [φ] = (−1)|α| f [Dαφ] (1.7)

Como por ejemplo tenemos que para (1.6) que

Dkδξ [φ] = −δξ [Dkφ] = −φxk (ξ).

En particular (1.7) produce una definición para las derivadas de una función continua f (x), no necesariamentecomo una función de valores puntuales, sino como funciones generalizadas para las que las integrales ponderadasestán definidas.

Aun mas de (1.7) podemos aplicar cualquier operador diferencial lineal L en C∞ coeficientes de una distribuciónu[φ] por

Lu[φ] = u[Lφ] (1.8)

donde L es el operador adjunto a L. En nuestro caso nos interesa particularmente el operador de Laplace. Así

δu[φ] = u[4φ]

que de acuerdo con la segunda identidad de Green (1.4)∫Ω

φ4udx =∫

Ωu4φ dx

valido para una función test φ y función escalar u ∈ Cm. Estamos interesados particularmente en soluciones de ladistribución L de la ecuación

Lu = δξ . (1.9)

donde δξ es el operador de Dirac. Estas soluciones son llamadas Soluciones Fundamentales con singularidad ξpara el operador L.

El operador de Dirac puede también ser definido por (1.6), para toda función φ(x) que es solamente continua en Ω.Similarmente para un operador diferencial lineal de m-ésimo orden L con coeficientes en Cm(Ω), definimos L(u)φpor (1.8) para una función localmente integrable u(x) y para φ ∈ Cm(Ω). Mas precisamente tenemos la siguientedefinición.

Definición. u(x) es una solución débil de la ecuación Lu(x) = w(x) en Ω si cumple∫φw(x) dx =

∫(Lφ(x))u(x) dx

para todo φ ∈ Cm0 (Ω).

Ejemplos

Sea Ω el eje x y L el operador diferencial ordinario d2

dx2 . Entonces u(x) = 12 |x− ξ| es una solución fundamental

para L.

7

De hecho la distribución asociada con u′′ por (1.7) es

u′′[φ] = (−1)2u[φ′′]

= u[φ′′]

=∫

u(x)φ′′(x) dx

=∫ ∞

−∞

12|x− ξ|φ′′(x) dx

= φ(ξ) = δξ [φ]

cuando φ ∈ C∞0 (R).

La función u(x1, x2) definida por

u(x) =

1 para x1 > ξ1 , x2 > ξ2

0 para todo otro x1 , x2

es una solución fundamental con polo (ξ1, ξ2) del operador L = ∂2

∂x1∂x2en el plano x1 × x2.

En efecto ∫x1×x2

φ(x)Lu(x) = (−1)2∫

x1×x2

φx1x2 u(x) dx

=∫ ∞

ξ1

∫ ∞

ξ2

φx1x2 dx2dx1

= −∫ ∞

ξ1

φx1(x1, ξ2) dx1

= −φ(x1, ξ2)∣∣∞ξ1

= φ(ξ1, ξ2)

para toda φ ∈ C∞0 (x1 × x2).

8

CAPÍTULO 2

Operador de Laplace

El propósito de este capítulo es encontrar la solución explícita al problema de Dirichlet para una bola en Rn. Coneste propósito primero usaremos la Identidad de Green en dominios con solución fundamental armónica. Paraello aislaremos las singularidades através de vecindades muy pequeñas de ellas. Así tendremos una fórmula derepresentación de las soluciones. Después con respecto a la identidad de Green tendremos la función de Green parael problema de Dirichlet. Esto nos conducirá a la fórmula integral de Poisson que nos dice como es explícitamentela solución.

2.1. Funciones Armónicas

Continuaremos llevando la idea de [Joh81], pero para la ayuda de algunas demostraciones nos basamos en [Eva97,p. 31-32] y [ABR01, p. 2-4].

Definición. Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto y u ∈ C2(Ω). La ecuación de Laplace es

4u =n

∑k=1

D2k u = 0 en Ω

Una función u que cumple la ecuación de Laplace se le llama función armónica.

El problema de Dirichlet consiste en hallar u ∈ Ω, conocidos los valores de4u en Ω y de u en ∂Ω.

Lema 2.2. Una solución u ∈ C2(Ω) de el problema de Dirichlet es única.

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Demostración. Supongamos que existen u1, u2 soluciones al problema de Dirichlet en Ω.

4u1 = 4u2 y u1∣∣∂Ω = u2

∣∣∂Ω

luego, denotando u = u1 − u2, tenemos que

4u ≡ 0 y u∣∣∂Ω ≡ 0

Por tanto, de la segunda identidad de Green para u = v se reduce a,∫Ω|∇u|2 dx = 0

y como el integrando es positivo y continuo, ∇u ≡ 0 en Ω. Así u es constante y como se anula en el borde, dichaconstante es nula, por tanto u1 = u2.

Similar al problema de Dirichled, el problema de Neumann consiste en hallar u ∈ Ω, conocidos los valores de4uen Ω y de du/dn en ∂Ω.

Lema 2.3. Una solución u ∈ C2(Ω) de el problema de Neumann es única salvo una constante.

Demostración. La demostración es similar al de el problema de Dirichlet, sólo que ahora es la derivada normal deu la que se anula sobre el borde. Así u es constante en Ω, pero conocer la derivada normal de u no permite concluirsu valor. Luego u1 = u2 + k.

Proposición 2.1. La ecuación de4u = 0 es invariante bajo rotaciones y traslaciones.

Demostración. Como el Laplaciano es lineal en C2(Ω), las sumas y múltiplos por escalar de funciones armónicasson armónicas.

Para y ∈ Rn y u una función en Ω, el y-trasladado de u es una función en Ω + y cuyo valor de x es u(x− y). Asítraslaciones de funciones armónicas son armónicas.

Veamos ahora a la rotación de u como u T, donde T es es la transformación ortogonal en Rn. Por lo tanto veamosque el Laplaciano conmuta con la transformación ortogonal. Más precisamente, si T es ortogonal y u ∈ C2(Ω),entonces

4(u T) = (4u) T

en T−1(Ω), probemos esto.Sea [tjk] la matriz asociada a la transformación T de la base estándar de Rn, entonces

Dm(u T) =n

∑j=1

tjm(Dju) T

10

donde Dm es la derivada parcial con respecto a la m-ésima coordenada. Derivando una vez más y sumando sobrem, tenemos

4(u T) =n

∑m=1

n

∑j,k=1

tkmtjm(DkDju) T

=n

∑j,k=1

(n

∑m=1

tkmtjm

)(DkDju) T

=n

∑j=1

(DjDju) T

= (4u) T

Dado que la Ecuación de Laplace es invariante bajo rotaciones y traslaciones, parece aconsejable buscar primerouna soluciones radiálmente simétricas. Es decir, soluciones de la forma

u(x) = v(|x|) = ψ(r) (2.1)

donder = |x− ξ| =

√∑

i(xi − ξi)2

con x ∈ Rn y v(x) solución especial de4u = 0. Notemos que para i = 1, 2, . . . , n

∂r∂xi

=1

2

(n

∑i=1

x2i

)− 12 (

2xi)=

xir

∂

∂xiu(x) =

∂

∂xiψ(r) = ψ′(r)

xir

y

∂2

∂x2i

u(x) =∂

∂xi

(ψ′(r)

xir

)= ψ′(r)

∂

∂xi

( xir

)+ ψ′′(r)

x2i

r2

= ψ′(r)(

r− xi(xi/r)r2

)+ ψ′′(r)

x2i

r2

= ψ′′(r)x2

ir2 + ψ′(r)

(1r−

x2i

r3

).

Para i = 1, 2, . . . , n, el Laplaciano

n

∑i=1

(∂2

∂x2i

u(x)

)=

n

∑i=1

[ψ′′(r)

x2i

r2 + ψ′(r)

(1r−

x2i

r3

)]

= ψ′′(r)n

∑i=1

x2i

r2 + ψ′(r)n

∑i=1

(1r−

x2i

r3

).

11

Comon

∑i=1

x2i = r2, obtenemos

4v = ψ′′(r) +(

n− 1r

)ψ′(r).

De aquí4v = 0 si y solo si

ψ′′ +

(n− 1

r

)ψ′ = 0.

Resolviendo tenemosrn−1ψ′′ + rn−2(n− 1)ψ′ = 0

(ψ′rn−1)′ = 0.

Integrando a ambos ladosψ′rn−1 = C.

Por lo tantoψ′(r) = Cr1−n.

Para alguna constante C, por lo que si r > 0, obtenemos

ψ(r) =

Cr2−n

2− nn > 2

C log r n = 2(2.2)

Teorema 2.2. Sea Ω ⊂ Rn un recinto abierto acotado con borde ∂Ω. Sea u ∈ C2(Ω) y consideremos un punto ξ ∈ Ω,entonces podemos escribir

u(ξ) =∫

Ωψξ4u dx−

∫∂Ω

(ψξ

dudη− u

dψξ

dη

)dSx

donde η es el campo normal exterior al borde y dSx es el elemento de superficie con integración en x.

Demostración. Aplicando la segunda identidad de Green a Ωρ = Ω \ B(ξ, ρ). La región esta acotada por ∂Ω yS(ξ, ρ), y S(ξ, ρ) con orientación negativa. Ahora tomando a v = ψξ una solución de la forma (2.1) con simetríaradial centrada en ξ∫

Ωρ

ψξ4u dx =∫

Ωρ

u4ψξ dx +∫

∂Ω

(ψξ

dudη− u

dψξ

dη

)dSx +

∫S(ξ,ρ)

(ψξ

dudη− u

dψξ

dη

)dSx (2.3)

Pero sabemos que4ψξ = 0 por ser una solución de la forma (2.1). Así remplazando en (2.3) tenemos

∫Ωρ

ψξ4u dx =∫

∂Ω

(ψξ

dudη− u

dψξ

dη

)dSx +

∫S(ξ,ρ)

(ψξ

dudη− u

dψξ

dη

)dSx (2.4)

Analizando la última integral de (2.4) es∫S(ξ,ρ)

ψξdudη

dSx −∫

S(ξ,ρ)u

dψξ

dηdSx (2.5)

12

Tomemos la primera integral de (2.5). Por el teorema de la divergencia,∫S(ξ,ρ)

ψξdudη

dSx = ψξ(ρ)∫

S(ξ,ρ)

dudη

dSx

= −ψξ(ρ)∫

B(ξ,ρ)~∇(∇u) dx

= −ψξ(ρ)∫

B(ξ,ρ)4u dx

= −ψξ(ρ)4u(ξ)∫

B(ξ,ρ)dx

ρ→0−−→ 0.

Tomando la segunda integral de (2.5) tenemos∫S(ξ,ρ)

udψξ

dηdSx = −ψ′(ρ)

∫S(ξ,ρ)

u dSx

= −ψ′(ρ)u(ξ)∫

S(ξ,ρ)dSx

= −Cρ1−nu(ξ)∫

S(ξ,ρ)dSx

= −Cρ1−nu(ξ)ωnρn−1

= −Cωnu(ξ)

donde∫

S(ξ,ρ) dSx = ωnρn−1, con ωn denota el aréa de la esfera unidad en Rn. Así remplazando en (2.4)

∫Ω

ψξ4u dx =∫

∂Ω

(ψξ

dudη− u

dψξ

dη

)dSx + Cωnu(ξ) (2.6)

elijamos C = 1/ωn en (2.2). Así

ψ(r) =

r2−n

(2− n)ωnn > 2

log r2π

n = 2

Remplazando y despegando en (2.6), obtenemos

u(ξ) =∫

Ωψξ4u dx−

∫∂Ω

(ψξ

dudη− u

dψξ

dη

)dSx (2.7)

Tomando en particular para u en la ecuación (2.7) una función test φ ∈ C∞0 (Ω) tenemos que

φ(ξ) =∫

ψξ4u dx. (2.8)

13

Por lo tanto v = ψξ , define una distribución para

v[4φ] = φ(ξ).

Dado que L = 4 es autóadjunto, podemos interpretar a (2.8), como el funcional v aplicado al laplaciano de unafunción test φ tiene el valor φ(ξ), o que v en el sentido de las distribuciones satisface (1.9). Es decir, es una soluciónfundamental con polo ξ.

Teorema 2.3. Sea Ω ⊂ Rn, u ∈ C2(Ω), ξ ∈ Ω. Si4u ≥ 0 en la bola B(ξ, ρ) ⊂ Ω entonces

u(ξ) ≤ 1ωnρn−1

∫S(ξ,ρ)

u(x) dSx (2.9)

Demostración. Utilizamos el teorema anterior y tomamos la función G(x, ξ) = ψξ − ψ(ρ) en ves de ψξ . Como ladiferencia entre ambas funciones es constante, por tanto armoníca y siguen cumpliendo (2.1) por tanto la fórmulasigue siendo valida,

u(ξ) =∫

B(ξ,ρ)G(x, ξ)4u dx−

∫S(ξ,ρ)

(G(x, ξ)

dudη− u(x)

dG(x, ξ)

dη

)dSx

Como ψξ = ψ(ρ) en la frontera, es decir en S(ξ, ρ), entonces G(x, ξ) = 0 sobre la superficie. Así

u(ξ) =∫

B(ξ,ρ)G(x, ξ)4u dx +

∫S(ξ,ρ)

(u(x)

dG(x, ξ)

dη

)dSx. (2.10)

Además

dGdη

= ψ′(ρ)

=

[(1

(2− n)ωn

)((2− n)ρ1−n

(xi − ξi

ρ

))]·(

xi − ξiρ

)= ∑

i

ρ−n−1

ωn(xi − ξi)

2

=ρ−n−1

ωn∑

i(xi − ξi)

2

=ρ−n−1

ωnρ2

=1

ωnρn−1 .

Remplazando dGdη en (2.10) tenemos que

u(ξ) =∫

B(ξ,ρ)G(x, ξ)4u dx +

∫S(ξ,ρ)

(u(x)

1ωnρn−1

)dSx.

14

Como4u ≥ 0 y G(x, ξ) es creciente, por lo tanto G(x, ξ) es negativa en el interior de B(ξ, ρ), entonces

u(ξ) =∫

B(ξ,ρ)G(x, ξ)4u dx +

∫S(ξ,ρ)

(u(x)

1ωnρn−1

)dSx

≤∫

S(ξ,ρ)

(u(x)

1ωnρn−1

)dSx

=1

ωnρn−1

∫S(ξ,ρ)

u(x) dSx.

Corolario 2.1. (Ley de Gauss de la media aritmética) Sea Ω ⊂ Rn, u ∈ C2(Ω), ξ ∈ Ω. Si4u = 0 en la bola B(ξ, ρ) ⊂ Ωentonces

u(ξ) =1

ωnρn−1

∫S(ξ,ρ)

u(x) dSx.

Demostración. Como4u = 0 en la bola B(ξ, ρ)∫B(ξ,ρ)

G(x, ξ)4u(x) dx = 0.

Así

u(ξ) =∫

B(ξ,ρ)G(x, ξ)4u(x) dx +

∫S(ξ,ρ)

(u(x)

1ωnρn−1

)dSx

=∫

S(ξ,ρ)

(u(x)

1ωnρn−1

)dSx

=1

ωnρn−1

∫S(ξ,ρ)

u(x) dSx

Una función u continua en Ω es llamada subarmónica, si para cada ξ ∈ Ω la desigualdad (2.9) se cumple para todoρ suficientemente pequeño. Así las funciones en C2(Ω) con4u ≥ 0 son subarmónicas.

La fórmula (2.8) expresa que ψξ es una solución fundamental para4, otro aspecto de esta propiedad es la fórmulade Poisson

u(ξ) = 4ξ

∫Ω

ψξ u(x) dx

valido para u ∈ C2(Ω) y ξ ∈ Ω, donde4ξ es el operador de Laplace tomado con respecto a la variable ξ. Así dadou ∈ C2(Ω) la fórmula de Poisson se sigue de (2.1) y (1.9)

4ξ

∫ψξu(x) dx =

∫(4ξ ψ(|x− ξ|))u(x) dx

=∫(4xψ(|x− ξ|))u(x) dx

=∫

δξ(x)u(x) dx = u(ξ)

15

Para una deducción mas rigurosa, primero asumamos que u ∈ C20(Ω). Entonces por (2.7) y para ξ ∈ Ω, tenemos

u(ξ) =∫

Ωψξ4xu(x) dx =

∫ψξ4xu(x) dx.

La última es la integral sobre todo el espacio. Esta se cumple para todo ξ ya que para determinada u ∈ C20(Ω),

nada cambia cuando Ω es remplazado por cualquier conjunto abierto grande que contenga a ξ. Con y = x − ξcomo variable de integración tenemos

u(ξ) =∫

ψ(|x− ξ|)4xu(x) dx

=∫

ψ(|y|)4yu(y + ξ) dy

=∫

ψ(|y|)4ξu(y + ξ) dy

= 4ξ

∫ψ(|y|)u(y + ξ) dy

= 4ξ

∫ψ(|x− ξ|)u(x) dx

= 4ξ

∫ψξ u(x) dx

el cual confirma la fórmula de Poisson.

2.2. Principio del Máximo

Una de las mas importantes herramientas en la teoría de las funciones armónicas es el principio del máximo,similar para funciones analíticas complejas. En esta sección vamos a asumir que Ω es acotado, abierto y conexo enRn. Primero se probara una forma débil del principio.

Teorema 2.4. Sea u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω), y sea4u ≥ 0 en Ω, entonces

maxΩ

u = max∂Ω

u

Demostración. En primer lugar el máximo existe ya que u es continua en el compacto Ω. Si suponemos que4u > 0en Ω, como u no puede asumir su máximo en cualquier punto ξ ∈ Ω así por el criterio de la segunda derivada,∂2u/∂x2

k ≤ 0 en ξ para todo k y por lo tanto4u ≤ 0.

En el caso 4u ≥ 0 hacemos uso de la función auxiliar v = |x|2 para la cual 4v > 0. Entonces para cualquierconstante ε > 0, la función u + εv pertenece a C2(Ω) ∩ C0(Ω) y satisface que4(u + εv) > 0 en Ω. Por lo tanto

maxΩ

(u + εv) = max∂Ω

(u + εv)

asímax

Ωu + max

Ωεv ≤ max

∂Ωu + max

∂Ωεv

16

para ε→ 0, obtenemosmax

Ωu = max

∂Ωu

Teorema 2.5. Suponga que u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) es armónica en Ω. Entonces

mınΩ

u = mın∂Ω

u

Demostración. Aplicando el teorema anterior a −u, así −mın u = max(−u), por tanto

−mınΩ

u = maxΩ

(−u) = max∂Ω

(−u) = −mın∂Ω

u

Teorema 2.6. Si u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) es armónica en Ω. Entonces

maxΩ|u| = max

∂Ω|u|

Demostración. Consecuencia directa del Teorema 2.4 y Teorema 2.5.

Corolario 2.2. Una función u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) es determinada de forma única por los valores de4u en Ω y de u en ∂Ω.

Demostración. Tal y como vimos en el Lema 2.2, si existen u1 y u2 soluciones al problema de Dirichlet en Ω, sudiferencia u = u1− u2 seria solución del problema con4u ≡ 0 y u

∣∣∂Ω ≡ 0. Además como u es armónica podemos

usar el principio del máximo para el valor absoluto

maxΩ|u| = max

∂Ω|u|,

pero max∂Ω|u| = 0 por lo tanto u ≡ 0, de lo cual u1 = u2.

Una versión mas fuerte del Principio del Máximo influenciada del teorema (2.3) es la siguiente:

Teorema 2.7. Sea u ∈ C2(Ω) y4u ≥ 0 en Ω. Entonces u es constante, o

u(ξ) < supΩ

u Para ξ ∈ Ω.

Demostración. Sea M = sup u y descompongamos a Ω en dos conjuntos disyuntos

Ω1 = ξ ∈ Ω : u(ξ) = M

Ω2 = ξ ∈ Ω : u(ξ) < M.

17

El conjunto Ω2 es abierto por la continuidad de u. Veamos que Ω1 también es abierto. Como u es subarmónica,hacemos uso de (2.9) para un ρ suficientemente pequeño

u(ξ) ≤ 1ωnρn−1

∫S(ξ,ρ)

u(x) dSx

0 ≤∫

S(ξ,ρ)u(x) dSx −ωnρn−1u(ξ)

=∫

S(ξ,ρ)(u(x)− u(ξ)) dSx

=∫

S(ξ,ρ)(u(x)−M) dSx

ya que u(x)−M es continua y menor a cero. Entonces u(x)−M = 0 en cada esfera suficientemente pequeña concentro ξ. Por lo tanto, para todo x en una vecindad de ξ pertenece a Ω1, es decir x ∈ Vξ ⊂ Ω1. Así Ω1 es abierto.Por definición de conjunto abierto conexo, Ω1 o Ω2 es vacío, lo que demuestra el principio.

2.3. El problema de Dirichlet y la fórmula de Poisson

En esta sección tomaremos la fórmula de representación integral dada en el Teorema 2.2 y tal como vimos en elTeorema 2.3 no se ve afectada si sustituimos a ψξ por una G(x, ξ) = ψξ + v(x, ξ) para x ∈ Ω, ξ ∈ Ω, x 6= ξ y dondev(x, ξ) para ξ ∈ Ω es una solución de4v = 0, de clase C2(Ω). Si escogemos una v(x, ξ) de manera que G(x, ξ) = 0para ξ ∈ ∂Ω y ξ ∈ Ω, obtenemos

u(ξ) =∫

ΩG(x, ξ)4u dx +

∫∂Ω

(u(x)

dG(x, ξ)

dη

)dSx (2.11)

Lo anterior nos da una expresión para la solución del problema de Dirichlet en Ω.

Definición. Llamaremos la función de Green del recinto Ω y polo ξ para el problema de Dirichlet, si G(x, ξ) =

ψξ + v(x, ξ) para v(x, ξ) armónica en Ω y G(x, ξ) = 0 en ∂Ω.

Ahora para construir G en general tenemos que encontrar una v armónica con v = −ψ en ∂Ω esto es de nuevo unproblema de Dirichlet. Sin embargo, G puede ser producida de forma explícita. En particular en el caso cuando Ωes una bola; entonces G se puede obtener por la reflexión llevándonos a la fórmula integral de Poisson. Basta conresolver el problema de Dirichlet en un disco circular ya que la ecuación de Laplace es invariante bajo aplicacionesconformes.

Para derivar la fórmula integral de Poisson para la solución del problema de Dirichlet, tomamos la bola de radio ay centro en 0.

Ω = B(0, a) = x : |x| < aQueremos encontrar una función armónica tal que al sumarla con ψξ se anule sobre los puntos en la frontera.Tomemos un ξ cualquiera en B(0, a) y a ξ∗ la reflección de ξ con respecto a ∂Ω,

ξ∗ =a2

|ξ|2 ξ.

18

Calculemos la distancia de ξ∗ a un punto x ∈ ∂Ω. Ya que |ξ∗| = a2/|ξ|

|x− ξ∗|2 = a2 + |ξ∗|2 − 2a|ξ| cos(φ− φ0)

= a2 +a4

|ξ|2 − 2a3

|ξ| cos(φ− φ0)

=a2

|ξ|2 (|ξ|2 + a2 − 2a|ξ| cos(φ− φ0))

=a2

|ξ|2 |x− ξ|2

Tomando a r = |x− ξ| y r∗ = |x− ξ∗|, obtenemos,

r∗

r=

a|ξ| . (2.12)

Para n > 2 la solución fundamental con polos ξ y ξ∗,

ψξ(r) =1

(2− n)ωnr2−n y ψξ∗(r) =

1(2− n)ωn

r∗2−n.

De (2.12),

ψξ∗(r) = ψξ(r)(

a|ξ|

)2−n.

Entonces

G(x, ξ) = ψξ −(|ξ|a

)2−nψξ∗

que se anula en x ∈ ∂Ω. Como ξ∗ /∈ Ω la función ψξ∗ es armónica en Ω. Por lo tanto G(x, ξ) es una función deGreen. En el caso especial donde4u = 0 en Ω y u ∈ C2(Ω), la forma (2.11) se reduce a

u(ξ) =∫|x|=a

u(x)dG(x, ξ)

dηdSx.

Además

dGdη

= ψ′ξ(r)−(|ξ|a

)2−nψ′ξ∗(r)

=

[((2− n)r1−n

(2− n)ωn

)(xi − ξi

r

)−(|ξ|a

)2−n ((2− n)r∗1−n

(2− n)ωn

)(xi − ξ∗i

r∗

)]·( xi

a

)=

[(1

ωn

)r−n(xi − ξi)−

(|ξ|a

)2−n ( 1ωn

)r∗−n (xi − ξ∗i )

]·( xi

a

)= ∑

i

1aωn

[r−n(x2

i − ξixi)−(|ξ|a

)2−nr∗−n(x2

i − ξ∗i xi)

]

=1

aωn

[r−n ∑

ix2

i −(|ξ|a

)2−nr∗−n ∑

ix2

i − r−n ∑i

ξixi +

(|ξ|a

)2−nr∗−n ∑

iξ∗i xi

]

19

=1

aωn

[r−na2 − |ξ|

2−n

a2−n

a−n

|ξ|−n r−na2 − r−n ∑

iξixi +

|ξ|2−n

a2−na−n

|ξ|−n r−n ∑i

ξ∗i xi

]

=1

aωn

[a2 − |ξ|2|x− ξ|n − r−n ∑

iξixi +

|ξ|

2

a2 r−n ∑i

a2

|ξ|2 ξixi

]

=1

aωn

[a2 − |ξ|2|x− ξ|n −

r−n ∑

iξixi +

r−n ∑

iξixi

]

=1

aωn

a2 − |ξ|2|x− ξ|n

Definición. Llamaremos El núcleo de Poisson a la función H dada por

H(x, ξ) =1

aωn

a2 − |ξ|2|x− ξ|n (2.13)

Definición. Para4u = 0 ∈ Ω, u ∈ C2(Ω) y |ξ| < a, llamamos a la fórmula integral de Poisson como

u(ξ) =∫|x|=a

H(x, ξ)u(x) dSx

Teorema 2.8. Sea f continua para |x| = a. Entonces la función u(ξ) dada por f (ξ) para |ξ| = a y por

u(ξ) =∫|x|=a

H(x, ξ) f (x) dSx

para |ξ| < a, es continua para |ξ| ≤ a, y pertenece a C∞ y armónica para |ξ| < a.

Demostración. La prueba sigue de las siguientes propiedades de H:

(a) H(x, ξ) ∈ C∞ para |x| ≤ a, |ξ| < a, x 6= ξ.

(b)4ξ H(x, ξ) = 0 para |ξ| < a, |x| = a.

(c)∫|x|=a H(x, ξ) dSx = 1 para |ξ| < a.

(d) H(x, ξ) > 0 para |x| = a, |ξ| < a.

(e) Si |ζ| = a, entonceslımξ→ζ|ξ|<a

H(x, ξ) = 0

uniformemente en x para |x− ζ| > δ > 0.

La propiedad (a) y (d) salen de como se definió (2.13). Igualmente para la propiedad (e) dado que |x − ζ| > δ,tenemos

1|x− ζ| <

1δ

1|x− ζ|n <

1δn

a2 − |ξ|2|x− ζ|n <

a2 − |ξ|2δn .

20

Cuando ξ → ζ, entonces |ξ| → a y por (d), tenemos

0 <a2 − |ξ|2|x− ζ|n <

a2 − a2

δn = 0.

Por lo tantolımξ→ζ|ξ|<a

H(x, ξ) = 0.

En la propiedad (b) tenemos que

H(x, ξ) = ∇xG(x, ξ) ·( xi

a

)4ξ H(x, ξ) = 4ξ

(∇xG(x, ξ) ·

( xia

))=

1a4ξ

[∑

i

(∂

∂xiG(x, ξ)xi

)]

=1a ∑

j

∂2

∂ξ2j

[∑

i

(∂

∂xiG(x, ξ)xi

)]

=1a ∑

ixi

[∑

j

∂2

∂ξ2j

(∂

∂xiG(x, ξ)

)]

=1a ∑

ixi

[∑

j

∂

∂xi

(∂2

∂ξ2j

G(x, ξ)

)]

=1a ∑

ixi

∂

∂xi

[∑

j

∂2

∂ξ2j

G(x, ξ)

]

=1a ∑

ixi

∂

∂xi

[4ξ G(x, ξ).

]Como G(x, ξ) es armónica en x y G(x, ξ) = G(ξ, x), entonces

4ξ G(x, ξ) = 0.

Así concluimos que4ξ H(x, ξ) = 0.

Para la propiedad (c), se sigue aplicando la fórmula integral de Poisson´s para u(x) = 1

1 =∫|x|=a

H(x, ξ)dSx.

Ahora derivando bajo el signo integral encontramos inmediatamente de (a) que

u(ξ) =∫|x|=a

H(x, ξ) f (x) dSx ∈ C∞

21

y de (b) que

4ξ u(ξ) = 4ξ

(∫|x|=a

H(x, ξ) f (x) dSx

)= 0 Para |ξ| < a

Queda por demostrar la continuidad de u para |ξ| ≤ a. Sea |ζ| = a, |ξ| < a. Por (c)

u(ξ)− f (ζ) =∫|x|=a

H(x, ξ)u(x) dSx − f (ζ)

=∫|x|=a

H(x, ξ) f (x) dSx − f (ζ)∫|x|=a

H(x, ξ) dSx

=∫|x|=a

H(x, ξ) f (x) dSx −∫|x|=a

H(x, ξ) f (ζ) dSx

=∫|x|=a

H(x, ξ)[ f (x)− f (ζ)] dSx

= I1 + I2

dondeI1 =

∫|x−ζ|<δ|x|=a

H(x, ξ)[ f (x)− f (ζ)] dSx , I2 =∫|x−ζ|>δ|x|=a

H(x, ξ)[ f (x)− f (ζ)] dSx

Dado ε > 0, sea δ = δ(ξ) > 0 tan pequeño que

| f (x)− f (ζ)| < ε Para |x− ζ| < δ , |x| = a.

Dado que f es continua entonces

|I1| =∫|x−ζ|<δ|x|=a

H(x, ξ)| f (x)− f (ζ)| dSx

< ε∫|x−ζ|<δ|x|=a

H(x, ξ) dSx

< ε∫|x|=a

H(x, ξ) dSx = ε

Sea max | f (x)| = M para |x| = a. Por (e) podemos encontrar un δ′ tal que

H(x, ξ) <ε

2Mωnan−1 Para |ξ − ζ| < δ′ , |x− ζ| > δ

22

donde δ′ depende de ε y de δ = δ(ξ) > 0. Por lo tanto solo de ε. Entonces

|I2| =∫|x−ζ|>δ|x|=a

H(x, ξ)| f (x)− f (ζ)| dSx

<∫|x−ζ|>δ|x|=a

ε

2Mωnan−1 | f (x)− f (ζ)| dSx

<∫|x−ζ|>δ|x|=a

2ε

2Mωnan−1 dSx

<∫|x−ζ|>δ|x|=a

ε

ωnan−1 dSx

< ε∫|x|=a

1ωnan−1 dSx = ε.

Por lo tanto|u(ξ)− f (ζ)| < 2ε Para |ξ − ζ| < δ′ , |ξ| < a.

Esto muestra que u es continua en los puntos ζ de la frontera.

Como una aplicación que se deriva de lo anterior, podemos dar una estimación para las derivadas de una funciónarmónica u. Tomemos una primera situación, donde Ω es la bola |x| < a, donde u ∈ C2(Ω) y4u = 0 en Ω. Así enξi = 0

∂u(0)∂ξi

=∫|x|=a

∂H(x, ξi)

∂ξiu(x) dSx,

de lo cual

∂H(x, ξi)

∂ξ

∣∣ξi=0 =

∂

∂ξi

(1

aωn

a2 − |ξ|2|x− ξ|n

) ∣∣ξi=0

=1

aωn

[a2n|x|n−2xi|x|2n

]=

nan+1ωn

xi.

Asíuξi (0) =

nan+1ωn

∫|x|=a

xiu(x) dSx

y por lo tanto

|uξi (0)| ≤na

max|x|=a|u(x)|.

Sea 4u = 0 en cualquier conjunto Ω, sea ξ ∈ Ω y con distancia d(ξ) desde la frontera ∂Ω. Aplicando el ultimoresultado a una bola de radio a < d(ξ) con centro en ξ, para a→ d(ξ) obtenemos al desigualdad

|uξi |(ξ) ≤n

d(ξ)sup

Ω|u|. (2.14)

Teorema 2.9. (Teorema de Liouville) Si u es acotada y armónica en R, entonces u es constante.

23

Demostración. Si |u| ≤ M entonces por (2.14)

|uξi |(ξ) ≤Mnd(ξ)

.

para d(ξ) > 0. Tomando el limite de d(ξ)→ ∞ podemos concluir que Du = 0 así u es constante.

Función de Green en el semiplano. Sea x2 > 0, para ξ = (ξ1, ξ2) y ξ∗ = (ξ1,−ξ2). La solución fundamental para n = 2es

ψξ(r) =ln r2π

así como r = |x− ξ| =√(x1 − ξ1)2 + (x2 − ξ2)2

ψξ(x1, x2) =1

4πln((x1 − ξ1)

2 + (x2 − ξ2)2)

ya que el borde de x2 > 0 es x2 = 0, obtenemos

ψξ(x1, 0) =1

4πln((x1 − ξ1)

2 + ξ22).

Buscamos ahora una v(x, ξ) tal que G(x, ξ) = 0 para x ∈ ∂Ω, ξ ∈ Ω. Así

vξ(x1, 0) = − 14π

ln((x1 − ξ1)2 + ξ2

2).

Como ξ∗ es definido por la reflección,

vξ(x1, x2) = −1

2πln |x− ξ∗| = − 1

4πln((x1 − ξ1)

2 + (x2 + ξ2)2)

que es armónica dado que ξ∗ no pertenece al semiplano x2 > 0. De lo cual tenemos la función de Green en elsemiplano x2 > 0 viene dada por

Gξ(x1, x2) =1

4πln((x1 − ξ1)

2 + (x2 − ξ2)2)− 1

4πln((x1 − ξ1)

2 + (x2 + ξ2)2)

=1

2πln|x− ξ||x− ξ∗| .

Ahora el núcleo de Poisson para x2 > 0, viene dado por

Hξ(x1, x2) =dGξ(x1, 0)

dη= −

dGξ(x1, 0)dx2

= −[

14π

2(x2 − ξ2)

(x1 − ξ1)2 + (x2 − ξ2)2 −1

4π

2(x2 + ξ2)

(x1 − ξ1)2 + (x2 + ξ2)2

]= −

[− 1

2π

ξ2

(x1 − ξ1)2 + ξ22− 1

2π

ξ2

(x1 − ξ1)2 + ξ22

]

= −[− 1

π

ξ2

(x1 − ξ1)2 + ξ22

]

=1π

ξ2

(x1 − ξ1)2 + ξ22

.

24

Por lo tanto, la fórmula de Poisson para x2 > 0 viene dado por

u(ξ) = u(ξ1, ξ2) =1π

∫ ∞

−∞

ξ2 f (x1)

(x1 − ξ1)2 + ξ22

dx1.

Lema 2.4. (Desigualdad de Harnack) Sea u ∈ C2 para |x| < a; u ∈ C0 para |x| ≤ a; u ≥ 0, 4u = 0 para |x| < a.Entonces para |ξ| < a

an−2(a− |ξ|)(a + |ξ|)n−1 u(0) ≤ u(ξ) ≤ an−2(a + |ξ|)

(a− |ξ|)n−1 u(0)

Demostración. Primero veamos que

u(0) =1

aωn

∫|x|=a

a2 f (x)|x|n dSx

=1

an−1ωn

∫|x|=a

f (x) dSx

Por desigualdad triangular sabemos que, a− |ξ| ≤ |x− ξ| ≤ a + |ξ|. Entonces

u(ξ) =a2 − |ξ|2

aωn

∫|x|=a

f (x)|x− ξ|n dSx

≤ 1aωn

(a + |ξ|)(a− |ξ|)(a− |ξ|)n

∫|x|=a

f (x) dSx

=1

aωn

(a + |ξ|)(a− |ξ|)n−1

∫|x|=a

f (x) dSx

=an−2(a + |ξ|)(a− |ξ|)n−1 u(0)

y por la desigualdad restante

u(ξ) =a2 − |ξ|2

aωn

∫|x|=a

f (x)|x− ξ|n dSx

≥ 1aωn

(a− |ξ|)(a + |ξ|)n−1

∫|x|=a

f (x) dSx

=an−2(a− |ξ|)(a + |ξ|)n−1 u(0)

25

CAPÍTULO 3

Solución del problema de Dirichlet por métodos de Espacios de Hilbert

Nosotros refórmulamos el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace, como el problema representa uncierto funcional acotado φ en un espacio de Hilbert como un producto interno (u, v). En la versión usual delproblema uno mira que para una función U

4U = 0 en ΩU = f en ∂Ω.

Suponiendo que f no solo esta dado en ∂Ω, si no también a lo largo de Ω, podemos ver que la función v = U − fpara el cual

v = 0 en ∂Ω4v = −w en Ω.

(3.1)

con w = 4 f dado. Por simplicidad nos limitaremos a un conjunto conexo, abierto y acotado Ω, al que se aplica elTeorema de la Divergencia. En el espacio de funciones de clase C1(Ω), definimos la forma bilíneal (u, v) por

(u, v) =∫

Ω∑k

uxk vxk dx (3.2)

Con esta definición el espacio C1(Ω) no es un espacio con producto interno, ya que (u, u) = 0 tiene soluciones

que no se desvanecen cuando u = c, para c constante. Denotemos por C10(Ω)

el subéspacio de funciones u en

C1(Ω) que se desvanecen en ∂Ω y utilizando a (u, v) como producto interno en C10 con la correspondiente norma

cuadrada dada por la integral de Dirichlet

||u||2 = (u, u) =∫

Ω∑k

u2xk

dx (3.3)

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Sea v ∈ C2(Ω) una solución de (3.1) donde dado w en C0(Ω). Entonces para algún u ∈ C10(Ω)

tenemos por (1.3)

(u, v) =∫

Ω∑k

uxk vxk dx

= −∫

Ωu4v dx

=∫

Ωuw dx.

Esto sugiere que v se puede encontrar por una simple representación de un conocido funcional lineal en u

φ(u) =∫

uw dx (3.4)

como un producto interno (u, v) para hacer uso del Teorema de Representación de Riez [Bre10, p. 135] tenemos

que completar C10 (Ω) en un espacio de Hilbert H1

0 (Ω) con respecto a la norma de Dirichlet (3.3). Para mostrar queφ(u) definido por (3.4) da aumento a un funcional lineal acotado en ese espacio. Nuestra versión modificada delproblema de Dirichlet es entonces el siguiente:

Encontrar a v ∈ H10 (Ω), tal que

(u, v) = φ(u) para todo u ∈ H10 (Ω)

donde (u, v) y φ están definidos por (3.2), (3.4) en C10 y por extensión en H1

0 .

Para mostrar que el funcional φ es acotado solo es ver que |φ(u)| ≤ N||u|| así que por desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos (∫

Ωuwdx

)2≤∫

Ωu2 dx

∫Ω

w2 dx

basta mostrar que existe un N tal que ∫Ω

u2 dx ≤ N||u||2 (3.5)

Mostraremos primero esta desigualdad de Poincaré para u ∈ C10(Ω). Sea Ω acotado y encerrado en un cubo

Γ : |xi| ≤ a para i = 1, 2, ..., n

y u idénticamente cero fuera de Ω. Entonces para algún x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Γ

u2(x) =(∫ x1

−aux1(ξ1, x2, · · · , xn) dξ1

)2

≤(∫ x1

−adξ1

)(∫ x1

−au2

x1dξ1

)= (x1 + a)

(∫ x1

−au2

x1dξ1

)≤ 2a

(∫ a

−au2

x1dξ1

)

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integrando en ambos lados de −a a a respecto a x1∫ a

−au2(x) dx1 ≤

(∫ a

−a2a dx1

)(∫ a

−au2

x1dξ1

)= 4a2

∫ a

−au2

x1dξ1

integrando sobre x2, · · · , xn de −a a a encontramos∫Γ

u2 dx ≤ 4a2∫

Γ∑k

u2xk

dx

el cual implica ∫Ω

u2 dx ≤ 4a2∫

Ω∑k

u2xk

dx = N||u||2

con N = 4a2. Un elemento u ∈ H10 es representado por una sucesión de Cauchy u1, u2, · · · ∈ C1

0(Ω)

para el cual

lımj,k→∞

||uk − uj|| = 0.

Por (3.5) esto implica también

lımj,k→∞

∫Ω(uk − uj)2 dx = 0.

Por (3.4) y Cauchy-Schwarz, φ(uk) forma una sucesión de Cauchy y podemos definir φ para u ∈ H10 por

φ(u) = lımk→∞

φ(uk)

donde también||u|| = lım

k→∞||uk||.

La desigualdad |φ(u)| ≤ N||u|| para u ∈ C10(Ω)

implica la misma desigualdad para u ∈ H10 . Se encuentra

entonces que φ puede ser extendido del espacio de Hilbert H10 como un funcional lineal acotado. El teorema de

representación [Bre10, p. 135] garantiza la existencia de v en H10(Ω) para el cual resuelve nuestro problema de

Dirichlet modificado.

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Conclusiones

Las soluciones fundamentales y la Identidad de Green son cruciales, en la teoría del operador de Laplace. Deahí deducimos fórmulas importantes como la fórmula de Poisson, la fórmula de Green y la fórmula integral dePoisson. En el caso cuando Ω es una bola en Rn se puede dar una solución explicita a la ecuación de Poisson concondiciones de frontera de Dirichlet.

En contraste se pueden encontrar soluciones debíles al mismo problema usando el Teorema de Representación deRiez, en el espacio de Hilbert H1

0 .

También tenemos aplicaciones que se deducen del estudio al operador de laplace, como el teorema de Liouville.Una consecuencia importante es la relación de esta teoría con la fisíca. Si tenemos una función armónica en unrecinto acotado, en cuya frontera la función toma un valor constante, entonces la función es constante también enel interior del recinto. Esto se debe a que la función alcanza su máximo y su mínimo en el borde del recinto. Si lafunción es constante en el borde, el máximo y el mínimo son iguales. Por tanto, como el gradiente de la funciónserá nulo, el campo asociado a este potencial será nulo. Es lo que sucede en los conductores en electrostática, enlos cuales la carga se distribuye por el borde del conductor, anulándose el campo el éctrico en el interior.

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Bibliografía

[ABR01] S. Axel, P. Bourdon, and W. Ramey. Harmonic Function Theory. Springer Verlag, 2001.

[Bre10] H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer Verlag, 2010.

[Eva97] L. C. Evans. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1997.

[Joh81] F. John. Partial Differential Equations. Springer Verlag, 4 edition, 1981.

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