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Optica Fisica I Problemas Resueltos

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Libro optica fisica carreño con ejercicios resueltos de teoria electromagnetica, medios anisotropos, propagacion en fronteras entre medios y demas problemas de optica fisica nivel universitario de segundo tercero, con tensores y demas.

Text of Optica Fisica I Problemas Resueltos

  • OPTICA FISICA I

    Problemas resueltos

    Fernando Carreno y Miguel Anton

    Facultad de Optica y Optometra

    Universidad Complutense de Madrid

    Septiembre 2014

  • Fernando Carreno y Miguel Angel AntonISBN: 978-84-617-1291-9

  • PROLOGO

    Este libro, destinado a los alumnos de grados tecnicos, esta dividido en tres Temas:

    Tema 1. Movimiento ondulatorio.

    Tema 2. El campo electromagnetico.

    Tema 3. Interaccion de la radiacion con la materia.

    Esta estructurado como sigue:

    Cada Tema tiene introduccion teorica que se ajusta a los criterios de libros habitualmenteempleados en la ensenanza de la optica como por ejemplo el de E. Hetch Optica. Se empleael sistema internacional de unidades.

    Seccion de problemas resueltos con abundantes gracos que ilustran las situaciones experi-mentales consideradas.

    Seccion de problemas propuestos, en los que se indican las soluciones numericas e ilustracionesgracas de las situaciones experimentales consideradas.

    El enunciado de los problemas se efectua de modo que su desarrollo siga procedimientos logicosy que permitan al lector adivinar las conexiones entre los diferentes apartados. Por otro ladohay continuas referencias entre los problemas de los diferentes Temas, en el sentido de que se haninterconexionado los mismos para darle unidad conceptual. En cualquier caso, en la resolucion seha procurado desvelar las estrategias de pensamiento que permiten llegar a las soluciones.

    Ciertos ejercicios son clasicos y sirven para ejercitar los conceptos elementales involucrados, ascomo la estimacion de ordenes de magnitud de las variables tpicas: longitudes de onda, tamanos,trazados opticos, etc. Hemos incorporado una amplia gama de lo que podramos denominarejercicios contextuales: en ellos se plantean situaciones realistas que implican la introduccion aproblemas de otras disciplinas. Los ejercicios contextuales requieren un esfuerzo de pensamientoanadido e involucran la aplicacion de conocimientos globales, no solo de la optica sino tambiende otros campos de conocimiento. Asimismo permiten alcanzar objetivos importantes y a nuestroentender desatendidos en los textos tradicionales:

    Introduce estrategias de pensamiento y resolucion de problemas.

    Permiten la conexion con los contenidos de otras asignaturas, favoreciendo la vision deconjunto de los diferentes contenidos de la disciplina. Esto es mas acorde con la formaen que se produce el conocimiento cientco.

    i

  • ii

    Conecta los aspectos basicos de la asignatura o disciplina con los productos tecnologicosavanzados, instrumentacion optica de muy variados nes y procesos naturales. Se evitara asla compartimentacion de conocimientos habitual que, pensamos, imposibilita una necesariavision de conjunto.

    En esta nueva edicion hemos corregido erratas que nos han hecho llegar diferentes personas alas que manifestamos nuestro agradecimiento. Finalmente, agradecemos por anticipado las crticasy sugerencias que nos hagan llegar los lectores.

    Los autores.Madrid, Septiembre 2014.

  • Contenidos

    1 Movimiento Ondulatorio 1Ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Polarizacion de las ondas. Promedios temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Introduccion al analisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2 El campo electromagnetico 29Ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Energa transportada por las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3 Interaccion de la radiacion con la materia 59Teora clasica de la radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Procesos de esparcimiento y absorcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Reexion y refraccion en medios isotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Medios anisotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    Bibliografa 147

    iii

  • TEMA 1

    Movimiento Ondulatorio

    Ecuacion de ondas

    Cuando una magnitud fsica, M , es perturbada con respecto a su valor en condiciones de equilibrio,y esa perturbacion se traslada a otras regiones del espacio al cabo de un cierto tiempo, decimosque se ha producido un movimiento ondulatorio.

    La ecuacion que describe la propagacion de la perturbacion se denomina ecuacion de ondas.Esta ecuacion se obtiene de principios basicos: as por ejemplo la ecuacion de ondas en una cuerdase obtiene a partir de la segunda ley de Newton; si consideramos las ondas que se propagan en unuido, la ecuacion de ondas se obtiene a partir de las ecuaciones de movimiento de tal uido, etc...

    Si la magnitud perturbada es escalar, hablaremos de ondas escalares, mientras que si lamagnitud perturbada tiene caracter vectorial hablaremos de ondas vectoriales: un ejemplo delprimer tipo seran las ondas en una cuerda o las variaciones de presion en un uido, en tanto queun ejemplo del segundo caso seran los campos electromagneticos.

    Consideremos en primer lugar el caso de ondas escalares que se propagan en la direccion X.La ecuacion de ondas es una ecuacion diferencial en derivadas parciales para la magnitud M . Alo largo del presente libro vamos a considerar solamente aquellos casos en los que la ecuacion deondas es lineal : en estos casos tendremos

    2M

    x2 1v2

    2M

    t2= 0, (I-1)

    donde v es la velocidad de propagacion de las ondas consideradas. En el caso de considerarfenomenos ondulatorios lineales se verica el denominado principio de superposicion.

    Puede demostrarse que las soluciones mas generales de la ecuacion (I-1) son de la forma

    M(x, t) = f(x vt) + g(x+ vt), (I-2)

    donde f y g son funciones arbitrarias que describen la propagacion de ondas progresivas que viajanen las direcciones +X y X respectivamente.

    1

  • 2 Problemas de Optica Fsica I

    Como caso de especial interes cabe mencionar las soluciones armonicas del tipo

    M(x, t) = M0 cos(kx t+ 0), (I-3)

    donde k = 2 es el numero de ondas y =2T = 2 es la frecuencia angular. A la variable M0 se

    la denomina amplitud de la onda. Asimismo a la magnitud se la denomina longitud de onda operiodo espacial, y a T se le denomina periodo temporal. A la inversa del periodo se la denominafrecuencia ( = 1T ). En la ecuacion (I-3) a la variable 0 se la llama fase inicial. El interes delas funciones trigonometricas para expresar movimientos ondulatorios estriba en su sencillez y suspropiedades cclicas. Justamente el teorema de Fourier, que veremos brevemente mas adelante,permite expresar cualquier perturbacion en terminos de estas funciones elementales.

    A la variable = kx t + 0 se la denomina fase de la onda. Sustituyendo la expresion(I-3) en (I-1) vemos que ha de satisfacerse la siguiente relacion

    = kv, o sea =v

    . (I-4)

    Al lugar geometrico de los puntos del espacio que verica que la fase de la onda es constante sele denomina frente de ondas. En el caso de ondas como la indicada en (I-3), el frente de ondas esun plano, de ah que se diga de estas ondas que son planas. Notese adicionalmente que si en (I-3)la variable M0 no depende de la variable espacial o temporal, diremos que se trata de una ondaplana homogenea, por contraposicion al caso en el que M0 =M0(t, x) (onda inhomogenea).

    Cuando la direccion en la que se produce la perturbacion y la direccion en la que se propagason coincidentes hablaremos de ondas longitudinales mientras que cuando ambas direcciones sonperpendiculares entre s hablaremos de ondas transversales.

    En el caso de que la magnitud perturbada tenga caracter vectorial, ~M = (Mx,My,Mz), laecuacion de ondas vendra dada por

    2Mxx2

    1v2

    2Mxt2

    = 0,

    2Myy2

    1v2

    2Myt2

    = 0, (I-5)

    2Mzz2

    1v2

    2Mzt2

    = 0,

    cuando el sistema de coordenadas elegidas es cartesiano y los vectores unitarios son ux, uy y uz. Laecuacion (I-5) puede escribirse de forma compacta en terminos del operador diferencial laplacianocomo

    2 ~M 1v2

    2 ~M

    t2= ~0. (I-6)

    En el caso de ondas tridimensionales las soluciones armonicas tendran la forma

    ~M (~r, t) = ~M0 cos(~k ~r t+ 0), (I-7)

    donde ~k = (kx, ky, kz) =2 (cos()ux + cos()uy + cos()uz) es el vector de propagacion, , y

    son los cosenos directores y ~r = (x, y, z) determina las coordenadas del punto de observacion. Eneste caso el frente de ondas en un instante de tiempo dado, t0, es un plano cuya ecuacion esta dadapor

    kxx+ kyy + kzz = cte. (I-8)

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 3

    Finalmente cabe considerar otras soluciones mas generales de la ecuacion (I-5) que son lasdenominadas ondas esfericas cuya expresion viene dada por

    ~M(~r, t) =~M0r

    cos(kr t+ 0), (I-9)

    donde r = |~r|. En este caso los frentes de ondas son esferas y la amplitud de la perturbaciondisminuye inversamente con la distancia, cosa que no ocurre en las ondas planas.

    Polarizacion de las ondas. Promedios temporales

    En el caso de las ondas transversales se suele hablar de la nocion de polarizacion. Para ellotengamos en cuenta que si los vectores ~k y ~M0 no son colineales, entonces determinan un plano quese denomina plano de polarizacion. Por simplicidad consideremos dos ondas planas que se propaganen la direccion del eje Y , cuyas amplitudes son M1 y M2, tienen la misma frecuencia y vibran endirecciones perpendiculares entre s, o sea

    Mx(~r, t) = M1 cos(ky t+ 1),y (I-10)

    Mz(~r, t) = M2 cos(ky t+ 2),

    donde 1 y 2 son constantes (independientes del tiempo). La onda resultante sera la suma deambas ondas y tendra la misma frecuencia, si bien el plano de polarizacion de la onda resultantepuede ser jo o cambiante. En efecto, si considaremos una posicion ja del espacio y = y0 yanalizamos como evoluciona la resultante en funcion del tiempo se tendran los siguientes casos1:

    1 = 2 + 2m con m un numero entero: el vector resultante en cada instante de tiempo seencuentra contenido en una lnea recta que forma un angulo = tan1

    (M2M1

    )con el eje X. Al

    angulo se le denomina azimut. En este caso se dice que la onda resultante esta linealmentepolarizada.

    1 = 2+(2m+1) con m un numero entero: el vector resultante en cada instante de tiempose encuentra contenido en una lnea recta que forma un angulo = tan1

    (M2M1

    )con el

    eje X. Al angulo se le denomina azimut. En este caso se dice que la onda resultante estalinealmente polarizada.

    1 = 2+(2m+1)2 , con m un numero entero yM1 =M2: en este caso el vector resultante encada instante de tiempo describe una circunferencia. Diremos entonces que la onda resultanteesta circularmente polarizada. Si la recorre en sentido horario diremos que es dextrogiray si lo hace en sentido antihorario diremos que es levogira.

    En el resto de los casos diremos que se trata de ondas elpticamente polarizadas. De nuevoel sentido de recorrido las distinguira entre dextrogira y levogira.

    Queda un ultimo caso en el que 1 y 2 cambian con el tiempo de manera completamenteazarosa, de modo que el plano de polarizacion cambiara tambien al azar, en cuyo caso diremos quela onda esta despolarizada.

    1Para convencerse de ello basta escribir la ecuacion (I-10) en forma parametrica.

  • 4 Problemas de Optica Fsica I

    Para detectar las ondas cuya frecuencia es elevada, piensese por ejemplo las frecuencias opticasdel orden de 1015 Hz, se usan sensores que no responden instantaneamente a la perturbacion, demanera que realmente proporcionan un promedio o, en otras palabras, integran la senal durante uncierto intervalo de tiempo: as por ejemplo si se emplea una pelcula fotograca para registrar unaescena debemos determinar la exposicion adecuada; si empleamos una fotocelula para determinarla cantidad de luz, el tiempo que tarda en cambiar la fotocelula es del orden de 109 segundos, quees sensiblemente superior al periodo temporal de la la onda luminosa.

    Si llamamos T al tiempo caracterstico de cambio de una onda, entonces el promedio de la senalU(t) se determina mediante

    U = 1T

    t+T/2tT/2

    U(t) dt, (I-11)

    donde U(t) estara asociada a la magnitud perturbada (energa por ejemplo). Puede ocurrir que elpromedio dependa de T explcitamente.

    Introduccion al analisis de Fourier

    Las ondas armonicas puras como la expresada por la ecuacion (I-3) no tienen existencia fsica.En general las perturbaciones ondulatorias tienen una duracion temporal nita y, equivalentemente,estan acotadas espacialmente. Sin embargo podemos analizar los fenomenos ondulatorios con ondasarmonicas y, teniendo en cuenta el principio de superposicion, podremos conocer los fenomenosondulatorios reales si somos capaces de expresar estos en terminos de funciones armonicas. Elteorema de Fourier nos permite realizar este estudio.

    En la version sencilla el teorema de Fourier se enuncia como sigue: dada una funcion f quedepende de la variable x y cuyo periodo de repeticion es 0, puede descomponerse esta funcion comouna suma de funciones armonicas de diferentes amplitudes y periodos que son multiplos de 0. Laecuacion que traduce este enunciado es como sigue:

    f(x) =A02

    +j=1

    Aj cos

    (j2

    0x

    )+

    j=1

    Bj sin

    (j2

    0x

    ), (I-12)

    donde los coecientes se determinan a partir de la siguiente ecuacion

    Aj =2

    0

    00

    f(x) cos

    (j2

    0x

    ), (j = 0, 1, ...) ,

    y (I-13)

    Bj =2

    0

    00

    f(x) sin

    (j2

    0x

    ), (j = 1, ...) .

    Notese que f0 =20

    es lo que se denomina frecuencia fundamental. El termino A0 es un fondoconstante que da una idea del valor medio de la senal en un periodo. Lo que nos indica la ecuacion(I-13) es sencillamente que la senal f(x) puede descomponerse como suma de senales armonicas queson multiplos enteros de la frecuencia fundamental junto con el fondo. Al conjunto de frecuenciasinvolucradas se le denomina contenido espectral de la senal (este conjunto puede ser nito o innitonumerable).

    La demostracion del teorema de Fourier se puede encontrar en textos de Analisis Matematico,donde se analiza las condiciones de continuidad y convergencia de la serie de Fourier. De particular

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 5

    interes resulta el elegir adecuadamente el sistema de ejes para computar los coecientes Aj y Bj,dependiendo de la paridad de la funcion.

    Es preciso notar que en la ecuacion (I-13) la variable x puede ser una coordenada espacial ouna variable temporal, dependiendo del tipo de senal que estemos analizando.

    Existe otra version del teorema de Fourier que sirve para analizar senales que tienen un comienzoy un nal, o sea, estan acotadas. En este caso se habla de la transformada de Fourier de la funcionf(x) que viene dada por

    F() =

    f(x)eixdx. (I-14)

    Puede demostrarse que si se verica que |f(x)|

  • 6 Problemas de Optica Fsica I

    PROBLEMAS RESUELTOS

    Ecuacion de ondas

    1.1 La ecuacion de una cierta onda es

    y(x, t) = 10 sin [2 (2x 100t)] , (1.1)

    donde x e y se miden en metros y t en segundos. Calcular:

    La amplitud.A la vista de la ecuacion (1.1) deducimos que la amplitud de la onda es 10 metros, sibien no se especica a que tipo de perturbacion esta asociada dicha expresion.

    La longitud de onda.De la ecuacion (1.1) vemos que el numero de ondas es k = 22 = 2 (m

    1), por lo quela longitud de onda es = 0.5 m.

    La frecuencia.A partir de la ecuacion (1.1) vemos que la frecuencia de la onda es = 100 Hz. Por lotanto la frecuencia angular de la onda es = 200 rad s1.

    La velocidad de propagacion de la onda.Es bien conocido que la expresion (1.1) es la de una onda plana, por lo que la velocidadde fase vendra dada por vf =

    k = 50 ms

    1.

    Dibujar la onda en un instante de tiempo dado mostrando la longitud deonda.En la Figura 1.1 se muestra un tramo de la onda a partir de x = 0 en el instantet = 0 segundos. Asimismo se ha senalado la distancia que equivale al periodo espacial olongitud de onda.

    Considerar que la expresion (1.1) corresponde a las ondas transversalesproducidas en una cuerda uniforme de masa M y longitud L muy grande.Determinar la velocidad instantanea de desplazamiento de un punto de lacuerda.En este caso la magnitud y(x, t) de la ecuacion (1.1) representa el desplazamientotransversal de un punto de la cuerda cuya coordenada es x en funcion del tiempo.De este modo la velocidad con la que se desplaza transversalmente ese punto se puedeestablecer como

    vy =y(x, t)

    t= 2000 cos [2 (2x 100t)] , (ms1). (1.2)

    Siguiendo con el caso del enunciado anterior determinar la energa cineticainstantanea de un punto de la cuerda.

    Consideremos un instante de tiempo t = t0 antes de que al punto de coordenada x0 lleguela perturbacion, esto es, la cuerda esta sujeta por un extremo y tensa de modo que ningunpunto de la cuerda se mueve. En esta situacion de equilibrio, la energa potencial deun tramo de cuerda de anchura x L es igual en todos los tramos de cuerda. Aliniciarse en el extremo movil un movimiento respecto a la situacion de equilibrio, los

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 7

    0 1 2 3 4

    x(m)

    y(x,t=

    0)(

    m)

    5 6

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    l

    Figura 1.1: Representacion en el instante de tiempo t = 0 de un tramo de la onda (perl espacial) dadapor la expresion (1.1).

    diferentes tramos de cuerda se desplazan respecto a su situacion de equilibrio de modoque instantaneamente los tramos de cuerda se desplazaran respecto a su situacion deequilibrio de acuerdo con la expresion (1.1) y, como hemos visto en el apartado anterior,el tramo de anchura x adquirira una velocidad dada por (1.2). De este modo la energacinetica del tramo de cuerda considerado sera

    Exc =1

    2m(x)

    [y(x0, t)

    t

    ]2, (1.3)

    donde m(x) = xML . Si tenemos en cuenta lo anterior la expresion (1.3) puedereescribirse como

    Exc =1

    2x

    M

    L4 1062 cos2 [2 (2x0 100t)] , (J). (1.4)

    Notese de paso que mientras que el desplazamiento y la velocidad instantanea de untramo de cuerda cambian con el tiempo con frecuencia angular , la energa cineticacambia con el tiempo con frecuencia 2, ya que cos2() = 12(1+ cos(2)), y en este caso = 2 (2x0 100t).

    1.2 Dos ondas de la misma amplitud y frecuencia se propagan con igual velocidady en la misma direccion en sentidos contrarios. Determinar el movimientoondulatorio resultante.Comencemos por escribir la expresion de ambas ondas dadas por

    y1(x, t) = a1 cos (kx t) ,(1.5)

    y2(x, t) = a1 cos (kx+ t) ,

  • 8 Problemas de Optica Fsica I

    donde a1 tendra las unidades correspondientes a la magnitud y correspondiente. Notese apartir de la ecuacion (1.5) que el modulo de la velocidad de fase, vf , de ambas ondas es elmismo. Ademas recordemos que se verica la relacion = kvf .

    Supondremos que la superposicion de ambas ondas sera una onda2 que estara dada por

    yT (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2a1 cos(kx) cos(t), (1.6)

    donde se ha tenido en cuenta la siguiente igualdad trigonometrica

    cos(A) + cos(B) = 2 cos

    (AB

    2

    )cos

    (A+B

    2

    ). (1.7)

    Vemos que la onda resultante dada por la expresion (1.6) es la de una onda estacionaria.Vamos a ver las caractersticas especcas de este tipo de movimiento ondulatorio que con-trastan con las llamadas ondas progresivas.

    En primer lugar, de la inspeccion ocular de la ecuacion (1.6) vemos que hay puntos en loscuales la perturbacion resultante es nula en todo instante de tiempo: en efecto, estos puntosson aquellos cuya coordenada x es tal que se cumple la relacion kx = (2m+1)2 , donde m esun numero entero. A aquellos puntos en los que se cumple esta relacion se les llama nodos. Esfacil convencerse de que entre dos nodos adyacentes hay un punto en el cual la perturbacionalcanza el maximo valor 2a1, a ese punto se le suele denominar vientre.Un ejemplo donde son de interes las ondas estacionarias es el de la acustica musical. Con-sideremos una cuerda de guitarra de longitud L = 0.65 m. Sabemos que convenientementepicada podemos observar que se establece en la cuerda un movimiento en el cual el vientrese encuentra en la mitad de la cuerda: de hecho este efecto nos puede permitir anar 5 cuerdassi previamente hemos anado la otra con un diapason de referencia.

    1.3 Dos ondas de la misma amplitud y velocidad pero de frecuencias 1 = 1000 Hz y2 = 1+ = 1010 Hz respectivamente, viajan en la misma direccion a 10 m/s.Escribir las ecuaciones correspondientes a las ondas separadas y a su suma.Hacer un dibujo de la onda resultante.

    La expresion de ambas ondas esta dada por

    y1(x, t) = a1 cos(k1x 1t),(1.8)

    y2(x, t) = a1 cos(k2x+ 2t),

    donde 1 = 2000 (rad s1) y 2 = 2020 (rad s1). Notese que en la ecuacion (1.8) los

    numeros de onda de ambas ondas son diferentes: esto es as ya que nos dicen que la velocidadde propagacion de ambas ondas es la misma, por lo que si las frecuencias son diferentesnecesariamente los numeros de onda han de ser diferentes.

    De la misma manera que en el problema anterior, la suma de ambas ondas sera una ondadada por

    yT (x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2a1 cos

    [(k1 k2

    2

    )x

    (1 2

    2

    )t

    ]

    cos[(

    k1 + k22

    )x

    (1 + 2

    2

    )t

    ], (1.9)

    2Esto equivale a asumir que la ecuacion de ondas es lineal.

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 9

    donde de nuevo se ha tenido en cuenta la relacion (1.7). Es preciso notar que el segundotermino corresponde a una oscilacion rapida mientras que el primero corresponde a unaoscilacion lenta. En la Figura 1.2(a)-(b) se muestra como es el perl temporal de cadaonda individual y el de la onda resultante en la posicion x = 0. En la Figura 1.2(c) se ha

    t(s)

    t(s)

    t(s)

    Tg

    y(x=

    0,t)

    1y

    (x=0,t

    )2

    y(x=

    0,t)

    T

    (a)

    (b)

    (c)

    Figura 1.2: Representacion en la posicion x = 0 de un tramo de la onda (perl temporal) para y1, (b)para y2 y (c) para la onda resultante dada por la expresion (1.9).

    representado en continua la oscilacion rapida de la expresion (1.9) y en discontinua el perltemporal de evolucion de la envolvente de la onda resultante. La velocidad con la que sedesplazan los maximos de la envolvente esta dada por

    vg =1 2k1 k2 . (1.10)

    Si hiciesemos que 2 1, en la expresion (1.10) se podra reemplazar los incrementos porla derivada, esto es, vg =

    ddk . A la magnitud vg se la denomina velocidad de grupo.

    Considerar una fuente de ondas planas progresivas que se mueve convelocidad uniforme vs en la direccion X. Si las ondas emitidas por lafuente tienen frecuencia , escribir la expresion de las ondas emitidas porla fuente en movimiento desde un sistema de referencia que esta en reposorespecto a la fuente.

    Si consideramos que el sistema de referencia en el que la fuente esta en reposo es X Y Z ,entonces la expresion de las ondas emitidas por la fuente vendran dadas por

    E(x, t) = E0 cos(t kx). (1.11)

    Para expresar las ondas emitidas por la fuente en un sistema de referencia en reposo(XY Z) respecto a la fuente hemos de tener en cuenta las relaciones que ligan las

  • 10 Problemas de Optica Fsica I

    coordenadas en ambos sistemas de referencia (transformaciones de Galileo) que son

    x = x vst,y = y, (1.12)z = z,t = t.

    De este modo la expresion de las ondas emitidas por la fuente en el sistema de referenciaXY Z esta dada por

    E(x, t) = E0 cos [t k(x vst)] . (1.13)La expresion (1.13) puede reescribirse como

    E(x, t) = E0 cos(t kx), (1.14)

    donde = kvs = c vs = (1 vsc ). Este resultado expresa el conocido efectoDoppler en su version no relativista.

    El papel de la fuente y del observador son intercambiables naturalmente.

    Consideremos una fuente de radiacion de ondas de frecuencia = 1 GHz.Estas ondas inciden sobre un automovil que circula a una velocidad vc. Lasondas reflejadas y parte de la onda emitida por la fuente son combinadaspara dar una onda resultante. Escribir como es esta onda y analizar elresultado.Las ondas emitidas por la fuente vendran dadas por

    Ee(x, t) = E0 cos(t kx), (1.15)y las ondas reejadas por el automovil vendran dadas por

    Er(x, t) E0 cos(t+ kx), (1.16)donde = (1 + vc/c). La perturbacion resultante proporciona un batido de ondasque, convenientemente analizadas, esto es, determinando la velocidad de grupo, permitedeterminar la velocidad vc del automovil (este es el principio basico de funcionamientode un radar de velocidad).

    Polarizacion de las ondas. Promedios temporales

    1.4 Dos ondas polarizadas en planos perpendiculares viajan en la direccion OXa la misma velocidad, c. Hallar el movimiento ondulatorio resultante en lossiguientes casos:

    A1 = 2A2 y de fases iguales,En este caso las expresiones de las ondas estan dadas por

    My(x, t) = 2A2 cos(kx t),(1.17)

    Mz(x, t) = A2 cos(kx t),

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 11

    t5

    t4 t4 t4t5 t5

    t6 t6

    t7

    t7t8 t8

    t9 t9

    t10 t10

    t3 t3 t3

    t2 t2t2

    t1 t1

    t1

    t6

    x

    My

    Mz

    My

    (b)Mz

    My

    (c)Mz

    (a)

    Figura 1.3: Representacion en diferentes instantes de tiempo de la vibracion resultante de la superposicionde dos ondas que vibran perpendicularmente entre s y se propagan en la misma direccion: (a) dos ondas enfase y amplitudes diferentes, (b) dos ondas desfasadas /2 y amplitudes iguales y (c) dos ondas desfasadas/2 y amplitudes diferentes.

    donde A2 tiene las unidades de la magnitud M : notese que la ecuacion (1.17) corres-ponde a dos ondas que vibran a lo largo de los ejes Y y Z respectivamente y que sepropagan a lo largo del eje X. En la Figura 1.3(a) se muestran los valores resultantesde la vibracion en x = 0 para los instantes de tiempo t1 = 0, t2 =

    112 , t3 =

    18 , t4 =

    16 ,

    t5 =14 , t6 =

    13 . Notese que si se traza el vector resultante desde el origen, este siempre

    vibra en la misma direccion, de ah que se arme que la onda resultante esta linealmentepolarizada. El angulo que forma el vector resultante con el eje Y se le denomina azimuty en este caso es = 26.570.

    A1 = A2 y desfasadas /2.En este ejemplo las expresiones de las ondas vienen dadas por

    My(x, t) = A2 cos(kx t+ /2),(1.18)

    Mz(x, t) = A2 cos(kx t).

    Si procedemos como en el caso anterior y representamos en el plano Y Z los valoresinstantaneos de la onda en diferentes instantes de tiempo observamos que en este casola direccion de vibracion de la onda resultante no es ja sino que cambia, como puedeapreciarse en la Figura 1.3(b). Notese que se han anadido otros instantes temporalest7 =

    12 , t8 =

    23 , t9 =

    34 y t10 =

    45 . En este caso la vibracion resultante se dice que

    esta circularmente polarizada. Notese que el sentido de giro de la vibracion resultantetiene lugar en el sentido contrario a las agujas del reloj de ah que se le denomine girolevogiro.

  • 12 Problemas de Optica Fsica I

    A1 = 2A2 y desfasadas /2,Ahora las expresiones de las ondas vienen dadas por

    My(x, t) = 2A2 cos(kx t+ /2),(1.19)

    Mz(x, t) = A2 cos(kx t).

    Procediendo como anteriormente llegamos a la conclusion de que la vibracion resultanteesta elpticamente polarizada y el sentido de giro es levogiro. Esta situacion se harepresentado en la Figura 1.3(c).

    En todos los casos anteriormente mencionados vemos que dos ondas que vibran perpendicular-mente entre s, tienen la misma frecuencia y la misma direccion de propagacion, proporcionanuna onda resultante que en una posicion ja del espacio evoluciona describiendo una lnearecta, una circunferencia o una elipse. En el caso de la optica veremos en el Tema 3 comoondas que inicialmente estan linealmente polarizadas al atravesar un cierto medio materialpueden pasar a estar circular o elpticamente polarizadas, o bien seguir siendo linealmentepolarizadas.

    1.5 Una fuente puntual emite ondas esfericas de = 500 nm. Estimar a quedistancia hay que colocarse de la fuente para que sobre un area circular deun centmetro cuadrado las ondas esfericas difieran de una onda plana en /10.

    Consideremos una fuente puntual S colocada en el origen de coordenadas que emite ondasesfericas de la forma

    y(r, t) =y0rcos(kr t). (1.20)

    La expresion para una onda plana sera

    y(r, t) = y0 cos(ky t). (1.21)

    Estamos interesados en computar la diferencia entre el frente de ondas esferico y uno planoen un area de Ap = 1 cm

    2 (area de prueba) tal y como se muestra en la Figura 1.4. El radio

    del area de prueba sera rp =Ap/ =

    104 metros. La diferencia de camino optico en el

    borde del area de prueba sera

    = r y, (1.22)

    donde r =x2 + z2 + y2. Como < 10 , de la ecuacion (1.22) obtenemos una desigualdad

    tal que si realizamos las operaciones pertinentes, teniendo en cuenta que x2 + z2 = r2p =3.183 105, llegamos a que se ha de vericar

    r2p 2

    100+y

    5 y

    5, (1.23)

    o lo que es lo mismo, la distancia y ha de ser mayor de 318.3 metros.

    El interes de este problema radica en que permite estimar a que distancia de una fuente deondas esfericas nos hemos de colocar para poder considerar que localmente las ondas sonplanas. Veamos esto para el caso de ondas luminosas procedentes del sol y que llegan a lasupercie terrestre.

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 13

    Podemos considerar que el radio de la orbita de la tierra es Rt = 1.491011 m (supondremospor simplicidad que la orbita es circular). El tamano tpico de un detector de radiacion es de104 m2. De este modo en la region de receptora el frente de ondas esferico emitido por el Soles localmente plano, en el sentido de que en la region de interes el frente de ondas se desva de

    un plano en la cantidadr2p2Rt

    = 3.36 1016 (metros) que resulta ser muy inferior a cualquierlongitud de onda del espectro visible. As pues podremos considerar que la luz procedentedel sol que incida sobre un sistema optico convencional estara esencialmente colimada.

    Z

    Y

    X

    S

    y

    r

    Q

    readeprueba

    Figura 1.4: Fuente puntual que emite ondas esfericas que se observan en un area de 1 cm2 en torno alpunto Q.

    1.6 Determinar el promedio temporal de la siguiente onda

    E(r, t) = E0 cos(t kr). (1.24)

    La expresion (1.24) corresponde a una onda monocromatica cuyo periodo de cambio caracte-rstico es T = 2 . El promedio temporal se determina mediante la expresion

    E(r) = 1T

    T0

    E(r, t)dt. (1.25)

    Realizando la integral indicada en (1.25) se llega a que E(r) = 0, esto es, aunque la magnitudE cambie instantaneamente con el tiempo, el promedio del cambio en un periodo es nulo.

    Para entender este resultado acudamos al ejemplo mecanico de las ondas en una cuerda, estoes, que E(r, t) represente el desplazamiento transversal de un tramo de cuerda. Lo que nosindica el resultado (1.25) es que ese tramo de cuerda en promedio no se desplaza, a pesar deque instantaneamente s lo haga como indica (1.24).

  • 14 Problemas de Optica Fsica I

    Determinar asimismo el promedio temporal de |E|2.En este caso hemos de computar la siguiente integral

    |E(r)|2

    =

    1

    T

    T0

    E20 cos2(t kr)dt. (1.26)

    Si tenemos en cuenta que cos2() = 12 [1 + cos(2)], se obtiene nalmente que|E(r)|2

    =

    E202. (1.27)

    Si, por ejemplo, la magnitud E representa la propagacion de una onda armonica en unacuerda, la ecuacion (1.27) nos informa acerca de la energa cinetica o potencial adquiridaen promedio. En efecto recordemos del problema 1 de este Tema que la energa cineticainstantanea de un tramo de cuerda es proporcional al cuadrado de la amplitud delmovimiento y cuya frecuencia era el doble que la del desplazamiento. Notese el contrastedel resultado obtenido en (1.27) con el expresado en (1.25).

    Introduccion al analisis de Fourier

    1.7 Supongamos que en un punto del espacio llega una perturbacion ondulatoriacuya variacion temporal viene dada por

    E(t) = E0et cos(0t), (1.28)

    para t > 0 y nula para t < 0. Suponer que 0.

    Dibujar la variacion temporal de la perturbacion.Si = 0 la expresion (1.28) corresponde a una onda armonica de frecuencia 0. Sinembargo cuando > 0 corresponde a una onda amortiguada. En la Figura 1.5 semuestra la evolucion temporal de la onda amortiguada para dos valores de la constantede amortiguamiento diferentes, donde 1 < 2. Como puede apreciarse en el caso demayor amortiguamiento la oscilacion se atenua mas rapidamente.

    Calcular el espectro en frecuencias de esta perturbacion.Para determinar el espectro en frecuencias de la onda amortiguada hemos de realizarla descomposicion en terminos de la integral del Fourier de la onda considerada. As latransformada vendra dada por

    G() =

    E(t)eit dt. (1.29)

    Para realizar la integral indicada en (1.29) expresaremos la ecuacion (1.28) en la forma

    E(t) = E0et 1

    2

    (ei0t + ei0t

    ). (1.30)

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 15

    g1

    t t

    E(t)E0

    E(t)E0

    g2

    Figura 1.5: Forma del perl temporal de dos ondas amortiguadas con diferentes constantes de atenuacion.

    Con lo que nalmente resulta

    G() = E02

    ( 1i( + 0) +

    1

    i( 0) ). (1.31)

    Notese que la expresion (1.31) puede ponerse como

    G() = E02

    ( 1z1

    +1

    z2

    ), (1.32)

    donde z1 y z2 son numeros complejos. Si analizamos como es el modulo de z1 y el de z2vemos que se tiene |z1| |z2|, de ah que el primer termino de la ecuacion (1.31) puededespreciarse frente al segundo, por lo que cabe aproximar el espectro como

    G() E02

    1

    i( 0) . (1.33)

    Calcular el modulo |E()|2 y encontrar la relacion entre y la anchura de|E()|2 a mitad de altura.A partir de la ecuacion (1.33) obtenemos la densidad espectral de potencia dada por

    |G()|2 = E20

    4

    1

    ( 0)2 + 2 . (1.34)

    Notese que cuanto mayor es el factor de amortiguamiento, mas ancho es el espectro comose aprecia en la Figura 1.6 o, en otras palabras, para sintetizar una onda que se amortiguarapidamente necesitaremos sumar mas ondas monocromaticas de frecuencias cada vezmas alejadas de 0.

    A partir de la ecuacion (1.34) vemos que si = 0, entonces |G(0)|2 = E20

    42 . Paradeterminar una anchura espectral caracterstica se emplea el criterio de calcular la

  • 16 Problemas de Optica Fsica I

    |G( )w |2g1

    1

    0

    g2

    w

    w0

    Dw

    Figura 1.6: Densidad espectral de potencia para los casos considerados en la Figura 1.5. Los datos hansido normalizados a sus respectivos valores maximos.

    frecuencia 1 para la cual |G(1)|2 = |G(0)/2|2. Con lo que resulta 1 0 = .Y la anchura espectral resulta ser = 2. En la Figura 1.6 se ha senalado la anchuraespectral () de una de las ondas consideradas.

    1.8 Determinar la transformada de Fourier de la funcion rectangulo definida por:

    f(x, x0, a) =

    0 si |(x x0)/a| > 12 ,1 si |(x x0)/a| < 12 ,12 si |(x x0)/a| = 12 .

    (1.35)

    Esta funcion as denida esta acotada y la emplearemos con profusion mas adelante. Latransformada vendra dada por

    G(k) =

    f(x, x0, a)e

    ikx dx, (1.36)

    donde k tendra dimensiones de inverso de longitud (de ah que en este caso se hable defrecuencia espacial y se suele especicar en lneas por milmetro). Sustituyendo la expresion(1.35) en (1.36) se llega a que

    G(k) = x0+a/2x0a/2

    eikx dx = a eikx0sin(ka/2)

    ka/2. (1.37)

    Habitualmente se suele denir la funcion sinc(x) sin(x)x de modo que el resultado expresadoen (1.37) se escribe de manera mas compacta.

    Notese que si x0 = 0 la transformada de Fourier es la funcion sinc, sin embargo al desplazarla funcion rectangulo a un punto x0 6= 0, esto solo afecta a la transformada en un factor defase.

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 17

    En ocasiones resulta de interes el estudio de la transformada de Fourier dela funcion rectangulo apodizada definida por

    fA(x, x0, a) =

    0 si (xx0)a > 12 ,

    A0 cos(ax)si (xx0)a < 12 ,

    12 si

    (xx0)a = 12 .(1.38)

    Determinar la transformada de Fourier de fA.

    En este caso la transformada viene dada por

    G(k) = x0+a/2x0a/2

    eikxA02

    (ei

    ax + ei

    ax)dx. (1.39)

    Tras realizar la integracion indicada se llega nalmente a que

    G(k) = A0a2

    eikx0{sinc

    [(k +

    a

    ) a2

    ]+ sinc

    [(k

    a

    ) a2

    ]}. (1.40)

    1.9 La extension del teorema de Fourier a funciones de dos variables es inmediataa partir de la definicion (I-14). Determinar la transformada de Fourier de lafuncion bidimensional

    f(x, y,R) =

    {0 si x2 + y2 > R2,1 si x2 + y2 < R2,

    (1.41)

    Esta funcion as denida tambien esta acotada y sera empleada con profusion mas adelante.La transformada vendra dada por

    G(kx, ky) =

    f(x, y,R)ei(kxx+kyy) dxdy. (1.42)

    Para realizar la integral indicada en (1.42) es preferible expresarla en coordenadas polares:x = r cos(), y = r sin(), kx = k cos() y ky = k sin(). De este modo se tendra que dxdy =rdrd. Analogamente podemos escribir kxx + kyy = kr [cos() cos() + sin() sin()] =

    kr cos() [ver Figura 1.7(a) ], donde k =k2x + k

    2y y r =

    x2 + y2. Con esto la ecuacion

    (1.42) puede escribirse como

    G(kx, ky) = R0

    20

    rdrdeikr cos(). (1.43)

    Si imponemos que el resultado de (1.43) tenga simetra axial, esto es que no dependa de ,podemos tomar = 0 y de este modo la integral angular queda como 2

    0eikr cos d = 2J0(kr), (1.44)

    donde J0(x) denota la funcion de Bessel de primera especie de orden cero. De este modollegamos a que

    G(kx, ky) = 2 R0

    J0(kr)rdr. (1.45)

  • 18 Problemas de Optica Fsica I

    (a)

    R

    r

    q

    (b)

    k-6 -4 -2 0 2 4 6

    0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

    |G(k)

    |2

    Figura 1.7: (a) Geometra para calcular la integral expresada en (1.42) y (b) representacion de unaseccion del disco de Airy.

    Teniendo en cuenta las propiedades de las funciones de Bessel de primera especie se llega aque la integral radial es

    G(kx, ky) = 2RkJ1(kR), (1.46)

    donde J1(x) es la funcion de Bessel de orden uno. De particular interes es el modulo alcuadrado de la trasformada que se conoce como funcion de Airy. En la Figura 1.7(b) semuestra el aspecto de esta funcion.

    1.10 Consideremos la onda cuya expresion esta dada por

    E(t) =

    {0 si t < 0,sin

    (2 t)= sin(t) si t > 0.

    (1.47)

    Esta onda tiene un comienzo en el instante t = 0 pero no esta acotada. Probarque si permitimos que sea una variable compleja existe una representacionintegral de (1.47) en la forma

    E(t) = 1

    Leit

    d

    2 2 , (1.48)

    donde L es un contorno de integracion adecuado en el plano complejo.

    En primer lugar hay que tener en cuenta el hecho de que, al contrario que una onda mono-cromatica que se extiende desde hasta , una senal real tiene un origen temporal. Sinembargo para senales que estan acotadas solo en un extremo tal como la dada en (1.47) laforma usual de la transformada de Fourier no es adecuada ya que la integral de la funcionE(t) diverge. En la Figura 1.8(a) se muestra esta senal.

    Veamos que la representacion (1.48) reproduce la senal dada en (1.47): para ello consideremos

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 19

    Sea

    l

    t0

    (a) (b)

    0

    2p/t-2p/t

    Figura 1.8: (a) Representacion de un tren de ondas limitado en uno de sus extremos. (b) Caminos deintegracion en el plano complejo.

    el caso de que t < 0, con lo cual si tomamos = a + ib con a y b constantes positivas, laexponencial de la integral eit = ebteiat decrece cuando b crece. Podemos hacer que elcamino de integracion en el semiplano superior se extienda todo lo que queramos, lo cual seindica con las echas , por lo que la funcion E(t) se anula para t < 0, tal como prescribela ecuacion (1.47). Para instantes de tiempo t > 0, el camino de integracion ha de sortearlas singularidades de que son polos de orden uno [ver Fig. 1.8(a) ]. La integracion a lolargo del camino en el semiplano inferior (se indica con las echas ) se puede llevar a cabomediante el metodo de los residuos y el resultado es

    E(t) = 1

    residuos

    Res(eit

    d

    2 2)

    = sin

    (2

    t

    ), (1.49)

    por lo que se reproduce el resulado prescrito en (1.47).

    El interes de este desarrollo radica en su utilidad en el estudio de la propagacion de esta senalen un medio dispersivo, en particular en el estudio de los llamados precursores.

  • 20 Problemas de Optica Fsica I

    PROBLEMAS PROPUESTOS

    Ecuacion de ondas

    1.1 La ecuacion de una onda transversal esta especicada por la expresion

    y(x, t) = 1/3 sin [(0.25x 25t)] ,

    donde x e y se especican en centmetros y t en segundos.

    (a) Hallar la amplitud, el numero de ondas, la longitud de onda, el perodo temporal y lavelocidad de propagacion de la onda.

    SOL: (a) A = 13 102 m, k = 25 m1, = 0.08 m, T = 225 s, v = 1 ms1.

    1.2 Especicar la expresion de una onda armonica longitudinal que se mueve en la direccion Xnegativa con amplitud 0.0025 m, frecuencia 6 Hz y velocidad de 300 m/s.

    SOL: y(x, t) = 0.0025 cos[(x25 + 12t

    )](m).

    1.3 Cuantos periodos espaciales de una radiacion visible de longitud de onda 600 nm se precisanpara cubrir una distancia de 1/10 mm?

    SOL: nperiodos = 166.6.

    1.4 Escribir una expresion para la onda que se muestra en la Figura 1.9. Determinar su longitudde onda, su velocidad y su frecuencia.

    SOL: y(z, t) = 2.5 cos(t kz + ), = 0.5m, v = 3 108 m/s, = 5, 99988 1014 Hz, y = 0.

    1.5 Consideremos una onda transversal que se propaga en la direccion X con velocidad de fase c.

    (a) Escribir la ecuacion que describe la perturbacion yi(t, x).

    (b) La onda se reeja completamente en la supercie de un cierto medio material (metal).Escribir la ecuacion de la onda reejada yr(t, x).

    (c) Escribir la expresion resultante de la superposicion de la onda incidente y la ondareejada, yT (t, x), y analizar sus propiedades.

    (d) En contacto con la supercie del metal y formando un pequeno angulo se coloca unapelcula fotograca que es expuesta durante un cierto tiempo (ver Figura 1.10). Tras serrevelada se examina visualmente la pelcula: indicar razonadamente cual sera el aspectodel registro fotograco.

    SOL: (a) yi(t, x) = A0 cos(t kx), (b) yr(t, x) = A0 cos(t + kx), (c) yT (t, x) =2A0 cos(kx) cos(t).

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 21

    -2.50-1.25

    0.001.25

    2.50(a)

    z (nm)

    z (nm)

    z (nm)

    0 200 400 600 800 1000 1200 1400

    (b)

    (c)

    Figura 1.9: Representacion del estado de vibracion de una onda en funcion de la coordenada z (expresadaen nm) en distantes instantes de tiempo: (a) t = 0 s, (b) t = 0.8333 1015 s y (c) t = 1.6667 1015 s.

    1.6 Consideremos que el perl de una onda cuya expresion esta dada por (x, t) = 25(xvt)2+2

    (unidades arbitrarias), donde x se expresa en metros y t en segundos sabiendo que la velocidadde propagacion es v = 0.5 m/s. Realizar el esquema graco del perl de la onda en los instantest = 0, 2, y 4 s. Cual es la direccion de propagacion de la onda?

    SOL: La onda se propaga en la direccion +X.

    1.7 Considere la situacion que se describe en la Figura 1.11 cuando se consideran ondas que sepropagan con velocidad de fase c = 3 108 m/s fuera de la lamina y que el espesor de lalamina es 0.05 cm. Conteste a las siguientes preguntas:

    (a) Cuantas longitudes de onda (np) de 0 = 500 nm se extienden entre Ai y Af si AiAf =50 cm?

    (b) Cuantas longitudes de onda (np) de 0 = 500 nm se extienden entre Bi y Bf ( BiBf =50 cm) sabiendo que dentro de la lamina la velocidad de propagacion de las ondas es0.98 veces menor que la velocidad en el trayecto entre Ai y Af?

    (c) Computar el retardo (t) introducido por la presencia de la lamina.

    (d) Expresar las ecuaciones de las ondas que llegan a Af y Bf en el mismo instante detiempo.

    SOL: (a)np = 106, (b) np = 1.00002 106, (c)t = 1.021c d = 3.4 1014 s.

    (d)yAiAf (x, t) = A0 cos(t kx),yBiBf (x, t) A0 cos((tt) kx).

    1.8 Una cadena de emisoras radiofonicas emite ondas con longitudes de onda entre 30 y 100metros. Determinar la banda de frecuencias de emision de esta cadena.

  • 22 Problemas de Optica Fsica I

    a

    pelculafotogrfica

    Figura 1.10: Esquema de la supercie del metal y la pelcula fotograca (experimento de Wiener).

    e

    Ai Af

    Bi Bf

    Figura 1.11: Retardo introducido por un medio material con respecto a otro medio. El espesor e es de0.05 cm.

    SOL: La banda de emision es [3, 10] MHz.

    1.9 En un punto O del estanque del Retiro se dejan caer regularmente gotas de agua a razon de95 por minuto. Si la velocidad de las ondas que se originan es de 30 cm/s: (a) determinarla distancia entre dos crestas adyacentes y (b) a 45 cm del punto O se encuentra un corchootando y que empieza a vibrar con una amplitud de 2 cm cuando llegan las ondas a el.

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 23

    Determine la ecuacion de movimiento del corcho.

    SOL: (a) = 0.1898 metros. (b) y(x0, t) = 0.02 cos [2 (1.58t 0.053x0)] m, donde x0 = 45cm.

    Polarizacion de las ondas. Promedios temporales

    1.10 Escribir la expresion de dos ondas que tienen la misma frecuencia, se propagan en la mismadireccion (Z por ejemplo) y vibran en direcciones perpendiculares entre s (X e Y ). Laamplitud de una de las ondas es la mitad que la de la otra.

    (a) Si ambas ondas estan en fase, describir el tipo de movimiento ondulatorio resultante ~ETy discutir su estado de polarizacion.

    (b) Descomponer el resultado anterior como superposicion de dos ondas circularmente po-larizadas pero con sentidos de giro opuestos ~ELT y

    ~EDT .

    SOL: (a) Ex(z, t) = A1 cos(t kz + 1) y Ey(z, t) = A12 cos(t kz + 2).Si 1 = 2 2m la onda resultante ~ET esta linealmente polarizada y su azimut respectoal eje X es = 26.565o:~ET =

    52 A1 cos(t kz)u0, donde u0 = cos() + sin().

    (b) ~EDT =54 A1

    12 (u0 cos(t kz) + up sin(t kz)) y

    ~ELT =54 A1

    12 (u0 cos(t kz) up sin(t kz)) donde up = sin()+ cos().

    1.11 Escriba la expresion de una onda circularmente polarizada de amplitud A1 y levogira ~EL.

    Escriba la expresion de una onda onda circularmente polarizada de amplitud A2 6= A1 ydextrogira ~ED. Si consideramos que ambas ondas son de la misma frecuencia y se propaganen la direccion del eje Z, obtenga el estado de polarizacion de la onda resultante de lasuperposicion ~ET .

    SOL: ~ED = A1 cos(t kz)+A1 cos(t kz /2),~EL = A2 cos(t kz)+A2 cos(t kz + /2),~ET = (A1 + A2) cos(t kz) + (A1 A2) cos(t kz + /2). La onda resultante estaelpticamente polarizada y el sentido de giro es dextrogiro.

    1.12 Determinar el promedio temporal de la siguiente onda

    E(r, t) = E0 cos

    (2

    Tt kr

    ),

    teniendo en cuenta que el periodo de integracion es T1, y que no es necesariamente igual aT . Analizar el resultado y particularizar para T1 = 0.903 103T . Determinar asimismo elpromedio temporal de E2(r, t).

    SOL: E(r, t) = E0TT1 sin(T1T

    )yE2(r, t)

    =

    E202

    [1 + sinc

    (2T1T

    )].

  • 24 Problemas de Optica Fsica I

    1.13 Determinar la resultante de la superposicion de dos ondas paralelas dadas por

    E1 = E01 cos(t+ 1),

    y

    E2 = E02 cos(t+ 2),

    donde 1 y 2 son constantes que no dependen del tiempo.

    (a) Representar gracamente cada onda por separado y la resultante para 1 = 0 y 2 = .

    (b) Representar gracamente cada onda por separado y la resultante para 1 = 0 y 2 = 2.

    (c) Determinar el promedio temporal de (E1 + E2)2 para valores arbitrarios de 1 y 2.

    Analizar el resultado obtenido para los valores de 1 y 2 considerados en los dosapartados anteriores.

    SOL: (c)(E1 + E2)

    2(r, t)=

    E2012 +

    E2022 + 2

    E02E012 cos(1 2).

    Introduccion al analisis de Fourier

    1.14 Obtener la representacion en serie de Fourier de la funcion que se representa en la Figura1.12.

    1

    x

    f(x)

    T

    a

    Figura 1.12: Funcion de periodo T y anchura a que se extiende en toda la recta real.

    (a) Particularizar para el caso a = 0.01 m y T = 0.1 m. Representar gracamente los valoresde los coecientes de los primeros 10 armonicos.

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 25

    (b) Reconstruir gracamente la senal original empleando 2, 5 y 100 terminos del desarrollode la serie. Analizar los resultados obtenidos y compararlos con la forma de la senaloriginal.

    SOL: (a) A0 =aT , Aj =

    aT sinc(j

    0a2 ), Bj = 0, con 0 =

    2T y j = 1, . . ..

    1.15 Considere la perturbacion ondulatoria que se muestra en la Figura 1.13.

    (a) Escribir una expresion para dicha perturbacion.

    (b) Obtenga la transformada de Fourier.

    (c) Estime la anchura tpica del espectro de potencia, : para ello determine la posiciondel maximo de la transformada y estime para que valores de el valor de la transformadase ha reducido a la mitad con respecto al valor maximo.

    (d) Analice la condicion t 1 que se obtiene del apartado anterior.(e Particularizar para el caso t = 109 s y determinar la anchura espectral del pulso.

    SOL: (a) E(t) = E0 cos(0t) si |t ta| < t y E(t) = 0 si |t ta| > t, donde 0 = 2T .(b) E() = F{E(t)} = iE0teita

    {sinc

    [( + 0)

    t2

    ] sinc [( 0) t2 ]}.(c) 1t(e) = 2.2147 108 Hz.

    t

    Dt

    -E0

    E0

    Figura 1.13: Aspecto de la perturbacion ondulatoria de duracion limitada t.

    1.16 Determinar la transformada de Fourier de la funcion denida por (abertura elptica):

    f(x, y, a, b) =

    {0 si (xa )

    2 + (yb )2 > 1,

    1 si (xa )2 + (yb )

    2 < 1,

    SOL: G(kx, ky) = 2abk J1(k), donde k =k2xa

    2 + k2yb2.

  • 26 Problemas de Optica Fsica I

    (a)

    2L+a

    2L+a a

    a

    (b)

    X

    Y

    L+a

    L+a

    a

    L/2

    Figura 1.14: Aberturas de interes. El sistema de ejes se ha indicado entre ambas guras.

    1.17 Si denominamos a G(k) = F{f(x)} a la transformada de Fourier de la funcion f(x),determinar la transformada de Fourier de la funcion f(x/b), Ge(k).

    SOL: Ge(k) = bG(kb).

    1.18 Si denominamos a G(k) = F{f(x)} a la transformada de Fourier de la funcion f(x),determinar la transformada de Fourier de la funcion f(x x0), Gx0(k).

    SOL: Gx0(k) = eikx0G(k).

    1.19 Determinar la transformada de Fourier de la funcion denida por f(x) = a2 [1 + b cos(x)].

    SOL: F{f(x)} = 2a(k) + ba2 [(k + ) + (k )].

    1.20 Determinar la transformada de Fourier de cada una de las funciones que se muestran en laFigura 1.14. Considere que en las regiones oscuras el valor de la funcion es nulo y que en lasregiones claras el valor de la funcion es la unidad. Realizar con un paquete matematico unarepresentacion graca del espectro de potencia de ambas funciones.

  • Tema 1. Movimiento Ondulatorio 27

    SOL: (a)

    G(kx, ky) = a2sinc(kxa

    2

    )sinc

    (kya

    2

    )+ aL cos

    (kxL

    2

    )sinc

    (kxL

    2

    )sinc

    (kya

    2

    )

    +aL cos

    (kyL

    2

    )sinc

    (kxa

    2

    )sinc

    (kyL

    2

    ).

    (b)

    G(kx, ky) = aLsinc(kxa

    2

    )sinc

    (kyL

    2

    )+

    aL cos

    {1

    2[kx (L+ a) + kyL]

    }sinc

    (kxL

    2

    )sinc

    (kya

    2

    )aL

    2eikxL/4sinc

    (kxL

    4

    )sinc

    (kya

    2

    ).

  • 28 Problemas de Optica Fsica I

  • TEMA 2

    El campo electromagnetico

    Ondas electromagneticas

    Los fenomenos electricos, magneticos y luminosos fueron unicados a nales del siglo XIX por JamesClerk Maxwell. El conjunto de ecuaciones de Maxwell, junto con la ley de fuerzas sobre partculascargadas y la segunda ley de Newton consituye el armazon de lo que se denomica electrodinamicaclasica. En su formulacion actual, las leyes de Maxwell en el vaco pueden establecerse en formaintegral mediante las ecuaciones

    C

    ~E d~l = dd t

    SC

    ~B d~S,C

    ~B d~l = 0

    SC

    (~j + 0

    ~E

    t

    ) d~S, (II-1)

    S

    ~E d~S = Q0,

    S

    ~B d~S = 0.

    En la ecuacion (II-1), ~E y ~B son el campo electrico y la induccion magnetica respectivamente, ~j esla densidad de corriente, Q es la carga total encerrada en la superice cerrada SC , y 0 y 0 sonla permeabilidad magnetica y la permitividad dielectrica del vaco respectivamente. La primeraecuacion es la conocida como ley de Faraday-Henry, la segunda es la ley de Ampe`re-Maxwell ylas tercera y cuarta ecuaciones constituyen la ley de Gauss para el campo electrico y la induccionmagnetica respectivamente.

    La ley de fuerzas que actua sobre una partcula cargada, de carga q, en el seno de camposelectricos y magneticos viene dada por la ley de Lorentz que reza

    ~FL = q(~E + ~vp ~B

    ), (II-2)

    donde ~vp es la velocidad de la partcula.

    29

  • 30 Problemas de Optica Fsica I

    Mediante el uso de los teoremas de Stokes y de Gauss se puede obtener la formulacion diferencialde las ecuaciones de Maxwell que quedan como

    ~E = ~Bt , ~B = 0~j + 00 ~E

    t,

    ~E = 0 , ~B = 0, (II-3)donde es la densidad de carga o carga por unidad de volumen. En regiones en las que no hayacargas y corrientes (el vaco, por ejemplo) las ecuaciones (II-3) predicen la existencia de camposelectricos y magneticos autosustentados que pueden propagarse en forma de ondas (aun en ausenciade medio material). En otras palabras, se tendra que

    2 ~E = 002 ~E

    t2,

    2 ~B = 002 ~B

    t2, (II-4)

    de donde resulta que la velocidad de las ondas electromagneticas en el vaco es v = 100 = c =3 108 m/s (velocidad de la luz en el vaco).

    De particular interes resultan las soluciones de la ecuacion en forma de ondas planas de la forma

    ~E = ~E0ei(t~k~r),

    ~B = ~B0ei(t~k~r). (II-5)

    Para que las expresiones (II-5) satisfagan las ecuaciones de Maxwell han de cumplirse las siguientesrelaciones

    ~k ~E0 = 0,~k ~B0 = 0, (II-6)~k ~E0 = ~B0.

    De la ecuacion (II-6) se inere que los vectores ~k, ~E y ~B son perpendiculares entre s, esto es, las

    ondas electromagneticas planas son transversales. Ademas se deduce que | ~B0| = | ~E0|c . Teniendoen cuenta este hecho, la ley de fuerzas para partculas cargadas sobre las que actua una ondaelectromagnetica puede aproximarse por

    ~FL q ~E, (II-7)siempre y cuando las velocidades de las partculas sean mucho menores que c [ |~vp| c en laecuacion (II-2) ].

    Energa transportada por las ondas

    Las ondas electromagneticas transportan energa. Si en una region cerrada del espacio, V , en laque hay una coleccion de cargas incide una onda electromagnetica, los campos realizaran trabajosobre las cargas, de manera que parte de la energa del campo sera cedida a las cargas y el resto setransmitira a otras regiones. El teorema de Poynting nos indica la forma de este balance energetico:si llamamos uB y uE a las densidades de energa del campo, entonces se ha de vericar que

    V

    ~j ~E dV = +

    SV

    ~P d~S + t

    V(uB + uE) dV, (II-8)

  • Tema 2. El campo electromagnetico 31

    donde ~P ~E ~B0 es el denominado vector de Poynting que nos indica en que direccion se propagala energa. Las densidades de energa se relacionan con las amplitudes de los campos de la formauE = 0 ~E

    2 y uB =10~B2 respectivamente. El primer termino en la ecuacion (II-8) da cuenta del

    calentamiento de las cargas o efecto Joule y tiene signo negativo ya que la energa es cedida por elcampo a las cargas.

    Si la region considerada no hay cargas, la relacion (II-8) establece que la variacion temporal deenerga almacenada en dicha region es igual al ujo de energa que abandona dicha region.

    Para el caso de una onda armonica, [ver ecuacion (II-5) ], en el rango de frecuencias opticas enlas que 1015 rad s1, la densidad de energa instantanea vara rapidamente de modo que sepreere emplear la densidad de energa promediada temporalmente (o densidad de energa ecaz)que resulta uE =

    02~E20 y uB =

    02~E20 , esto es, las densidades de energa electrica y magnetica

    asociadas a una onda son iguales. De la misma manera, el vector de Poynting para una ondaarmonica que se propaga en el vaco queda como

    ~P = c20 ~E ~B = c20 ~E0 ~B0 cos2(t ~k ~r), (II-9)

    que es una medida de la energa instantanea que atraviesa la unidad de area en la unidad de tiempo.Dada la relacion de transversalidad entre los campos y la direccion de propagacion, resulta que elvector de Poynting es paralelo a la direccion de propagacion de los frentes de onda. Este resultadoes cierto en el caso de que las ondas se propagen dentro de medios materiales isotropos: aquellosen los que la interaccion de la radiacion con el medio material no depende de la orientacion delcampo electrico (ver Tema 3).

    Actualmente se dene la irradiancia de una onda promediada en el tiempo como

    I ~P = c0

    2

    ~E02 . (II-10)Es bien conocido que dentro de una medio material la luz viaja mas despacio que en el vaco.

    Si llamamos vf a la velocidad de las ondas dentro de un medio material dado, entonces en lasrelaciones anteriores hemos de tener en cuenta este hecho:

    | ~B0| = |~E0|vf

    , (II-11)

    de modo que la irradiancia dentro del medio quedara como

    I = ~P = nc0

    2

    ~E02 , (II-12)donde n cvf es el ndice de refraccion que experimenta la onda dentro del medio.

  • 32 Problemas de Optica Fsica I

    PROBLEMAS RESUELTOS

    Ondas electromagneticas

    2.1 Una onda electromagnetica plana en el vaco esta dada por

    Ex = 102 sin

    [(3 106z 9 1014t)] , (V/m)

    Ey = 0, (2.1)

    Ez = 0.

    Determinar la longitud de onda, frecuencia, velocidad de fase y el promediotemporal del modulo del vector de Poynting.

    A la vista de la ecuacion (2.1) podemos deducir que la onda vibra a lo largo del eje X y quese propaga a lo largo del eje Z, esto es, el vector de propagacion estara dado por ~kp =

    2 k,

    donde k es un vector unitario en la direccion del eje Z. De esta manera podemos determinarla longitud de onda ya que se verica la relacion 2 = 3 106, resultando = 23 106m, esto corresponde a una radiacion visible de color rojo. Asimismo la frecuencia de laonda, , se puede determinar a partir de la expresion 2 = 9 1014, por lo que resulta que = 92 1014 Hz. Vemos a partir de los datos anteriores que, efectivamente, la velocidad depropagacion de la onda es c = 3 108 m/s.Podemos determinar la direccion en la que oscila el vector induccion magnetica a partir de laconocida relacion

    ~kp ~E = ~B, (2.2)

    de manera que realizando las operaciones indicadas en (2.2) se obtiene

    ~B =Exc. (2.3)

    Finalmente podemos determinar el vector de Poynting

    ~P = ~E ~B

    0, (2.4)

    resultando que ~P = 104c0 sin2[(3 106z 9 1014t)] k.

    Para determinar el promedio temporal del vector de Poynting, procederemos como hicimosen el problema 6 del Tema 1. De esta manera resulta

    I ~P = 104

    c0

    sin2

    [(3 106z 9 1014t)] , (2.5)

    resultando nalmente

    I = 13.275 (W/m2). (2.6)

  • Tema 2. El campo electromagnetico 33

    2.2 Un haz de luz se propaga a traves de un medio de ndice de refraccion (n = 1.5).Si la amplitud del campo electrico del haz de luz es de 100 V/m cual es laamplitud del campo de induccion magnetica?

    Supongamos por simplicidad que la expresion de la onda puede expresarse como

    ~E = ~E0 cos(~k ~r t

    )(V/m), (2.7)

    de tal manera que la velocidad de fase de la onda es vf =

    |~k| < c y recuerdese que n =cvf.

    En este caso la relacion entre la frecuencia angular y la velocidad de propagacion esta dadapor = kvf . Asimismo la relacion entre el campo electrico y la induccion magnetica

    1 estadada por una expresion similar a (2.3) excepto por el hecho de que en este caso la velocidad

    de propagacion no es igual a c. De lo anterior se deduce que ~B = | ~E|vf = 5 107 (T).

    2.3 Una onda electromagnetica que se propaga en el vaco (especificada en el S.I.de unidades) esta dada por la expresion

    ~E =(3i+ 3

    3j) 104

    ei[3

    (5x+

    53y)1078.12461015t

    ], (V/m). (2.8)

    Encontrar la direccion a lo largo de la cual oscila el campo electrico.Teniendo en cuenta la expresion del campo electrico, la direccion de oscilacion, ~uosc, estadada por

    ~uosc =(+

    3). (2.9)

    El valor del modulo de la amplitud campo electrico.La amplitud del campo electrico esta dada por

    ~E0 =(3+ 3

    3) 104, (V/m). (2.10)

    y su modulo resulta ~E0 = 6 104 (V/m).

    La direccion de propagacion, la frecuencia y la longitud de onda.La direccion de propagacion de la onda se obtiene de la fase de la oscilacion y esta dadapor

    ~kp =

    (5+

    5

    3

    )

    3 107 = 2

    up. (2.11)

    Teniendo en cuenta que ~kp =~kp up = 2 up, siendo up un vector unitario en la

    direccion de ~kp, podemos determinar la longitud de onda que resulta = 3

    35 107

    m. Naturalmente no corresponde a una radiacion visible por un observador humano.

    Resultando que up =32 +

    12 .

    Asimismo la frecuencia angular de la onda esta dada por 2 = 8.1246 1015, de donderesulta que = 1.2931 1015 Hz. Notese que la velocidad de fase de esta onda esvf = 3 108 m/s.

    1Supuesto que el medio material no esta magnetizado.

  • 34 Problemas de Optica Fsica I

    Determinar el campo magnetico asociado.En este caso y teniendo en cuenta la relacion (2.2) llegamos a que

    ~H =~B

    0=

    1

    0cup ~E. (2.12)

    Realizando las operaciones indicadas en (2.12) se llega nalmente a que

    ~H = 6c0 104

    ei[3

    (5x+

    53y)1078.12461015t

    ]k, (2.13)

    Determinar la direccion de propagacion de la energa.Para ello basta determinar el vector de Poynting

    ~P = R ( ~E) R ( ~H), (2.14)

    resultando ~P = 36c0 108 cos2[3

    (5x+

    53y) 107 8.1246 1015t

    ]up.

    2.4 Determinar el estado de polarizacion de las siguientes ondas electromagneticas.Para realizar este ejercicio hemos de examinar los resultados a que llegamos en el problema4 del Tema 1.

    ~E = E0 cos(kz t) E0 cos(kz t).Se trata de dos ondas que vibran a lo largo de los ejes X e Y respectivamente y de igualamplitud y fases por lo que la vibracion resultante esta linealmente polarizada a lo largode un eje que forma 45o con respecto al eje X.

    ~E = E0 sin(kz + t) + E0 sin(kz + t /4).En el caso que nos ocupa se trata de dos ondas desfasadas = /4 (o sea ambas ondasestan retrasadas entre s una distancia espacial /8) y amplitudes iguales por lo que lavibracion resultante describe una elipse en el plano XY .

    ~E = E0 cos(kz t) + E0 cos(kz t+ /2).En este caso el desfase entre ambas ondas es de /2 y dado que las amplitudes soniguales la onda resultante estara circularmente polarizada.

    2.5 Escribir la expresion, en unidades del sistema M.K.S., de una ondaelectromagnetica plana que tiene una longitud de onda de 500 nm y unairradiancia de 53.2 W/m2, que se propaga a lo largo del eje Z. Considereseque la onda esta linealmente polarizada a 450 del eje X.

    A partir de la irradiancia podemos determinar el modulo del campo electrico que resulta serE0 = 200.188 V/m. Teniendo en cuenta que la direccion de propagacion es el eje Z el vectorde propagacion sera ~kp =

    20.5106 k = 4 106k (m1), siendo k un vector unitario a lo largo

    del eje Z. De forma que las componentes del campo seran

    Ex = E0 cos(45o) cos

    (|~kp|z t

    ),

    Ey = E0 sin(45o) cos

    (|~kp|z t

    ), (2.15)

    Ez = 0, (2.16)

    donde = kc = 12 1014 (rad s1).En la Figura 2.1 se muestra la evolucion espacial de las componentes del campo electricoconsiderado: notese que ambas componentes estan en fase y que tienen igual amplitud.

  • Tema 2. El campo electromagnetico 35

    X

    Y

    Z

    Ey

    Exl

    Figura 2.1: Perl espacial de las componentes del campo electrico considerado. La componente Ex y laEy estan en fase: evolucionan sncronamente.

    2.6 Escribir la expresion, en unidades del sistema M.K.S. de una ondaelectromagnetica plana que tiene una longitud de onda de 632.8 nm y unairradiancia de 100 W/m2, que incide sobre la superficie de separacion de dosmedios con un angulo de 300. El plano de sepacion es el plano XY, el deincidencia es el plano YZ y la onda esta polarizada segun se indica:

    Obtendremos en primer lugar el modulo del numero de onda k y la frecuencia angular de laonda, :

    k =2

    =

    2

    632.8 109 = 9.93 106 (m), (2.17)

    = kc = 9.93 106 3 108 = 29.8 1014 (rad/s). (2.18)Por otra parte, si la irradiancia vale 100 W/m, se puede obtener la amplitud del campoelectrico:

    I =1

    2c0|E0|2, (2.19)

    de donde

    |E0| =

    2 1003 108 8.8 1012 = 275.2 (V/m). (2.20)

    Deberemos calcular la direccion del vector ~k. En la Figura 2.2 se muestra la situacion generalde un campo que incide desde un medio en otro con un angulo arbitrario: notese que debido aque el campo ~E ha de estar contenido en un plano perpendicular a la direccion de propagacion,~k, el campo incidente podra descomponerse en un sistema cartesiano tal que una parte de esecampo este contenida en el plano de incidencia y la otra sea perpendicular.

    ~k = [0, k sin(30o),k cos(30o)] = (0, 4.9,8.6) 106m1. (2.21)

    Ahora consideraremos los dos casos planteados.

  • 36 Problemas de Optica Fsica I

    Y

    Z

    X

    E||i

    plano deincidencia

    qi

    E i^ k

    Figura 2.2: Onda incidente en el plano YZ con i arbitrario: el campo incidente se ha descompuesto enla componente paralela, E, y perpendicular, E, al plano de incidencia (Y Z).

    polarizada segun el eje X.En este caso el campo electrico tiene solo componente a lo largo del eje X, vease Figura2.3(a),

    Ex = 275.2 cos[(4.9y 8.6z) 106 29.8 1014t] ,

    Ey = 0 , (2.22)

    Ez = 0.

    polarizada en el plano YZ.En este caso el campo debera vibrar perpendicularmente a la direccion de propagaciony contenido en el plano ZY, esto es, tendra componentes Ey y Ez oscilando en fase. Dela Figura 2.3(b) se obtienen las amplitudes de cada componente:

    E0x = 0 ,

    E0y = 275.2 cos(30o) , (2.23)

    E0z = 275.2 sin(30o) ,

    Los campos se podran espresar como

    Ex = 0,

    Ey = 275.2 cos(30o) cos

    [(4.9y 8.6z) 106 29.8 1014t] , (2.24)

    Ez = 275.2 sin(30o) cos

    [(4.9y 8.6z) 106 29.8 1014t] .

    Notese de paso que se verica que ~k ~E0 = 0 como prescribe la ecuacion de Maxwell ~E = 0.

  • Tema 2. El campo electromagnetico 37

    ZEx

    k

    (a)

    30o

    Y

    X X

    ZEyz

    k

    (b)

    30o

    Y

    Figura 2.3: (a) Onda incidente en el plano YZ con i = 300 y vibrando segun el eje X y (b) ondaincidente en el plano YZ con i = 30

    0 y vibrando en el plano Y Z.

    2.7La variacion temporal del campo de induccion magnetica, ~B, de una ondaelectromagnetica se presenta en la Figura 2.4. La onda se propaga a lo largodel eje X en el vaco y ~B vibra en la direccion del eje Z.

    0 0.2 0.4 0.6t(x10 s)-14

    B(x1

    0T)

    z

    -6

    0.8 1 1.2 1.4 1.6-2

    -1

    0

    1

    2

    Figura 2.4: Evolucion temporal de la componente Bz de la onda considerada.

  • 38 Problemas de Optica Fsica I

    Determinar el modulo y direccion de los campos ~E y ~B.La gura representa la variacion temporal del campo magnetico asociado a la ondaelectromagnetica plana. Como la onda se propaga en la direccion del eje X y ~B vibraen la direccion del eje Z, su expresion sera

    Bz = Bz0 cos (kx t) . (2.25)

    De la Figura 2.4 se deduce que para t = 0 y x = 0, la amplitud del campo magneticovale Bz0 = 2 106 Tesla. Por otro lado, el periodo temporal de la oscilacion vale T =11014 segundos. Por lo tanto la frecuencia angular es = 2T = 21014 (rad s1), yel modulo del vector de propagacion es k = c =

    23 10

    6 (m1). Por lo tanto la expresionde ~B esta dada por

    ~B =(0, 0, 2 106 cos

    [2 106

    (x3 108t

    )]). (2.26)

    El campo electrico asociado a una onda plana debera satisfacer las ecuaciones de Maxwell;en particular

    ~B = 0~j + 1c2 ~E

    t. (2.27)

    Como la onda se propaga en el vaco se tiene que ~j = ~0, con lo que se tiene

    ~B = B0zk sin (kx t) . (2.28)

    Al introducir este resultado en la ecuacion (2.27) se obtiene

    B0zk sin (kx t) = 1c2 ~E

    t. (2.29)

    Integrando la expresion anterior respecto al tiempo obtenemos el campo electrico

    Ey =

    c2B0zk sin (kx t) dt = c

    2kB0z

    cos (kx t) , (2.30)

    que puede reescibirse de la siguiente manera

    ~E = (0, 6 102 cos[2 106

    (x3 108t

    )], 0)V/m. (2.31)

    Determinar la irradiancia instantanea y promedio de la onda.Para determinar la irradiancia instantanea hemos de calcular el modulo del vector dePoynting el cual viene dado por

    ~P = 10

    ~E ~B = c036 104 cos2[2 106

    (x3 108t

    )]. (2.32)

    Por lo tanto la irradiancia instantanea se obtiene como el modulo del vector calculado en(2.32). Para obtener la irradiancia promedio basta realizar el promedio temporal de lafuncion obtenida anteriormente (vease el problema 6 del Tema 1), por lo que se obtienenalmente

    I = c018 104 = 477.9 (W/m2). (2.33)

  • Tema 2. El campo electromagnetico 39

    Energa transportada por las ondas

    2.8 La irradiancia producida por el sol en la superficie de la tierra es I = 1.34 103W/m2. Calcular el campo electrico y el campo magnetico en la superficie de latierra, asumiendo que el promedio del vector de Poynting es igual al valor dela irradiancia.Como sabemos la irradiancia, IT , se obtiene como el promedio temporal del vector de Poynting,de modo que para una onda plana2 se tiene

    IT =c02

    ~E02 . (2.34)De manera que teniendo en cuenta la relacion (2.34) se llega a que

    ~E0 = 1.005103 (V/m).Asumiendo que el ndice de refraccion de la atmosfera es practicamente la unidad podemos

    estimar la amplitud de la induccion magnetica como ~B0 = | ~E0|c = 3.35 106 (T).

    Estimar la potencia emitida por el sol.Para ello deberemos de hacer algunas hipotesis que nos permitan hacer la estimacion deuna manera sencilla: por ejemplo hemos de considerar en primer lugar que la emisiondel sol es isotropa, esto es, que la energa emitida por unidad de tiempo es independientede la direccion. Ademas hemos de suponer por simplicidad que la orbita de la Tierra escircular3: en ese caso podemos considerar que el radio de la orbita es Rt = 1.49 1011m. De esta manera podemos aproximar la potencia emitida por el Sol por

    Psol ~PS = 1.34 1034R2t = 3.738 1026W. (2.35)

    Al hacer la estimacion indicada en (2.35) implcitamente estamos realizando una hipotesisadicional que consiste en considerar que la irradiancia es la misma, salvo el factor 1/R2

    en la supercie terrestre que fuera de la atmosfera, o lo que es lo mismo, que no hayabsorcion de la radiacion en la atmosfera. Es bien conocido que el espectro de emisiondel sol no es monocromatico y que el ujo de radiacion por unidad de longitud de ondano es el mismo fuera de la atmosfera que a nivel del mar, sino que debido a la presencia dediferentes compuestos moleculares en la atmosfera algunas radiaciones seran atenuadasas como esparcidas por la atmosfera, de ah que la estimacion realizada sea a la alta.

    Estimar la irradiancia recibida en la el territorio de Espana. Tenga encuenta que la latitud es de 40o.

    Una vez que tenemos una estimacion de la potencia emitida por el sol, podemos estimarla potencia luminosa que se recibe sobre la supercie del pas sin mas que considerar queaproximadamente la supercie de aquel es de unos Ae 500, 000 km2. As se tendra

    IE =PsolAe

    cos(40o) = 5.715 1014W. (2.36)

    Naturalmente en un da nuboso esta magnitud es susceptiblemente menor debido justa-mente a los procesos de esparcimiento que analizaremos en el Tema 3.

    2Imaginemos que el detector tiene un area tpica de 1 cm2, a la vista de los resultados del problema 5 del Tema 1vemos que considerar las ondas como planas es una buena aproximacion.

    3Esto nos permitira hacer estimaciones que sean independientes del da del ano.

  • 40 Problemas de Optica Fsica I

    Estimar la potencia en retina cuando se mira directamente al sol.Considerar que el ojo del observador cuya pupila es de P = 6 mm.Sabemos que podemos asimilar el ojo del observador a un dioptrioequivalente de 7.2 mm de radio y un ndice de no = 1.335. Determinarel flujo del vector de Poynting a traves de la superficie de la pupila. Si trasrefractarse en el dioptrio, la radiacion se concentra en un area de radioRr = 1.22

    f noP

    , donde f es la focal del dioptrio, estimar la irradiancia de laonda en la retina.En primer lugar podemos calcular la focal del dioptrio que resulta ser f = nr/(n1) =28.7 mm, con lo cual podremos determinar el area de la supercie iluminada en la retina,Sr = R

    2r = 1.5 1011 m2. Para esta estimacion del area iluminada hemos empleado

    una longitud de onda tpica = 0.5m. El ujo de radiacion que atraviesa un areaequivalente a la pupila es

    P =

    ~Pinc d ~SP = 1.34 103

    (P2

    )2= 37.89 103 (W ). (2.37)

    Podemos suponer que el ujo en la retina, R, sea proporcional al ujo incidente sobrela pupila, esto es,

    R =

    ~PR d ~Sr = P , (2.38)

    donde es un factor de proporcionalidad que tendra en cuenta las perdidas por reexionas como la fraccion de energa difractada. Podemos considerar que 0.82 como unaprimera aproximacion. A partir de la expresion (2.38) podemos estimar el modulo delvector de Poynting en la supercie iluminada en la retina que sera

    Iret = ~PR = P

    Sr= 2.07 109W/m2. (2.39)

    Vemos pues que la potencia por unidad de area es muy elevada de ah que si se mirasedirectamente al sol se produciran lesiones oculares irreversibles [ver problema 10 de esteTema donde sea analiza el campo electrico interatomico: notese que el campo electricoen la region focalizada sera del orden de 1.25 106 (V/m)].

    Estimar la potencia en retina cuando se antepone un filtro de densidadoptica D = 4.

    La densidad optica de un ltro se dene como

    D log10 T, (2.40)donde T es la fraccion de ujo transmitido respecto al incidente, por lo que al anteponerel ltro se tendra que ~P cfR

    = TPSr = 2.07 105W/m2. (2.41)Notese que en este caso el campo electrico en la region focalizada es del orden de 12.5103(V/m). Observese que a pesar de emplear el ltro la densidad de energa sigue siendomuy elevada. Es particularmente interesante este aspecto toda vez que durante uneclipse se suele observar el mismo sin las debidas precauciones y las consecuencias que sederivan de ello suelen ser la produccion de lesiones oculares notables. Naturalmente enla region de sombra del eclipse la irradiancia incidente sobre la pupila de un observadoren un da sin nubes esta notablemente reducida, pero en el caso de estar en la zona depenumbra esta situacion no es exactamente la misma.

  • Tema 2. El campo electromagnetico 41

    2.9 Un pulso de ultravioleta de 2.00 ns de duracion es emitido por una fuente lasery tiene un diametro de 2.5 mm y una energa de 6.0 J. Determinar la longitudespacial del pulso y su irradiancia.

    La longitud L del pulso sera

    L = ct = 3 108 2 109 = 0.6 (m). (2.42)

    La irradiancia sera

    I =energa

    unid. de tiempo unid. de area = 6.1 1014 (W/m2). (2.43)

    2.10 Un haz laser de 14 kW se focaliza sobre un area de 109 m2. Calcular lairradiancia y la amplitud del campo electrico en el foco.

    La irradiancia I vendra dada por la potencia por unidad de area, es decir

    I =P

    A=

    14 103109

    = 14 1012 (W/m2). (2.44)

    El valor de la amplitud del campo en el foco se obtiene a partir de la expresion de la irradiancia:

    I =c02|E0|2. (2.45)

    de donde

    |E0| =

    2I

    c0= 1.03 108 (V/m). (2.46)

    Se puede comparar el valor de este campo con una estimacion del campo atomico que existeentre un electron y un proton. Este campo vendra dado por la ley de Coulomb

    Ea =1

    40

    qer2B

    = 1.4 1011 (V/m). (2.47)

    En la expresion anterior se ha tomado rB el valor del doble del radio de Bohr, esto es 1010

    m.

    Por lo tanto, el campo creado por el laser es sucientemente intenso para ionizar la materia.Mediante un laser de YAG Neodimio focalizado en la cara posterior del cristalino se ionizala materia de ciertas cataratas que aparecen en la cara posterior del cristalino. El plasmaelectronico que se genera hace que se absorba la radiacion del laser produciendo un cambiolocal y brusco de la temperatura lo que produce a su vez una onda de choque que elimina lacatarata.

    2.11 Escribir la expresion de una onda plana linealmente polarizada que se propagaa lo largo del eje X y vibra a 300 del eje Z y cuya longitud de onda es = 2m.

    Indicar a que region del espectro electromagnetico corresponde estecampo.

    La radiacion considerada es monocromatica y pertenece a la region del infrarrojo cercano,por lo tanto no es visible por un observador humano.

  • 42 Problemas de Optica Fsica I

    Si la amplitud del campo es de 3 V/m hallar la irradiancia de la onda.La expresion del campo electrico viene dada por

    ~E(x, t) = 3ei(tk0x)u (V/m), (2.48)

    donde k0 = 106m1 es el modulo del vector de ondas, = 3 1014 s1 es lafrecuencia angular y u = [0, sin(30o), cos(30o)] es un vector unitario a lo largo de ladireccion de vibracion. La induccion magnetica asociada esta dada por

    ~B(x, t) = 108ei(tk0x)v (T), (2.49)

    donde v = [0, cos(30o),+sin(30o)] es la direccion en la que vibra el vector induccionmagnetica. De esta manera el vector de Poynting esta dado por

    ~P(x, t) = c09 cos2(t k0x) (W/m2). (2.50)

    La irradiancia promedio de la onda de la onda se obtiene promediando en (2.50) resul-tando

    I = ~P(x, t) = 1.195 102 (W/m2). (2.51)

    Determinar el flujo del vector de Poynting a traves de la superficie de uncuadrado de lado 1 cm perpendicular al eje X.

    El ujo del vector de Poynting a traves del cuadrado sera

    (~P) =Area

    ~P d ~A (W), (2.52)

    donde d ~A = dydz es el elemento de area normal al cuadrado. Realizando la integralindicada en (2.52) se llega a que (~P) = 2.3895 106 cos2(t k0x) (W).

    Esta onda incide sobre el ojo de un observador cuya pupila es de P = 6mm. Sabemos que podemos asimilar el ojo del observador a un dioptrioequivalente de 7.2mm de radio y un ndice de no = 1.335. Determinar el flujodel vector de Poynting a traves de la superficie de la pupila perpendicularal eje X. Si tras refractarse en el dioptrio, la radiacion se concentra en unarea de radio Rr = 1.22

    f noP

    , donde f es la focal del dioptrio, estimar lairradiancia de la onda en la retina.La onda plana colimada incide sobre el ojo. Si llamamos Ap al area de la pupila del ojo,supuesta esta en el plano del dioptrio, se tendra:

    Ap =

    (P2

    )2=

    (3 103)2 = 2.8 105m2. (2.53)

    El ujo de energa que pasa al ojo, suponiendo despreciables las perdidas por reexion,sera

    =1

    2c0|E0|2Ap = 1

    23 108 8.8 1012 32 2.8 105 = 3.3 107W. (2.54)

    El ojo converge este haz en la retina no en un punto tal como predice la optica geometricasi no hay aberraciones. Se produce una distribucion de irradiancia que consiste en unaserie de anillos concentricos. El 86 por ciento de la irradiancia se distribuye en un crculo

  • Tema 2. El campo electromagnetico 43

    de radio dado por la expresion Rr = 1.22f noP

    . Por lo tanto, si Ar es el area de estecrculo, la irradiancia en la retina sera

    Ir =

    Ar. (2.55)

    Para calcular el valor de Ar necesitamos conocer la focal del ojo teorico que se propone.Aplicando el invariante de Abbe al dioptrio se tiene

    n

    s n

    s=

    n nr

    , (2.56)

    es decir1.335

    s 1 =

    0.335

    7.2, (2.57)

    de donde f s = 28.7 mm. Por lo tanto el area Ar es

    Ar = R2r = 1.5 1011m2. (2.58)

    Substituyendo los valores en la expresion (2.55) se obtiene una irradiancia en la retinade

    Ir = 0.823.3 1071.5 1011 = 1.85 10

    4W/m2. (2.59)

    2.12 Considere una fuente de ondas electromagneticas esfericas situada en el origenque emite en 0 = 555 nm.

    Expresar el campo electrico de las ondas emitidas por la fuente.La expresion del campo electrico vendra dada por

    ~E(~r, t) =E0rcos(t kr)u, (2.60)

    donde r = |~r| y u es un vector unitario que en cada punto del frente de ondas perteneceal plano tangente a las supercies de fase constante (esfera).

    Expresar el vector de Poynting de las ondas emitidas.En este caso la expresion del vector de Poynting esta dada por

    ~P(~r, t) = c0E20

    r2cos2(t kr)ur, (2.61)

    donde ur =xr +

    yr +

    zr k es un vector unitario que en cada punto es perpendicular a las

    supercies de fase constante. El promedio temporal del vector de Poynting vendra dadopor

    ~P(~r)

    =1

    2c0

    E20r2

    ur, (2.62)

    A una distancia D se coloca un detector circular de radio R0. Determinarel flujo del promedio temporal del vector de Poynting a traves del area deldetector.El ujo vendra dado por la expresion

    D =

    A

    ~P(~r)

    d~S, (2.63)

  • 44 Problemas de Optica Fsica I

    Z

    D

    r

    a/0 2

    Y

    R0

    X

    Figura 2.5: Esquema de la situacion considerada. La fuente puntual esta colocada en la perpendicularque parte del centro del detector.

    donde d~S es el elemento innitesimal de area normal al detector que viene dado pord~S = dxdz (ver Figura 2.5). En este caso el vector unitario ur en cada punto de lasupercie del detector viene dado por ur =

    xr +

    Dr +

    zr k. Teniendo en cuenta esto

    llegamos a que la expresion (2.63) resulta

    D =

    A

    c0E20

    2r2D

    rdxdz. (2.64)

    Para realizar la integral indicada en (2.64) es preferible expresarla en coordenadaspolares: teniendo en cuenta que r2 = D2 + 2 se llega a que dxdz = dd, de modoque nalmente se llega a que

    D = 2c0E

    20D

    2

    D2+R20D

    1

    r2dr. (2.65)

    La integral radial que resta en (2.65) es elemental por lo que el resultado puede expresarsecomo

    D =c0E

    20

    22 [1 cos (0/2)] , (2.66)

    donde tan(0/2) =R0D . A la vista del resultado expresado en (2.66) vemos que el ujo

    total recibido por el detector viene dado por

    D = L4 sin2(04

    )= L, (2.67)

    donde = 4 sin2(04 ) es el angulo solido que subtiende el detector desde la fuente y

    L =c0E20

    2 .

  • Tema 2. El campo electromagnetico 45

    Es particularmente interesante considerar el caso en el queR0 D de modo que entoncesel angulo solido puede aproximarse a R20

    D2= Area

    D2. Esta aproximacion sera empleada

    mas adelante.

    Suponga ahora que la fuente se desplaza una cantidad a en la direccion deleje Z de modo que se verifica que a D. Obtenga la expresion del flujoradiante que incide sobre el detector en estas condiciones.

    A partir de la expresion (2.63) el ujo radiante en la nueva situacion vendra dado por

    D =

    A

    ~P(~r)

    d~S =

    A

    ~P(~r) dS cos(), (2.68)siendo el angulo indicado en la Figura 2.6.

    Z

    D

    L1a

    b

    Y

    X

    r

    R0

    Figura 2.6: Esquema de la situacion considerada. La fuente puntual se ha desplazado una distancia arespecto a la situacion considerada en la Figura 2.5.

    A la vista del resultado anterior, cabe esperar que el ujo radiante pueda expresarse demanera similar al obtenido en (2.67) donde ahora sera sustituido por el nuevo angulosolido subtendido . Si consideramos que D >> R0 podremos estimar el nuevo angulosolido como = Area

    L21, donde ahora el area de la supercie corresponde a una elipse de

    semiejes R0 y R0 cos(). Teniendo en cuenta ademas que D = L1 cos() llegamos a que

    el angulo solido en la nueva situacion sera = R0R0 cos()L21

    = cos3(). Con lo cual

    teniendo en cuenta las ecuaciones (2.67) y (2.68) llegamos a que el ujo radiante vendradado por

    D = Lcos4(). (2.69)

    Determinar el flujo luminoso si E0 = 2 V/m, R0 = 1 cm yD = 5 metros y lafuente esta enfrentada con el centro del detector.

  • 46 Problemas de Optica Fsica I

    El ujo luminoso, lD, es la magnitud fotometrica4 asociada al ujo radiante que es la

    magnitud radiometrica hasta ahora empleada. Para convertir la magnitud radiometricaa fotometrica basta tener en cuenta que

    lD = Ky0D, (2.70)

    donde K = 680 lumenes/Watio es el factor de conversion comunmente aceptado e y0 esel valor de la curva de luminosidad estandard para la longitud de onda de interes (estacurva esta normalizada a la unidad en 0 = 555 nm). Tras realizar los calculos indicadosen (2.70) llegamos a que el ujo luminoso es lD = 0.000454 lumenes.

    Supongamos ahora que la fuente es extensa y de forma circular (radio Rf).Asimismo suponga que cada punto de la fuente emite de manera isotropay de manera independiente con respecto a la emision de otros puntos.Finalmente considere que el radio de la fuente verifica la condicion Rf D.Obtenga la expresion del flujo radiante que incide sobre el detector en estascondiciones.

    En este caso lo interesante estriba en considerar justamente que los diferentes puntosde la fuente emiten de manera independiente, de forma que la contribucion al ujo porparte de cada punto de la misma es independiente: en otras palabras vamos a haceruna superposicion incoherente de las irradiancias procedentes de cada punto. De estamanera, si tenemos en cuenta el resultado expresado en la ecuacion (2.69), la contribucional ujo total de un punto desplazado una cantidad a

    dExtD = Lcos4()dxsdys, (2.71)

    donde xs e ys son coordenadas en el plano de la fuente. Si expresamos la ecuacion (2.71)en coordenadas polares tendremos

    dExtD = L

    [D

    D2 + 2s

    ]4sdsds. (2.72)

    Si sumamos a todos los puntos de la fuente se tendra

    ExtD = LD2 sin2(0), (2.73)

    donde 0 = arctan(RfD

    ).

    4Ver G. Wyszecki, Color Science: concepts and methods, quantitative data and formulae, 2nd Edition, (John Wiley& Sons, New York, 1982), Caps. 1 y 2.

  • Tema 2. El campo electromagnetico 47

    2.13 Considere una carga q en el origen de coordenadas que ejecuta un movimientooscilante en la direccion del eje Z de la forma z(t) = A0 cos(t). Este movimientoacelerado produce emision de ondas electromagneticas dadas por

    ~E(r, t) =q

    40c2rs s z(t)k,

    ~B(r, t) =04cr

    z(t)k s (2.74)

    donde t = tr/c es el instante retardado y s es un vector unitario en la direccionde observacion. Esta es la conocida expresion del campo radiado por un dipolooscilante en la zona de ondas. Tengase en cuenta que en esta region loscampos radiados cumplen la relacion de transversalidad que hemos analizadopara ondas planas.

    Expresar explcitamente el campo electrico de las ondas emitidas por lafuente.En primer lugar vamos a considerar la forma del vector unitario en la direccion deobservacion que esta dado por

    s =x

    r+

    y

    r+

    z

    rk. (2.75)

    De la misma manera evaluaremos la aceleracion de la partcula que vendra dada por

    z(t) = 2A0 cos (t kr) . (2.76)

    Con lo cual nos resta realizar el triple producto vectorial indicado en (2.74) que resulta

    ~E(r, t) = A0q2

    40c2r

    [xz

    r2+

    yz

    r2 x

    2 + y2

    r2k

    ]cos (t kr) . (2.77)

    Expresar explcitamente el campo magnetico de las ond