Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
Tema A1a Diseño Mecánico: Optimización del diseño de una transmisión mecánica
“Optimización del diseño preliminar de una transmisión mecánica mediante cúmulo de partículas”
S.V. Camacho Gutiérreza*, J.C. Jáuregui Correaa
aUniversidad Autonoma de Querétaro, Cerro de las Campanas S/N, Santiago de Querétaro, Querétaro, 76010, México
*Autor contacto.Dirección de correo electrónico: [email protected]
R E S U M E N
Este artículo presenta un método para optimizar el diseño preliminar de una transmisión mecánica con el objetivo de disminuir la sincronización no lineal entre sus componentes y por tanto, aumentar su vida útil. Esta optimización toma en
cuenta los principales parámetros que propician el solapamiento de las frecuencias de excitación y de esta forma se evitan
resonancias. Los resultados muestran que la metodología propuesta mejora la distribución de las frecuencias de excitación,
y de esta manera se evita que se produzcan efectos no deseados como la sincronización no lineal o el efecto de “beating”
entre frecuencias consecutivas.
Palabras Clave: Optimización, transmisión mecánica, cúmulo de partículas
A B S T R A C T
This article presents a method to optimize the preliminary design of a mechanical transmission in order to reduce the non-linear synchronization between its components and, therefore, increase its useful life. This optimization takes into account
the main parameters that lead to the overlapping of the excitation frequencies and in this way prevent resonances. The
results show that the proposed methodology improves the distribution of the excitation frequencies, thus avoiding
undesirable effects such as non-linear synchronization or the beating vibration effect between consecutive frequencies.
Keywords: Optimization, mechanical transmission, swarm particle
1. Introducción
El diseño de una transmisión mecánica comprende el
dimensionamiento de sus elementos con base en los
requerimientos de potencia y velocidad. Sin embargo, en
la práctica estos elementos se calculan de manera individual sin considerar su interacción dinámica. Estas
interacciones dinámicas pueden causar una carga
dinámica y excitaciones externas debidas a los defectos en
los elementos.
Existen algunas investigaciones que se han enfocado
en optimizar el diseño de transmisiones mecánicas y sus
componentes. Por ejemplo, Faggioni y otros [1] y Korta y
Mundo [2] optimizaron el diseño de engranes
minimizando el error de transmisión; Kumar y otros [3]
aumentaron la vida útil de rodamientos usando algoritmos
genéticos; otros investigadores desarrollaron
metodologías basadas en algoritmos de optimización para minimizar el volumen de trenes de engranes [4-6].
Sin embargo, ninguna de estas investigaciones toma en
cuenta las interacciones entre los componentes.
De acuerdo a Jáuregui [7], la rigidez de la carcasa
establece una condición que permite a las ondas no
lineales viajar entre engranes y rodamientos, induciendo
la sincronización no lineal de estos componentes, y su
efecto incrementa la carga dinámica entre ambos. Esta
sincronización dinámica puede ser minimizada si se
diseña una carcasa lo suficientemente rígida o se
optimizan las frecuencias de excitación de engranes y
rodamientos para evitar solapamientos.
Asimismo, Parey y otros [8] por medio de un modelo dinámico encontraron que las fuerzas de excitación
incrementan la frecuencia del engranaje. La mayoría de
las transmisiones mecánicas son diseñadas sin tomar en
consideración la sincronización no lineal y esto podría
aumentar el ruido o disminuir su vida útil.
Dado que las frecuencias de excitación de los engranes
y rodamientos descritas por [9] están en función de sus
parámetros de diseño (número de dientes, diámetro paso,
ISSN 2448-5551 DM 306 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
etc.), el problema de diseño consistirá en encontrar las
dimensiones adecuadas de engranes y rodamientos que
provean la vida útil más larga de acuerdo a los
requerimientos de potencia y velocidad.
Las variables a ser optimizadas son continúas y
discretas, y su espacio de solución varía abruptamente, por
ello, los métodos de optimización tradicional como los
basados en el gradiente no funcionan con este problema de optimización, pero los algoritmos de optimización
metaheurísticos han demostrado buenos resultados [10],
especialmente aquellos basados en la naturaleza como los
algoritmos evolucionarios y de inteligencia colectiva.
Actualmente hay una discusión acerca de cuál algoritmo
de optimización es el mejor, pero el algoritmo de cúmulo
de partículas es que ha obtenido mejores resultados [11,
12].
En este trabajo se propone un método de diseño para
minimizar la excitación dinámica producida por los
elementos rodantes mediante el uso del algoritmo de
optimización de cúmulo de partículas, el diseño obtenido tiene la mejor distribución de frecuencias de excitación.
En las siguientes secciones se presenta el método de
diseño y se ejemplifica con el diseño de una transmisión
mecánica simple.
2. Formulación del problema de optimización
2.1 Función objetivo
Para determinar el acercamiento o traslape de las
frecuencias se excitación se planteó maximizar la
diferencia mínima entre todas las frecuencias de
excitación consecutivas (ec. (1)).
nnf 1min (1)
Estas frecuencias de excitación dependen de los
parámetros de diseño de la transmisión mecánica [9]. Para el caso de una transmisión mecánica simple, compuesta
de un par de engranes montados sobre 4 rodamientos (2 se
consideran iguales) (Fig. 1), se tienen 11 frecuencias.
Cuatro frecuencias de excitación por cada rodamiento
debidas al contacto entre el elemento rodante y la pista
interna y externa (frecuencias ir y or , ec. (2) y (3)), y
a las frecuencias de giro de la carcasa y del elemento
rodante (frecuencias c y re , ec. (4) y (5)). Estas
frecuencias están en función de N que corresponde al
número de elementos rodantes, d es el diámetro del
elemento rodante, D el diámetro de paso del rodamiento,
α el ángulo de contacto axial y i es la frecuencia de giro del eje.
Adicionalmente, se consideran tres frecuencias de
excitación asociadas al desbalanceo de ejes, la frecuencia
del piñón 1 , de la corona 2 y del tren de engranaje
gm (ec. (6)-(8)) que a su vez son función de la relación
de reducción r , del número de dientes del piñón 1N y del
engrane 2N . Todas las frecuencias fueron usadas en
ciclos por minuto (CPM). Estas frecuencias no se obtienen
en este orden, por lo que el algoritmo contempla un paso
para acomodarlas de menor a mayor.
iirD
dN
)cos(1
2 (2)
iorD
dN
)cos(1
2 (3)
icD
d
)cos(1
2
1 (4)
ireD
d
d
D
2))cos((1 (5)
1 (6)
r
12
(7)
2211 NNgm (8)
2.2 Variables de diseño
Las variables de diseño corresponden a aquellos
parámetros que el algoritmo de optimización variará a fin
de encontrar la mejor distribución de las frecuencias de
excitación. De acuerdo a las ec. (2)-(5), las frecuencias de
excitación de los rodamientos están en función del número
de elementos rodantes, el diámetro de paso del elemento rodante y del rodamiento y del ángulo de contacto, sin
embargo, para obtener un diseño real estos parámetros de
diseño fueron tomados a partir de una base de datos
construida del catálogo de rodamiento de bolas de Timken
[13]. Los datos de los rodamientos fueron clasificados de
acuerdo a su número de catálogo, este número se
identifica como b . Por tanto, los rodamientos de entrada
se denotan como 1b y los de salida como 2b , y cada uno
asocia los cuatro parámetros de diseño mencionados.
El número de dientes del piñón y de la corona están
relacionados con la relación de reducción r (ec. (9)):
1
2
N
Nr (9)
Por ello, sólo el número de dientes de la corona 2N
fue considerado como variable de diseño, la relación de
Figura 1 Transmisión mecánica simple
ISSN 2448-5551 DM 307 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
reducción r generalmente se establece como parámetro
de entrada. Sin embargo, si esta relación de reducción
se deja fija para calcular el número de dientes del piñón
1N se limita el espacio de soluciones, por tal motivo se
agregó una variación k ,entre 0 y 1. La relación de
reducción también fue designada como variable de diseño.
El último parámetro de diseño es el paso diametral dP
de los engranes, aunque no está involucrado directamente con las frecuencias de excitación, interfiere de manera
muy importante con las restricciones. Los valores de esta
variable fueron tomados de una base de datos de pasos
diametrales estándar. Finalmente, el vector de variables de
diseño es (ec. (10)):
dPrNbbX ,,,, 221 (10)
2.2 Restricciones
Las restricciones de dominio se muestran en la tabla 1.
Los valores mínimos y máximos de las variables 1b y 2b están limitados por el tamaño de la base de datos, del
mismo modo que el paso diametral dP . En cuanto al
número de dientes de la corona 2N , el mínimo se
estableció con base en una relación para asegurar que no
ocurra interferencia entre dientes de engranes rectos para
un ángulo de presión de 20° de acuerdo a [14], el número
máximo se dejó en 200, ya que en la práctica es inusual
tener un número más grande. Finalmente, la relación de
reducción está limitada por un factor k y la relación de
reducción u (parámetro inicial que da el diseñador).
Tabla 1 – Restricciones de dominio.
Variable de diseño Límite inferior Límite superior
1b 1 47
2b 1 47
2N 18r 200
r u-ku u+ku
dP 1 16
Por otra parte, también se incluyeron restricciones de
desigualdad. Para aplicarlas a la función objetivo, se
utilizó el método de penalización, por lo que la ec. (1) se
convierte en:
jnn Pf 1min (11)
Donde es la función de penalidad y jP representa los
coeficientes de penalización, los cuales son aplicados cada
vez que una restricción de desigualdad es violada. La
primera restricción de desigualdad está asociada con la
diferencia entre frecuencias consecutivas, esta debe ser más grande que cierto porcentaje s de (ec. (12)):
snn 1min (12)
El primer coeficiente de penalización es (ec. (13)):
sw
sP
nn
1
1 (13)
Las otras restricciones están asociadas con la vida útil
de los engranes y rodamientos. Siguiendo la norma AGMA 908-B89 [15], se tomaron los factores que
relacionan la vida de los engranes con los ciclos de
esfuerzos NZ y NY tal como se muestra en las ec. (14) y
(15):
N
acH
RTHC ZSC
KKSS (14)
N
at
RTFt YS
KKSS (15)
Donde cS es el número de esfuerzo de contacto, HSes el factor de seguridad por picadura, RK es el factor de confiabilidad, TK es el factor de temperatura, HC es el
factor de relación de durezas, acS es el número de
esfuerzo de contacto permisible, tS es el número de
esfuerzo flexionante, FS es el factor de seguridad y atS
es el número de esfuerzo flexionante admisible. Estos
factores corresponden a datos de entrada del diseño [16].
El lado izquierdo de la ec. (14) se denominará NxZ y el
lado izquierdo de ec. (15) NxY . Las constantes de
penalización para mejorar la vida de los engranes son ecs.
(16) - (18)
Nx
NNx
Z
ZZP
2 (16)
1
113
Nx
NNx
Y
YYP
(17)
2
224
Nx
NNx
Y
YYP
(18)
La última restricción (ec. 19) se calcula para los
rodamientos de entrada y salida, donde es la carga
dinámica base, equivale a 3 para rodamientos de bola y es
la carga dinámica radial equivalente [14].
66 101101 xxP
Ce
r
(19)
La vida esperada de los rodamientos se calcula para un
millón de ciclos, el lado izquierdo de ec. (19) se nombró
diL . Las constantes de penalización asociadas a esta
restricción son:
6
1
6
5101
101
x
LxP d (20)
6
2
6
6101
101
x
LxP d (21)
ISSN 2448-5551 DM 308 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
Si las restricciones no son violadas, los coeficientes de
penalidad correspondientes se convierten en cero.
3. Algoritmo de optimización: Cúmulo de partículas
El algoritmo de optimización por cúmulo de partículas
(PSO) fue publicado por primera vez en 1995 por [17].
Este algoritmo está basado en el comportamiento de las
parvadas o en cualquier otro grupo de animales con
inteligencia colectiva. Está definido por el número de
partículas swarmN , que son soluciones candidatas,
por lo tanto, el tamaño de cada partícula equivale al
número de variables de optimización y representa una posición. Estas partículas se mueven en el espacio de
búsqueda iterativamente al ajustar sus velocidades. Como
la velocidad depende de los valores pasados tanto de
velocidad como posición, cada partícula guarda su mejor
posición P y del mismo modo, guardan la mejor posición
de todas las partículas [18]. El diagrama de flujo se
muestra en la Fig. 1.
El primer paso para correr el algoritmo consiste en
establecer el tamaño de la población swarmN , el número
de iteraciones que se ejecutará el algoritmo iterN , las
constantes 1C y 2C y los datos de entrada de los
engranes. De acuerdo [18], los valores de 1C y 2C no deben asignarse independientemente; para este problema
de optimización se utilizaron los valores recomendados
por este mismo autor. El siguiente paso consiste en
generar posiciones aleatorias de las partículas dentro de
los límites inferiores y superiores. Posteriormente el
algoritmo itera hasta que alcance el número de iteraciones
establecido.
El PSO se aproxima a la mejor posición con la
información de cada partícula. La velocidad iV y
posición iX de las partículas es determinada por ecs. (22)
y (23), respectivamente. Donde iP representa la mejor
posición visitada por cada partícula y G es la mejor posición de todas las partículas.
))(1,0())(1,0( maxmax11 iiiii XGrandCXPrandCVCV (22)
11 iii VXX (23)
Para evaluar iX y actualizar iP y G , se deben seguir
estos pasos:
Encontrar las frecuencias de excitación ecs. (2) – (8)
de cada partícula.
Ordenar las frecuencias de excitación.
Obtener la diferencia entre frecuencias consecutivas Obtener el costo ec. (1).
Aplicar penalidades ecs. (11)-(21)
Si la posición actual de la partícula es superior que su
mejor posición iP , entonces se actualiza su valor, del
mismo modo se actualiza la mejor posición G de todas
las partículas.
4. Resultados y discusión
Los parámetros para ejecutar la optimización por cúmulo
de partículas se muestra en la Tabla 2. Los datos de
entrada fueron definidos de acuerdo a la norma AGMA
908-B89 [15] y AGMA 2001-D04 [16] y se muestran en
la Tabla 3. Asimismo, se estableció como separación
mínima entre frecuencias consecutivas 11. s .
Tabla 2– Parámetros para el algoritmo de cúmulo de partículas.
Parámetro Valor
swarmN 25
iterN 300
1C 0.8
2C 1.62
El algoritmo fue programado en el software Matlab, en
una computadora equipada Core-i5 4200-U y fue
ejecutado cinco veces para comparar la velocidad de
convergencia y el óptimo global. Estos resultados se
Figura 2 Diagrama de flujo del algoritmo de optimización
"cúmulo de partículas"
ISSN 2448-5551 DM 309 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
muestran en la tabla 4. En las tabla 5 se muestran los
valores de las variables de diseño de la primera iteración
y última iteración del mejor resultado del PSO (de acuerdo
a tabla 4, corrida 4). Finalmente, las tablas 6 y 7 muestran
las frecuencias de excitación optimizadas después de la
primer y última iteración, respectivamente.
Tabla 3- Datos de entrada de engranes
Dato de entrada Piñón Engrane
Distancia operative entre centros 9
Velocidad 1500 500
Relación de reducción u 3
Angulo de presión 20°
Factor espesor orilla 𝑲𝒃 1
Factor de temperatura 𝑲𝑻 1
Factor de confiabilidad 𝑲𝑹 1
Factor de sobrecarga 𝑲𝒐 1
Factor de condición de superficie 𝑪𝒇 1
Factor relación de durezas 𝑪𝑯 1
Factor seguridad por picadura 𝑺𝑯 1.1
Factor seguridad por flexión 𝑺𝑭 1.1
Número de esfuerzo de contacto
permisible 𝑺𝒂𝒄 1.75 𝑥 105
Número de esfuezo flexionante admisible
𝑺𝒂𝒕 4.5 𝑥 104
Carga tangencial transmitida 𝑾𝒕
Potencia transmitida 2
Factor dinámcio 𝑲𝒗
Grado de precisión 𝐴𝑣 7
Desviación de paso 0
Relación de Poisson 0.3
Modulo de elásticidad 3 𝑥 107
Factor de distribución de carga 𝑲𝒎
Factor de corrección de carga 𝐶𝑚𝑐 1
Factor de alineamiento 𝐶𝑒 1
Offset del piñón 1.4
Distancia entre rodamientos 5
Clase de caarcasa Unidad comercialmente
sellada
Factor por ciclos de carga
𝑍𝑛 1
𝑌𝑛 1
Tabla 4– Resultados generales de optimización por cúmulo de
particular.
Corrida
Iteración
donde
convergen
Tiempo de
ejecución
(s)
Diferencia
mínima entre
frecuencias
optimizada
(CPM)
1 29 7.41 187.2755
2 49 7.39 187.2755
3 176 7.38 187.2755
4 7 7.37 187.2755
5 15 7.44 187.2755
Tabla 5– Variables de diseño 1° y última iteración PSO
Iteración Variables de diseño
𝑩𝟏 𝑩𝟐 𝑵𝒈 𝑷𝒅 𝒓
1 29 10 58 6 3.0689
300 43 40 54 2 3.1764
Tabla 6– Frecuencias de excitación optimizadas después de la 1°
iteración
Frecuencia de excitación CPM
ir (rodamiento entrada) 15251.62
or (rodamiento entrada) 11748.37
c (rodamiento entrada) 652.68
re (rodamiento entrada) 10978.77
ir (rodamiento salida) 3214.26
or (rodamiento salida) 2162.13
c (rodamiento salida) 196.55
re (rodamiento salida) 1840.00
Frecuencia de tren de engranaje gm 87000
Frecuencia piñón 1 1500
Frecuencia corona 2 488.76
Tabla 7– Frecuencias de excitación optimizadas después de la
última iteración
Frecuencia de excitación CPM
ir (rodamiento entrada) 15969.54
or (rodamiento entrada) 12530.45
c (rodamiento entrada) 659.49
re (rodamiento entrada) 11101.92
ir (rodamiento salida) 3894.18
or (rodamiento salida) 2716.93
c (rodamiento salida) 194.07
re (rodamiento salida) 2489.28
Frecuencia de tren de engranaje gm 25500
Frecuencia piñón 1 1500
Frecuencia corona 2 472.22
ISSN 2448-5551 DM 310 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
De acuerdo a los resultados mostrados en las Tabla 4,
tenemos que el promedio del tiempo de ejecución es de
7.39 s, las diferencias mínimas entre frecuencias de
excitación optimizadas en las 5 corridas que se ejecutaron
fueron iguales, aunque en la corrida 3, el algoritmo tardó
más en converger (176 iteraciones). Esto se debe a que el
algoritmo trabaja con aleatoriedad, de ahí el nombre de la
categoría de algoritmos metaheurísticos, dado que las posiciones iniciales son aleatorias y que las ecuaciones
(22) y (23) son afectadas también por número aleatorios.
De la tabla 5 podemos observar que existe un cambio
significativo entre los modelos de rodamientos, pasos
diametrales y relación de reducción entre la primera
iteración y la última, mostrando así que el algoritmo hace
una exploración diversificada en el espacio de solución.
De acuerdo a las frecuencias mostradas en la Tablas 6
y 7 la diferencia mínima entre frecuencias de excitación
consecutivas fue de 163.92 CPM y 187.2755,
correspondientes a los valores optimizados después de la
primera y última iteración, respectivamente, de tal manera que se obtuvo una mejora del 14% con respecto al diseño
inicial. Asimismo, es importante mencionar que desde la
primera iteración, los diseños no violan alguna restricción
descrita en las secciones anteriores, por lo que se cumple
con las condiciones de diseño y vida útil dadas por el
usuario y las normas AGMA [15, 16]
5 Conclusión
El algoritmo de cúmulo de partículas es un método idóneo
para la resolución de problemas complejos como el
requerido para el diseño de la transmisión mecánica,
puesto que sus variables de diseño están íntimamente
relacionadas en las ecuaciones de vida útil, asimismo, los
parámetros de diseño contemplan tanto números discretos
como continuos, de tal manera que el espacio de
soluciones se vuelve complejo, pero al utilizar este
algoritmo fue posible agregar bases de datos de compontes reales para lograr un diseño práctico.
Asimismo, se logró el objetivo de incluir las
aportaciones de cada componente a la dinámica del
sistema al optimizar la distribución de las frecuencias de
excitación que pueden propiciar el fenómeno de
sincronización no lineal.
Este trabajo representa una metodología que puede ser
aplicada en el proceso de diseño preliminar de una
trasmisión mecánica, puesto que el diseñador debe
confirmar que las frecuencias de excitación están lo
suficientemente separadas una de otra para evitar
resonancias o el efecto beating entre las frecuencias, ambas condiciones disminuirían notablemente la vida útil
de la transmisión si llegaran a presentarse.
REFERENCIAS
[1] M. Faggioni, F. S. Samani, G. Bertacchi, F. Pellicano, Dynamic
optimization of spur gears, Mechanism and Machine Theory 46, no. 4 (pp. 544–557) (2011). [2] J. A. Korta, D. Mundo, Multi-objective micro-geometry optimization
of gear tooth supported by response surface methodology, Mechanism and Machine Theory 109 (pp. 278–295), (2017). [3] K. S. Kumar, R. Tiwari, P. V. V. N. Prasad, An Optimum Design of
Crowned Cylindrical Roller Bearings Using Genetic Algorithms, Mechanism and Design 131, no. 5 (2009). [4] Y. Luo, D. Liao, The elite multi-parent crossover evolutionary
optimization algorithm to optimum design of automobile gearbox, International Conference on Artificial Intelligence and Computational Intelligence. AICI 2009 1 (pp. 545–549) (2009). [5] X. Qimin, X. Qili, Study on Optimal Design of Planetary Gear
Reducer Based on Particle Swarm Algorithm and Matlab, 2 2010 Sixth International Conference on Semantics, Knowledge and Grids. Grids (pp. 391–394) (2010). [6] S. Golabi, J. J. Fesharaki, M. Yazdipoor, Gear train optimization
based on minimum volume/weight design, Mechanism and Machine Theory 73 (pp. 197–217) (2014). [7] J. C. Jauregui-Correa, “The effect of nonlinear traveling waves on
rotating machinery,” Mech. Syst. Signal Process. 39, no. 1–2 (pp. 129–
142) (2013). [8] A. Parey, M. El Badaoui, F. Guillet, N. Tandon, Dynamic modelling
of spur gear pair and application of empirical mode decomposition-
based statistical analysis for early detection of localized tooth defect, J. Sound Vib. 294, no. 3 (pp. 547–561) (2006). [9] J. C. Jauregui, Parameter identification and monitoring of
mechanical systems under nonlinear vibration. Mechanical Systems and Signal Processing 39, (pp. 129-142) (2013) [10] X. S. Yang, S. Deb, S. Fong, X. He, Y. X. Zhao, From Swarm
Intelligence to Metaheuristics: Nature-Inspired Optimization
Algorithms, Computer (Long. Beach. Calif). 49, no. 9 ( pp. 52–59) (2016). [11] Y. Shi, R. C. Eberhart, Empirical study of particle swarm
optimization,” in Evolutionary Computation, CEC 99. Proceedings of the 1999 Congress on, 3, (pp. 945–1950) (1999). [12] A. W. Hammad, B. N. Thannoon, Genetic Algorithm Versus
Particle Swarm Optimization in N-Queen Problem, Journal of Al-Nahrain University 10, no. 2 (pp. 172–177) (2007). [13] Timken Company, Timken Engineering Manual, (2011). [14] R. L. Mott, Diseño de elementos de máquinas. Pearson educación, (2006) [15] American Gear Manufacturers Association, Geometry
Factors for Determining the Pitting Resistance and Bending Strength
of Spur, Helical and Herringbone Gear Teeth AGMA 908-B89, (1989). [16] American Gear Manufactures Association, ANSI/AGMA 2001-
D04 Fundamental Rating Factors and Calculation Metrhods for
Involute Spur and Helical Gear Teeth, (2004). [17] J. Kennedy, R. Eberhart, Particle swarm optimization, 1995 IEEE Int. Conf. Neural Networks (ICNN 95) 4, (pp. 1942–1948) (1995). [18] M. Clerc, Particle Swarm Optimization. ISTE Ltd (2006).
ISSN 2448-5551 DM 311 Derechos Reservados © 2017, SOMIM