optimizacion

Clases particulares de Matemtica Fsica Qumica. 663673819-922315911www.matematicayfisica.com

Ejercicios de OPTIMIZACIN.

1) Problema del cable ms corto. Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Calcule aproximadamente la longitud mnima de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes y luego hasta la punta del otro poste. (R: lmn: 2,32 + 9,83 = 17,20 m).

2) El primer problema de la ventana. Una ventana tiene la forma de un rectngulo coronado con un semicrculo. Encuentre las dimensiones de la ventana que deja pasar ms luz, si su permetro mide 5 metros. (R: ancho: 1,4 m; alto: 1,4 m; r = 0,7 m).

3) Las pginas de un libro deben medir cada una 600 cm2 de rea. Sus mrgenes laterales y el inferior miden 2 cm y el superior mide 3 cm. Calcular las dimensiones de la pgina que permitan obtener la mayor rea impresa posible. (R: 305;304 ).

4) Un segmento de longitud de 5 cm apoya sus extremos en los semiejes positivos Ox y Oy, de tal manera que forma con stos un tringulo. Halla las dimensiones del tringulo de rea mxima as construido.

5) Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por un tringulo equiltero. Sabiendo que el permetro de la ventana es 6,6 m, hallar sus dimensiones para que la superficie sea mxima. (R: 1,54; 0,99).

6) Dividir un segmento de 6 cm de longitud en dos partes con la propiedad de que la suma de las reas del cuadrado y del tringulo equiltero construidos sobre ellos sea mxima. (R: 5,3; 0,7).

7) En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblndolo convenientemente hagan con el mismo un cuadriltero con los cuatro ngulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decmetros cuadrados tenga de superficie el cuadriltero construido. Calcula razonadamente la cuanta del mximo premio que se pueda obtener en este concurso. (R: x = 5 dm; y = 5 dm; A = 25 dm2; cuanta = 25 euros).


8) Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectngulo. Qu dimensiones debe tener la zona cercada para que su rea sea la mayor posible? (R: 40; 20).

9) Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. Qu dimensiones deber tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor rea posible? Razonar el proceso. (R: 100, 100).

10) Un terreno de forma rectangular tiene 400 m2 y va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros. Cules sern las dimensiones del solar que hacen que el costo de la valla sea mnimo? (R: 20 x 20 m).

11) Supongamos que el solar del problema anterior tiene 200 m2 y un lado a lo largo del ro requiere una valla ms costosa de 5 euros el metro lineal. Qu dimensiones darn el costo ms bajo? (R: 15 x 40/3 m).

12) Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los mrgenes superior e inferior han de tener 2 cm cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mnimo. (R: x = 10, y = 5).

13) Un pastor dispone de 1000 m de tela metlica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones de la cerca para que el rea encerrada sea mxima. (R: 250, 500).

14) Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por un tringulo equiltero. Sabiendo que el permetro de la ventana es de 6,6 m, hallar sus dimensiones para que la superficie sea mxima. (R: x = 1,54; y = 0,99).

15) Se considera una ventana cuya parte inferior es rectangular y la superior es una semicircunferencia. El permetro de la ventana mide 6 m. Halla las dimensiones x e y del rectngulo para que la


superficie de la ventana sea mxima. (Expresa el resultado en funcin de ). (R: x = 1,68; y = 0,84).

16) Entre todos los rectngulos de permetro 12 m, cul es el que tiene la diagonal menor? Razonar el proceso seguido. (R: x = 3, y = 3).

17) Calcula el rea mxima que puede tener un tringulo rectngulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm. (R: 2,2).

18) Se quiere construir un estanque en forma de paraleleppedo cuadrangular y recto cuya rea sea 192 m2. Calcule las dimensiones del que tenga mayor volumen.

19) Calcule las dimensiones de un bote cilndrico de 1 litro de capacidad para que se utilice en su construccin la menor cantidad posible de material.

20) El propietario de un edificio tiene alquilados los 52 pisos del mismo a 266 euros al mes cada uno. Por cada 7 euros que aumente en el alquiler de cada piso pierde un inquilino y, por tanto, queda el correspondiente piso sin alquilar. Cul es el alquiler que ms beneficio producir para el propietario?

21) Los costes de fabricacin C(x) de cierta variedad de salchichas, dependen de la cantidad elaborada x, en kilos, de acuerdo con la siguiente expresin: C(x) = 10 + 170x. El fabricante estima que el precio de venta de cada kg de salchichas viene dado por p(x) = 200 0,025 x2. Qu cantidad de salchichas le interesa producir para maximizar sus ganancias?

22) Una empresa de bebidas refrescantes sabe que, si x es el precio (en dcimas de euro) de una botella de refresco, los beneficios de la empresa (en miles de euros) vienen dados por la expresin B(x) = 10 x2 21. Se pide: a) Entre qu valores el beneficio es positivo. b) Cul es el precio de la botella que da el beneficio mximo? c) Beneficio mximo.


23) Halla las dimensiones del rectngulo de rea mxima inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio. ( yx 210 ).

24) Considrese un prisma recto de base rectangular, con dos de los lados de ese rectngulo de longitud doble que los otros dos. Halla las dimensiones que ha de tener este prisma para que el rea total sea de 12 metros cuadrados y que con estas condiciones tenga volumen mximo. (R: 2; 4/3).

25) En una carretera a travs del desierto un automvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 km/h. Sabiendo que la distancia ms corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 km, determina la ruta que deber usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. (R: 225, 175).

26) Un depsito abierto de latn con base cuadrada y capacidad para 4000 litros, qu dimensiones debe tener para que su fabricacin sea lo ms econmica posible? (R: 10 dm altura, 20 dm de lado).

27) Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto de rea total 150 cm2 y volumen mximo. Determina su

generatriz y su radio. (R:

10

;5

hr ).

28) Entre todos los rectngulos de rea 3m2, halla las dimensiones del que tenga mnimo el producto de las diagonales. (R: el cuadrado de lado 3 metros).

29) En un jardn con forma de semicrculo de radio 10 m se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados est sobre el dimetro y el opuesto a l tiene sus extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su rea sea mxima. (R: base: 210 m, h = 25 m, mx = 100 m2).


30) Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el permetro de uno de ellos sea triple del permetro de otro, se necesiten exactamente 1248 metros de valla para vallar los tres y la suma de las reas de los tres campos sea la mnima posible. (R: x = 48, y = 120; z = 144).

31) Una arquitecta quiere construir un jardn rectangular en un terreno circular de 100 m de radio. Halla las dimensiones de dicho jardn para que el rea sea mxima. (R: x = 70,71 m; y = 70,71 m).

32) Descomponer el nmero e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea mxima. Calcular dicha suma. (R: x = e/2; S = 2 2ln2).

33) Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema seala que dada la estructura de la empresa slo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; adems, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la dcima parte del producto entre el nmero de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del nmero de alarmas instaladas de tipo B. Cuntas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad? (R: A = 3 alarmas, B = 6 alarmas).

34) Calcula dos nmeros que cumplan que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno de ellos menos el inverso del otro sea mnima (R: 19,54; -9,54).

35) Si un cultivador valenciano planta 200 naranjos por hectrea, el rendimiento promedio es de 300 naranjas por rbol. Por cada rbol adicional que siembre por hectrea, el cultivador obtendr 15 naranjas menor por rbol. Cuntos rboles por hectrea darn la mejor cosecha? (R: sin plantar rboles la produccin que se obtiene es mejor que si aumentamos el nmero de frutales de esta variedad).

36) El propietario de un edificio tiene alquilados los 40 pisos del mismo a un precio de 600 euros cada uno. Por cada 60 euros que el propietario aumenta el precio observa que pierde un inquilino. A qu


precio le conviene alquilar los pisos para obtener la mayor ganancia posible? (Ayuda: llamar x = nmero de 60 euros que aumenta o lo que es lo mismo el nmero de inquilinos perdidos). ( R: aumentar 15.60 euros = 900).

37) Con una cartulina rectangular de 2 m x 3 m se quiere construir una caja sin tapa. Para ello se recorta un cuadrado de cada uno de los vrtices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea mximo.

38) Entre todos los tringulos issceles de permetro 30 cm, cul es el de rea mxima?

39) Se quiere construir un recipiente cnico cuya generatriz mida 10 cm y que tenga capacidad mxima. Cul debe ser el radio de la base?.

40) Se sabe que el rendimiento, r en %, de un estudiante que realiza un examen de una hora viene dado por r(t) = 300t(1-t) siendo

10 t , t en horas.a) Explica cundo aumenta y cundo disminuye el rendimiento.b) Cundo se anula?c) Cundo es mximo?

41) Un comerciante compra artculos a 350 euros la unidad y sabe que si el precio de venta es 750 euros, vende 30 unidades al mes y que por cada descuento de 20 euros en el precio de venta, incrementa las ventas de cada mes en 3 unidades. Determina el precio de venta que hace mximos los beneficios del comerciante.

42) Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectngulo y de dos semicrculos adosados a dos lados opuestos del rectngulo. Si se desea que el permetro de dicha pista sea de 200 m, halla las dimensiones que hacen mxima el rea de la regin rectangular.


43) El saldo, en millones de euros, de una empresa en funcin del tiempo viene dado por la funcin:

128)8(1,036,3

84)4(04,02,3

402,04

)(2 tsit

tsit

tsit

tf

Deduce razonadamente el valor de t en el que el capital fue mximo.

44) Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida que transcurre la jornada laboral. (Dicho rendimiento corresponde al nmero de instancias revisadas en una hora). La funcin que expresa dicho rendimiento es: R(t) = 30t 10,5t2 + t3

siendo t el nmero de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral.

a) Determina cundo se produce el mximo rendimiento y cundo se produce el mnimo rendimiento.

b) Halla la tasa de variacin media del rendimiento R(t) entre t = 2 y t = 4.

45) Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 2,5 euros y el de tramo vertical 3 euros.

a) Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mnimo.

b) Cul ser ese coste mnimo?

46) Un banco lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad R(x) en miles de euros viene dada en funcin de la cantidad que se invierte, x en miles de euros, por medio de la siguiente expresin: R(x) = -0,001x2 + 0,4x + 3,5.

a) Deduce y razona qu cantidad de dinero convendr invertir en ese plan.

b) Qu rentabilidad se obtendr?

47) Un artculo ha estado 8 aos en el mercado. Su precio P(t), en miles de euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en aos, que estellevaba en el mercado por la funcin:


8225)2/5(

2044)(

2

tsit

tsittP

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de P(t).b) Cul fue el precio mximo que alcanzar el artculo?c) Cul fue la tasa de variacin media del precio durante los

ltimos 6 aos?

48) Halla el nmero positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mnima.

49) De todos los tringulos rectngulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las dimensiones de aquel cuya rea es mxima.

50) Entre todos los rectngulos de permetro 12 m, cul es el que tiene la diagonal menor?

51) Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilndrico de volumen igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible la hojalata.

52) Descomponer el nmero 36 en dos sumandos positivos de modo que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea mximo. (R: el primer sumando es 12 y el segundo, 24).

53) Se quiere construir el marco de una valla publicitaria rectangular de 12 metros cuadrados. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 1,5 euros, mientras que el metro lineal de tramo vertical cuesta 2 euros. Determinar:

a) Las dimensiones de la valla para que el coste sea mnimo.b) Cunto cuesta el marco?

(R: a) 4 x 3; b) )

54) Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portera, de manera que la portera tenga la mxima superficie interior posible.

a) Qu longitud deben tener los postes y el larguero?b) Qu superficie mxima interior tiene la portera?

(R: a) 2,5; 5; b) 12,5 m2).


55) La funcin de coste total de produccin de x unidades de un determinado producto es C(x) = 1/2x2 + 3x + 200.

Se define la funcin de coste medio por unidad como: Q(x) = C(x)/x. Cul debe ser la produccin para que sea mnimo el coste medio por unidad? (R: 20 unidades).

56) Con una cartulina de 8 x 5 metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen mximo. Hallar las dimensiones de dicha caja. (R: 3 x 1 x 6).

57) Un rectngulo est acotado por los ejes y por la grfica de y = (6 x)/2. Qu longitud debe tener el rectngulo para que su rea sea mxima? (R: 3 x 3/2).

58) Qu puntos de la grfica y = 4 x2 estn ms cerca del punto (0,2)? Dato: distancia entre dos puntos (x,y), (x0,y0):

20

20 )()( yyxxd . (R:

2

5,

2

3,

2

5,

2

3 ).

59) Un rectngulo est limitado por el eje x y por el semicrculo 225 xy . Para qu longitud y anchura del rectngulo se hace

mnima su rea? (R: 2

5,

2

5 ).

60) Se pide calcular el volumen mximo de un paquete rectangular enviado por correo, que posee una base cuadrada y cuya suma de ancho + alto + longitud sea 108. (R: 46656)

61) Un fabricante desea disear una caja abierta con base cuadrada y que tenga un rea total de 108 metros cuadrados de superficie. Qu dimensiones producen la caja de mximo volumen? Dato: la abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares. (R: 6 x 6 x 3)

62) Con 4 metros de alambre se desean construir un crculo y un cuadrado. Cunto alambre hay que emplear en cada figura para lograr que entre ambas encierren el rea mnima posible? (R: 0,28; 0,56).


63) Dado un cilindro de volumen 4 m3, determinar sus dimensiones para que su rea total sea mnima. (R: r = 0,86 m, h = 1,72 m).

64) Inscribir en una esfera de radio 1 m un cilindro circular que tenga: a) volumen mximo, b) rea lateral mxima. En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base y altura. (R: a) r = 0,817 m; h = 1,15 m; b) r = 0,707 m, h = 1,41 m).

65) El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial v0 y con un ngulo respecto de la horizontal es R = (v02sen2)/g, donde g es la aceleracin de la gravedad. Calcular el ngulo que produce alcance mximo.(R: = /4).

66) Se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial 40 m/s. Calcule cul es la mxima altura que alcanzar si la aceleracin gravitacional es 10 m/s2. Ecuacin que describe la altura en funcin del tiempo: h(t) = vt g/2t2. (R: 80 m).

67) Hallar las dimensiones del rectngulo de rea mxima que tiene un lado sobre el eje x y est inscrito en el tringulo determinado por las rectas y = 0, y = x, y = 4 2x. (R: 1 x 2/3).

68) Hallar dos nmeros que sumen 18 y que su producto sea mximo. (R: 9 y 9).

69) Hallar dos nmeros que sumen 19 y que el producto del cuadrado de uno por el triple del otro sea mximo. (R: x = 6, y = 3).

70) Se quiere vallar una parcela rectangular junto a una carretera. Si la valla junto a la carretera cuesta 1 euro/m y el resto 50 cntimos/m. Cules sern las dimensiones de la parcela para que el rea sea mxima si disponemos de 180 euros? (R: 60 x 90 m).

71) Un ganadero quiere encerrar a sus ovejas en un redil rectangular de rea mxima, para lo cual aprovecha la pared de la finca y con 100 metros de valla construye ese redil. Halla las dimensiones del rectngulo. (R: 25 x 50).


72) La suma de las aristas de un prisma recto de base cuadrada es 36. Halla las dimensiones para que el volumen sea mximo. (R: x = 3, y = 3).

73) Un crculo de dimetro 8 cm se divide en dos trozos para formar los dimetros de otros dos crculos. Halla la medida de los trozos para que la diferencia entre el rea del crculo grande y las de los dos pequeos sea mxima. (R: d = d=4 cm).

74) Hallar los puntos de la curva y2 = x cuya distancia al punto (3/2,0) sea mnima. (R: )1,1( ).

75) La vidriera de una iglesia est formada por un rectngulo y sobre l una semicircunferencia, si se quiere que el permetro sea mnimo y que el rea sea 8 + 2 m2. Cules deben ser las dimensiones de la vidriera? (R: x = 4, y = 2 m).

76) Entre los pares de nmeros cuyo producto es 64 encuentra aquellos positivos cuya suma de cuadrados sea mnima. (R: 8 y 8).

77) En un campo se quiere limitar una parcela de 24 m2 por medio de una valla rectangular y adems dividirla en dos partes iguales por medio de otra valla paralela a uno de los lados. Qu dimensiones deben elegirse para que la cantidad de valla sea mnima? (R: 6 m de largo por 4 m de ancho).

78) Se quieren fabricar latas de refresco (cilndricas) cuyo contenido sea de 1/3 de litro, de manera que el coste de la chapa sea mnimo; halla su altura y radio de la base. Mide las dimensiones de cualquier lata que tengas en casa y comprueba si se fabrican siguiendo ese criterio. (R: 33/1 27/36)6( hR ).

79) Se desea abrir una ventana rectangular en una pared de una casa. Queremos que nos salga lo ms econmico posible sin perder luz,


para ello pretendemos que el rea sea de 16/15 m2. Sabemos que el coste en vertical es de 50 euros/m y en horizontal 30 euros/m. Cmo debe ser la ventana? (R: 4/5 x 4/3)

Documents

optimizacion