Clase 3: Optimizacin de Portafolios

Finanzas I ENFIN 400Profesor: Erwin HansenUniversidad de Chile

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Diversicacin y riesgo de portafolio

I Riesgo de MercadoI Sistmico o no diversicable

I Riesgo especco a la rmaI Diversicable o no sistmico

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Riesgo del portafolio como funcin del nmero de accionesen el portafolio

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Diversicacin del portafolio

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Covarianza y correlacin

I El riesgo del portafolio depende de la correlacin entre losretornos de los activos en el portafolio

I La covarianza y el coeciente de correlacin miden la maneraen que dos activos varan.

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Retorno del portafolio: el caso de 2 activos

rp = wD rD + wE rE

I rp : retorno del portafolioI wD :ponderador bono, rD : retorno bonoI wE : ponderador accin, rE : retorno accin

E (rp) = wDE (rD ) + wEE (rE )

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Riesgo: el caso de 2 activos

2P = w2D

2D + w

2E

2E + 2wDwE cov(rD , rE )

I 2D : varianza activo DI 2E : varianza activo EI cov(rD , rE ) : covarianza entre retornos D y E

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Covarianza

cov(rD , rE ) = DE DE

I DE : coeciente de correlacin entre los retornosI D : desvo estndar de los retornos de DI E : desvo estndar de los retornos de E

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Coecientes de correlacin: valores posibles

I Rango de valores de 1,2

1 > 1,2 > 1I Si = 1, los activos estarn perfectamente positivamentecorrelacionados.

I Si = 1, los securities estarn perfectamentenegativamente correlacionados.

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Ejemplo

I Estadsticas descriptivas para dos fondos mutuos

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Ejemplo

I El retorno esperado del portafolio P es

E (rp) = 8wD + 13wE

I El desvo estndar del portafolio P es

2P = 122w2D + 20

2w2E + 2(12)(20)(0.3)wDwE

=) P =q2P

I para un nivel de correlacin dado , dierentes combinacionesde (wD ,wE ) produce distintos retornos esperados y desvosestndares.

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Retornos esperados y desvos estndares para diferentescorrelaciones

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Retorno esperado del portafolio como funcin deponderadores

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Desvo estndar del portafolio como funcin deponderadores

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Retorno esperado portafolio como funcin del desvoestndar del portafolio

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Efecto de las correlaciones

I La relacin depende del coeciente de correlacin

1.0 < < +1.0

I Mientras ms pequeo es , mayor es la potencial reduccinde riesgo.

I Si = +1.0, no es posible reducir el riesgo.

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Conjunto de oportunidades de inversin generado por bonoy accin, y dos lneas de asignacin de capital

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El ratio de Sharpe

I Maximizar la pendiente de la lnea de asignacin de capitalpara cualquier portafolio, p

I La funcin objetivo es :

SP =E (rP ) rf

P

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Conjunto de oportunidades de inversin generado por bonoy accin, con CAL ptima y el portafolio riesgoso ptimo

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El portafolio ptimo

Maximizar la razn de Sharpe

MaxwiSp =

E (rP ) rfp

st.wi = 1donde E (rp) = wDE (rD ) + wEE (rE ) y

P =w2D

2D + w

2E

2E + 2wDwE cov(rD , rE )

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El portafolio ptimo

Para el caso de 2 activos riesgosos, existe una solucin cerrada:

wD =E (RD )2E E (RE )cov(RD ,RE )

E (RD )2E + E (RE )2D [E (RD ) + E (RE )] cov(RD ,RE )

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Ejemplo (cont.)

I w D = 0.40 & wE = 0.60

I E (rp) = 11%I p = 14.2%I La lnea CAL del portafolio ptimo de activos riesgosos tienependiente

Sp =11 514.2

= 0.42

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El portafolio ptimo considerando el activo libre de riesgo

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Asignacin ptima entre P y el activo libre de riesgo

I La proporcin ptima invertida en el activo riesgoso (para elcaso de 1 activo riesgoso (P) y un activo libre de riesgo)

y =E (rp) rfA2p

I En este ejemplo

y =0.11 0.054(0.142)2

= 0.7439

I El inversionista invierte 74.39% en el portafolio riesgoso P y25.61% el activo libre de riesgo.

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El portafolio ptimo

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Resmen para obtener portafolio ptimo

I Encontrar retornos esperados, varianzas, correlaciones, etc. delos activos potenciales.

I Resolver el portafolio riesgoso ptimo (P)I Encontrar la asignacin ptima entre P y el activo libre deriesgo.

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Referencias

I Captulo 7 en "Investments"de Bodie, Keane & Marcus. 8vaEdicin.

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