Optimización no restringidaEjemplo

Supón que estás decidiendo que tanto aislamiento debes poner en tu casa. Asume que la pérdida de calor de la casa puede ser modelada por la ecuación:

donde x es el espesor del aislamiento en centímetros.

101

x

Q kJ/h

También, supón que la generación de 1 kJ de calor cuesta $0.50 para tu caldera y el aislamiento costará $1/año por cada centímetro de grosor a lo largo de su periodo de vida. Queremos minimizar el costo del calor perdido y de el aislamiento.

Optimización no restringidaEjemplo

De este modo, mientras más aislante instalemos, menos calor perderemos, el aislamiento puede hacer muy buen trabajo, pero cuesta dinero también, así que necesitamos encontrar el equilibrio óptimo. Aquí está una gráfica de los dos costos:

Costo del calor

Costo de aislamientoCosto Anual

Espesor del aislamiento

Optimización no restringidaEjemplo

No tenemos ninguna restricción de presupuesto o de suministro de aislamiento, así que solo minimizaremos el costo total.

El costo total anualizado de la pérdida de calor es dado por:

kJañodia

diah

hkJ

xCostHeat

50.0$36524101

añox$800,43

380,4

Optimización no restringidaEjemplo

Cada centímetro de aislamiento cuesta $1/año, entonces el costo total anualizado de aislamiento es 1x $/año. El costo total es simplemente la suma de los dos costos:

añoxx

CostTotal$800,43

380,4

Optimización no restringidaEjemplo

Podemos encontrar el mínimo usando los elementos de cálculo que observamos antes. Primero, encontramos donde la primera derivada es cero (horizontal). Entonces nos aseguramos de que la segunda derivada sea positiva, puesto que estamos buscando un mínimo.

Optimización no restringidaEjemplo

Encuentra la derivada del costo total:

Resuelve para la derivada igual a cero:

xxdx

dCost

dx

dTotal 800,43

380,4

10380,4

2

x

0380,4

12

x

380,42 x

Optimización no restringidaEjemplo

El resultado es: x = 66.18

x es el grosor del aislamiento y obviamente no podemos tener valores negativos. Así, nuestro resultado es x = +66.18 cm

A propósito, ya que solo hay una solución positiva, sólo tenemos un mínimo. Así sabemos que éste es el mínimo global.

Optimización no restringidaEjemplo

Verifica la 2a derivada:

A x= 66.18,

Puesto que la 2a derivada es positiva, este punto es un mínimo.

3322

2 760,8380,4)2(0

380,41

xxxdx

dCost

dx

dTotal

04.13218.66

760,832

2

TotalCostdx

d

Optimización no restringidaEjemplo

Así, el mejor equilibrio entre costo por pérdida de calor y costo de aislamiento se alcanza si instalamos cerca de 66 cm de aislamiento.

x* = 66 cm

Costo Total

Espesor del aislamiento

Resultados del Ejemplo de Optimización no restringida