OPTIMIZACION DEL DESEMPEÑO DE ERROR

Optimizando el Desempeño del Error

Para optimizar (minimizar) en el contexto de un canal AWGN necesitamos seleccionar el filtro de recepción óptimo en el paso 1 y el umbral de decisión óptimo en el paso 2. Para el caso binario el umbral de detección óptima fue escogido como:

Lo cual resulta en:

Para minimizar es necesario escoger el filtro (filtro acoplado) que maximiza el argumento de .

BP

021

2)(

1

2

aaTz

H

H

0

21

2aa

QPB

BP)(xQ

42.3

Por lo tanto se debe determinar el filtro lineal que maximiza ó equivalentemente que maximiza:

Donde es la diferencia de las componentes de señal deseadas a la salida del filtro en , y el cuadrado de esta diferencia de señales es la potencia instantánea de dicha diferencia. Se describió un filtro acoplado como aquel que maximiza en su salida la relación señal a ruido (SNR) para una señal conocida. Para señalización binaria el filtro óptimo es aquel que maximiza la diferencia entre dos posibles señales de salida.

20

221

aa

021 2/ aa

21 aa Tt

60.3

Un filtro acoplado logra la máxima SNR a la salida en .

Si el filtro esta acoplado a la diferencia de señal , podemos escribir una salida SNR en el tiempocomo:

Donde es la densidad espectral de potencia del ruido a la entrada del filtro, y

es la energía de la diferencia de señal a la entrada del filtro.

0/2 NE

)()( 21 tsts Tt

0

20

221 2

N

Eaa

N

S d

T

2/0N

T

d dttstsE0

221 )()(

61.3

62.3

La ecuación no representa la SNR para ninguna transmisión, ó . Esta SNR entrega una medida de diferencia de señal para la salida del filtro.

Maximizando la salida SNR de la ecuación , el filtro acoplado proporciona la máxima distancia (normalizada por el ruido) entre las dos salidas candidatas: la señal y la señal .

61.3)(1 ts )(2 ts

61.3

1a 2a

Combinando y tenemos:

Para el filtro acoplado, esta ecuación es un resultado importante en términos de la energía de la diferencia de señal en la entrada del filtro. A partir de esta ecuación se pueden desarrollar relaciones más generales en términos de la energía de bit recibida.

42.3 61.3

02N

EQP d

B 63.3

Se define el coeficiente de correlación cruzada, , como una medida de similitud entre dos señales, y .

y

donde . La ecuación es la forma matemática clásica de expresar la correlación

)(1 ts )(2 ts

dttstsE

T

b0

21 )()(1 a64.3

cos b64.3

11 a64.3

Sin embargo, cuando y son miradas como vectores de señal, y respectivamente, entonces se puede expresar de una manera más conveniente mediante .

Esta mirada vectorial nos proporciona una imagen muy útil. Los vectores y están separados por el ángulo ; para separaciones angulares pequeñas, los vectores son bastante similares (altamente correlacionados) entre ellos, y para separaciones grandes, ellos serán bastante distintos.

El coseno de este ángulo nos da la misma medida normalizada de la correlación que la ecuación .

)(1 ts )(2 ts1s 2s

b64.3

1s 2s

a64.3

Expandiendo tenemos:

No olvidemos que cada uno de los dos primeros términos de la ecuación anterior representan la energía asociada con un bit; esto es:

62.3

dttstsdttsdttsETTT

d 0

21

0

22

0

21 )()(2)()( 65.3

dttsdttsETT

b 0

22

0

21 )()( 66.3

T

d dttstsE0

221 )()(

Sustituyendo las ecuaciones y en :

Y sustituyendo esta en obtenemos:

Consideremos el caso de correspondiente a señales y que están perfectamente correlacionadas sobre un intervalo de símbolo (dibujados como vectores, y con el ángulo entre ellos igual a cero).

a64.3 66.3 65.3)1(22 bbbbd EEEEE 67.3

63.3

0

)1(

N

EQP b

B

1 )(1 ts)(2 ts

68.3

Podremos usar estas formas de onda para señalización digital?La respuesta es no, porque las señales de comunicación necesitan ser tan dispares como sea posible, de tal manera que se puedan distinguir (detectar) fácilmente.

El caso de corresponde a la situación en que y

están “anticorrelacionadas” sobre un tiempo de símbolo. En otras palabras, el ángulo entre los vectores de señal es de .

180

1 )(1 ts)(2 ts

En este caso, donde los vectores son imágenes espejo, llamamos a la señales antípodas, como se muestra abajo

En el caso de , correspondiente a correlación cero entre y (el ángulo entre los vectores es ). A estas señales se les llama ortogonales, como se aprecia en la figura de abajo.

Figura 1

0)(1 ts )(2 ts 90

Figura 2

Para que dos formas de onda sean ortogonales, ellas no deben estar correlacionadas sobre un intervalo de símbolo:

Para el caso de detección de señales antípodas ( ) con un filtro acoplado, la ecuación puede reescribirse como:

0)()(0

21 dttstsT

69.3

1 68.3

0

2

N

EQP b

B 70.3

De manera similar, para el caso de detección de señales ortogonales ( ) con un filtro acoplado se puede escribir como:

Las figuras 1 y 2 mostradas anteriormente, donde las magnitudes de las señales son cada una iguales a ayudan a ilustrar que el desempeño del error descrito por las ecuaciones y es una función de la distancia entre y (entre mayor sea la distancia, menor será ) .

0

0N

EQP b

B

bE 70.3

71.3

71.31s 2s

BP

Cuando las señales son antípodas, como en la , la distancia entre ellas es , y la energía asociada con la distancia está caracterizada por el cuadrado de la distancia, ó .

Cuando sustituimos en la ecuación , el resultado es la ecuación . Cuando las señales son ortogonales, como en la , la distancia entre ellos es y entonces . Cuando sustituimos esta última en la ecuación el resultado es la ecuación

Figura 1bE2 dE

bE4

bd EE 4 63.3 70.3

FigurabE2

2

bd EE 2 63.3 71.3

Desempeño de la Probabilidad de Error de la Señalización Binaria

Señalización Unipolar

para 1 binariopara 0 binario

La Figura 3 es un ejemplo de señalización ortogonal banda base, denominada señalización unipolar, donde: Figura 3

0)(

)(

2

1

ts

Ats

Tt

Tt

0

0 72.3

Y donde es la amplitud del símbolo . La definición de señalización ortogonal descrita por la ecuación requiere que y tengan correlación cero sobre cada duración de tiempo de símbolo.

Debido a que en la ecuación , es igual a cero durante el tiempo de símbolo, este conjunto de pulsos unipolares claramente cumple a cabalidad la condición mostrada en la ecuación , y por lo tanto, forman un conjunto de señales ortogonales.

)(1 ts0A

69.3 )(1 ts )(2 ts

72.3 )(2 ts

69.3

El correlator mostrado en la figura 4, puede ser usado para detectar los pulsos de señalización unipolar mostrados en la figura 3.

El correlator multiplica e integra la señal entrante

con la diferencia entre las señales prototipo, Después de una duración de símbolo , un muestreador produce la prueba estadística , la cual es entonces comparada con el umbral .

)(tr Atsts )()( 21

T)(Tz

0

Figura 4

Para el caso de , más el AWGN que esta siendo recibido, esto es , la componente de señal de es encontrada mediante:

Donde es el valor esperado de , dado que se envió . De lo anterior se sigue que .

Similarmente, cuando , entonces:

)(Tz

)(1 ts)()()( 1 tntstr

TAdttAnAEtsTzEtaT

2

0

211 )()(|)()(

)(Tz )(|)( 1 tsTzE)(1 ts 0)( tnE

)()()( 2 tntstr

0)(2 Ta

En este caso, el umbral óptimo de decisión está dado por:

Si la prueba estadística es mayor que , la señal es declarada para que sea ; de otra forma se declara como

TAaa 2210 2/12/

)(Tz 0)(1 ts

)(2 ts

La energía de diferencia de señal esta dada por .Entonces, el desempeño de error de bit a la salida se obtiene como:

Donde, para el caso de señalización igualmente probable, la energía promedio por bit es .

TAEd2

00

2

0 22 N

EQ

N

TAQ

N

EQP bd

B 73.3

2/2TAEb

Señalización Bipolar

La figura 5 ilustra un ejemplo de señalización de señalización antípoda banda base, llamada señalización bipolar, donde; para 1 binario para 0 binario

El término antípoda se refiere a señales binarias que son imágenes espejo la una de la otra. Es decir, que .

Ats

Ats

)(

)(

2

1

Tt

Tt

0

0

Figura 5

)()( 21 tsts

Un receptor correlator para estas formas de onda antípodas se muestra en la figura 6. Un correlator multiplica e integra la señal entrante con la señal prototipo .

El segundo correlator multiplica e integra con

Figura 6

)(tr )(1 ts

)(tr )(2 ts

La figura superior captura la esencia de la función principal de un receptor digital. Esto es, durante cada intervalo de símbolo, una señal de entrada ruidosa es enviada bajo múltiples “caminos” en un esfuerzo por correlacionarla con cada una de las posibles candidatas. El receptor entonces busca el voltaje de salida mayor (el más concordante) para hacer una detección.

Para el ejemplo binario hay solo dos posibles candidatos. Para un ejemplo 4-ario habrá cuatro candidatas.

El test estadístico formado de la diferencia de la salida del correlator es:

Y la decisión se toma usando el umbral mostrado en la ecuación . Para señales antípodas por lo tanto

. De esta manera, si la prueba estadística es positiva, la señal es declarada para ser , y si es negativa, es declarada para ser .

dtTzTzTz )()()( 21 73.3

21 aa 00 )(Tz

)(1 Ts)(2 Ts

32.3

La señal de diferencia de energía

se obtiene que

Entonces el desempeño de error de bit a la salida puede ser obtenido como:

Donde la energía promedio por bit esta dada por

TAEd2)2(

00

2

0

22

2 N

EQ

N

TAQ

N

EQP bd

B

)( 2TAEb

T

d dttstsE0

221 )()(

Descripción de señalización con funciones bases.

En lugar de designar a las como las señales referencia en el correlator, podemos usar el concepto de funciones base. La señalización binaria con pulsos unipolares ó bipolares proporciona ejemplos simples acerca de esta consideración, ya que el espacio de señalización se puede describir mediante una función base.

Si normalizamos el espacio de la ecuaciónHaciendoTenemos que la función base es igual a

)(tSi

Para señalización de pulsos unipolares entonces tengo:

Donde los coeficientes a11 y a21 serán: A√T y cero respectivamente.

Para señalización de pulsos bipolares entonces tengo:

Donde los coeficientes serán A √ T y -A√T.

c

FIN