JOSE ANTONIO DE LA CRUZ GRANADOS. OPTOELECTRONICA.

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Simulación de la Difracción de Pulsos Ópticos Producidos por Rendijas

Cuadradas y Circulares.

RESUMEN En el siguiente trabajo se utilizó la relación de Fresnel para la difracción

y se implementó el método de la transformada rápida de Fourier (FFT) para analizar

la propagación de un frente de ondas planas y monocromáticas al pasar por

diferentes tipos de rendijas. Se simuló en Matlab y se proyectó el patrón de

difracción e irradiancia en un plano de observación al cual se le variaba la longitud

de propagación, observándose el comportamiento de los diferentes patrones.

También se dispuso las rendijas de tal manera que se observara el fenómeno de

interferencia de Young y su evolución en función de la distancia.

La difracción es un factor fundamental para aplicaciones que involucren alta

resolución, tales como imágenes astronómicas, o las largas distancias de

propagación como el radar láser, y en las aplicaciones de la participación de las

pequeñas estructuras como los procesos de fotolitografía. Usaremos el entorno de

programación de Matlab ya que es una buena herramienta para simulación de

ejercicios de óptica de Fourier.

Discretizacion de la función y transformada discreta de Fourier (DFT)

Lo que hemos dicho hasta ahora corresponde a funciones analíticas continuas,

éstas funciones representarán el comportamiento de la radiación incidente y la

proyectada usadas en el fenómeno de difracción, pero es necesario discretizar las

funciones a utilizar para poder implementar la FFT ya que es un método que utiliza

la DFT, para esto se representarán las funciones por medio de vectores (para una

dimensión) y matrices (para dos dimensiones), para obtener resultados óptimos a

pesar de que se trabaja con aproximaciones debemos tener en cuenta cómo

discretizar las funciones a trabajar, ya que no se puede hacer arbitrariamente. Se

usará el concepto de ancho de banda efectiva para determinar qué número de

intervalos tendrá la función discreta, cabe destacar que entre mayor sea el número

de intervalo mejor será la aproximación, pero el procesador y la memoria de los

computadores es limitada y nos impide hacer esto. Una aproximación aceptable es

usar el 98% de la información que lleva la función, o análogo a esto, encontraremos

el ancho de banda efectivo para que la función represente el 98% de la potencia

que posee la radiación, lo cual se logra utilizando la relación de Parseval:

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Para trabajar las transformadas de Fourier de funciones discretas o DFT se hace de

una manera similar a como se trabajan las analíticas solo se debe reemplazar las

siguientes expresiones:

Difracción utilizando la teoría de Fresnel.

Considerando la propagación de una luz monocromática a través de un plano de

dos dimensiones que posee una abertura (plano fuente), se puede observar el

fenómeno de difracción proyectado en un segundo plano (plano de observación), el

comportamiento de dicha imagen depende de la configuración del plano fuente

(rendija), de la longitud de onda y de la distancia a la cual se encuentre un plano del

otro (distancia de propagación).

Utilizando la relación de Fresnel nos da una poderosa ventaja ya que podemos

utilizar el teorema de convolución para determinar la solución de dicha ecuación. La

relación es la siguiente:

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Procedemos a utilizar el método desarrollado a 3 clases de rendijas, un círculo, un

cuadrado y dos círculos equidistantes. Primero programamos las configuraciones

de las rendijas en 3 archivos .m en Matlab que se ven como lo muestran las figuras

3, 5 y 6:

Después de programar el método se tomaron los valores del tamaño de la longitud

Lx = Ly = 0.5m, longitud de onda de la radiación m 6 0.5 10− λ = ⋅ y longitud de

propagación variando entre 0 y 5000 (m) con pero las imágenes mostradas a

continuación serán para z iguales a 300, 1500, 3000, 6000 (m) respectivamente.

CONCLUSIONES.

Implementar la transformada de Fourier junto con el teorema de convolución a este

tipo de problemas forma una herramienta poderosa que brinda en nuestro caso la

opción de observar y analizar los resultados predichos por la teoría de difracción de

Fresnel.

La difracción de Fraunhofer.

Básicamente cuando hablamos del fenómeno de difracción, nos estamos refiriendo

a cuando una onda que se propaga encuentra un obstáculo.

Para que así ocurra este fenómeno es fundamental que se cumpla la siguiente

condición:

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La abertura rectangular.

Este caso es bastante atractivo: una "cruz" con franjas. Basta con observar el

resultado en la figura 1 que encabeza este post, y que no se corresponde a la

pantalla del protagonista de la serie "El coche fantástico". Básicamente podemos

definir la perturbación que llega al punto P, y que ha atravesado una abertura

rectangular (aquella en la que una dimensión espacial no es despreciable frente a

la otra), como:

La nueva expresión para la irrandiancia será (donde alfa vale lo mismo que beta,

pero mientras beta venía dado por el alto b, alfa cambia la b por a, que será el

ancho):

La abertura circular.

La cosa se complica un poco más cuando de aberturas circulares hablamos... La

expresión que define la irradiancia viene dada por:

que presenta una simetría axial -ver figura 5-, con un máximo central circular,

denominado disco de Airy, y rodeado de anillos oscuros y brillantes alternos. En

este caso J1 representa una función de Bessel, que para aquel que quiera

profundizar, viene dada por:

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Para el primer anillo podemos resolver la función de Bessel basándonos que

J1(u)=0. Para obtener el valor existen tablas (por ejemplo puedes encontrar un pdf

con sus valores en este enlace -ver página 4-). En nuestro caso vale 3,83. Así,

podemos calcular el radio del disco de Airy como la distancia del centro hasta el

primer anillo oscuro, quedando:

Donde a es el radio de la abertura y R la separación de la pantalla de observación.

Esta fórmula es muy conocida por todos aquellos que nos gustan los telescopios y

tenemos que de vez en cuando colimarlos. Generalmente, dentro del disco de Airy

se concentra un 84% de la luz, y al menos un 90% dentro del segundo anillo oscuro.