Organización del Computador 1Organización del Computador 1

Sistemas de RepresentaciónSistemas de Representación

OrganizaciónOrganización

Los computadores comprenden el lenguaje Los computadores comprenden el lenguaje de los númerosde los números

La organización de un computador depende La organización de un computador depende entre otros factores del sistema de entre otros factores del sistema de representación numérica adoptadorepresentación numérica adoptado

Se trabaja con el sistema binario, de donde Se trabaja con el sistema binario, de donde proviene el término bit como contracción de proviene el término bit como contracción de ““bbinary diginary digitit””

Sistemas de numeraciónSistemas de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y un conjunto de reglas de combinación de dichos símbolos que permiten representar los números enteros y/o fraccionarios.

Dentro de los sistemas de numeración posibles un conjunto importante, destacado, es el constituido por los sistemas de numeración posicionales.

En un sistema de numeración posicional de base b, la representación de un número se define a partir de la regla:

(…a3a2a1a0.a-1 a-2 a-3 …)b= …+ a2b2+ a1b1+ a0b0+ a-1b-1+ a-2b-2+ a-3b-3+ …

Donde b es un entero no negativo mayor a 1 y cuando los ai pertenecen al conjunto de enteros en el rango 0 ≤ai< b

El punto que aparece entre los dígitos a0 y a-1 se denomina punto fraccionario.

Cuando b = 10 se lo llama punto decimal y cuando b = 2, punto binario.

Sistemas de numeraciónSistemas de numeración

Sistema Decimal: Es el sistema de numeración utilizado en la vida cotidiana, cuya base es diez, utilizando los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 .

Sistema Binario: los dos símbolos utilizados son el 0 y el 1, los que reciben el nombre de bit (binarydigit).

Sistema Octal: de base 8, los símbolos utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7.

Sistema Hexadecimal: de base 16, los símbolos utilizados son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Sistemas de numeraciónSistemas de numeración

EjemplosEjemplos

243.51243.511010 = 2 * 10 = 2 * 1022 + 4 * 10 + 4 * 1011 + 3 * 10 + 3 * 1000 + 5 * 10 + 5 * 10-1-1 + +

1 * 101 * 10-2-2

21221233 = 2 * 3 = 2 * 322 + 1 * 3 + 1 * 311 + 2 * 3 + 2 * 300 = 23 = 231010

101101011022 = 1 * 2 = 1 * 244 + 0 * 2 + 0 * 233 + 1 * 2 + 1 * 222 + 1 * 2 + 1 * 211 + 0 * 2 + 0 * 200

= 22= 221010

Métodos de cambio de baseMétodos de cambio de base

Método de restas Método de restas sucesivassucesivas

Método del resto de Método del resto de

cocientes cocientes

Representemos 104Representemos 1041010 en base 3 en base 3

Métodos de cambio de baseMétodos de cambio de base(para fracciones)(para fracciones)

Métodos de restas Métodos de restas sucesivassucesivas

Métodos del resto de Métodos del resto de cocientescocientes

Representemos 0.4304Representemos 0.43041010 en base 5 en base 5

Métodos de cambio de baseMétodos de cambio de base(para fracciones)(para fracciones)

Las fracciones no siempre pueden ser convertidas en Las fracciones no siempre pueden ser convertidas en forma exacta, con una expresión finita. forma exacta, con una expresión finita.

(0.3)(0.3)33 = 2 * 3 = 2 * 3-1-1 = 2 + 1/3 = 2 + 1/3

En definitiva, las fracciones en una base sólo pueden En definitiva, las fracciones en una base sólo pueden ser estimadas como una expresión finita en otra.ser estimadas como una expresión finita en otra.

Conversión de números con signoConversión de números con signo

Signed magnitude:Signed magnitude: El bit más a la izquierda es El bit más a la izquierda es usado como indicador de signo. 1 implica que el usado como indicador de signo. 1 implica que el número es negativo, 0 que es positivo.número es negativo, 0 que es positivo. Si usamos palabras de 8 bits, vamos a poder representar Si usamos palabras de 8 bits, vamos a poder representar

el rango [-(2el rango [-(277-1), 2-1), 277-1]. En general, sobre palabras de n -1]. En general, sobre palabras de n bits podremos representar el rango [-(2bits podremos representar el rango [-(2nn-1), 2-1), 2nn-1].-1].

La suma es igual que en el sistema decimal, incluyendo La suma es igual que en el sistema decimal, incluyendo el concepto de acarreo: el concepto de acarreo:

En caso de llegar con un En caso de llegar con un acarreo al bit 8, nos acarreo al bit 8, nos encontramos en una encontramos en una situación de overflow.situación de overflow.

Conversión de números con signoConversión de números con signo

Sistemas de complemento:Sistemas de complemento: la idea es usar los la idea es usar los números “más altos” como números negativos. números “más altos” como números negativos. El complemento de un número se obtiene restándo dicho El complemento de un número se obtiene restándo dicho

número al número más grande que puede representarse número al número más grande que puede representarse con el tamaño de palabra con que contamos.con el tamaño de palabra con que contamos.

(-52)(-52)1010 = (999) = (999)1010 – (52) – (52)1010 = (947) = (947)1010

(167)(167)1010 – (52) – (52)1010 = (167) = (167)1010 + (947) + (947)1010 = (114) = (114)1010 + (1) + (1)10 10 = (115)= (115)1010

El acarreo se suma al dígito menos significativo.El acarreo se suma al dígito menos significativo. El complemento a r en d dígitos del número N es (rEl complemento a r en d dígitos del número N es (rdd-1)-N. -1)-N.

Conversión de números con signoConversión de números con signo

Complemento a 1:Complemento a 1: La idea es igual a lo que vimos La idea es igual a lo que vimos en base 10 sólo que las operaciones se realizarán en base 10 sólo que las operaciones se realizarán entre expresiones binarias: En este caso, el rango entre expresiones binarias: En este caso, el rango representado es el mismo que el que presentamos representado es el mismo que el que presentamos para para signed magnitudesigned magnitude. .

(-101)(-101)22 = (1111) = (1111)22 – (0101) – (0101)22 = (1010) = (1010)22

Ejercicio:Ejercicio: convencerse de que tomar el convencerse de que tomar el complemento a 1 de un número binario es apenas complemento a 1 de un número binario es apenas invertir los dígitos.invertir los dígitos.

Conversión de números con signoConversión de números con signo Complemento a 2:Complemento a 2: La idea detrás de este método La idea detrás de este método

es la misma que se presentó como es la misma que se presentó como Complemento Complemento a 1a 1, salvo que realizaremos la resta sobre el menor , salvo que realizaremos la resta sobre el menor número que resulta mayor a todos los números número que resulta mayor a todos los números representables con el tamaño de palabra con el representables con el tamaño de palabra con el que contamos:que contamos:

(-101)(-101)22 = (10000) = (10000)22 – (00101) – (00101)22 = (1011) = (1011)22

Ejercicio:Ejercicio: convencerse de que convencerse de que complemento a 2complemento a 2 no es no es más que más que complemento a 1complemento a 1, más 1., más 1.

El rango representable con complemento a 2 es [-(2El rango representable con complemento a 2 es [-(2n-1n-1), 2), 2n-1n-1-1]-1]

El complemento a r en d dígitos del número N es rEl complemento a r en d dígitos del número N es rdd-N si N != 0 y 0 en -N si N != 0 y 0 en caso contrario. caso contrario.

Representación decimal de un número en Representación decimal de un número en complemento a 2complemento a 2

Para los Para los positivospositivos es es trivial, se hace lo que trivial, se hace lo que vimos en vimos en transparencias transparencias anteriores evaluando el anteriores evaluando el polinomio que polinomio que corresponda a la corresponda a la expresión binaria.expresión binaria.

En el caso de los En el caso de los negativosnegativos debemos debemos hacer el procedimiento hacer el procedimiento inverso.inverso. Se invierten los bits,Se invierten los bits, Se suma 1,Se suma 1, Se convierte a decimalSe convierte a decimal Se le coloca el signo – Se le coloca el signo –

adelanteadelante

Esto es equivalente a Esto es equivalente a obtener el complemento obtener el complemento a 1 y sumarle 1. a 1 y sumarle 1.

Suma en complemento a 2Suma en complemento a 2

La suma se opera exáctamente igual a la suma en La suma se opera exáctamente igual a la suma en complemento a 1. La resta, al igual que vimos complemento a 1. La resta, al igual que vimos antes se reduce a la suma del complemento del antes se reduce a la suma del complemento del sustraendo.sustraendo.

Detectando overflowDetectando overflow: Si el acarreo sobre el bit : Si el acarreo sobre el bit de signo es igual al acarreo fuera de dicho bit, no de signo es igual al acarreo fuera de dicho bit, no hay overflow. En caso que sean distintos sí lo hay.hay overflow. En caso que sean distintos sí lo hay.

Multiplicación de enterosMultiplicación de enteros

Hay casos en los que se cuenta con hardware Hay casos en los que se cuenta con hardware que optimiza esta operacióne, pero en el fondo que optimiza esta operacióne, pero en el fondo son optimizaciones sobre el método que nos son optimizaciones sobre el método que nos enseñaron en la primaria.enseñaron en la primaria.

Se basa en el simple hecho de que 0 Se basa en el simple hecho de que 0 multiplicando cualquier número es 0 y 1 multiplicando cualquier número es 0 y 1 multiplicando cualquier número es ese mismo multiplicando cualquier número es ese mismo número. número.

Multiplicando números enterosMultiplicando números enteros

La clave del algoritmo es reproducir el La clave del algoritmo es reproducir el desplazamiento que se produce antes de la adición, desplazamiento que se produce antes de la adición, que no es más que un decalaje en una posición.que no es más que un decalaje en una posición.

Dividiendo números enterosDividiendo números enteros

Al igual que en la multiplicación, hay casos en Al igual que en la multiplicación, hay casos en los que se cuenta con hardware que optimiza los que se cuenta con hardware que optimiza esta operación, pero nuevamente el método es esta operación, pero nuevamente el método es el más intuitivo.el más intuitivo.

Se basa en la sucesiva sustracción del divisor al Se basa en la sucesiva sustracción del divisor al dividendo.dividendo.

En el caso de la división entera, el resultado es En el caso de la división entera, el resultado es presentado como dos números, cociente y resto. presentado como dos números, cociente y resto.

BibliografíaBibliografía

Null, L. and J. Lobur. The Essentials of Computer Null, L. and J. Lobur. The Essentials of Computer Organization and Architecture, Jones and Bartlett Organization and Architecture, Jones and Bartlett Publishers, Feb. 2003 Publishers, Feb. 2003