“ORIGEN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: … · En este artículo se va ha hacer un repaso a los distintos Sistemas de ... actividades de lectura, algunas de ... sumeria (de base

Nº 15 – FEBRERO DE 2009

C/ Recogidas Nº 45 - 6ºA 18005 Granada [email protected]

ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007

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“ORIGEN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN: APLICACIONES DIDÁCTICAS”

AUTORÍA MARÍA DEL CARMEN GARCÍA JIMÉNEZ

TEMÁTICA MATEMÁTICAS, FOMENTO DE LA LECTURA, INTERÉS POR OTRAS CULTURAS

ETAPA ESO, BACHILLERATO

Resumen

Desde hace 5000 años la mayoría de las civilizaciones han contado de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy día, en unidades, decenas, centenas, millares, etc.; sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa.

En este artículo se va ha hacer un repaso a los distintos Sistemas de Numeración que ha habido a lo largo de la historia en las distintas civilizaciones; este tema se trabajará en clase a través de actividades de lectura, algunas de las cuales se realizarán en casa, se propondrán también aplicaciones didácticas de cada uno de los Sistemas de Numeración propuestos.

Palabras clave

Sistemas de Numeración. Concepto de base. Antiguas Civilizaciones.

1. INTRODUCCIÓN.

Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc., es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy día. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy desigual y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.



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Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos. Pero sobre todo no permiten, en general, efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las insólitas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.

El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Antes de adentrarnos en el estudio de los Sistemas de Numeración se va a proponer a los alumnos que inventen un sistema de numeración; para ello deben suponer que viven en los tiempos primitivos y que no conocen los números. Se les plantearán las siguientes preguntas:

¿Cómo sabrías que las ovejas que sacas a pacer son las mismas que las que traes? Inventa tú una manera de contar.

Y si tuvieses que representar una cantidad muy grande, ¿qué dificultades encontrarías? Trata de inventar otro sistema que te facilite esta tarea.

2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. EL CONCEPTO DE BASE.

Los números son unos de los objetos matemáticos que han ido apareciendo de una manera u otra en todas las culturas. La arqueología parece confirmar que la idea de número y su utilización surge en el mundo hace más de 30.000 años y es muy posible que los ordinales precedieran a los cardinales.

Aunque pueda parecer extraño, el número no surgió para contar o medir, sino para ordenar. Cuando nuestros lejanos antepasados celebraban sus ceremonias religiosas, necesitaban una forma de establecer el orden de participación de cada uno y un modo de hacer que todos supieran cuándo actuar.

La necesidad de contar objetos o de medir magnitudes surge en el momento en que se quiere crear una estructura social organizada y estructurada, pero la forma en que se han representado los números



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a lo largo de la historia si ha evolucionado e incluso, en un mismo periodo temporal, ha dependido de la zona geográfica y de la propia cultura que los desarrollase. La manera de representar los números, según algunos autores como Guedj [1996], puede ser una de las tres siguientes: visual, oral y escrita. Tanto la visual como la oral serían posibles en los diversos pueblos surgidos a lo largo de la historia, pero la escrita solo sería posible en aquellas civilizaciones en las que hubiese aparecido la escritura.

Dependiendo del canal de comunicación a emplear para representar los números, Guedj [1996] habla de los siguientes tres tipos de sistemas de numeración:

1. Sistemas de Numeración Figurada: Son los compuestos por un sistema de marcas físicas realizadas sobre soportes u objetos. Entre estos sistemas de numeración se encuentran las cuerdas con nudos o quipus de los incas (desarrollados en el S. XIII d.C.). 2. Sistemas de Numeración Hablada: Son los que atribuyen un nombre a cada número con palabras de la lengua natural, de modo que al transcribirlas por escrito, se escribirían con todas sus letras como en: uno, dos, mil, etc. 3. Sistemas de Numeración Escrita: Son los que emplean símbolos ya existentes o inéditos para representar los números. Entre estos sistemas se encuentran los sistemas de numeración de los mayas y de los aztecas.

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece es necesario un sistema de representación más práctico.

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Analizar el papel y la importancia de los símbolos y de las reglas para establecer algún sistema que permita contar, registrar información y comunicar información numérica.

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente. Los sistemas de recuento más primitivos se basaban en el 5, el 10 o el 20, este hecho tiene mucho que ver con los cinco dedos de la mano, o los 10 dedos de ambas, o los 20 si se toman manos y pies.

La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10, por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.

En definitiva, la mayoría de los Sistemas de Numeración que han aparecido en la historia han considerado una base que les permitía expresar los números empleando una cantidad pequeña de



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símbolos. Además, el uso de una base permitía agrupar unidades y establecer así una escala en la sucesión de los números, definiendo unidades de diversos órdenes. La utilización de una base se justifica en la economía del lenguaje y en la necesidad de establecer un sistema con una cantidad finita de signos (aunque haya infinitos entes representados).

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Investigar otra clasificación de los Sistemas de Numeración. Los alumnos deben hacer uso de la bibliografía suministrada en clase para poder realizar esta actividad.

Guedj [1996] da una segunda clasificación de los Sistemas de Numeración basada en cómo deben interpretarse los símbolos de un sistema de numeración escrita. Hay posibles interpretaciones:

1. Sistema de Numeración Aditivo: Solo se emplea la operación adición para componer los números a partir de las cifras. Los Sistemas de Numeración Aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, etc. como sean necesarios hasta completar el número. Por tanto, una de sus características es que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. De este tipo han sido las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.

2. Sistema de Numeración Híbrido: Se emplea tanto la adición como la multiplicación a la hora de componer los números. La adición sirve para contabilizar qué aporta cada potencia de la base, mientras que en una misma potencia se recurre a la multiplicación. Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio como el tamil, el malayalam y el cingalés.

3. Sistema de Numeración de Posición: Los sistemas de numeración posicionales emplean unos símbolos, que denominamos cifras y tienen un valor dependiendo del lugar donde se sitúan. Sólo tres pueblos descubrieron el principio de Posición: los babilonios, los chinos y los mayas; por tanto, han sido los primeros pueblos de la historia que han podido representar cualquier número, por grande que fuese con un número de cifras muy pequeño. De los tres pueblos, los babilonios y los mayas inventaron el cero. Los mayas no le dieron a su cero ninguna posibilidad operacional. Los babilonios si se la dieron, aunque no lo concibieron como sinónimo de cantidad nula. Por esto, las introducciones del cero no originaron, desarrollos matemáticos hasta la práctica de los hindúes a partir del S. V. El cero hindú inicial, al igual que los homólogos babilónico o maya, solo tenía la función de rellenar los “vacíos” de los órdenes correspondientes, al cabo de medio siglo ya se entendía por “cero” el concepto de “cantidad nula”.



ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 APLICACIÓN DIDÁCTICA: Analizar las diversas formas de expresar cantidades y los diversos

sistemas de numeración utilizados a lo largo de la historia, asociándolos a la necesidad de registrar, expresar y comunicar cantidades. Los alumnos deben hacer esta comparación en cuanto a sus símbolos y reglas.

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Discutir la idea de base, el principio de posición y el rol del cero a partir del análisis de diferentes sistemas de numeración desarrollados en la historia.

3. SISTEMA DE NUMERACIÓN EN BASE DOS.

El sistema binario es el que usan los ordenadores para la codificación interna de la información; es como si sólo tuvieran un dedo, su unidad básica de memoria, el bit, sólo puede tomar dos valores, inactivo o activo, y se codifican como 0 y 1, respectivamente.

Los ordenadores se quedan sin dedos enseguida, en cuanto tienen que contar más de uno, así que añaden más dígitos. Este tipo de numeración resulta muy útil cuando cada bit puede significar cosas diferentes para un ordenador.

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Los alumnos deberán analizar el sistema de numeración binario; Con un ejemplo previo veremos cómo se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la expresión polinómica dará su equivalente en el sistema decimal:

1001234

2 1910110110010010110011 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

4. SISTEMA DE NUMERACIÓN EN BASE CUATRO.

Ciertas culturas aborígenes de África, Australia y América del Sur emplearon un sistema binario. Unas cuantas desarrollaron un sistema ternario. El sistema cuaternario es más excepcional y ha estado confinado principalmente a unas cuantas tribus sudamericanas y a los indios Auki de California, quienes contaban con los huecos de separación de los dedos.

5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN BASE CINCO.

La difusión de la base cinco ha sido mayor que la de ninguna otra. En muchos idiomas, las palabras que significan «cinco» y «mano» son, o bien la misma, o bien parientes muy cercanas.

Los sistemas de numeración de bases 6 a 9 fueron más raros. 5



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6. SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN BASE DIEZ.

Parece ser que una vez que se vio la necesidad de dar nombre a los números mayores que cinco, se pasó de una mano a otra, y se adoptó el sistema de base 10, que es la base que más se ha usado a lo largo de la Historia. Aunque haya alguna excepción a tener en cuenta, como son la numeración babilónica que ha usado 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Con ejemplos prácticos, como el siguiente, los alumnos comprobarán que en el Sistema Decimal el valor de cada símbolo depende de su posición dentro de la cantidad a la que pertenece:

01210 106103101136 ⋅+⋅+⋅=

2101210 10210410610310142,136 −− ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Los alumnos deberán analizar el sistema de numeración binario; posteriormente expresarán cantidades usando base 2 y 10; compararán las distintas expresiones en cuanto a la cantidad de dígitos usados, las formas de agrupación en cada base y analizarán las ventajas y desventajas de cada sistema.

Los tres Sistemas de Numeración, que a continuación se van a explicar (Numeración Egipcia,

Griega y Romana), son Sistemas de Numeración Aditivos.

6.1. SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIA.

Aunque los egipcios emplearon el sistema duodecimal en la subdivisión del año (en 12 meses, correspondientes a sus doce dioses principales) y del día (en 12 horas de claridad y 12 de tinieblas), Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema para describir los números en base diez utilizando jeroglíficos para representar los distintos órdenes de unidades, esos jeroglíficos eran los siguientes:

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Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Los signos para los números no dígitos se forman por yuxtaposición de los básicos, pues no conocieron la notación posicional y el cero.

Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban.

Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al Imperio Romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas.

6.2. SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGA.

El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la tabla siguiente. Se utilizaban tantos de ello como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas:

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ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100

las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.

Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo.

Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la siguiente tabla:

De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las

palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.

Este segundo sistema griego de numeración tenía la ventaja de que números grandes podían expresarse con pocos símbolos, pero tenía la desventaja de requerir más de 27 símbolos. Posiblemente, tan complicado sistema numérico sea una de las causas del retraso aritmético griego.

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Inventar un sistema de numeración parecido al griego, con nuestro alfabeto, como el ejemplo que se propone:

A B C D E F G H I J T S V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 80 300 800

Con el sistema de numeración que han inventado, los alumnos deben intentar escribir las siguientes cifras: 4528, 521, 140.

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ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 6.3. SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANA.

El sistema de símbolos creado por los romanos tuvo el mérito de ser capaz de expresar todos los números del 1 al 1.000.000 utilizando sólo 7 símbolos:

Los números romanos se leen de izquierda a derecha. Las letras que representan las cantidades mayores se colocan a la izquierda, a continuación se colocan las letras que representan las siguientes cantidades y así sucesivamente. Los valores de los símbolos suelen sumarse, excepto cuando una letra se coloca a la izquierda de otra que representa una cantidad mayor, en cuyo caso la primera se resta a la segunda.

7. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN CHINO.

Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra matemática es probablemente el “Chou Pei” (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros". El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la tabla siguiente y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental.

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Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10.

A parte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras: Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.

El Sistema de Numeración China es un Sistema de Numeración Híbrido.

8. SISTEMA DE NUMERACIÓN EN BASE DIEZ Y SESENTA: NUMERACIÓN BABILÓNICA.

Los textos matemáticos más antiguos que se poseen proceden de Mesopotamia, son textos que tienen más de 5000 años de antigüedad. Los mesopotámicos inventaron un notable sistema de numeración y los métodos fundamentales del álgebra, considerada como el arte de resolver ecuaciones.

Los babilonios utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, como por ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas.

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Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división. Puede notarse que la división se generaliza con respecto a los egipcios, pues ya no es tan sólo dividir por 2, sino multiplicar por el inverso.



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El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña; una cuña sencilla representaba al 1 y marca en forma de flecha representaba el 10.

Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Este mismo principio fue ampliado a las representaciones de fracciones. Este sistema es el denominado sexagesimal. A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente.

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Analizar críticamente las características principales del sistema de numeración decimal y comprobarlo con otros en cuanto a ventajas y desventajas.

9. SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN BASE VEINTE: NUMERACIÓN MAYA.

El ejemplo más sobresaliente de sistema de numeración en base 20 es la numeración Maya, pues se vale del cero y del principio posicional, (el cual dice que las cifras tienen distinto valor según el lugar que ocupan, como hemos visto anteriormente en la numeración babilónica).

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque parece que no les interesó el concepto de cantidad nula.

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas. Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 , etc. según el lugar que ocupe, y sumar el resultado.

Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año. El año lo consideraban dividido en 18 ciclos que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.



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Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Una vez estudiados los sistemas de numeración maya, romano y egipcio se plantearán a los alumnos una serie de ejercicios. Para trabajar esta aplicación los alumnos deberán hacer grupos de 5 personas y deberán contestar adecuadamente al mayor número de preguntas que les formule sobre las culturas maya, romana y egipcia, todas ellas referentes a los sistemas de numeración, algunas de ellas son:

Escribir las siguientes cantidades en los sistemas de numeración maya, romano y egipcio: 13,19,25,36,46,136,1427,2845.

¿Conoces algún uso que se dé actualmente a los números romanos? ¿Qué diferencias encuentras entre los sistemas de numeración maya y romano? ¿cuál te parece

más sencillo? ¿cuál mas útil? ¿Por qué crees que se ha adoptado mayoritariamente el sistema de numeración decimal y no

otro cualquiera?

10. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN EN LA INDIA. NUESTRO SISTEMA ACTUAL.

El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Antes del Siglo VII los indios idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración como árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales desde el siglo III.

La evolución del sistema de numeración hindú fue empezando con nueve símbolos diferentes, uno por cada número del uno al nueve. Éstos han cambiado con el tiempo, pero llegaron a Europa en su forma actual en el siglo XVI y ahora se escriben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Donde los hindúes mejoraron el sistema griego y el hebreo fue en el uso de las mismas nueve cifras para las decenas, centenas, millares y, en verdad, para cualquier barrote o alambre del ábaco. De esas nueve cifras derivaron los hindúes todos los números; todo lo que se necesitó fue dar a las cifras su valor de posición.

La gran innovación hindú fue la invención de un símbolo especial para una hilera intacta del ábaco. A este símbolo los árabes lo llamaron "sifr" que significa "vacío". Esta palabra ha llegado hasta nosotros como una "cifra" o como "cero".



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APLICACIÓN DIDÁCTICA: Para fomentar el interés en los alumnos por otras culturas se les plantea en esta ocasión, que sobre un mapamundi señalen las zonas donde vivieron los pueblos mencionados en el tema: sumerios, babilonios, egipcios, griegos, romanos, chinos, mayas, indios y árabes. Deben ponerle a cada uno un color diferente.

11. CONSIDERACIONES FINALES.

Al ser infinita la serie de los números naturales, no podemos utilizar un símbolo particular para cada uno de ellos. Entonces es necesario un conjunto finito de signos que, combinados mediante unas cuantas reglas o convenios, permitan simbolizar cualquier número natural.

Se llama Sistema de Numeración al conjunto de normas y convenios que se utilizan para escribir cualquier número, con un conjunto pequeño de símbolos. Este sistema se basa en:

A. Se llaman Unidades de primer orden a los 10 primeros números naturales (del 0 al 9). B. Se llama Decena o Unidad de segundo orden a cada agrupación de los 10 primeros números

naturales, sin contar el cero. Se llama Centena o Unidad de tercer orden a 10 decenas y así sucesivamente. La base del sistema propuesto es el número 10. Así, cada unidad, a partir de la de segundo orden, se puede expresar como potencia del número 10. La unidad de orden n se expresa como 10 n n-1.

C. Cualquier número se expresa como unidades de diversos órdenes, el número de unidades de cada orden nunca es superior a 9 (sin contar la unidad cero de dicho orden).

D. Toda cifra escrita a la izquierda de una dada, representa a las unidades del orden inmediatamente superior (Principio Posicional).

APLICACIÓN DIDÁCTICA: Para finalizar el estudio de los Sistemas de Numeración, se realizará un breve resumen de las ideas estudiadas en el tema, para ello los alumnos usarán el mapamundi hecho en días anteriores, una enciclopedia y material informático obtenido sobre varios países.

La aplicación consiste en seleccionar los países que estén en las zonas señaladas en el ejercicio anterior. Se reparte al azar entre los grupos participantes (4 alumnos por grupo), los nombres de los países. En un periodo de tiempo deben averiguar la ubicación de los países y algunos datos sobre ellos.

Una vez finalizado el tiempo cada grupo colocará el nombre del país en su sitio correspondiente en el mapa, y relatará los datos que han seleccionado.

Entre las ideas que los alumnos deben comentar de esos países tenemos: ¿Sabíamos ya algo de esos países? ¿Y de su relación con las matemáticas? ¿conocemos a alguien que venga de allí? ...



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12. BIBLIOGRAFÍA.

Boyer, C. (1994). Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Editorial. Collette. J. P. (1991). Historia de las Matemáticas. Madrid: Siglo veintiuno. Ifrah. G. (1987). Las cifras. Historia de una gran invención. Madrid: Alianza Editorial. Navarro Martín, F. (2004). La Historia de los sistemas de numeración. Granada: Copistería la

Gioconda. Sistemas de Numeración. Extraído el 7 de enero de 2009 desde

http://articulos.conclase.net/numeracion/numeracion.html Sistemas de Numeración. Extraído el 7 de enero de 2009 desde

http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Aritmetica/Numeros/Sisnum.htm Los sistemas de numeración a lo largo de la historia. Extraído el 10 de enero de 2009 desde

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html Arenaz Villalba, B. (2004). Los Números Naturales. C.A.R.E.I (Centro Aragonés de Recursos para la

Educación Intercultural). Gobierno de Aragón. Departamento de Educación, Cultura y Deporte.

Autoría

Nombre y Apellidos: María del Carmen García Jiménez. Centro, localidad, provincia: Granada. E-mail: [email protected]

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