Aquí se integra, sin más que aplicar la proyectiva (1) sobre la reducida(*) (2)

(1) x=(z+r)/(z+c) (2ª)especie (2) I= ∫dx(x2-1)1/2(x-h)1/2/(x-1)3

x2=(z2+r2+2rz)/(z2+1+2z) x>1 x2-1=[r2-c2+2z(r-c)]/(z+c)2 x-h=[z(1-

h)+r-ch]/(z+c) dx=dz/(z+c)2 q=(r-hc)/(1-h) p=(r+c)/2

x-1=(r-c)/(z+c) (x-1)3=k/(z+c)3

I=∫ dz(z+q) 1/2[z+(r+c)/2]1/2/(z+c)1/2 hacemos p=-q 2(r-hc)=(c+r)(h-

1)=1+r-h-hr

3r-2hc=1-h(1+r) r(1+h)=1+(2c-1)h r(3-h)+(1-3h)c=0 r/c =(3h-1)/(3-h)

haremos

c=3-h r=3h-1 p=2(h+1)

z+c=t2 dz=tdt I=∫(z2-p2)1/2dt z=pchw I=∫shw·shw·dw=shwchw-w

siendo w=argch(z/p)

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1ª especie I=∫ dz(z+q)-1/2[z+p]-1/2/(z+c)1/2 igual que antes p=-q c=3-h r=3h-1

I=∫ dz/[z2-p2]1/2(z+c)1/2 con z=pchw dz=dwshw I=∫ dwshwshw/[chw+c/p]1/2

I=∫ sh2wdw/[chw+c/p]1/2 I(1)=∫ d(ew)e-w[e4w+1-2e2w]e-

2w/[e2w+1+2[1+2(c/p)]ew]1/2e-w

I=∫ ds·s-2[s4+1-s2]/[s2+1+2[1+2(c/p)]s]1/2 radical de 2ª grado=(ch2q-1)1/2=shq

1+2c/p=H

I=∫ ds(s2-1+s-2)/radical=∫ dss2/R-∫ds/R+∫ ds·s-2/R

s=-H+-(H2-1)1/2 sumXdif (s+H)2-(H2-1) s+H=(H2-1)1/2chq s=Achq-H ds=shqdq

el radical es R=shq y I=∫ [dqshq/shq]polinomio = ∫ dss2-∫ds+∫ds·s-2=s3/3-s+1/s

s=Achq-H

INTEGRABLE como queríamos demostrar A=(H2-1)1/2 1+2c/p=H

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(*) Se reduce el bicuadrado en el trabajo nº 7