3ª especie I=∫dx/(x-h)√(x2-A)√(x2-B)1/2 aplicamos la transformación x=(z+a)/(z+b)

A B y h son datos x-h=[z(1-h)+a-hb]/(z+b)=(z+m)/(z+b) dx=dz/(z+b)2

(a-hb)/(1-h)=m I=∫dx/(x-h)√(x2-1)√(x2-A) x2=(z2+2az+a2)/(z2+2bz+b2) if h>1 h>r (relación de semiejes)

si no, imaginario x2-1=[2z(a-b)+(a2-b2)]/(z+b)2=(z+p)/(z+b)2 x2-A=[z2(1-A)-2z(a-Ab)+(a2-Ab2)]/(z+b)

haciendo a=-b=-1 p=0 I=∫dz√(z+b)/(z+m)√z√[z+2M+1] (A+1)/(1-A)=M m=(1+h)/(h-1)

con q=1+2M I=∫dz√(z+1)/√z(z+m)√(z+1+2M) haciendo z=t2-1 I=∫t2dt/√(t2-1)/(t2+m-1)√(t2+2M)

ahora el cambio es t=chw dt =shwdw I=∫ch2wshwdw/chw[ch2w+m-1]√[ch2w+2M]=

∫d(chw)chw/[ch2w+m-1]√[ch2w+2M]= ∫d(u2)/(u2+m-1]√[u2+2M]= ∫dv/(v+m-1)√[v+2M]

v=u2-2M dv=udu I=∫udu/u(u2+m-1-2M) H2=m-1-2M I=∫du/(u2+H2) u=HshQ

I=∫dQchQ/ch2Q=arctg(eQ) siendo Q=argsh[(z+1)/√(m-1-2M)]

******************************************