Reducción a tercer grado del trinomio bicuadrado Abeliana generalizadaCortamos la curva-integrando (b+x2)(a+x2) con un haz de curvas con parámetro que será la nueva variable P2=(b+x2)(a+x2)=y1=ρx2(b+x2) x2+a=ρx2 x2=a/(ρ-1) x=a½(ρ-1)-½ dx=(ρ-1)-3/2dρEl trinomio es x4+(a+b)x2+ab=0. Cuando a ó b son positivos, las raíces son imaginarias, pero no a y b. Con este cambio a ρ, el polinomio bajo radical es de 2º, (con dx habrá 3 factores bajo raíz cuadrada) definición de binómica x2+a=(a+aρ-a)/(ρ-1) ρ>1 x2+b=(a+bρ-b)/(ρ-1) P2=ρ(ρ+c)(ρ-1)-2

1ª especie: polinomio en denominador I=∫dρ/[(ρ-1)1/2/[ρ(ρ+c)]½ ahora el cambio es ρ=½+y/2 =(y+1) -1=y-1 Denom2=(y2-1)(y+h) 2c+1=h=2r-1 es un dato (r=a/b) I(1ª)=∫dy/(y2-1)1/2(y+h)1/2

2ª especie ∫(ρ-1)-3/2dρ(ρ+c)1/2ρ1/2(ρ-1)-1ρ=y/2-c/2

I=∫dy(y+1)1/2(y+h)1/2/(y-1)5/2 o mejor, con solo dos raíces I(2ª)=∫dy[(y2-1)1/2(y+h)1/2/(y-1)3