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MAS
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1Mg. John Cubas Snchez
Oscilaciones Mecnicas
Mg. John Cubas Snchez
2
Movimiento oscilatorio
Movimiento peridico
Movimiento armnico simple (MAS)
Elementos del MAS
Ecuaciones de un MAS
Ecuacin de la posicin X
Ecuacin de la velocidad v
Ecuacin de la aceleracin a
Mg. John Cubas Snchez 3
Oscilaciones Mecnicas
Movimiento oscilatorio
Es aquel en el cual el mvil va y viene siguiendo unamisma trayectoria en forma repetitiva, hacia uno yotro lado de un punto llamado punto de equilibrio.Tambin se le conoce con el nombre de movimientode vaivn.
Ejemplo: El movimiento que realiza un pndulo alser separado de su punto de equilibrio
El movimiento de un resorte
Movimiento oscilatorio
Mg. John Cubas Snchez 4
Mg. John Cubas Snchez 5
Movimiento peridico
Es aquel movimiento que se repite cada cierto tiempo,denominado perodo.
Ejemplo: El movimiento
planetario
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MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (MAS)
Es aquel movimiento peridico y oscilatorio realizado sobreuna recta; se caracteriza porque la aceleracin del mvil esdirectamente proporcional a la elongacin, pero de sentidocontrario.
A A
-x x 0
a -a
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Elementos del MAS1.- Oscilacin o vibracin completa.-
Es el movimiento de ida y vuelta que efecta elmvil, recorriendo la trayectoria completa.
2.- Perodo (T).-
Es el tiempo que transcurre durante la realizacinde una oscilacin.
3.- Frecuencia (f).-
Es el nmero de oscilaciones efectuadas encada unidad de tiempo:
Ttiempo
esoscilacionNf
1
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4.- Elongacin (x).-
Es la distancia medida desde la posicin deequilibrio hasta el lugar en que se encuentra elmvil en un instante cualquiera. Sirve para ubicaral mvil.
5.- Posicin de equilibrio (P.E.).-
Es aquel punto situado en la mitad de latrayectoria. No necesariamente el movimiento seinicia en este punto
Mg. John Cubas Snchez 9
6.- Amplitud (A).-
Es la distancia entre la posicin de equilibrio y cualquiera de los extremos de la trayectoria. Es el mximo valor de la elongacin. En una oscilacin se recorre cuatro amplitudes.
A A
PE Po x+
x -
Mg. John Cubas Snchez 10
Fuente
luminosaEcran y
sombras
Para deducir las
ecuaciones de un
MAS utilizaremos un
sencillo equipo
compuesto de:
Una partcula que
tiene MCU.
Un gran foco
luminoso.
Un cran para
proyectar la sombra de
la partcula
(que los
colocaremos en forma
vertical)
Mg. John Cubas Snchez11
Ecran
ac
Como el movimiento circunferencial es uniforme; solo hayaceleracin centrpeta; de manera que la rapidez angular w yla rapidez tangencial vt son constantes.
La amplitud Adel MAS es
igual al radio del
crculo.
La partcula inicia su
movimiento en
el punto P.
El ngulo a se le llama fase
inicial.
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La sombra de la partcula posee un movimientoarmnico simple MAS y una velocidad y aceleraciniguales a las proyecciones de la velocidad tangencialvt y la aceleracin centrpeta ac del MCU sobreel cran; es decir son las componentes verticales dela velocidad tangencial vt y la aceleracincentrpeta ac.
Ecuaciones de un MAS
x = QR= A sen g
g = +
= t
Ecuacin de la posicin X
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Ecran
x = A sen (t + )
Ecuacin de la velocidad v
V= Vt cos g
Vt = R = A
g = +
= t
Mg. John Cubas Snchez 14
Ecran
V= A cos (t + )
Ecran
Ecuacin de la aceleracin a
a = - ac sen g
g = +
= t
a = - A sen (t + )
Mg. John Cubas Snchez 15
ac = R = A
Mg. John Cubas Snchez 16
CINEMTICA DEL MAS
Sea: x = A sen (t + )
td
xdv
td
vd
td
xda
2
2
v = A cos (t + )
a = - A sen (t + )
De manera que:
a) v = A cos (t + )
A
vt
waw cos
x = A sen (t + )
A
xtsen aw
Mg. John Cubas Snchez 17
Elevando al cuadrado:
22
22cos
A
vt
waw
2
22
A
xtsen aw
(+)
22
2
2
2
1A
v
A
x
w
2
2
22
2
1A
x
A
v
w
22222 xAv ww
2222 xAv w
22 xAv w
b)a = - A sen (t + )
a = - x
x
Mg. John Cubas Snchez 18
22 xAv w
a = - x
PEqPEx PEx
V mxa = 0 a mxa mx
V = 0V = 0
Para x 0, F = - kx
DINMICA DEL M.A.S.
LEY DE HOOKE: define el comportamiento del muelle paraun oscilador armnico.
La fuerza restauradora de un muelle es directamenteproporcional a su elongacin pero de sentido opuesto.
Mg. John Cubas Snchez 19
xkFk
Mg. John Cubas Snchez 20
Periodo de las oscilaciones:
Recordando a= - w2 x; tenemos que la frecuencia angular y
periodo son respectivamente:
El periodo de oscilacin y la frecuencia del cuerpo no dependede la amplitud de las oscilaciones.
En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzasque actan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle:
De la 2 Ley de Newton:
FK = m a - k x = m a xm
ka
m
kw
k
mT 2Y como:
T
w
2
Mg. John Cubas Snchez 21
2. ENERGIA CINTICA:
Aquella capacidad que poseen los cuerpos pararealizar trabajo en funcin de su movimiento.
2
2
1mVEC
2222
1xAmEC w
Donde:
2wmk
Luego:
222
1xAkEC
Esta energa, depende de las posiciones de las partculas que
forman el sistema.
En un sistema muelle - cuerpo, hablamos de energa potencial
elstica; por supuesto cuanto mayor sea la compresin o
estiramiento del muelle, mayor es la energa.
Mg. John Cubas Snchez 22
3. ENERGIA POTENCIAL:
2
2
1xkE
elsticaP
Mg. John Cubas Snchez 23
4. ENERGIA MECNICA TOTAL:
elsticaPCEEE
2222
1
2
1xkxAkE
2222
1xxAkE
2
2
1AkE
La energa mecnica
total es constante
EP elstica(x)
xx0 A- A
EP
EC
2
2
1xk
2
2
1Ak
Mg. John Cubas Snchez 24
MAS ANGULAR
Luego la frecuencia angular yperiodo sern:
Ejemplo: rueda de balance de un reloj mecnico
Un resorte espiral ejerce un momento de torsin o torque (t)de restitucin proporcional al desplazamiento angular respectode la posicin de equilibrio.La ecuacin de movimiento est descrita por: Q = Qo cos(w t + )
Mg. John Cubas Snchez 25
t = - k Q
De la segunda Ley de Newton: t = I a
- k Q = I a
QI
ka
De la Ley de Hooke:
Para un MAS angular:Q 2wa I
kw
k
IT 2Y como: T
w
2
Mg. John Cubas Snchez 26
PNDULO SIMPLE
Constituido por una masa puntualsuspendida de un punto fijo mediante unhilo inextensible cuya masa esdespreciable.
Tmasenmg
Rseng a L
a senL
g
Para ngulos pequeos (< 10)
tgsen aL
g
Para un MAS angular: wa2
Mg. John Cubas Snchez 27
ENERGA ASOCIADA AL PNDULO SIMPLEPor haber ganado altura, decimos queadquiere energa potencial gravitatoria.Es decir, en el centro no tiene energapotencial y en los extremos si.Podemos entonces, aplicar el principiode conservacin de la energa y afirmarque la energa cintica del centro se hatransformado en potencial en lospuntos de mxima amplitud.
Comparando obtenemos la frecuencia
angular del Pndulo simple: L
gw
Y el periodo del Pndulo simple:g
LT 2
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PNDULO FSICO
Al desplazarse el cuerpo, el peso(mg), causa un momento de torsinde restitucin, dado por:
t = - (mg) (d sen )
El pndulo fsico oscila solamentepor accin de su peso
Para ngulos pequeos, el movimiento ser armnico simple.(al aproximar sen . Entonces:
t = - (mg d)
Para amplitudes mayores, el movimiento es armnico, perono simple.
La frecuencia angular ser:
Mg. John Cubas Snchez 29
- mgd = I a
aI
mgd
Para un MAS angular: wa2
I
mgdw
Y el periodo ser:mgd
IT 2
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SUPERPOSICIN DEL MAS
La superposicin tiene lugar cuando dos fuerzas perturbadorasactan simultneamente siendo el movimiento resultante lasuma de los distintos M.A.S.
Mg. John Cubas Snchez 31
a) En una dimensin:
a
x
A1
f1
w1 t
w2 tf2
A2
d
w t
A
d | f2 f1 |
Mg. John Cubas Snchez 32
2211
2211
coscos ff
ffa
AA
senAsenAtg
Resulta un M.A.S. de la misma frecuencia, donde:
1221
2
2
2
1 cos2 ff AAAAA
x(t) = x1(t)+ x2(t) = A1 sen(w1t + f1) + A2 sen(w2t + f2)
d = f 2 f 1 : diferencia de fases
21 ww
x (t) = A sen (w t + a)
21 www
x1(t) = A1 sen (w1t + f1)x2(t) = A2 sen (w2t + f2)
a
Mg. John Cubas Snchez 33
A) f1 f2 Movimientos en fase
Casos comunes:
d = 0: interferencia constructiva
B) f2 f1 Movimientos encontrafase u oposicin
d = : interferencia destructiva
d = /2
12
x
t
1 + 2
1
2
x
t
1 + 2
12
x
t
1 + 2
21 AAA
21 AAA
2
2
2
1 AAA
21 ffa
1fa
1
21
A
AarcTgfa
21 www
A
A
A
C) f2 f1 /2 Movimientos encuadratura
El movimiento resultante no es un MAS.Se denomina PULSACIONES al resultado de la superposicinde dos M.A.S. de frecuencias ligeramente diferentes.
Mg. John Cubas Snchez 34
Pulsaciones
Envolvente: Indica
como vara la
amplitud
Pulso
tsentAtx
22cos2 2121
wwww
Amplitud modulada Frecuencia de la
pulsacin
Frecuencia de la amplitud
21 ww
b) En dimensiones perpendiculares:
Mg. John Cubas Snchez 35
x(t) = A sen (w t + a)y(t) = B sen (w t + b) Consideremos: a 0, entonces d b:
Por tanto, la trayectoria de las oscilaciones estarn limitadas por las
lneas x = A; y = B, como se muestra en la grfica inferior
izquierda: Finalmente, las partculas al oscilar de
esta manera se terminan polarizando,
rectilnea o elpticamente, as.
x yw w w
x
y
A A
B
B
Las trayectorias en este caso seconocen como curvas ofiguras de Lissajous.
Mg. John Cubas Snchez 36
x(t) = A sen (wx t + a )y(t) = B sen (wy t + b )
La trayectoria no ser unaelipse, salvo que wx = wy comose vio en el caso anterior.
Cmo se forman las
figuras de Lissajous?
x yw w
Mg. John Cubas Snchez 37
RESUMENPunto de
equilibrioExtremos
Posicin x=0 x= A
Velocidad V = Vmx = Aw V = 0
Aceleracin a = 0 a = amx = Aw 2
Fuerza resultante F = 0 F = k A = mw 2 A
Energa cintica
Energa potencial elstica
Energa mecnica
22
1wAmEE
mxCC 0CE
0pE2
2
1AkEE
mxpp
22222
1
2
1
2
1
2
1wAmAkxkVm