Oscilaciones Lineales con 1 Grado de Libertadw3.mecanica.upm.es/~goico/ap/cap3.pdf · Sea una masa puntual, m, obligada a moverse segun´ una recta ﬁja, sujeta a un punto dado de

Capıtulo 3

Oscilaciones Lineales con 1Grado de Libertad

Es muy comun que el objetivo de un diseno mecanico sea una estruc-tura o un mecanismo que permanezca cerca de una posicion de equilibrioestable, pudiendo realizar sin embargo pequenos movimientos u oscilacionesalrededor de esa posicion. Una variante serıa un sistema cuyo movimientoobjetivo sea una trayectoria determinada, admitiendo pequenas oscilacioneso variaciones acotadas respecto de la misma.

Las solicitaciones y la respuesta de un sistema debido a cargas dina-micas pueden superar notablemente los efectos de las mismas cargas encondiciones estaticas, aplicadas de forma suficientemente lenta. Los disenosde ingenierıa cada vez requieren mas una adecuada respuesta dinamica.Esto puede deberse a que las cargas realmente se apliquen de forma muyrapida, como a asignar una mayor importancia a aspectos como el manteni-miento de la funcionalidad, la resistencia, y el confort ante las vibraciones.Estas condiciones de diseno a menudo se anaden a las puramente estaticas,de estabilidad y resistencia en la posicion de equilibrio.

En la mayorıa de los casos practicos, estas pequenas oscilaciones sepueden considerar como lineales (mas adelante se precisa el significadode este termino) pudiendose analizar mediante la teorıa que se expone eneste capıtulo y en el capıtulo 10 para sistemas con varios grados de libertad.

Comenzamos aquı por los casos mas simples de oscilaciones, los de sis-temas con 1 grado de libertad. Aunque en la realidad casi todos los casostienen varios grados de libertad, en numerosas situaciones existe un gradode libertad predominante, pudiendose despreciar los otros modos de vibra-cion en una primera aproximacion. Sera valido en estos casos el estudio

3.1

3.2 Capıtulo 3. OSCILACIONES LINEALES CON 1 GRADO DE LIBERTAD

mediante las tecnicas que presentamos en este capıtulo; en cualquier caso,seran la base para el estudio de las oscilaciones con varios grados de libertadque se tratan mas adelante (capıtulo 10).

3.1. El Oscilador Armonico Simple

3.1.1. Ecuacion del Movimiento

Sea una masa puntual, m, obligada a moverse segun una recta fija, sujetaa un punto dado de la misma por medio de un resorte elastico (es decir, unmuelle que ejerce una fuerza proporcional a su elongacion), de constante k,sin que existan otras fuerzas aplicadas. Si se denomina x la coordenada dem a lo largo de la recta, el resorte elastico ejerce una fuerza recuperadora,que se opone a la elongacion, de valor

F = −k(x− x0),

siendo x0 la que se denomina longitud natural del resorte, para la cual estequedarıa sin tension. El signo ha de ser negativo puesto que la fuerza delresorte tiene sentido contrario a la elongacion, es decir, es una resistenciainterna que se opone a ella.

Decimos que se trata de un resorte lineal, porque la fuerza desarrolladaen el mismo depende linealmente de la elongacion: a doble elongacion, doblefuerza, y a elongacion mitad, la fuerza se divide por dos.

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

-x

mk

Figura 3.1: Oscila-dor armonico sim-ple

Como podemos elegir el origen de coordenadas donde nos plazca, loharemos en el punto x0, de forma que la expresion de la fuerza del muellesea

F = −kx.

Aplicando el principio de la cantidad de movimiento (2.2), obtenemosla ecuacion dinamica de este sistema:

mx = −kx ⇒ mx + kx = 0 (3.1)

Aptdo. 3.1. El Oscilador Armonico Simple 3.3

Se trata de una ecuacion diferencial ordinaria con las siguientes carac-terısticas:

de segundo orden, ya que intervienen derivadas segundas;

lineal, ya que ası es la dependencia en relacion con la variable x y susderivadas;

de coeficientes constantes, pues supondremos fijos m (masa del siste-ma) y k (rigidez del resorte);

homogenea, pues la ecuacion esta igualada a cero, sin termino inde-pendiente a la derecha del signo igual.

3.1.2. Energıa

Antes de proceder a integrar la ecuacion, conviene analizar la energıaasociada al resorte. La fuerza del muelle es conservativa, asociada a un po-tencial V (x). Este se calcula inmediatamente integrando el trabajo realizadopor aquella entre la posicion natural y una posicion generica:

V = −∫ x

0F dx = −

∫ x

0(−kx) dx =

12kx2.

Al ser la fuerza conservativa, la energıa total se conserva, siendo su valoren un instante generico

E = T + V =12mx2 +

12kx2. (cte.) (3.2)

Si el movimiento es oscilatorio y acotado, la elongacion x(t) tendra maxi-mos en los que la derivada es nula (x = 0). Particularizando para uno deestos instantes, podemos escribir la ecuacion (3.2) en funcion de una nuevaconstante A cuya interpretacion es la elongacion maxima:

12mx2 +

12kx2 =

12kA2. (3.3)

Fısicamente, podemos interpretar la ecuacion anterior observando queen los puntos de elongacion maxima toda la energıa es potencial (Vmax =12kA2), mientras que en los puntos de elongacion nula toda la energıa escinetica (Tmax = 1

2kA2). A lo largo del movimiento, la energıa total seconserva, oscilando entre estas dos formas.


3.1.3. Integracion de la Ecuacion

El objetivo es resolver la ecuacion (3.1), integrandola para obtener elmovimiento x(t). No se pretende aquı explicar con caracter general los pro-cedimientos de integracion de ecuaciones diferenciales con una variable, porlo que nos ceniremos a los detalles de la solucion de ecuaciones del tipo de(3.1), que por otra parte reviste considerable importancia en la fısica y enla mecanica.

La forma mas sencilla es partir de la ecuacion (3.3), despejando en ellay separando variables:

x2 =k

m(A2 − x2) ⇒

√k

mdt =

dx√A2 − x2

.

La integracion se puede hacer para cada miembro de esta ecuacion de formaindependiente, resultando

√k

mt + ϕ = arc sen

x

A,

donde ϕ es una constante de integracion. Definimos ahora un nuevo para-metro ω0 como

ω0def=

√k

m. (3.4)

con lo cual despejando el valor de x resulta la ecuacion del movimientobuscada:

x(t) = A sen(ω0t + ϕ). (3.5)

Esta ecuacion define una ondulacion armonica (es decir, sinusoidal). Setrata de un movimiento periodico, puesto que se repite identicamente cadacierto intervalo de tiempo, denominado periodo, de manera indefinida. Eneste caso el periodo es T = 2π/ω0.

El parametro ω0 recibe el nombre de pulsacion o frecuencia angularnatural del sistema; representa la frecuencia angular con la que este oscilacuando se le separa de su posicion de equilibrio y se le libera para que semueva libremente1. La constante A es la amplitud de la oscilacion (modulode la elongacion maxima) y por ultimo ϕ es el angulo de fase, ya que indicala fase de la sinusoide en que se situa el origen de tiempo.

1En contra de lo que pudiera parecer, la notacion ω0 no indica valor inicial de ω,tratandose de un valor caracterıstico del sistema que se mantiene constante. El subın-dice en ω0 se refiere a que el sistema no tiene amortiguamiento, en comparacion con lafrecuencia caracterıstica ω que obtendremos para los sistemas con amortiguamiento, verecuacion (3.13).

Aptdo. 3.1. El Oscilador Armonico Simple 3.5

−A

0

A

0 π3

π2 π 3π

2 2π 3π 4π

elon

gaci

on(x

)

fase (ω0t + ϕ)

x(t) = A sen(ω0t + ϕ)

Figura 3.2: Oscilacion armonica, abarcando dos periodos completos del mo-vimiento. Un angulo de fase ϕ 6= 0 equivale simplemente a una traslaciondel origen de tiempos.

La frecuencia angular o pulsacion se mide en radianes/segundo. La fre-cuencia circular f —o frecuencia propiamente dicha—, indica el numero deciclos o revoluciones por unidad de tiempo, y se expresa mediante Hercios ociclos por segundo (Hz). La relacion entre ambas medidas de la frecuenciaes por tanto f = ω/2π. Tambien es posible expresar la frecuencia en otrasunidades como revoluciones por minuto (rpm).

Es inmediato observar de (3.5), que cuanto mas rıgido sea el muelle(mayor k) o mas ligera la masa (menor m), mayor sera la frecuencia naturalde oscilacion ω0. Por el contrario, sistemas flexibles (k pequeno) y pesados(m grande) tendran frecuencias naturales bajas.

Si el valor de la constante k fuese negativo, esto corresponderıa a unarepulsion del resorte, y no serıa posible la solucion anterior al no poderseobtener ω0 =

√k/m. Fısicamente, este caso no corresponderıa a un movi-

miento de oscilacion, ya que la partıcula tenderıa a alejarse cada vez mas delorigen, sin estar su movimiento acotado. Por tanto, para que el sistema ten-ga un movimiento oscilatorio acotado ha de poseer una rigidez k positiva,correspondiente a una atraccion hacia la posicion de equilibrio estable.

Los dos parametros A y ϕ quedan indeterminados en (3.5), siendo ne-cesario calcularlos a partir de las dos condiciones iniciales (posicion y ve-


locidad iniciales). Por ejemplo, para una vibracion que parte desde unaelongacion inicial a en reposo,

x0 = a; x0 = 0 ⇒ A = a, ϕ = π/2.

Para unas condiciones iniciales cualesquiera x0 y v0, particularizando (3.5)se halla

ϕ = tan−1

(ω0x0

v0

); A =

x0

sen ϕ.

Como comprobacion, podemos evaluar la energıa asociada al movimien-to definido por (3.5). En un instante generico, la velocidad es

x = Aω0 cos(ω0t + ϕ),

por lo que

T + V =12

mω20︸︷︷︸

=k

A2 cos2(ω0t + ϕ) +12kA2 sen2(ω0t + ϕ) =

12kA2.

Como era de esperar se obtiene el mismo valor que en (3.3).

3.2. Oscilaciones en 2 Dimensiones

Sea una masa m que se puede mover en un plano, atraıda hacia unpunto O del mismo por un resorte lineal.

e

u

O

Pm

F

OP = r

HHHH

HHHH

HHHH

HHHH

Figura 3.3: Oscilaciones en 2Dde una partıcula atraıda hacia unpunto O del plano.

La expresion vectorial de la fuerza de atraccion es

F = −kr,

y la ecuacion vectorial del movimiento

mr + kr = 0;

Aptdo. 3.2. Oscilaciones en 2 Dimensiones 3.7

En componentes, tomando unos ejes Oxy en el plano, resultan dos ecua-ciones escalares desacopladas:

mx + kx = 0; my + ky = 0. (3.6)

La solucion general de estas ecuaciones es

x = A cos(ω0t + α); y = B cos(ω0t + β),

expresiones que definen la trayectoria de forma parametrica. Para obtenerla ecuacion implıcita de la trayectoria tengamos en cuenta, en primer lugar,que podremos elegir el origen de tiempos sin perdida de generalidad deforma que sea α = 0; el angulo de fase para y sera δ = β−α. De esta formaqueda

x = A cos(ω0t); y = B cos(ω0t + δ).

Desarrollando la expresion de y y eliminando la variable t,

y = B(cosω0t cos δ − sen ω0t sen δ),

y

B=

x

Acos δ − sen δ

√1− x2

A2,

de donde se obtiene finalmente

x2

A2+

y2

B2− 2xy

ABcos δ = sen2 δ. (3.7)

Para distintos valores de δ, esta ecuacion representa una familia de elipsescon orientacion y excentricidad variables, siempre inscritas en el rectangulo−A < x < A, −B < y < B, como es facil de comprobar. Las elipsesdegeneran en rectas diagonales para los casos lımite δ = 0 y δ = π (verfigura 3.4).

Una generalizacion interesante del caso anterior resulta de consideraruna constante de atraccion distinta segun cada uno de los dos ejes (kx y ky

respectivamente). Realizando esta modificacion en las ecuaciones (3.6) esinmediato comprobar que su solucion son oscilaciones en x e y con distintafrecuencia, ωx =

√kx/m y ωy =

√ky/m:

x = A cos(ωxt + α), y = B cos(ωyt + β).

Las trayectorias descritas son las llamadas curvas de Lissajous (figura3.5). Estas curvas son cerradas tan solo si ωy/ωx es una fraccion racional. Encaso contrario, se describen trayectorias abiertas que, a lo largo del tiempo,


-

6y

xA

B

δ = π2 ; x2

A2 + y2

B2 = 1

-

6y

xA

B

δ = 0; xA − y

B = 0

OO

Figura 3.4: Trayectorias de una partıcula con atraccion elastica a un puntoO, mostrando dos casos extremos de la familia de elipses (3.7). El primercaso corresponde a las condiciones iniciales x0 = A, x0 = 0, y0 = 0, y0 =−Bω0, y el segundo a x0 = A, x0 = 0, y0 = B, y0 = 0.

ωy = 2ωx; δ = 0 ωy = 2ωx; δ = π/2

ωy = 2ωx; δ = π/3 ωy =√

2ωx; δ = π/2

Figura 3.5: Curvas de Lissajous, para diversas condiciones iniciales. En elultimo caso, al no ser el cociente de frecuencias racional, la curva no escerrada

Aptdo. 3.3. Oscilaciones con amortiguamiento 3.9

acaban siendo densas en el rectangulo ]−A,A[×]−B, B[ (pasan tan cercacomo se desee de cualquier punto), sin cerrarse nunca.

La trayectoria seguida es sensible a las perturbaciones de los parametrosiniciales; una pequenısima variacion de ωx u ωy, convertira a una curva decerrada en abierta, por ejemplo.

3.3. Oscilaciones con amortiguamiento

3.3.1. Ecuacion del movimiento

Un amortiguador viscoso ejerce una fuerza de resistencia pasiva propor-cional a la velocidad, FA = −cx, de sentido contrario a ella. Este modelo

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

-x

m

k

c

Figura 3.6:Oscilador conamortigua-miento viscoso

corresponde aproximadamente a la resistencia desarrollada por un embo-lo en un piston lleno de lıquido, al fluir por el hueco libre entre piston yembolo. Se trata de una fuerza necesariamente no conservativa. Es facilcomprobarlo, ya que en cualquier trayectoria cerrada (origen y final en elmismo punto), el trabajo realizado por la fuerza de amortiguamiento esesencialmente negativo:

WA =∮

(−kdx

dt) dx =

∮(−kx2) dt < 0.

Aunque este modelo no representa de forma exacta la mayorıa de las re-sistencias pasivas reales, resulta sencillo y suficientemente aproximado parauna gran cantidad de casos practicos, permitiendo considerar las inevitablesresistencias del medio en que se produce la vibracion.

Considerando la fuerza del amortiguador, la fuerza total sobre m esahora

F = −cx− kx,


resultando la ecuacion:mx + cx + kx = 0. (3.8)

Esta sigue siendo una ecuacion diferencial de segundo orden, lineal, de coe-ficientes constantes y homogenea.

3.3.2. Integracion de la ecuacion

La solucion de la ecuacion (3.8) es del mismo tipo que en el caso anteriorsin amortiguamiento (3.1), es decir, basada en funciones armonicas. Tan soloes necesario aquı generalizar algo la expresion de las soluciones ensayadas,para lo cual emplearemos una exponencial del tipo x(t) = aert. En principio,permitiremos que tanto a ∈ C como r ∈ C sean numeros complejos, aunquepor motivos fısicos debemos exigir al final que el resultado x(t) sea real.Como se sabe, la exponencial da lugar a funciones armonicas para exponenteimaginario2.

Derivando y sustituyendo en la ecuacion (3.8), resulta

(mr2 + cr + k)ert = 0 ⇒ mr2 + cr + k = 0. (3.9)

Esta expresion se denomina ecuacion caracterıstica, proporcionando losvalores que debe tomar r para que exista la solucion buscada:

r =−c±√c2 − 4km

2m. (3.10)

Segun el valor del discriminante (c2−4km) en la expresion general anterior,pueden distinguirse varios tipos de solucion:

a) c2 − 4km > 0.- En este caso existen dos raıces reales para (3.9):

r1 = −p, r2 = −q.

Sabemos que necesariamente ambas han de ser negativas, ya que empleandola expresion (3.10) se comprueba que r1 + r2 < 0 y r1 · r2 > 0. Mediantela linealidad de la ecuacion diferencial se demuestra que, si existen variassoluciones, cualquier combinacion lineal de ellas es tambien solucion de laecuacion (propiedad de comprobacion inmediata). Por tanto, la soluciongeneral es:

x(t) = a1e−pt + a2e−qt.

2Empleando la notacion de Euler, eθi = cos θ + i sen θ, siendo i =√−1.


En definitiva, se trata de una solucion exponencial decreciente, que no oca-siona movimiento oscilatorio, debido a que el amortiguamiento c es excesi-vamente grande (amortiguamiento supercrıtico). En la figura 3.7 se muestrael movimiento que se obtiene para un sistema de este tipo, en varios casoscon distintas condiciones iniciales.

x(t

)

t

x0 > 0

x0 = 0

x0 < 0

Figura 3.7: Movimiento de unsistema definido por la ecua-cion mx + cx + kx = 0,con amortiguamiento supercrı-tico (c > 2

√km), bajo distin-

tas condiciones iniciales; CasoI) x0 > 0, Caso II) x0 = 0,Caso III) x0 < 0.

b) c2 − 4km = 0.- Se trata del caso lımite, en el que el amortiguamientoposee el valor crıtico ccrit = 2

√km. Existe una raız real doble, negativa al

igual que antes, para (3.9):

r = − c

2m= −p,

correspondiendo a la solucion x(t) = ae−pt. Se puede comprobar quex = bte−pt tambien es solucion, por lo que la solucion general sera unacombinacion de estas dos:

x = (a + bt)e−pt.

Comprobamos por tanto que en este caso tampoco se produce un movi-miento de tipo oscilatorio.

c) c2 − 4km < 0.- Se obtienen en este caso dos raıces complejas conjuga-das para (3.9),

r1 = −p + ωi, r2 = −p− ωi,


siendo

p =c

2m, ω =

√− c2

4m2+

k

m.

La parte real de la solucion es negativa, dando lugar a una exponencialdecreciente, que multiplica a una funcion armonica:

x = a1e(−p+iω)t + a2e(−p−iω)t

= e−pt(a1eiωt + a2e−iωt)= e−pt[(a1 + a2) cos ωt + i(a1 − a2) sen ωt]

Aunque en un caso general esta expresion pueda tener componente ima-ginaria, por motivos fısicos sabemos que x debe ser real. Esto obliga a quelas constantes complejas a1, a2 ∈ C den lugar a unas nuevas constantesreales A,B ∈ R:

a1 = (B − iA)/2a2 = (B + iA)/2

⇒ B = a1 + a2

A = i(a1 − a2)

resultandox = e−pt(A sen ωt + B cosωt). (3.11)

Otra forma equivalente de expresar esta solucion es mediante el cambio delas constantes (A,B) a otras (a, ϕ) definidas por:

A = a cosϕ; B = a sen ϕ,

resultando la expresion

x = ae−pt sen(ωt + ϕ). (3.12)

Este ultimo caso de amortiguamiento subcrıtico (c < ccrit) es el que masnos interesa, ya que es el unico en que se producen vibraciones. La expresion(3.12) representa un movimiento oscilatorio amortiguado de amplitud de-creciente (ae−pt), al estar modulado por una exponencial negativa. Aunqueel movimiento es oscilatorio, no serıa correcto en rigor llamarlo periodico,ya que cada oscilacion es distinta, al disminuir la amplitud. Se define comoamplitud (de forma mas rigurosa, pseudo-amplitud) del movimiento alvalor ae−pt, que tiende a 0 para t → ∞. El movimiento desaparece en lapractica para un tiempo suficientemente grande. Es facil comprobar que elintervalo entre maximos, al igual que entre pasos por cero, es constante eigual a T = 2π/ω (periodo de la oscilacion). Por tanto, a ω se le llama fre-cuencia angular natural del sistema amortiguado (con mayor rigor formalpseudo-frecuencia).


El parametro a representa la amplitud inicial y ϕ el angulo de fase.Estas dos constantes (o alternativamente las A y B si se opta por la otrarepresentacion de la solucion, definida mediante (3.11)) se calculan a partirde las condiciones iniciales (x0, x0).

En resumen, en funcion de los parametros del problema, la solucionquedara expresada como:

x = ae−c

2mt sen(ωt + ϕ), con ω

def=

√k

m− c2

4m2. (3.13)

A menudo es util emplear una notacion alternativa para estas expresio-nes, en funcion de la frecuencia natural sin amortiguamiento ω0

def=√

k/m(ecuacion (3.5)), y la tasa de amortiguamiento crıtico ξ, definida como

ξdef=

c

ccrit=

c

2mω0.

El significado de ω0 ya se discutio antes. En cuanto a ξ, se trata de un valoradimensional, que para los sistemas oscilatorios (amortiguamiento subcrı-tico) se halla entre 0 y 1. En el caso en que sea ξ ≥ 1 el amortiguamientoes crıtico o supercrıtico y no se producen oscilaciones. Para vibraciones es-tructurales, los valores usuales de ξ son pequenos; en una estructura realpuede ser del orden de ξ = 0,02 = 2 % o menor3.

En funcion de estos parametros, la ecuacion diferencial (3.8) se puedeescribir

x + 2ξω0x + ω20x = 0, (3.14)

mientras que la solucion (3.13) se expresa como

x = ae−ξω0t sen(ωt + ϕ), con ωdef= ω0

√1− ξ2. (3.15)

Se observa inmediatamente que la pseudo-frecuencia ω de este movi-miento es menor que en el caso sin amortiguamiento (ω0), debido al factor√

1− ξ2 < 1. Sin embargo, en la mayorıa de los casos practicos, al ser ξpequeno, ambos valores resultan muy proximos (ω ≈ ω0).

Ejemplo 3.1: Una masa m de 400 kg puede deslizar sin rozamiento sobre uneje horizontal, unida mediante un resorte elastico de constante k = 105 N/ma una base fija en el eje. Existe ademas un amortiguamiento viscoso, quereduce la amplitud de la oscilacion a la centesima parte cada 10 s. Se pide:

3Por ejemplo, en la nueva norma para acciones de calculo de puentes de ferrocarril, enlos que las acciones dinamicas cobran especial relevancia para trenes de alta velocidad, seproponen amortiguamientos de ξ = 0,5% para puentes metalicos o mixtos, y ξ = 2,0%para puentes de hormigon estructural


a. Valor de la constante c de amortiguamiento y de la tasa ξ respectodel crıtico;

b. Suponiendo que parte de x0 = 0,05 m medido desde la posicion deequilibrio en reposo, obtener la ecuacion del movimiento ası como elvalor numerico de la posicion al cabo de 2 s;

Solucion.

a.— El movimiento es un caso de vibraciones libres con amortigua-miento, dado por la ecuacion (3.15):

x = ae−ξω0t sen(ωt + φ0).

El valor de la frecuencia natural del sistema sin amortiguar es

ω0 =√

k/m = 15,811388 rad/s = 2,51646Hz. (3.16)

El decremento de la pseudo-amplitud permite calcular la razon de amorti-guamiento:

ae−ξω0·10 =a

100⇒ ξ =

ln 10010ω0

= 0,029126 ≈ 2,9%. (3.17)

La constante de amortiguamiento vale c = 2ξω0 = 368,4136 N · s ·m−1.

b.— Una vez calculados todos los parametros, se pueden obtener lasconstantes a partir de las condiciones iniciales:

x0 = A senφ0

0 = −Aξω0 senφ0 + Aω cos φ0

⇒

A = 0,05002122φ0 = 1,541667 = 0,490728π

La expresion numerica de la solucion es por tanto

x(t) = 0,05002122 e(−,4605170 t) sen(15,80468 t + 1,541667), (3.18)

y la posicion a los dos segundos x(2) = 0,01964561m.

3.4. Oscilaciones Forzadas

3.4.1. Ecuacion del movimiento

En este caso consideramos que sobre la masa m actua una fuerza exter-na f(t), ademas de las fuerzas internas antes descritas correspondientes almuelle y al amortiguador.

Aptdo. 3.4. Oscilaciones Forzadas 3.15

–0.04

–0.02

0

0.02

0.04

x

2 4 6 8 10

t

(a)

–0.04

–0.02

0

0.02

0.04

x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

t

(b)

0.0498

0.04985

0.0499

0.04995

0.05

x

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

t

(c)

–0.0006

–0.0004

–0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

x

9.2 9.4 9.6 9.8 10

t

(d)

Figura 3.8: Resultados del ejemplo 3.1: (a) Grafica para t ∈ [0, 10]; (b) De-talle de la grafica para t ∈ [0, 2], en la que se aprecian mejor las oscilacionesamortiguadas; (c) Detalle del comienzo del movimiento (duracion = 1/64periodos) en el que se aprecia que en el instante inicial la curva no es tan-gente a la envolvente de pseudo-amplitud, junto con el punto de tangenciaen que (ωt+φ0) = π/2; (d) Detalle de la fase final (t ∈ [9, 10]) comprobandoque se alcanza la centesima parte de la elongacion inicial (recta horizontal).


AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

-

-

x

m

k

c

f(t)

Figura 3.9: Os-cilador simplecon amor-tiguamientosometido afuerza externa.

La ecuacion es ahora:

mx + cx + kx = f(t). (3.19)

Al incluir el termino independiente f(t) la ecuacion diferencial deja de serhomogenea. Esto da lugar a una estructura de la solucion distinta, como seve a continuacion.

3.4.2. Integracion de la ecuacion

Sean dos soluciones cualesquiera x1(t) y x2(t) de la ecuacion completa(3.19):

mx2 + cx2 + x2 = f(t),mx1 + cx1 + x1 = f(t);

restando termino a termino se obtiene

m(x2 − x1) + c(x2 − x1) + k(x2 − x1) = 0.

Por tanto su diferencia, xh(t) = x2(t) − x1(t), es solucion de la ecuacionhomogenea (3.8). Esto nos sirve para poder expresar la solucion general dela completa como una solucion particular de la misma, que hallaremos porcualquier procedimiento, mas la solucion general de la homogenea que yasabemos calcular:

x(t) = xh(t) + xp(t).

El problema se limita pues a calcular una solucion particular de (3.19).Cualquier procedimiento que nos permita hallarla es bueno (todo vale).Como regla general, buscaremos una solucion particular del mismo tipo queel termino de fuerza f(t). Veremos a continuacion las soluciones particularespara algunos casos significativos.


a) fuerza constante, f(t) = D.- Este caso puede corresponder a unafuerza constante estatica, si su aplicacion ha sido lenta, o a una funcionescalon dinamica, en el caso en que la aplicacion sea subita. En cualquiercaso, la solucion particular es otra constante, de valor

xp =D

k.

La comprobacion es inmediata, al ser xp = xp = 0.Este caso corresponde, por ejemplo, al de un muelle en posicion vertical

sujeto a la gravedad; al de la fuerza de rozamiento durante el intervalo enque no cambia de signo (supuesta la reaccion normal constante); o al deuna fuerza constante o escalon cualquiera.

Por otra parte, llamando x0 = D/k (cte.), la adicion de una solucionxp = x0 puede interpretarse tambien como una simple traslacion del origende coordenadas, x′(t) = x(t) − x0 = xh(t). De esta forma el movimientopuede describirse como una oscilacion libre alrededor de un nuevo centro,trasladado x0.

Este serıa el caso, por ejemplo, de una masa m colgando de un resortede constante k en direccion vertical, sometida a su propio peso (mg). Elmovimiento puede interpretarse como una oscilacion libre, alrededor de unpunto de equilibrio situado la distancia mg/k por debajo del punto delongitud natural del muelle.

b) fuerza lineal, f(t) = Et.- Se trata de una fuerza que aumenta odisminuye linealmente con el tiempo. Tanteamos la solucion xp = mt + n,tambien lineal. Sustituyendo en (3.19) se obtienen los valores de m y n:

cm + k(mt + n) = Et ⇒

m = E/k

n = −cE/k2,

por lo que resulta

xp =E

k

(t− c

k

).

Este caso sirve para definir un tramo en forma de rampa en una funcion defuerza.

c) fuerza armonica, f(t) = q senΩt.- Este caso tiene especial im-portancia, ya que no solo sirve para una fuerza armonica en sı misma, sinoque servira tambien como base para calcular la solucion frente a una cargacualquiera, mediante el desarrollo en serie de Fourier (aptdo. 3.7.3).


Tanteamos una solucion que sea igualmente armonica, con la mismafrecuencia que la excitacion, pero admitiendo un posible desfase δ respectode la carga:

xp(t) = A sen(Ωt + δ).

Sustituyendo en (3.19):

(k −mΩ2) sen(Ωt + δ) + cΩ cos(Ωt + δ) =q

AsenΩt,

y particularizando para dos valores distintos de t se puede calcular A y δ:

1. para t = 0,(k −mΩ2) sen δ + cΩcos δ = 0,

y despejando δ,

tan δ = − cΩk −mΩ2

= − 2ξω0Ωω2

0 − Ω2(3.20)

2. para Ωt + δ = 0,

cΩ =q

Asen(−δ)

A = − q

cΩsen δ

Para expresar A en funcion de los parametros del problema, debemos ob-tener en primer lugar la expresion de sen δ:

sen δ =tan δ

±√

1 + tan2 δ

=−cΩ

±√

(k −mΩ2)2 + c2Ω2(3.21)

=−2ξΩω0

±√

(ω20 − Ω2)2 + 4ξ2Ω2ω2

0

,

resultando finalmente las expresiones siguientes para A:

A =q

±√

(k −mΩ2)2 + c2Ω2=

q/m

±√

(ω20 − Ω2)2 + 4ξ2Ω2ω2

0

. (3.22)

Debido a la indeterminacion del signo de la raız en las expresiones anteriores((3.21) para sen δ y (3.22) para A), podrıa resultar un valor negativo para


esta ultima constante. A veces es conveniente sin embargo tomar el signo dela raız que hace A positivo, concordando con su interpretacion fısica comoamplitud. Esto obligarıa a su vez a tomar el valor apropiado para δ, deforma que sen δ tenga el signo que le corresponde. Conviene observar quepara cambiar de signo (sen δ) basta con tomar (δ + π) en lugar de δ, esdecir, se trata de un simple cambio del origen de tiempo, lo que siempre eslıcito.

Una vez conocidos A y δ es posible escribir la solucion general de laecuacion completa (3.19) que resulta:

x(t) = ae−ξω0t sen(ωt + ϕ)︸︷︷︸sol. gral. homogenea

+ A sen(Ωt + δ)︸︷︷︸sol. part. completa

. (3.23)

En esta expresion quedan tan solo por determinar los parametros a y ϕ,que se obtendran particularizando para las condiciones iniciales. Convienesubrayar que, aunque estos parametros afectan solo a la parte de la solucionque proviene de la homogenea, es la solucion completa (3.23) la que se debeparticularizar. No debe cometerse el error de particularizar el sumandocorrespondiente a la solucion homogenea, sino que debe ser la suma deambas.

Por otra parte, es importante observar que la solucion particular de lacompleta que hemos obtenido es independiente de las condiciones iniciales,al ser funcion unicamente de los parametros A y δ, definidos por las expre-siones (3.21) y (3.22) en las que no influyen dichas condiciones iniciales.

Regimen transitorio y permanente.- En el caso en que exista amor-tiguamiento, la solucion de la homogenea al cabo de cierto tiempo —cuantotiempo sea dependera del amortiguamiento— desaparece. El intervalo du-rante el que no se puede despreciar el termino correspondiente a la solucionde la homogenea, siendo significativos ambos sumandos en (3.23), se llamaregimen transitorio. El movimiento durante este regimen posee dos compo-nentes armonicas de distinta frecuencia, la de la excitacion (Ω) y la naturaldel sistema en vibracion libre (ω).

El regimen permanente es el que se alcanza cuando el termino correspon-diente a la solucion de la homogenea en (3.23) se amortigua hasta hacersedespreciable, quedando tan solo la solucion particular de la completa. Comose ha dicho antes, esta solucion particular se puede escoger de forma queno dependa de las condiciones iniciales4. Por lo tanto, estas solo tendran

4La eleccion de solucion particular no es unica, siendo por tanto tambien posibleescoger esta de forma que una parte de ella sı dependa del estado inicial; sin embargo, en


influencia durante el regimen transitorio. Dicho de otra manera, en un mo-vimiento forzado y amortiguado, al cabo de un tiempo el movimiento essiempre el mismo independientemente de las condiciones iniciales.

x(t

)

t

Figura 3.10: Movimiento oscilatorio forzado, para dos condiciones inicialesdistintas; al cabo de cierto tiempo, el regimen permanente es el mismo.

Para una excitacion periodica de tipo armonico, el regimen permanentetiene la misma frecuencia que la excitacion, y un desfase δ respecto a ella,dado por la expresion (3.21). De esta se desprende que si no existe amor-tiguamiento, el desfase es tambien nulo. El desfase tambien depende de larelacion entre Ω y ω0, de forma que, por ejemplo, para Ω = ω0, resultasen δ = ±1 y por tanto δ = ±π/2.

3.5. Amplificacion dinamica y resonancia

Una carga aplicada de forma dinamica puede producir un efecto conside-rablemente mayor que aplicada de forma estatica, es decir, suficientementelenta para que no se llegue a producir oscilacion. Este efecto se denominaamplificacion dinamica.

Un ejemplo sencillo es la aplicacion de una carga constante P0, sobreun sistema formado por una masa m y un resorte k, sin amortiguamiento.Si se aplica de forma estatica (mediante una rampa suficientemente lenta),el desplazamiento serıa xest = P0/k.

Si se aplica de forma subita, como un escalon de carga, suponiendoque inicialmente el resorte esta en su posicion natural y sin velocidad, la

el lımite cuando t → ∞, esta parte de la solucion particular tambien se vera reducida acero.

Aptdo. 3.5. Amplificacion dinamica y resonancia 3.21

respuesta es

xdin(t) =P0

k− P0

kcos(ω0t).

El desplazamiento maximo se produce para ω0t = π y vale xdin,max = 2P0/k.Por tanto, la amplificacion dinamica de la carga es

f.ampl. =xdin,max

xest= 2,

es decir, el efecto dinamico es el doble del estatico.Supongamos ahora que se aplica la misma carga, pero modulada por una

funcion armonica, P0 sen(Ωt). Supondremos que existe un pequeno amorti-guamiento inevitable, por lo que el movimiento llega a un regimen perma-nente, pero que sin embargo se puede despreciar su efecto en la ecuacion dedicho regimen, al ser su valor muy pequeno. Decimos, abusando de la expre-sion, que es un caso sin amortiguamiento, aunque queda claro implıcita-mente que algun amortiguamiento, por pequeno que sea, ha debido existirpara que desaparezcan los terminos transitorios. En el regimen permanen-te la respuesta es un movimiento igualmente armonico, cuya amplitud sepuede deducir de la ecuacion (3.22):

xdin,max = A(Ω) =P0

k −mΩ2.

La amplificacion dinamica es

f.ampl. =xdin,max

xest=

11− Ω2/ω2

0

. (3.24)

Si Ω = 0, el factor de amplificacion es la unidad, como deberıa ser en buenalogica, al tratarse de una carga estatica. Si Ω →∞, el factor de amplifica-cion tiende a cero, lo que quiere decir que la excitacion es demasiado rapiday el resorte no tiene tiempo para deformarse, la masa no llegarıa a moverse.Por ultimo, si Ω → ω0, el factor de amplificacion tiende a ∞.

Se denomina resonancia al fenomeno por el cual la amplitud de la osci-lacion se hace maxima para determinadas condiciones de la excitacion5.

5Estrictamente hablando, la definicion hecha corresponde a la resonancia en amplitud.Cabe definir tambien la resonancia en energıa cinetica, como aquella que hace maximoT = mx2/2, pudiendo demostrarse que corresponde a una frecuencia de excitacion iguala ω0 (frecuencia propia sin amortiguamiento). Si existe amortiguamiento, esta frecuenciade resonancia es ligeramente distinta a la obtenida en (3.25). Al ser la energıa potencialproporcional al cuadrado de la elongacion, la resonancia en energıa potencial equivale ala resonancia en amplitud.


Como se ha visto en el ejemplo anterior, la amplitud puede tender a∞ bajo determinadas circunstancias (ecuacion (3.24)). En este caso la re-sonancia conducirıa a un fallo completo del sistema, por una amplitud demovimiento excesiva.

En un caso general con amortiguamiento, la expresion (3.22) propor-ciona la amplitud (A) del regimen permanente. Utilizando dicha ecuacion,es posible dibujar la grafica de la amplitud obtenida para un valor dadodel amortiguamiento (ξ), en funcion de la frecuencia de excitacion (Ω) (fi-gura 3.11). Se observa que para amortiguamiento ξ 6= 0 la curva muestraen general un maximo de la amplitud, mientras que para ξ = 0 no existemaximo, tendiendo la amplitud resonante a ∞.

Desde un punto de vista de calculo, la frecuencia de resonancia se obtienehallando el maximo de (3.22):

A =q/m√

(ω20 − Ω2)2 + 4ξ2Ω2ω2

0

;

puesto que el numerador es constante, se busca el mınimo del radicando enel denominador,

ddΩ

[(ω20 − Ω2)2 + 4ξ2Ω2ω2

0] = 2(ω20 − Ω2)(−2Ω) + 8ξ2ω2

0Ω = 0,

obteniendose finalmente:

Ωr =

√k

m− c2

2m2= ω0

√1− 2ξ2. (3.25)

La amplitud resonante se obtiene sustituyendo el valor de Ωr en laexpresion (3.22) de A:

Ar =q

cω0

√1− ξ2

=q

cω=

q/c√km − c2

4m2

. (3.26)

Conviene observar que las expresiones (3.4), (3.13) y (3.25) definen tresfrecuencias caracterısticas del sistema, que ordenadas de mayor a menorquedan:

ω0 >

ω︷︸︸︷ω0

√1− ξ2 >

Ωr︷︸︸︷ω0

√1− 2ξ2 .

Aunque sus valores sean distintos para un caso con amortiguamiento, enlos casos practicos reales, el amortiguamiento ξ suele ser pequeno y las tres


frecuencias tienen valores muy proximos. Para los valores usuales del amor-tiguamiento en vibraciones estructurales (del orden de 1 %–2% o inclusomenores), la resonancia se produce muy proxima a ω0, como se aprecia enla figura 3.11. Por ello, en la practica ingenieril a menudo se confunden las

0

1

2

3

4

0 1 2 3

D

β

ξ = 0

ξ = 0.2

ξ = 0.5

ξ = 0.7

ξ = 1.0

Figura 3.11: Amplitud de oscilacion para una excitacion armonica, en fun-cion de la frecuencia de excitacion Ω, para diversos valores del amorti-guamiento ξ. Los ejes representan magnitudes adimensionales, en abscisasβ = Ω/ω0, y en ordenadas D = A/(q/k) (factor de amplificacion dinami-ca).

dos frecuencias ω0 y Ωr. La diferencia de frecuencias es mayor para valo-res altos del amortiguamiento ξ, aunque entonces tambien ocurre que laresonancia tiene menor importancia. Si ξ2 ≥ 1/2 (ξ ≥ 0,71) no se llega aproducir maximo de A, por lo que no hay resonancia. En este caso la fun-cion A(Ω) es monotona decreciente y no tiene maximo local, como puedeapreciarse en la figura 3.11.

Ejemplo 3.2: Como continuacion del ejemplo 3.1, resolver las siguientescuestiones adicionales:

a. Suponiendo ahora que a la base se le comunica un movimiento im-


puesto armonico, de amplitud 0,05 m y frecuencia 2 Hz, obtener elmovimiento tanto durante el regimen transitorio como en el regimenpermanente. Como condiciones iniciales, se admitira que parte delreposo en la posicion de equilibrio.

b. Obtener la frecuencia de la excitacion anterior que produce la maximaamplitud del movimiento, el valor de dicha amplitud maxima y elfactor de amplificacion.

Solucion.

a.— Sea x(t) el movimiento de elongacion del resorte, relativo a labase, y xb(t) el movimiento impuesto de la base. El movimiento absoluto espor tanto X(t) = x(t) + xb(t). La ecuacion del movimiento es:

mX + cx + kx = 0 ⇒ mx + cx + kx = −mxb.

Teniendo en cuenta xb(t) = B sen(Ωt), resulta

mx + cx + kx = mBΩ2 sen(Ωt). (3.27)

La solucion general consta de la solucion general de la homogenea mas unasolucion particular de la completa, x(t) = xh(t) + xp(t). Suponiendo unasolucion particular del tipo

xp(t) = C sen(Ωt + δ), (3.28)

y obligando a que x(t) cumpla la ecuacion anterior, se obtiene

δ = arctan(

cΩm Ω2 − k

)= −0,125031 rad;

C = − mB Ω2

√c2 Ω2 + (mΩ2 − k)2

= −0,0850728m.

(3.29)

(Estos parametros podrıan haberse deducido tambien directamente de apli-car las expresiones (3.20) y (3.22), con q = mBΩ2.) La solucion completade la ecuacion es

x(t) = C sen(Ωt + δ) + Ae−ξω0t sen(ωt + φ0). (3.30)

Obligando a que cumpla las condiciones iniciales (x0 = 0, x0 = 0), se obtie-nen las constantes A y φ0:

φ0 = arctan(

2ξωω0

Ω2 − ω20 + 2ξ2ω2

0

)= −0,157492 rad;

A = −CΩω

= 0,0676418m.

(3.31)


Con estos datos y los parametros ξ, ω0 calculados anteriormente (ecuaciones(3.16) y (3.17)) queda determinada la ecuacion del movimiento (3.30):

x(t) = −0,0850728 sen(4πt− 0,125031)

+ 0,0676418 e−0,4605170 t sen(15,80468 t− 0,157492). (3.32)

Esta solucion es la completa, que corresponde al llamado regimen tran-sitorio. Pasado suficiente tiempo, el segundo sumando en esta expresion(la solucion de la homogenea) desaparece, debido a la exponencial decre-ciente, y queda el denominado regimen permanente, que se identifica conla solucion particular (3.28). En la figura 3.12 pueden observarse estas dossoluciones. Refiriendose al regimen permanente, el factor de amplificaciondinamica (respecto a la amplitud del movimiento impuesto en la base) esFA = 0,0850728/0,05 = 1,701457.

–0.1

–0.05

0

0.05

0.1

x

1 2 3 4 5

t

Figura 3.12: Regimen transitorio y permanente, pudiendo observarse comoa medida que avanza el tiempo el movimiento se va aproximando al regimenpermanente.

b.— Para hallar el maximo de la amplitud en regimen permanente,basta con derivar la expresion de C en 3.292 e igualar a cero. Desarrollandolas operaciones se obtiene la frecuencia de resonancia:

Ωr =ω0√

1− 2ξ2= 15,82482 rad/s. (3.33)


Observese que para este caso en que la excitacion es por movimiento ar-monico en la base la frecuencia de resonancia no coincide con la obtenidaanteriormente para una fuerza armonica (3.25). El motivo es que el nume-rador en la expresion 3.292 tambien depende ahora de Ω, y el maximo nocoincide para ambos casos.

Sustituyendo esta frecuencia en 3.292 se calcula la amplitud maxima(resonante):

C = −0,858714m. (3.34)

El factor de amplificacion lo expresamos en este caso como cociente entrela amplitud dinamica obtenida y la amplitud de la excitacion:

FA =0,858714

0,05= 17,17428.

En la figura 3.13 se aprecia la variacion del factor de amplificacion con lafrecuencia Ω, marcandose claramante el pico de resonancia.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

FA

12 14 16 18 20

Omega

Figura 3.13: Factor de amplificacion dinamica en funcion de la frecuenciade excitacion de la base. Se marcan con lıneas verticales la situacion parala excitacion definida en el primer apartado y la situacion de resonancia.

3.6. El Espacio de las Fases

Es posible realizar una transformacion de la ecuacion diferencial de se-gundo orden del oscilador armonico simple (3.1), en funcion de la variable

Aptdo. 3.6. El Espacio de las Fases 3.27

x, a un sistema equivalente de dos ecuaciones diferenciales de primer or-den, con dos variables: x y p

def= mx (cantidad de movimiento o momentoconjugado a x). Este cambio origina las ecuaciones:

p + kx = 0p = mx

(3.35)

El espacio de las fases permite una descripcion distinta del problema ala realizada en los apartados anteriores, en funcion de las variables (x, p).Este tipo de variables son las que se emplean en la dinamica analıtica deHamilton (capıtulo 11). Tiene especial interes cuando se desea estudiar ladinamica del sistema de forma geometrica o cualitativa, por la dificultad oincluso imposibilidad de resolverlo de manera cuantitativa.

Para obtener la trayectoria del sistema en el espacio de las fases, obser-vamos:

p =dp

dxx =

dp

dx

p

m;

sustituyendo en (3.351):

dp

dx

p

m+ kx = 0 ⇒ p

mdp + kx dx = 0.

Integrando esta ecuacion de variables separadas se obtiene

12m

p2 +k

2x2 = E, (3.36)

donde la constante de integracion E es precisamente la energıa total delsistema, mx2/2+kx2/2, que se mantiene constante e igual a su valor inicialcomo ya sabemos (apartado 3.1.2).

La trayectoria definida por (3.36) es una elipse con semiejes√

2E/k y√2Em (figura 3.14). El punto por donde se empiece a recorrer la elipse

depende de las condiciones iniciales, siendo la trayectoria siempre la mismaelipse. El tamano depende de la energıa, E: las orbitas mas energeticascorresponden a elipses de mayor tamano.

Si el sistema tiene amortiguamiento, la energıa E disminuye a lo lar-go del movimiento. La trayectoria fasica del sistema sera pues una elipsecuyo tamano va disminuyendo a lo largo del tiempo; es decir, se recorreuna espiral elıptica que termina en el origen, correspondiente al estado dereposo con elongacion nula del resorte, cuando el movimiento se ha amor-tiguado completamente. Decimos en este caso que el origen es un atractordel sistema, puesto que la trayectoria fasica tiende irremediablemente a el.


Trayectoria fasica (x, p) Ley horaria x(t)

Figura 3.14: Oscilador sin amortiguamiento; trayectoria elıptica en el espa-cio fasico, correspondiente a un movimiento con amplitud constante.

Trayectoria fasica (x, p) Ley horaria x(t)

Figura 3.15: Oscilador con amortiguamiento; trayectoria en espiral elıpticacorrespondiente a amplitud decreciente, con atractor en el origen.

Aptdo. 3.7. Analisis mediante Series de Fourier 3.29

Por ultimo, una oscilacion forzada con excitacion armonica acaba os-cilando en un regimen permanente, tambien armonico, que corresponde aotra elipse en el espacio de las fases. Se dice que el sistema tiene un ciclo lı-mite, al que tiende siempre independientemente de las condiciones iniciales.

Trayectoria fasica (x, p) Trayectoria fasica (x, p)

Figura 3.16: Oscilador forzado con amortiguamiento; la trayectoria fasicamuestra claramente un ciclo lımite.

En casos mas generales de sistemas dinamicos complejos, pueden existirvarios atractores o ciclos lımite, cada uno con su correspondiente cuenca deatraccion. En los sistemas caoticos, a pesar del desorden e impredicibilidadque su nombre indica, a menudo se pueden establecer tambien atractores ociclos lımite. Sin embargo, ocurrira que pequenısimas perturbaciones pue-den hacer que el sistema salte de uno a otro, de manera impredecible. Eneste ultimo caso no es util estudiar de forma determinista el sistema, por laextrema sensibilidad al cambio de cualquier parametro o condicion inicial.Sin embargo, el estudio de sus trayectorias en el espacio de las fases sı puedeproporcionar un medio util para describir cualitativamente su respuesta.

En sistemas complejos con comportamiento caotico, la representaciongrafica de las distintas trayectorias dinamicas y cuencas de atraccion dalugar en ocasiones a figuras de tipo fractal, con una estructura compleja yque se repite a cualquier escala de observacion.

3.7. Analisis mediante Series de Fourier

El desarrollo en serie de Fourier es una herramienta importante quepermite obtener la solucion de un oscilador forzado sometido a una excita-cion cualquiera, sin necesidad de que esta se ajuste a las funciones tıpicasestudiadas en el apartado (3.4). Su aplicabilidad radica en la linealidad dela ecuacion.


3.7.1. Caracter Lineal de las Ecuaciones

Supongamos un oscilador con amortiguamiento, sometido a una fuerzaexterna F (t). La ecuacion (3.19) se puede escribir como:

x + 2ξω0x + ω20x = f(t), (3.37)

siendo f(t) def= F (t)/m, habiendo dividido ambos terminos de la ecuacionpor m. Otra manera de expresar esta ecuacion es mediante la definicion deun operador L(·), que actua sobre la funcion x(t), definido de la siguientemanera:

L(x) def=[

d2

dt2+ 2ξω0

ddt

+ ω20

](x) = x + 2ξω0x + ω2

0x. (3.38)

El operador L(·) es una aplicacion definida en el espacio de las funcionesC2. La imagen de una funcion x(t) mediante L(·) es otra funcion, definidaa partir de (3.38). De esta manera, la ecuacion dinamica (3.37) se puedeexpresar en forma compacta como

L(x) = f.

Es inmediato comprobar el caracter lineal de L(·): para dos funcionescualesquiera x1(t), x2(t) y dos numeros arbitrarios α, β ∈ R,

L(αx1 + βx2) = αL(x1) + βL(x2).

Por tanto, conocidas las soluciones x1(t) y x2(t) para dos funciones de fuerzadadas f1(t) y f2(t), la solucion de la combinacion lineal f = αf1 + βf2 esla combinacion lineal de las soluciones respectivas:

L(αx1 + βx2) = αL(x1) + βL(x2) = αf1 + βf2.

Esta propiedad se puede extender a una serie con N sumandos, fn(t), delos que suponemos conocidas las soluciones individuales, xn(t):

L

(N∑

n=1

αnxn(t)

)=

N∑

n=1

αnfn(t) = f(t)

Por lo que la solucion de f =∑N

n=1 αnfn es la suma de las soluciones decada termino,

∑Nn=1 αnxn.


3.7.2. Analisis de Series de Armonicos

Supongamos ahora que el termino de fuerza externa, f(t), se puedeexpresar mediante una serie de armonicos, es decir, como suma de senosy cosenos con distintas frecuencias y afectados de distintas amplitudes.Conocemos ya por lo estudiado en este capıtulo la solucion a cada unode los terminos armonicos individuales. Como vimos, esta solucion constade un termino que solo interviene durante el regimen transitorio (soluciongeneral de la homogenea) y de otro que caracteriza el regimen estacionario opermanente (solucion particular de la completa). En el desarrollo que sigueestudiaremos tan solo el regimen permanente, admitiendo la hipotesis porotra parte bastante usual, de que el transitorio solo dura un tiempo brevey por tanto carece de importancia a nuestros efectos.

Ası, si la serie que define la fuerza aplicada es:

f(t) =N∑

n=1

αn cosωnt,

la solucion (regimen estacionario) para cada termino de la serie es unafuncion armonica cuya amplitud viene dada por la ecuacion (3.22):

xn(t) =αn√

(ω20 − ω2

n)2 + 4ω2nω2

0ξ2

cos(ωnt− δn),

siendo el desfase el definido por (3.20):

δn = arctan2ωnω0ξ

ω20 − ω2

n

.

Sumando todas estas soluciones obtendremos la solucion global, x(t) =∑Nn=1 xn(t).

3.7.3. Desarrollo en Serie de Fourier

El Teorema de Fourier afirma que cualquier funcion periodica f(t), deperiodo τ , se puede desarrollar en serie de armonicos, de la forma:

f(t) =12a0 +

∞∑

n=1

(an cosnωt + bn sennωt), (3.39)

siendo ωdef= 2π/τ .


Este teorema quedara demostrado si somos capaces de proporcionar unmetodo para calcular los coeficientes an, bn que hacen posible el desarrollo(3.39). En primer lugar, calculemos la integral

∫ τ

0f(t) cos mωt dt.

Al estar f(t) definida mediante la serie (3.39) y suponiendo los requisitosnecesarios de convergencia de esta, la integral anterior se puede descompo-ner en la suma de las integrales de cada uno de los terminos. Multiplicandocada uno de estos terminos por cosmωt e integrando, resultan entonces lassiguientes integrales, segun los valores de m y n:

a. si n 6= m,

an

∫ τ

0cosnωt cosmωt dt =

an

∫ τ

0

12[cos(n + m)ωt + cos(n−m)ωt] dt = 0;

bn

∫ τ

0sennωt cos mωt dt =

bn

∫ τ

0

12[sen(n + m)ωt + sen(n−m)ωt] dt = 0

b. si n = m,

am

∫ τ

0cos2 mωt dt = am

∫ τ

0

1 + cos 2mωt

2dt = am

τ

2(3.40)

bm

∫ τ

0senmωt cos mωt dt = bm

∫ τ

0

12

sen 2mωt dt = 0

Vemos pues que el unico termino que da una contribucion no nula esel correspondiente a am cosmωt. Analogamente, multiplicando (3.39) porsen mωt e integrando, la unica integral no nula de la serie resulta ser:

∫ τ

0f(t) sen mωt dt = bm

∫ τ

0sen2 mωt dt = bm

τ

2. (3.41)

Por ultimo, la integral directa de f(t) es:∫ τ

0f(t) dt =

∫ τ

0

12a0 dt = a0

τ

2. (3.42)


De (3.40), (3.41) y (3.42) deducimos los coeficientes de (3.39), que son:

an =2τ

∫ τ

0f(t) cos nωt dt (3.43)

bn =2τ

∫ τ

0f(t) sennωt dt (3.44)

a0 =2τ

∫ τ

0f(t) dt (3.45)

Al tener un metodo para calcular estos coeficientes para cualquier valor den, queda demostrado el teorema de Fourier y definido el desarrollo en serie.

El desarrollo en serie de Fourier tiene aplicaciones importantısimas en laingenierıa, ya que convierte el analisis de una funcion periodica cualquieraen los analisis de casos elementales de terminos armonicos, cuya solucionnos es conocida. La funcion f(t) no tiene limitacion, salvo que sea periodica.Puede estar definida mediante una funcion analıtica cualquiera, por puntos,etc. En la practica, bastara tomar tan solo un cierto numero de terminosdel desarrollo, para obtener la precision suficiente, truncando el resto de laserie.

Es posible extender el metodo del desarrollo en serie de Fourier a unafuncion cualquiera, aunque no sea periodica. Para ello se emplea el truco deconstruir una nueva funcion periodica, con un periodo suficientemente largoque abarca el intervalo de tiempo de interes de la funcion no periodica. Enesta nueva funcion se anade a la funcion original, al cabo del intervalo detiempo de interes, un intervalo de silencio, hasta un tiempo suficientementegrande, τ → ∞. Al cabo de un tiempo τ , nuestra funcion se volverıa arepetir. Sin embargo, como solo estamos interesados en la solucion parat < τ , esto no supone ningun inconveniente.

-

6f(t)

t-τ

Figura 3.17: Desarro-llo en serie de Fourierde funciones no perio-dicas

En este ultimo caso, si τ → ∞, los coeficientes an y bn deducidos de(3.43, 3.44) se convierten en infinitesimos, puesto que τ esta en el denomina-dor. La suma del desarrollo en serie de Fourier se transforma (en el lımite)


en una integral, denominada transformada de Fourier. Esta integral tieneexactamente la forma inversa de las integrales para los coeficientes an y bn

expresadas en las ecuaciones (3.43, 3.44), terminos que estan relacionadoscon cada valor de la frecuencia, ωn = nω. Este conjunto de frecuencias dis-creto, al aumentar τ tiende a una distribucion continua. La transformadade Fourier se puede interpretar entonces como un cambio de formulacion,pasando a expresar el problema inicialmente formulado en el dominio deltiempo al dominio de la frecuencia. No desarrollaremos mas este tema, parano alargar innecesariamente este capıtulo, pudiendo consultarse en el librode Fernandez Palacios o en otros textos mas especıficos de vibraciones6

3.8. Analisis de Transitorios mediante la Funcionde Green

El desarrollo en serie de Fourier proporciona la solucion del regimen es-tacionario, ya que en su deduccion despreciamos deliberadamente el efectode los transitorios. Para los casos en los que sea necesario obtener el re-gimen transitorio se puede aplicar el metodo de la funcion de Green, quedesarrollamos a continuacion.

3.8.1. Respuesta a una Funcion Impulso

Partimos, como antes, de la ecuacion general del movimiento oscilatorioforzado (3.37),

x + 2ξω0x + ω20x = f(t),

cuya solucion general es x(t) = xh(t) + xp(t).Suponemos que este sistema esta sometido a un impulso instantaneo en

el instante t = θ, un pico de fuerza que se puede suponer de duracion prac-ticamente nula, pero que por su intensidad tiene un efecto apreciable sobreel sistema. Matematicamente, una funcion impulso se representa mediantela funcion δ de Dirac, definida como:

δ(t) = 0 ∀t 6= 0δ(0) →∞∫ +∞−∞ δ(t) dt = 1

6Se recomiendan: R.W. Clough y J. Penzien: Dynamics of Structures, McGraw Hill,New York, 1975; L. Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, McGraw Hill, New York,1986.

Aptdo. 3.8. Analisis de Transitorios mediante la Funcion de Green 3.35

Una manera de entender el significado de la funcion singular δ(t) es consi-derarla como el lımite de una funcion continua como la representada en lafigura 3.18, con forma de triangulo isosceles de base 2ε y altura 1/ε, cuandoε → 0. Ası, un impulso de valor I en t = θ se representa por f(t) = I δ(t−θ).

-

6

t

f(t)

θ

-

6

t

f(t)

θ

EEEEEEEEEEEE

6

?

1/ε

ε ε

Figura 3.18: Impulso, representado por la funcion delta de Dirac.

Integrando esta fuerza,∫ ∞

−∞f(t) dt =

∫ ∞

−∞I δ(t− θ) dt = I

Puesto que f(t) = F (t)/m, I sera el impulso por unidad de masa, o sea,el incremento de velocidad que adquiere m por virtud de la impulsion. Po-demos entender esta por lo tanto como una causa instantanea que modificael estado de velocidad en t = θ, quedando despues el sistema en vibracionlibre, ya que f(t) desaparece.

La solucion a un impulso elemental es pues la respuesta en vibracioneslibres con las condiciones iniciales x(θ) = 0; x(θ) = I. La solucion parat > θ es la de la homogenea:

x(t) = e−ξω0t(A cosωt + B senωt), para t > θ,

siendo ωdef= ω0

√1− ξ2.

Sustituyendo en la ecuacion del movimiento las dos condiciones iniciales,obtenemos las constantes A y B:

A = −I e−ξω0θ

ωsen ωθ,

B = −I e−ξω0θ

ωcos ωθ.


Quedando, finalmente, la solucion para la respuesta a un impulso elementalcomo:

x(t) =I

ωe−ξω0(t−θ) senω(t− θ), para t > θ. (3.46)

3.8.2. Analisis de Transitorios para una Excitacion Arbitra-ria

Suponemos ahora que sobre el oscilador actua una fuerza F (t) cualquie-ra, no impulsiva. Podremos descomponer, dividiendo el tiempo en intervalosinfinitesimales, esta fuerza como una serie de impulsos elementales, corres-pondientes a los rectangulos elementales en el diagrama de F (t) (figura3.19):

dI =F (θ)m

dθ.

-

6f(t)

tθ

Figura 3.19: Descomposi-cion de f(t) en impulsoselementales

Por la linealidad del operador, podremos obtener la respuesta global enun instante t dado, como la suma o integral de las respuestas a todos estosimpulsos elementales dI para θ < t:

x(t) =∫ t

−∞

F (θ)mω

e−ξω0(t−θ) sen ω(t− θ) dθ.

Se define la funcion de Green G(t, θ) como:

G(t, θ) def=1

mωe−ξω0(t−θ) senω(t− θ), para t > θ.

Aptdo. 3.9. Metodos Numericos para Integracion Directa 3.37

En funcion de G(t, θ) la integral anterior queda por tanto:

x(t) =∫ t

−∞F (θ)G(t, θ) dθ.

Esta integral se llama tambien integral de Duhamel. En la practica, lasintegrales se evaluaran numericamente, salvo casos particulares simples queadmitan resolucion analıtica.

Resumiendo, el metodo de analisis mediante la funcion de Green:

– Proporciona la respuesta transitoria completa, no limitandose al re-gimen permanente.

– Incluye automaticamente la informacion sobre las condiciones inicia-les.

– Sirve para funciones de carga arbitrarias.

3.9. Metodos Numericos para Integracion Directa

En la practica la resolucion de problemas dinamicos reales se realiza,salvo casos particulares simplificados, mediante calculo numerico en orde-nadores digitales. Los metodos anteriormente expuestos son susceptiblesde tratamiento numerico a traves de las trasformadas discretas de Fourier,o de la evaluacion numerica de las integrales de convolucion de Duhamel(funcion de Green).

Otra tecnica interesante que permite resolver numerosos problemas deındole muy general es la utilizacion de metodos numericos para la integra-cion directa de las ecuaciones de la dinamica. Este metodo tiene la ventajasobre los anteriormente expuestos que no necesita presuponer la linealidaddel oscilador, por lo cual es posible aplicarlo tambien a otros casos mas gene-rales en que los osciladores no sean lineales. Ademas, de forma automaticase incluyen todos los terminos, tanto transitorios como permanentes.

Aunque existen numerosos metodos de integracion paso a paso en eltiempo, expondremos de forma resumida solo dos: el metodo de Euler yel metodo de Runge-Kutta de 4.o orden. Ambos son metodos de un paso,sencillos de formular, y se encuentran entre los mas usados en la practica.Para una exposicion mas detallada de estos y de otros metodos de integra-cion de ecuaciones diferenciales, se recomienda consultar otros textos masespecializados7.

7Vease, por ejemplo, W.E. Boyce y R.C. DiPrima: Elementary Differential Equations


En ambos casos se realiza una integracion paso a paso, para lo cualsupondremos que el tiempo se ha discretizado en intervalos pequenos ∆t,definiendo instantes discretos tn:

t0, t1 = ∆t, t2 = 2∆t, . . . , tn = n∆t, . . . , tfin

La ecuacion a resolver sera, como siempre:

x + 2ξω0x + ω20x = f(t). (3.47)

Suponemos conocida la solucion en el instante tn: xn = x(tn), xn = x(tn).Se trata de obtener un procedimiento para avanzar la solucion al instantetn+1: xn+1, xn+1.

3.9.1. Metodo de Euler

Suponemos conocidos en un instante dado xn y xn. A partir de la ecua-cion (3.47) se despeja xn:

xn = f(tn)− 2ξω0xn − ω20xn.

Los valores en n + 1 se obtienen mediante un desarrollo en serie de Taylortruncado a partir del segundo termino:

xn+1 = xn + xn∆t

xn+1 = xn + xn∆t

Ası, procederıamos a partir del estado inicial conocido (x0, x0) para obtenerprimeramente (x1, x1), luego (x2, x2), y ası sucesivamente hasta el instantetfin.

El metodo de Euler es muy sencillo de formular y de operar, siendo losalgoritmos evaluables de manera explıcita. Admite facilmente la extensional caso en que los coeficientes de la ecuacion dependen del tiempo, o cuandola ecuacion es no lineal.

El error de truncamiento local (el cometido para la solucion de x encada paso) es del orden O(∆t2). Por lo tanto, disminuyendo el tamano delpaso ∆t suficientemente, se podra llegar a reducir el error de truncamientolocal tanto como se desee. Por ejemplo, al dividir ∆t por 2, el error de trun-camiento local quedara dividido por cuatro. Sin embargo, para el computode la solucion global, necesitaremos el doble de intervalos para alcanzar el

and Boundary Value Problems, (5.a ed.), Wiley, 1992, o a nivel mas avanzado, C.W. Gear:Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, 1971.

Aptdo. 3.9. Metodos Numericos para Integracion Directa 3.39

-

6

n.o de pasos

error

10−4

10−3

10−51000 10000 100000

Figura 3.20: Errorobtenido en la so-lucion numerica dela ecuacion x = xmediante el meto-do de Euler, parat ∈ [0, 1], conx0 = 1. Precisionde calculo: 32 bits.

mismo valor del tiempo final, por lo que si se adopta como cota del errorla suma absoluta de los errores de truncamiento en cada intervalo, el errorglobal final sera la mitad del obtenido anteriormente.

Por tanto, se dice que el metodo de Euler tiene convergencia de primerorden o lineal: el error global es de orden O(∆t), por lo que disminuye tantocomo se desee al reducir ∆t, de manera lineal.

Sin embargo, en la practica hay que considerar otra fuente de errorademas de la puramente algorıtmica: los errores de redondeo debido a laaritmetica con precision limitada. Esto es inevitable, especialmente en losordenadores digitales, en que la computacion se hace con un numero fijode dıgitos. Cuanto mas subdivisiones del tiempo se realicen, mayor es esteerror acumulado. Por este motivo, la convergencia lineal a menudo resultademasiado debil: al realizar gran cantidad de operaciones, puede llegar unmomento en el que los errores de redondeo predominen y la solucion noconverja con la precision requerida (3.20).

Debido a su debil convergencia, es aconsejable bastante prudencia antesde emplear el metodo de Euler, comprobando en cada caso que se obtieneun nivel de error aceptable.

3.9.2. Metodo de Runge-Kutta

Se trata de un metodo mas preciso que el de Euler, aunque tambien mascostoso de formular y, sobre todo, de operar. Para exponerlo transformare-mos en primer lugar ecuacion dinamica de segundo orden en un sistema de


dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

udef= x,

u = f(t)− 2ξω0u− ω20x.

Para emplear una notacion mas compacta, definimos la variable vectorialy:

y =

y1

y2

def=

xu

.

Con esta notacion, el problema se formula como:

y = g(y, t) ⇔

y1

y2

=

y2

f(t)− 2ξω0y2 − ω20y1

Para fijar ideas, con esta notacion el metodo de Euler explicado arriba seescribirıa simplemente:

yn+1 = yn + yn∆t.

El metodo de Runge-Kutta de cuarto orden se basa en la utilizacion decuatro coeficientes (k1,k2,k3, k4), que se definen como:

k1def= g(tn, yn)

k2def= g(tn + ∆t/2, yn + k1∆t/2)

k3def= g(tn + ∆t/2, yn + k2∆t/2)

k4def= g(tn + ∆t, yn + k3∆t)

A partir de estos coeficientes, la expresion de yn+1 es:

yn+1 = yn +∆t

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4).

Una vez obtenido yn+1 repetirıamos el proceso para el siguiente paso.Con este metodo8 se obtiene una convergencia del orden O(∆t4), razon

por la cual se denomina de 4.o orden. Por tanto, es mucho mas exacto queel metodo de Euler, alcanzando una precision suficiente en la gran mayorıade los casos. Tambien es aplicable a problemas no lineales. Sin embargo, re-quiere un esfuerzo mucho mayor para su computo, siendo necesario evaluar

8En el libro de Fernandez Palacios se incluye un programa en lenguaje BASIC parael metodo de Runge-Kutta de 4.o orden, facilmente adaptable a cualquier ecuacion quese desee integrar, para ordenadores personales o calculadoras de bolsillo.

Aptdo. 3.10. Problemas propuestos. 3.41

en cada paso los coeficientes ki. En los casos en los que se tengan muchasvariables y funciones complejas de evaluar, su coste computacional puederesultar excesivo. En cambio, para problemas con un solo grado de libertades muy recomendable al ser su solucion en los ordenadores actuales muyrapida.

3.10. Problemas propuestos.

Problema 3.1. Un vehıculo de masa m = 10 T (1 T = 103 kg) posee unasuspension que se puede representar como un resorte elastico de constante kinterpuesto entre la masa m y el terreno. El vehıculo viaja a una velocidadde 72 km/h sobre terreno ondulado, definido por la ecuacion z = 0,01 sen x,donde z es la elevacion de la superficie y x la coordenada en la direccion dela marcha. Se pide:

a. Supuesto alcanzado el regimen permanente, valor maximo de la rigi-dez k para que la aceleracion maxima experimentada por el vehıculono exceda de 1/10 de la correspondiente al vehıculo sin suspension.

b. Tomando el valor de k del apartado anterior y un amortiguamientoviscoso igual al 1% del crıtico, estando el vehıculo en reposo sobre unasuperficie plana sufre un impacto vertical que le produce una veloci-dad inicial de 2 m/s. Calcular la amplitud inicial de las oscilacionesproducidas en el vehıculo, ası como el tiempo necesario para que dichaamplitud se reduzca a la mitad.

(examen final, 13/2/1991)

Problema 3.2. Una masa M se halla sujeta a un resorte lineal de constantek, con un amortiguamiento viscoso de constante c. El valor de c es tal que,sometido a vibraciones libres, la amplitud del movimiento se reduce a lamitad al cabo de un tiempo T . El sistema se halla sometido a una fuerzasenoidal de intensidad maxima q. Se pide calcular el factor de amplificaciondinamico en la resonancia. Tomar los valores numericos m = 1 kg, T =20 ln 2 s, k = 100 N/m.(NOTA: se denomina factor de amplificacion dinamico al cociente entre laamplitud maxima debida a la carga senoidal y la amplitud estatica parauna carga q constante)(Examen parcial, 15/6/1992)

Problema 3.3. Una balanza esta formada por un platillo de masa m,sustentado por un resorte lineal sin amortiguamiento. Se sabe que al colocarel platillo sobre el resorte, este sufre un descenso δ hasta la nueva posicion


de equilibrio. Con la balanza en reposo, cae sobre el platillo desde una alturah una masa M = 3m, siendo el choque perfectamente plastico (coeficientede restitucion nulo). Se pide:

a. Ecuaciones del movimiento subsiguiente.

b. Valor mınimo de h para que a lo largo del movimiento la masa Mse despegue del platillo (se debe considerar que, despues del primerchoque, M no queda adherida al platillo, pudiendo por tanto separarsellegado el caso).

(Examen final, 1/9/1993)

k

mM

v0

Figura 3.21: Problema 3.3

Problema 3.4. Un vehıculo de masa m posee una suspension que se puederepresentar mediante un resorte elastico de constante k y amortiguamientodespreciable, interpuesto entre la masa del vehıculo y las ruedas (considera-das de masa despreciable), tal como se muestra en la figura 3.22. El vehıculoviaja con velocidad constante v sobre un pavimento regular y horizontal enel que existe un pequeno escalon transversal de altura h y longitud L. Es-tudiar el movimiento vertical del vehıculo, calculando el periodo propio yla amplitud de las oscilacion. Se supondra: que el tamano de la rueda esdespreciable frente al escalon, por lo que pasa instantaneamente del pavi-mento al escalon y viceversa; que no existen efectos relativos a percusiones;y que se puede despreciar el desplazamiento vertical que pueda sufrir lacarrocerıa del vehıculo mientras que se sube el escalon.

h

L

k

mv


Aptdo. 3.10. Problemas propuestos. 3.43

Problema 3.5. Una masa m se mueve sobre una recta horizontal conrozamiento de constante µ, sometida a la accion de un resorte lineal deconstante k y longitud natural l0, cuyo otro extremo esta anclado a larecta. Se pone en movimiento estirando el resorte una elongacion inicialδ0 = x0− l0 y soltandolo con velocidad inicial nula. Se observa que la masaefectua un movimiento de ida y otro de vuelta, parandose despues de estaprimera vuelta. Se pide:

a. Ecuacion diferencial del movimiento, distinguiendo si fuere necesarioentre las diversas fases del mismo.

b. Integracion de la ecuacion, para obtener de forma explıcita x(t).

c. Rango de valores que puede tomar δ0 para que el movimiento sea unaunica ida y vuelta.

d. Adoptando el valor maximo del rango anterior, calcular la energıadisipada en el movimiento.


Problema 3.6. Cuatro varillas iguales, lisas y de longitud 2b cada una,estan soldadas entre sı formando un cuadrado horizontal fijo de lado 2b.Sobre cada una de ellas puede moverse una partıcula de masa m. Cadapartıcula esta unida a las dos situadas sobre lados contiguos, mediante sen-dos resortes elasticos de constante k y longitud natural despreciable. Seabandona el sistema en reposo, estando situada cada partıcula a una dis-tancia ai (i = 1, . . . 4) del centro de la varilla sobre la que debe permanecer.Se pide:

a. Ecuaciones del movimiento de las partıculas.

b. Demostrar que al cabo de un cierto tiempo t (cuyo valor se calculara)las posiciones de las partıculas determinan un cuadrado (cuyo lado ltambien se calculara) con independencia de los valores iniciales ai.


Problema 3.7. Un equipo tiene un bastidor rıgido de masa M sobre unafundacion elastica que puede idealizarse como un resorte de constante k quepermite unicamente el movimiento vertical, con un amortiguamiento del 5 %del crıtico. Dentro del bastidor hay un motor cuyo efecto dinamico equivalea una masa m con excentricidad e, girando a una velocidad constante Ω.Considerando los valores numericos M = 900 kg, m = 100 kg, e = 0,01 m,k = 107 N/m, Ω = 2000 r.p.m., se pide:

a. Ecuacion diferencial del movimiento.


b

b

b

b

u

u

u

u

-

6

?

x1

x2

x3

x4

-2b

6

?

2bl1

l2

l3

l4


b. Solucion general de la ecuacion anterior, tanto para el regimen tran-sitorio como para el permanente (pasado suficiente tiempo). Se consi-derara que en el instante inicial la masa excentrica esta en la posicioninferior con el bastidor en reposo.

c. Obtener el valor de Ω que produce resonancia para la amplitud delmovimiento, y calcular dicha amplitud resonante.

(Examen parcial, 30/1/1999)

M

k c

me

Ωt


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Oscilaciones Lineales con 1 Grado de Libertadw3.mecanica.upm.es/~goico/ap/cap3.pdf · Sea una masa puntual, m, obligada a moverse segun´ una recta ﬁja, sujeta a un punto dado de