Osciladores acopladosEcuaciones del movimiento Modos normales de vibracin Estudio energtico Actividades

Un modelo simplePara poder entender el comportamiento de los sistemas que describimos como ondas, vamos a presentar un modelo simple de sistema mecnico que podemos estudiar con lo que se sabe a estas alturas a partir de la dinmica. Vamos a hacer esto partiendo de un sistema muy simple, con muy pocas partculas, para despues generalizar a sistemas donde el nmero de partculas es alto, de modo que se pueda entender que el paso al contnuo conduce a las descripciones de las ondas.

Ecuaciones del movimiento de dos osciladores acopladosVamos a estudiar un sistema formado por dos osciladores acoplados, y para ello tomamos como modelo el sistema formado por dos partculas iguales de masa m situadas en los extremos de dos muelles de idntica constante elstica k. El acoplamiento se efecta uniendo las dos partculas mediante un muelle de constante kc, tal como se puede ver en la figura.

Llamemos x1 y x2 a los desplazamientos de cada una de las partculas a partir de su posicin de equilibrio, medidos como positivos cuando estn a la derecha. El muelle de la izquierda se ha estirado x1, el de la derecha se ha comprimido x2 y el central se ha deformado x2-x1. Las fuerzas sobre cada una de las partculas se indican en la figura.

Sobre la partcula de la izquierda, se ejerce una fuerza hacia la izquierda kx1, y una fuerza hacia la derecha debido a la deformacin del muelle central kc(x2-x1),

suponemos que x2 es mayor que x1.

Sobre la partcula derecha, se ejerce una fuerza hacia la izquierda kx2 y otra fuerza hacia la izquierda debido a la deformacin del muelle central kc(x2-x1).

El muelle central ejerce fuerzas iguales y de sentido contrario sobre cada una de las partculas. Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partculas, y escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Sumando y restando las dos ecuaciones diferenciales tenemos la ecuacin diferencial de un MAS.

Dos movimientos armnicos simples de frecuencias

Las soluciones de estas dos ecuaciones, son respectivamente a=x1+x2= 0a sen( at+ a) b=x1-x2= 0b sen( bt+ b) Donde las amplitudes 0a y 0b y las fases iniciales a y b estn determinadas por las condiciones iniciales: posicin inicial y velocidad inicial de cada una de las partculas. Despejando x1 y x2 de las dos ecuaciones anteriores tenemos

El movimiento general de dos osciladores acoplados puede considerarse como la superposicin de dos modos normales de oscilacin de frecuencias angulares a y

b.

Condiciones inicialesEn el instante t=0, las posiciones iniciales de las partculas son respectivamente x01 y x02. Las velocidades iniciales son cero. Las ecuaciones se transforman despus de algunas operaciones en

Modos normales de vibracinEl primer modo normal de vibracin de frecuencia a se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en fase x01 es igual a x02. El muelle central no sufre ninguna deformacin y por tanto, no ejerce ninguna fuerza sobre las partculas, las cuales se mueven como si no estuvieran acopladas.

El segundo modo normal de frecuencia b se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en oposicin de fase x01 =- x02. Las ecuaciones del movimiento de cada oscilador se reducen a las siguientes.

SimulacinSupongamos que x02 es cero. Las ecuaciones del movimiento de las partculas se pueden escribir de forma ms simple usando las relaciones trigonomtricas cosA+cosB y cosAcosB.

Cuando la amplitud de un oscilador vara con el tiempo, se denomina amplitud modulada. La amplitud del primer oscilador x01 cos( a- b )/2 es una funcin coseno que est adelantada /2 respecto de la amplitud modulada del segundo oscilador, que es una

funcin seno. Debido a la diferencia de fase entre las dos amplitudes modulantes hay un intercambio de energa entre los dos osciladores. Durante un cuarto de periodo modulante, la amplitud de un oscilador disminuye y la del otro aumenta, dando lugar a una transferencia de energa del primero al segundo. Durante el siguiente cuarto de periodo, la situacin se invierte y la energa fluye en direccin opuesta. El proceso se repite continuamente.

Estudio energticoCalculemos la energa total del sistema, la suma de las energas cintica y potencial. Tenemos la energa cintica de cada una de las partculas, la energa potencial elstica del muelle izquierdo que se deforma x1, del muelle derecho que se deforma x2, y del muelle central que se deforma x2-x1.

Una vez agrupados los trminos, el primer parntesis depende solamente de x1, y puede llamarse energa del primer oscilador, el segundo trmino depende solamente de x2, y puede llamarse energa del segundo oscilador. El ltimo trmino, que depende de x1 y x2 se denomina energa de acoplamiento o de interaccin. Este trmino es el que describe el intercambio de energa entre los dos osciladores.

ActividadesIntroducir los siguientes datos:

la constante elstica de los dos osciladores, en el control de edicin titulado k de los muelles. la constante elstica del muelle central, en el control de edicin titulado k del acoplamiento la masa de las partculas se ha tomado como la unidad. la posicin inicial de la partcula de la izquierda (una cantidad menor o igual que la unidad), en el control de edicin titulado Posicin inicial de 1 la posicin inicial de la partcula de la derecha, en el control de edicin titulado Posicin inicial de 2. las velocidades iniciales se toman como cero.

Se pulsa el botn titulado Empieza

Modos normales de vibracin

Primer modo normal de oscilacin: introducir la misma cantidad, por ejemplo, 1.0 en los controles de edicin titulados Posicin inicial 1 y Posicin inicial 2.

Segundo modo normal: introducir la misma cantidad pero con signos opuestos en dichos controles de edicin, por ejemplo, 1.0 en Posicin inicial 1, y 1.0 en Posicin inicial 2.

Simulacin

Introducir en el control de edicin titulado Posicin inicial 1, la cantidad de 1.0, e introducir en el control de edicin titulado Posicin inicial 2, la cantidad de 0.0. Observar, las oscilaciones de las dos partculas, medir el tiempo que tarda un oscilador desde que su amplitud se hace cero hasta que vuelve a hacerse cero. En la parte superior izquierda de la ventana del applet se da el valor del tiempo, y en la parte inferior se representa el desplazamiento de cada partcula en funcin del tiempo. Usar los botones Pausa y Paso, para aproximarse a los instantes en los que el oscilador elegido se detiene momentneamente. Calcular las frecuencias angulares b y a de los dos modos de vibracin y la frecuencia angular de la amplitud modulada ( a- b )/2, el periodo y el semiperiodo. Comparar el resultado obtenido con las medida efectuada, coinciden?.

Todo lo que sigue salvo error mio. Es resolver la ecuacin de ondas en una dimensin: donde es la elongacin de la cuerda en cada instante de tiempo t ( altura sobre su posicin de equilibrio ) con dos condiciones de contorno ( extremos fijos )

y dos condiciones iniciales la forma inicial de la cuerda, extremos fijos y

y que parte del reposo:

Se hace separacin de variables y si llamas a la constante de separacin te quedan dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

Las funciones solucin de la primera con las condiciones de contorno ( autofunciones ) que, creo que esto ya te lo sabes por tu post sobre la ecuacin de Schredinger, son siendo n un nmero entero y positivo. Las soluciones de la segunda aplicando la segunda de las condiciones iniciales son Observa que la constante de separacin result ser El resultado de tu problema es una serie de funciones

Para obtener los coeficientes tienes que usar la primera condicin inicial, la forma de la cuerda en t=0... para t=0 los cosenos se hacen 1 por lo cual tendras algo as como y esto es una serie de Fourier. Bueno ahora para calcular los coeficientes habra que 1. expresar de forma analtica la forma de la cuerda en t=0 2. hacer una integral Luego si saco los resultados los cuelgo por aqu... Saludos. __________________