0. f(x) = e^x^2 ; f(0) = 1 1. f'(x) = 2x e^x^2 ; f'(0) = 0 2. f''(x) = (2 + 4x^2) e^x^2 ; f''(0) = 2 3. f'''(x) = (12x + 8x^3) e^x^2 ; f'''(0) = 0 4. f''''(x) = (12 + 48x^2 + 16 x^4) e^x^2 ; f'''(0) = 12 5. f'''''(x) = (120x + 160x^3 + 32x^5) e^x^2 ; f''''(0) = 0 6. f''''''(x) = (120 + 720x^2 + 480x^4 + 64x^6) e^x^2 ; f'''''(0) = 120 7. f'''''''(x) = (1.680 x + ··· ) e^x^2 ; f''''''(0) = 0 8. f''''''''(x) = (1.680 + ··· ) e^x^2 ; f'''''''(0) = 1.680 

a) el polinomio de Taylor de orden 7 es f(x) ≈ 1 + 2 / 2! x^2 + 12/4! x^4 + 120/6! x^6 la integral es ∫(0_0,5) f(x) dx ≈ x + 2/3! x^3 + 12/5! x^5 + 120/7! x^7](0_0,5) = 0,544977679 

b) el polinomio de Taylor de orden 8 es f(x) ≈ 1 + 2 / 2! x^2 + 12/4! x^4 + 120/6! x^6 + 1.680/8! x^8 la integral es ∫(0_0,5) f(x) dx ≈ x + 2/3! x^3 + 12/5! x^5 + 120/7! x^7 + 1.680/9!](0_0,5) = 0,544986721 

c) para T(7) el error absoluto es 9,42561E-06 para T(8) el error absoluto es 3,83363E-07 

d) para T(7) el error relativo es -0,001730% para T(8) el error relativo es -0,000070% 

e) conclusión: el polinomio de Taylor es una buena aproximación, tan precisa como queramos, ya que va mejorando según se incrementa el orden de dicho polinomio; en este caso, aumentando un grado la aproximación se ha reducido el error absoluto a 1/25 del anteriorIgnacio · hace 6 años1Pulgar hacia arriba 0Pulgar hacia abajoComentarioCalificación del solicitante Notificar abuso

El que contesto encima lo hizo genial, con una pequeña salvedad, perdio mucho tiempo haciendo derivadas: 

La funcion e^(x^2) la puedes escribir como la funcion e^x compuesta con x^2, es decir, si f(x) = e^x, entonces se puede asegurar que f(x^2) = e^(x^2). 

Con lo cual, dado que la serie de taylor de e^x la conocemos todos, basta con hacer la serie en x = x^2, de hecho, si compruebas los coeficientes del de encima mio, veras que sin duda los puedes escribir como: 

e^(x^2) ≈ ∑ [ x^(2n) / n! ] 

Los limites de la suma empiezan en n=0 y los limites superiores dependen del orden de aproximacion que quieras (has preguntado por ordenes 7 y 8) 

He escrito esto dando por hecho que todos conocemos de sobra la serie de taylor de e^x, con lo cual no hay que perder tiempo en derivadas y se puede integrar casi directamente.YuanR · hace 6 años