P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 1

Repaso de clase anterior

•Definición y propiedades de probabilidad (significado intuitivo, Axiomática de Kolmogorov).

•Teorema de Continuidad de la Probabilidad.

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4. Probabilidad condicional, independencia.

Ejemplo un tanto macabro: 

“Probabilidad de perder en la ruleta rusa=1/6”  

“Probabilidad de perder en la ruleta rusa (sin girar el cargador) cuando ya cinco jugaron y se salvaron=1”

    

El agregado de información relevante puede aumentar o disminuír las chances de un evento.

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La Probabilidad Condicional, o “Probabilidad de A dado B” (que simbolizaremos P(A/B)) es

  

      la Probabilidad que tiene A cuando se sabe que B ocurre 

o, equivalentemente,

     la frecuencia con que ocurre A dentro de las ocurrencias de B

Veámoslo en el siguiente ejemplo, un cuadro de datos de clima en región pre-montañosa, en los que indicamos con “LL” los

días en los que llovió de manera moderada o intensa y con “E” los días en que predominaron los vientos del Este.

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Se observa que la frecuencia de lluvias es109/990=0.11 y que, dentro de los días de viento Este, la frecuencia de lluvias

es 65/86=0.76  

Si A=“Llueve” y B=“Vientos del Este”, estimaríamos entonces que, aproximadamente (en el sentido que las frecuencias observadas sobre

muchos días son aproximaciones de las probabilidades), P(A)=0.11, P(A/B)=0.76

Observar que, aproximadamente:

P(AB)=65/990, P(B)= 86/990 y por lo tantoP(AB)/P(B)=65/86=P(A/B)

Vientos Lluvias   Total  SI NO  

E SI 65 21 86

E NO 44 860 904

Total 109 881 990

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No es ninguna casualidad, en general se define la probabilidad condicional por

Observar también que en el ejemplo anterior, uno tendería a decir que los vientos del Este aumentan la probabilidad de lluvias, ya que

es más probable que llueva un día con vientos del este que en un día cualquiera (P(A/B)>P(A))

Esto tampoco es casualidad, se define que dos sucesos A y B son independientes si

P(A/B)=P(A), o, equivalentemente, si

P(A/B)= P(AB)/P(B)

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Intuitivamente, A y B son independientes cuando la información de que uno de los sucesos ocurre (o de que no ocurre) es absolutamente

irrelevante para el otro suceso a quien no le afecta sus chances de ocurrir.

P(A)P(B)= P(AB)

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Cuidado!!!

      P(A/B) tiene todas las propiedades de una probabilidad al variar el conjunto A, pero no al variar el conjunto B. Por ejemplo, siempre se cumple que

P(Ac/B)= 1- P(A/B), pero no tiene por qué ocurrir que 

P(A/Bc)= 1- P(A/B);  

En efecto, si en el lanzamiento de un dado equilibrado A= “sale un 6”, B=“sale un nro. par”, entonces

P(A/Bc)=0, 1- P(A/B)=1-1/3=2/3.

      No confundir independencia e incompatibilidad; dos eventos incompatibles NO son independientes.

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Break: Andrei Nikolaievich Kolmogorov

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Teorema de Bayes(Inversión de Probabilidades Condicionales):

Si B1,...,Bk son sucesos incompatibles (cualquier par de estos eventos que se consideren tienen intersección

vacía) y además la unión de todos ellos tiene probabilidad 1, y si A es un sucesos con P(A) > 0,

entonces para cualquier mentre 1 y k se tiene que:

P(Bm /A) = P(A/Bm )P(Bm )/( 1jk P(A/Bj )P(Bj ))

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• Ejemplo novelesco: “Hijo!!! Soy tu madre!!!!!”

En una población animal, distintos tipos de progenitores tienen distintas probabilidades de dar lugar a un descendiente con determinada característica genética C. Los progenitores de tipo I tienen una probabilidad 0.10 de producir un tal descendiente, los progenitores de tipo II tienen una probabilidad 0.15 de producirlo y los de tipo III, tienen probabilidad 0.20.

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En la población de marras, los distintos tipos de progenitores se presentan con las siguientes

frecuencias: 

tipo I, 0.90tipo II, 0.08tipo III, 0.02

 Si se observa un individuo portador de la

característica C en dicha población ¿ de qué tipo de progenitor es más probable que provenga?

  

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P(B1 /A)= (0.10 x 0.90)/(0.10x0.90 +0.15x0.08+0.20x0.02)=0.85; P(B2 /A)= (0.15x0.08)/(0.10x0.90 +0.15x0.08+0.20x0.02)=0.11;

Aplicando la fórmula de Bayes, llamando A al suceso “descendiente con característica C” y Bj al

suceso “progenitores de tipo j”, resulta que

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P(B3 /A)= (0.20x0.02)/ (0.10x0.90 +0.15x0.08+0.20x0.02)

=0.04; 

Respuesta: lo más probable es que sus progenitores sean del tipo I!!

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Atenti!!! 

Debe observarse que 3 sucesos A, B y C son independientes si y sólo si se cumplen todas las siguientes ecuaciones:

          

Y no alcanza con las tres últimas ecuaciones, es decir, tres sucesos A, B, C pueden ser independientes de a pares ( A y B independientes, A y C independientes, B y C independientes) pero no ser independientes si al juntar dos sucesos se obtiene información relevante sobre el tercer evento.

P(ABC)=P(A) P(B) P(C),P(AB)=P(A) P(B), P(BC)=P(B) P(C),P(AC)=P(A) P(C) 

 

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Ejemplo: 

Si lanzamos de manera independiente dos dados equilibrados, uno de color rojo y otro de color azul y consideramos los sucesos  A= “En el dado rojo sale un seis”

B= “En el dado azul sale un uno” C= “La suma de los dos dados da siete” 

Entonces

P(A)= P(B) =P(C)= 1/6P(AB)= P(BC)= P(AC)=1/36

( por lo que A y B independientes, A y C independientes, B y C independientes)Pero

 P(ABC)=1/36 (de hecho ABC= AB)

(por lo que A, B y C no son independientes)

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Ejemplo en un control de calidad por atributos. De un lote industrial de N artículos elegimos al azar (equiprobabilidad) n artículos a los que estudiaremos para saber si portan un cierto defecto.

El objetivo del estudio es estimar la proporción de defectuosos en la población, es decir que

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Si D = cantidad de defectuosos en el lote, queremos estimar

p=D/N  

Podemos muestrear:

a) sin reposición (más natural)  b) con reposición (más simples los cálculos)

  es el conjunto de muestras que son posibles y es distinto

en a) que en b), ya que en a) no puede haber artículos repetidos en la muestra y en b) sí.

 

Llamemos X()= número de defectuosos en la muestra y calculemos su FD.

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a) Caso sin reposición:

Valores posibles k entero yMax(0, n-(N-D))≤ k ≤Min(n, D)

       

Se dice que X tiene distribución Hipergeométrica de parámetros n, N y D.

 P(X=k)= Ck

D C(n-k)(N-D) /Cn

N

 

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 b)           Caso con reposición:

 Valores posibles:

k entero y 0≤ k ≤n

       

 P(X=k) = Ck

n pk (1-p)n-k

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Se dice que X tiene distribución Binomial de parámetros n y p(Para n=1, se llama Bernoulli)

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¿¿ En qué se relacionan el caso con y sin reposición??

Puede demostrarse que si n (tamaño de la muestra) es

mucho menor que N (tamaño de la población) (por

ejemplo, N=1 300 000, n=2500), entonces las fórmulas

del caso con reposición son una buena aproximación

del caso sin reposición

(Aproximación de la Hipergeométrica por la Binomial)