PRÁCTICA DIRIGIDA N° 9

Tema: MODELOS PROBABILISTICOS DISCRETOS

1. De un lote de 12 artículos, distinguibles, 3 son defectuosos, se extrae, al azar, un artículo. ¿Cuál es la probabilidad que el articulo sea defectuoso?

Solución:

Usando la distribución de Bernoulli:

Sea:

Así:

2. Un ambulante tiene 20 relojes del mismo modelo para vender, 4 de estos relojes tienen defectos. Si Ud. compra un reloj. ¿Cuál es la probabilidad que su compra sea buena?

Solución:

Usando la distribución de Bernoulli:

Sea:

Así:

3. De 12 empleados ejecutivos, de cierta Cía., 4 tienen estudios de postgrado .Si se elige , al azar , un empleado ejecutivo . ¿Cuál es la probabilidad que tenga estudios de postgrado?

Solución:

Usando la distribución de Bernoulli:

Sea:

Así:

4. Los registros de una Cía. De servicios indican que el 40% de las facturas que envían son pagados después de la fecha de vencimiento. Si la Cía. Envía 14 facturas. Determine la probabilidad de que:

Solución:

a) Ninguna se pague con retraso.

Usando la distribución de Binomial:

b) Por lo menos dos se paguen con retraso.

5. Un panel de consumidores está constituido por 4 hombres y 6 mujeres. Si se seleccionan al azar, cuatro miembros de este panel. Calcule la probabilidad que:

Solución:

a) Los cuatro sean mujeres.

Sea x: n° de mujeres seleccionadas.

Usando la distribución de Binomial:

b) La mitad sean mujeres.

c) Por lo menos dos sean hombres.

6. Se sabe que el 90% de los trabajadores de cierta ciudad industrial son miembros de un sindicato. De un estudio de la situación laboral de la ciudad, se toma al azar, una muestra de 15 trabajadores con reemplazamiento para entrevistarlo. ¿Cuál es la probabilidad que la muestra contenga 12 o menos miembros del sindicato?

Solución:

Sea x: n° de trabajadores pertenecientes al sindicato.

Usando la distribución de Binomial:

7. El tiempo de llegada en minutos, de camiones a un depósito se comporta de acuerdo a la siguiente ley probabilística:

Si se elige una muestra aleatoria de 8 camiones .Determinar la probabilidad de que al menos dos de ellos tenga un tiempo de llegada menor de tres minutos.

Solución:

Se observa, que es una distribución binomial:

Sea: la v.a. que denota el número de camiones que tengan un tiempo de

llegada menor de tres minutos en 8 de los elegidos.

Donde:

Por tanto:

8. La probabilidad de que la llanta delantera derecha de un automóvil reviente al entrar a una curva es 0.05. Hallar la probabilidad que de 17 carros que pasen por la curva:

Solución:

a) Exactamente reviente uno.

Sea x: n° de llantas que se revientan.

Usando la distribución de Binomial:

b) A lo más revienten 3.

c) Reviente 2 o más.

9.Si e v.a. independientemente , tales que : ,

. Calcular

Solución:

Como , son variables aleatorias de Bernoulli, con parámetro

y si entonces tiene distribución binomial de

parámetros y .

Así:

10. Un ambulante tiene relojes del mismo modelo para vender, 4 de estos relojes tienen defectos. Si ud. le compra 5 relojes:

Solución:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 5 relojes comprados no tengan defectos?

Sea x: n° de relojes defectuosos.

Usando la distribución de Binomial:

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de los 5 relojes comprados no tengan defectos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4 los 5 relojes comprados no tengan defectos?

11. En un aula hay 20 estudiantes, de los cuales 6 son extranjeros. Si se seleccionan, al azar, 8 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 sean extranjeros?

Solución:

Sea x: n° de estudiantes extranjeros seleccionados.

Usando la distribución de Binomial:

12. Se sabe que el promedio de llamadas telefónicas que entran a una central es de 4 llamadas por minuto.

Solución:

a) ¿Cuál es la probabilidad que no entre ninguna llamada durante los 2 minutos siguientes?

Sea la v.a. que denota el número de llamadas telefónicas que entran a

una central por un minuto.

El número promedio de llamadas telefónicas que entran a una central por 2 minutos es:

, entonces esto es:

Luego:

b) ¿Cuál es la probabilidad que no entre ninguna llamada en cualquier intervalo de 30 segundos?

El número promedio de llamadas que entran a una central por 30 segundos es:

, entonces esto es:

Luego:

13. En una planta manufacturera han ocurrido accidentes a razón de 1 cada 2 meses. Suponiendo que los accidentes ocurren en forma independiente:

Solución:

a) ¿Cuál es el número esperado de accidentes al año?

El número promedio de accidentes en un año es λ=6, entonces E(x)=λ=6

b) ¿Cuál es la probabilidad que no haya accidentes en un determinado mes?

El número promedio de accidentes en un mes es λ=0.5, entonces X~P(0.5)

14. Los defectos de cierta clase de tejido de lana ocurren aleatoriamente con un promedio de 1 por 100 pies cuadrados .Determine la probabilidad que una pieza que mide 500 pies cuadrados:

Solución:

Sea la v.a. que denota el número de defectos de cierta clase de tejido de

lana en 500 pies cuadrados.

El número promedio de defectos de cierta clase de tejidos en 500 pies cuadrados es:

, entonces esto es:

a) No tenga defectos.

b) Tenga más de un defecto.

15. Los clientes de un almacén llegan al departamento de reclamos a razón de 5 clientes masculinos por hora y 5 clientes femeninos cada 30 minutos. Suponiendo independencias en las llegadas de reclamos. Calcule la probabilidad de que 4 clientes como máximo, sin tener en cuenta el sexo, lleguen al departamento de reclamos en un periodo de 45 minutos.

Solución:

El promedio de clientes masculinos que llegan al departamento de reclamos cada 45 minutos es de λ1=3.75 y el promedio de clientes femeninos que llegan al departamento de reclamos cada 45 minutos es de λ2=7.5 Entonces el promedio de personas que llegan al departamento de reclamos es de λ1+λ2=11.25, entonces X~P(11.25)

16. Una panadería hace galletas con pedacitos de chocolate, un lote tiene 1000 galletas. Se agregan 3000 pedacitos de chocolate a la masa para un lote y se mezcla bien toda la masa. Si se elige, al azar, una galleta del lote:

Solución:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no contenga ningún pedacito de chocolate?

El promedio de pedacitos de chocolate en cada galleta es de λ=3, entonces X~P(3).

b) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga exactamente 3 pedacitos?

c) ¿Cuántas galletas con solamente un pedacito de chocolate podrían haber en el lote?

17. Una Cía. De seguros halla que el 0.005% de la población fallece cada año debido a cierto tipo de accidente. ¿Cuál es la probabilidad de que la Cie. Tenga que pagar a mas de 3 de un total de 10000 asegurados contra tales accidentes en un año?

Solución:

Sea la v.a. que denota el número de personas que fallecen cada año de un

cierto tipo de accidente de los 10000. Luego , como

es muy grande y pequeño, podemos aproximarla a una distribución de

Poisson con parámetro , esto es:

Por tanto:

18. La probabilidad de encontrar un articulo defectuosos en una fabrica es 0.0001% .Si se inspeccionan 1000 artículos ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5 artículos defectuosos?

Solución:

Sea la v.a. que denota el número de artículos defectuosos en una

inspección de 1000 artículos, entonces

Aproximadamente a una distribución de Poisson con parámetro

, tenemos:

19. Un Banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día .Hallar la probabilidad de que:

Solución:

Sea la v.a. que denota el número de cheques falsos en un día dado:

El número medio de cheques falsos recibidos al día es:

,entonces , , esto es :

a) ¿Cuatro cheques falsos en un día cualquiera?

b) ¿Diez cheques falsos en un día cualquiera?

20. Una máquina automática que produce tornillos idénticos da un 2% de su producción inutilizable o defectuosa. Cierto equipo aun no ensamblado necesita 98 de esos tornillos para ensamblarse, si se hace una compra de una caja de 100 tornillos. ¿Cuál es la probabilidad que el equipo no tenga suficientes tornillos buenos para completar el montaje?

Solución:

Sea la v.a. que denota el número de tornillos defectuosos de una caja de

100, esto es, .Aproximado a una distribución Poisson con

parámetro , tenemos:

21. Un lote de 500 productos es aprobado si en una muestra aleatoria de 10 se hallan menos de dos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que sea aprobado un lote que tiene el 5% de artículos defectuosos?

Solución:

Sea la v.a. que denota el número de productos defectuosos en la muestra.

Entonces:

, , . Luego tenemos:

22. Si la probabilidad de que una prueba de una reacción positiva es 0.4. ¿Cuál es la probabilidad que ocurran 5 reacciones negativas antes de la primera positiva?

Solución:

Sea la v.a. que denota el número de reacciones negativas antes de

obtener la reacción positiva. Entonces tiene distribución geométrica con

parámetro p=0.4 , q=0.6, luego:

23. En una urna hay 4 bolas rojas. 6 negras y 7 blancas .Se sacan bolas de la urna, con reposición.

Solución:

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar la última bola roja en la octava extracción?

Sea la v.a. que denota el número de extracciones antes de sacar bolas

rojas , entonces tiene distribución binomial negativa , con parámetro

, , .Luego:

b) ¿Cuál es el valor esperado para el número de ensayos necesarios para encontrar 4 bolas blancas?

Sea la v.a. que denota el número de extracciones antes de saca bolas

blancas , entonces tiene distribución binomial negativa con parámetro

, , .Luego:

c) Calcule la probabilidad de que el número de ensayos necesarios para encontrar 4 bolas blancas no difiera de su valor esperado en más de 2 veces su desviación estándar.

y

24. Una Cía. Petrolera ha sido designada para perforar pozos en cierta área. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es 0.3.

Solución:

Sea la v.a. que denota el número de pozos perforados antes de encontrar

pozo producto, entonces tiene distribución geométrica con

parámetro y , luego:

a) Hallar la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el quinto perforado.

b) Hallar la probabilidad de no encontrar pozo productivo, si su capital le permite perforar a lo mas siete pozos.