Soluciones a las actividades de cada epígrafeSoluciones a las actividades de cada epígrafe11

Unidad 11. Rectas y ángulos

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5 Averigua cuánto suman todos los ángulos de un decágono cualquiera y cuánto mide cada ángulo de un decágono regular. Hazlo de dos formas:

a) Volviendo a hacer todo el razonamiento: ‘‘Un decágono regular se puede descom-poner en ocho triángulos…”.

b) Aplicando las fórmulas anteriores.

a) Un decágono regular se puede descomponer en ocho triángulos. Los ángulos de cada uno de ellos suman 180°. Entre los ocho, los ángulos suman 8 · 180° = 1 440°. Por tanto, los ángulos de un decágono cualquiera suman 1 440°.

Cada ángulo de un decágono regular mide 1 440° : 10 = 144°.

b) Suma de los ángulos de un decágono: (10 – 2) · 180° = 1 440°

Cada uno de los ángulos de un decágono regular mide:

(10 – 2) · 180°10

= 144°

6 Justifica que el ángulo así construido mide 60°.

El triángulo que se formaría si uniésemos el punto donde se cortan los arcos trazados con el compás con los extremos del segmento se-ría equilátero. Por lo que los ángulos de ese triángulo tendrían que ser iguales. Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180°, cada uno de los ángulos tiene que medir 180° : 3 = 60°.

El ángulo dibujado sería uno de los ángulos del triángulo, por lo que medirá 60°.

7 Los ángulos señalados en rojo se llaman ángu-los exteriores o externos del polígono.

Copia esta figura en un papel, recorta los ángu-los externos, júntalos como ves en la figura de la derecha y comprueba que suman 360°.

Respuesta abierta.

1

2

3

234 5

1

4

5

8 Justifica que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360°.

La suma de los ángulos de un polígono de n lados es (n – 2) · 180°.

Los ángulos exteriores son suplementarios a los ángulos del polígono, por lo que la suma de cada ángulo del polígono más el exterior correspondiente es 180°.

En un polígono de n lados, la suma de todas estas sumas será n · 180°.

Por tanto, la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es:

n · 180° – (n – 2) · 180° = 360°

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