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La Rocca Magali31070610Seminario: La paradoja de Yablo2° cuatrimestre de 2011Facultad de Filosofía y Letras

Bueno y Colyvan: un error entre muchos otros

1. Introducción

Numerosas discusiones han surgido en torno a la paradoja de Yablo, la principal y

de la cual derivan las restantes, es sobre la noción de circularidad. El mayor defensor de la

circularidad de la lista Yablesca es Priest [1997]. En contra de la tesis que sostiene que la

construcción de la secuencia de oraciones involucra las ideas de satisfacción y punto fijo,

Bueno y Colyvan [2003] realizan objeciones que pretenden bloquear lo sostenido por

Priest, esto es

“El argumento de Priest requiere la existencia de una relación de satisfacción que

juega el papel de un punto fijo en la paradoja de Yablo. Sin embargo, si una contradicción

puede ser establecida de la lista de Yablo sin invocar tal relación, no hay un punto fijo, y

entonces el argumento de Priest puede ser bloqueado”1

Mi intención es mostrar que uno de los argumentos que brindan Bueno y Colyvan,

en favor de esta conclusión es erróneo, (para ello me apoyaré en las objeciones hechas por

Ketland [2004]), del cual se siguen dificultades serias que no permiten probar que se siga

una inconsistencia de una paradoja genuinamente no circular.

Bueno y Colyvan argumentan que es posible derivar una contradicción sin usar

ilegítimamente el esquema T sobre una fórmula abierta o cualquier otra cosa, entendiendo

por esto la relación de satisfacción ya mencionada. De acuerdo con esta afirmación,

tenemos que

Tsi k > i, ¬Tsk

¬Tsi+1

Pero

Tsi k>i, ¬Tsk

k>i+1, ¬Tsk

1 BUENO, O y COLYVAN, M, Paradox without satisfaction, 2003, pág. 153

1


¬Tsi+1

Donde en la oración “si”, el subíndice “i” no es una variable ni una constante, sino

un número natural particular desconocido).

Si consideramos “s1”

Ts1 k1, ¬Tsk

¬Ts1

Pero

Ts1 k1¬Tsk

k2, ¬Tsk

¬Ts2

Entonces, Ts1 implica una contradicción. Pero dado que Ts1, también implica la no

verdad de Ts2, ¬Ts2, también es verdadera. Luego, esto significa que existe al menos una

oración verdadera en la lista de Yablo.

No obstante, estas afirmaciones son incorrectas.

2. Consideraciones preliminares:

En primer lugar, tal como Hardy[1995] señala no es posible obtener una

inconsistencia del conjunto infinito de oraciones en lógica de primer orden - LPO-, puesto

que si esto fuera así, dado el teorema de compacidad, también podríamos obtener una

inconsistencia de algún subconjunto finito de oraciones de Yablo. Pero como ningún

conjunto finito de Yablo es inconsistente, la secuencia infinita resulta de esta manera

consistente. Luego, el teorema de compacidad no puede ser aplicado en la construcción

yablesca. Este resultado, nos lleva inmediatamente a recurrir a los modelos no estándar, así

la paradoja de Yablo resulta ser -inconsistente. Debido a esto, la lista infinita de oraciones

no tiene modelos estándar sino modelos no estándar.

Por otro lado, es sabido que una legitima aplicación del esquema T no involucra una

formula con variables libres, sino solo a oraciones libre de ellas. Es por ello que Priest

2


utiliza la relación de satisfacción y el principio de punto fijo para poder derivar así una

inconsistencia.

3. Las dificultades de Bueno y Colyvan

Teniendo en cuenta estas consideraciones, no es posible obtener una contradicción

de la lista si pensamos que la paradoja es no circular, tal como lo hacen Bueno y Colyvan.

Al intentar fundamentar sus argumentos cometen muchos errores, entre todos ellos me

centraré en la confusión que surge al utilizar el subíndice “i” en “si”. No pretendo mostrar

que este es el error más importante, ni siquiera uno de los más importantes. Solo me

gustaría enfatizar como la ambigüedad del uso de un término logra que Bueno y Colyvan

fallen en su propósito.

Bueno y Colyvan afirman, como ya se mencionó anteriormente, que “si” es un

numero natural desconocido.

Ketland sostiene que no es posible que sea un numero natural desconocido, que

debe ser o bien una nueva constante o bien una variable. Ante esta disyuntiva, Bueno y

Colyvan terminan aceptando que la “i” debe ser una nueva contaste ya que esto es lo que

ser un numero natural particular quiere decir. Esta aserción es necesaria si ambos quieren

dejar de lado la generalización universal que utiliza Priest en su argumentación, esto es el

principio uniforme:

x (Tr (⌈Y (dot(x)) ⌉) sii Y(x)

En cambio, sostienen que para obtener una contradicción solo es necesario el

principio desentrecomillador local:

Tr (⌈ Yn ⌉) sii Yn, donde n

En el cual necesitamos numerales, esto es nombres, y no variables libres. Entonces,

surge la siguiente cuestión: dado que tenemos modelos no estándar ¿Qué número denota

“i”?

Tal como sostiene Ketland, no hay ninguna garantía de que la constante “i” denote

un numero natural, estándar, en particular 1, porque no sabemos cómo estos modelos

3


extraños “ven” la lista de Yablo. Por lo tanto, no se puede inferir que para algún número n

pueda probarse la verdad de esa oración, Tsn. Tampoco puede afirmarse que podamos

obtener una derivación de una inconsistencia, dado que no podemos saber qué es lo que

denota “i” ya que ésta al ser una constante tiene que denotar a un individuo particular y

puesto que no sabemos que números no estándar tenemos en el modelo no sabemos

tampoco a qué hace referencia esa constante.

Una posible respuesta es afirmar que esto es irrelevante ya que los números de los

modelos no estándar también están bien ordenados y esto es lo único que importa.

Aun así, esta respuesta no afecta la objeción, porque el problema sigue siendo la

confusión de Bueno y Colyvan entre una variable y los numerales. Tal como afirma

Ketland,

confunden una formula universalmente cuantificada ∀x (x) con el conjunto {(n):

n}2

y el numeral n se define desde un metalenguaje ya que los elementos de los modelos

no estándar no tienen numerales. En consecuencia, “i” debe ser una variable para lograr así

una - inconsistencia, lo único que se puede probar de la paradoja -aunque esto también nos

de resultados indeseables-.

Por lo tanto, mediante la revisión de este pequeño error se puede ver como Bueno y

Colyvan fallan en su objetivo. Todo su trabajo se trata de una lista de errores que llevan a la

no consecución del propósito, mostrar la inconsistencia de la lista de oraciones de Yablo sin

hacer uso del principio uniforme de Priest y en consecuencia, del predicado de satisfacción.

No fue mi intención atacar el argumento principal de estos autores sino señalar un pequeño

error y mostrar cómo de éste siguen dificultades serias en la tesis que pretenden

fundamentar.

Bibliografia:

BUENO, O y COLYVAN, M, (2003), Paradox without satisfaction, Analysis 63.

2 Ketland, Jeffrey, (2011, 9 de abril) http://m-phi.blogspot.com/2011/04/yablos-paradox.html

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BUENO, O y COLYVAN, M (2006 ) Yablo's paradox rides again

HARDY, J (1995), Is Yablo´s paradox Liar-like?Analysis 55

KETLAND, J. (2004), Bueno and Colyvan on Yablo's paradox. Analysis 64.

KETLAND, J, (2011, 9 de abril) http://m-phi.blogspot.com/2011/04/yablos-paradox.html

KETLAND, J. (2005), Yablo's paradox and ω-inconsistency, Synthese 145

PRIEST, G. (1997), Yablo's paradox, Analysis 57

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