Correo del Maestro Nm. 73, junio 2002

Para qu ensear matemtica en la escuela primaria?

Roberto Markarian

Esta pregunta me pareci un poco sorprendente porque podra entenderse que detrs de ella

est el cuestionamiento: Hay que ensear matemtica en la escuela? Casi todos responderan

afirmativamente a esto ltimo. Algunos habrn olvidado para qu, otros quizs nunca lo supieron.

Por lo tanto, la pregunta original tiene sentido. Y tiene sentido tomarse la respuesta en serio. O

sea, no responder nicamente: porque a los 10 aos el nio tiene que saber sumar y multiplicar.

sta es una respuesta operativa, pragmtica. Soy de los que cree que el nio debe saber operar

bien, que no hay computadora que elimine la necesidad de manipular los nmeros, adquirir una

imagen cuantitiva de los objetos de este mundo. Pero no basta.

Estas notas estarn carentes de ejemplificaciones detalladas, de la experiencia de tratar con

nios de cerca de 10 aos, pero pueden tener la validez de quien trata y le gusta tratar con jvenes

en quienes las dificultades de aprendizaje de dos lustros antes se reflejan en dolorosos traumas

de estudio. Y de quien ha hecho de la enseanza y de la investigacin matemtica su profesin.

1. Contar

El nio pequeo aprende rpidamente a contar. Luego a distinguir. De individualizar los objetos

que le rodean pasa a saber sus nombres y a distinguir que algunas cosas pueden clasificarse en

las mismas categoras. El ejemplo mejor estudiado es el de los pares, quizs porque tenemos

varias partes del cuerpo que vienen de a dos. Despus de distinguir que mis dos manos y las

suyas tienen algo en comn, reconoce que la misma propiedad es comn a sus dos pies y,

despus, cuando pide un juguete y luego otro, el nio dice dos juguetes. Y ha empezado a contar.

Los sucesivos nmeros naturales1 hasta alrededor de diez vienen despus, y en general antes

que el uno. Para un adulto esto puede resultar extrao, pero parece ser que inicialmente es tan

evidente la individualizacin de los objetos aislados que es innecesario contarlos, y por tanto

darle un nmero (el uno) a su cantidad. La creacin de un nombre y un smbolo para expresar la

inexistencia de objetos es un asunto definitivamente ms complicado. Los nios no adquieren

rpidamente la idea del cero, que es la negacin de la existencia. La misma humanidad necesit

del smbolo muy tardamente en su desarrollo y su introduccin en nuestro mundo occidental

signific un inmenso avance en el desarrollo de la matemtica.

Los nios ms interesados pronto se preguntan cul es el nmero ms grande, los mejores

alumnos llegan a una idea puramente matemtica de infinito. Estos nios habrn dado un gran

salto en el aprendizaje de la matemtica y en desmitificar la disciplina.

He comentado, de esta manera un tanto atpica, para responder a la pregunta por dos razones:

Que la aplicacin de las leyes formales de las operaciones con los nmeros naturales es uno de

los mejores ejemplos del proceso matemtico de generalizacin. Que creo con muchos otros

que el buen conocimiento de los sistemas numricos (no slo de los nmeros naturales) es parte

necesaria del bagaje bsico de quien se dedique a la enseanza de la disciplina.

2. Aprovechar todas las facetas

Necesitamos un verdadero entendimiento generalizado del papel que la matemtica ha jugado y

juega en la sociedad en que vivimos. Tratamos de reivindicar el contenido cultural de la

matemtica y la presentacin de la matemtica como la profunda historia y creacin humana que

en realidad es. Los profesores deberan saber cmo se han formado las ideas matemticas para:

comprender las dificultades que la humanidad tuvo para elaborarlas;

relacionar unas ideas con otras, relaciones que muchas veces aparecen oscurecidas o

incomprensibles en su formulacin actual;

utilizar estos conocimientos como referencia en sus formas de ensear.

Por otra parte, los profesores de todos los niveles deberamos saber aprovechar las muchas

facetas de la disciplina, no slo para entusiasmar a nuestros alumnos sino para darle sus

autnticas dimensiones. Recapitularemos a continuacin algunas de esas facetas que se

agregan y complementan con los aspectos histricos y culturales antes anotados.

1.Es como un arte en que el enlace entre sus distintas partes y teoras, o entre proposiciones

aparentemente desligadas, as como la elegancia y limpidez de sus razonamientos, la brevedad y

elocuencia y, a veces, la sorpresa de sus resultados, son gratos al espritu, a nuestro modo de

pensar. Incluso estos aspectos muchas veces satisfacen nuestro sentido esttico.

2.Es un lenguaje preciso y eficaz. En realidad una de las razones principales para la existencia y

uso de la matemtica es la elaboracin de un lenguaje que permita resumir la presentacin de

otras ciencias y disciplinas. Ms an, el anlisis sistemtico u ordenado de muchos problemas

tcnicos o prcticos es frecuentemente imposible sin una buena presentacin matemtica, sin

hacer un modelo formal.

3.Es un eficaz instrumento para resolver cuestiones de la vida cotidiana o de la ms sofisticada

tecnologa. Debidamente formalizado un problema es resoluble utilizando herramientas

matemticas que van de la simple suma, si se trata de saber las deudas que tenemos, hasta

difciles procesos del clculo numrico si se quiere saber cun cerca pasar un cometa (hacemos

referencia a estos asuntos de clculo por no poder explicar aqu cuestiones relacionadas con

consecuencias derivadas directamente de teoras matemticas: mecnica cuntica, teora de la

relatividad, etctera).

4.Por ltimo, relacionados directamente con el primer aspecto tratado en esta enumeracin,

estn los temas vinculados con la investigacin matemtica. En la enseanza primaria y

secundaria esto lleva a destacar los aspectos ldicos, a ver los objetos matemticos en juegos,

que son tan importantes en la formacin general de los individuos y su intelecto. En la enseanza

ms avanzada se trata de expliar los desafos abiertos en algunas ramas o de sacar partido de

cuestiones relacionadas con los grandes problemas y conjeturas y hasta con la vida personal de

los matemticos (sabe usted por qu el seor Nobel no estableci uno de sus premios para la

matemtica?).

Los profesores debemos impregnar la didctica de la matemtica de estos contenidos

culturales, destacar la influencia de la matemtica en la formacin de los valores ms ricos de la

humanidad, de su profundo carcter histrico y evolutivo. No quepan dudas de que si ese espritu

caracteriza la enseanza, su aprendizaje se ver facilitado.

La matemtica es difcil (y prestigiosa)

La enseanza de la matemtica en todos los niveles se presenta como un problema no

resuelto. El nmero de estudiantes que no avanza en el ciclo escolar debido a sus fracasos con la

matemtica y el nmero de reprobados en la disciplina en los dems ciclos de aprendizaje son las

manifestaciones inmediatas de esa situacin. Ella est tan extendida que los profesores de

matemtica son vistos como los grandes verdugos del sistema educativo, como la verdadera traba

para el avance en los estudios secundarios o universitarios. Muchas veces el estudiante opta por

ciclos o carreras que no tienen la disciplina, aunque no tengan particular vocacin por el resultado

final de ellos.

El problema tiene causas y manifestaciones diferenciadas en distintas pocas y pases con

diversos grados de desarrollo econmico y cultural. No me referir aqu a estos aspectos.

El objeto de la matemtica es un tanto imperceptible. La abstraccin de las propiedades

cuantitativas o geomtricas que caracterizan a las primeras nociones estudiadas en los cursos de

matemtica constituye un proceso de complicada asimilacin. Pequeos errores en este proceso

hacen muy difcil la asimilacin de nuevos conceptos y procedimientos, lo que genera grandes

traumas futuros. Por otra parte la memorizacin de una nomenclatura diferente y muy precisa

introduce componentes que no son usuales en la vida diaria.

Sin embargo, esas mismas dificultades hacen que los que tienen facilidad para su aprendizaje

gocen de un respeto un tanto extrao y contradictorio. Se les (nos) ve como seres con algn

privilegio sobre los dems, y a la vez como bichos raros. Esto lleva algunas veces a situaciones

desagradables o dolorosas del siguiente tipo: tener que responder con los hombros levantados a

la pregunta: por qu si tu inteligencia te da para ser matemtico no te dedicas a algo que d ms

dinero?

Las dificultades para la enseanza y el aprendizaje de la disciplina no son de hoy. Desde los

primeros documentos escritos que se refieren a la enseanza se destaca la de la matemtica

como un modelo a imitar. En el prtico de la Academia de Platn estaba escrito: No entre quien no

sepa geometra.

Durante la Edad Media diversos teoremas de la misma rama eran denominados puente de

burros (pons asinorum), como una muestra de que eran pocos los que, habindose iniciado en la

disciplina, lograban salir adelante. La propia organizacin del conocimiento y sus estudios durante

la Edad Media renda culto a la importancia de la matemtica. Se dividan en trivium y quadrivium ,

tres y cuatro vas. La primera inclua las tres artes liberales relativas a la elocuencia: gramtica,

retrica y dialctica. La segunda al conjunto de las cuatro artes matemticas: aritmtica, geometra,

astronoma (astrologa?) y msica. De trivium , que era la parte fcil de los estudios, procede la

expresin trivial, que los matemticos gustamos tanto de usar y algunos dicen que es lo que

no recordamos cmo probar!

Incluso, hace unos cien aos se crea que en el receptculo de la inteligencia (digamos el

cerebro) haba una bolsa de la matemtica, de cuyo desarrollo dependa la facilidad para la

disciplina!

Las dificultades anotadas, que son socialmente percibidas y reconocidas, provocan una grave

consecuencia en los alumnos de los ciclos iniciales. El buen desempeo en matemtica es

considerado, en general, como una muestra de sabidura e inteligencia. Se ve a quienes tienen

facilidad para la matemtica como gente especial, con alguna dote extraordinaria: el saber

matemtico goza de prestigio. Esto se debe, por una parte, a que las dificultades de la disciplina

hacen que quien la sabe o la aprende con facilidad sea visto distinto, especialmente dotado; por

otra parte, los muchachos con particular facilidad para la matemtica tambin tienen, por lo

general, facilidad para conceptualizar en otras disciplinas, para continuar la concatenacin lgica

de razonamientos, hasta para encontrar similitudes en geografa, fsica...

Este prestigio a su vez genera en quienes tienen dificultades un rechazo a la matemtica. Se

sienten apabullados, pasan a ignorar la belleza, la coherencia y el ordenamiento de la disciplina, y

a rechazar todo tipo de formalizacin por su semejanza con la formalizacin matemtica. No es

infrecuente que estos estudiantes con dificultades sean ms retrados, sientan que no podrn

ocupar sitios importantes en su actividad u obtener ocupaciones destacadas y modernas. Se

considerarn humillados ante sus profesores de matemtica y, ms adelante, muchos de ellos

sern incapaces de tener el sustento mnimo para incorporar conocimientos matemticos o

meramente cuantitativos que les permitan avanzar normalmente en sus estudios.

Los profesores universitarios tenemos experiencias variadas que muestran que la dificultad

natural de los conocimientos tratados en nuestros cursos son frecuentemente un detalle en

relacin con las barreras psicolgicas y el desinters de nuestros alumnos. Elementos estos que

tienen su origen en las observaciones anteriores sobre el prestigio y los temores por el saber

matemtico.

Ingredientes bsicos

Querra insistir un poco ms en los aspectos de categorizar y generalizar, porque me parecen

los fundamentales desde el punto de vista de la maduracin y avance intelectual del nio.

Lo que estoy llamando categorizacin es una de las maneras en que se forman los conceptos.

ste es un paso claramente posterior a la percepcin de los objetos. Por esa razn se debe hacer

del aprendizaje de la matemtica una actividad constructiva y de razonamiento, de modo que el

alumno reconozca objetos concretos, y logre luego que los objetos matemticos adquieran su

significado. Esto contradice la idea de que los nios simplemente absorben.

En estos procesos de elaboracin de conceptos (matemticos) el nio debe abstraer (sacar de,

retirar, separar lo particular), debe discriminar (separar, distinguir), priorizar (determinar lo que es

primero o ms importante) y, como consecuencia, generalizar. Sin esta generalizacin no habr

formacin de conceptos. La abstraccin (discriminacin, priorizacin) y generalizacin que forman

parte de estas etapas iniciales (en realidad de todas las etapas de aprendizaje matemtico) son

esencialmente procesos psquicos, por lo que el nio debe pasar por s mismo de la percepcin a

la conceptualizacin.

Todos estos procesos no son exclusivos de la matemtica, pero se dan particularmente puros,

difanos, en esta disciplina. Por lo mismo es que adquieren particular relevancia en la buena

educacin general. Por ello mucho de lo que sigue se puede leer sustituyendo la palabra

matemtica por la denominacin de otra disciplina o concepto.

El aprendizaje se da en el momento en que la matemtica informal del nio (basada en

nociones intuitivas y procedimientos inventados para operar con aquellas nociones) se transforma

en algunas reglas formales que el maestro debe captar y resumir. Estos cambios se dan, en

general, de modo sbito y crean discontinuidades en el proceso de aprendizaje. Estas

discontinuidades son naturales e inevitables; los profesores deben estar preparados para ellas

pues constituyen el aprendizaje mismo de la disciplina. Pero, adems, para conseguir reales

avances, los alumnos deben disponer de herramientas que les permitan dar el salto, o sea,

establecer vnculos entre la matemtica informal y formal. Se propender a crear modelos de

situaciones o fenmenos conocidos que permitan simultneamente analizar lo intuitivo y

experimentar con el correlativo formal.

Deben abrirse etapas de reflexin sobre asuntos que los alumnos hayan pensado por s

mismos. El nio debe hacer una confrantacin activa de los puntos de semejanza entre los datos y

las ideas, entre lo intuitivo y lo formal. En esa confrontacin podr discriminar qu es lo esencial y

qu es lo accesorio del concepto sobre el que est avanzando: las concordancias se harn

compatibles con las diferencias. Esas similitudes sern integradas a un sistema y podrn ser

reconocidas en cualquier otro ejemplo.

Los conocimientos matemticos disponibles para el nio estn sujetos a constantes mejoras.

Hay asimilacin de nuevos conocimientos y acomodamiento de los existentes. Por ello se debe

aprender como un todo coherente y no como partes separadas. Esta capacidad de conexin

funciona en dos sentidos: cubriendo tanto relaciones entre ideas matemticas como la relacin

entre matemtica y mundo real. Hay que dar estructura a lo que se est aprendiendo. Se ha

llamado a esto entretejer los hilos del aprendizaje. Pero este entretejido no puede llevar a la

dispersin de los distintos componentes y la mezcla de conocimientos que responden a

necesidades diversas. Por ejemplo, considero equivocado fraccionar en unidades demasiado

pequeas la exposicin y discusin de aspectos de la geometra. Si se quiere estudiar el tringulo

no deberan darse un da la definicin, varias semanas despus las relaciones entre sus ngulos,

luego los distintos tipos, la importancia del concepto de altura o de baricentro. Creo mucho ms

productivo y superior desde el punto de vista de la disciplina (donde la memorizacin de conceptos

abstractos no es fcil) tratar los temas en bloques, aunque las experiencias del nio

circunstancialmente no los motiven directamente.

Como corolario de la observacin inmediatamente anterior, surge que las ideas matemticas

mismas pueden y deben a cierta altura constituir tema de estudio, aun en la escuela. No s

por qu a esto se le llama matematizacin vertical. La disciplina debe pasar a tener su vida

propia. Adems del ejemplo geomtrico ya dado, anoto la posibilidad de hacer el estudio de las

proporciones en forma de fracciones cuando se introduce la idea de porcentajes.

Fin

S que me he ido por diversas ramas de la respuesta a la pregunta original. He preferido no

cortarlas. Me ha parecido mejor responder no slo para qu ensear matemtica en la escuela.

Escrib tambin algo sobre qu ensear y cmo ensear. Me parece fundamental que los nios se

impregnen de matemtica en la escuela, que se interioricen con sus aspectos formales y

abstractos. sta es la nica manera que les ser til, en el sentido ms aplicado de la palabra. Y

los profesores debemos asumir el desafo y el compromiso de colaborar para que esa

impregnacin se haga bien.

1 Se admite generalmente que los nmeros que ms usamos en nuestra vida

diaria: 1, 2, 3..., tienen existencia natural enteramente independiente del hombre. No

caben dudas de que estos nmeros, relacionados con el conteo, son los primeros que la

especie humana en su conjunto, y cada humano en particular, hemos aprendido a usar.

Dios cre los nmeros naturales; todo lo dems es obra del hombre.