PARCELADOR GRADO SÉPTIMO

RAZONES Y PROPORCIONES

1. RAZONES

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.

Serie de razones iguales

Una serie de razones iguales es la igualdad entre dos o más razones:

Propiedades fundamentales de las series de razones iguales:

En toda serie de razones iguales, cada razón es igual a la razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes, así:

EJEMPLOS:

 PROPORCIONES.

Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:

a/b=c/d o a:b::c:d

Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.

PROPIEDADES.

A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a×d=b×c

por ejemplo, en la proporción se comple que 2 x 15= 6 x 5

Ejemplos

Hallar el valor de y en la proporción Se realizan los siguientes pasos:

Por tanto, el valor de y es 50.

Propiedades de las proporciones

Además de la propiedad fundamental de las proporciones, en una proporción se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedades

1. Los medios o los extremos se pueden intercambiar y el

resultado sigue siendo una proporción.

2. La suma o la resta de los antecedentes es a la suma o a la resta de los consecuentes, como cada antecedente es a su consecuente.

3. La suma o la resta de los términos de la primera razón es al primer consecuente como la suma o la resta de los términos de la segunda razón es al segundo consecuente.

4. la suma de los términos de la primera razón es a la primera razón como la suma de los términos de la segunda razón es a la difere nciade los términos de la segunda razón.

Ejemplos:

calcular el valor de X y de Y en la proporción , teniendo en cuenta que X + Y = 12 Se realiza los siguientes pasos:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

En muchas situaciones cotidianas y en fenómenos que ocurren en otras áreas, se relacionan dos o más magnitudes de tal forma que una depende de la otra. Por

ejemplo, el costo de producción depende de la cantidad de artículos que se produzcan y la distancia que recorre un móvil depende del tiempo.

Una magnitud es una cualidad de un objeto a la cual se le puede asignar una medida

Por tanto, la distancia, la masa, el tiempo, entre otras, son magnitudes.

Para representar la relación de dependencia entre dos magnitudes de utiliza la tabla de datos y la representación gráfica.

Por ejemplo, la relación entre la cantidad de gaseosas y el precio en pesos que se debe pagar por ellas, se puede representar en una tabla y en una gráfica así:

Magnitudes directamente correlacionadas

Dos magnitudes están directamente correlacionadas si están relacionadas y al aumentar una de ellas la otra también aumentan o, al disminuir una de ellas, la otra también disminuye.

Por ejemplo, la medida del lado de un cuadrado y su área están directamente correlacionadas, porque al aumentar el área y al disminuir la medida del lado el área disminuye.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes están directamente proporcionales, cuando al comparar las medidas que se corresponden entre dichas magnitudes se obtiene una razón constante, la cual se denomina constante de proporcionalidad.

Propiedades de las magnitudes directamente proporcionales

Si A y B son magnitudes directamente proporcionales tales que P y q son medidas de la magnitud A que corresponden a la medidas r y s de la magnitud B, respectivamente, entonces cumple que:

Esta relación se denomina propiedad fundamental de las magnitudes directamente proporcional.

Gráfico de proporcionalidad directa

El gráfico correspondiente a una relación de proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el punto de origen de un sistema de coordenadas cartesianas.

En una función de prorcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra también aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra disminuye en un mismo factor.

Ejemplo:

Juan ha utilizado 20 huevos para hacer 4 tortillas iguales. ¿Cuántos huevos necesita para hacer 6 tortillas? ¿Y para hacer 2? 

Grafica los resultados hasta 6 tortillas.

Como puedes ver, el gráfico es una línea recta que pasa por el origen. Además si nos fijamos en la tabla, nos podemos dar cuenta que el cociente (división) entre las dos magnitudes (y / x) es constante. En este caso el valor de la constante de proporcionalidad es 5.

Proporcionalidad inversa

Dos variables (una independiente x y la otra dependiente y) son inversamente proporcionales si el producto entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante

(x • y = k )

Además, en una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un mismo factor.

 Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma:

y = k / x

Donde:y : variable dependiente.x: variable independiente.k : constante de proporcionalidad.Ejemplos:Indica si las variables son inversamente proporcionales. a) El número de albañiles y el tiempo empleado en hacer el mismo edificio.Respuesta: Son inversamente proporcionales, ya que con el doble, triple... número de albañiles se tardará la mitad, tercera parte  de tiempo en construir el mismo edificio.b) La velocidad de un auto y el trayecto recorrido en el mismo tiempo.Respuesta: No es inversa ya que a tiempo constante, con el doble o el triple... de la velocidad, el auto recorrerá el doble, triple... de espacio. c) La velocidad de un auto y el tiempo empleado en recorrrer el mismo trayecto.Respuesta: Son inversamente proporcionales, ya que, a espacio constante, con el doble, triple... velocidad, el auto tardará la mitad, tercera parte... de tiempo en recorrerlo. Gráfico de proporcionalidad inversaLa representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva, llamada hipérbola.

Para recordar

Primero, se verifica que las magnitudes sean directamente proporcional. Para esto, se establece la razón entre cada medida de la primera magnitud y su correspondiente medida de la segunda magnitud.

Luego, la constancia de proporcionalidad es k = 20

Finalmente, se tiene que de donde A = 20B, es la ecuación que relaciona ambas magnitudes.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.

Ejemplo

Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar la tapia, como el número de pintores se multiplica por 2, el número de días que se emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5 días.

Regla de Tres Simple Directa e Inversa - Problemas Resueltos

Regla De Tres: Es el procedimiento operativo que resulta de comparar dos o más magnitudes proporcionales.

- Cuando se comparan dos magnitudes se denomina Regla de Tres Simple y puede ser directa o inversa.

- Cuando se comparan tres o más magnitudes se denomina Regla de Tres Compuesta.      Regla de Tres Simple Directa 

Es la regla que se establece entre tres cantidades, para hallar una cuarta cantidad(incógnita). Las cuatro cantidades deben corresponder a dos magnitudes directamente proporcionales.

Vamos a ver y resolver un ejemplo:

Sabemos que por cada 100 gramos de harina hay que echar 10 gramos de cacao.

Podemos aumentar o disminuir las cantidades, pero si queremos seguir la receta, estas cantidades deben guardar una proporción.Pensamos: si echásemos el doble de harina de lo que dice la receta, tendríamos que duplicar también la cantidad de cacao. Y si echásemos el triple de harina de lo que dice la receta, también habría que triplicar la cantidad de cacao.

Es decir, si la cantidad de harina crece, también debe crecer proporcionalmente la cantidad de cacao. En este problema, la harina y el cacao son cantidades directamente proporcionales.

¿Cómo podemos resolver este problema?

Organizamos los datos en una tabla:

Ahora podemos resolver este problema aplicando una regla de tres simple directa:

Regla de tres simple inversa

La regla de tres simple inversa se utiliza cuando el problema trata de dos magnitudes inversamente proporcionales. Podemos decir que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra se divide por el mismo, y viceversa.Para resolver una regla de tres simple inversa debemos seguir la siguiente fórmula:

Vamos a ver y resolver un ejemplo:

Sabemos que si funcionan 2 casetas, se forman 30 kilómetros de cola en cada una. Pero, si hubiese abiertas el doble de casetas, y teniendo en cuenta que

habría la misma cantidad de coches en el peaje, ¿habría más o menos coches por cada caseta? Habría menos coches, porque se repartirían entre más casetas.

Es decir, si aumenta el número de casetas, disminuye la longitud de la cola de coches, y viceversa: si hubiese el doble de casetas habría la mitad de cola, y si hubiese la mitad de casetas, habría el doble de cola. Vemos que estas cantidades son inversamente proporcionales.

¿Cómo podemos resolver este problema?

Organizamos los datos en una tabla:

Ahora podemos resolver este problema aplicando una regla de tres simples inversas:

Regla de Tres Compuesta Directa e InversaLa regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir  tres casos de regla de tres compuesta:

Regla de tres compuesta directa

Ejemplos

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

A más grifos, más euros   Directa.

A más horas, más euros   Directa.

9 grifos    10 horas   20 €

15 grifos   12 horas       x €

Regla de tres compuesta inversa

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

A menos obreros, más días  Inversa.

A más horas, menos días  Inversa.

5 obreros    6 horas   2 días

4 obreros   7 horas       x días

Regla de tres compuesta mixta

Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

A más obreros, menos días  Inversa.

A más horas, menos días  Inversa.

A más metros, más días   Directa.

8 obreros      9 días   6 horas   30 m

10 obreros   x días   8 horas   50 m

Porcentaje

En nuestra vida cotidiana podemos encontrar varios ejemplos de datos entregados en porcentajes, por ejemplo: "el 40% de la población votó por tal candidato, o "hay un 30% de rebaja en moda de invierno", ahora la pregunta es: ¿cómo podemos calcular esos porcentajes?

Cuando hablamos de porcentajes estamos aludiendo a la frase "por ciento", es decir, si hablamos de 40% de algo, queremos decir, que de cada 100, consideramos 40.

Te explicaremos el cálculo con un ejemplo, y luego haremos una generalización para todos los casos. 

Supongamos que viajarás al sur de Chile en verano y quieres comprar zapatos de la temporada pasada. Buscando en las tiendas, te das cuenta que todos los productos de invierno tienen una rebaja de un 20% (es decir, se resta un 20% del precio que aparece en la etiqueta). En la etiqueta de los zapatos que te gustaron aparece: $32.000. 

Quieres saber cuánto se descontará del precio de los zapatos, si la rebaja es de un 20%.

Ya sabemos que al decir "20%", estamos diciendo que consideramos "20 de cada 100", por lo que, por cada $100 que cuesten los zapatos, consideraremos $20. Nos preguntamos ahora: "¿cuántas veces $100 corresponden a $32.000?". Entonces debemos hacer una división:

32.000 : 100 = 320, así que, "$32.000 es 320 veces $100"Recuerda que por cada $100 consideramos $20, así que, como $32.000 es 320 veces $100, debemos considerar 320 veces $20. Entonces haremos una multiplicación:20 X 320 = 6.400, así que, el descuento que se hará por los zapatos es de $6.400.En resumen, lo que hicimos fue dividir 32.000 por 100 y multiplicar el resultado por 20, esto es lo mismo que multiplicar 32.000 por la fracción 20/100.

Ahora veamos qué sucede en general: Cuando quieres calcular el a% (con un a cualquiera) de un valor x cualquiera, debes multiplicar x por la fracción a/100.

Prueba con calcular el 50% de algunos valores, ¿qué puedes concluir?, ¿y si calculas el 10%?

Ejemplo:

Calcular el total, dada una cantidad que corresponde a un porcentaje de él.

Ejemplo:   Si el 20 % de una cierta cantidad total es 120 ¿Cuál es el total?

 

Cantidad

Porcentaje

x 100

120 20

 

Para resolverlo, se hace:

Resolvemos la incógnita  (x):

Haciendo la operación, queda:

Simplificando, queda: 

 

Respuesta: 120 es el 20 % de un total de 600.