Parcial de Analisis 3

FIUBA. Análisis Matemático II. [Fernando Acero ] Una resolución del examen parcial del sábado 07 de mayo de 2011

[Fernando Acero ] p. 1 de 3

Ejercicio 1. Describir el conjunto de puntos de discontinuidad del campo escalar 𝑓:ℝ2 → ℝ en coordenadas polares, siendo

𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 − 𝑦, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3𝑦

2, 𝑠𝑖 𝑥 = 3𝑦

El conjunto de A = { 𝑥,𝑦 ∈ ℝ2:𝑥 ≠ 3𝑦} es abierto1, de modo que, siendo todos sus puntos interiores, para cualquier punto P en A existe un entorno E(P) en el que la función está definida

como el polinomio q(x, y) = x2 3y, y por lo tanto

es allí continua2. Sea ahora un punto cualquiera de

la recta de ecuación 𝑥 = 3𝑦, esto es Pa = (3 a,

a), con aℝ. Se tiene que el límite lim𝑃→𝑃𝑎𝑓(𝑥, 𝑦)

es 3a2 a si la aproximación es por A, mientras que

es 2, si lo es por la recta. El límite, de existir, debe

cumplir la ecuación 3a2 a = 2, de donde o bien es

a = 1, o bien es a = 2/3. En cualquiera de estos dos casos es lim𝑃→𝑃𝑎

𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 = 𝑓(𝑃𝑎),

resultando entonces continua en los puntos P1 =

(3, 1), P2 = (23/3, 2/3). El conjunto de puntos de discontinuidad de la función es, en

coordenadas cartesianas Dxy = {(x, y) ℝ2: x = 3 y, con y 1, y 2/3}. Lo mismo, escrito en coordenadas polares (r,), donde x =

r cos(), y = r sin(), e el conjunto Dr = {(r, )ℝ+o [0, 2): = /6 y r2, o bien = 7/6 y r4/3}.

La figura muestra el gráfico de f, con el cilindro azul cortando sólo en los puntos de continuidad (marcados en rojo) a la recta verde (¿qué es?). Ejercicio 2. Sea el campo vectorial C2(ℝ2) dado por 𝑔 :ℝ2 → ℝ2𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑥, 𝑦 = (𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)), con P1 = 𝑔 1, 2 = (−1, 2) y

cuya matriz jacobiana es 𝐽𝑔 (𝑥, 𝑦) = 𝑥2 2𝑦−𝑥 −𝑦

, y sea 𝑓:ℝ2 → ℝ tal que f (x, y) = {[u(x, y)]2 + 2v(x, y)}2. Hallar la derivada

direccional del campo escalar f en el punto P0 = (1, 2), en la dirección del vectorw = (1, 2).

Definiendo el campo escalar h: ℝ2 → ℝ2 tal que h(u, v) ≝ [u2 + 2v]2 = u4 + 4u2v + 4v2), es claro que h es C(ℝ2), y también que

𝑓 = 𝑕 ∘ 𝑔 es C2(ℝ2), dado que es la composición de una función C2(ℝ2) con una C(ℝ2)3, y por lo tanto f es un campo escalar

diferenciable, para el que la derivada direccional de f en el punto P0 en la dirección del vectorw puede obtenerse directamente

mediante la expresión 𝐷𝑓 𝑃0 ,𝑤 = ∇ 𝑓 𝑃0 ⋅ 𝑤 , siendo 𝑤 =1

5(1, 2). Dado que la jacobiana del campo escalar h es Jh(u, v) = (4u3

+ 8uv 4u2 + 8v), en particular es Jh(P1) = ( 20, 20), para el cálculo del gradiente de f en P0 basta aplicar la regla de la cadena, esto

es 𝐽𝑓 𝑃0 = 𝐽𝑕(𝑃1) 𝐽𝑔 𝑃0 = −20 20 1 4−1 2

= (−40 − 120). Ahora entonces sólo resta hacer el producto escalar del

gradiente, 𝐷𝑓 𝑃0 ,𝑤 = ∇ 𝑓 𝑃0 ⋅ 𝑤 = −40, −120 ⋅1

5 1, 2 = −56 5

Ejercicio 3. Sea S la superficie parametrizada porT: ℝ2→ℝ

3 tal queT(u, v) = (u + v

2, 3uv, 2u + v

2), y sea C la curva dada por C =

{(x, y, z) ℝ3: x

2 + z

2 = a

2, 2xz + y

2 + 2y = 3, a 0, |a|}. Hallar, en tanto exista, un valor de a tal que la recta tangente a la curva C

en el punto P0 = (0, 1, a) sea paralela a la recta normal a la superficie S en el punto P1 = (1/36, 1/6, 1/36).

El punto P1 de la superficie4 S es tal que P1 =T(0, 1/6); las curvas1: ℝ→ℝ3 tal que1(v) ≝T(0, v) = (v2, v, v2) y2: ℝ→ℝ3 tal

que2(u) ≝T(u, 1/6) = (u + 1/36, 3u + 1/36, 3u + 1/36) están contenidas en la superficie S, y entonces sus velocidades se

hallan contenidas en el plano tangente a S en P1, esto es los vectoresTu(0, 1/6) = (1, 3, 2),Tv(0, 1/6) = (1/3, 1, 1/3) son

tales que su producto vectorialTu(0, 1/6) Tv(0, 1/6) = (1, 1/3, 0) es normal a S en P1. De esta manera, sabemos que la recta

normal a S en P1 tiene por ecuación X = P1 + w1, ℝ, conw1 = (3, 1, 0). Ahora, la curva C es la intersección de dos superficies

S1 y S2 que son el conjunto de nivel cero de sendos campos escalares C(ℝ3)5 dados por f1: ℝ3 →ℝ tal que f1(x, y, z) ≝ x2 + z2 a2,

f2: ℝ3 →ℝ tal que f2(x, y, z) ≝ 2xz + y2 + 2y 3, y por lo tanto en P0 la superficie S1 es normal af1(P0) = (0, 0, 2a), mientras que

en P0 la superficie S2 es normal af2(P0) = (2a, 4, 0). Dado que la curva C en está contenida en S1 y en S2, un vector tangente en

P0 pertenece al plano tangente de ambas en ese punto, debiendo entonces ser normal tanto alf1(P0) como alf2(P0), esto es

1 ¿Por qué? ¡Es un buen ejercicio probar esta afirmación, utilizando solamente la definición de conjunto abierto!

2 Se sobrentiende sabido que los polinomios son funciones infinitamente suaves en todos los puntos de su dominio.

3 Lo que fundamenta esta afirmación es, por supuesto, la regla de la cadena: ¿por qué?

4 Descubrir la naturaleza de la superficie S es un buen ejercicio, que además brinda una alternativa de resolución: necesitará un poco de álgebra lineal para

hacerlo (forma canónica de formas cuadráticas, diagonalización de matrices simétricas, clasificación de cuádricas degeneradas). 5 ¡Son polinomios!



debe ser paralelo af1(P0) f2(P0) = (8a, 4a2, 0)6, por lo que podemos escribir la ecuación de la recta tangente a C en P0 como

X = P0 + w0, ℝ, conw0 = (2, a, 0).

Finalmente, las dos rectas son paralelas siiw1 yw0 son tales quew1 w0 = (0, 0, 3a + 2) = (0, 0, 0), esto es sii a = 2/3, que es un número no nulo: luego existe el valor de a = 2/3 (y es único) que satisface lo pedido. En las figuras pueden observarse las superficies S1 (el cilindro azul) y S2 (el hiperboloide), la curva C intersección (la curva roja) entre ambas y el punto P0 (el punto verde). Observación 1: como alternativa al producto

vectorialTu(0, 1/6) Tv(0, 1/6), sin demasiado esfuerzo puede verse también a la superficie S

parametrizada porT como el conjunto de nivel cero

del campo escalar : ℝ3 →ℝ tal que (x, y, z) ≝ (3x+y3z)

2 2x + z, y entonces obtener un vector normal a S en P1

mediante(P1) = (1, 1/3, 0).

Ejercicio 4. Probar que la ecuación eyz

+ xz + 2z x2 + 3

= 0 define implícitamente la función z = f(x, y) en un entorno del punto P0 = (1, 0), y hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de f en el punto P1 =(1, 0, z0)

Si : ℝ3 →ℝ tal que (x, y, z) ≝ e

yz + xz + 2z x

2 + 3, se

ve que es C(ℝ3), y que su conjunto de nivel cero es la

superficie S = C0() definida por la ecuación dada.

Como P1S, 1 + z0 + 2z0 1 + 3 = 0, de modo que z0 =1,

esto es P1 = (1, 0, 1) satisface (P1) = 0, y también es

x(P1) = 3, y(P1) = 1, z(P1) = 3 0. La última condición junto a la

regularidad de , con el añadido de (P1) = 0 completan las condiciones suficientes del teorema de Cauchy-Dini para asegurar la existencia de z = f(x, y) en un entorno de P0 que llamamos E(P0); de este campo escalar

f: E(P0)→ℝ podemos asegurar que es C(E(P0)), que para todo punto (x,

y)E(P0): (x, y, f(x, y)) = 0. La ecuación del plano tangente a S en P1

puede obtenerse sabiendo que es ortogonal al vector(P1) = (3, 1,

3), esto es que su ecuación es (X P1) (P1) = 0, o bien (x1, y, z+1)

(3, 1, 3) = 0, de donde resulta la ecuación 3x +y 3z = 6. La figura ilustra el aspecto de la superficie S (azul) en las proximidades del punto P1, y un pequeño rectángulo (amarillo) centrado en el punto P1 que está contenido en el plano tangente cuya ecuación hemos calculado. Ejercicio 5. (a). Definir máximo absoluto para un campo escalar definido en un subconjunto abierto de ℝ2. (b) Determinar los

extremos del campo escalar f: ℝ+ ℝ

+ → ℝ tal que f(x, y) = x + 8y + x

1y

1; clasificarlos.

Dada f: Df ℝn → ℝ, P0Df abierto, f(P0) es el máximo absoluto de f en Df sii para todo PDf es f(P) ≤ f(P0)

7. El campo escalar,

definido en un abierto, es claro que es C( ℝ+ ℝ+), de modo que si alcanza un extremo en un punto P0, debe ser

necesariamentef(P0) = (0, 0). Planteando entoncesf(x, y) = (1 x 2y

1, 8 x

1y

2) = (0, 0) resulta la única solución P0 = (2, ¼),

siendo entonces f(P0) = 2 + 4 + 2 = 8. Como fxx(x, y) = 2 x3 y1, fyy(x, y) = 2 x1 y3, fxy(x, y) = fyx(x, y) = x2 y2, se tiene que las

derivadas segundas de f en P0 son fxx(P0) = 1, fyy(P0) = 64, fxy(P0) = fyx(P0) = 4, luego la matriz hessiana de f en el punto P0 es

𝐻𝑓(𝑃0 ) = −1 −4−4 −64

, cuyo determinante es det (Hf (P0)) = 48 >0, y además es fxx(P0) = 1 <0, lo que indica que la matriz hessiana

es definida negativa, y entonces el campo escalar f alcanza en P0 (2, ¼) el máximo local f(P0) =8. En este ejercicio se supone conocido el resultado de que si un campo escalar alcanza un extremo en un punto donde es diferenciable, entonces su vector gradiente es allí nulo, y que si es de clase C2 en ese punto y su matriz hessiana es allí definida negativa entonces alcanza en ese punto un máximo (local, claro).

6 Como se sabe que a ≠ 0, este vector es no nulo, por lo que la curva C es regular en el punto P0.

7 He encontrado, en la corrección del examen, una cantidad asombrosa de malas definiciones (unas sesenta malas contra unas quince buenas). Lo de ‘malas’ es

sólo un nombre para algo que no es en absoluto una definición del objeto. Por añadidura, he encontrado definiciones que sólo designan un caso imposible,

definiendo así un conjunto vacío: por ejemplo, una ‘definición’ decía lo mismo que la aquí escrita, sólo que en lugar de ‘≤’, se leía ‘<’, lo que equivale a decir que ningún campo escalar puede tener un máximo absoluto ¿por qué?



Observación final. Los elementos teóricos esenciales involucrados en este examen se hallan en los libros de texto recomendados en la bibliografía. Sólo a modo de ejemplo, podemos señalar la conveniencia de leer cómo se definen los objetos más gruesos: definiciones de extremos puede verse en (Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo 1968, 201 ss.), con una discusión de los términos usados en distintos textos (y ver cómo qué cuidados debe ponerse en la precisión de los términos). Tal vez conviniera un vistazo a (Santaló 1993, 53-72) para revisar las nociones más elementales de geometría en el espacio. En (Apostol 1980, 302-344) se encuentra lo básico de límite, continuidad y derivadas. La regla de la cadena de modo claro, sencillo y completo en (Lang, Cálculo II 1976, 72-82) y de modo más profundo en (Lang, Introducción al Análisis Matemático 1990, 282-290). Para el teorema de la función implícita, puede verse cualquiera de los textos anteriores, o también la muy accesible presentación de (Marsden y Tromba 1991, §4.4, 280-289). Las notas de clases nunca estarán a la altura de estos textos, por lo que es imprescindible que tengan contacto (intelectual!) con ellos. Apostol, Tom. Calculus volumen 2. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Segunda edición en castellano [Original: Calculus II, Multi-variable calculus and linear algebra. with applications to differential equations and probabilty]. Traducido por Francisco Vélez Cantarell. Vol. II. 2 vols. Barcelona: Reverté, 1980. Lang, Serge. Cálculo II. Primera edición. Traducido por Hugo Pereyra. México D. F.: Fondo educativo interamericano, 1976. —. Introducción al Análisis Matemático. Primera edición. [Original 1968, Undergrauate Analysis]. Traducido por Manuel López Mateos y Mario. Muñoz Mella. Wimington, Delaware.: Addison Wesley Iberoamericana., 1990. Marsden, Jerrold E., y Anthony, J. Tromba. Cálculo Vectorial. Cuarta edición en español del original Vector Calculus, Third Edition. Traducido por Manuel López Mateos y Sergio Adarve. Wilmington, Delaware, EUA.: Addison-Wesley Iberoamericana, 1991. Rey Pastor, Julio, Pedro Pi Calleja, y César Trejo. Análisis Matemático II. Cálculo infinitesimal de varias variables. Aplicaciones. Séptima edición. Vol. II. III vols. Buenos Aires: Kapelusz, 1968. Santaló, Luis. Vectores y tensores con sus aplicaciones. Décimocuarta edición. Buenos Aires: Eudeba, 1993.

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