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UNIVERSIDAD DE LIMAPROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALESASIGNATURA:
MATEMTICA APLICADA A LOS NEGOCIOSCICLO: 2015-0
UNA SOLUCIN DEL EXAMEN PARCIAL
1. (4 puntos) Halle el valor de A para que la funcin
f (x) =
x2 + 7 x
x+ 1 13
4x2 4 33x 1 1 , x 6= 3
A , x = 3
sea continua en x = 3.
Solucin 1. Veamos si se verifica la condicin de continuidad en x
= 3.
X f (3) = A.
X limx3
f (x) = limx3
x2 + 7 x
x+ 1 13
4x2 4 33x 1 1
(indeterminacin de la forma
00
).
Aplicando la Regla de LHpital obtenemos
limx3
x2 + 7 x
x+ 1 13
4x2 4 33x 1 1 = limx3
xx2 + 7
1(x+ 1)2
2x 43 (3x 1)23 (3)
=1180
.
X Por lo tanto, f es continua en x = 3 siempre que A = 1180
.
2. (4 puntos) Una empresa estima que si se demandan x unidades
de su producto, elprecio unitario de venta en dlares ser de p =
100100x x2, y que la funcincosto total en dlares ser
C (x) = 64x+x3
90 x
100x x2 .
(a) Halle la funcin utilidad de esta empresa.
(b) Halle la utilidad marginal cuando la demanda sea de 30
unidades e interpreteel resultado.
1
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Solucin 2. (a) Funcin utilidad
U (x) =(
100
100x x2)x
(64x+
x3
90 x
100x x2)
U (x) = 36x x3
90
(b) Utilidad marginal
Umg (x) = 36 x2
30,
entonces Umg (30) = 6. Esto quiere decir que la utilidad que
genera la ventade la 31a unidad del producto es de $6,
aproximadamente.
3. (3 puntos) Determine la ecuacin de la recta tangente a la
curva
5x2 2xy3 + y2
2 54 = 0
en el punto (2,2) .
Solucin 3. Hallemos y derivando implcitamente
10x 2y3 6xy2y + yy = 0
Reemplazando x = 2 e y = 2 obtenemos y = 1825
. Por lo tanto, la ecuacin de larecta tangente al grfico de la
curva en el punto (2,2) es:
LT : y+ 2 = 1825 (x 2) .
4. (4 puntos) Calcule el siguiente lmite
limx+
(x 2
x2 + 3x+ 5
).
Solucin 4. El lmitelim
x+
(x 2
x2 + 3x+ 5
)tiene una indeterminacin de la forma . Para levantar la
indeterminacin,racionalicemos:
limx+
(x 2
x2 + 3x+ 5
)= lim
x+
(x 2
x2 + 3x+ 5
) (x 2 +x2 + 3x+ 5)(x 2 +x2 + 3x+ 5
)
2
-
limx+
(x 2
x2 + 3x+ 5
)= lim
x+(x 2)2 (x2 + 3x+ 5)x 2 +x2 + 3x+ 5
= limx+
7x 1x 2 +x2 + 3x+ 5 = limx+
7x 12x+ ...
= 72
.
5. (5 puntos) De acuerdo a algunos estudios realizados, la
poblacin de vicuas enun parque nacional, t aos despus del 1 de
enero de 2010, se estima en P (t) =
2 +30t+ 6t+ 3
miles de vicuas.
(a) Cul fue la poblacin de vicuas el 1 de enero de 2015?
(b) A qu ritmo creca la problacin de vicuas el 1 de enero de
2015?
(c) Con la informacin obtenida en la pregunta anterior, estime
la poblacin devicuas que tendr este parque el 1 de enero de
2016.
(d) Cunto crecer realmente la poblacin de vicuas durante el ao
2015?
Solucin 5. (a) P (5) = 21, 5. La poblacin de vicuas el 1 de
enero de 2015 fue de 21500vicuas aproximadamente
(b) P (t) =30 (t+ 3) (30t+ 6)
(t+ 3)2=
84
(t+ 3)2. Entonces P (5) =
8464
= 1, 312 5.
Esto quiere decir que el 1 de enero de 2015 la poblacin
aumentaba a raznde 1312 vicuas por ao.
(c) Con la informacin anterior, concluimos que el 1 de enero de
2016 la poblacinde vicuas en este parque nacional ser de 21500+
1312 = 22812 aproximada-mente.
(d) P (6) P (5) = 22, 667 21, 5 = 1, 167. Durante el ao 2015, el
crecimientoreal de la poblacin de vicuas fue de 1167
ejemplares.
Los profesores de la asignatura
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