Primer Parcial

Algebra Lineal

Javier Elizondo

I. Sean V = M22(F ),

W1 =

{(a b

c a

) V

a, b, c F}

y W2 =

{(0 a

a b

) V

a, b F}.

Probar que W1, W2 son subespacios de V , y encuentre la dimensiones de W1, W2,

W1 +W2 y W1 W2.

Solucion: Para demostrar que W1 es un espacio vectorial es suficiente probar que la

suma de dos elementos deW1 esta enW1, y que el producto de un escalar por un elemen-

to en W1 esta en W1. Similarmente con W2. Sean v =

{(a b

c a

)}y w =

{(d e

f d

)}

elementos de W1. Entonces, la suma es de la forma w + v =

{(a+ d b+ e

f + c a+ d

)}, que

claramente esta en W1 ya que los elementos de la diagonal son iguales. Ahora bien,

un elemento de la interseccion se obtiene igualando dos matrices, una en W1 y otra en

W2 as tenemos que un elemento de la interseccion esta dado por la igualdad siguiente(a b

c a

)=

(0 d

d e

). Entonces, la solucion es de la forma a = 0, b = d, c = d, a = e

Es decir W1 W2 =

{(0 b

b 0

) b R}. Por lo tanto, dim(W1 W2) = 1. Ahora

bien, es claro que la dimension de W1 es 3 y la dimension de W2 es igual a 2. Por lo

tanto, dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 dim(W1 W2) = 3 + 2 1 = 4.

II. Encuentre una base para el siguiente subespacio de F 5

V2 = {(a1, a2, a3, a4.a5) F5 | a2 = a3 = a4 y a1 + a5 = 0}.

Solucion: Solo hay que observar que si fijamos el valor de a1 y de a2 las demas coor-

denadas quedan determinadas. Es decir, la dimension del espacio V2 es igual a 2, y una

base queda dada por a1 = 0, a2 = 1 y a1 = 1, a2 = 0. Es decir v1 = (0, 1, 1, 1, 0) y

v2 = (1, 0, 0, 0, 1) es una base para V2. Claramente este conjunto es linealmente inde-

pendiente y genera a V2.

III. Construya tres subespacios vectoriales M , N1 y N2 de un espacio vectorial V tal que

MN1 = MN2 = V peroN1 6= N2. Cual es el significado geometrico que corresponde

a esta situacion?

Solucion: Sea V = R2, yM = {(1, 0) | R}. Consideremos N1 = {(0, 1) | R}

y N2 = { (1, 1) | R}. Es facil probar queMN1 = MN2 = V . Geometricamente,

lo que estamos considerando es la descomposicion de R2 como la suma del eje x y el

eje y, por un lado, y por otro, la suma del eje x y de la recta y = x.

IV. Sean x, y, u y v vectores en R4. Sean M y N subespacios generados por {x, y} y

{u, v} respectivamente. Diga si R4 = M N , donde x = (1, 1, 1, 0), y = (0, 1,1, 1),

u = (1, 0, 0, 0), v = (0, 0, 0, 1, ).

Solucion: Primero observemos que M = {(, + , , ) |, R} y N =

{(, 0, 0, ) | , R}. As que un vector esta en M N si y solo si el vector satisface

que = y = , por lo tanto, = = 0, esto implica que = = 0 = = .

Es decir, M N = {(0, 0, 0, 0)}. Por lo tanto, R4 = M N.