Parcial II (01-2010)1. En la figura No. XXX se muestra la seccin transversal de un colector de alcantarillado combinado, concebido para conducir y evacuar aguas residuales y pluviales. Dicho colector tiene una pendiente longitudinal, y esta construido de tres materiales diferentes, cuyos respectivos coeficientes de rugosidad son ;y . Para un caudal de , se pide calcular la profundidad normal del flujo, empleando la ecuacin de Lotter. Solucin.Datos.

Figura XXX Seccin transversal compuesta de alcantarillado combinado.Para conocer la profundidad normal bajo las condiciones enunciadas anteriormente, se puede probar en que parte de la seccin combinada se encuentra. Esto se hace hallando el caudal cuando la profundidad normal es igual a 0,25m; es decir, cuando solo se encuentra lleno el semicrculo inferior. Si este caudal es mayor que el enunciado, se debe refinar los clculos para la profundidad exacta, de lo contrario se hallara el caudal cuando la profundidad normal es de 1,75m; es decir, cuando est lleno el semicrculo inferior y el rectngulo interno. Es bueno recordar que en esta situacin la rugosidad de Manning es una rugosidad equivalente de la seccin compuesta la ecuacin de Lotter. Si el caudal obtenido anteriormente es mayor que el enunciado, se debe refinar el anlisis y hallar la profundidad normal exactamente, de lo contrario la profundidad normal se encuentra en el semicrculo superior. En este punto se debe hallar la profundidad normal de forma exacta en el semicrculo superior.a) Cuando En este punto se trabaja como una seccin circular con y

Recordando las ecuaciones de las propiedades geomtricas de la seccin circular, tenemos:

Reemplazando las ecuaciones anteriores en la ecuacin de Manning, obtenernos el caudal que puede circular por el semicrculo. Recordemos que en este caso

Como el caudal obtenido en el semicrculo inferior es menor que el enunciado, la profundidad normal no se encuentra en esta seccin.b) Cuando En este punto es necesario considerar el rea y permetro como la suma del rea y permetro del semicrculo inferior y del rectngulo interior y una rugosidad equivalente.

Hallamos el rea y el permetro de la seccin compuesta. A la seccin del semicrculo inferior y la seccin del rectngulo, las llamaremos seccin 1 y 2, respectivamente.

Hallamos la rugosidad equivalente segn la ecuacin de Lotter.

Con los datos obtenidos hallamos el caudal con la ecuacin de Manning.

Como el caudal obtenido en la seccin compuesta es menor que el enunciado, la profundidad normal no se encuentra en esta seccin.c) Cuando Podemos apreciar la figura compuesta que vamos a desarrollar:

Las reas y permetros de las secciones S1 y S2, ya las hallamos en los incisos anteriores, las cuales son:

Para el desarrollo de la seccin S3, nos ayudaremos en un circulo virtual, del cual conocemos el rea y el permetro, y le descontaremos el rea y permetro correspondiente a medio circulo. Esto lo podemos ver mejor en la siguiente figura:

Entonces:

Finalmente tenemos para el rea y el permetro:

El radio hidrulico de toda la seccin es la divisin de (5) entre (6):

Hallamos la rugosidad equivalente para esta seccin compuesta, segn la ecuacin de Lotter:

Si ingresamos la rugosidad equivalente (10) en la ecuacin de Manning, podemos cancelar el rea total y el permetro total reduciendo la expresin, entonces tenemos:

Introducimos las expresiones para el rea y el permetro de la seccin 3 en la ecuacin anterior, es decir, (5) y (6) en (11).

Reemplazamos los valores numricos de las reas, permetros, rugosidades y pendiente, y tambin el caudal enunciado.

Resolvemos para el ngulo , entonces tenemos: De la ecuacin (1) despejamos la profundidad del crculo virtual.

De la Figura XXX podemos ver que:

Finalmente, la profundidad normal para que fluya un caudal de , con una pendiente de , a travs de la seccin indicada; es de 2. Un canal trapecial, de fondo horizontal , se convierte abruptamente en un canal triangular. Para un caudal, , la profundidad del flujo, , en una seccin inmediatamente antes del cambio de seccin, es de . Calcular:a) El talud mnimo que debe tener el canal triangular, a efectos de que no se presente un choque hidrulico.b) El talud que debe tener el canal triangular, a efectos de que no ocurra desbordamiento.Solucin.Datos.

Supondremos =1 y

Figura XXX Vista transversal de las secciones trapecial y triangular.

Figura XXX Vista en planta del cambio gradual de seccin.a) Para que no se presente choque hidrulico, la seccin triangular, despus de que se presente el cambio gradual, debe estar en estado crtico (Energa mnima).

Figura XXX Seccin triangular en estado critico.La energa en la seccin 1 (Trapecial) es:

Por conservacin de la energa especfica, se tiene:(1)Donde para un canal de seccin triangular la energa mnima es, donde , entonces la energa mnima resulta:

Reemplazando la energa mnima (2) en la ecuacin (1), tenemos:

Despejamos la pendiente del talud triangular :

Reemplazando los valores numricos, hallamos la pendiente del talud triangular :

Finalmente para que no se genere un choque hidrulico, la seccin triangular debe tener un talud mnimo de , es decir, .b) Para que no se desborde el canal, la altura del agua debe ser mxima, de 1,0 m (igual a la altura de la banca) en la seccin trapecial. Esto ocurre cuando la profundidad en la seccin trapecial aumenta de 0,45 m a 1,0 m. Para que el nivel del flujo aguas arriba suba, la reduccin en la seccin triangular debe ser mayor a la reduccin crtica y esta seccin debe estar en estado crtico por lo tanto tener energa mnima. Adems podemos concluir que para que el nivel del agua en la seccin trapecial aumente, este debe ser un flujo subcrtico, el cual utiliza el aumento del calado para aumentar la energa especfica y obtener la necesaria para pasar por la seccin triangular reducida.

Figura XXX Perfil del flujo. Aumento del calado para aumentar la energa especifica.

Figura XXX Vista transversal del aumento de calado hasta el lmite de desbordamiento.

Reemplazamos las expresiones del rea de la seccin trapecial y las expresiones del rea y ancho superficial para la seccin triangular.

Despejamos la profundidad crtica en la seccin triangular

Reemplazamos los valores numrico, recordando que la profundidad en la seccin aguas arriba debe ser igual a la altura de la banca, es decir,

Conociendo la profundidad critica en la seccin triangular, hallamos la pendiente de los taludes con la siguiente expresin:

3. El ancho y la altura , a banca llena, de un canal de seccin parablica, son y , respectivamente. Si el canal tienen un coeficiente de rugosidad, , y una pendiente longitudinal, , se pide calcular las profundidades normal, critica y critica limite cuando el caudal es . Solucin.Datos.; ; ; ;

Figura XXX Seccin transversal del canal parablico.De la ecuacin de Manning hallamos la profundidad normal, , con el rea y el permetro de la seccin parablica.La ecuacin de Manning es la siguiente:(1)Las expresiones para el rea y el permetro de la seccin parablica son las siguientes:

Para hallar la constante de la seccin, se obtiene despejndola del ancho.

Reemplazamos el rea, el permetro y el ancho superficial en la ecuacin de Manning, (2), (3) y (4) en (1).

Simplificamos la ecuacin anterior.

Ingresando los valores numricos obtenemos:

Y resolviendo para , tenemos:

Hallamos la profundidad crtica a partir de la ecuacin del estado crtico:

(5)Reemplazando el ancho superficial y rea en la ecuacin del estado crtico, (2) y (4) en (5), y , tenemos:

Reemplazando los valores numricos tenemos (supondremos :

Hallamos la profundidad crtica introduciendo las expresiones de los elementos geomtricos en la ecuacin (6) y despejando la .

Obtenemos una solucin para la ;

Pero vemos que la altura a banca llena, que es la mxima altura que puede tomar el flujo en el canal parablico, es de . Por lo tanto la profundidad crtica lmite no se puede desarrollar en esta seccin, esto indica que la mxima profundidad critica limite en este caso, es de la cual da la siguiente pendiente critica limite correspondiente a una seccin parablica: