8/17/2019 Pauta Certamen 2 IN1005C Forma a 2015-II

1/4

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE LA SANTÍSIMA CONCEPCIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA APLICADAS

Pauta Certamen 2 (Forma A)Cálculo II (IN1005C) - Segundo Semestre 2015

P1.   (10 Puntos)  Para la función   f (x) =

 1 − x2 , si −1 ≤ x <  1,

x − 1   , si  1 ≤ x ≤ 3,2

x − 2   , si  3  < x ≤ 5y la partición  P   =

−1, −1

2,   2,

  7

2,   5

del intervalo   [−1, 5].

(a) Encuentre S (f,P )  y represente gráficamente los rectángulos de la suma.

Solución.

S (f,P ) =   M 1∆x1 + M 2∆x2 + M 3∆x3 + M 4∆x4=   f 

−   1

2

·   1

2  + f (2) ·   5

2  + f (3) ·   3

2  + f 

72

·   3

2

=

√ 3

2  ·   1

2  + 1 ·   5

2  + 2 ·   3

2  +

  4

3 ·   3

2

=

√ 3 + 30

4  [u2]

(5 puntos)

(b) Calcule

5 1

f (x)  dx

Solución.

5 1

f (x) dx  =

3 1

(x − 1) dx +5 3

2

x − 2  dx  =x2

2  − x

3

1

+ 2ln |x − 2|5

3

=  9

2 − 3 −   1

2 + 1 + 2 ln(3)− 2 ln(1) = 2 + ln(9).

(5 puntos)

8/17/2019 Pauta Certamen 2 IN1005C Forma a 2015-II

2/4

P2.   (10 puntos)  Determine el área de la región acotada por la curva   g(x) =  x4 + 2x3 − 3x2 y el eje  x, para x ∈ [0, 3].

Solución.

Cortes de la curva con el eje  x

g(x) = 0   ⇒   x2(x + 3)(x − 1) = 0   ⇒   x  = 0 ∨   x  = −3 ∨   x  = 1.

Luego,

A =

3 0

|g(x)| dx  =1 0

|g(x)| dx +3 1

|g(x)| dx.

(4 puntos)

Además,

g1

2

 = −   3

16 ≤ 0   ⇒   g(x) ≤ 0, ∀x ∈ [0, 1]

g

2

 = 20 ≥ 0   ⇒   g(x) ≥ 0, ∀x ∈ [1, 3].

(2 puntos)

Ası́, el área pedida queda

A   =

1 0

(3x2 − x4 − 2x3) dx +3 1

(x4 + 2x3 − 3x2) dx  =

x3 −   x5

5  −   x

4

2

1

0

+

x5

5  +

  x4

2  − x3

3

1

= 1 −   15 −   1

2  +

  243

5  +

  81

2  − 27 −   1

5 −   1

2  + 1 =

  627

10  [u2]

(4 puntos)

8/17/2019 Pauta Certamen 2 IN1005C Forma a 2015-II

3/4

P3.   (15 puntos)   Encuentre el volumen del sólido de revolución obtenido al girar en torno a la recta  x  = 2, la región definida por

x2 + y2 ≤ 1, x ≤ 0   e   y ≥ 0.

Solución.

Notar que la relación  x2 + y2 = 1  corresponde a una circunferencia centrada en el origen y de radio  1,  luego la función a considerar en el

segundo cuadrante es  y  = 

1 − x2.  Por lo tanto,0 

−1

 1 − x2 dx  =

0 −π

2

cos2(θ) dθ  =

0 −π

2

1 + cos(2θ)

2  dθ  =

  π

4.

Además integrando por sustitución 

  x 

1 − x2 dx = −12

  √ u du  = −13

 (1 − x2)3 + C.

(7 puntos)

Aśı, el volumen pedido a través del método de capas cilı́ndricas es

V     = 2π

0 −1

|x − 2|f (x) dx  = 2π0 

−1

(2 − x) 

1 − x2 dx  = 2π0 

−1

(2 

1 − x2 − x 

1 − x2) dx

= 2π

2 ·   π

4  +

  1

3

 (1 − x2)3

0

−1

 =  π2 +   2π

3  [1 − 0]

=  π(3π  + 2)

3   [u3

]

(8 puntos)

P4.   (10 puntos)  Calcule la longitud de la curva de ecuación  y  = 5 + 4√ 

x3 sobre el intervalo

  1

18,

  1

12

.

Solución.

Como  y = 6√ 

x,   ∀x ∈

  1

18,

  1

12

 la longitud de la curva es   (3 puntos)

L   =

1

12 1

18

 1 + 36x dx

=  1

36

4 3

√ u du  =

  1

54u

3

243

=  8 − 3√ 3

54

(7 puntos)

8/17/2019 Pauta Certamen 2 IN1005C Forma a 2015-II

4/4

P5.   (15 puntos)  Determine el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar la región acotada por las curvas

y  =  x2 + 1   e   y  = 2,   en torno a la recta   y + 2x + 2 = 0.

Solución.

El área de la región entre  y  =  x2 + 1   e   y  = 2  es   A = 2

1 0

(2 − (x2 + 1)) dx  = 2(x −   x3

3  )10

= 2(1 −   13

) =  4

3 [u2].   (3 puntos)

Los momentos respecto de los ejes  y  y  x,  respectivamente, resultan

M y   = 0

M x   =  1

2

1 −1

(22 − (x2 + 1)2) dx  =   12

1 −1

(3 − x4 − 2x2) dx  =   12

3x −   x

5

5  − 2 x

3

3

1

−1

=  32

15.

Por lo tanto, el centroide es el punto

0,

35

154

3

 =

0,

 8

5

.   (7 puntos)

Además, la distancia del centroide a la recta  L  :   y + 2x + 2 = 0  dada es

d

0,

 17

10

, L

  =

85  + 0 + 2

√ 1 + 4

=  18

5√ 

5

y el volumen, por el Teorema de Pappus, queda

V    = 2π  18

5√ 

5

4

3  =

  144π

15√ 

5[u3].

(5 puntos)

HCCH/DCHM/AMM/UMM/EOP/APD/RSMB/MTG Segundo Semestre 20