7/23/2019 Pauta Certamen2 In1002c 2011 1

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Certamen

2

CalculoI(IN1002C

)

UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

PAUTA CERTAMEN 2CALCULO I (IN1002C)

Problema 1. [15 Puntos]Calcular los siguientes lmites de sucesiones.

(a) [10 Puntos] limn

5n2 + 3

5n2 + 2

n22

Desarrollo:

limn

5n2 + 3

5n2 + 2

n22

= eL

donde

L = limn

5n2 + 3

5n2 + 2 1

n2

2

= lmn

5n2 + 3 5n2 2

5n2 + 2

n2

2

= limn

1

5n2 + 2

n2

2

= limn

n2

10n2 + 4

= 110

por lo tanto,

limn

5n2 + 3

5n2 + 2

n22

=e 110

(10 puntos)

(b) [5 Puntos] limn

n+ 1 n2Desarrollo:

limn

n+ 1 n2(

n+ 1 + n2n+ 1 + n2

) = limn

n+ 1

2 n4n+ 1 + n2

= limn

n+ 1 n4n+ 1 + n2

=

, pues el grado del polinomio del nunerador es mayor que el grado del polinomio del de-nominador.

(5 puntos)

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Problema 2. [18 Puntos]Analizar la continuidad y la derivabilidad de la funcion fen los puntos x = 1 y

x= 2.

f(x) =

x2 + 2x 3 , x 1(1 x)(2 x) , 1< x

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Problema 3. [12 Puntos]

Determine las rectas normal y tangente en el puntos x0 = 0 de la curva:

x2ey +

x2 +y2 ex = 0

Desarrollo:

La derivada implicita de la funcion es:

2xey +x2eydy

dx+

1

2

x2 +y2

2x+ 2y

dy

dx

ex = 0

= x2ey dydx

+ y

2

x2 +y2

dy

dx= ex 2xey x

x2 +y2

= dydx

x2ey +

y

2

x2 +y2

= ex 2xey x

x2 +y2

= dydx

=

ex 2xey xx2+y2

x2ey + y2

x2+y2

(4 puntos)

Encontremos ahora le ecuacion de la recta tangente y normal en x0 = 0

Reemplazando de x0 = 0 en la relacion se obtieney20 1 = 0 = |y0| = 1 = y0 = 1

Existen as, dos puntos P1(0, 1) y P2(0,1) (2 puntos)Calculo de la pendiente y ecuaciones de la rectas tangente y normal

Para P1(0, 1)

dydx

(0,1)

= 1000+1

= 1 (1 puntos)

Recta tangente: y 1 = 1(x 0) = y = x + 1

Recta normal: y 1 = 1(x 0) = y = x+ 1 (2 puntos)

Para P2(0,1)

dydx

(0,1)

= 1000+1

= 1 (1 puntos)

Recta tangente: y+ 1 = 1(x 0) = y = x 1

Recta normal: y+ 1 = 1(x

0) =

y = x

1 (2 puntos)

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Problema 4. [15 Puntos]Calcule las derivadas de las siguientes funciones.

(a) [5 Puntos]f(x) = (x3 1)2e3xDesarrollo:

f(x) = 2

x3 1

3x2e3x +

x3 1

2

e3x(3)

f(x) = 6x2e3x

x3 1 3e3x x3 12

f(x) = 3e3x

x3 1 2x2 x3 + 1 (5 puntos)

(b) [5 Puntos]h(x) = ln

x 1x2 + 1

, x >1

Desarrollo:

h(x) = 1x1x2+1

x2 + 1 (x 1) 2x(x2 + 1)2

h(x) = x2 + 1

x 1x2 + 1 2x2 2x

(x2 + 1)2

h(x) =x2 + 2x+ 1

x2 + 1

(5 puntos)

(c) [5 Puntos]g(x) = xx2

Desarrollo:

g(x) = xx2

/ ln

ln g(x) = x2 ln x

1

g(x)g(x) = 2x ln x+x2

1

x

g(x) =g(x) (2x ln x+x)

g(x) = xx2

(2x ln x+x)

(5 puntos)

MC/MG/ML/MG/AP/LG/EN/MT/MF/RA 19 de mayo de 2011.