Universidad de ConcepcionFacultad de Ciencias Fısicas y MatematicasDepartamento de Ingenierıa Matematica

PAUTA CERTAMEN ICOMPLEMENTO DE CALCULO

Problema 1.

a) ¿Se verifica que Ln(i− 1)2 = 2Ln(i− 1)?

b) Mostrar que sen(z) = senx cosh y + i cosx senh y, para cada z = x+ iy ∈ C.

c) Sean u1(x, y) := sen(x2 − y2) cosh(2xy) y u2(x, y) := x2. Probar que u1 es una funcionarmonica en R2 y que u2 no lo es.

d) Solo una de las funciones del ıtem anterior proviene de una funcion analıtica. Explicar enuna lınea por que, y de todas ellas, encontrar la que verifica f(π

2) = i+ 1.

[5 puntos cada uno.]Solucion:

a) NO se verifica, puesto que (i− 1)2 = −2, Ln(i− 1)2 = ln 2− iπ26= ln 2 +

3

2πi.

b) Dado que cos(iy) = cosh y, y sen(iy) = i senh y, se tiene que

sen(z) = sen(x+ iy)

= sen(x) cos(iy) + cos(x) sen(iy)

= sen(x) cosh(y) + i cos(x) senh(y).

c) La funcion f(z) := sen(z2) verifica Re(f) = u1, y dado que f es entera, se sigue que u1 esarmonica en R2. Por otro lado, ∆u2 ≡ 2. Luego, u2 no es armonica en R2.

d) Solo u1 proviene de una funcion analıtica porque u1 es armonica y u2 no lo es. Ahora bien,todas estas funciones estan dadas por f(x+ iy) = sen((x+ iy)2) + ic, donde c ∈ R es unaconstante. En particular, f

(√π2

)= i+ 1 si y solo si c = 1. Ası, f(z) = sen(z2) + i verifica lo

pedido.

Problema 2. Sea f la funcion definida por f(z) :=1

z4(z2 − 1).

a) Encontrar la serie de Laurent de f en los dominios A1 : 0 < |z| < 1 y A2 : |z| > 1,respectivamente.

b) Calcular las integrales I1 :=

∫|z|=1/2

f(z) dz, I2 :=

∫|z|=π

f(z) dz e I3 :=

∫|z−1/2|=1/4

f(z) dz

c) Calcular la integral I :=

∫|z|=1

sen2(z)

z2(z − π)dz

[5, 10 y 5 puntos, resp.]Solucion:

a) En A1, f(z) = −∞∑n=0

z2n−4, y en A2, f(z) =∞∑n=0

1

z2n+6.

b) De la serie de Laurent de f en A1, se sigue que Res(f, 0) = 0. Ası, I1 = 0, debido al Teoremade los Residuos. Para I2, nuevamente por el Teorema de los Residuos, y dado queRes(f, 1) = 1

2, Res(f,−1) = −1

2, se deduce que I2 = 0. Para I3, notamos que el interior de la

curva indicada no encierra a ninguna singularidad de f , mas aun, f es analıtica en un abiertoque contiene a la curva y su interior, con lo cual I3 = 0.

c) Por la formula integral de Cauchy, I = 2πid

dz

[sen2(z)

z − π

]∣∣∣∣z=1

= 2πi2 sen(1)(1− π)− sen2(1)

(1− π)2.

Problema 3. Elegir y calcular 2 de las siguientes 3 integrales. En b), a ≥ 0 y b > 0 sonparametros fijos.

a) V.P.

∫ +∞

−∞

cosx

(x− 1)(x2 + 1)dx. b)

∫ +∞

−∞

cos(ax)

(x2 + b2)2dx. c)

∫ π

−π

dx

5− 3 cosx.

[10 puntos cada una.]Solucion:

a) Para f(z) :=eiz

(z − 1)(z2 + 1),

V.P.

∫ +∞

−∞

cosx

(x− 1)(x2 + 1)dx = Re (2πiRes(f, i) + πiRes(f, 1))

= Re

(2πi · e−1

(i− 1)(2i)+ πi

ei

2

)= Re

(πe−1(i+ 1) + πi

ei

2

)= πe−1 − π

2sen 1.

b)

∫ +∞

−∞

cos(ax)

(x2 + b2)2dx = Re

(2πiRes(

eiaz

(z2 + b2)2, ib)

)= Re

(2πi

iae−ab(−4b2)− 2(2ib)e−ab

−4b2

)

c) Haciendo z = eix, se obtiene

∫ π

−π

dx

5− 3 cosx=

2

i

∫|z|=1

dz

−3z2 + 10z − 3=π

2.

Viernes 18 de Octubre de 2013.ECV/ecv.