UNIVERSIDAD RICARDO PALMA
1
FACULTAD DE INGENIERIACurso: INVESTIGACION OPERATIVA IProfesor:
Ing. Jorge Cceres TrigosoCiclo: 2014-2
PRACTICA DIRIGIDA N 2SOLUCIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL
POR EL MTODO GRFICOPROBLEMA N 1. Una empresa qumica Limpiadevco
produce limpiadores para automviles X y pulidores Y y gana $10 en
cada lote de X, y $30 en Y. Ambos productos requieren procesarse en
las mismas mquinas, A y B, pero X requiere cuatro horas en A y ocho
en B, mientras que Y requiere seis horas en A y cuatro en B.
Durante la semana entrante las mquinas A y B tienen 12 y 16 horas
de capacidad disponible, respectivamente. Suponiendo que existe
demanda de ambos productos, cuntos lotes de cada uno deben
producirse para alcanzar la utilidad ptima Z?.
PROBLEMA N 2. En una pastelera se hacen dos tipos de tartas:
Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno
por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts,
mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada
Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelera
se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de
relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de
125 tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuantas Reales
deben vender al da para que sea mximo el beneficio?PROBLEMA N
3.
Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de
transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50
plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un
autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeo, 60 euros.
Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursin
resulte lo mas econmica posible para la escuela.
PROBLEMA N 4
Una compaa posee dos minas: la mina A produce cada da 1 tonelada
de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja
calidad. La mina B produce cada da 2 toneladas de cada una de las
tres calidades. La compaa necesita al menos 80 toneladas de mineral
de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja
calidad. Sabiendo que el coste diario de la operacin es de 2000
euros en cada mina cuntos das debe trabajar cada mina para que el
coste sea mnimo?.PROBLEMA N 5.
Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde
van a trabajar electricistas y mecnicos. Por necesidades de
mercado, es necesario que haya mayor o igual nmero de mecnicos que
de electricistas y que el nmero de mecnicos no supere al doble que
el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20
mecnicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros
por electricista y 200 euros por mecnico. Cuntos trabajadores de
cada clase deben elegirse para obtener el mximo beneficio y cual es
este?
PROBLEMA N 6.
Para recorrer un determinado trayecto, una compaa area desea
ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y
P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es
de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.El
nmero de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P,
debe ser, como mximo, la tercera parte de las del tipo T que se
oferten. Calcular cuntas tienen que ofertarse de cada clase para
que las ganancias sean mximas.PROBLEMA N 7.
Se dispone de 120 refrescos de cola con cafena y de 180
refrescos de cola sin cafena. Los refrescos se venden en paquetes
de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con
cafena y tres sin cafena, y los de tipo B contienen dos con cafena
y cuatro sin cafena. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que
venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B.
Calcular de forma razonada cuntos paquetes de cada tipo debe vender
para maximizar los beneficios y calcular ste.PROBLEMA N 8.
Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que
tomar en su alimentacin dos clases de componentes que llamaremos A
y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El mdico
le da dos tipos de dietas en las que la concentracin de dichos
componentes es: dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B dieta
D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.Sabiendo que el precio de la
dieta D1 es 2,5 . y el de la dieta D2 es 1,45 . cul es la
distribucin ptima para el menor coste?PROBLEMA N 9.
Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B.
No se puede cultivar ms de 8 ha con olivos de tipo A, ni ms de 10
ha con olivos del tipo B. Cada hectrea de olivos de tipo A necesita
4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone
anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectrea de tipo A requiere una
inversin de 500 y cada una de tipo B, 225 . Se dispone de 4500 para
realizar dicha inversin. Si cada hectrea de olivar de tipo A y B
producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite:
a) Obtener razonadamente las hectreas de cada tipo de olivo que
se deben plantar para maximizar la produccin de aceite.
b) Obtener la produccin mxima.
PROBLEMA N 10.
Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sof, A y B, que
dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada
funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de
tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de
trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de
trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas
del modelo A. Cuntas fundas de cada modelo han de fabricarse para
obtener el mximo beneficio y cual sera este?
PROBLEMA N 11.
Disponemos de 21000 euros para invertir en bolsa. Nos
recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 7%
y las del tipo B, que rinden el 9%. Decidimos invertir un mximo de
13000 euros en las del tipo A y como mnimo 6000 en las del tipo B.
Adems queremos que la inversin en las del tipo B sea menor que el
doble de la inversin en A. Cul tiene que ser la distribucin de la
inversin para obtener el mximo inters anual?
PROBLEMA N 12.
Una refinera de petrleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y
pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril, respectivamente.
Con cada barril de crudo ligero la refinera produce 0,3 barriles de
gasolina 95, 0,4 barriles de gasolina 95 y 0,2 barriles de gasoil.
Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1, 0,2 y 0,5
barriles de cada uno de estos tres productos respectivamente. La
refinera debe suministrar al menos 26300 barriles de gasolina 95,
40600 barriles de gasolina 98 y 29500 barriles de gasoil. Determina
cuntos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinera
parar cubrir sus necesidades de produccin con un coste mnimo y
calcula ste.
PROBLEMA N 13.
Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer prstamos
de riesgo alto y medio , con rendimientos del 14% y 7%
respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones
de euros a prstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en
alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razn de 4 a 5,
determinar cunto debe dedicarse a cada uno de los tipos de prstamos
para maximizar el beneficio y calcular ste
PROBLEMA N 14.
Un tren de mercancas puede arrastrar, como mximo, 27 vagones. En
cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe
dedicar un mnimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la
mitad que dedica a los coches. Si los ingresos de la compaa
ferroviaria son de 540 por vagn de coches y 360 por vagn de
motocicletas, calcular cmo se deben distribuir los vagones para que
el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea mximo y
cunto vale dicho beneficio
PROBLEMA N 15.
Un fabricante produce en dos talleres tres modelos distintos de
archivadores, el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar 12
archivadores del modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricante le
cuesta 720 al da el funcionamiento del primer taller y 960 el del
segundo. El primer taller produce diariamente 4 archivadores del
modelo A, 2 del B y 4 del C, mientras que el segundo produce 2, 2 y
12 archivadores, respectivamente Cuntos das debe trabajar cada
taller para, cumpliendo el contrato, conseguir reducir al mximo los
costes de funcionamiento?. Cul es el valor de dicho coste? Quedara
algn excedente de algn producto en los talleres? En caso
afirmativo, determinar cunto.
PROBLEMA N 16.
Calcular los puntos de la regin definida por:
donde la funcin z = 3x +2y alcanza los valores mximo y mnimo.
Calcula dichos valores
PROBLEMA N 17.
Debo tomar al menos 60mg de vitamina A y al menos 90mg de
vitamina B diariamente. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas
de marcas diferentes X e Y . Cada pastilla de la marca X contiene
10mg de vitamina A y 15mg de vitamina B, y cada pastilla de la
marca Y contiene 10mg de cada vitamina. Adems no es conveniente
tomar ms de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada
pastilla de la marca X es 50 cntimos de euro y que cada pastilla de
marca Y cuesta 30 cntimos de euro, calcular de forma razonada:a)
cuntas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste
sea mnimo.b) Cul es el coste mnimo.
PROBLEMA N 18.
Se considera la regin factible dada por el siguiente conjunto de
restricciones:
Representar la regin factible que determina el sistema de
inecuaciones anterior y hallar de forma razonada el punto o puntos
de la regin factible donde las siguientes funciones alcanzan su
mximo y mnimo:
a) f(x,y)=2x +3y,
b) f(x,y)=y xPROBLEMA N 19.Disponemos de 210.000 euros para
invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del
tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%.
Decidimos invertir un mximo de 130.000 euros en las del tipo A y
como mnimo 60.000 en las del tipo B. Adems queremos que la inversin
en las del tipo A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul
tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo
inters anual?PROBLEMA N 20La compaa CEBRA S.A.C., tiene un stock
limitado de dos hierbas que se utilizan en la produccin de
aderezos. CEBRA S.A.C. usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para
producir ya sea curry o pimentn. El departamento de mercadotecnia
informa que aunque la empresa puede vender todo el pimentn que
pueda producir, slo puede vender hasta un mximo de 1500 botellas de
curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de
HB1 y a $167 la onza de HB2. Utilizando el mtodo grfico, determine
l consumo de especias que maximice el ingreso de la
Empresa.AderezoIngredientes(Onzas/Bot)DemandaPrecio de Venta
HB1HB2(Botellas)por botella ($)
Curry5315002750
Pimentn23Ilimitada1300
Disponibilidad (Onzas)100008500
PROBLEMA N 21Un fabricante de cemento produce dos tipos de
cemento, a saber en grnulos y polvo. l no puede hacer ms de 1600
bolsas un da debido a una escasez de vehculos para transportar el
cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que l
debe producir 500 bolsas al dia de cemento en polvo. Debido a
restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para
producir una bolsa de cemento granulado en relacin al tiempo
requerido por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo
consume para su fabricacin 0.24 minutos/bolsa y la planta opera un
8 horas al da. Su ganancia es 4 euros por la bolsa para el cemento
granulado y 3 euros por la bolsa para el cemento en polvo. Formule
el problema de decidir cunto se debe producir de cada tipo de
cemento para maximizar las ganancias de la Empresa, utilizando el
Mtodo Grfico. PROBLEMA N 22SAMSUNG fabrica dos productos: (1) el
Walkman un radiocasete porttil y (2) el Shader TV, un televisor en
blanco y negro del tamao de un reloj de pulsera. El proceso de
produccin de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un
nmero de horas de trabajo en el departamento de electrnica, y un
cierto nmero de horas de mano de obra en el departamento de
montaje. Cada Walkman necesita cuatro horas de trabajo de
electrnica y dos en el taller de montaje. Cada televisor necesita
tres horas de electrnica y una en montaje. Durante el actual perodo
de produccin se dispone de doscientas cuarenta horas en el
departamento de electrnica y de cien horas en el de montaje. Cada
Walkman vendido supone un beneficio de 7 dlares, mientras que para
un televisor el beneficio unitario es de cinco dlares. El problema
de SAMSUNG es determinar utilizando el Mtodo Grfico, la mejor
combinacin posible de Walkman y televisores que debe producir para
alcanzar el mximo beneficio.PROBLEMA N 23Un agricultor posee un
campo de 70 hectreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada. Si
siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectrea plantada. En cambio si
siembra cebada, su gasto es de US$ 40 por hectrea. El capital total
disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, tambin existen
restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de
octubre y noviembre, segn se indica:
MesConsumo m3 / HctaConsumo m3 / Hcta Disponibilidad
Trigo Cebada m3
Octubre900 650 57.900
Noviembre1.200 850 115.200
Una hectrea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada
segn sea el caso. Los precios vigentes por Tm son de US$ 4,5 para
el trigo y US$ 6,0 para la cebada. Utilizando el mtodo grfico,
determinar la cantidad de hectreas de trigo y de cebada que debe
sembrar el agricultor para que maximice su beneficio.
PROBLEMA N 23Cada mes una empresa puede gastar. Como mximo,
1.000.000 $. en salarios y 1.800.000 $. en energa (electricidad y
gasoil). La empresa slo elabora dos tipos de productos A y B. Por
cada unidad de A que elabora gana 80 $. y 50 $. por cada unidad de
B. El costo salarial, y energtico que acarrea la elaboracin de una
unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente
tabla:AB
COSTO $200100
COSTO ENERGETICO $100300
Utilizando el mtodo grfico, se desea determinar cuntas unidades
de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para
que el beneficio sea mximo
PROBLEMA N 24La empresa McDonalds vende hamburguesas de un
cuarto de libra y hamburguesas con queso. La hamburguesa de un
cuarto de libra obviamente utiliza de libra de carne y la
hamburguesa con queso slo utiliza 0,2 libras. El restaurante
empieza cada da con 200 libras de carne. La utilidad neta es la
siguiente: 0,20$ por cada hamburguesa de cuarto de libra y $0,15
por cada hamburguesa con queso. El gerente estima adems que no
vender ms de 900 hamburguesas en total. Aplicando el mtodo SIMPLEX,
determine la mxima utilidad que obtiene McDonald's.PROBLEMA N 25Una
compaa de transportes posee 2 tipos de camiones. El camin tipo A
tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camin
tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fbrica
de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos
refrigerados y 1200 no refrigerados. Utilizando el Mtodo Grfico,
ccuntos camiones de cada tipo debe alquilar la fbrica para
minimizar costos si el tipo A se alquila a 30 $/Km y el B a 40
$/Km?.PROBLEMA N 26Unos grandes almacenes desean liquidar 200
camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello,
lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una
camisa y un pantaln, que se venden a 30 euros; la oferta B consiste
en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a 50 euros.
No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10
de la B. Cuntos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la
ganancia?*******INVESTIGACION OPERATIVA 1CICLO 2013-2ING. JORGE
CACERES TRIGOSO
