UNIVERSIDAD RICARDO PALMA

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FACULTAD DE INGENIERIACurso: INVESTIGACION OPERATIVA IProfesor: Ing. Jorge Cceres TrigosoCiclo: 2014-2

PRACTICA DIRIGIDA N 2SOLUCIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL POR EL MTODO GRFICOPROBLEMA N 1. Una empresa qumica Limpiadevco produce limpiadores para automviles X y pulidores Y y gana $10 en cada lote de X, y $30 en Y. Ambos productos requieren procesarse en las mismas mquinas, A y B, pero X requiere cuatro horas en A y ocho en B, mientras que Y requiere seis horas en A y cuatro en B. Durante la semana entrante las mquinas A y B tienen 12 y 16 horas de capacidad disponible, respectivamente. Suponiendo que existe demanda de ambos productos, cuntos lotes de cada uno deben producirse para alcanzar la utilidad ptima Z?.

PROBLEMA N 2. En una pastelera se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelera se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al da para que sea mximo el beneficio?PROBLEMA N 3.

Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeo, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo mas econmica posible para la escuela.

PROBLEMA N 4

Una compaa posee dos minas: la mina A produce cada da 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada da 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compaa necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operacin es de 2000 euros en cada mina cuntos das debe trabajar cada mina para que el coste sea mnimo?.PROBLEMA N 5.

Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde van a trabajar electricistas y mecnicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nmero de mecnicos que de electricistas y que el nmero de mecnicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecnicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecnico. Cuntos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el mximo beneficio y cual es este?

PROBLEMA N 6.

Para recorrer un determinado trayecto, una compaa area desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.El nmero de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como mximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuntas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean mximas.PROBLEMA N 7.

Se dispone de 120 refrescos de cola con cafena y de 180 refrescos de cola sin cafena. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafena y tres sin cafena, y los de tipo B contienen dos con cafena y cuatro sin cafena. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuntos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular ste.PROBLEMA N 8.

Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentacin dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El mdico le da dos tipos de dietas en las que la concentracin de dichos componentes es: dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B.Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 . y el de la dieta D2 es 1,45 . cul es la distribucin ptima para el menor coste?PROBLEMA N 9.

Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar ms de 8 ha con olivos de tipo A, ni ms de 10 ha con olivos del tipo B. Cada hectrea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectrea de tipo A requiere una inversin de 500 y cada una de tipo B, 225 . Se dispone de 4500 para realizar dicha inversin. Si cada hectrea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite:

a) Obtener razonadamente las hectreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la produccin de aceite.

b) Obtener la produccin mxima.

PROBLEMA N 10.

Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sof, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. Cuntas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el mximo beneficio y cual sera este?

PROBLEMA N 11.

Disponemos de 21000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 7% y las del tipo B, que rinden el 9%. Decidimos invertir un mximo de 13000 euros en las del tipo A y como mnimo 6000 en las del tipo B. Adems queremos que la inversin en las del tipo B sea menor que el doble de la inversin en A. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual?

PROBLEMA N 12.

Una refinera de petrleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinera produce 0,3 barriles de gasolina 95, 0,4 barriles de gasolina 95 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1, 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos respectivamente. La refinera debe suministrar al menos 26300 barriles de gasolina 95, 40600 barriles de gasolina 98 y 29500 barriles de gasoil. Determina cuntos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinera parar cubrir sus necesidades de produccin con un coste mnimo y calcula ste.

PROBLEMA N 13.

Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer prstamos de riesgo alto y medio , con rendimientos del 14% y 7% respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a prstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razn de 4 a 5, determinar cunto debe dedicarse a cada uno de los tipos de prstamos para maximizar el beneficio y calcular ste

PROBLEMA N 14.

Un tren de mercancas puede arrastrar, como mximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mnimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches. Si los ingresos de la compaa ferroviaria son de 540 por vagn de coches y 360 por vagn de motocicletas, calcular cmo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea mximo y cunto vale dicho beneficio

PROBLEMA N 15.

Un fabricante produce en dos talleres tres modelos distintos de archivadores, el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar 12 archivadores del modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricante le cuesta 720 al da el funcionamiento del primer taller y 960 el del segundo. El primer taller produce diariamente 4 archivadores del modelo A, 2 del B y 4 del C, mientras que el segundo produce 2, 2 y 12 archivadores, respectivamente Cuntos das debe trabajar cada taller para, cumpliendo el contrato, conseguir reducir al mximo los costes de funcionamiento?. Cul es el valor de dicho coste? Quedara algn excedente de algn producto en los talleres? En caso afirmativo, determinar cunto.

PROBLEMA N 16.

Calcular los puntos de la regin definida por:

donde la funcin z = 3x +2y alcanza los valores mximo y mnimo. Calcula dichos valores

PROBLEMA N 17.

Debo tomar al menos 60mg de vitamina A y al menos 90mg de vitamina B diariamente. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y . Cada pastilla de la marca X contiene 10mg de vitamina A y 15mg de vitamina B, y cada pastilla de la marca Y contiene 10mg de cada vitamina. Adems no es conveniente tomar ms de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de la marca X es 50 cntimos de euro y que cada pastilla de marca Y cuesta 30 cntimos de euro, calcular de forma razonada:a) cuntas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste sea mnimo.b) Cul es el coste mnimo.

PROBLEMA N 18.

Se considera la regin factible dada por el siguiente conjunto de restricciones:

Representar la regin factible que determina el sistema de inecuaciones anterior y hallar de forma razonada el punto o puntos de la regin factible donde las siguientes funciones alcanzan su mximo y mnimo:

a) f(x,y)=2x +3y,

b) f(x,y)=y xPROBLEMA N 19.Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un mximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mnimo 60.000 en las del tipo B. Adems queremos que la inversin en las del tipo A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual?PROBLEMA N 20La compaa CEBRA S.A.C., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la produccin de aderezos. CEBRA S.A.C. usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentn. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender todo el pimentn que pueda producir, slo puede vender hasta un mximo de 1500 botellas de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Utilizando el mtodo grfico, determine l consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa.AderezoIngredientes(Onzas/Bot)DemandaPrecio de Venta

HB1HB2(Botellas)por botella ($)

Curry5315002750

Pimentn23Ilimitada1300

Disponibilidad (Onzas)100008500

PROBLEMA N 21Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en grnulos y polvo. l no puede hacer ms de 1600 bolsas un da debido a una escasez de vehculos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que l debe producir 500 bolsas al dia de cemento en polvo. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relacin al tiempo requerido por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricacin 0.24 minutos/bolsa y la planta opera un 8 horas al da. Su ganancia es 4 euros por la bolsa para el cemento granulado y 3 euros por la bolsa para el cemento en polvo. Formule el problema de decidir cunto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar las ganancias de la Empresa, utilizando el Mtodo Grfico. PROBLEMA N 22SAMSUNG fabrica dos productos: (1) el Walkman un radiocasete porttil y (2) el Shader TV, un televisor en blanco y negro del tamao de un reloj de pulsera. El proceso de produccin de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un nmero de horas de trabajo en el departamento de electrnica, y un cierto nmero de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada Walkman necesita cuatro horas de trabajo de electrnica y dos en el taller de montaje. Cada televisor necesita tres horas de electrnica y una en montaje. Durante el actual perodo de produccin se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrnica y de cien horas en el de montaje. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 7 dlares, mientras que para un televisor el beneficio unitario es de cinco dlares. El problema de SAMSUNG es determinar utilizando el Mtodo Grfico, la mejor combinacin posible de Walkman y televisores que debe producir para alcanzar el mximo beneficio.PROBLEMA N 23Un agricultor posee un campo de 70 hectreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada. Si siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectrea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto es de US$ 40 por hectrea. El capital total disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, tambin existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, segn se indica:

MesConsumo m3 / HctaConsumo m3 / Hcta Disponibilidad

Trigo Cebada m3

Octubre900 650 57.900

Noviembre1.200 850 115.200

Una hectrea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada segn sea el caso. Los precios vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada. Utilizando el mtodo grfico, determinar la cantidad de hectreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio.

PROBLEMA N 23Cada mes una empresa puede gastar. Como mximo, 1.000.000 $. en salarios y 1.800.000 $. en energa (electricidad y gasoil). La empresa slo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 $. y 50 $. por cada unidad de B. El costo salarial, y energtico que acarrea la elaboracin de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:AB

COSTO $200100

COSTO ENERGETICO $100300

Utilizando el mtodo grfico, se desea determinar cuntas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea mximo

PROBLEMA N 24La empresa McDonalds vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza de libra de carne y la hamburguesa con queso slo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza cada da con 200 libras de carne. La utilidad neta es la siguiente: 0,20$ por cada hamburguesa de cuarto de libra y $0,15 por cada hamburguesa con queso. El gerente estima adems que no vender ms de 900 hamburguesas en total. Aplicando el mtodo SIMPLEX, determine la mxima utilidad que obtiene McDonald's.PROBLEMA N 25Una compaa de transportes posee 2 tipos de camiones. El camin tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camin tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fbrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos refrigerados y 1200 no refrigerados. Utilizando el Mtodo Grfico, ccuntos camiones de cada tipo debe alquilar la fbrica para minimizar costos si el tipo A se alquila a 30 $/Km y el B a 40 $/Km?.PROBLEMA N 26Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello, lanzan dos ofertas, A y B: La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln, que se venden a 30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuntos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?*******INVESTIGACION OPERATIVA 1CICLO 2013-2ING. JORGE CACERES TRIGOSO