Upload
eremu
View
184
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
Proiektuaren bultzatzaileak
Laguntzaileak
Hizkuntz koordinazioa
LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA
Egilea(k):
IMH Makina Erramintaren institutua. ELGOIBAR
Itzultzailea(k): Eli Asurmendi
Zuzenketak: ELHUYAR Hizkuntz zerbitzuak
Maketa: Ranjana Priya
Azalaren diseinua: Naiara Beasain
2003an itzulia eta prestatua
MAKINA ERREMINTAREN INSTITUTUA
INSTITUTO DE MAQUINA HERRAMIENTA
Materialen erresistentzia
LANBIDE EKIMENA I
Aurkibidea
11.. SSAARRRREERRAA.......................................................................................................................................................................................................................................................................................... 11
11..11.. MMaatteerriiaalleenn eerrrreessiitteennttzziiaarreenn hheellbbuurruuaakk ................................................................................................................................................................................ 22
11..22.. MMaatteerriiaalleenn eerrrreessiisstteennttzziiaarreenn hhiippootteessiiaa................................................................................................................................................................................ 33
11..33.. OOrreekkaarreenn pprriinnttzziioo oorrookkoorrrraa.................................................................................................................................................................................................................... 55
11..44.. EEbbaakkeettaarreenn pprriinnttzziippiiooaa ................................................................................................................................................................................................................................ 55
11..55.. TTeennttssiioo--kkoonnttzzeeppttuuaa .......................................................................................................................................................................................................................................... 66
11..66.. HHaabbee--kkoonnttzzeeppttuuaa ................................................................................................................................................................................................................................................ 77
11..77.. EEsskkaaeerraakk .......................................................................................................................................................................................................................................................................... 88
11..88.. EEuusskkaarrrriiaakk,, lloottuurraa--eerrrreeaakkzziiooaakk........................................................................................................................................................................................................ 99
11..99.. SSiisstteemmaa iissoossttaattiikkooaakk eettaa hhiippeerreessttaattiikkooaakk .................................................................................................................................................................. 1100
11..1100.. MMaatteerriiaalleenn eerrrreessiisstteennttzziiaa--aarraazzooaakk aazztteerrttzzeekkoo pprroozzeessuu oorrookkoorrrraa ............................................................................................ 1133
22.. MMAATTEERRIIAALLEENN PPRROOPPIIEETTAATTEE MMEEKKAANNIIKKOOAAKK ........................................................................................................................................................................ 1177
22..11.. EEllaassttiikkoottaassuunnaa .................................................................................................................................................................................................................................................... 1177
HHaaiinnbbaatt jjookkaaeerraa eellaassttiikkoo .................................................................................................................................................................................................. 1177
22..22.. PPllaassttiikkoottaassuunnaa .................................................................................................................................................................................................................................................... 1188
HHaaiinnbbaatt jjookkaaeerraa eellaassttiikkoo .................................................................................................................................................................................................. 1188
22..33.. HHOOOOKKEE--rreenn lleeggeeaa.......................................................................................................................................................................................................................................... 2200
22..44.. TTrraakkzziioo--ssaaiiaakkuunnttzzaa........................................................................................................................................................................................................................................ 2200
MMaatteerriiaall hhaarriikkoorrrraakk .................................................................................................................................................................................................................... 2233
22..55.. LLaanneekkoo eessffoorrttzzuu oonnaarrggaarrrriiaa sseegguurrttaassuunn--ffaakkttoorreeaa .................................................................................................................................. 2244
MMaatteerriiaall hhaauusskkoorrrraakk ................................................................................................................................................................................................................ 2244
22..66.. EEssffoorrttzzuu eettaa ddeeffoorrmmaazziioo ssiinnpplleeaakk .......................................................................................................................................................................................... 2255
TTrraakkzziiooaa –– kkoonnpprreessiiooaa ........................................................................................................................................................................................................ 2255
AAllbbookkoo kkoonnttrraakkzziiooaa.. PPooiissssoonn--eenn mmoodduulluuaa ............................................................................................................................................ 2266
TTrraakkzziiooaa eeddoo kkoonnpprreessiiooaa jjaassaatteenn dduueenn bbaarrrraann nneeuurrrrii-- eettaa bboolluummeenn--aallddaakkeettaakk............................ 2277
KKoonnttuuaann hhaarrttzzeekkoo mmoodduukkoo ppiissuuaa dduutteenn ppiieezzaakk ............................................................................................................................ 3300
EEbbaakkiidduurraa aallddaakkoorrrreekkoo ppiieezzeenn aauurrrreekkoo eemmaaiittzzeenn hheeddaakkuunnttzzaa.. EErrrreessiisstteennttzziiaa bbeerreekkoo
ppiieezzaakk .......................................................................................................................................................................................................................................................... 3311
AAllddaakkeettaa tteerrmmiikkooeekk eerraaggiinnddaakkoo eessffoorrttzzuuaakk ........................................................................................................................................ 3333
EEssttaattiikkookkii zzeehhaazzttuu ggaabbeekkoo aarraazzooaakk.. HHiippeerreessttaattiikkooaakk .......................................................................................................... 3333
AAuurrrreeaatteezzaattuuttaakkoo ppiieezzaakk.................................................................................................................................................................................................. 4422
TTrraakkzziioo // kkoonnpprreessiiooaann ddeeffoorrmmaazziioo--eenneerrggiiaa .......................................................................................................................................... 4433
EEssffoorrttzzuueenn bbaannaakkeettaa eettaa aarrddaattzz--ddeeffoorrmmaazziiooaa ................................................................................................................................ 4455
TTrraakkzziioo // kkoonnpprreessiiooaann eessffoorrttzzuu--kkoonnttzzeennttrraazziiooaa.............................................................................................................................. 4477
Materialen erresistentzia
LANBIDE EKIMENA
II
33.. EEBBAAKKIIDDUURRAA .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 5511
33..11.. EErrrreemmaattxxaattuuttaakkoo eettaa ssoollddaattuuttaakkoo lloottuurraakk .................................................................................................................................................................... 5511
EEbbaakkeettaarreenn ooiinnaarrrriizzkkoo tteeoorriiaa...................................................................................................................................................................................... 5511
EEbbaakkeettaa hhuuttssaa jjaassaann dduutteenn eebbaakkiidduurreettaann ssoorrttuuttaakkoo ddeeffoorrmmaazziiooaakk ................................................................ 5533
EErrrreemmaattxxaattuuttaakkoo lloottuurreenn eettaa ttoorrlloojjaattuuttaakkoo lloottuurreenn kkaallkkuulluuaa ........................................................................................ 5544
SSoollddaattuuttaakkoo lloottuurraakk.................................................................................................................................................................................................................. 6677
44.. FFLLEEXXIIOOAA .......................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7755
44..11.. FFlleexxiiooaarreenn hhaassttaappeennaakk .......................................................................................................................................................................................................................... 7755
44..22.. IInnddaarr eebbaakkiittzzaaiilleeaa eettaa fflleexxiioo--mmoommeennttuuaa........................................................................................................................................................................ 7788
44..33.. EEbbaakkeettaa--eessffoorrttzzuuaarreenn,, fflleexxiioo--mmoommeennttuuaarreenn eettaa kkaarrggaarreenn aarrtteekkoo eerrllaazziiooaakk .......................................................... 8844
44..44.. FFlleexxiioo ppuurruuaarreenn hhaassttaappeennaakk .......................................................................................................................................................................................................... 8877
44..55.. FFlleexxiioo hhuuttssaa.. NNaavviieerr--eenn lleeggeeaa...................................................................................................................................................................................................... 8888
44..66.. FFlleexxiiooaa jjaassaatteenn dduueenn hhaabbeeaarreenn eebbaakkiidduurraa zzuuzzeennaarreenn ffoorrmmaarriikk eeggookkiieennaarreenn kkaallkkuulluuaa ............................ 112244
44..77.. EEssffoorrttzzuu--kkoonnttzzeennttrraazziiooaa fflleexxiiooaann ........................................................................................................................................................................................ 112299
55.. TTOORRTTSSIIOOAA................................................................................................................................................................................................................................................................................ 113311
55..11.. SSaarrrreerraa ........................................................................................................................................................................................................................................................................ 113311
55..22.. EEbbaakkiidduurraa zziirrkkuullaarrrreekkoo hhaabbeeeenn ttoorrttssiiooaa .................................................................................................................................................................... 113333
55..33.. AArrddaattzz zziirrkkuullaarr hhuuttsseenn ttoorrttssiiooaa ................................................................................................................................................................................................ 114433
55..44.. EEddoozzeeiinn eebbaakkiidduurraattaakkoo hhaabbeeeenn ttoorrttssiiooaa .................................................................................................................................................................. 115522
55..55.. EEbbaakkiidduurraa iirreekkiiaa eettaa hhoorrmmaa mmeehheeaa dduutteenn ttuuttuu--ffoorrmmaakkoo hhaabbeeeenn ttoorrttssiiooaa .............................................................. 115599
55..66.. HHoorrmmaa mmeehheekkoo ttuuttuu--ffoorrmmaakkoo hhaabbeeeenn ttoorrttssiiooaa.. BBrreeddtt .......................................................................................................................... 116611
55..77.. TTeennttssiioo--kkoonnttzzeennttrraazziiooaa ttoorrttssiiooaann ........................................................................................................................................................................................ 116699
55..88.. OOnnddoorriiooaakk .............................................................................................................................................................................................................................................................. 117766
66.. TTOORRTTSSIIOO EETTAA FFLLEEXXIIOO KKOONNBBIINNAATTUUEENN AARRDDAATTZZEENN KKAALLKKUULLUUAA.................................................................................................. 117777
66..11.. SSaarrrreerraa ........................................................................................................................................................................................................................................................................ 117777 » Trescaren irizpidea................................................................................................ 178
** AARRIIKKEETTAAKK ................................................................................................................................................................................................................................................................................ 117799
LANBIDE EKIMENA
1
MMAATTEERRIIAALLEENN EERRRREESSIISSTTEENNTTZZIIAA
Solidoa
orekan
MEKANIKA
Luzapenak
Deformazioak
Solido
Zurruna
Solido deformagarria
Indarrak
Loturak
(euskarriak)
Solidoa
mugimenduan
ESTATIKA
DINAMIKA
Indarrak
Loturak
(euskarriak)
Barneko indarrak
MATERIALEN
ERRESISTENTZIA
11 SSAARRRREERRAA
Solido zurrunaren mekanikaren ikuspegitik, gorputz guztiak, indar handiak jasaten badituzte ere,
deformaezinak dira, indar horiek ezin baitituzte gorputzak suntsitu, ezta gorputzaren konfigurazioa aldatu ere.
Ikuspegi horri esker, gorputza mugimenduan ala orekan ote dagoen zehaztu ahal izango dugu.
Errealitatean kanpoko kargak aplikatzean egituren formetan aldaketak sortzen dira eta, batzuetan,
egitura horiek ezin izango dira gehiago erabili. Hortaz, jakineko indarrak jasaten dituzten eta jakineko
forma eta materialezko gorputzetan sortzen diren barne-desplazamendu eta indarrak konpontzean
datza arazoa.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
2
- Solido errealak - Deformazioa
- Haustura ( deformazio iraunkorra eta onartezina)
- Materialen erresistentzia - Deformazio Onargarriak
- Haustura mugara sekula iritsi gabe
Demagun indar ezagunak jasaten dituen jakineko forma eta materialeko puntua dugula. M.E.
delakoak zehaztuko ditu puntu horretan agertuko diren barne-indarrak eta puntuen desplazamenduak.
1.1 Materialen erresitentziaren helburuak
Materialen erresistentziari buruzko teoriak dira eraikuntzen orekaren eta makina-elementuen
kalkuluaren oinarria.
Helburua: eraikinaren elementuen forma eta neurri egokienak bilatzea elementu horrek jasan behar
dituen indarren eraginari aurre egin ahal izateko.
Demagun solido bat kanpo-indar batzuen eraginpean dagoela. Materialen erresistentziari esker,
honako hau zehaztu ahal izango dugu:
a) Indar horiek eraginda solidoaren barnean sortutako esfortzuak
b) Ondorioz gertatutako deformazioak
Praktikan, azterketa honek bi alderdi nagusi hartzen ditu kontuan:
a) Eragiten duten kanpo-indarrak ezagututa, barne-esfortzuek halako muga jakin batzuk gaindi ez
ditzaten gorputzak izan behar dituen neurriak zehaztu. neurriak zehazteko arazoa.
b) Gorputzaren neurriak eta kanpo-indarrak zehaztuta, barne-esfortzuak edo deformazioak zehaztu
eta aldez aurretik ezarritako muga baino handiagoak ez direla egiaztatu. egonkortasuna
egiaztatzeko arazoa.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 3
1.2 Materialen erresistentziaren hipotesia
Gorputz elastikoaren isotropia eta homogeneotasuna
Materiala isotropoa eta homogeneoa da ezaugarri jakin bat aztertzen denean noranzko aldatu eta
materialaren ezaugarriak aldatzen ez direnean.
ε = 0
δ
Materialaren atal guztiek konposizio eta ezaugarri fisiko berberak dituztenean esaten da materiala
homogeneoa dela.
Homogeneoak: metalak...
Heterogeneoak: hormigoia, zura...
Gorputz elastikoaren jarraitasuna
Partikulen artean ez dagoela ez hutsunerik ez eta zirrikitu-hutsunerik, esan nahi du jarraitasunak.
Piezaren benetako neurriak kristalen arteko distantziak, barruko hutsuneak, etab. baino askoz ere
handiagoak direlako gertatzen da hori.
Jarraitasuna kontuan hartzen badugu, materialaren molekula guztiek deformazioa xurgatzen
laguntzen dutela esango genuke.
Saint – Venant-en printzipioa
Kargek eragiten duten puntutik urruti dauden solidoaren puntuen barne-indarren balioak ez du
kargak aplikatzen den moduan eraginik izaten.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
4
Bernoulli-ren edo ebakidura lauen hipotesia
Deformazioa baino lehen habearen ardatzarekiko zut dauden ebakidura lauek deformazioa eta gero
ere lauak izaten jarraituko dute. flexioaren eta tortsioaren azterketa.
Efektuak gainjartzearen printzipioa
Indarrak aplikatzen diren ordenak ez dio gorputzaren amaierako egoerari eragiten. Indarren eta
deformazioen artean erlazio lineala dagoenean soilik aplikatu ahal izango dugu printzipio hori.
Indarrak Erreakzioak Ez dira aplikazio-ordenaren baitakoak
Deformazioak C = C1 + C2 + C3
Ra1 + Ra2 + Ra3 = Ra
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 5
1.3 Orekaren printzio orokorra
Demagun gorputza geldirik dagoela. Parte hartzen duten indar guztiak behar ditugu:
Zuzenean eragiten duten kargak
Euskarrien – loturen – erreakzioak
Orekaren printzipio orokorra
Gorputzaren barne-esfortzuak eta deformazioak aztertzen ditugunean, gorputza kanpo-indarren
eraginpean (zuzenean aplikatutako kargak eta euskarrien erreakzioak barne) orekan dagoela esaten dugu.
Orekaren printzipio orokorrak mugitzen ari diren gorputzetan ere balio du inertzia-momentuak
kontuan hartzen baditugu.
indarrakinertziaamFamF →=⋅=→⋅=∑ ∑ 0
1.4 Ebaketaren printzipioa
Kanpo-indarren eraginpean orekan dauden solido guztietan honako baldintza hauek betetzen dira:
11.. Edozein ebaketa idealen bi aldeetan eragiten duten barne-indarrak berdinak dira (orekan
daude).
22.. Ebakitako gorputzaren atal bat kontuan hartzen badugu, atal horretan eragiten duten kontuan
hartu ez dugun ataleko barne-indarrek kontuan hartu dugun ataleko kanpo-indarren eragina
berdintzen dute.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
6
33.. Atal baten barne-indarrak atal horretako kanpo-indarren multzoaren baliokideak dira.
DIID FF →→
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
=+→=
=+→=
=+→=
=+→=
→
→
→
→
00
00
00
00
0
0
DFiPi
DIID
IFDPi
IDiI
MMM
FPF
MMM
FPF
1.5 Tentsio-kontzeptua
Hipotesia
Gorputz solidoak jarraituak dira
Demagun materiala homogeneoa eta isotropoa dela
σ Tentsio normala (ebakidurarekiko zuta) –
trakzioa edo konpresioa–
τ Tentsio tangentziala; ebakiduraren planoan
dago (ebaketa-tentsioa)
∆Ω∆= Fmt tentsioabestekobatez=mt
tFt =∆Ω∆= →∆Ω 0lim ⇒ muga konbergentea da
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 7
1.6 Habe-kontzeptua
Edozein ibilbide duen edozein gainazalek sorturiko solidoa da habea.
Ebakiduraren grabitate-zentroak habeak izango duen ibilbidea jarraituko du.
L ardatza edo batez besteko zuntza Ebakidurak ezin du puntu berezirik izan.
Kanpo-indarrak txikiagotzeko elementuak habearen ebakidura zuzenean
Oreka Σ F = 0
Σ M = 0
G = Ebakiduraren grabitate-zentroa
X ardatza = ebakidurarekiko zuta; ondorioz, batez besteko zuntzarekiko ukitzailea
Y, Z ardatzak = ebakidura zuzenaren planoan daude eta inertzia-ardatz nagusiekin bat datoz.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
8
∑∑∑∑
→=
→=
→=
=
0
0
0
0
Fx
Fy
Fz
F
∑∑∑∑
→=
→=
→=
=
0
0
0
0
Mx
My
Mz
M
1.7 Eskaerak
SIMPLEAK
Trakzioa / konpresioa Fx0N ≠≠
Ebaketa 0Fzy0Fyedo0FzedoFy0V ≠≠≠≠≠
Flexio purua 0Myy0Mzedo0Myedo0Mz ≠≠≠≠
Tortsio purua 0MtMx ≠=
KONPOSATUAK
Trakzioa eta tortsioa 0MxFzy ≠
Flexioa eta tortsioa 0MxMzy ≠
Flexio sinplea 0FyMzy ≠
Flexio konposatua Fy,MzFxy 0≠
Flexio purua
=≠
≠simetrikoa edo zuzena Flexio0
oa)(asimetrik zeiharra Flexio00
MyMy
Mz
Flexio konposatua
=≠
zuzenaFlexio0zeiharraFlexio0
MyMy
esfortzu ebakitzaileak
esfortzu ebakitzaileak
trakzio- edo konpresio-esfortzuak
flexio-momentua
flexio-momentua
tortsio-momentua
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 9
1.8 Euskarriak, lotura-erreakzioak
Espazioan dagoen puntuak sei askatasun-maila ditu.
- desplazamendua saihesten badugu, noranzko bereko erreakzioa agertuko zaigu.
- Loturak: - biraketa saihesten badugu, biraketa saihesten dugun ardatzaren noranzkoan
momentua agertuko zaigu.
- Euskarri-motak euskarriak perfektuak direla jartzen dugu.
Euskarri mugikorra (euskarri sinplea)
Baliteke translazioa gertatzea; ondorioz, agertzen den erreakzio bakarra indar bertikala da, baina ez
dakigu zein noranzkotan.
Artikulazio finkoko euskarria
Ry
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
10
Translazioa noranzko guztietan saihesten da. Bi erreakzio agertuko dira.
Horman sartutako euskarriak
Mota honetako euskarrien bidez bi translazio eta biraketa bat saihesten dira.
Euskarri landatu labainkorra
Biraketa saihesten da eta agertzen den erreakzioa momentua da.
1.9 Sistema isostatikoak eta hiperestatikoak
Oreka-ekuazioak gehienez 6 ekuazio
Sistema isostatikoa ezezagun-kopurua = ekuazio-kopurua
Sistema hiperestatikoa ezezagun-kopurua > ekuazio-kopurua
Rx
Mz
Ry
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 11
Hiperestatikotasun-maila (n)
“n” beharrezkoa da problema hiperestatikoak, oreka-ekuazioak + bateragarritasun geometrikoko
ekuazioak ebazteko.
Honela definitzen da “n”: n = ezezagun-kopurua – ekuazio-kopurua
n > 0 n mailako egitura hiperestatikoa
n = 0 egitura isostatikoa
n < 0 n askatasun-maila dituen mekanismoa
⋅+−
⋅= ∑∑
==
333
iiii
NiibLiin
Adib.: ebakidurak (euskarriaren mailan ebaki behar dugu)
Sistema lehen bezala egon dadin, bi erreakzio eta momentu bat sartu behar ditugu.
Li → lotura-kopurua
b → barra-kopurua
Ni → korapilo-kopurua
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
12
Adibidea:
Asmatu zein problema-mota daukagun hemen.
=
=
==
=
∑∑∑
∑
0
0Ma
la)(horizontaFh
00 )(bertikalaFv
oreka
0Merrotulan
Habea bere euskarrietan eta errotulan ebaki behar dugu.
L3 L2 N2 L2 L1
Garrantzirik gabekoak ez diren ekuazioak ematen dizkigu errotulak.
Ezezagun-kopurua 3 x 1 + 2 x 2 + 1 = 8
Ekuazio-kopurua 3 x 2 + 3 x 0 + 2 x 1 + 1 x 0= 8
Ezezagun-kopurua – ekuazio-kopurua = 0
Ezezagun-kopurua = 4
Ekuazio-kopurua = orekako 3
Errotula batean Σ M = 0
4 ekuazio n = 4 – 4 = 0 sistema isostatikoa
=
=
∑∑
0
0
Fv
Fh
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 13
1.10 Materialen erresistentzia-arazoak aztertzeko prozesu orokorra
Diseinua aldez aurretiko prozesua
Aztertu behar den sistema hautatu aztertu behar den elementua edo elementuak isolatu
Arazoa idealizatu eta sinplifikatu laneko hipotesia:
Gehiegi sinplifikatu eredua ez dator bat errealitatearekin
Gutxiegi sinplifikatu problema ebaztea zaila izango da
Mekanikaren eta materialen erresistentziaren printzipioak aplikatu
Oreka
Bateragarritasun geometrikoa
Indarra eta deformazioaren arteko erlazioak
Sistemaren portaera errealarekin alderatu
Egiaztatutako emaitza kalkulatuarekin bat ez baldin badator azterketa berriz egin
behar dugu.
Hipotesi-erroreak
Kalkulu-erroreak
ARIKETA – 1. ADIBIDEA
F indarra jasaten duen makina-elementu batek hutsunean doitzen den pistoia du amaieran (ikus irudia).
Hutsunearen barnean Ka eta Kb konstateak dituzten bi malguki ardazkide daude. Kargatu baino lehen, L
luzera dute malgukiek. Malguki bakoitzak F indarraren zenbateko karga jasaten duten jakin nahi dugu.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
14
Eredua hautatu
Idealizazioa eta sinplifikazioa; laneko hipotesia
A eta B malgukiak ardatzarekiko zentratuta daude
Ez dago marruskadurarik
Pistoiaren pisua ez dugu kontuan hartu behar
Indarra eta deformazioaren arteko erlazioa egonkorra da
F >> pistoiaren pisua
Mekanikaren printzipioak aplikatu
Oreka: Σ F = 0 Fa + Fb = F
Bateragarritasun geometrikoa: δ = δa = δb
Indarra eta deformazioaren arteko erlazioak:
bKbFbaKaFa
δδ
··
== )·(·· KbKabKbaKaFbFaF +=+=+= δδδ
KbKa
F+
=δ → KbKaFKaFa
+= · →
KbKaFKbFb
+= ·
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 15
ARIKETA – 2. ADIBIDEA
2L luze den zurezko ohol mehe eta zurruna K konstantea duten bi malgukien gainean dago (ikusi
irudia). Oholaren gainean kargarik ez dagoenean h luzera dute malgukiek.
Demagun pertsona bat oholaren gainean jartzen dela, erdi-erdian, eta mutur baterantz ibiltzen
hasten dela, poliki.
Kalkulatu:
Ohola zenbat makurtuko den pertsonak ibili duen “b” distantziarekiko.
Oholak lurra ukitu bitartean pertsonak ibili duen “b” distantzia zehaztu.
1. Elementua edo elementuak isolatu
aδ bδcδ
Fa
Fa
Fb
Fb
α
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
16
2. Idealizazioa eta sinplifikazioa
Laneko hipotesia
Oholaren pisua ez dugu kontuan hartu behar
Malgukiak lurrarekiko zut daude
Ez dago marruskadurarik
Indarra eta deformazioaren arteko erlazioa egonkorra da
Mekanikaren printzipioak aplikatu
Oreka:
Bateragarritasun geometrikoa:
( ) ( )a
aba
bhahitag
22δδδδ
α −=−−−
==
Indarraren eta deformazioaren arteko erlazioak:
bKbKbFbaKaKaFa
δδδδ
····
====
+=
−=
⇒
ab
KWb
ab
KWa
12
12
δ
δ
Oholak lurra ukitzen duenean:
L
bah
Lchi 2
δδδ
+−=−=
2bac δδδ +=⇒
LKWhK
LK
Wh
Lab
KW
ab
KWh
i··2
··221
21
221
−=−
=
++
−−
=
LKWhK
KabW
··2··2
·2·
2−=
−= 1··22
WhK
Lab
aFbbWaFaMc ···0 =+→=∑
+=
−=
⇒
abWFb
abWFa
12
12∑ =+→= WFbFaF 0
2··2·aKbWi =⇒
aab
KW
ab
KW
aabi
2
12
12
2
−−
+
=−=⇒ δδ
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 17
22 MMAATTEERRIIAALLEENN PPRROOPPIIEETTAATTEE MMEEKKAANNIIKKOOAAKK
2.1 Elastikotasuna
Materialak (kanpo-indarrak jasan arren) bere jatorrizko forma berreskuratzeko duen joera da
elastikotasuna.
Guztiz elastikoa den materialak eman zaion energia guztia itzultzen du.
Hainbat jokaera elastiko
Material bateko ereduen jokaerak onargarriak izango dira material erreal batzuentzat, jakineko muga
gainditzen ez badute ezarritako kargak elastikotasun-mugatik beherakoak direnean, alegia.
Elastiko lineala
F indarra etetean deformazioa 0 bihurtzen da. Halaber, indarraren eta
deformazioaren arteko erlazioa lineala da. δ·KF =
δ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
18
Elastiko ez lineala
Barne-marruskadura duen elastikoa
2.2 Plastikotasuna
Karga-sistema jasaten duen gorputza erregimen plastikoan dagoela esaten dugu karga-sistema
kentzean gorputza iraunkorki deformatzen bada.
Hainbat jokaera plastiko
Eraikuntzak luze irautea nahi badugu, lanean erabilitako materialak iraunkorki deformatzea saihestu
behar dugu. Alabaina, aplikazio jakin batzuetan neurri bateko plastikotasuna onartu egiten da. Hortaz,
teoria batzuk jokaera elastiko eta plastiko perfektuak definitzeko garatu dira.
Aipatutako indarraren eta deformazioaren arteko erlazioa ez da lineala.
F indarra etetean deformazioa ez da bide beretik itzultzen, marruskadura dela-
-eta energia apur bat galdu egiten baita.
δ
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 19
Plastiko perfektua edo zurrun plastiko perfektua
Elastiko plastiko perfektua
Elastiko plastikoa
Kargak etetean, materiala ez da bere jatorrizko formara itzultzen.
Karga etetean, materiala iraunkorki deformatzen da.
1δ
1δ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
20
2.3 HOOKE-ren legea
Deformazioen eta jasandako indarren artean proportzionaltasuna dago. Indar-efektuak gainjartzearen printzipioa.
Hipotesia: materialak Hooke-ren legea bete behar du. Indarren eraginean eragiten ez duten
deformazio txikiak gertatzen dira.
Printzipioa: Aldi berean eragiten duten indarrek sortutako efektua eta indar bakoitzak, jo
dezagun bereiz eragiten dutela, sortutako efektua batuta lortzen dena emaitza bera da.
Adibidez:
2.4 Trakzio-saiakuntza
Demagun N trakzio-indarra jasaten duen barra dugula.
Hasieran zuzena den erdialdeko m-n ebakidura hartuko dugu. Materiala jarraitua, isotropoa eta
homogeneoa dela dioen hipotesiaren arabera, m-n ebakidura deformatzen denean gainazal jarraituaren
forma hartuko du.
''' ccc δδδ +=
''' RaRaRa +=
''' RbRbRb +=
cδ 'cδ ''cδ
δ+L
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 21
Horretaz gainera, arazoaren simetria dela-eta deformazioa guztiz berdina izango da:
Ondorioak: Bi baldintza hauek aldi berean bete ahal izateko, deformazioaren aurretik zuzenak ziren
ebakidurek deformazioaren ondoren ere zuzenak izaten jarraitu behar dute. Hortaz, zuntz guztiek
luzamendu bera eta ebakiduraren diferentzial guztiek deformazio bera jasaten dutenez, Hooke-ren legea
aplikatuz m-n ebakiduran barne-tentsioen banaketa uniformea da.
Ondorioz, tentsioa uniformea izango da ebakidura osoan.
Ω
= Nσ
Ω probetaren sekzioa
δ L luzera duen barraren luzamendua
Gainera, deformazioa ebakidura osoan uniformea baldin bada, δ = kte.
Luzera-unitate bakoitzaren luzamendua honako hau da:
Lδε = unitate-luzamendua
Datu hauei guztiei Hookeren legea aplikatzen badiegu:
εσ ⋅= E Hookeren legea unitate-tentsio eta luzamenduetako.
E elastikotasun-modulua edo Youngen modulua
ε-k neurri jakinik ez duenez, honako neurri hauek izango ditu: E = FL-2
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
22
910G = 610M = 310K =
Unitate-tentsio eta –deformazioak grafiko batean biltzen baditugu, hona emaitza: tentsio-
-luzamenduaren kurbak osatzen duen angeluaren tangentearen bidez adierazita dago E grafikoki.
Diagrama horri trakziozko ohiko diagrama deritzo eta materialen bereizgarri izan ohi da.
Portaeraren arabera bereizten dira materialak: material hauskorrak eta harikorrak.
E zenbat eta handiagoa izan, hainbat eta zurrunagoa
izango da materiala eta nekezago deformatuko dugu.
Adib:
1 materiala 2 materiala baino zurrunagoa da.
Aluminioa → E = 7000 kg/mm2
Altzairua → 21000 kg/mm2
G = 109 M = 106 K = 103
1 materiala
2 materiala
1arctgE=α
Ω= Nσ
αtgE =
Lδε =
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 23
Material harikorrak
Deformatzeko ahalmen handia duten materialak dira material harikorrak. Ez dira erraz hozkatzen eta
nekea agertuko den aplikazioetan erabiltzeko oso material egokiak dira. Materialaren harikortasuna,
kuantitatiboki, parametro hauen bitartez neurtzen da:
Unitate-luzamendua ; A % L0 –ren balioaren araberakoa da.
Estrikzioa % Z = (ΩF – Ω0 )/ Ω x 100
Ondoren, material harikorraren ohiko diagrama konbentzionala – trakzio-saiakuntza, alegia –
ikusiko dugu.
OHARRA: Askotan A, B, eta C oso hurbil daude eta ez da erraza horiek bereiztea; horretarako,
deformazio iraunkorreko muga proportzionala Rp% definitzen da. Jakineko ehuneko batean
deformazio iraunkorra sortzen duen tentsioaren balioa ematen du muga horrek. Adibidez:
Rp 0,2 % 0,2ko deformazio iraunkorra sortzen duen tentsioa
OHARRA: Guk diogun tentsioa tentsio errealetik hurbil dago, saiakuntzan erabilitako materialaren
ebakiduran gertatutako murrizketa ez baitugu kontuan hartu.
Tentsioa kalkulatzean hasierako Ω0 sekzioa hartu behar da kontuan eta konstante mantendu.
0
00 Ω
=N
σ 0
11 Ω
=N
σ
Deformazioarekin gauza bera gertatzen da hemen, hasierako luzera konstante mantendu.
OA Eremu elastikoa A Muga elastiko proportzionala
B Itxurazko muga elastikoa
C Goiko isurpen-muga (eremu
elastikoa)
D Beheko isurpen-muga
(tentsioa handiagotu gabe
materiala deformatzen
jarraitzen du)
E Haustura-muga edo
trakzioarekiko erresistentzia
EF Estrikzio-eremua
F Haustura
Rp
Rm
Re
A
B C
D
E
F
σ
ε
100%0
0 ⋅−
= F
LLL
A
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
24
Material hauskorrak
Material hauskorretan deformazio plastiko txikiarekin edo deformazio plastikorik gabe agertzen da
haustura. Material hauskorrak dira adibidez honako hauek: hormigoia, zeramika, burdinurtu grisa,...
OHARRA: Badira material ERDIHAUSKORRAK ere, baina ez ditugu hemen aztertuko.
Material hauskorren eta harikorren arteko bereizketa
Material hauskorrak haustura gertatu bitartean ia elastikoak diren materialak dira. Laneko
tentsioak haustura-mugatik beherakoak izan behar dira: < Rm
Material harikorrak material hauetan deformazio handiak gertatzen dira. Laneko tentsioa < Re
izan behar da.
2.5 Laneko esfortzu onargarria segurtasun-faktorea
Eraikuntza guztietan, egindako kalkuluei buruzko zalantzak sorrarazten dizkigute faktore batzuek.
Faktore horiek honako ondorio hauek izan ditzakete:
Gehienezko esfortzuak aurreikustea. Haizeak eraikuntza batean eragin ditzakeen
esfortzuak nolakoak izango diren ezin da aurreikusi.
Propietateen dispertsio estatistikoa. Material berekoak izan arren, ez dago guztiz berdinak
diren bi gorputz.
RpRm
Material horiek erraz hozkatzen dira; beraz,
nekea dagoenean ez dira kasik erabiltzen.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 25
Gauzatze-akatsak o Mekanizazio-akatsak
o Muntaketa-akatsak
Denboraren poderioz gertatutako propietate-aldaketak o Korrosioa
o Higadura
o Zahartzea
o Erlaxazioa
o Isurpena
o ....
Zalantza ugari dagoenez, segurtasun-faktorea honela definituko dugu:
segurtasun-faktorea esfortzualaneko
esfortzuagehienezko=
Horrela, gehiegi kargatuz gero, materiala ez da haustura-mugara iritsiko eta hura haustea saihestuko
dugu. Hala eta guztiz ere, deformazio iraunkorrik gertatzea nahi ez badugu, erlazioa eraldatu eta honela
geratuko da:
Aplikazio batzuetan, gilborduran kasu, Rp-k eta Rm-k ez dute irizpide errealik ematen; ondorioz,
karga-esfortzuetan oinarritutako segurtasun-faktorearekin ordezkatu behar ditugu.
akats-karga haustura edo deformazio iraunkorra
2.6 Esfortzu eta deformazio sinpleak
Trakzioa – konpresioa
Sekzio konstanteko habea – berdin banatutako - bi kanpo-indarren eraginpean jarri behar dugu.
Kasu hau trakzio-saiakuntzan erabilitako adibidekoa bezalakoa da.
isurpen-esfortzua
laneko esfortzua segurtasun-faktorea =
akats-karga
laneko karga onargarria segurtasun-faktorea =
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
26
Alboko kontrakzioa. Poisson-en modulua
Esperientziaren poderioz badakigu trakzioa gertatzen den bitartean luzerako deformazioarekin batera
alboko kontrakzioa gertatzen dela. Horretaz gainera, unitate-luzapenaren eta alboko unitate-kontrakzioaren
arteko erlazioa konstante bat da, Poissonen modulua edo koefizientea delako konstantea hain zuzen.
OHARRA: elementu zirkularrak baldin badira: D
yy
δε =
Dx
xδ
ε =
Honako taula honetan v-ren ohiko balioak ditugu.
MATERIALA V
Material isotropoak 0.25
Altzairuak 0.30
Burdinurtua 0.25
Harriak 0.20
Hormigoia 0.15
Kortxoa 0
Ω= Nσ → tentsioa
Lδε = → unitate-deformazioa
σ = ε x E → Hookeren legea
Material batzuetan trakzioaren haustura-muga eta
konpresioaren haustura-muga ez dira berdinak.
σ < R trakzioa
|σ| < R´ konpresioa
Poissonen modulua → x
y
ε
εν
−= ; =ε
−DDD F
- Trakzioan - alboko unitate-kontrakzioa εy
- ardatz-luzapen unitarioa εx
- Konpresioan - alboko unitate-luzapena εy
- ardatz-kontrakzio unitarioa εx
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 27
Trakzioa edo konpresioa jasaten duen barran neurri- eta bolumen-aldaketak
Demagun zirkulu-formako sekzio konstanteko habea dugula eta habearen area eta luzera L direla.
N indarraren bidez trakzioa kargatzen badugu, hona emaitza:
N karga aplikatu baino lehen L, Ω V = L x Ω
N karga aplikatu eta gero:
Amaierako luzera: ( )XLL
LLL εδδ +⋅=
+⋅=⋅= 111
Amaierako diametroa: D
DDy
−=
1ε ; ( ) ( )XY DDD νεε −⋅=+⋅= 111
Amaierako area: ( ) ( )2222
11 11
44 XXDD
νενεππ−⋅Ω=−⋅⋅=
⋅=Ω
Amaierako bolumena:
( ) ( ) ( )232222111 22111 XXXXXXX VLLV νεενενεενενε −++−+⋅=+⋅−⋅Ω=⋅Ω=
Deformazioak txikiak baldin badira, εX eta εX dituzten terminoak baztergarriak dira –2º mailako
infinitesimoak-. Kasu horietan gure ekuazioa honela geratuko da:
V1 = V + V εx (1 – 2v)
∆V = V1 – V = V εx (1 – 2v)
Materiala luzatzen denean bolumena ezin dela txikiagotu kontuan hartzen badugu:
( ) 5.00210 ≤→≥−→≥∆ ννε XVV
Beraz, Poissonen koefizientea 0 eta 0,5 bitartekoa izango da beti 5.00 ≤≤→ ν . Horrenbestez,
kautxuaren 5.0≈ν da eta bolumena ez da kasik aldatuko deformazioan zehar.
05.0
05.0
≥∆→≤
=∆→=
VV
VV
ν
ν
Konpresioan, berdintsu (baina alderantziz) gertatzen dira gauzak, alboko konpresioa izan beharrean
alboko ZABALKUNTZA gertatzen baita.
( )νε 21 −=∆XV
V
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
28
OHARRA: Hookeren legea kontuan hartuz, barraren δ luzapena lor dezakegu.
L
EN δ⋅=Ω
ELN
⋅Ω⋅=→ δ
ERREPASATZEKO ARIKETAK
11 P = 2300 kg-ko karga bertikalari altzairuzko bi burdin harik eusten diote, irudian ikusten den
moduan. Zehaztu burdin hari bakoitzaren zeharkako sekzioa, trakzioarekiko tentsio
onargarria honako hau baldin bada:
σonar = 700 kp/cm2 eta θ = 30º
22 Prentsa hidraulikoaren zutabeen diametroa zehaztu, gehienezko konpresio-indarra 50
tonakoa eta altzairuaren tentsio onargarria 8 kg / mm2-koa dela jakinik. Kalkulatu gehienezko
luzapena, buruen arteko distantzia 2 m-koa dela kontuan izanik.
E = 21.000 kp/mm2
Ω= Nσ
Lδε =
εσ ⋅= E
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 29
33 Irudian ikusten ditugun altzairuzko bi barra horien diametroa 20 mm-koa da, 3,5 m-ko luzera
dute eta 500 kg-ko pisuari eusten diote. Kalkulatu C puntuaren desplazamendu bertikala.
E = 21.000 kp/mm2
θ = 20º
44 Kalkulatu barraren ebakidura bakoitzaren esfortzua, baita barraren guztizko deformazioa ere.
55 Bilatu irudian dagoen altzairuzko barraren deformazioa, aipatutako kargak kontuan izanik.
E = 200 GPa
θ
4108.5 −⋅41093.1 −⋅
Kn133
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
30
Kontuan hartzeko moduko pisua duten piezak
Kasu batzuetan barne-tentsioak egituraren beraren pisuak eragiten ditu. Demagun P indarra jasaten
ari den habe zuzena dugula:
OHARRA: Unitate-pisua bera kontuan hartzeko modukoa baldin bada P-rekin erlazionatzean,
esfortzu normala ebakidura batetik bestera aldatu egingo da. Muturreko X distantziara, berriz, honako
balio hau izango du:
Σ Fy = 0
P + γ Ω x = N
σ = (P + γ Ω x) Ω
γ Ω = p (luzera-unitate bakoitzaren pisua) esaten badiogu, σmax =(P + p L) / Ω
R laneko tentsio onargarria baldin bada σONAR ), segurtasun-sekzioa (gainditu behar ez dugun
tentsioaren balioa) honako hau izango da:
Orain probeta X distantziatik ebaki
egingo dugu.
γ = pisu espezifikoa
P = ardatz-indarra
LRPLPLpP
R⋅−
=Ω→Ω
⋅Ω⋅+=
Ω
⋅+=
γ
γ
???=Ω=
Ω
⋅+=
⋅+=
R
LpPLpPN
MAX
MAX
MAX
σ
σ
MAXADM σσ =⇒Ω
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 31
OHARRA: deformazioei dagokienez, Ω
=ENIδ formula ezin da aplikatu, N sekzio batetik bestera
aldatu egiten baita, eta, horren ondorioz:
( )E
dxxpPEdxNd
⋅Ω
⋅⋅+=
⋅Ω⋅=δ
Horren arabera, guztizko deformazioa honako hau izango da:
Ebakidura aldakorreko piezen aurreko emaitzen hedakuntza. Erresistentzia bereko
piezak
Aurreko kasuan habearen erresistentziak mutur bat baino ez zuen erabiltzen; gainerako ebakidurek
gehiegizko neurriak zituzten, eta, ondorioz, materiala alferrik galtzen zen. Ahalik eta gehien ekonomizatu
nahi badugu, σ-k eta R-k berdinak izan behar dute piezaren ebakidura guztietan. Ezaugarri hori duten
piezei ERRESISTENTZIA BEREKO PIEZAK deitzen zaie.
( )δ
γγδ =
⋅Ω⋅+⋅
⋅Ω=
⋅Ω
⋅⋅+=⋅
⋅Ω
+= ∫∫ 200
LP
ELdx
ExRP
dxEpxP LL
Ω=
==
PRMAX
σ
σσ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
32
ADIBIDEA
Zehaztu zutabeak izan behar duen forma, ebakidura guztiek erresistentzia bera izan dezaten beren
pisuaren eta P ardatz-indarraren eraginpean.
dΩ nahikoa handiagotu behar da RdΩ erresistentzia handiagotzean dx tartearen γΩ dx jasango badu.
Ondorioz:
Baldintzek honakoa diote:
00 Ω=Ω→=x
Eta hortik:
Ω-ren balioa aurkitzeko honako hau egin dezakegu:
0Ω
1Ω
Ω
CxR
LnRdxd
dxRd
+=Ω→=ΩΩ
Ω=Ωγγ
γ
Rx
LnRx
Lnc⋅
Ω=Ω→Ω+=Ω
Ω=
γγ expln 00
0
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 33
Aldaketa termikoek eragindako esfortzuak
Deformazioak (kontrakzioak zein hedakuntzak eragindakoak) eta tenperatura lotzen dituen legea
lineala da. Lege horrek honako forma hau dauka:
( )L;TfLLLL
LTL
ªF
F
=∆⇒∆=−
→∆+
0
0
∆L = Gorputzaren luzera-aldaketa
α = Hedakuntza termikoaren koefizientea; material bakoitzaren konstante bereizgarria
∆T = Tenperatura-aldaketa
OHARRA: ∆T tenperatura-aldaketak eragindako tentsioak kalkulatzeko nahikoa da Hookeren legea
erabiltzea:
TL
TLLL
TLL
∆⋅=∆⋅⋅=∆=
∆⋅⋅=∆
ααε
α
Hookeren legea εσ ⋅=→ E
Estatikoki zehaztu gabeko arazoak. Hiperestatikoak
Arazo hauek gertatzen direnean barne-indarrak ezin dira estatika soilik erabiliz zehaztu.
Ezezagun-kopurua > lotura-ekuazioen kopurua
Beste ekuazio osagarri batzuk bilatu beharko ditugu ezezagun-kopurua ekuazio-kopuruaren berdina
izan dadin. Hori lortzeko, eskuarki bateragarritasun geometrikoko ekuazioak eta indarraren eta
deformazioaren arteko erlazioak erabili ohi dira.
→⟨∆→⟩∆
∆+aKontrakzio0
Hedakuntza0TT
TT
tLL ∆⋅⋅=∆ α
T∆
L∆
( )TE ∆⋅⋅= ασ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
34
Gainjartze-metodoa
Egitura estatikoki zehaztugabea: orekan egoteko behar dituen euskarriak baino gehiagok eusten
diotenean. Egoera horren ondorioz, oreka-ekuazio eskuragarriak baino erreakzio ezezagun gehiago
sortzen dira.
Kasu horietan honakoa egin daiteke: erreakzio horietako bat erredundantetzat jo eta erreakzio
horri dagokion euskarria ezabatu. Erreakzio erredundante hori irtenbidean aurkituko dugu, baina
jatorrizko murrizketekin bateragarriak diren deformazioak sortzen dituen karga ezezaguna bailitzan
jardungo du.
Arazoaren benetako irtenbidea honela egiaztatu ahal izango dugu: kargek eragindako
deformazioak eta erreakzio erredundanteak eragindakoak bereizita aztertuz eta lortutako emaitzak
elkarren gainean jarriz.
Zergatik sistema hiperestatikoak?
Sistema isostatikoak baino merkeagoak direlako
Eragozpenak:
» Muntaketa-akatsik baldin badago, erraz nabaritzen dute. » Haren elementuetan tenperatura desberdin banatzen bada, erraz nabaritzen dute.
ARAZO ESTATIKOKI ZEHAZTUGABEAK
44.. Hagatxoan eta tutuan erreakzioak aurkitu
tutua a2, e2
hegatxoa a1, e1
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 35
55.. Barra zurruna bi burdin haritik, L1 eta L2, zintzilik dago. Kalkulatu P-ren kokapena barrak
horizontaltasuna gal ez dezan.
66.. Erreakzioak A-n eta B-n kalkulatu.
77.. AB gorputz zurruna gorputzaren grabitate-zentroarekiko simetrikoki jarrita dauden hiru burdin
harietatik zintzilik dago. AB barraren pisua Q dela kontuan harturik, zehaztu burdin harien
luzapen-esfortzua erdiko burdin haria altzairuzkoa eta beste biak kobrezkoak direla jakinik.
Sekzioak berdinak dira.
Altzairua
δ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
36
88.. Mahai karratuaren lau hanken diagonalean eragiten duen P indarrak sortutako erreakzioak
kalkulatu. Demagun mahaiak lurrean euskarri guztiz zurruna duela eta hankak mahaiari
hedatzeko zein konprimitzeko ahalmena dutela lotuta daudela.
TRAKZIO-ARIKETAK. KONPRESIOA
11 10 mm-ko CE hagatxoa eta 15 mm-ko DF hagatxoa ABCD barra zurrunari lotuta daude.
Hagatxoak aluminiozkoak dira (E = 70 Gpa).
Guzti hori jakinik, kalkulatu:
Hagatxo bakoitzaren tentsioa
A puntuaren deflexioa
e
a
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 37
22 BDE barra zurrunak AB eta CD konektoreak ditu oinarri. AB konektorea aluminiozkoa da (E = 70
Gpa) eta 500 mm2-ko zeharkako sekzioa dauka. CD konektorea altzairuzkoa da (E = 200 Gpa)
eta 600 mm2-ko zeharkako sekzioa dauka. 30 Kn-ko indarra dugula jakinik, honako deflexio
hauek aurkitu:
33 15 mm-ko diametroa duten BE eta CD barren muturrek (altzairuzkoak, E = 200 Gpa) 2,25 mm-
-ko hari-neurri sinplea dute. C-n azkoina buelta batean doitu dela jakinik, kalkulatu honako
datu hauek:
a) Tentsioa CD barran
b) ABC elementuko C puntuaren deflexioa
B-ren deflexioa
D-ren deflexioa
E-ren deflexioa
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
38
44 Barra batek AB eta BC ebakidura zirkularrak ditu eta bi muturretan mugatuta dago. AB atala
altzairuzkoa da (E = 200 Gpa), α = 11,7 10-6 / Cº. BC atala, berriz, letoizkoa da (E = 105 Gpa),
α = 20,9 10-6 / Cº, barra hasiera batean behartuta ez baldin badago.
Kalkulatu: a) 50 ºC handiagotzean AB-n eta BC-n eragindako esfortzu normalak
b) B puntuari dagokion deflexioa
55 C puntuan elkarri lotuta dauden bi barra ditugu: bata altzairuzkoa da (E = 200 Gpa) eta bestea
letoizkoa (E = 105 Gpa). A muturra finko dago eta E muturraren eta horma bertikalaren artean
0,12 mm-ko tartea dago. B puntuak 60 KN-ko indarra eta D puntuak 40 KN-ko indarra jasan
behar dute. Indar biak horizontalak eta ezkerretik eskuinerako noranzkokoak dira.
Kalkulatu honako datu hauek:
a) A eta E puntuetako erreakzioak
b) C puntuko deflexioa
30 mm-ko diametroa
50 mm-ko diametroa
altzairua, 40 mm-ko diametroa
letoia, 30 mm-ko diametroa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 39
66 CDE barra zurruna E ziria duen euskarrian giltzatuta dago eta 30 mm-ko diametroa duen
letoizko zilindroa du euskarri. 22 mm-ko altzairuzko AC hagatxoa barrak duen zulotik igaro eta
sistemako tenperatura 20 ºC-koa denean estutu gabe dagoen azkoin finkoaren bidez finkatuta
dago. Letoizko zilindroaren tenperatura 50 ºC-raino igo behar dugu eta altzairuzko barra, aldiz,
20 ºC-tan mantendu. Tenperatura-aldaketa baino lehen tentsiorik ez zegoela jorik, aurkitu BD
zilindroaren tentsioa.
77 A eta B burdinurtu zurrunak CD eta GH buloien bidez konektatuta daude. Buloi horiek
altzairuzkoak, 20 mm-koak, dira eta 38 mm-koa den aluminiozko EF barraren muturrak ukitzen
dituzte. Buloi bakoitzak hari sinplea du eta hari-neurria 2,54 mm-koa da. Jarri eta gero D eta H
puntuetan dauden azkoinak bira-laurdena estutu behar ditugu. Altzairuaren E = 200 Gpa dela
eta aluminioaren E = 70 Gpa dela jakinik, kalkulatu barraren esfortzu normala zein den.
AC barra: altzairua
E = 200 Gpa
α = 12 10-6 / Cº
BD zilindroa: letoia
E = 105 Gpa
α = 18,8 10-6 / Cº
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
40
88 300 mm luze, 30 mm-ko kanpo-diametroa eta 3 mm-ko lodiera duen letoizko tutua prentsa
batean jarri behar dugu. Prentsa doituta dago, barailek tutuaren muturrak kasik presionatu gabe
uki ditzaten. Ondoren P eta Q indarrak jasan beharko ditu. Indar horiek honako balioak dituzte:
P = 186 KN eta Q = 160 KN. Letoiaren E = 105 Pga dela jakinik, honako datu hauek kalkulatu:
a) A eta D puntuetan prentsak tutuari eragiten dion indarra
b) Tutuaren BC zatia zenbat luzatuko den
99 AD eta CE altzairuzko barrek (E = 200 Gpa) 8 mm-ko diametroa dute eta goiko muturrean 2 mm-
-ko hari-neurriko hari sinplea dute. C puntuan azkoina eskuz estutu eta gero bi bira osoak
estutuko ditugula jakinik, kalkulatu honako datu hauek:
a) Barra bakoitzaren tentsioa
b) ABC elementu zurrunaren C puntuaren deflexioa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 41
1100 Hotzean ijetzitako altzairuzko buloiak hotzeko kobrezkoa den tutuan zehar igaro behar du. Biak,
buloia eta tutua alegia, 30,5 cm luze dira. Muturreko azkoina lasaierarik gabe ukitu arte estutu
behar da 21 ºC-tan. Ondoren, azkoina bira-laurdena emanez estutu eta tenperatura 60 ºC-
-taraino igo behar dugu. Datu hauekin guztiekin, kalkulatu buloiaren eta tutuaren tentsioak.
Hari-neurria: 0,32 cm
1111 Lau burdin harrien bitartez finkatutako platinatik zintzilik barra zurruna daukagu. B eta C ziriei
lotutako burdin hariak altzairuzkoak dira (E = 200 Gpa) eta 2 mm-ko diametroa dute. A eta D
ziriei lotutako biak, berriz, aluminiozkoak dira (E = 70 Gpa) eta 2,5 mm-ko diametroa dute.
Hasiera batean burdin hari guztiak tenkatuta daudela jakinik, kalkulatu honako datu hauek:
a) Barraren erdian 2 KN-ko indarra eragitean burdin hari bakoitzaren tentsio osagarria
zenbatekoa den
b) Burdin harien luzapena zenbatekoa izango den
30,5
Buloia A = 3,23 cm2
α = 125 10-7 / Cº
E = 2,1 106 kg / cm2
Tutua A = 4,84 cm2
α = 170 10-7 / Cº
E = 1,1 106 kg / cm2
30,5
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
42
Aurreatezatutako piezak
Bi material edo gehiagoko barra batek handituz doan trakzio- edo konpresio-indarra jasaten
duenean argi dago barraren materialetako bat laneko tentsio onargarrira bestea baino lehenago iritsiko
dela. Ondorioz, gaizki ari gara erabiltzen.
Pieza konposatuak AURREATEZATZEA izan daiteke eragozpen hori gainditzeko irtenbidea. Horrela,
bere gehienezko baliabideak kontuan hartuz erabili ahal izango ditugu material guztiak. Adibidez:
Hormigoizko habeak honela fabrikatzen dira: altzairuzko burdin hari mutur zurruneko plaken artean
tenkatzen dira, trakzio-tentsioa σ = 0 izan dadin. Ondoren hormigoia bota behar da inguruan, habea
eraikitzeko irudian ageri den bezala. Gero hormigoia forjatu, kanpo-indarrak deuseztatu eta habea
aurreatezatuta geratuko da. Altzairuaren elastikotasun-moduluaren eta zementuaren artean 12:1
proportzioa baldin badago, eta ebakidura zuzeneko eremuek 1:15 proportzioa baldin badute, zein dira bi
material horien hondar-tentsioak?
112
EE
H
A = 151
H
A =Ω
Ω
Altzairuak trakzio-indarra jasango du eta hormigoiak, berriz, konpresio-indarra. Orekaren printzipioa
aplikatzen badugu, honako hau lortuko dugu:
σ−=σ
−=Ω
Ω−=
σ
σ=Ωσ+Ωσ
→
hA
A
H
H
A
HHAA
OREKA
151
15
0
Tentsioen arteko erlazioa badaukagu, baina beste ekuazio bat falta da. Bateragarritasun geometrikoa
aplikatuko dugu:
Hormigoia
Altzairuzko burdin hariak
lehenengo ekuazioa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 43
Altzairuaren laburpena = Hormigoiaren laburpena
Erlazioak: F altzairua + F hormigoia = 0
⋅=
⋅−
=
⋅=
Ω=→
⋅=
H
HH
A
A0A
A
AAF
A0
A
00A
EL
LE
EL
PE
L
σδ
σσδ
σδ
σσ
δ
INDARRA - DEFORMAZIOA
Aurreko erlazio horiek aurkitu ondoren bateragarritasun geometrikoaren erlaziora irits gintezke.
( )
→=⋅
+⋅−
=+
ekuazioa Bigarren0E
LE
L0
H
H
A
A0
HA
σσσδδ
Lehenengo ekuazioa bigarren ekuazioarekin erlazionatuz arazoaren irtenbidea aurkituko dugu.
Trakzio / konpresioan deformazio-energia
Demagun trakzioa jasaten ari den barra daukagula betiere eremu elastikoaren eta karga elastikoa
aplikatzearen hipotesia kontuan harturik. Kasu horretan lortuko dugun indarra/deformazioa diagrama
lineala izango da.
0Aδ
AFδ
Hδ
Aδ
Altzairuaren hasierako luzapena
Altzairuaren amaierako
Hormigoiaren laburpena
Altzairuaren laburpena
270
Hσ
σ−
=9
5 0A
σσ =
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
44
δ'-tik s + dδ'-ra iragatean N’indarrak honako lan hau egingo du:
dU = N’ dδ'
0-tik N-ra iragatean egindako lana N’ dδ' arearen batuketa da, hau da:
2N
L2E'd'
LE'd'NU
2
0 0
δδδδδδ δ
=Ω=⋅Ω=⋅= ∫ ∫ δN21U =→
Horretaz gainera; δ = (N L) / ( E Ω) ; beraz, horrela geldituko da U:
Batzuetan BOLUMEN-UNITATEKO DEFORMAZIO-ENERGIA beharrezkoa izan daiteke.
u = U / Ω L eta honako forma hauek hartuko ditu:
σεµεδ
σ
21
2E
L1
L2eu
E2L1
E2LNu
22
22
=→
⋅=Ω
⋅⋅⋅Ω=
=Ω
⋅Ω
⋅=
Azkenik, materialaren unitate-bolumenak bere proportzionaltasun-muga gainditu gabe jasan
dezakeen deformazio-energiarik handienari esaten zaio ERRESISTENTZIA-MODULUA.
L2E
E2LNU
22
⋅⋅Ω⋅=
Ω⋅⋅⋅= δ
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 45
Esfortzuen banaketa eta ardatz-deformazioa
Orain arte, ardatz-kargak ebakidura osoan uniformeki banatzen direla jo dugu beti. Hortaz, demagun
kargaren eta ebakiduraren artean plaka zurruna dugula, eta, horrela, ebakidura uniformeki deformatzea
lortuko dugu.
Bestalde, plaka horiek ez daude piezari zurrun lotuta, alboko zabalkuntza gertatzen denerako
tartea utzi behar baita. Kargak kontzentratuak baldin badira, honako hau egiaztatu beharko dugu
esperimentuen bidez:
Esfortzu handiak aplikazio-puntutik hurbil kokatuta daudela
Esfortzu txikiak aplikazio-puntutik urrun kokatuta daudela
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
46
Demagun plaka angeluzuzena dugula, b zabalera duena. Elastikotasun-teoriak honako emaitza
hauek ekarriko dizkigu:
Horrenbestez, bi tentsio-kategoria daudela esango genuke:
Tentsioen tokiko banaketa
Aplikazio-unetik distantzia jakin batera, tentsioen banaketa orokorra
Hori guztia jakinik, SAINT VENANT-EN PRINTZIPIOA azaltzeko moduan gaude. Honela dio
printzipio horrek:
Mutur batean aplikatutako indar-sistema batek habean eragindako tentsio orokorrak ez dira aldatuko
indar horiek murrizteko M, Mt, T, N elementu berak dituen beste sistema batez ordezkatzen baditugu.
Aldatu egingo dira, aldiz, habearen muturrean, zabaleraren berdina den luzera duen eremuan, eragindako
tokiko tentsioak.
Hau da:
Karga puntuala aplikatzen da
Infiniturako joera duen tentsio-banaketa dago
Zenbat eta beherago, hainbat eta tentsio-banaketa homogeneoagoa (guztiz laua den tentsio-
-banaketa lortu arte)
σ = N / Ω Oso behean horrela izango da, baina hasieran tokiko tentsio-banaketa dago.
Distantzia jakin batetik aurrera tentsioak uniformeki banatuta daude
Mutur batean aplikatutako indar-sistema batek habean eragindako tentsio orokorrak ez dira
aldatuko indar horiek murrizteko elementu berak dituen beste sistema batez ordezkatzen
baditugu. Murrizketa elementu horiek honako hauek dira:
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 47
M, Mt, T, N Habearen muturrean eragindako tentsio orokorrak, soilik, habearen zabalera bereko
luzera duen eremuan soilik aldatuko dira.
Trakzio / konpresioan esfortzu-kontzentrazioa
Orain arteko hipotesiak honako hauek dira:
Sekzio konstanteko barrak ditugu.
Honako baldintza hauek betetzen direnean soilik egongo da esfortzua uniformeki banatuta:
σ = N / Ω
Baldintzaren bat betetzen ez bada, σ = N / Ω ez da beteko.
Tentsio-kontzentrazioa egongo da bat-bateko sekzio-aldaketarik badago edo bat-bateko esfortzuen
aplikaziorik badago.
Honako iruditan ageri diren emaitzak esperimentuen bidez lortu ditugu, eta ez dute zerikusirik
elementuaren tamainarekin edo materialarekin: parametro geometrikoen arrazoien baitan daude soilik.
Eskuarki, ebakidura batean sortzen den gehienezko esfortzua jakin nahi izaten dugu. Eta,
horretarako, karga-motaren eta piezaren geometriaren arabera K-ren balioa (tentsio-kontzentrazioaren
koefiziente teorikoaren balioa, hain zuzen) aurkitzen lagunduko diguten taulak erabili ohi dira.
K balio hori honela definitzen da:
K = σMAX / σBATEZ BESTEKOA σBATEZ BESTEKOA = P / Ω
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
48
K handiagotu egiten da akordio-erradioa txikiagotzen denean edo D / d erlazioa
handiagotzen denean.
K onargarria da σMAX < Rp eremu elastikoan gauden bitartean.
σMAX > Rp kasura iristean tokiko deformazio plastikoak gertatzen dira eta, ondorioz, tentsioak
erlaxatu egiten dira.
Material hauskorretan hozka txikiena ere larria izan daiteke. Tokiren batean muga-plastikora
iritsiko bagina, materiala pitzatu egingo litzateke eta, horren ondorioz, zorigaiztoko haustura
gertatuko litzateke.
Kargak aldakorrak (nekea) badira, material GUZTIEK (bai hauskorrek bai harikorrek),
hozkatzearekiko sentiberak izan behar dute.
1. adibidea
Aurkitu altzairuzko barra lauak segurtasunez jasan dezakeen P ardatz-indarraren gehienezko balioa.
Kontuan izan barrak bi atal dituela, biak 10 mm-ko lodierakoak, 40 mm eta 60 mm zabal direnak. Bi atal
horiek elkarri lotuta daude 8 mm-ko erradioko hari-soldaduraren bidez. Demagun onargarria eta arrunta
den 165 MPa esfortzua jasan behar dutela.
Erlazioak kalkulatu behar ditugu:
5.14060
dD == 2.0
408
dr ==
Balio hauentzat irudiko kurba erabiliz honakoa lortuko dugu:
72.1K ≈
Balio hori tentsio-kontzentrazioen formulan erabiltzen badugu, honako hau lortuko dugu:
( )MPa96
72.1165
Kmaterialdeladmisible
K MAXMEDMEDMAX ===⇒⋅=
σσσσσ
Honako hau gogoan izanik:
AP
MED =σ
( ) N104.38104096AP 3MED ⋅=⋅⋅=⋅= σ KN4.38P =
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 49
Marraztu irudian tentsio-lerroak
ARIKETAK
1. ariketa
Irudiko altzairuzko barraren tentsio onargarria 150 MPa dela jakinik, P ardatz-indar onargarri
maximoa bilatu.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
50
2. ariketa 150 MPa σBATEZ BESTEKOA-rentzat ardatz-indar maximoa bilatu eta ebakidura garrantzitsuenetan
gertatzen diren tentsioak marraztu.
3. ariketa 500 mm-ko luzera eta 16 mm-ko diametroa duen barra dugu. Barraren luzera 0,3 mm luzatzen da
eta diametroa, berriz, 0,024 mm txikiagotzen da 12 Kn-ko ardatz-indarra jasaten duenean. Hori guztia
jakinik, aurkitu elastikotasun-modulua eta Poissonen koefizientea.
δx = 0,3 mm
δy= 2,4 10-3 mm
4. ariketa
Kalkula ezazu burdin harien indarra eta A euskarriaren erreakzioa (burdin hariek area berdina eta E
modulua dute).
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 51
33 EEBBAAKKIIDDUURRAA
3.1 Errematxatutako eta soldatutako loturak
Ebaketaren oinarrizko teoria
Prisma mekanikoaren ebakidura zuzenak ebaketa zuzena jasango duela honelakoetan esaten da:
ebakidura horrek berak zehazten duen prismaren alde batean eragindako indar-sistema murriztean
ordezkaria laburtzen denean eta ordezkari hori ebakidura horretan bertan dagoenean.
Esfortzu-kasu hau ezingo da prismaren ebakidura guztietan gertatu, aurrerago ikusiko dugunez,
esfortzu ebakitzailea flexio-momentuaren deribatua baita. Hortaz, nulua ez den esfortzu ebakitzailea
baldin badago, flexio-momentu aldakorra egongo da eta momentu hori ebakiduraren zati jakin bat edo
batzuetan bakarrik baliogabetuko da.
Simetriako batez besteko planoa onartzen duten eta plano horretan karga bertikalak dauden prisma
mekaniko zuzenetan, Q esfortzu ebakitzailearentzat 1. irudian adierazitako ikur-hitzarmena hartuko dugu
(positiboa erloju-orratzen noranzkoan biratzen baldin bada, hain zuzen ere).
Ebaketa purua (sistema laua) σx = σy = 0
Ordezkaria τ da, planoarekiko ukitzailea
Ebaketa-teoria orokorrean honako hipotesi hauek onartzen dira:
Bernoulliren hipotesia: hipotesi honen bidez ebakidura zuzenek deformazioa izan eta gero ere
zuzenak izaten jarraituko dute.
Ikur-
-hitzarmena
Hausteko joera
T positiborako
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
52
Tentsio-matrizearen osagai ukitzaileak ebakidura zuzeneko puntuetan honako hauek dira:
τXZ = 0 τXY = τ = konstantea
Hau da, Q esfortzu ebakitzaileak konstantea izan behar du plano osoan zehar.
Tentsio ukitzailea konstantea da ebakidura osoan zehar eta Y ardatzarekiko paraleloa. Oinarrizko
teoria horri onartezina bihurtuko duen ohar zorrotza egin dakioke, solidoaren oreka-baldintzak hausten
baititu, eta, zehazkiago esanda, tentsio ukitzaileen elkarrekikotasun-teorema.
Hain zuzen ere, ebakidura zuzenaren ertzaren ondoko gainazal-elementuan tentsioak ardatz
bertikalaren noranzkoa izango du. Noranzko normalean eta ertzaren tangentean deskonposa daiteke.
Tentsio ukitzaileen elkarrekikotasun-teoremaren arabera, gainazalean ukitze-tentsio berdina egongo
da. Gainazalean ebaketa-indarrak egotea dakar horrek.
T indarra homogeneotasunez banatu behar da
ebakiko dugun plano osoan zehar. Ω= /QXYτ
γττ
⋅=→
Gebaketa-tentsioa
σ
τ
Ω
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 53
Matematika eta fisikaren ikuspegitik guztiz okerra da hipotesi hori; alabaina, oinarrizko teoria piezak
errematxeen bidez eta soldadura-kordoien bidezko loturak kalkulatzeko onartu egiten da. Hala eta guztiz
ere, fisikaren ikuspegitik ezinezkoa da, oreka-baldintzak ez baititu betetzen.
Ebaketa hutsa jasan duten ebakiduretan sortutako deformazioak
Demagun 3. irudian ikusten den mekanismoa dugula. Larakoaren ebakidura zuzenean, F indarraren
momentua ebakiduraren grabitatze-zentroarekikoa nulua dela jorik, T = F den esfortzu ebakitzailea izango
dugu. Esperimentuen bitartez, CD eta AB ebakidura (zehaztu gabe bata bestetik hurbil daudenak) larakoak
lotzen dituen bi piezen arteko tartean daude eta ebakidura bat bestearekiko labaindu egiten da. Deformazio
hori γ labainketa-angeluak ematen du. Haren balioa, Hookeren legearen arabera, honako hau da:
Ω⋅==
GT
Gτγ
Kontuan izanik G zeharkako elastikotasun-modulua dela, eta luzetarako elastikotasunarekin edo E
Youngen moduluarekin eta Poissonen v koefizientearekin honako erlazio honen bitartez lotuta
dagoela jakinik:
( ) ( )eakoefizient Poissonen12 modulua Youngen
12 +⋅=
+⋅=
νEG
dxdy
=γ
dxdy
GT
T
G=
Ω⋅=→
Ω=
⋅=γ
τ
γτ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
54
Lege hori esperimentu honen bitartez egiazta dezakegu, material harikor baten (adibidez,
eraikuntza-altzairuaren) tentsio ebakitzailearekin eta labainketa-angeluarekin diagrama marraztuta
honako grafiko hau aterako zaigu:
Hortaz, tentsio ukitzailea τe baino txikiagoa den
bitartean, τ eta γ proportzionalak izango dira; deformazioa,
berriz, desagertu egingo da deformazio hori eragin duen
indarra eteten denean. OA segmentuak adierazten duen
eremua deformazio elastikoaren eremua da. F indarraren
tentsio ukitzailea τe da. Indar hori deformazio iraunkorren
eremuan dago.
dx lodiera duen zerrendan metatu den oinarrizko lana honako hau izango da:
W = U = Lana
dxGTdUdyTdU ⋅
Ω⋅⋅=⇒⋅⋅=
2
21
21
kasurako oinarrizko Ebaketaren2
1
0
2⇒
Ω⋅⋅⋅= ∫ GdxTU
Errematxatutako loturen eta torlojatutako loturen kalkulua
Errematxatutako loturen sarrera
Lotura-baliabide horietan tentsioen banaketa nahikoa konplexua da, lotura osatzen duten
elementuen euren deformazioen arabera nagusiki. Ondorioz, lotura horien kalkulu zehatza zaila (eta,
batzuetan, ezinezkoa) da. Hain zuzen ere, horregatik ezinbestekoa da praktikan baliabide
sinplifikatuen bidez lortutako emaitzak eta loturetan materialen benetako portaera desberdinak ote
diren egiaztatu beharra dago.
Horregatik hemen aztertuko dugun errematxatutako eta soldatutako loturen kalkulua ebaketaren oinarrizko teorian dago oinarrituta.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 55
Errematxatutako loturak errematxe izeneko piezen bitartez egiten dira. Errematxe hori zilindro-
-formako ziriak (kanaberak) osatzen du; ziri horrek muturretan oinarri-burua (sabeldua zein laua) izan ohi
du. Errematxea aldez aurretik berotu (1050 eta 950º bitartean) eta lotuko diren piezen artean egindako
zuloan sartu behar da; ondoren, piezak itxi eta beste muturrean ixteko burua egin behar da mailu
pneumatikoa edo errematxatzeko makina erabiliz.
Errematxearen ziriaren d1 diametroak zuloaren d diametroa baino apur bat txikiagoa izan behar du
errazago sartu ahal izateko; baina, gure kalkuluak egiteko d diametroa erabili behar dugu, kanabera
errematxatu eta hoztu ondoren zuloa erabat beteta dagoela joko baitugu.
Ixteko burua osatzeko kanpora irteten den kanaberaren zatiak zulatzeko makinaren diametroaren ¾
neurtu behar du:
OHARRA: torlojuei dagokienez, ohikoak eta kalibratuak izan daitezke. Ohiko torlojuetan,
kanaberaren diametroaren eta zuloaren diametroaren artean mm bateko lasaiera egon daiteke.
Kalibratutako torlojuetan, berriz, bi diametroek erabat berdinak izan behar dute.
OHARRA: erresistentzia handiko torlojuen bidez egiten diren loturak ez ditugu kontuan hartu behar,
lotura horien kalkuluan estutze-esfortuzaren eragina kontuan hartzen baita, baita ondorioz gertatzen den
xaflen konpresioa ere (ondorioz, esfortzuak marruskaduraren bidez bakarrik transmitituko dira).
OHARRA: lotu behar diren elementuen d diametroa hautatzean elkartuko diren xaflen lodiera
minimoak kontuan hartu behar dira. Honako kalkulu hau egin:
2.05 −⋅= ed
Kontuan izan kalkulu horietan d (zuloarena) eta e (txikiena) cm-tan daudela.
Lotutako piezen lodieren baturak 4,5d baino txikiagoa izan behar du da ohiko errematxe eta
torlojuentzat, eta 6,5 baino txikiagoa torloju kalibratuak erabiliz gero.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
56
Errematxatutako loturen kalkulua:
Lotura hauek ebaketaren bidez lan egiten dute
Bi errematxe-mota daude:
» GAINEZARRIZ egindako lotura: errematxe honek ebaketa sinplez egiten du lan,
zizailadura-ebakidura bat baitu.
» TOPE bidez eginiko lotura: errematxe honek ebaketa bikoitzaren bidez egiten du
lan, bi zizailadura-ebakidura baititu.
Ondo egindako errematxeak indarrak xaflen artean sortzen diren marruskadura-indarrei
esker transmititu behar ditu eta ez errematxeen ebaketei esker.
Errematxeen ebaketa kalkulatzeko marruskadurarik ez dagoela joko dugu, hau da,
karga guztia errematxeek jasan behar dutela.
Zizailaduraz lan egiten dute indarra honela transmititzen denean: lotu beharreko xaflen
eta kainaren errematxeen arteko ukipenaren bidez.
Kanabera
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 57
Honako hauek izan daitezke hausturaren eragile:
11 Xaflaren trakzioak eragindako haustura
22 Lotura-elementua ebakitzean eragindako haustura
Zulo handiegien ondorioz ahuldutako eremua; gehienezko tentsiora askoz azkarrago iritsiko gara. Xaflaren inguruan egiten du lan.
Errematxearen inguruan egiten du lan
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
58
33 Xafla zanpatzean eragindako haustura
44 Xafla ebakitzean eragindako haustura
OHARRA: Kalkuluak arauen arabera egiten baditugu, 2 eta 3 kasuez bakarrik arduratu behar dugu
(gainerakoak ez baitira gertatuko). Arauak kontuan hartu gabe kalkuluak egiten baditugu, berriz, kasu
guztiak kalkulatu behar ditugu.
Xafla meheegia izateagatik gertatu da haustura
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 59
55 Lotura-elementua ebakitzean eragindako haustura
Ebaketaren kalkulua. Hipotesia P indarra ebakidura osoan zehar uniformeki banatuko da.
Flexio-momentua baztergarria da.
Gainazalen arteko marruskadura nulua da.
Errematxeak baldin badaude, P indarra uniformeki banatuko da (errematxe guztiak
indar bera jasango dute).
Ebakidura zuzenean tentsioen banaketa uniformea dela joko dugu. Ebaketa-tentsio
onargarria τonar baldin bada, tentsio hori ez gainditzearren erabili beharko dugun
errematxe-kopuru minimoak oreka-baldintza egiaztatuko du:
4
4
4
2
22
dnP
dnP
dnP
tADMADM
⋅⋅⋅=⇒
⋅⋅
⋅→⋅
→πτ
ππτ
Gainezarriz egindako lotura baldin bada:
ADMtdnP τπ ⋅⋅⋅=4
2
ADMt
dPnτπ 2
4⋅
⋅=
Tope bidez eginiko lotura baldin bada:
ADMtdnP τπ ⋅⋅⋅=4
22
ADM
td
Pnτπ 2
2⋅
⋅=
errematxe-kopurua (n) P =
P
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
60
66 Xafla zanpatzeak eragindako haustura
Hipotesia
Presioa ukipen-gainazalaren eta ziriaren artean uniformeki banatuta dago.
Flexi-momentua baztergarria da, marruskadura nulua da,...
ADMc ed
Pnσ⋅⋅
= → topean ADM
c edPnσ⋅⋅
= → gainjarrita
OHARRA: Balio onargarriak, ebaketa eta konpresiorako Espainiako MV 103-1968ko arauak emanak.
ronar σβσ ⋅=
→=→=
65.080.0
ββ
==
r
r
σσ
=rσ
Uonar σασ ⋅=
→=→=5.2
2αα
=Uσ 2.400 kg /cm2 A – 37rako, eta 3.600 kg /cm2 A – 52rako
σu = xaflaren altzairuaren kalkulu-erresistentzia
OHARRA: Errematxe-zerrendaren kopurua handiagotzen bada, arazoa hiperestatiko bihurtuko da
eta tentsio-banaketa ez da berdina izango errematxe guztietan.
σONAR Xaflaren konprimitze-tentsio onargarria
e Xaflarik meheenaren lodiera minimoa
P = Ωa σonar
Ωa Zanpatutako eremua
Ωa = nc d e gainjarrita
Ωa = nc d e topean
2.400 kg /cm2 errematxeetarako
2.400 eta 3.000 kg /cm2 bitartean torlojuetarako
Errematxe eta torloju kalibratuen koefizientea
ohiko errematxe eta torlojuen koefizientea
lotura-elementuaren altzairuaren kalkulu-erresistentzia
ohiko torlojuen bidez eginiko loturen koefizientea torloju kalibratuen bidez eginiko loturen koefizientea
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 61
77 Eszentrikoki aplikatutako karga
Errematxe-egituraren grabitate-zentroa zein den zehaztu behar dugu (G).
P indarra grabitate-zentro horretara aldatu behar dugu eta P.e. momentua aplikatu.
* Errematxe bakoitzak P/h karga jasango du, baita grabitate-zentroarekiko proportzionala den indarra ere.
k. momentuak errematxe bakoitzean duen eragina F indarraren bidez adierazi behar dugu. F indar
hori grabitate-zentroa errematxearen zentroarekin elkartzen duen lerroarekiko zuta da.
P uniformeki banatzen da
P.e. grabitate-zentrotik dagoen distantziaren arabera banatzen da
Errematxe bakoitzaren indarrak sortzen dituen momentu guztien baturak P.e.-ren berdina izan behar du:
∑ ∑ ∑=
⋅=⋅=⋅=⋅n
iiii irkrkrFeP
1
22
∑ ⋅
⋅=2ir
ePk
→⋅⋅=∑ i
ii r
rePF2
i errematxean indarra
Errematxe bakoitzaren indar ebakitzaileak honako bektore-batura hau izan behar du:
e
P
nPFR ii +=
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
62
AARRIIKKEETTAAKK
1. ARIKETA
1 cm lodi eta 10 cm zabal diren bi plaka metaliko elkarren gainean jarriz lotu behar ditugu, 20 mm-ko
diametroa duten 4 errematxe erabiliz. 10.000 kg-ko trakzioa jasaten ari direla jakinik, honako hau
kalkulatu:
Errematxeen ebaketa-tentsioa. τ
Konpresio-tentsioa. σc plaken hormetan
Plaken gehienezko tentsio normala. σn
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 63
2. ARIKETA
125 mm zabal eta 15 mm lodi diren bi plaka metaliko tope bidez elkarri lotuta daude, 10 mm lodi
diren zabalera bereko bi juntura-estalkien bitartez. 24 mm-ko diametroa duten torlojuen bidez egin da
lotura hori. Zuloen diametroa 27 mm-koa dela eta plakak 10.000 kg-ko trakzio-esfortzua jasaten ari direla
jakinik, honako hau kalkulatu:
Torlojuen ebaketa-tentsioa. τ
Plaketan dauden zuloen hormetako konpresio-tentsioa. σc
Plaketan dauden zuloen hormetako konpresio-tentsioa. σc
Tentsio normala plaken n1 – m1 ebakiduran.
Tentsio normala plaken n2 – m2 ebakiduran.
Tentsio normala juntura-estalkien n1 – m1 ebakiduran.
Tentsio normala juntura-estalkien n2 – m2 ebakiduran.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
64
3. ARIKETA
Irudian ikusten den oinpekoaren C konexioan 5 mm-ko diametroa duen larakoa erabiltzen da. Jakinik
P presioa = 600 N dela, kalkulatu honako hau:
Batez besteko esfortzu ebakitzailea larakoan
Oinpekoaren C puntuaren zanpatze-esfortzu nominala
C puntuaren euskarri bakoitzaren zanpatze-esfortzu nominala
4. ARIKETA
Beheko irudian ikusten denez, juntura-estalki bikoitzeko errematxatutako loturan 19 mm-ko
diametroa duten errematxeak daude. Errematxe horiek beroan sartu dira 20 mm-ko diametroa duten
zuloetara eta hiruzuloka muntatu dira. Errematxeetan eta xafletan tentsio onargarriak σ1= 1.900 kg / cm2,
τ1 = 1.600 kg / cm2, σ2= 1.600 kg / cm2, τ2 = 800 kg / cm2 dira hurrenez hurren.
Kalkulatu loturak jasan dezakeen F indarra:
Errematxe-elementua ebakiz
Xaflaren trakzioaz
Juntura-estalkiaren trakzioaz
Xafla zanpatuz
Juntura-estalkia zanpatuz
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 65
5. ARIKETA
Irudian ikusten den egiturarentzat honako hau kalkulatu:
Esfortzu normala AB eta CB barretan
Esfortzu ebakitzaileak larakoetan
BC HAGATXOAREN AURREKO BISTA
Mutur laua
AURREKO BISTA
ATZEKO BISTA
AB GOIKO BISTA
Mutur laua
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
66
6. ARIKETA
Zehaztu ondoko irudi honetako errematxeetan eragiten duen indar ebakitzaile handiena zein den,
honako datu hauek kontuan izanik:
P = 5.000 kg
A = 7 cm
B = 12 cm
E = 40 cm
Zehaztu indar handienari zein errematxe dagokion.
e
P
b
b
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 67
Soldatutako loturak
Prozedura honetan metalak fusio bitartez lotzen dira. Hainbat metodo dago prozedura hau egiteko:
Soldagailu oxiazetilenikoaren bitartez.
Arku elektrikoaren bidez.
Beste baliabide batzuk erabiliz, hala nola etzanda, EB, laserra,...
Soldadura bidezko bi lotura-mota hauek bereiz ditzakegu:
Tope bidez eginiko lotura
Lotura hauek jasan dezaketen gehienezko karga soldaduraren sekzio erabilgarria bider tentsio
onargarriaren bidez lortzen dena da.
admbeP σ⋅⋅=max
Gainezarriz egindako lotura
Lotura-mota honek beste bi modu hauek ere baditu:
be
Alboko kordoiduna Aurreko kordoiduna
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
68
Karga maximotzat honako hau hartu ohi da:
Pmax = a b σonar
Kontuan izanik a → Lepoa eta b → Kordoi-luzera direla.
OHARRA: Tentsio onargarriari buruz kontuan hartu beharrekoak:
Esperimentuen bitartez kalkulatzen da tentsioa.
Alboko kordoidunen eta aurreko kordoidunen kasuetan ez da tentsio bera izaten, alboko
soldadurak ebaketaren bidez lan egiten baitu.
Eskuarki taulen bidez kalkulatu ohi da.
OHARRA: Kordoiaren erresistentziak ez da sekula oinarrizko materialaren erresistentzia baino
handiagoa izan behar.
45º
t
a
t → Aldea
a → Lepoa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 69
AARRIIKKEETTAAKK
1. ARIKETA
150 x 150 x 14 mm-koa den ebakidura angeluarreko tenkagailua xafla handi batera soldatuta dago,
irudian ikusten den bezala. Guztizko trakzio-esfortzua P = 47.000 kg-koa da; lepoa, a = 9 mm-koa.
Soldadura-metalaren laneko tentsioa τ = 950 kg/cm2 baldin bada ebaketan, zein L1 eta L2 luzera
izango dituzte soldadura-kordoiek?
Kargak eragiten duen lerroan profil angeluarraren grabitate-zentroarekin bat dator.
a1 = 4,21 cm
a2 = 10,79 cm
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
70
6. ERANSKINA: MV – 103 Oinarrizko arauaren formula orokorrak
LOTURA
Kasua ESKAERA LOTURA ADIERAZPEN PRAKTIKOA
TRAKZIOA
TRAKZIOA
TRAKZIOA
TRAKZIOA
Alboko soldadurak soilik
Aurreko soldadurak soilik
Soldadura zeiharrak soilik
Aurreko eta alboko soldadurak konbinatuta L2 ≥ 1,5 h denean
Alboko kordoiak soilik hartu behar dira
k t
6. kasuko L3 kordoia saihestu egin
behar dugu
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 71
Aurreko eta alboko soldadurak konbinatuta
β-ren balioak 3. kasuaren arabera
Honako hau bete behar da:
KASUA
TRAKZIOA
TRAKZIOA
TRAKZIOA
Aurreko eta alboko soldadurak konbinatuta
ESKAERA LOTURA ADIERAZPEN PRAKTIKOA
0,5 h < L2 ≤ 1,5 h denean Loturak transmiti dezakeen gehienezko esfortzua
Adierazpen hauetan:
β-ren balioak 3. kasuaren arabera Honako hau bete behar da:
0,5 h < L2 ≤ 1,5 h denean Loturak transmiti dezakeen gehienezko esfortzua
β-ren balioak 3. kasuaren arabera Honako hau bete behar da:
L2 ≥ 1,5 h denean Loturak transmiti dezakeen gehienezko esfortzua
β-ren balioak 3. kasuaren arabera Honako hau bete behar da:
Aurreko eta alboko soldadurak konbinatuta
Aurreko eta alboko soldadurak konbinatuta
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
72
KASUA ESKAERA LOTURA ADIERAZPEN PRAKTIKOA
Honako hau bete behar da:
Adierazpen hauetan:
Aurreko luzetarako soldadurak soilik
Flexio--sinplea
Flexio--sinplea
Flexio--sinplea
Aurreko zeharkako soldadurak soilik
Aurreko, luzetarako eta zeharkako soldadurak
e >> L denean
W soldaduren modulu erresistentea izanik
e >> L denean
A1 soldadurak
A2 soldadurak
A3 soldadurak
W soldaduren modulu-erresistentea izanik Momentua a1 eta a2 soldadurek xurgatu dutela eta ebaketa--esfortzua a3 soldadurak jo daiteke.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 73
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
74
Flexioa, tortsioa eta
ebaketa--esfortzua
konbinatuta
Tortsioa eta ebaketa-
-esfortzua konbinatuta
KASUA ESKAERA LOTURA ADIERAZPEN PRAKTIKOA
Alboko eta aurreko bina soldadura 0,5 h < L2 < 2 h denean 1 soldaduretarako gehienezko tortsio-momentu onargarria.
2 soldaduretarako gehienezko tortsio-momentu onargarria.
F* e momentua deskonposatzen da M1 eta M2-rekiko proportzionalki.
Ebaketa-esfortzua (juntura-planoan baldin badago edo eszentrikotasu-na txikia bada) 2 soldadurek xurga-tu dutela jo daiteke. 1 soldadura makurdura soilarekin kalkulatzen da. 2 soldadura 11. kasukoa bezala kalkulatzen da.
0,5 < L < 2h denean, a kasua:
M1 eta F*-gatik lortutako σ, tn eta tm balioak 13. kasuan bezala lortzen dira M*-gatik lortutako σ eta tm balioak 10. kasuan bezala lortzen dira
( 0=τ fMa )
b kasua: M*-gatik, tentsioak lortzen ditugu:
Non: A, soldaduren lepo--ebakiduraren erdiko lerroak hesitako lerroa, loturaren plano gainera eraitsia den; a, aipatu gunean soldadurak daukan lepo--dimentsioa den.
Gainerako tentsioak eta solda-duren egiaztatzea a kasuan bezalakoak dira.
Kasu guztietan honakoa bete behar da:
Oro har, lotura horietan tortsioaren eraginez sortutako tentsioen kalkuluak alde batera utz daitezke.
Tortsioa eta ebaketa-
-esfortzua konbinatuta
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 75
44 FFLLEEXXIIOOAA
4.1 Flexioaren hastapenak
Euskarriak habeak egituraren gainerakoarekin dituen loturak dira. (Izan ere, habearen askatasun-
-mailaren murrizketak dira euskarriak).
Habeak sei askatasun-maila ditu.
Euskarri bat jartzen dugunean, askatasun-maila bat murrizten dugu eta erreakzioa
sorrarazten dugu.
Ikusiko ditugun euskarri-motak euskarri idealak dira, eta askatasun-mailak modu ideal eta
teorikoan murrizten dituzte.
Habe gehienek edonolako ebakidura izango dute, baina guk simetria-planoa dutela (baita
indar eta kanpoko ekintza guztiak bertan daudela ere) joko dugu.
Euskarri-mota ohikoenak honako hauek dira:
Euskarri finko giltzatua
» Murrizten diren bi mugimenduen ondorioz bi erreakzio-mota izango ditugu kasu
honetan.
» Biraketa-mugimendua ez dago murriztuta.
Rx
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
76
Euskarri finko labaingarria
» Ez du momenturik transmititzen.
Horman sartutako euskarria
» Euskarri-mota honek planoan egon daitezkeen murrizketa guztiak ditu.
OHARRA: Habean dugun ezezagun-kopuruaren arabera, habeak isostatikoak edo hiperestatikoak
direla esango dugu.
Ry
Rx
Mz
Ry
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 77
Isostatikoak
1. adib.: Habeak estatikoki zehaztuta daudenean (estatikaren oreka-ekuazioen bidez erreakzioak
kalkula daitezke).
∑∑
==
=+=
0;0
;0
RaxFx
PRbyRayFy
2. adib.: Hegala (edo mentsula) duen habean.
L
a b
BAP
RbyRay
( )allP
laPPRay
laPRby
aPlRbyMa
−⋅=⋅−=⋅=
=⋅−⋅=∑;
0
P
L
a
RaxMa
Ray
Rax = 0
Ray = P
Ma = P . a
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
78
Hiperestatikoak
Estatikoki zehaztu gabeak diren habeak: ezezagun-kopurua proposa daitezkeen estatika-ekuazioak
baino handiagoa da.
n → hiperestatikotasunaren maila-kopurua
4.2 Indar ebakitzailea eta flexio-momentua
Habe jakin bat diseinatzean edota aztertzean habearen ebakidura bakoitzean eragiten duen flexio-
-momentua ezagutzea interesgarria da.
Ebakidura kritikoa flexio-momentu maximoa edo indar ebakitzaile maximoaren eragina jasaten duen
ebakidura da.
Indar ebakitzailearen eta flexio-momentuaren diagrametan habean zehar bi balio hauek nola
aldatzen diren ikus daiteke.
n = 2
n = 1
n = 3
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 79
Honako urrats hauek eman behar ditugu:
Aztertu behar dugun habea isolatu. (Euskarrietako erreakzioak kalkulatu)
Indar ebakitzaileak eta flexio-momentuak lege bati jarraitzen diotela ikusten dugunean habe-
-zati horiexek aukeratu.
Euskarri batetik hautatutako habe-zati horietako bakoitzera ebaketa egin.
Ebaketa-esfortzuen legea aztertu.
Flexio-esfortzuen legea aztertu.
Ebaketaren printzipioak dioenez, piezaren irudimenezko ezkerreko aldean eragiten duten barne-
-esfortzuak eta ebakidura horren eskuineko aldean eragiten duten kanpo-esfortzuak berdinak dira.
Esfortzu horiek habean zehar modu sinple eta trinkoan adierazi ahal izateko esfortzu-diagramak erabiliko
ditugu. Esfortzu-diagrama horiek ondoren adieraziko ditugun motakoak izan daitezke:
Esfortzu normalen diagrama (ebakidurarekiko indar normalak).
Esfortzu ebakitzaileen diagrama (indarrak ebakidura-planoan kokatuta).
Flexio-momentuen diagrama (momentuak ebakidura-planoan kokatuta).
Tortsio-momentuen diagrama (ebakidurarekiko momentu normalak).
Eskuarki hitzartutako honako ikur hauek erabili ohi dira:
» Esfortzu normalak positiboak dira habea trakzioaren eraginpean dagoenean.
» Flexio-momentuak positiboak dira goiko zuntzak konprimitzen direnean eta beheko zuntzak, aldiz,
tenkatzen direnean.
» Ebaketa-momentuak positiboak dira ezkerraldeko aldeak eskuinaldekoarekin konparatuz gorantz
joateko joera duenean.
-+M
N N+dN N
M M+dM
M+dM
Q
Q
Q+dQ
Q+dQ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
80
Ariketak
1. MOTA: KARGA KONTZENTRATUAK EDO PUNTUALAK
1. Ariketa
Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.
2. Ariketa
Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.
5 m
2,5 m
BA
P= 4000 Kg
B
A
2000 Kg
2000 Kg
4 m 2 m 2 m
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 81
BA
2000 Kg
2000 Kg
3
5
0,5
3. Ariketa
Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.
4. Ariketa
Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.
BA
2,8 Tn 8 Tn 2,5 Tn
1 m 1,3 m 1,3 m 1
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
82
2. MOTA: BANATUTAKO KARGAK
1. Ariketa
Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.
2. Ariketa
Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.
BA
1000 Kg/m
4
500 Kg/m
3000 Kg800 Kg/m
4 m4 m
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 83
3. Ariketa
Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.
4. Ariketa
Marraztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagrama.
BA
6 cm 3 cm 3 cm
4000 kg1000 kg/cm
BA
500 Kg/m1000 Kg
500 Kg/m
1000 Kg
2 m 2 m 2 m
2 m
2 m
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
84
4.3 Ebaketa-esfortzuaren, flexio-momentuaren eta kargaren arteko erlazioak
Demagun Q izeneko karga-sistema aldakorraren eraginpean dagoen habe-zatia daukagula.
Karga T ebaketa-esfortzuaren X-en deribatua da.
dMMdxQdxTdxM
M
+=⋅−+
=∑
2
0
Goi-mailako elementu diferentzialak baztergarriak direla kontuan izanik, honako hau idatz dezakegu:
Q
dx
M T T+dT M+dM Aislamos el elemento
M T T+dT M+dM
dx
Elementua isolatu
egingo dugu
( )
dxdTQ
dTTQdxTF
−=
=+−−→=∑ 00
∫ ⋅−= dxQT
∫ ⋅=→=
+=+
dxTMdxdMT
dMMTdxM
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 85
1. Ariketa
Zehaztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak. Kalkulatu, halaber, flexio-
-momentu maximoa.
3. Ariketa
Zehaztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.
AB
L
P
P
4m8m2m
5 Tn 3,5 Tn
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
86
4. Ariketa
Zehaztu ebaketa-esfortzuaren eta flexio-momentuaren diagramak.
5. Ariketa
Eraiki arkupe honen ebaketa-esfortzuen, flexio-momentuen eta esfortzu normalen diagramak.
2,8 Tn 2,5 Tn8 Tn
1 m 1,3 m 1,3 m 1 m
D
C
B E
A
2Tn2 Tn·m
3 m
4,5 m1 m
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 87
4.4 Flexio puruaren hastapenak
C eta D puntuen artean flexio-momentua konstantea da. Flexio-momentua konstantea denean
ebaketa-esfortzua nulua da, hau da, honako hau flexio hutsaren kasua izango litzateke.
AC D
B
P P
L
a a
P·x
P+
P-
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
88
Ordezkari bakarra flexio-momentu positiboa da (ez dago ez, ebaketa-esfortzurik eta ez indar
normalik – trakziorik edo konpresiorik, alegia -). Horrelako karga jasaten duen habe-zatiari flexio hutsa
jasaten ari dela esaten zaio.
4.5 Flexio hutsa. Navier-en legea
Prisma mekanikoaren ebakidura zuzenean, alde batean kokaturiko indarren ordezkaria nulua
denean eta momentu ordezkaria ebakidura horretan bertan dagoenean, prisma hori FLEXIO HUTSEAN
dagoela esango dugu.
Horretaz gainera, momentu-bektorea inertziaren erdialdeko ardatz batean baldin badago, FLEXIO SIMETRIKOA dela esango dugu.
Esperientziari esker, badakigu flexio-momentuak eragiten duenean momentu beraren sortzailea
kurbatu egiten dela: zuntz batzuk laburtu egiten dira eta beste batzuk luzatu egiten dira. Laburtzen diren
zuntzak ezinbestean konpresio-indarren eraginpean daude eta luzatzen direnek, berriz, trakzio-indarrak
jasaten dituzte. Argi dago (homogeneotasunari, jarraitasunari eta isotropiari buruzko hipotesiak onartuta,
jakina) laburtuko eta luzatuko ez den zuntza ere badagoela, eta zuntz horrek ez duela inolako tentsiorik
jasaten eta horrexegatik esaten zaio ZUNTZ NEUTROA.
Aurrerago ikusiko dugunez, zuntz neutro horrek prismaren ebakidura guztien grabitate-zentroak ditu
bere baitan.
(a) Flexio hutsa (b) Flexio simetrikoa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 89
Flexioa aztertzean honako oinarrizko hipotesi hauek onartuko ditugu:
1. Flexioan dagoen solidoak elastikotasun proportzionalaren mugak ez ditu gainditu behar.
2. Deformazioaren aurretik lauak ziren ebakidurak deformazioaren ondoren ere lauak izango dira
(Bernoulliren hipotesia).
3. Deformazioek aski txikiak izan behar dute deformazioaren lehenengo hurbilketan kanpo-indarren
eragina alda ez dadin
Ulertzekoa da kanpoko zuntzek, gehien deformatuko diren zuntzak direnez, tentsio handiagoak
jasatzea.
Ondoren tentsio horiek nola aldatzen diren (NAVIER-EN LEGEA) eta zein balio duten ikusiko dugu.
Demagun AB zuntz neutroaren traza dela eta bere kurbadura-erradioa ρ dela.
ϕρ ddx ⋅=
dxdϕ
ρ=1
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
90
HJ marrak eskuineko ebakidura deformatu gabe adierazten badu, marra hori eta ED marra
paraleloak direla ikus daiteke. Deformazioaren ondoren, eta BERNOULLI-ren hipotesiaren arabera,
ebakidura hori dϕ angelua biratuko da eta laua izaten jarraituko du. Beraz:
MN = ydϕ
PN = dx
MN = ∆dx
Eta hemendik honako hau lortuko dugu:
Eta horren guztiaren ondorioz:
Navier-en legea
Flexio purua jasaten ari den ebakiduran, zuntzetan eragiten dituzten tentsioak zuntz neutroarekiko
dagoen distantziarekin zuzenki proportzionalak dira.
Tentsio horien adierazpen grafikoak lineala izan behar du, eta espero zitezkeenez, konpresio- eta
trakzio-indar maximoak kanpoko zuntzei dagozkie.
ρ
ϕε
ydxdy
PNMN
dxdx
x =⋅
==∆=
ρε
yx = yEExx ⋅==
ρεσ
Ardatz neutroa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 91
Ebakiduraren grabitate-zentroa zuntz neutroan dagoela egiaztatuko dugu orain. Hain zuzen ere,
oreka elastikoaren baldintzak bete behar direnez, kanpoko eta barneko indarren ordezkariak nulu izan
behar du ebakidura guztietan.
Hori horrela izanik, honako hau idatz dezakegu:
Honako balio hauek kontuan izanik:
Kontuan izanik “y” horiek grabitate-zentroa duen ardatzarekiko ebaki egin behar direla, zeren:
Plano berean dagoen ardatzarekiko gainazal lauaren momentu estatikoa da eta nulua kasu horretan
soilik izango da.
Ebakiduran oreka elastikoa bermatzeko ez da nahikoa ordezkaria nulua izatea. Horrez gainera,
nulua izan beharko du ebakiduraren G grabitate-zentroarekiko kanpoko eta barneko indarren momentu
ordezkariak ere. Horrenbestez, kanpoko indarren momentuaren (flexio-momentua ere deitua) eta
barneko indarren momentuaren modulua berdinak izango dira.
Hori guztia jakinik, honako hau idatz dezakegu:
zIy
dyy
dyM ⋅=Ω⋅=Ω⋅⋅= ∫∫ΩΩ
σσσ 2
Z-rekiko inertzia-momentua honako hau izango da:
∫Ω
Ω⋅= dyI z2
0=Ω⋅=Ω⋅⋅=Ω⋅ ∫∫∫ΩΩΩ
dyy
dyy
d σσσ
ctetg =ϕyσϕ =
0=Ω⋅∫Ω
dσ ∫Ω
Ω⋅ dσ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
92
Aurreko formula horretan tentsioa bakanduz gero, honako hau lortuko dugu:
Gauza bera beste modu honetara ere idatz daiteke:
Eta hemendik hauxe ondorioztatuko dugu:
Ondorioz, honako hau bete egin beharko da: kokatutako ebakiduraren momentu erresistentea
kontuan hartutako ebakiduraren beharrezko momentu erresistentearen berdina edo handiagoa
izango da.
Lehen azaldu dugun teoria flexio hutsaren kasurako garatu da, hau da, habe osoan zehar flexio-
-momentua konstantea den kasurako. Kasu horretan ebakidura zuzen guztietan ebaketa-esfortzua nulua
izango da eta flexioak eragindako tentsio normalak sortuko diren tentsio bakarrak izango dira.
zIyM ⋅
=σ
yIMz
=σ
max
max
yIMz
=σ
===maxmax yI
WM zzσ
EBAKIDURAREN MOMENTU ERRESISTENTEA
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 93
Forma geometriko arrunten inertzia-momentuak
LAUKIZUZENA
( )22
3
3
3'
3'
121
3131121121
hbbhJ
hbI
bhI
bT
bhT
C
Y
X
hY
X
+⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
TRIANGELUA
3
3'
121361
bhI
bhT
X
X
⋅=
⋅=
ZIRKULUA
40
4
21
41
rJ
rTT YX
π
π
⋅=
⋅==
ZIRKULUERDIA
40
4
41
81
rJ
rII YX
π
π
⋅=
⋅==
ZIRKULU-LAURDENA
40
4
81
161
rJ
rII YX
π
π
⋅=
⋅==
ELIPSEA
( )22
3
3
414141
baabJ
baT
abT
C
Y
X
+⋅=
⋅=
⋅=
π
π
π
y
xo
y
xo r
c
y
xo r
c
xb
x'
h/3
hx
b
x'
y y'
h
x
y
o
b
a
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
94
Habea eta karga Kurba elastikoa Deflexio maximoa Muturrean malda Kurba elastikoaren ekuazioa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 95
T bikoitza profil arrunta (ipn)
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
96
A = Ebakiduraren sekzioa
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa
sx = x
x
S I
= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia
y-y ardatzari dagokio
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 97
T bikoitza europako profila (ipe)
Neurriak (mm) Sekzioa
A cm2
Pisua P
kg/m
x-x ardatzari dagokio
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
98
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa
sx = x
x
S I
= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia
n = Errendimendua
u = Perimetroa
y-y ardatzari dagokio
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 99
T bikoitza hegal zabala. Serie ertaina (heb)
Neurriak (mm) Sekzioa
A cm2
Pisua P
kg/m
x-x ardatzari dagokio
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
100
y-y ardatzari dagokio
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa
sx = x
x
S I
= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia
n = Errendimendua
u = Perimetroa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 101
T bikoitza hegal zabala. Serie arina (hea)
Neurriak (mm) Sekzioa
A cm2
Pisua P
kg/m
x-x ardatzari dagokio
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
102
y-y ardatzari dagokio
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa
sx = x
x
S I
= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia
n = Errendimendua
u = Perimetroa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 103
T bikoitza hegal zabala. Serie astuna (hem)
Neurriak (mm) Sekzioa
A cm2
Pisua P
kg/m
x-x ardatzari dagokio
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
104
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa
sx = x
x
S I
= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia
n = Errendimendua
u = Perimetroa
y-y ardatzari dagokio
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 105
Ohiko u-formako profila (upn)
Neurriak (mm) Pisua
P kg/m
x-x ardatzari dagokio Sekzioa
A cm2
y-y ardatzari dagokio
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
106
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
Sx = Ebakidura-erdiaren momentu estatikoa
sx = x
x
S I
= Trakzio- eta konpresio-zentroen arteko distantzia
m = G barizentrotik M ebaketa-esfortzuen zentrora dagoen distantzia
n = Errendimendua
u = Metro linealeko albolko gainazala
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 107
Alde berdineko angelua (l)
Neurriak (mm) Sekzioa
A cm2
Pisua P
kg/m
Ardatzen kokapena (cm)
* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
108
Ardatzei dagokio
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
u = Metro linealeko alboko gainazala
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 109
Alde berdineko angelua (l)
Neurriak (mm)
Sekzioa A
cm2
Pisua P
kg/m
Ardatzen kokapena (cm)
* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
110
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
u = Metro linealeko alboko gainazala
Ardatzei dagokio
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 111
Alde berdineko angelua (l)
Neurriak (mm)
Sekzioa A
cm2
Pisua P
kg/m
Ardatzen kokapena (cm)
* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
112
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
u = Metro linealeko alboko gainazala
Ardatzei dagokio
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 113
Alde desberdineko angelua (ld)
Neurriak (mm) Sekzioa
A cm2
Pisua P
kg/m
Ardatzen kokapena (cm)
* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
114
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
Ardatzei dagokio
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 115
Alde desberdineko angelua (ld)
* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak
Neurriak (mm)
Sekzioa A
cm2
Pisua P
kg/m
Ardatzen kokapena (cm)
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
116
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
Ardatzei dagokio
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 117
Alde desberdineko angelua (ld)
Neurriak (mm) Sekzioa
A cm2
Pisua P
kg/m
Ardatzen kokapena (cm)
* UNE 36-531-72 arauak gomendatutako profilak ** NBE 102 arauak gomendatutako profilak
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
118
A = Ebakiduraren azalera
I = Inertzia-momentua
W = Modulu erresistentea
i = AI = Biraketa-erradioa
Ardatzei dagokio
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 119
80 mm
120 mm
6 mm
Ariketak
1. Ariketa Irudian ikus daitezkeen habea eta kargak ditugu. Kalkulatu honako datu hauek:
a) Flexio-momentuaren balio absolutu maximoa
b) Flexioak eragindako esfortzu normal maximoa
2. Ariketa
Irudian ikus daitekeen tutu angeluzuzena aluminiozko aleazioarekin lortzen da. Aluminioari honako
datu hauek dagozkiola kontuan izanik: GPaEMPaadm 70110 ==σ
Kalkulatu honako datu hauek:
a) 3 segurtasun-faktorea duen M flexio-momentua
b) Tutuaren kurbadura-erradioa (l)
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
120
3. Ariketa
Kalkulatu lurreko habexken h zoruaren karga 700 kg/m-koa dela eta euskarrien artean 3 m dagoela
jakinik. Kontuan izan habexkek 5 cm-ko lodiera dutela eta 70 kg/ cm2-ko laneko tentsioa dutela.
4. Ariketa
Ondoko irudia kontuan hartuta, kalkulatu honako datu hauek:
a) Tentsio maximoa
b) Erdialdeko tartearen kurbadura-erradioa (l)
c) Gezia
1000 Kg 1000 Kg
0,8 m 0,8 m3,8 m
1000 Kg 1000 Kg
0,8 m 3,8 m 0,8 m
700 Kg/m5
h
700 Kg/m 5
h
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 121
5. Ariketa
Honako habe honen ebakidura kritikoa aurkitu, bai eta tentsio maximoa ere.
B = 20 cm
H = 30 cm
6. Ariketa
Irudi honetako ardatzak zirkulu-formako ebakiduran izan behar duen diametro txikiena zenbatekoa
den. Kalkulatu honako material hauekin eraikitzen bada:
MUGA ELASTIKOA RM HAUSTURAREKIKO ERRESISTENTZIA Altzairu ijetzia 520 Mpa 860 Mpa
Titaniozko aleazioa 825 Mpa 960 Mpa
2014-T6 aluminioa 480 Mpa 410 MPa
500 N 500 N60 Nm
120 mm 120 mm200 mm 100 mm
500 N 60 Nm 500 N
120 mm 200 mm 100 mm 120 mm
800 Kg/m
1500 Kg 2000 Kg
1,2 2 2
1500 Kg 2000 Kg
800 Kg/m
1,2 2 2
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
122
7. Ariketa
T eta M flexio-diagramak marraztu. Kalkulatu tentsio normal maximoa eta hautatu habearen
materiala (zirkulu-formako ebakidura duen habea, Ø 60 mm-koa delarik).
8. Ariketa
Kalkulatu irudian ikus daitekeen habeak jasan ditzakeen flexio-momentuen arteko erlazioa bere
erabilpen-modua aldatzen denean. Kontuan izan habearen alde handiena h = 60 mm eta alde txikiena
b = 30 mm direla.
3 Kg/m P=10 Kg
80 30 20 30
P=10 Kg 3 Kg/m
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 123
9. Ariketa
Ebakidura angeluzuzena duen altzairuzko barrak tenperatura-aldaketak jasaten ditu. Ondorioz, goiko
aldea AT = 40 ºC-raino berotuko da eta beheko aldea, berriz, AT = -40 ºC-taraino hoztuko da.
Tenperaturaren banaketa modu linealean aldatuz doa muga horien artean h = 80 mm-ko altueran.
Zehaztu barrak izango duen kurbadura bere muturrak oinarri dituenean.
Zehaztu flexio-momentua eta tentsio maximoa barraren muturrak horman sartuta
daudenean.
α= 12 x 10-6
10. Ariketa
Irudi honetako datuak kontuan hartuta, kalkulatu flexio-momentua.
AT =
-40
ºC
AT =
40
ºC
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
124
4.6 Flexioa jasaten duen habearen ebakidura zuzenaren formarik egokienaren
kalkulua
σ ardatz neutrotik urrutien dauden
puntuetan ezin da R tentsio onargarria
gainditu. Hortaz, gainerako puntuetan σmax <
Rp → tentsioak kanpoaldeko zuntzetan
daudenez, barnealdeko zuntzek lan gutxi
egiten dute. Ondorioz, materiala ez dago ondo erabilita.
Beraz, honako hau egitea komeni da:
Arima txikiagotu egin behar da. Arima meheagoa izatea komeni da, tentsioek, lan gutxi
egiteaz gain, ardatz bertikalean momentuak sorrarazten baitituzte.
Masa ardatz neutrotik urruti kontzentratu behar da. Izan ere, σ dΩ esfortzuek, ardatz
neutroraino zenbat eta “y” distantzia txikiagoa izan, hainbat eta momentu txikiagoak
sortuko baitituzte. Ondorioz, ardatz neutrotik hurbil dauden dΩ elementuek ez dute kasik
lagunduko M jasaten.
Hori horrela izanik, T bikoitzaren forma duen habeak flexio-esfortzuak jasateko ebakidura ideala
dauka. Adibidez:
Horren abantaila ikusteko Ω azalera bera duen
ebakidura angeluzuzeneko habearekin konparatuko dugu.
* T bikoitzaren forma duen habearen ebakidura
hy
IW
MAX
Z Ω= 32,0
* Ebakidura zuzena
hhbh
hb
yI
WMAX
Z Ω≈⋅=⋅
== 167,06
2
12 23
s
h
Ω
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 125
Kontuan izanik WRpMWMWM
MAX ⋅=→⋅=→= 2,0σσ dela, → W zenbat eta handiagoa izan,
hainbat eta gehiago jasan ahal izango du.
(Rp0,2 0,2ko deformazioa sortuko duen ehuneko elastikoa da)
Ondorioz, hauxe lortuko dugu: ebakidura eta altuera bera izanik, T bikoitzeko profilak flexio-momentu
bikoitza jasan ahal izango du.
Arrazonamendu hau muturrera eramaten badugu, masa guztia muturretan kontzentratuta egongo
balitz (profilaren hegaletan, alegia) eta profilaren arima izugarri mehea balitz...
Kalkulu horretatik hauxe ondoriozta dezakegu:
Arimaren lodiera ahalik eta txikiena izatea lortu behar dugu. Ebakidura ahalik eta altuena izatea lortu behar dugu, ebakidura konstantea izanik,
zenbat eta h handiagoa izan, hainbat eta W handiagoa izango baitugu.
Halaz ere, kontuan izan behar dugu habeak karga bertikalak ere jasan behar dituela, eta kasu
horretan zurruntasun bertikaleko arazoak agertuko dira. Arazo horiek gilbordura eta ezegonkortasunak
eragingo dituzte, baita ezegonkortasun elastikoko fenomenoak ere, eta horiek guztiak arima oso mehea
baldin bada, arima makurtu egingo dute.
OHARRA: Habean tentsio maximoak kanpoko zuntzetatik ardatz neutrora dagoen distantziarekiko
proportzionalak dira.
OHARRA: Gerta daiteke W trakzioan eta konpresioan berdina ez izatea. Adibidez:
Imaginemos que todo el áreaestá concentrada (actua) en estepunto
Demagun azalera osoa puntu honetan
kontzentratuta dagoela (puntu honetan eragiten
duela, alegia).
hhh
h
yI
WhMAX
Z Ω=Ω=
⋅
Ω⋅
==⇒Ω 5,02
2
222
,
2
∫ Ω⋅= dyI Z2
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
126
OHARRA: Material batzuek ez dute muga elastiko bera trakzioan eta konpresioan:
Materialak trakzio- eta konpresio-erresistentzia bera baldin badu, grabitate-zentroa erdibideko altueran duten ebakidurak hartzea komeni da.
Materialak trakzio-erresistentzia txikia eta konpresio-erresistentzia oso handia baldin badu
(burdinurtua eta hormigoia, kasu), kanpoaldeko zuntzen eta zuntz neutroen arteko distantzia eta trakzioarekiko eta konpresioarekiko tentsio onargarrien arteko erlazioa berdinak dituen ebakidura hautatu beharko dugu.
* Horrela trakzioan eta konpresioan erresistentzia bera izatea lortuko dugu.
* Hegalaren eta arimaren neurriak konbinatuz grabitate-zentroa (hots, ardatz neutroa) nahi dugun
tokian kokatu ahal izango dugu.
* Ardatz neutroaren kokapenaren arabera, trakzio- eta konpresio-mugetara aldi berean iristen diren
habeak lortu ahal izango ditugu.
Adibidea:
Burdinurtu grisa edo hormigoiaren kasuan.
TRAKZIOAKONPRESIOA RpRp ⟩⟩
Balio horiek berdinak dituzten habeak lortuko ditugu erlazio hauek erabiliz:
KONPRESIOA
TRAKZIOA
RpRp
yy
=21
2
1
yIzW
yIzW
TRAKZIOA
KONPRESIOA
=
=
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 127
Honako hau kasu horren ohiko
adibidea da: T alderantzikatuaren
forma duen habea erabiliko dugu.
Arimaren eta hegalaren neurriak
konbinatuz materialaren forma
trakzioak eta konpresioak eskatzen
dituzten premietara egokituko dugu.
Habe-mota horretan “v” handiagotu egingo da “l” gehiegi
handiagotu gabe. Ondorioz, W erresistentzia-modulua (W = I/v =
I/y) angeluzuzenarena, irtengunerik gabe, baino txikiagoa izango
da. Hortaz, muga elastikora berehala iritsiko gara A puntuetan,
pitzadura sortu denean nekez geldiaraziko baitugu.
Ertzak apur bat jaten baditugu, W-ren balioa % 5 hobetzea lortuko dugu;
(W = I/ yMAX )
1. Ariketa
Ondoko irudia kontuan izanik, habearen gainean bagoitxo mugikorraren kokapen desegokiena zein
den zehaztu. Gurpil bakoitzaren karga P = 5.000 kg; L = 7,20 m eta d = 1,8 m direla eta habearen pisua
kontuan hartzekoa ez dela jakinik, kalkulatu momentu maximoa zein den.
A
A
(W; trakzioarekiko erresistentzia-modulua)
L
x d
PP
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
128
2. Ariketa
2.000 kg-ko gurpila habean zehar ibiliko da. Habe horrek A eta B ditu euskarri eta L = 6 m. Kalkulatu
habeak jasaten duen flexio-tentsioa habearen erresistentzia-modulua W = 250 cm3 dela jakinik.
3. Ariketa
Oinarri baten gainean dagoen habe batek P1 = 500 kg eta P2 = 1.000 kg gurpil-kargak jasaten ditu,
irudian ikus daitekeen bezala. Gurpilen artean 0,5 m-ko tartea dago, baina X distantziaren bidez
zehaztutako nahi dugun kokapena jar dezakegu habearen gainean. Kalkulatu P2 gurpilaren azpiko
flexio-momentu maximoa duen X-en balioa eta momentu horri dagokion flexio-tentsio maximoa.
Erresistentzia-modulua 125 cm3-koa da.
5 m
x1
P1
P2
0,5
6 m
x1
P=2000 KgP=2000 Kg
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 129
4.7 Esfortzu-kontzentrazioa flexioan
1⟩
⋅
=
Ki
yMK MAXσ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
130
1. ARIKETA
Altzairuzko barran 10 mm sakon diren bi koska egingo dira. Barra hori 60 mm zabal eta 9 mm lodi
da. Kalkulatu koken arteko zabalera minimoa zein da, barraren tentsioak 150 MPa baino handiagoa ez
duela izan behar jakinik. M = 180 Nm.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 131
55 TTOORRTTSSIIOOAA
5.1 Sarrera
Demagun zirkulu-formako ebakidura duen habea dugula eta habe hori Mt tortsio-momentua
jasaten ari dela.
Isolatu ondoren ikus ditzagun horman sartutako habean agertzen diren erreakzioak.
Ondoren A-B ebakiduran ebaketa egingo dugu eta ebaketa horrek ardatzaren luzera-ardatzarekiko
zuta izan behar du.
Kanpoko Mt momentuak irudian ikus daitezkeen indarrak sorrarazten ditu. Elementu batek tortsioa
jasaten duenean, luzera-ardatzarekiko zutak diren ebakidura lauek ez dute lauak izaten jarraituko.
Fenomeno horri kopadura deritzo.
Tortsioa jasaten ari den solidoak ebakidura mugitzea saihesten badu (hau da, deformatzea
saihesten badu), orduan kopadura-esfortzuak agertuko dira.
Mt Mt
dF
dF
B
A
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
132
Zirkulu-formako ebakidura itxietan ebakidura lauak esfortzuaren ondoren lauak izango dira.
Alabaina, ez da gauza bera gertatuko ebakidura ez zirkularreko habeetan.
Habe horietako ebakidura bakoitzean kanpoko Mt esfortzuak sortu duen T indarra (Tx = Mt) dF indar
guztien batura dela egiaztatzen da (horietako bakoitza dagokion ebakiduraren puntuan aplikatzen delarik).
Gai infinitu horien batura (integrala) honako hau izango da:
∫ ∫ ⋅⋅=⇒⋅=→⋅=A A
dArMtdAdFcomodFrMt ττ (Non ∫ ≡A
azaleraren integrala)
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 133
5.2 Ebakidura zirkularreko habeen tortsioa
Hipotesia
Akzioa
Ebakidura zuzenak deformatzen direnean beren zentroarekiko biratzen dira.
Ebakidura lauak deformazioaren ondoren zirkularrak eta lauak izango dira.
Erreakzioa
Deformazioaren ondoren erradioak lerrozuzenak izango dira.
Ebakidura zuzeneko bi erradioen arteko angelua ez da aldatuko.
* Ondorioa
Ebakidura zuzena deformatu egiten denean bere ardatzaren
inguruan biratuko da disko zurruna balitz bezala.
Hipotesi horiek guztiak onargarriak izango dira material isotropoak
erabiltzen ditugunean eta eremu elastikoaren barnean lan egiten dugun
bitartean, jakina.
Tortsiorako Hookeren legea. Deformazio-angeluen kalkulua
Demagun jakineko tortsio-momentua jasaten ari den habea dugula eta deformatuko den angelu
maximoa, bai guztira eta bai luzera-unitate bakoitzeko, kalkulatu nahi dugula.
τ = ebaketa-tentsioa
τ = G · γ G = tortsio-zurruntasunaren modulua
γ = deformazio-angelua
Kalkuluak egiteko habearen zati bat hartuko dugu (2. irudia):
dxd
dxacdcc
dxcc
accc
cdcdabab
ψργ
ψργ ⋅=⇒
=⋅=
→==
=
=
'''
''
(θ luzera-unitate bakoitzaren tortsio-angelua) θ=Ψdxd
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
134
Kontuan izanik G eta θ konstanteak direla, luzera-unitate guztiak berdin aurreratzen dira, eta
ondorioz, honako hau esan dezakegu:
γ = ρ · θ
OHARRA: Zergatik dira konstanteak G eta θ balioak?
Tentsioak ρ erradioarekin linealki aldatu egiten direlako.
ρ⋅= dFMt
dAdF=τ
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 135
Hortaz, eta tentsioak erradioarekin linealki aldatu egiten direla kontuan izanik:
θργτ ⋅⋅=⋅= GG
(Hookeren legea)
Ω⋅⋅⋅⋅=⋅Ω⋅ dGddF
2ρθρτ
τ→ tentsioa
G → zurruntasun-modulua
ρ → erradioa
θ → luzera-unitate bakoitzeko tortsio-angelua
Ω → azalera
→Ω⋅⋅⋅=Ω⋅⋅⋅= ∫∫=
0
022
I
rdGdGMt
ρρθρθ
→⋅⋅=→ 0IGMt θ
G → zurruntasun-modulua (Pa)
Mt → tortsio-momentua (N m)
θ → luzera-unitate bakoitzeko tortsio-angelua (Rad/m)
I0 → inertzia-momentu polarra (m4)
Ebakidura zirkulu-formakoa baldin bada: 32
4
0dI ⋅= π
G I0 → TORTSIO-ZURRUNTASUNA edo zurruntasuna esaten zaio.
(Tortsio-zurruntasuna honela definitzen da: luzera-ardatzarekiko unitatearen deformazio-angelua bider
tortsio-zurruntasunaren balioa eragiten duen kanpoko tortsio-momentuaren berdina den balioa da.
Parametro hori zenbat eta handiagoa izan, hainbat eta txikiagoa izango da habearen tortsio-deformazioa.)
Tortsio-angelua:
ψ =tortsio-angelua (Rad)
Tortsio-momentua konstantea ez bada:
0IGMt⋅
=θ
0IGLMtL
⋅⋅=⋅=Ψ θ
∫ ⋅⋅
=→⋅⋅
=⋅=L
dxIG
MtdxIG
Mtdxd0 00
ψθψ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
136
Ebakidura zirkularraren ebaketa-tentsioa
0
0
IMt
IGMt
Gρ
τ
θ
θρτ⋅
=→
⋅=
⋅⋅=
τ→ ebaketa-tentsioa(Pa)
Mt → tortsio-momentua (Nm)
ρ → erradioa (m)
I0 → inertzia-momentu polarra (m4)
OHARRA: Tentsioaren balio maximoek muturretan egon behar dute.
admIrMt ττ ≤⋅=
0max
TORTSIOAREKIKO ERRESISTENTZIA-MODULUA (W→ m3)
W = I0 / r τx= Mt/W
Tortsio-momentuen zehaztapena
Tortsio-momentuak zehaztea habean zehar dauden ebakidura guztietan tortsio-momentuak
adierazten dituen diagrama egitean datza.
Horretarako erabiliko ditugun ikurrak hitzartuko ditugu (ikus irudia).
OHARRA: Eragindako tortsio-momentuen noranzkoa (positiboa edo negatiboa den alegia)
bereizteko M1 mantentzea aski izango da.
t
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 137
OHARRA: tortsio-entseguen bidez G ebaketa-modulua oso zehatz kalkula daiteke.
ψπ ⋅⋅
⋅⋅=4
32d
LMtG (Mt, ψ, d eta L zehatz neur daitezkeela kontuan izanik).
OHARRA: Material harikorrekin lan egitean kontuan izan behar dugu material horiek tortsioa ebaketa
baino hobeto jasaten dutela eta pitzadura ebaketa-tentsioaren eraginez sortzen dela gehienetan.
OHARRA: Trakzio-erresistentzia txikia duen materialarekin lan egitean (gogoan izan material
hauskorrek trakzioa ebaketa baino okerrago jasaten dutela), adibidez burdinurtu, harri edo
hormigoiarekin lan egitean, trakzioak eragindako haustura habearen ardatzarekiko 45º graduz inklinatuta
dagoen helize-moduan gertatuko da, ebaketa-egoerari lotutako tentsio nagusiaren eraginez.
Ardatzak minutuko egingo dituen n biren araberako transmitituko den potentziaren
(ZP) tortsio-momentua
ω⋅= MtPot ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cmKg
nPotmKg
nPot
segRadn
mKgPot
segRadn
Watt,PotZPPotMt
⋅π⋅=
⋅π⋅=
⋅π
⋅=
⋅π
⋅⋅=
ω= 2250002250
602
75
602
8975
Ardatz trinkoa baldin bada:
⋅⋅
⋅⋅=
⋅
⋅== 232
6
3max106,316
cmKg
dnPot
dMt
WMt
ππτ
x
y
z
x
y
z
Mt -
Mt +
Hau da, tortsio-momentua positiboa izango da
X-ren noranzko berekoa denean:
Mt-
Mt+
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
138
Adibide praktikoa
60 mm-ko diametroa eta 50 cm-ko luzera duen transmisio-ardatza 800 bira minutuko abiaduran
biratzen ari da. Ardatza ψ = 28' deformatzen dela jakinik, zein da ardatzak transmititzen duen
potentzia ZPtan?
28000cm
KgG =
Ondoren tortsio-momentuen ohiko aplikazio batzuk aztertuko ditugu:
11.. AZTERKETA: MUTUR BATEAN HORMAN SARTUTAKO ETA BESTE MUTURREAN MOMENTUA JASATEN ARI DEN ARDATZA
MMt =max
dMWadm
→=τ
= baita
rI
W 0
0IGLM
⋅⋅=ψ (Radianak)
x
Mt
Mt
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 139
22.. AZTERKETA: BERDIN BANATUTAKO MOMENTUA JASATEN DUEN ARDATZA
( ) ∫ ⋅=⋅=x
dxmdxmxMt0
LmMt ⋅=max
dezakeguateradLmWadm
→τ
⋅≥
→⋅⋅
⋅⋅
=ψ ∫∫ dxIG
mxdxIG
Mt LL
0 00 0
0
2
0
2
000 22 IGLmx
IGmdxx
IGm
Lx
⋅⋅⋅=
⋅
⋅=⋅⋅
⋅ ∫
=ψ0
2
2 IGLm⋅⋅
⋅
xm
Mtx
m ardatz osoan zehar banatutako tortsio-
-momentua.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
140
33.. AZTERKETA: MOMENTU ISOLATUAK JASATEN DITUEN ARDATZA
Tortsio-momentuen diagrama, sistema orekan baldin badago, amaieran 0 egongo da.
Ebaketa-tentsio maximoa:
WtMt
IrMt maxmax
max =⋅
=τ0
Une batean τmax ≤ τonar baldin balitz, plastikoki deformatuKo litzateke, baina guk hautsi egingo
litzatekeela joko dugu.
L1 L2 L3
M1
M2
M3
L3L2L1
M3
M2
M1
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 141
Hortaz, aurreko ekuazio horiek guztiak kontuan hartuta honako hau idatz dezakegu:
WMt maxmax ⋅τ= adm
max
max
max MtMtW
τ≥
τ=
16
2
32 30
4
0
dr
IW
dr
dI⋅π==
=
⋅π=
Eraztun-formako ebakidura baldin bada:
( )
ddd
rI
Wdr
)dd(I
⋅
−⋅π==
=
−⋅π=
16
2
32 41
40
41
4
0
Ebakidura baten beste ebakidura batekiko biraketari dagokionez:
digramaslosenobtenemosqueMtlos
LiMiIG ∑ ⋅⋅
⋅=
↓0
1ψ
(ψ = kanpoko ebakiduren arteko tortsio-angelua)
Mi diagrametan lortuko ditugun Mt-ak
)MtWd(
adm
max331616
τ⋅π
⋅=
π⋅=
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
142
44.. AZTERKETA: BI MUTURRAK HORMAN SARTUTA DITUEN ETA MOMENTUA JASATEN DUEN ARDATZA (M)
Oreka: M = Ma + Mb
M-ren bi aldeetan tortsio-angelua luzera osoan zehar nulua da.
−=
==
⋅
⋅+
⋅
⋅
MbMt
MaMt
IGlMt
IGlMt
2
1
0
22
0
11 0
→=⋅⋅
−⋅⋅
00
2
0
1
IGlMb
IGlMa
⋅=
⋅=
→
+=
⋅=⋅
Mll
Mb
Ml
lMa
MbMaM
lMblMa
1
2
21
( )adm
maxMtW
τ=
maximoa arteko bien
Mt
L1 L2L
Mb Ma
MbMa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 143
l x
Ma Mb
55.. AZTERKETA: BI MUTURRAK HORMAN SARTUTA DITUEN ETA MOMENTU UNIFORMEA JASATEN DUEN ARDATZA
2
021
mlMbMa
mlMbMa
Mt;xmxMa)x(Mt
==
=+
==→−=
dxmxmLIG
dxIG
)x(Mt ll⋅
−⋅
⋅=⋅
⋅=ψ ∫∫ 2
00
2
0 0 21
5.3 Ardatz zirkular hutsen tortsioa
Materialaren errendimendu hobea lortzearren zuhaitz hutsak erabiltzea komeni da, tortsio-momentua
jasaten nukleoak ez baitu lanik egiten.
Lehen ere ikusi dugunez, tortsio-momentuak zuhaitzean zizailadura sortzen du, baina zizailadura-
-tentsioak banatu egiten dira eta gainazalean maximoak dira eta txikiagotu egiten dira zentrora hurbiltzen
diren neurrian, eta zentroan bertan kasik nuluak dira.
11.. Lehenik ardatz hutsa eta ardatz trinkoa konparatuko ditugu
τmax = τonar denez ardatz hutsean erabilitako materiala ardatz trinkoa baino hobeto erabilita dago
eta pisua neurri handi batean txikiagotzea lortu dugu).
2LmMb ⋅
=
MtMt
tmax tmax
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
144
22.. Ardatz hutsaren inertzia-momentu polarra kalkulatu
33.. Horma meheko ardatzaren inertzia-momentu polarra kalkulatu
Batez besteko diametroa honako hauxe da: ( )
21dd
dm+
=
Eta lodiera honako hauxe: ( )
21dd
e−
=
Ondorioz:
4dm2 = d2 + d12 + 2dd1
d2 + d1
2 = 4dm2 - 2dd1
d4 - d1
4 = (d2 + d12) · (d + d1) · (d – d1)
Oso horma meheak dituen tutua baldin bada, dm2 ≈ d · d1; eta ondorioz:
d2 + d12 = 4dm2 - 2dd1 ≈ 2 dm2
d4 - d1
4 ≈ 2 dm2 · 2 dm · 2e = 8dm3 · e (2)
(1) eta (2) formuletan balioak ordezkatzen baditugu, honako hau lortuko dugu:
4
4 2
0
3
0
dmIedm
edmI⋅Ω=→
⋅⋅=Ω
⋅⋅=
π
π
( )
( ) ( )
( )430
44
0
11
41
4
0
116
2modulua-tziaerresistenW
1132
diametroakanpokodiametroabarruko
32
mddI
mdI
dd
mdd
ddI
−⋅==
−⋅⋅=
=→
→→
−⋅=
π
π
π
W erresistentzia-modulua
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 145
Ondoren tentsio maximoa kalkulatuko dugu:
2
0
maxmax
2dm
dMtI
Mt
⋅Ω
⋅⋅→⋅
=ρ
τ
Azkenik, deformazio-angelua zein den kalkulatuko dugu:
dGdmG
MtIG
Mt⋅
⋅→
⋅Ω⋅
⋅=⋅
= max2
0
24 τθ
44.. Deformazio-lana tortsioan
Demagun habea dugula eta tortsioa eragiten diogula, lortuko dugun diagrama, betiere
linealtasunaren printzipioaren arabera, irudian ikusten den bezalakoa izango da.
Energia:
LIG
IGLMtMtu
⋅
ψ⋅⋅=
⋅⋅⋅=ψ⋅⋅=
2221
20
0
2
Ebakidura edo tortsio-momentua aldakorrak baldin badira, deformazio-lana integrazioaren bidez
lortuko dugu:
∫ ⋅⋅⋅
=L
IdxMt
Gu
0 0
2
21
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
146
ARIKETAK
11.. ARIKETA
BC ardatza hutsik dago eta kanpoko eta barruko diametroak 120 mm eta 90 mm dira hurrenez
hurren. AB eta CD ardatzak trinkoak dira eta d diametroa dute. Ardatzek irudian ikus daitekeen karga
jasaten dutela jakinik, kalkulatu honako datu hauek:
BC ardatzaren ebaketa-esfortzu maximoa eta minimoa
AB eta CD ardatzen d diametroa zenbatekoa izango den esfortzu ebakitzaile onargarria 65
Mpa-ekoa dela jakinik
22.. ARIKETA
Irudian ikus daitezkeen momentuak A, B, C eta D poleei eragiten diete. Ardatzak trinkoak direla
jakinik, kalkulatu honako datu hauek:
Ebaketa-esfortzu maximoa jasaten duen ardatza
Esfortzu horren balioa zein den
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 147
33.. ARIKETA
Irudian ikus dezakegun transmisio-ardatzak ebakidura konstantea eta 5 cm-ko diametroa du. Ardatz
horrek gurpil horzdunen bidez irudian azaltzen diren tortsio-momentuak jasaten ditu. Kalkulatu A eta B-
-ren artean ardatzaren deformazio-angelua gradutan, bai eta tentsio-maximoaren balioa ere. Horretarako
honako datu hauek erabil ditzakegu:
G = 8,4 · 105 kg /cm2
M1 = 6.000 kgcm
M2 = 10.000 kgcm
M3 = 9.000 kgcm
M4 = 5.000 kgcm
44.. ARIKETA
AD ardatz bertikala D puntuan oinarri finkoan finkatuta dago eta irudian ikusten diren momentuak
jasaten ari da. Ardatzaren CD zatian 44 mm-ko diametroa duen zuloa egin da. Ardatz osoa G = 80 GPa
altzairuzkoa dela jakinik, kalkulatu A muturreko tortsio-angelua.
Ø44 mm
Ø60 mm
Ø30 mm
0,4 m
0,6 m
0,2 m
A
B
C
D
250 N.m
2000 N.m
Mt1 Mt2 Mt3 Mt4
1,2 m
1 m
1,6 m
M1 M1 M3 M4
1,2 m 1 m 16 m
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
148
55.. ARIKETA
Altzairuzko bi ardatz trinko horiek elkarri lotuta daude irudian ikus daitezkeen hortzen bidez. Ardatz
bakoitzaren G = 80 GPa dela eta ebaketa-esfortzu onargarria 380 Mpa-ekoa dela jakinik, kalkulatu
honako datu hauek:
AB ardatzaren A muturrean aplika daitekeen tortsio-momentu handiena
AB ardatzaren A muturraren biraketa-angelua
66.. ARIKETA
Altzairuzko ardatza eta aluminiozko tutua euskarri finko bati eta disko zurrunari lotuta daude irudiko
zeharkako ebakiduran ikus daitekeen bezala. Hasierako esfortzuak zero direla jakinik, kalkulatu diskoan
aplika daitekeen tortsio-momentu maximoa zein den, altzairuzko ardatzaren esfortzu onargarria 120
Mpa-ekoa dela eta aluminiozko tutuaren esfortzu onargarria 70 Mpa-ekoa dela kontuan izanik. Bestetik,
altzairuzko ardatzaren G = 80 GPa eta aluminiozko tutuaren G = 27 GPa dira.
Altz
airu
a ∅
50
mm
Alum
inio
a
8m
m
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 149
77.. ARIKETA
AB eta BC zilindroak B puntuan elkarri lotuta daude eta A puntuan, berriz, euskarri finkoei. AB
zilindroa altzairuzkoa dela (G = 77 GPa) eta BC zilindroa letoizkoa (G = 39 GPa) dela jakinik, irudian ikus
daitekeen kargarekin honako datu hauek kalkulatu:
Euskarri bakoitzean erreakzioa
AB zilindroan ebaketa-esfortzu maximoa
BC zilindroan ebaketa-esfortzu maximoa
88.. ARIKETA
180 bira minutuko abiaduraz biratzen ari den ardatz hutsa daukagu. Estroboskopioak ardatzaren
tortsio-angelua 3º-koa dela adierazten du. Ardatzaren G = 77 GPa dela jakinik, kalkulatu honako datu
hauek:
Transmititzen ari den potentzia
Ardatzaren ebaketa-esfortzu maximoa
Ardatzaren ebaketa-esfortzu minimoa
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
150
99.. ARIKETA
Bi ardatz zurrunen bidez eta bi hortzen bitartez 20 Hz-eko abiaduraz biratzen ari den A puntuko
motorraren 12 kW D puntuan dagoen makina-erremintara transmititzen da. Bi ardatz horien diametroa 25
mm-koa dela jakinik, kalkulatu ebaketa-esfortzu maximoaren balioa AB ardatzean eta CD ardatzean.
1100.. ARIKETA
Altzairuzko bi ardatz trinko elkarri konektatuta daude irudian ikus daitezkeen engranajeen bitartez.
Ardatzak altzairuzkoak direnez, G = 77 GPa da. 339 Nm-ko tortsio-momentua aplikatzen denean
kalkulatu A muturraren biraketa-angelua.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 151
1111.. ARIKETA
Irudian ikusten den ardatzaren engranajearen diseinu-zehaztapenen arabera, bi ardatz horiek
diametro bera izan behar dute eta D polea finko dagoen bitartean 226 Nm-ko momentua aplikatuta A
polearen biraketa-angeluak ez du 7,5º baino handiagoa izan behar.
Kalkulatu ardatzaren diametroa zein den, bi ardatzak altzairuzkoak direla eta:
G = 77 GPa
τ = 80 MPa direla jakinik.
1122.. ARIKETA
Irudian ikus daitezkeen altzairuzko bi ardatz trinkoak engranajeen bidez elkarri lotuta daude.
Ardatzak altzairuzkoak dira eta G = 80 GPa da.
Kalkulatu 75 Nm-ko momentua aplikatzen denean C muturraren tortsio-angelua; bai eta CD-ren
esfortzu maximoa.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
152
5.4 Edozein ebakiduratako habeen tortsioa
Zirkulu-formako habeen tortsioari buruzko oinarrizko teoria Navier-en bidez edozein ebakiduratako
habeetara hedatu da, egokia ez izan arren, zeharkako ebakidura laua eta aldatu gabe mantentzen zela
oinarritzat hartu baitzuen.
0IG
Mt⋅
=θ 0I
rMt ⋅=τ
Alabaina hipotesi horren baliotasuna elementuaren ardatz-simetriaren araberakoa izango da, hau
da, elementuaren itxura kokaleku finko batetik eta bere ardatzarekiko hautazko angeluan biratzen
denean berbera izango dela dioen hipotesiaren araberakoa. (Ikus goiko irudia).
Lauki-formako barra balin badugu, aldiz, itxura bera izango du 90º edo 180º biratzen baldin bada.
Kasu horretan zirkulu-formako ebakiduretan erabili dugun arrazonamendua aplikatzen badugu, lauki-
-formako ebakiduren diagonalek eta ebakidura horren aldeen erdibideko puntuak elkartzen dituen lerroek
zuzenak izaten jarraituko dutela egiazta dezakegu.
Hala eta guztiz ere, barrak ardatz-simetriarik ez duenez, bere zeharkako ebakiduran marraztutako
beste edozein lerro deformatu egingo da barrak tortsioa jasaten duenean eta zeharkako ebakidura bera
bere jatorrizko planotik kanpo deformatu egingo da.
Mt
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 153
Horrez gainera, ez litzateke zuzena izango lauki-formako barraren zeharkako ebakiduran ebaketa-
-esfortzua linealki barraren ardatzarekiko distantziaren arabera aldatu egiten dela pentsatzea, eta
ondorioz, esfortzu hori ebakiduraren muturrean handiagoa izango dela (zirkulu-formako ebakiduran
bezala), eta gainera ebaketa-esfortzua nulua izango dela.
Ondoren horren guztiaren zergatia azalduko dugu:
Demagun tortsioa jasaten ari den ardatz karratuaren zeharkako ebakiduraren muturrean kubo-
-formako elementu txikia dugula.
Elementuaren ardatzarekiko paralelo diren koordenatu-ardatzak hautatuko ditugu.
y ardatzarekiko zuta den elementuaren aldea barraren gainazal askearen baitan dagoenez, alde
horretako esfortzu guztiak 0 izango dira.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
154
Ondoko irudi horri dagokionez, honako hau idatziko dugu:
τyx = 0 τyz = 0
Era berean Z ardatzarekiko zuta den aldeko esfortzu guztiak 0 izango dira, eta ondorioz honako hau
lortuko dugu:
τzx = 0 τzy = 0
Lehenengo eta bigarren ekuazioak kontuan hartuz honako hau idatziko dugu:
τxz = 0 τxy = 0
Beraz, barraren ardatzarekiko zuta den aldean ebaketa-esfortzuaren bi osagaiak nuluak dira.
Horren guztiaren ondorioz barraren zeharkako ebakiduraren erpinetan ez dagoela ebaketa-esfortzurik
esan dezakegu.
Barraren sorbatzetan ez da deformaziorik gertatuko, eta ondorioz, esfortzurik ere ez da egongo.
Alabaina, barraren alde bakoitzaren erdialdeko lerroan esfortzu maximoak sortuko dira.
Azaldu berri dugun hau guztia errazago ikusiko eta egiaztatuko dugu kautxuzko eredu honi tortsioa
eragiten badiogu.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 155
Ebakidura zirkularrekoak ez diren habeetan tortsioak eragiten dituen arazoen irtenbidea
elastikotasun-teoriaren esparruari dagokio.
Ikaslearen eskuliburu honetan elastikotasun-teoria horren emaitza batzuk azalduko ditugu, frogarik
zehaztu gabe.
Ebakidura zuzenaren forma edozein delarik ere, Hookeren legetik zuzenean luzera-unitate
bakoitzaren θ tortsio-angelua Mt tortsio-momentuarekiko proportzionala dela ateratzen da. Beraz,
honako hau idatz dezakegu:
CMt=θ edo
( )C
LMt ⋅=ψ
Kontuan izanik C proportzionaltasun-koefizientea dela eta honako neurri hauek dituela: F · L2 eta
F indarra da
Y L luzera da
Koefiziente horri tortsio-zurruntasuna deritzo eta zirkulu-formako ebakidura denean honako balio
hau dauka:
0IGC ⋅=
OHARRA: Ebakidura zirkularra ez baldin bada, C beti G · I0 baino txikiagoa izango da.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
156
Deformazio-lana
LC
CLMtMt
U⋅
⋅=
⋅⋅=
⋅=
222
22 ψψ
Tortsio-momentua konstantea baldin bada eta barraren ebakidura eta esfortzuak aldakorrak baldin
badira:
dxCC
dxMtU ⋅⋅=⋅= ∫∫1
0
21
0
2
22θ
Analogia hidrodinamikoa
Ondoren Greenhill matematikariak asmatu zuen tortsioaren eta fluido lauaren mugimendu jakin
baten arteko analogia matematikoa deskribatuko dugu.
11.. Demagun aztertzen ari garen tortsioa jasaten duen habearen formako ontzia daukagula.
22.. Ontzi horretan fluido perfektua (konprimiezina eta likatsua ez dena) sartuko dugu.
33.. Ondoren biraketa uniformeko mugimendua eragingo diogu ontziari.
Greenhillek fluidoaren mugimenduaren ekuazioak eta tortsioaren elastikotasun-ekuazioak berdinak
zirela egiaztatu zuen. Ondorioz:
11.. Bi fenomeno horiek portaera bera dute.
V velocidad en un líquido sometido a W t tensión en la viga sometida a torsión
V
V t
t
W Mt
W jasaten ari den likidoan V abiadura T tortsioa jasaten ari den habean tentsioa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 157
22.. Bi puntuetan fluidoaren abiadura eta tentsio tangentziala noranzko berekoak dira eta balio
proportzionalak dituzte. Ikus ditzagun adibide batzuk:
Ontziak angelu ganbilak baldin baditu, 1A eta 1C irudikoetan bezala, eremu hilak sortzen dira eta
eremu horietan abiadura nulua da; eta ondorioz, tentsio tangentziala ere bai.
Askotan gauza erraza da abiadura maximoa duten puntuak zeintzuk diren ikustea. Horrela,
ebakidura eliptiko edo angeluzuzenean puntu horiek A eta A’ puntuak izango dira. Beraz, toki horietan
tentsio maximoa izango dugu.
Teoria horrek irakaspen kualitatiboak soilik eskaintzen dizkigu; alabaina, oso erabilgarria izango da,
fenomeno hori askoz intuitiboagoa baita fenomeno elastikoa baino.
Ebakidura angeluzuzena
τ tentsio-lineek 1C irudian ikus daitekeen forma dute eta tentsio maximoa A eta A’ puntuetan
egongo da. Demagun h alde luzeena dela eta b laburrena. Tentsio maximoa honako formula honen
bidez lortuko dugu:
2maxbh
Mt⋅⋅
=α
τ
Kontuan izan behar dugu α koefiziente bat dela, h/b erlazioaren araberako koefizientea, eta
koefiziente hori honako taula honetan ikusi ahal izango dugu:
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
158
bhn = 1,00 1,50 2,00 3,00 4,00 ∞
21
cc=α
1c
2c
β
0,208
0,141
0,675
0,208
0,231
0,196
0,852
0,270
0,246
0,229
0,928
0,309
0,267
0,263
0,977
0,354
0,282
0,281
0,990
0,379
0,333
0,333
1,000
0,448
2
21
cc=µ 0,310 0,270 0,266 0,276 0,288 0,334
Luzera-unitate bakoitzeko tortsio-angelua honako hau izango da:
Ghbc
Mt⋅⋅
=θ31
eta hemendik C = c1 · hb3 · G
(c1-en balioa taulatik lortuko dugu)
1. n > 4 denean, → c1 eta c2 = c1/α hurbileko formulen bitartez lor daitezke:
31630,01
311 →
−⋅=n
c
11
65,0123
→+
−=n
c
B puntuetan tentsio tangentziala honako formula honen bidez kalkula daiteke:
21
hbMt⋅
β=τ β taulan jasotako balioa da
2. Ebakidura laukizuzena denean honako kasu hau izango dugu:
3max 208,01
hMt⋅=τ
GhMt
⋅⋅=
4141,01θ GhC ⋅⋅= 4141,0
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 159
3. Bestalde, h/b oso handia baldin bada, honako hau izango dugu:
311 == cα
bGhb
Mt ⋅⋅== θτ2max
3
GhbMt
⋅=
33θ
Ghbc ⋅= 3
31
5.5 Ebakidura irekia eta horma mehea duten tutu-formako habeen tortsioa
11.. Teoria eta esperientziaren arabera badakigu tentsioak eta tortsio-angelua (ebakidura lauki-
zuzeneko barra mehean) ez direla aldatzen, tortsio-momentua aldatzen ez dugun bitartean,
ebakidura honako irudi hauetan ikusten den bezala tolestatzen badugu (A eta D bitarteko irudiak).
Ebakidura hauetan guztietan tentsio maximoaren eta C tortsio-zurruntasunaren hurbileko balioak
formula hauen bidez kalkula daitezke:
bGhb
Mt ⋅⋅== θτ2max
3 Ghb
Mt⋅
=3
3θ GhbC ⋅= 3
31
A B C D
E F G
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
160
Baina honako hau prestatu behar dugu:
h: batez besteko ebakiduraren garapena
b: lodiera konstantea
22.. Orokorrean, burdinazko profil guztietan eta horma meheko ebakidura irekietan, errore handirik
gabe, ebakidura osatzen duten h b neurriko laukizuzenek tortsioa erabat aske jasaten dutela
onartu ahal izango dugu, eta ondorioz:
∑⋅⋅= 3
3hbGKC
Batukari hori profila osatzen duten laukizuzen guztiak kontuan hartuz osatzen da.
OHARRA: Askotan profilek, fabrikazio-prozesua dela-eta, trantsizio-erradioak dituzte eta erradio
horiei esker, habearen zurruntasuna handiagotzea lortzen da. Zurruntasuna horrela handiagotzea
kontuan hartu beharko dugu K koefizientearen bidez.
BALIOA
K 1
K 1,1
K 1,25
Angelu-formako profiletarako
U- eta T-formako profiletarako
T bikoitza formako profiletarako
Ebakidura osatzen duen laukizuzen bakoitzaren τmax tentsio maximoa honako formula honen bidez
kalkulatu ahal izango dugu beti:
bG ⋅⋅= θτ max
(unitate bakoitzaren tortsio-angeluaren balioa honako hau da: CMt=θ )
OHARRA: Trantsizio-erradioetan τmax baino handiagoak diren tentsio-muturrak daude.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 161
OHARRA: Hemen azaltzen diren emaitzak tortsioa uniformea denean bakarrik dira onargarriak, hau
da, tortsio-momentua barra osoan zehar konstantea denean soilik.
5.6 Horma meheko tutu-formako habeen tortsioa. Bredt
Lehen ikusi dugunez, zirkulu-formakoak ez diren ardatzetan formula matematiko konplexuak erabili
behar dira, askotan akatsa eragingo duten formulak gainera. Alabaina, horma meheko ebakidura ez
zirkular hutsak ditugunean, esfortzuen banaketaren hurbileko kalkulua lor dezakegu modu errazean.
Modu horri R. BREDT-en teoria deritzo.
(Teoria hori habeek ebakidura itxia eta hormaren lodierak “e” balio konstantea edo aldakorra, baina
nahikoa estua ebakiduraren neurriekin konparatuz, dutenean erabiltzen da).
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
162
11.. Demagun ardatz zilindriko hutsa dugula eta ardatz horren ebakidura ez dela zirkularra eta
tortsioa jasaten ari dela. (1. irudia).
22.. Hormaren “e” lodiera zeharkako ebakiduran zehar alda badaiteke ere, lodiera hori txikia izango
da beti elementuaren gainerako neurriekin konparatzen badugu.
33.. Jakin badakigu ebakiduraren kanpoko eta barneko ertzetan, τ tentsioak ertzaren tangentearen
araberako norabidea izango duela.
44.. Erdialdeko puntuetan tentsio-lerroak ertzarekiko paraleloak dira neurri batean.
55.. τ tentsioa “e” lodiera osoan zehar konstantea dela onar dezakegu, eta zenbat eta lodiera
txikiagoa izan, hainbat eta egiatik hurbilago egongo gara τ tentsioa konstantea dela esanda.
66.. (Hori sinplifikatzeko egin behar den hipotesia da).
77.. Solidoaren oreka bertikalak zizailadura-fluxua konstantea izatea eskatzen du f = τ· e (2. irudia)
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 163
Orain A-B ebakidurako elementua bereizi egingo dugu, distantzia batekiko zehar-planoek eta
hormarekiko zutak diren bi planoek mugatzen duten elementua hain zuzen. A-B zatia orekan dagoenez,
zati horretan eragiten duten indarren batura, x luzera-noranzkoan, zero izango da. (3. irudia).
Baina bertako indar bakarrak A-B muturretan eragiten duten FA eta FB ebaketa-indarrak dira, eta
ondorioz honako hau lortuko dugu:
0=∑ XF 0=− BA FF
1. ekuazioa
Orain FA A alde txikian τA luzerako ebaketa-esfortzuen eta alde horretako eA ∆x azaleraren
biderkadura gisa azalduko dugu:
( )xeF AAA ∆⋅⋅τ=
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
164
Ebaketa-esfortzuan kontuan hartutako puntuaren X koordenatuak eraginik ez duen bitartean,
hormaren bidez aldatu egin daiteke; horrela, τA esfortzuak hormaren bitartez kalkulatutako esfortzuen
batez besteko balioa adierazten du. Ondoren FB modu berean adierazten badugu eta 1 ekuazioan FA eta
FB bidez ordezkatzen badugu, honako hau lortuko dugu:
( ) ( ) 0=∆⋅⋅τ−∆⋅⋅τ xexe BBAA
BBAA ee ⋅τ=⋅τ
2. ekuazioa
A eta B nolanahi hautatu zirenez, 2. ekuazioak luzerako ebaketa-esfortzuaren τ · e biderkadura
elementuan zehar konstantea dela adierazten du. Produktu horri f esaten badiogu, honako hau lortuko dugu:
kteef =⋅τ=
(ikus 2. irudia)
88.. Ebakiduraren e · ds elementuan τ · e · ds indarrak eragiten du.
99.. Indar horren momentua edozein O punturekiko honako hau izango da:
τ · e · r · ds
1100.. Inguruko elementu guztien momentuen baturak kanpoko Mt momentua orekatu behar du; beraz:
∫ =⋅⋅⋅ Mtdsreτ
Marratutako triangeluaren azalera = dsr ⋅⋅21
∫ =⋅⋅⋅τ→=⋅τ Mtdsrektee
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 165
1111.. Integralaren bidez S azaleraren bikoitza adierazten da. S azalera hori bi inguruen arteko batez
besteko linearen barruan dago, eta ondorioz:
eSMt
⋅⋅=
2τ BREDT-en lehenengo formula
Gehienetan “e” aldatu egiten da, eta ondorioz, Gτ=γ distortsioa ez da berdina izango irudian ikus
daitezkeen elementu guztietarako, eta habearen ebakidura zuzenak ez dira zuzen mantenduko.
Tortsioaren unitate-angelua ez da, beraz, energiaren kontserbazioaren printzipioaren bidez baino
lortuko; unitate-luzera duen habearen zati baten kanpoko lana eta zati beraren barne-lana berdinduz,
alegia. Ikus honako irudi hau:
2θ⋅
= tMW
Ikus dezakegunez, alde horizontaleko τ · e · ds indarrek lana sortzen dute: γ⋅⋅τ⋅= dseU21
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
166
Alde bertikaletan dauden τ e esfortzuak bere noranzkoarekiko zut mugitzen dira eta ez dute lanik
sortzen. Zati osoaren guztizko barne-lana honako hau izango da:
dseG
dse ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ∫∫2
21
21 ττ
Kanpoko eta barneko lanak berdintzen baditugu, eta BREDT-en lehenengo formula kontuan hartzen
badugu, honako hau lortuko dugu:
∫∫∫ ⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅=⋅eds
SGMtdse
eSMt
Gdse
GMt
2
2
22
22
8421
21
2τθ
Eta hemendik honako hau ondoriozta dezakegu:
∫⋅⋅⋅
=eds
SGMt
24θ
Beraz, tortsio-zurruntasunaren balioa honako hau izango da (BREDT-en bigarren formula):
CMt=θ
eta hemendik honako hau ondorioztatuko dugu:
∫⋅⋅=
eds
SGC24
(integral hori nahi adina doitasunekin kalkulatu ahal izango dugu ingurua ∆S zatietan zatitzen
badugu)
“e” konstantea denean formula hori sinplifikatu egingo dugu honako hau lortuz:
eSGLf
eSGLMt
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
24 2θ
Gogoan izan f = t · e ebaketa-fluxua dela
L hormaren batez besteko linearen perimetroa da
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 167
OHARRA: Batez besteko lerroa zirkunferentzia baldin bada, aurreko formula horiek horma meheko
zirkulu-formako ebakidura hutseko habeetan bakarrik erabili ahal izango ditugu.
OHARRA: Ebakidura zuzeneko aldeetan ez zegoela inolako tentsio normalik onartu dugu. Hau
horrela dela pentsatu ahal izango dugu lortu dugun teoria barne-orekaren eta elastikotasunaren legeekin
bat datorrelako.
OHARRA: Honako irudi honetan ikusten den bezalako piezak baldin baditugu, hau da alboetatik
ateratzen diren horma meheak, AQB eta CD kasu, dituzten piezak, horma horiek bazter utzi ditzakegu
kalkuluak egitean, horma horien tortsio-zurruntasuna piezaren tutu-formako zatiaren tortsio-zurruntasuna
baino askoz ere txikiagoa baita.
OHARRA: Habe hutsak errematxaketaren edo soldaduraren bitartez ere egin daitezke.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
168
Hori horrela izanik, honako hau esan dezakegu:
1122.. Hegalen kanpoaldeko aldeak, errematxe edo kordoietatik kanpoaldera daudenak alegia,
baztergarriak dira.
1133.. Lotura-elementuen tamaina lotu dugun materialak jasan ezin dituen ebaketa-esfortzuak jasan
ahal izateko neurrikoa izango da.
1144.. Soldadura-kordoi bakoitzak luzera-unitate bakoitzeko luzerako ebaketa-esfortzua jasan beharko
du.
1155.. Errematxeen arteko tartea L baldin bada, errematxe bakoitzak honako hau jasan beharko du:
SLMtLe
⋅⋅=⋅⋅
2τ
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 169
5.7 Tentsio-kontzentrazioa tortsioan
Ebakidura zuzena bat-batean d diametroa izatetik D diametro handiagoa izatera igarotzen denean
tentsio-kontzentrazioak sortzen dira eta tentsio-kontzentrazio horiek tentsioa K koefiziente baten bidez
biderkatzen dute. Tentsio izendatua honako hau izango da:
3max 16d
Mt⋅
⋅=π
τ
Tentsio-kontzentrazioa – tokiko tentsio maximoa – maxττ ⋅= K
K r/d eta ∆/d-ren araberakoa da. Honako diagrama hau goiko irudikoa bezalako kasuei bakarrik dagokie.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
170
Zilindro-formako zuhaitzetik atera den zirkuluerdiko erradio txikiko lepoa baldin badugu, tokiko
tentsio maximoa oinarrizko teoriaren bitartez kalkulatu dugunaren bikoitza izango da.
Zirkulu-formakoak ez diren ebakidura duten habeak direnean, τ tentsioa handiagotu egingo da
ebakiduraren sartune batzuetatik hurbileko puntuetan, eta tentsio horiek teorian infinituak izango dira
sartuneko angeluak zorrotzak direnean.
Goiko irudian A eta B puntuetan tentsio-kontzentrazio handia dagoela ikus daiteke.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 171
1133.. ARIKETA
60 x 100 mm-ko ebakidura angeluzuzena duen aluminiozko egitura-tutua dugu estrusio bidez
fabrikatu dena. Kalkulatu lau hormetan ebakidura-esfortzua zenbatekoa den jakinik esfortzuak 3 kNm-ko
tortsio-momentua sortzen duela. Kontuan izan honako datu hauek:
Hormaren lodiera 4 mm-koa da eta uniformea da
AB eta AC hormak 3 mm eta BD eta CD hormak 5 mm lodi dira
1144.. ARIKETA
Irudian ikus daitezkeen letoizko barretan eta letoizko tutuan aplika daitezkeen tortsio-momentu
maximoak kalkulatu τonar = 40 MPa dela jakinik.
(Bi barra horien azalera berdina da eta barraren eta tutu karratuaren kanpoko neurriak berdin-
-berdinak dira).
mmmm 4040 ×
mmmm 4040 ×
mmmm 2564 ×
.mme 6=
Mt
Mt
Mt
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
172
1155.. ARIKETA
Irudian ikusten diren aluminiozko barretan T = 300 Nm momentua aplikatuko da. τonar = 60 MPa dela
kontuan izanik, kalkulatu barra bakoitzak izango duen d neurria.
1166.. ARIKETA
T tortsio-momentuak 2º-ko biraketa sortzen du altzairu herdoilgaitzezko barraren B muturrean.
G = 80 GPa dela kontuan izanik, kalkulatu barraren ebaketa-esfortzu maximoa.
MtMt
Mt
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 173
1177.. ARIKETA
Irudian ikusten den zuhaitz mailakatuak 900 bira minutuko biratu behar du potentzia motorretik
makinara transmititzean. τonar = 55 MPa dela kontuan izanik, kalkulatu honako datu hauek:
Irudiko diseinua erabiliz transmiti daitekeen potentzia maximoa zein den.
r = 10 mm jartzen bada, transmiti daitekeen potentzia ehuneko zenbat aldatuko da?
1188.. ARIKETA
Kalkulatu honako datu hauek:
ψ = 4º/m denean aplika daitekeen tortsio-momentu maximoa
Tentsio maximoa
G = 8.000 kg/mm2
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
174
Mt
1199.. ARIKETA
Kalkulatu honako datu hauek:
Tortsio-momentu maximoa
Tortsio-angelua
τonar = 50 MPa
G = 77 GPa
2200.. ARIKETA
Demagun τonar = 700 kg/ cm2 eta 2 segurtasun-faktorea duen tutu-giltza dugula. Kalkulatu honako
datu hauek:
Tortsio-momentu maximoa
Mt hori aplikatzean giltza biratu egingo da eta biraketa horren angelua kalkulatu
G = 8.000 kg/mm2
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 175
1P
2P
1Q2Q
A
C
D
B
2211.. ARIKETA
Marraztu Mt-ren diagramak, A - B erreakzioak eta tentsio maximoa kalkulatu:
2222.. ARIKETA
Transmitituko den potentzia: 100 ZP
n = 500 bira minutuko
P1 = 2 P2
Q1 = 2 Q2
Rc = 20 cm
Ra = 18 cm
τonar = 420 kg/ cm2
ERAGILEA ERAGINA
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
176
5.8 Ondorioak
11.. Horma meheko ebakidura irekiek tortsioa nekez jasango dute, eta ondorioz, ez ditugu erabiliko
Mt garrantzitsua denean.
22.. Tutu-formako ebakidurak merkeagoak dira ebakidura trinkoak baino.
33.. Metalaren errendimendu onena lortzeko, pieza tutu-formakoa izatea eta hormaren lodiera
konstantea izatea komeni da.
44.. Hormaren lodiera konstantea eta metroko pisu zehatza duten tutuen forma egokiena honela
kalkulatuko dugu:
Mt = 2 · S · e · τ → beraz, piezaren erresistentzia S-rekiko proportzionala izango da.
Hori bai, kontuan izan behar dugu zirkulua dela jakineko perimetroaren ingerada S maximoa denean.
Ondorioz, ebakidurak forma hori izan dezan lortzea komeni da.
55.. Piezaren forma hautatu eta gero L perimetroaren eta e lodieraren neurri egokienak zeintzuk
diren zehaztu behar ditugu.
Ω = L · e = kte
Mt = 2 · S · e · τ = 2 S ( )
LτΩ ·
Beraz, Mt handiagotu egingo da S/L erlazioan, eta ondorioz, piezaren neurriak mugak jartzen ez
dituenean, piezek S-ren balio maximoa izatea komeni da, hau da, altuera eta zabalera maximoa
izatea. Hala eta guztiz ere, piezaren hormak lodiera txikia duenez, toki batzuetan gilbordurak
gertatzeko arriskua dago eta hori saihesteko hormak zurrunagoak izatea lortu beharko dugu luzera-
-nerbioak erabiliz.
e → aldaezina
L → perimetroa Ω Ebakidura = L e
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 177
66 TTOORRTTSSIIOO EETTAA FFLLEEXXIIOO KKOONNBBIINNAATTUUEENN AARRDDAATTZZEENN KKAALLKKUULLUUAA
6.1 Sarrera
11.. Kalkulu estatikoa – euskarrien erreakzioen kalkulua.
22.. Zuhaitzak jasaten dituen esfortzuak honako hauek dira:
T ebaketa-indarra
Mf flexio-momentua
Mt tortsio-momentua
33.. Esfortzuen sistema konbinatu horrek puntu batean sorraraziko dituen tentsioak honako hauek dira:
Flexio-momentuak sorrarazi duen tentsio normala ZI
My=σ
Tentsio maximoa 2dy = denean
64
4dI Z⋅π=
44.. Ebaketa-indarrak sorrarazi duen tentsio tangentziala (guretzat baztergarria dena).
bIST
⋅⋅=τ
55.. Tortsio-momentuak sorrarazi duen tentsio tangentziala.
⋅π=
=−τ
32
2
4
0dI
drmax
Ikaslearen eskuliburu honetan esfortzu konbinatuak jasaten dituzten ardatzen kalkuluak egiteko
TRESCA-ren irizpidea baino ez dugu erabiliko, metodo gehiago baldin badaude ere.
Gainera TRESCA-ren irizpidea izeneko metodo horren azalpenik ez dugu emango.
0IrMt ⋅=τ
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
178
TRESCAREN IRIZPIDEA
3 2216 MtMfdadm
⋅⋅⋅
≥πτ
Ardatzak kalkulatzeko honako urrats hauek eman behar ditugu:
Ardatz guztiak kontuan hartuta flexio-momentuak kalkulatu
Tortsio-momentua habe osoan zehar kalkulatu
Ebakidura kritikoa hautatu, hots tortsio- eta flexio-momentu handiak jasaten dituen ebakidura
aukeratu
Ebakidura horri TRESCA-ren irizpidea aplikatu
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 179
AARRIIKKEETTAAKK
11.. ARIKETA
Tentsio-kontzentrazioaren eragina bazter utzita, kalkulatu BC eta CD barren diametro minimo
onargarriak τonar = 60 MPa dela jakinik.
22.. ARIKETA
AB ardatz solidoa 480 bira minutuko abiaduraz biratzen ari da eta 30 kW-eko potentzia transmititzen
ari da M motorretik G eta H pinoietara lotutako tresnei; G pinoiak 20 kW hartuko ditu eta H pinoiak 10 kW.
τonar = 50 MPa dela jakinik, kalkulatu AB ardatzak izango duen diametro minimo onargarria.
N1250
N500
NEURRIAK mm-TAN
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
180
33.. ARIKETA
Demagun honako datu hauek ditugula:
Poleatik engranajera 12 ZP-ko potentzia transmitituko da 630 bira minutuko abiaduraz.
τonar = 420 kg/mm2
Z = 28,4; m = 4
Polearen diametroa = 120 mm
T1 = 2,41 T2
Datu horiek guztiak kontuan hartuta honako kalkulu hauek egin:
a) Flexio-momentuen diagrama
b) Tortsio-momentuen diagrama
c) Ardatzaren diametro minimoa kalkulatu
2T
F
1T
AB
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 181
44.. ARIKETA
Kalkulatu honako datu hauek:
Ardatz bakoitzean Mt-ren balioa
2. ardatzean tortsio-momentuen diagrama
2. ardatzean flexio-momentuen diagrama
2. ardatzaren diametro minimoa
Kalkulu horiek guztiak egiteko honako datu hauek erabili:
Irteera-ardatzean momentua = 15 kp.m
Irteera-ardatzean biraketak
Z1 = 50
Z2 = 80
Z3 = 40
Z4 = 120
m modulua = 2
τonar = 560 kg/cm2
MOTORRA IRTEERA-ARDATZA
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
182
55.. ARIKETA
Kalkulatu 2. ardatz hutsean jarriko dugun diametro minimoa zein den, 1,5 ZP-ko potentzia transmi-
tituko dugula eta biraketa-abiadura 800 bira minutukoa dela jakinik.
1. Kalkuluak egiteko honako datu hauek erabili:
T1 = 1,45 T2
Polearen diametroa = 80 mm
Helize-formako engranajearen diametroa = 40 mm
Zementazio-altzairua erabiliko dugu eta material horren tentsio onargarria honako hau
da: τonar = 420 kg/cm2
Kalkulu hauek 2 segurtasun-koefizientearekin
2. Kalkulatu 34. txabeta
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 183
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
184
Ardatzaren matadera Zuloaren matadera
ARAUTUTAKO LUZERAK
Perd. Perd. Perd.
(1) Zuloa/ardatza doikuntza gomendatuak doitasun-ahokaduretarako. d ≤ 80 H7/j6
ARDATZEN DIAMETROAK
TXABETAK MATADERAK
PERDOIAK
ARDATZA
Perd.
ZULOA
Perd. Perd. Perd.
Perd.
(2) Ahokadura finko lasaietarako aurreikusitako perdoia (3) Ahokadura finko estuetarako aurreikusitako perdoia (*) Automobiletarako aurreikusitako txabetak
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 185
66.. ARIKETA
Honako irudian ikus daitekeen transmisioan kalkulatu ardatzak izango duen diametro minimoa 900
bira minutuko abiaduraz bira dadin, irudiak azaltzen diren indarrak kontuan hartuta.
Kontuan izan FD engranaje konikoaren indarra honela adierazita dagoela:
FD = -0,242 FD i – 0,242 FD j + 0.940 FD k
3 Engranajea
4 Engranajea
Mutur handienean
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
186
Zenbakizko simulazioa
Ordenagailuen garapenari esker, diseinu industrialean aurrerapen handiak izan dira eta gaur egun
honako adierazpen honek laburbiltzen duen diseinu-filosofia berria sortu dela esan dezakegu: “Lehen
saioan asmatu”. CAD sistemak gaur egun enpresa askotan laguntza ikaragarria eskaintzen duen bitartean,
CAE (Computer Aided Engineering) izeneko tresnak oraindik finkatzeko bidean dira. CAE tresna guztietan
ezagunena, beharbada, elementu finituen metodoa izango da eta CAE tresnetan ezezagunena eta
garapen txikiena izan duena, berriz, mekanismoen zenbakizko simulazioa da, dudarik gabe.
Hori guztia harrigarria da ekintza dinamikoak jasaten dituen mekanismoaren osagaia den elementu
baten egituraren kalkulua egiteko (motorraren baskulagarria, kasu), elementu horrek jasaten dituen
indarrak eta erreakzioak balioestea ezinbestekoa baita. Kalkulu horiek egiteko eskura ditugun ohiko
metodoak ez dira erabilera anitzeko metodoak, eta askotan zehaztasunik gabeko kalkuluak erabiltzen dira,
eta ondorioz, egitura-kalkulu zehatza egitearen erabilgarritasuna dudazkoa izan daiteke. Horrenbestez,
mekanismoen azterketak elementu finituen egitura-azterketa egin baino lehenagoko pauso logikoa izan
behar du eta azterketa horren bidez elementu bakoitzaren erresistentzia, iraupena eta zurruntasuna
balioztatu ahal izango ditugu, ingeniaritza mekanikoan CAE tresnen ziklo osoa itxi ahal izango dugu.
Bestalde, mekanismoen zinematika eta dinamikaren simulazioa ez da elementu finituen azterketarako
aurretiko pauso gisa erabiltzen soilik; bere kasa ere simulazioa interesgarria dela esan dezakegu.
Zenbakizko simulazioaren sistema modernoen bitartez mekanismoaren jokabidea eta ezaugarriak
egiazta ditzakegu, eta horrela, mekanismo horrek zerbitzuak bete behar dituen funtzioen arabera diseinu
hori onargarria ote den erabakiko dugu, horretarako ereduak eraiki gabe azken momentuko egiaztapen-
-fasean salbu. Horrenbestez, mekanismoen zenbakizko simulazioa mekanismoen zinematika eta
dinamika sakon aztertzeko premiaren irtenbide baliagarria izateko asmoz sortu da.
Eredua izango den adibidearen planteamendua
Motorraren simulazio dinamikoa egiteko lehen pausoa eredu mekaniko sinplifikatua zehaztea da.
Eredua konplexua izatea ala ez, kasurik gehienetan, eredua zehaztean egindako hipotesi eta
sinplifikazioen araberakoa eta lortu nahi diren emaitzen araberakoa izango da. Hori horrela izanik,
ondoren ereduen bitartez kontuan hartu behar diren alderdiak zeintzuk diren azalduko ditugu:
Esekidurak egiaztatzean sistemak izan behar duen erreakzioa
Galgatzen ari den bitartean gertatzen den aitzinapen-aldaketa
Galgatzen ari den bitartean gertatzen den jaurtiketa-aldaketa
Galgatzen ari den bitartean gertatzen den ardatzen arteko distantzia-aldaketa
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 187
Galgatzen ari den bitartean gertatzen den pisuen banaketa-aldaketa
Galgatzen ari den bitartean gertatzen den esekidura-mugimendua
Galgatzen ari den bitartean gertatzen den grabitate-zentroaren mugimendua
Galgatzen ari den bitartean geldiarazi den ABZren(aldiuneko biraketa-zentroa) kokapena eta
mugimendua
Horrekin guztiarekin batera ereduaren bidez garrantzi handiko bestelako emaitzak ere lor ditzakegu, hala
nola denbora-une bakoitzean motorraren osagai guztien kokapena, abiadura, azelerazioa eta lotura-indarrak.
Kontuan hartu behar da eredu hori geometria-aldaketak aztertzeko soilik antolatu dugula, eta
ondorioz, ezin dugu eredu hori pneumatikoen eta zoladuraren arteko elkarrekintzak edo galga-sistema
aztertzeko erabili.
Eredua. Ezaugarriak
Zenbakizko ereduak zehaztean abiapuntu gisa eginiko hipotesiak bi sailetan bana daitezke; batetik
simulazio-programaren baitan dauden ezaugarrien araberako hipotesiak daude, eta bestetik ereduak
definitzean eginiko sinplifikazioekin erlazionatutakoak.
Simulazio-programaren baitako hipotesietan hauek aipa ditzakegu:
Solido zurrunaren hipotesia. Hipotesi horren arabera solido guztiak erabat zurrunak direla
pentsatzen da, hau da, xasisean, baskulagarrian, etab.ean ez dela inolako deformaziorik
gertatuko joko dugu. Hipotesi horrekin bat ez datozen solidoak esekiduretako elementu
elastikoak dira.
Lotura-baldintzak guztiz zurrunak dira. Hipotesi horrek dioenez, elementuen lotura guztiak
idealak dira, hots, ez dago lasaierarik eta lotura-tortsoreak unean unekoak izango dira.
Ereduak definitzean egindako sinplifikazioei lotutako hipotesietan honako hauek aipatuko ditugu:
Motozikletak plano bertikalean egongo da beti (ereduak 3D-koak izan arren).
Lotura-baldintza guztietan energia xahutzearen ondorioak bazter utzi dira (bere garrantzia-
gatik kontuan hartzeko modukoak direla uste izan den kasuetan salbu).
Gidariaren mugimendua ez da kontuan hartu.
Osagaien masak puntualtzat jo dira eta elementu bakoitzaren grabitate-zentroetan aplikatu dira.
Pneumatikoen errodadura ez da kontuan hartu, datu hori geometria-aldaketak kalkulatzeko
ez baita beharrezkoa.
Ez dago galga-sistemarik, eta pneumatiko eta zoladuraren arteko ukitze-gainazalean
jakineko indarra aplikatuz motorra galgatzen ari dela joko dugu.
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
188
Sinplifikazio horiek guztiek ez dute eraginik izan behar ereduen jokamolde dinamikoan, lehen
aipatutako emaitza lortzeari dagokionez behintzat.
Geometria eta oinarrizko ezaugarriak (masa, inertzia-zentroa eta inertzia-tentsorea) CAD sistemaren
bidez eskuratu ditugu, kasu honetan IDEAS izeneko programa erabili dugu. Horrela, marrazketa-fasean
eginiko lan hori sistema mekanikoen simulazioan xasisaren eta xasisarekin erlazionatutako osagaien
ezaugarriak definitzeko erabili ahal izango dugu.
Elementu finituak
Kalkulatzeko metodo hori inoiz erabili baldin baduzue, beharbada, honako azalpen hau azalekoa
dela irudituko zaizue...
Ez gara une honetan azalpen matematiko konplexuak ematen hasiko elementu finituen metodoa
zertan datzan azaltzeko, baizik eta metodo horren funtsa eta erabilpena apur bat argitzen saiatuko gara
besterik gabe.
Demagun pieza bat, motorraren baskulagarria adibidez, diseinatu nahi dugula. Pieza hori
diseinatzeko lehenengo pausoa elementu horrek motorrak izango duen geometriarekin bat etor
dadin izango dituen neurri orokorrak zehaztea izango da. Bestalde, pieza horrek jasango dituen
kargak ere definituko ditugu, karga horien arabera baskulagarriaren neurriak zehaztu ahal izateko,
hau da... zein material-mota erabiliko dugu baskulagarria eraikitzeko? Xaflak edo tutuak zer lodiera
izango du? Baskulagarriak zein forma edukiko du tentsioak eta zurruntasuna kontuan hartuta guk
zehaztu ditugun mugen barnean egongo bada? Tentsio horiek ahalik eta modu uniformeenean
banatuta al daude?
Kalkulu horiek guztiak ohiko metodoak erabiliz egin nahi baditugu (hots, eskuz), posible da guztiz,
betidanik horrela egin baitira, alabaina balioztapen gehiegi eginez eta segurtasun-koefiziente altuegiak
erabiliz egin beharko genituzke. Azken finean kalkulu horiek eskuz egitean diseinatuko dugun pieza
gehiegi dimentsionatuko da.
Elementu Finituen Metodoaren bitartez (EFM euskaraz, MEF gaztelaniaz edo FEM ingelesez)
eta software-pakete on baten bidez pieza diseinatzeak honako lan hauek baino ez ditu eskatuko:
pieza 3D-n ordenagailuan marraztu, erabilitako materialen (altzairua, aluminioa, etab.) propietateak
esleitu, piezak jasango dituen kargak esleitu eta mugimendu-murriztapenak (izan ere pieza
nonbaitetik lotuta egon behar du bestela kargak jasatean hegan joango litzateke-eta) ere esleitzea
izango dira.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 189
Lan hori guztia amaitu dugunean, programak kalkuluak egin eta arazoaren irtenbidea emango
digu, eta gainera, piezak jakineko karga jasaten ari denean nahi dugun puntuaren tentsio-egoera zein
den, piezak izango dituen deformazioak, etab. jakin ahal izango ditugu. Horrenbestez, diseinu- eta
optimizazio-prozesua askoz bizkorragoa izango da eta neke-azterketak ere egin ahal izango ditugu.
Emaitzak intuizioaren bidez interpretatuko ditugu pantaila batean tentsio- edo deformazio-balioak
adierazten dituen kolore-kodearen bidez ikusiko baititugu.
EFM metodoa egiturari dagozkion arazoei irtenbidea bilatzeko erabil daiteke, baina baita fluidoen
dinamikari, bero-transferentziari edo elektromagnetismoari buruzko arazoei emateko ere; izan ere,
metodo hori ekuazio diferentzialak deribatu partzialen bidez adieraz daitezkeen problema matematiko
guztiak askatzeko erabil daiteke eta.
Problema erreala jarraitua da eta askatasun-maila infinituak ditu. EFM metodoa erabiliz, ordea,
funtsean problema murriztua eta askatasun-maila finitua hartzen da kontuan, kalkulatuko dugun pieza
zatikatuz (sare-modukoa eginez) jakineko “pusketen” (elementuen) kopurua lortuz. Pieza pusketa-kopuru
handian banatzen badugu, oso emaitza zehatzak lortuko ditugu, baina problemaren irtenbidea aurkitzea
nekezagoa izango da (izan ere, zenbat eta askatasun-maila handiagoa izan, hainbat eta denbora
gehiago beharko du ordenagailuak kalkuluak egiteko). Aldiz, pieza oso pusketa gutxitan zatitzen badugu,
kalkulua oso azkar egingo dugu, baina emaitzak ez dira oso fidagarriak izango, planteatuko den ekuazio-
PROIEKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA
190
-sistema errealitatetik urrun samar egongo baita. Eskuarki zulo handi samarrak dituen sarea ustez
tentsio txikiagoak jasango dituen piezaren pusketan erabiliko dugu, eta zulo txikiagoak dituen sarea
(elementu-dentsitate handiagoa, alegia) tentsio-kontzentrazio handiagoa egongo dela uste dugun
eremuan erabiliko dugu. Oraintxe eman dugun azalpen hau oso garbi ikus daiteke baskulagarriaren
ondoko irudi honetan. Irudian argi ikus daitekeenez, motorraren baskulagarria lotzen den tokian
elementu-dentsitate handiagoa dago, halaber gurpilaren eta baskulagarriaren ardatzen zuloen inguruan
zulo txikiagoak dituen sarea erabili dugu pieza pusketatan zatitzeko.
Lortuko ditugun emaitzak onargarriak izan daitezen eredua doitzea ez da lan erraza. Zailtasun
handienak mugimendu-murriztapenak ezartzean aurkituko ditugu. Era berean, torloju bidezko loturen
edo soldaduren eredua egitean ere zailtasun batzuk izan ditzakegu. Horrenbestez, lan hau oso kontuz
egin beharko dugu (eta esperientzia izatea ere lagungarria gerta dakiguke) kontuan hartuko ditugun
hipotesiak errealitatetik urrun samar egongo ez badira.
Bestalde, pieza diseinatzeko EFM metodoa erabiltzean beste zailtasun batekin egingo dugu topo
(beharbada zailtasun nagusia izango dena) eta hauxe da: software-paketeak oso garestiak izatea hain
zuzen. Maizen erabiltzen diren pakete ezagunenak (garestiak izan arren pakete horiek eskura ditzaketen
enpresetan bederen) ANSYS eta ABAQUS software-paketeak dira.
Zorionez egunetik egunera gero eta FEM shareware pakete gehiago daude eta guztiak Interneten
erraz aurki ditzakegu. Pakete hauek gehienak 2D edo barren bidez eginiko egituren bidez bakarrik erabil
daitezke. Horrela izanik ere, pakete hauen bitartez oso gauza interesgarriak egin daitezke.
PRODUKTU MEKANIKOEN GARAPENA
LANBIDE EKIMENA 191
BIBLIOGRAFIA
MATERIALEN ERRESISTENTZIA
» Luis Ortiz Berrocal » Mc Graw Hill
MATERIALEN MEKANIKA
» Ferdinand P. Beer – E. Russell Johnston » Mc Graw Hill