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MÁSTER EN DISEÑO AVANZADO EN INGENIERÍA MECÁNICA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
Implementación y verificación de un modelo de
degradación de propiedades para la predicción
del fallo en materiales compuestos
TRABAJO FIN DE MÁSTER
Octubre 2012
AUTOR: David Abellán López
DIRECTOR: Juan Carlos Marín Vallejo
Implementación y verificación de un modelo de
degradación de propiedades para la predicción del fallo
en materiales compuestos
Agradecimientos
Me gustaría expresar en estas líneas mi más sincero agradecimiento a todas
aquellas personas que de una u otra forma han contribuido o influido en esta etapa de mi
formación, tanto académica como personal.
En primer lugar quisiera agradecer el inestimable apoyo de mi familia: a mis
padres, a Alexandra e Irene. A pesar de estar a kilómetros de distancia han sabido darme
ánimo antes y durante la realización del máster.
También quiero dar las gracias a Juan Carlos Marín por su interés en mi trabajo,
por guiarme durante su realización y por dedicarme su tiempo. Un agradecimiento muy
especial merecen mis compañeros, por su amistad, por acogerme y ayudarme desde el
primer día.
Por ultimo quiero agradecer a la Obra Social “la Caixa” por darme la oportunidad
de ampliar mi formación apoyándome económicamente mediante su programa de becas
para Másteres en España.
A todos ellos y a muchos otros que han influido, muchas gracias.
A mis padres
Por dedicar toda una vida de sacrificio
y esfuerzo para poder darme unos
valores, una educación y un futuro.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
i
Índice general
Índice de figuras ...................................................................................... iii
Índice de tablas ....................................................................................... vii
1. Introducción ................................................................................. 9
1.1. Materiales compuestos. ................................................................ 10
2. Criterios de fallo a nivel de lámina. .......................................... 15
2.1. Máxima tensión. ........................................................................... 16
2.2. Criterio de Tsai-Hill (1968). ......................................................... 18
2.3. Criterio de Tsai-Wu (1971). ......................................................... 20
2.4. Criterios de Hashin. ..................................................................... 21
2.5. Criterio de Puck (1997). ............................................................... 23
3. Modelos de degradación. ........................................................... 33
3.1. Modelos de degradación total. ...................................................... 34
3.2. Modelos de degradación progresiva. ............................................ 35
3.2.1. Modelo elasto-plástico perfecto. ............................................ 35
3.2.2. Modelo de Petit y Waddoups. ................................................ 36
3.2.3. Modelo de Nahas. .................................................................. 37
3.3. Modelo implementado en el programa. ........................................ 37
4. Implementación del programa. ................................................. 41
4.1. Estructura de los programas. ........................................................ 44
5. Validación del modelo. ............................................................... 53
5.1. Origen de los datos experimentales. WWFE. ............................... 53
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
ii
5.2. Laminados seleccionados para el ejercicio. .................................. 54
5.3. Resultados para laminados unidireccionales. ................................ 60
5.4. Resultados para laminados. .......................................................... 72
6. Conclusiones. .............................................................................. 89
Bibliografía ............................................................................................. 93
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
iii
Índice de figuras
Figura 1. Comparación de resultados experimentales con la predicción del criterio
de Máxima tensión (R.M. Jones). ................................................................................... 17
Figura 2.Comparación de resultados experimentales con la predicción del criterio
de Tsai Hill (R.M. Jones)................................................................................................ 19
Figura 3. Comparación de resultados experimentales con la predicción de los
criterios de Hashin- Rotem y Hashin (1980), [6]. .......................................................... 23
Figura 4. Tensiones responsables de la rotura de la matriz en el criterio de Puck
[7].................................................................................................................................... 25
Figura 5. Curva de fallo de la matriz que predice el criterio de Puck. ........................... 30
Figura 6. Proceso de aparición de grietas y saturación de la matriz [9] . ....................... 35
Figura 7. Modelo de degradación elasto-plástico perfecto. ............................................ 36
Figura 8. Modelo Petit and Waddoups. .......................................................................... 37
Figura 9. Modelo de degradación de Nahas. .................................................................. 37
Figura 10. Salida de resultados del programa (Notebook) principal. ............................. 42
Figura 11. Formulario en Excel para introducir los datos del laminado. ....................... 43
Figura 12. Ejemplo de variable degradación tras la finalización del programa. ........... 44
Figura 13. Envolvente de fallo inicial para un laminado con láminas a (90º,-30º,
30º)s con Tsai-Wu. .......................................................................................................... 46
Figura 14. Envolvente de fallo final de un laminado. .................................................... 48
Figura 15. Diagrama de flujo de la estructura del programa. ......................................... 50
Figura 16. Pobretas cilíndricas para ensayos de carga biaxial. ...................................... 54
Figura 17. Envolvente de fallo σ2 -τ12 de un laminado E-glass/LY556
unidireccional. Criterio de Máxima tensión. ................................................................. 61
Figura 18. Envolvente de fallo σ2-τ12 de un laminado E-glass/LY556
unidireccional. Criterio de Tsai - Hill. ............................................................................ 61
Figura 19. Envolvente de fallo σ2 -τ12 de un laminado E-glass/LY556
unidireccional. Criterio de Tsai - Wu. ........................................................................... 62
Figura 20. Envolvente de fallo σ2 -τ12 de un laminado E-glass/LY556
unidireccional. Criterio de Hashin - Rotem. ................................................................... 62
Figura 21. Envolvente de fallo σ2-τ12 de un laminado E-glass/LY556
unidireccional. Criterio de Puck. .................................................................................... 63
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
iv
Figura 22. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σ2 -
τ12 de un laminado E-glass/LY556 unidireccional. PLOT 1 [2]. .................................. 64
Figura 23. Envolvente de fallo σ1 -τ12 de un laminado T300/BSL914C
unidireccional. Criterio de máxima tensión. ................................................................... 65
Figura 24. Envolvente de fallo σ1 -τ12 de un laminado T300/BSL914C
unidireccional. Criterio de Tsai - Hill. ............................................................................ 66
Figura 25. Envolvente de fallo σ1 -τ12 de un laminado T300/BSL914C
unidireccional. Criterio de Tsai - Wu. ............................................................................ 66
Figura 26. Envolvente de fallo σ1 -τ12 de un laminado T300/BSL914C
unidireccional. Criterio de Hashin - Rotem. ................................................................... 67
Figura 27. Envolvente de fallo σ1 -τ12 de un laminado T300/BSL914C
unidireccional. Criterio de Puck. .................................................................................... 67
Figura 28. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σ1 -
τ12 de un laminado T300/BSL914C unidireccional. PLOT 2 [2]. ................................. 68
Figura 29. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σ1 -
σ 2 de un laminado E-glass/MY750 unidireccional. PLOT 3 [2]. ................................. 69
Figura 30. Envolvente de fallo σ1 - σ2 de un laminado E-glass/MY750
unidireccional. Criterio de máxima tensión. ................................................................... 70
Figura 31. Envolvente de fallo σ1 - σ2 de un laminado E-glass/MY750
unidireccional. Criterio de Tsai -Hill. ............................................................................. 70
Figura 32. Envolvente de fallo σ1 - σ2 de un laminado E-glass/MY750
unidireccional. Criterio de Tsai – Wu. ........................................................................... 71
Figura 33. Envolvente de fallo σ1 - σ2 de un laminado E-glass/MY750
unidireccional. Criterio de Hashin - Rotem. ................................................................... 71
Figura 34. Envolvente de fallo σ1 - σ2 de un laminado E-glass/MY750
unidireccional. Criterio de Puck. .................................................................................... 72
Figura 35. Envolvente de fallo σx – σy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º).
Criterio de máxima tensión............................................................................................. 73
Figura 36. Envolvente de fallo σx – σy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º).
Criterio de Tsai - Hill..................................................................................................... 74
Figura 37. Envolvente de fallo σx – σy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º).
Criterio de Tsai - Wu. ..................................................................................................... 74
Figura 38. Envolvente de fallo σx – σy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º).
Criterio de Hashin - Rotem. ............................................................................................ 75
Figura 39. Envolvente de fallo σx – σy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º).
Criterio de Puck. ............................................................................................................. 75
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
v
Figura 40. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σx -
σ y de un laminado E-glass/LY556 (90º/±30º). PLOT 4 [2]. ......................................... 76
Figura 41. Envolvente de fallo σx – τxy de un laminado E-glass/ LY556
(90º/±30º). Criterio de máxima tensión. ......................................................................... 77
Figura 42. Envolvente de fallo σx – τxy de un laminado E-glass/ LY556
(90º/±30º). Criterio de Tsai - Hill. .................................................................................. 78
Figura 43. Envolvente de fallo σx – τxy de un laminado E-glass/ LY556
(90º/±30º). Criterio de Tsai - Wu.................................................................................... 78
Figura 44. Envolvente de fallo σx – τxy de un laminado E-glass/ LY556
(90º/±30º). Criterio de Hashin - Rotem. ......................................................................... 79
Figura 45. Envolvente de fallo σx – τxy de un laminado E-glass/ LY556
(90º/±30º). Criterio de Puck............................................................................................ 79
Figura 46. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σx -
τ xy de un laminado E-glass/LY556 (90º/±30º).PLOT 5 [2]. ......................................... 80
Figura 47. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σx -
σy de un laminado AS4/3501-6 (90º/±45º/0º)S.PLOT 6 [2]........................................... 81
Figura 48. Envolvente de fallo σY – σX de un laminado AS4/3501-6
(90º/±45º/0º)S. Criterio de máxima tensión. ................................................................... 82
Figura 49. Envolvente de fallo σY – σX de un laminado AS4/3501-6
(90º/±45º/0º)S. Criterio de Tsai - Hill. ............................................................................ 83
Figura 50. Envolvente de fallo σY – σX de un laminado AS4/3501-6
(90º/±45º/0º)S. Criterio de Tsai - Wu. ............................................................................. 83
Figura 51. Envolvente de fallo σY – σX de un laminado AS4/3501-6
(90º/±45º/0º)S. Criterio de Hashin - Rotem. ................................................................... 84
Figura 52. Envolvente de fallo σY – σX de un laminado AS4/3501-6
(90º/±45º/0º)S. Criterio de Puck. ..................................................................................... 84
Figura 54. Envolvente de fallo σy – σx de un laminado E-glass/ MY750 (±55º).
Criterio de máxima tensión............................................................................................. 85
Figura 55. Envolvente de fallo σy – σx de un laminado E-glass/ MY750 (±55º).
Criterio de Tsai - Hill...................................................................................................... 86
Figura 56. Envolvente de fallo σy – σx de un laminado E-glass/ MY750 (±55º).
Criterio de Tsai - Wu. ..................................................................................................... 86
Figura 57. Envolvente de fallo σy – σx de un laminado E-glass/ MY750 (±55º).
Criterio de Hashin - Rotem.Figura 58. Envolvente de fallo σy – σx de un laminado
E-glass/ MY750 (±55º). Criterio de Puck....................................................................... 87
Figura 58. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σx -
σy de un laminado E-glass/MY750 (±55º).PLOT 9 [2]. ................................................ 88
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
vi
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
vii
Índice de tablas
Tabla 1. Propiedades mecánicas de las principales fibras. ............................................. 11
Tabla 2. Propiedades recomendadas por Puck para parámetros de su criterio. .............. 30
Tabla 3. Resultados de cada iteración del programa y variable asociada....................... 49
Tabla 4. Propiedades térmicas y mecánicas para láminas unidireccionales. .................. 56
Tabla 5. Propiedades mecánicas y térmicas para las fibras. ........................................... 57
Tabla 6. Propiedades mecánicas y térmicas para las matrices. ...................................... 57
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
viii
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
9
Capítulo 1
1. Introducción
Los polímeros reforzados con fibras (PRF) son una familia de materiales compuestos
que presentan una gran rigidez y resistencia con un extraordinario bajo peso. Estas
cualidades los hace idóneos para aquellas aplicaciones en las que la relación
resistencia/peso sea crucial y el coste no sea un impedimento, como por ejemplo el
transporte aéreo y el material deportivo de alta competición.
Para conseguir la máxima reducción de peso es necesario conocer en la mayor medida
posible el comportamiento del material (resistencia, comportamiento ante temperatura,
fatiga, degradación) con el fin de realizar diseños con coeficientes de seguridad lo más
bajos posible. Como en todas las ramas de la ingeniería mecánica la experimentación
con prototipos es la forma más fiable pero resulta demasiado cara, por lo que los
modelos numéricos cobran importancia en aras de reducir los costes de desarrollo de los
productos.
Desde el inicio de estos materiales en la década de 1950 han surgido numerosas teorías
que pretenden predecir el comportamiento y sobretodo el fallo del material. Estos van
desde los más sencillos, basados en criterios de fallo de metales hasta los más
sofisticados, que tienen en cuenta la naturaleza de cada uno de los componentes del
material compuesto y cuya aplicación ha sido posible gracias al aumento de potencia de
los ordenadores en las últimas décadas.
La dificultad de la predicción de fallo de los PRF no solo radica en la heterogeneidad y
anisotropía del material sino que además, una pieza está constituida por un alto número
de láminas que pueden adoptar una gran variedad de combinaciones atendiendo a las
orientaciones y secuencia de apilado que escoja el diseñador.
El fallo de una lámina unidireccional ante cargas simples se realiza fácilmente mediante
ensayos en laboratorio y existen criterios de fallo que predicen satisfactoriamente el
fallo de la lámina unidireccional ante cargas más complejas a partir de los resultados de
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
10
dichos experimentos. Sin embargo, el problema del laminado es que después del fallo
de la primera de las láminas que lo componen, el esfuerzo que soportaba esta lámina
que ha fallado se redistribuirá en el resto de láminas y es de esperar que el laminado
siga resistiendo cargas superiores, incluso que la lámina que ha fallado solo lo haya
hecho parcialmente y que siga contribuyendo a la resistencia del conjunto.
Ahora bien, la correcta determinación de la cantidad en la que la lámina que ha fallado
sigue contribuyendo a la resistencia y rigidez del conjunto es lo que condiciona la
exactitud de la predicción del fallo final del laminado. Existen multitud de criterios y
modelos que intentan predecir y modelar la evolución del daño en los materiales
compuestos [1] para que en un futuro, cuando se conozca con suficiente precisión la
resistencia final del laminado, se puedan aplicar al proceso de diseño, consiguiendo así
mayores reducciones de peso y costes.
El objetivo de este trabajo es la implementación y validación de un modelo de
degradación progresiva de las propiedades de materiales con la acumulación del daño
combinado con distintos criterios de fallo.
Para la realización de la tarea se ha seguido el siguiente proceso:
Se ha implementado en Software de propósito general Wolfram Mathematica®
un programa que incluye el modelo de degradación y varios criterios de fallo.
Se ha verificado si el modelo implementado conduce a una buena predicción del
fallo de materiales compuestos comparando este con datos experimentales y con
resultados obtenidos por otros modelos [2].
Para el cálculo de las tensiones y deformaciones se utiliza la Teoría Clásica del
Laminado (TCL). Para la validación del modelo propuesto se han considerado los casos
abordados en el Word Wide Failure Exercise [3] que se describirá posteriormente.
1.1. Materiales compuestos.
Un material compuesto puede ser definido como un material heterogéneo y anisótropo,
formado por una combinación macroscópica de dos o más constituyentes, con diferentes
propiedades físicas y químicas y que poseen una interfase común entre ellos. La idea de
la combinación de las propiedades de varios materiales es fruto de la observación de la
naturaleza, donde se pueden encontrar casos tan comunes como la madera, el hueso o
los tejidos musculares.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
11
En este trabajo se va a concretar la definición de los materiales compuestos que
contienen un refuerzo, en concreto en forma de fibras continuas, mantenido por un
material que lo protege, le transmite los esfuerzos y lo mantiene unido (matriz).
En los materiales compuestos de uso estructural siempre hay tres condiciones que se
tienen que cumplir:
Constan de dos o más materiales distintos y separables mecánicamente.
Pueden fabricarse mezclando los distintos materiales de forma controlada para
alcanzar unas propiedades óptimas.
Las propiedades son superiores (y probablemente únicas en algún aspecto
específico) a las propiedades de los componentes por separado. Esta última
condición es la más importante, ya que en caso de que no se dé, no tendría
sentido el diseño y desarrollo de los materiales compuestos.
Los materiales reforzados con fibra son los que tienen mayor aplicación en el sector
ingenieril, ya que ofrecen mejores propiedades mecánicas, especialmente de resistencia
y módulo elástico. Las fibras más usadas son de carbono, vidrio y Kevlar. La fibra es
muy delgada haciendo que disminuya la posibilidad de existencia de defectos y
aumentando la tensión de fallo del material.
El diámetro de las fibras de carbono está entre 7 y 8 micrómetros y el de las fibras de
vidrio entre 8 y 14. Observando la gráfica de la Tabla 1 se aprecia que la tensión del
fallo de las fibras aisladas es altísima (suele ser entre 2.1 y 2.5 GPa en las fibras de
carbono) [4].
Fibras
Módulo de
Elasticidad
(GPa)
Resistencia a
la tracción
(GPa)
Densidad
(g/cm3 )
Resistencia
Específica Módulo
Específico
Vidrio - E 72.4 2.1 2.54 0.826 28.5
Vidrio - S 85.5 2.1 2.48 0.846 34.5
Grafito
(Módulo
Alto)
390.0 2.1 1.90 1.1 205.
Grafito(alta
resistencia a
la tracción
240.0 2.5 1.90 1.3 126.
Boro. 385.0 2.8 2.63 1.1 146.
Sílice 72.4 5.8 2.19 2.65 33.
Tungsteno 414.0 4.2 19.30 0.22 21.
Berilio 240.0 1.3 1.83 0.71 131.
Kevlar-49 130.0 2.8 1.50 1.87 87.
Tabla 1. Propiedades mecánicas de las principales fibras.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
12
La matriz suele ser de un material polimérico como el epoxi o el poliéster. La
resistencia a tracción de estos materiales (inferior a 100 MPa) suele ser menor que la
resistencia a compresión (hasta 250 MPa). Sus principales funciones son las de proteger
las fibras y mantener su posición y dirección. Es la responsable de las propiedades en la
dirección transversal y la que limita mecánica y térmicamente el material compuesto.
Con las matrices de material polimérico el material compuesto está muy limitado por su
temperatura de uso, ya que las resinas únicamente pueden soportar temperaturas de
aproximadamente 200 °C.
En las aplicaciones aeroespaciales, donde los materiales compuestos están siendo más
usados, el material compuesto que más se utiliza es el carbono/epoxi. Este material se
usa en gran parte de una aeronave (cajón de las alas, estabilizadores horizontales,
fuselaje, alerones, alas, spoilers…). El sector aeroespacial es el principal responsable
del uso y desarrollo de los materiales compuestos, pero éstos también tienen
importantes aplicaciones en otros sectores, ya que los materiales compuestos se utilizan
para fabricar componentes eléctricos, piezas en los vehículos de transporte por carretera
y marítimos y en aplicaciones deportivas.
Las ventajas que tiene el material compuesto frente a los metales han sido las causantes
del incremento de su uso.
La primera ventaja es su peso. Los materiales compuestos tienen menor densidad que
los metales y prácticamente las mismas propiedades mecánicas. Eso hace que las
propiedades específicas de los materiales compuestos sean bastante mejores y que sean
los materiales apropiados para las aplicaciones donde es importante tener un reducido
peso. Las propiedades específicas son las propiedades de los materiales en relación a su
densidad. En los diferentes medios de transporte una reducción de peso equivale a un
mayor rendimiento y un menor consumo de energía.
La segunda ventaja es la anisotropía que tienen estos materiales, especialmente si la
comparamos con los metales, que son isótropos. Los materiales compuestos hay que
diseñarlos y fabricarlos, luego se puede estudiar cual sería la mejor configuración para
que tengan un comportamiento óptimo en su uso y, por tanto, orientar las fibras de
manera que se aproveche toda la capacidad mecánica del material. Los materiales
compuestos suelen fabricarse en laminado mediante el apilamiento de diferentes capas
de pre-impregnado. Cada lámina tendrá una orientación y se podrán poner tantas capas
como se estime oportuno.
En cambio, los materiales compuestos tienen dos problemas principales:
El primero es que al ser piezas normalmente muy complejas y bastantes grandes (en el
caso del sector aeronáutico), su fabricación se hace muy dificultosa, los equipos
necesarios para su fabricación también son muy específicos y por tanto, muy caros. En
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
13
la fabricación primero hay que configurar el laminado y luego curar para que se
polimerice la matriz y se formen los enlaces permanentes característicos de las resinas
termoestables [4].
El segundo problema viene dado por su anisotropía y su versatilidad de fabricación, ya
que, en piezas complejas, al ser tan diferentes unas de otras y al estar diseñados para tan
distintas aplicaciones no hay nada que pueda decir con total exactitud cuándo o cómo va
a romper el material compuesto. La única manera es mediante ensayos de las piezas
completas. Estos ensayos son muy caros y hay que hacer uno por cada pieza de la cual
se quieran conocer las propiedades y características.
No obstante, el gran inconveniente de los materiales compuestos es el desconocimiento
que se tiene de ellos. Es una tecnología joven que en pocos años se ha ganado un
importante espacio en la ingeniería de materiales. Su desarrollo ha sido muy rápido, así
que, en breve, estos inconvenientes empezarán a desaparecer y los materiales
compuestos ofrecerán la alternativa completa a los metales en muchas aplicaciones.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
14
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
15
Capítulo 2
2. Criterios de fallo a nivel de lámina.
Para determinar la resistencia de una lámina de material compuesto se realizan varios
ensayos sencillos (ensayos de tracción, Off-Axis, probetas Iosipescu) en los que se
somete a una probeta a unas cargas externas a partir de las cuales sea fácil determinar el
estado de tensión en ejes principales del material. Mediante estos ensayos se obtienen
los valores admisibles para la lámina. Usualmente se utilizan cinco valores
característicos del material:
Xt = Resistencia longitudinal a tracción.
Xc =Resistencia longitudinal a compresión.
Yt= Resistencia transversal a tracción.
Yc =Resistencia transversal a compresión.
S = Resistencia a cortadura.
Sin embargo, por lo general, las cargas que actúan sobre un laminado en una aplicación
real producirán un estado tensional que no tiene por qué coincidir con el estado
tensional producido en los ensayos en laboratorio y por tanto será necesario determinar
un criterio que relacione el estado actual de cargas con uno admisible de igual modo a
como se hace con los materiales isótropos.
Aunque aparentemente los criterios de plastificación para materiales isótropos y los de
rotura para materiales ortótropos representan cosas diferentes, ambos intentan
determinar el fin del comportamiento elástico del material. De hecho los primeros
criterios se basan en los empleados para determinar la plastificación de materiales
isótropos dúctiles como los metales laminados en frio.
La mayoría de los criterios de rotura están basados en variables macroscópicas por
sencillez, tratando al material como un material homogéneo equivalente. No obstante
cada vez se da más importancia al estudio de la micromecánica pues no hay que olvidar
que se trata de un material compuesto y bajar al nivel microscópico donde se puede
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
16
contemplar la existencia de los dos materiales y su interfase puede dar predicciones más
fieles.
Existen dos grandes grupos de criterios de rotura en materiales compuestos: los no
asociados al modo de fallo y los asociados al modo de fallo [5]. Los del primer grupo
suelen ser criterios polinómicos y los segundos proponen distintas ecuaciones según el
mecanismo de rotura:
Criterios No asociados directamente a modos de fallo:
Tsai-Hill (Azzi-Tsai, 1965, 66, 68)
Tsai-Wu (1971)
Tsai-Wu modificado
Criterios asociados a modos de fallo:
Máxima tensión
Máxima deformación
Hashin & Rotem (1973)
Yamada & Sun (1978)
Hashin (1980)
Hart-Smith (1989)
Puck et Al. (1997)
Kriging (1997)
En el programa realizado en este trabajo se implementan los criterios de Máxima
tensión, Tsai Hill, Tsai Wu, Hashin-Rotem y Puck que se desarrollan a continuación.
2.1. Máxima tensión.
Este criterio se basa en suponer que la lámina no rompe si las tensiones dentro de la
lámina, expresadas en unos ejes que coinciden con la dirección de las fibras, son
menores que las resistencias respectivas obtenidas de ensayos de carga uniaxiales y de
cizalladura pura. Es el equivalente al criterio de Rankine para el comienzo de
plastificación en materiales isótropos. Predice que la fractura no se producirá si se
cumplen las inecuaciones (1).
Nótese que el sentido de (referido a ejes principales del material) es inmaterial. Las
resistencias a compresión Xc y Yc tienen siempre un valor positivo en este trabajo.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
17
Estados de tracción
Estados de compresión
(1)
| |
Cuando alguna de las condiciones anteriores no se cumpla, se producirá el fallo de la
lámina de acuerdo al mecanismo asociado a la ecuación que no se ha cumplido.
Si se representan las curvas para una lámina unidireccional que se somete a ensayos de
tracción y compresión según distintas orientaciones junto con los resultados obtenidos
experimentalmente se observa que en las intersecciones de las curvas los valores
predichos por el criterio de máxima tensión no se ajustan a los resultados empíricos.
Esto se debe a que según este criterio no existe ningún tipo de interacción entre los
mecanismos de fallo y en consecuencia en los puntos en los que el material está
próximo a fallar por ambos mecanismos el criterio no da una buena predicción.
Figura 1. Comparación de resultados experimentales con la predicción del criterio de Máxima
tensión (R.M. Jones) [6].
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
18
2.2. Criterio de Tsai-Hill (1968).
Este criterio está basado en el criterio de plastificación de materiales anisótropos de Hill
que a su vez está basado en el criterio de Von-Mises para isótropos1 [7].
La forma general del criterio de Hill para materiales anisótropos es:
( ) ( )
( )
(2)
donde las constantes están asociadas al final del comportamiento elástico. Para una
lámina, considerando que no hay tensiones fuera del plano de la lámina (
) el criterio queda
( ) ( )
(3)
La determinación de las constantes a partir de los valores de resistencia característicos
del material se hace considerando determinados estados límites:
-Tensión tangencial pura ( ), obteniendo
( 4)
-Tensión normal en la dirección principal 1 ( )
( 5)
-Tensión normal en la dirección principal 2 ( )
( 6)
Puesto que se está tratando láminas ortótropas unidireccionales es razonable suponer
que las propiedades en la dirección 3 son equivalentes a las de la dirección 2, por tanto:
1 El criterio de Tsai-Hill no se puede considerar de energía de distorsión, pues en materiales ortótropos no
puede separarle la distorsión de la dilatación.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
19
( 7)
De las tres últimas ecuaciones queda:
( 8)
Finalmente el criterio queda:
( 9)
Si se realiza la comparación con los resultados empíricos de una lámina unidireccional
sometida a tracción y compresión de igual modo que se hizo con el criterio anterior se
puede observar como la discrepancia de Tsai- Hill es menor debido a que ahora se
considera la interacción entre las tensiones normales y tangenciales. Ahora no hay saltos
bruscos en las zonas donde el criterio de máxima tensión no predecía bien el fallo.
Figura 2.Comparación de resultados experimentales con la predicción del criterio de Tsai Hill
[6].
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
20
2.3. Criterio de Tsai-Wu (1971).
La idea de este criterio es generalizar el criterio de Tsai-Hill introduciendo términos que
no aparecen en él. La expresión más general de este nuevo criterio es una curva en el
espacio de tensiones de la forma:
| ( 10)
donde Fi y Fij están relacionadas con las resistencias del material asociadas a direcciones
específicas. La ecuación anterior incluye 42 constantes y está asociada a un sólido
tridimensional. Para una lámina trabajando en tensión plana, Tsai y Wu proponen [8]:
( 11)
La determinación de los coeficientes de la ecuación anterior se hace particularizando
para situaciones simples. Así, para un ensayo de tracción en la dirección de las fibras
( ):
( 12)
y para uno de compresión: ( )
( 13)
quedando :
( 14)
Análogamente en la dirección perpendicular a las fibras:
( 15)
En un ensayo de córtate puro ( )
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
21
( 16)
La independencia del signo de a la resistencia a tensión tangencial hace que
( 17)
Para determinar F12 es necesario realizar ensayos fuera de los ejes principales del
material o bien realizar un ensayo biaxial ( )
( ) ( ) ( 18)
Finalmente, tras algunas hipótesis se puede suponer que el valor de F12 quedaría:
√
( 19)
Es importante entender que los criterios de fallo que no están basados en los modos de
fallo (como en los casos de criterios polinomiales Tsai-Wu y Tsai-Hill) son puramente
empíricos, y su objetivo es definir una envolvente de fallo utilizando el mínimo número
de datos y a poder ser, que estos provengan de ensayos uniaxiales y de cortante puro.
El criterio de Tsai-Wu es uno de los más utilizados en códigos de elementos finitos
comerciales, por ejemplo ANSYS lo implementa, debido a su simplicidad y a que
predice satisfactoriamente el fallo de los materiales compuestos en múltiples casos.
Muestra de ello son los resultados obtenidos por Tsai en el WWFE [9] [10]
2.4. Criterios de Hashin.
Hashin propone que el criterio para predecir el fallo de un material compuesto ha de
basarse necesariamente en los mecanismos de fallo del mismo y no ser simplemente una
extrapolación de criterios existentes para otros materiales como en los casos anteriores.
Bajo esta idea el autor propuso inicialmente un criterio para un estado biaxial de tensión
(Hashin-Rotem, 1973 [11]), y más tarde un segundo criterio para estados
tridimensionales de tensión (Hashin 1980). Las hipótesis en las que se basan sus
propuestas originales son las siguientes:
Consideración separada de los distintos modos de fallo:
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
22
Fallo fibra: a tracción y a compresión
Fallo de la matriz: a tracción y a compresión
En el modo de fallo de la matriz se consideran las componentes del vector tensión en el
plano de fallo como responsables del mismo.
La interacción entre las distintas componentes que intervienen en un modo se supone
cuadrática. Se utiliza este tipo de interacción por ser sencilla y quedar descartada la
interacción lineal.
Las expresiones de los criterios para el caso bidimensional de tensiones ( ) se
muestran a continuación.
Criterio de Hashin-Rotem, (1973)
Fallo de la fibra en tracción
(FFT) ( )
( 20)
Fallo de la fibra en compresión
(FFC) | | ( )
Fallo de la matriz en tracción
(FMT) ( )
( )
( )
Fallo de la matriz en
compresión (FMC) ( )
( )
( )
Criterio de Hashin, (1980)
Fallo de la fibra en tracción
(FFT) ( )
( )
( )
( 21)
Fallo de la fibra en
compresión (FFC) | | ( )
Fallo de la matriz en
tracción (FMT) ( )
( )
( )
Fallo de la matriz en
compresión (FMC)
(
)
*(
)
+ ( )
( )
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
23
Nótese que la particularización para el caso plano del criterio tridimensional no coincide
con el criterio bidimensional de 1973. El valor de ST representa la resistencia a
cizalladura interlaminar, es decir el valor admisible de la tensión tangencial .
En lo que se refiere al fallo de la fibra a tracción, en el criterio de 1980 se incluye la
contribución al fallo de la componente de tensión sin embargo, para el fallo de la
fibra a compresión y de la matriz a tracción no se modifica la expresión. Para la
predicción del fallo de la matriz a compresión las expresiones difieren.
Figura 3. Comparación de resultados experimentales con la predicción de los criterios de
Hashin- Rotem y Hashin (1980), [4].
A pesar de partir de la hipótesis de que las componentes de tensión en el plano de fallo
son las responsables del mismo, el autor propone una interacción cuadrática debido a la
dificultad de determinar el plano de fallo y las componentes de tensión mencionadas.
En la figura anterior se comparan los dos criterios de Hashin con los datos
experimentales tomados de R.M. Jones [6]; se observa ambos criterios se ajustan a los
datos, incluso mejorando la aproximación de Tsai-Hill para fallo por compresión.
2.5. Criterio de Puck (1997).
Este criterio corresponde al grupo de criterios asociados a los mecanismos de fallo.
Plantea distintos modos de fallo: fallo de la fibra y el fallo “entre fibras” [12]. En cada
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
24
uno de estos modos admite que la envolvente de fallo puede estar compuesta de
distintos tramos que modelen distintos comportamientos resistentes a tracción y a
compresión.
Considera que el fallo de la fibra se producirá cuando se alcance en las fibras la tensión
normal longitudinal igual a la que provoca el fallo bajo un estado de tensión uniaxial
:
(22)
donde es la tensión normal en las fibras en dirección paralela a las mismas, XfT es la
resistencia a la tracción de las fibras, y XfC es la resistencia a la compresión de las
fibras, entendidas estas dos últimas como la tensión existente en las fibras, en el seno de
la lámina, cuando se produce el fallo de las fibras bajo un estado uniaxial aplicado sobre
la lámina.
Asumiendo un comportamiento elástico lineal del compuesto, ambas resistencias se
pueden evaluar como:
( 23)
donde, XT y XC son respectivamente las resistencias a tracción y compresión del
compuesto en la dirección de las fibras, E1 y Ef1 son los módulos elásticos, en dirección
de la fibra, del conjunto y de la fibra respectivamente, y , son las deformaciones
asociadas al fallo del conjunto, en dirección de la fibra, a tracción y a compresión.
Cuando la lámina está sometida a un estado tensional plano la deformación normal
longitudinal en la fibra se puede expresar a través de la ley de comportamiento en la
forma:
( 24)
donde la tensión se ha supuesto igual a la tensión del conjunto multiplicada por
un factor de magnificación . Asumiendo que existe un perfecto pegado entre las
fibras y la matriz, es lógico suponer que la deformación longitudinal de las fibras es
igual a la del conjunto , y por tanto se puede expresar de la forma:
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
25
( 25)
Sustituyendo en las ecuaciones (22), ( 23) y ( 25). se obtiene:
(
)
(
)
( 26)
Adicionalmente, y dado que el mecanismo de fallo de la fibra en compresión involucra
fenómenos de inestabilidad local (micro-pandeo), Puck indica que la componente de
tensiones debe ser tenida en cuenta en la expresión del fallo en compresión de la
fibra, ya que juega un papel induciendo este tipo de mecanismo. En consecuencia,
propone una corrección de tipo empírico de la segunda de las expresiones de ( 26),
quedando finalmente las expresiones del criterio para el modo de fallo de la fibra:
(
)
|
| ( )
(27)
En cuanto al fallo de la matriz, los materiales compuestos muestran un comportamiento
en rotura frágil. En este sentido, la idea básica que sustenta el criterio de Puck reside en
admitir que el fallo está provocado por las componentes de tensión asociadas al plano de
fallo. Está hipótesis ya formulada por Hashin (que no pudo llevarla a cabo), ha sido
desarrollada por Puck determinando la inclinación del plano de fallo como función del
estado tensional, que suponía el mayor escollo en la implementación de dicha hipótesis.
Figura 4. Tensiones responsables de la rotura de la matriz en el criterio de Puck [12].
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
26
En la imagen anterior se representa esquemáticamente las componentes del estado
tensional en los planos de ortotropía del material y en las componentes de tensión del
plano de fallo.
En el caso en que la tensión normal al plano de fallo sea positiva (σn ≥ 0), las tres
componentes de tensión contribuirían al fallo, por lo que el criterio debería expresar una
interacción de dichas componentes. Puesto que el signo de las componentes
tangenciales no tiene influencia sobre el fallo, una interacción de tipo cuadrática sería la
forma más simple que resultaría adecuada para la expresión del criterio. De esta forma
la expresión quedaría:
(
( )
)
( )
( )
( 28)
donde los términos que aparecen en los denominadores (R) representan las resistencias
asociadas a cada una de las componentes de tensión en el plano de fallo. Así, ( )
se
corresponde con la resistencia a la tracción en dirección perpendicular a las fibras YT, y
se corresponde con la resistencia a cizalladura intralaminar S12. La determinación
de resulta más complicada, puesto que no se conocen ensayos que permitan una
medida directa de esta característica, ya que un estado de cortadura pura produce un
fallo por tracción en un plano a 45º. Una medida indirecta de puede obtenerse en
función de la resistencia a compresión perpendicular a las fibras YC, ya que el
mecanismo de fallo en el ensayo de compresión pura involucra a la componente .
Esta evaluación indirecta requiere asumir una expresión del criterio para el modo de
fallo de la matriz en compresión, el cuál se tratará más adelante.
Para conseguir un mejor ajuste con resultados experimentales, la expresión ( 28)se
modifica introduciendo unos coeficientes c1, c2, y un término lineal, en la siguiente
forma:
(
( )
)
( )
(
)
(
)
( 29)
Para el caso de tensión plana, las componentes en el plano de fallo se pueden evaluar
como:
o o o ( 30)
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
27
donde θ sería el ángulo que formaría la normal al plano de fallo con la dirección del eje
principal 2 ( ver Figura 4). Para el caso que nos ocupa σn ≥ 0 (lo que corresponde a σ2 ≥
0), la evidencia experimental indica que el ángulo del plano de fallo es θ = 0. Por lo
tanto, sustituyendo dicho ángulo la expresión anterior queda:
( 31)
Sustituyendo, la expresión ( 29) queda de la forma
(
( )
)
( )
( )
( 32)
Operando con la expresión ( 32), y estimando los coeficientes de ajuste experimental se
llega a la siguiente expresión:
√(
( )
)
( ( )
( ) )(
( )
)
( )
( )
(33)
donde ( )
es la pendiente de la curva de fallo para en el punto de . La
expresión (33) constituye la expresión del criterio para el modo de fallo de la matriz en
tracción, lo que Puck denomina como modo A.
En el caso en que la tensión normal al plano de fallo sea negativa ( ), se
considera que dicha componente contribuye impidiendo el fallo a cortadura que
propician las componentes tangenciales en el plano de fallo ( , ). La justificación
física que se le da a este hecho es que la componente de compresión genera una
fricción interna en el material que se opone a la acción de las componentes tangenciales.
La forma de trasladar esta idea a la expresión del criterio consiste en reducir el valor de
las resistencias tangenciales en el plano de fallo proporcionalmente al valor de la
tensión normal . La expresión del criterio para quedaría de la forma:
(
( ) )
(
( ) )
( 34)
donde ( )
es la pendiente de la curva de fallo ( , ) para en el punto de =
0, y ( ) es la pendiente de la curva de fallo ( , ) para en el punto de =
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
28
0. Con objeto de alcanzar un mejor acuerdo con resultados experimentales, la expresión
anterior se modifica en la siguiente forma.
( )
( )
( )
( )
( 35)
Para simplificar el cálculo, Puck indica que, en base a la experiencia, resulta razonable
asumir una relación entre las pendientes y las resistencias en el plano de fallo del tipo:
( )
( )
( 36)
Usando esta simplificación la expresión del criterio se reduce a:
( )
( )
(
) ( 37)
Para el caso de tensión plana las componentes del plano de tensión pueden evaluarse de
igual modo a como se ha realizado anteriormente.
Existe una primera zona del dominio de compresión (casos en que es pequeña
relativamente frente a ) donde se puede observar experimentalmente que el ángulo
del plano de fallo es = 0. Esta zona del dominio de compresión se denomina modo B.
Por lo tanto, sustituyendo dicho ángulo las expresiones anteriores se obtiene:
(
)
(
) ( 38)
y operando en ella se puede llegar a la siguiente:
√( )
(
)
(
) ( 39)
que constituye la expresión del criterio para el denominado modo B de fallo de la matriz
en compresión ( < 0).
La otra zona que completa el dominio de compresión (casos en que es dominante
frente a ) es aquella en que el ángulo del plano de fallo es ≠ 0. Esta zona del
dominio de compresión se denomina modo C. La determinación de las componentes de
tensión en el plano de fallo precisa en este modo el conocimiento del ángulo . Para un
caso tridimensional en general habría que barrer todo el rango de variación del ángulo
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
29
para detectar el que maximiza la expresión del criterio, sin embargo, para el caso de
tensión plana es posible determinar analíticamente dicho ángulo. La expresión del
ángulo que maximiza la expresión del criterio viene dada por:
√
( 40)
Se puede observar, que independientemente de la relación entre y , el valor de la
componente normal asociada al plano de fallo permanece constante, viniendo dada por:
o
( 41)
Este valor va a fijar el límite que separa los modos B y C, ya que para los valores de
comprendidos en el rango se producirá el modo B, y para
se producirá el modo C.
Sustituyendo el valor del ángulo del plano de fallo, dado por ( 40), en la expresión del
criterio ( 37) y operando se llega a la siguiente expresión:
* ( )
+[( )
( )
]
( 42)
que constituye la expresión del criterio para el denominado modo C de fallo de la matriz
en compresión.
La curva del criterio para el fallo de la matriz, incluyendo los modos A, B y C, se
muestra en la figura de la página siguiente.
El criterio de Puck depende de varios parámetros que no son fáciles de determinar. Sin
embargo el autor propone en [13] valores basándose en la experiencia. En la Tabla 2 se
recogen estas recomendaciones.
( ( ))
( 43)
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
30
Figura 5. Curva de fallo de la matriz que predice el criterio de Puck.
Además para simplificar el cálculo propone que existe una relación entre las pendientes
de las curvas de fallo y las resistencias asociadas de la forma:
||( )
( )
(
) ( 44)
lo que ayuda a determinar ( )
de la expresión ( 43).
||( )
||( )
Grafito 0.35 0.3 1.1
Vidrio 0.3 0.25 1.3
Tabla 2. Propiedades recomendadas por Puck para parámetros de su criterio.
Aunque Puck parte de la hipótesis de las causantes del fallo “entre fibras “son
exclusivamente las tensiones en el plano de fallo y por tanto en las expresiones del
modo A, B y C no aparece la contribución al fallo de σ1, finalmente sí añade un término
a las expresiones (33), ( 39) y ( 42) que produce una mejora en la predicción de este
criterio.
La justificación que plantea el autor no es que exista una interacción inicial entre las
tensiones σ1 y las tensiones en el plano de falo, si no que se debe a que cuando existen
tensiones en dirección de la fibra altas, aunque no se llegue a la tensión máxima de
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
31
rotura de la lámina, sí se rompen algunas fibras, lo que conlleva la aparición de defectos
en la matriz y por tanto una “degradación” de esta.
Se propone añadir a las expresiones mencionadas un el término
( )
( 45)
donde es 1.1 Xt o 1.1 Xc según se encuentren las fibras en tracción o en compresión
respectivamente y el factor n es determinado experimentalmente y determina el grado
de degradación de la matriz. Se proponen distintos valores, siento 6 un valor apropiado
para matrices epoxy [12,14].
Las expresiones del fallo en Modo A, B y C quedan de la siguiente forma:
MODO A
√(
( )
)
( ( )
( ) )(
( )
)
( )
( )
(
)
MODO B
√( )
(
)
(
) (
)
MODO C
* ( )
+[(
)
(
)
]
(
)
( 46)
Estas modificaciones se traducen en un redondeo en la zona de la envolvente de fallo
σ1-τ12 donde se cruzan la curva de fallo de la fibra con las curvas de fallo de la matriz.
Ver figura Figura 27.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
32
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
33
Capítulo 3
3. Modelos de degradación.
El éxito de cualquier análisis de fallo de un material compuesto está influenciado por el
criterio de fallo escogido y por el modelo de degradación de propiedades del material
asociado utilizado. El criterio de fallo dicta las condiciones para las cuales se predice
que ocurrirá el daño de un material y el modelo de degradación es una representación
matemática de las propiedades mecánicas del material después del daño ocurrido. Según
sea este modelo, la parte del material “dañado” se descargará redistribuyendo la carga
entre el material no dañado. Este proceso se repetirá hasta que no se pueda soportar más
carga y entonces se habrá llegado al fallo final del laminado.
Uno de los principales retos de un modelo de degradación es caracterizar correctamente
la rigidez del material dañado. La propiedad degradada y la cantidad en la que se minora
esta propiedad dependerá evidentemente del modo de fallo.
El fallo de las fibras supone habitualmente una merma casi total de la capacidad
portante de la lámina en la dirección del refuerzo, la cual cuando se trata de un estado
tensional uniforme está asociada al fallo total de la lámina en dicha dirección. El fallo
de la matriz se materializa en la aparición de grietas paralelas a la dirección de las fibras
y que atraviesan la matriz. Estas grietas pueden comenzar a formarse por despegues
entre la fibra y la matriz, y luego coalecer para formar una macrogrieta. La existencia de
dichas grietas entre las fibras supone una pérdida de las características de rigidez de la
lámina en cuanto a la dirección transversal y en cuanto al comportamiento a cizalladura.
Los modelos pueden ser clasificados en dos grupos: los modelos de degradación total
(sudden degradation) y la degradación gradual o progresiva (gradual degradation)
También se puede hacer distinción entre micromecánicos y macromecánicos. Los
primeros modelan el fallo de la matriz a través de la degradación de las propiedades de
la misma, y a partir de éstas y de las propiedades inalteradas de la fibra se evalúan,
usando modelos micromecánicos, las propiedades de la lámina que ha sufrido el fallo.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
34
Con estas nuevas propiedades degradadas de la lámina que ha fallado y con las
propiedades del resto de las láminas tenemos una nueva redefinición del laminado que
podremos analizar. En los modelos macromecánicos las láminas que presentan fallos se
modelan mediante láminas homogéneas equivalentes con propiedades mecánicas
alteradas respecto a las originales con objeto de representar la degradación sufrida por la
lámina. En lugar de degradar las propiedades de los componentes del compuesto se
degradan las propiedades del material equivalente o incluso los elementos de las
matrices de rigidez [1].
En adelante se trataran solo modelos macromecánicos, pues presentan un menor coste
computacional.
3.1. Modelos de degradación total.
En este tipo de modelos, las propiedades son reducidas una vez, instantáneamente, a una
fracción de su valor para el material intacto. En algunos modelos se diferencia el modo
de fallo: fallo de la fibra a tracción, fibra a compresión, fallo de la matriz a tracción o a
compresión, fallo de la matriz por cortante.
El modelo más sencillo consistiría en eliminar por completo la contribución de la
lámina que falla al conjunto. En ocasiones se pone fracciones muy bajas en lugar de 0
para evitar problemas computacionales.
El modelo más sencillo es el modelo propuesto por Tsai [15], el cual sólo es aplicable
sobre estados tensionales uniformes. Ello es así porque el modelo no contempla la
degradación de las propiedades en la dirección de la fibra.
Dicho modelo asume que cuando se alcanza el fallo del laminado todas las láminas se
encuentran repletas de grietas paralelas a las fibras, en un estado que denomina “estado
de saturación” (Figura 6).
Por tanto, para la determinación de la carga última de fallo este modelo propone
analizar un laminado ficticio constituido por el conjunto de láminas totalmente
degradadas (es decir en estado de saturación), lo que matemáticamente se traduce en el
empleo de unas nuevas propiedades de las láminas E22, G12 y ν12, que vienen dadas por:
( 47)
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
35
Figura 6. Proceso de aparición de grietas y saturación de la matriz [16] .
donde ,
y son las propiedades originales para el material intacto, siendo y
los factores de degradación ajustables experimentalmente y que dependen del
material en general.
Algunos autores degradan además de las rigideces, las resistencias del laminado y los
factores de acoplamiento de los criterios de fallo.
Para el caso de estados tensionales no uniformes, se proponen modelos de degradación
total que incluye la degradación de las propiedades en dirección de la fibra: y .
3.2. Modelos de degradación progresiva.
El modelo de daño progresivo trata, como ya se ha mencionado, de reproducir
cualitativamente la evolución del daño en el laminado a través de degradaciones
parciales, que modelan el fallo individual de las láminas, y un proceso de acumulación
de este daño.
A continuación se describen las distintas leyes constitutivas que se consideran tras el
fallo del material.
3.2.1. Modelo elasto-plástico perfecto.
Este modelo denominado elástico–plástico perfecto fue propuesto por Hahn y Tsai [15].
En la Figura 7 describe este modelo donde se puede apreciar que una vez ha fallado el
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
36
material su resistencia no se ve reducida. Este modelo fue utilizado por [17]
conjuntamente con el criterio de Tsai-Wu obteniendo buenos resultados, y más
recientemente, en el WWFE fue empleado por Zinoviev [18] junto con el criterio de
máxima tensión, siendo una de las teorías que obtuvo mejores resultados.
Figura 7. Modelo de degradación elasto-plástico perfecto.
Según la figura anterior, ε1 es la deformación a la que se produce el primer fallo de la
lámina, σf es la tensión a la que se produce y εf es la deformación del fallo final. ES en la
rigidez de la lámina una vez ha fallado el laminado.
3.2.2. Modelo de Petit y Waddoups.
Esta ley constitutiva se basa en la suposición de que una vez predicho el fallo del
material, este se descarga utilizando un módulo tangente negativo muy alto como se
muestra en la Figura 8 hasta que la rigidez del material sea nula.
Además, estos autores asumen en su trabajo que cuando la lámina ha alcanzado la
deformación última en dirección transversal esta solo puede soportar esfuerzos en
dirección de las fibras o esfuerzos cortantes. Cuando la lámina falla por cortante asumen
que todavía puede soportar en dirección longitudinal y transversal. Sin embargo si el
fallo se produce por fallo de las fibras, entonces todas las propiedades se degradan a
cero [1].
Como se ve en la Figura 8 en este modelo se considera el comportamiento no lineal en el
tramo anterior al fallo. Este criterio ya fue utilizado por Idelsohn [19] combinado con
los criterios de Tsai-Hill y Sandhu en 1982 haciendo uso del método de los elementos
finitos.
σf
σ
εf ε1
Es
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
37
Figura 8. Modelo Petit and Waddoups.
3.2.3. Modelo de Nahas.
Nahas [20] propone un modelos de degradación dividido en dos niveles de fallo. Un
primer nivel donde el bajo nivel de daño donde indica que existe un comienzo de
comportamiento no lineal de la lámina. El segundo nivel, un nivel de fallo alto, utiliza
una función exponencial ( 48) para descargar el material hasta el fallo final.
( ) ( 48)
Figura 9. Modelo de degradación de Nahas.
3.3. Modelo implementado en el programa.
El modelo escogido para el programa es un modelo de degradación gradial en el que el
proceso de acumulación de daño es considerado mediante el recuento del número de
σ
ε1
Es
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
38
fallos de cada lámina. Se adopta como ley constitutiva la elastoplásticas perfecta, por
tanto las resistencias de las láminas que fallan no se ven reducidas, solo su matriz de
comportamiento.
Algunos autores utilizan para la determinación de las propiedades funciones continuas
(exponenciales o polinomiales en lugar del conteo del número de fallos) como las
mostradas en los modelos anteriores que requieren procesos de resolución más
complicados. El modelo seleccionado es más fácil de implementar y requiere un menor
coste computacional.
El proceso parte del análisis del laminado original para determinar el fallo de la primera
lámina, en este punto se procede a la degradación parcial de las propiedades de la
lámina que ha fallado, mediante las expresiones:
Si el fallo se produce fallo en la matriz
( 49)
Si el fallo se produce fallo en la fibra
( 50)
donde D es el factor de degradación parcial y nf es el número de veces que ha fallado la
matriz. Df es el factor de degradación de la fibra, su valor es muy bajo (de 0.07 a
0.001), lo que supone que una vez se produce el fallo de la fibra, esa lámina no aporta
apenas rigidez al conjunto y como consecuencia, la tensión que soporta en la etapa post-
fallo es muy baja. No se utiliza un valor de Df nulo para evitar problemas de numéricos.
Se degrada en la misma proporción que E11 para mantener la simetría en los
tensores de rigidez. De igual modo se hace con que se degrada en la misma
proporción que E22.
Con estas nuevas propiedades de E22, G12 y ó E11 y para la lámina se vuelve a
analizar el conjunto del laminado con objeto de determinar la lámina que fallaría ahora.
Este proceso se repetiría iterativamente hasta llegar a una situación en la que la tensión
de fallo alcanzada ya no aumente aunque sigamos el proceso de degradación. Esta
situación normalmente se alcanza a partir del momento en que todas las láminas han
fallado en la dirección de la fibra o han acumulado suficientes fallos en la matriz para
que su contribución a la rigidez del laminado sea muy baja.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
39
El valor elegido de D determinará el número de iteraciones que se realizarán hasta
determinar el fallo último del laminado. Para valores bajos de D las propiedades
adquirirán un valor bajo con un número bajo de fallos por lo que pronto se alcanzará el
fallo último. Con valores altos, sin embargo la degradación será paulatina y ello
permitirá obtener curvas con más puntos y por tanto a una determinación más precisa de
la evolución del daño. Esta influencia se estudiará con mayor detalle durante la
validación del modelo con resultados experimentales.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
40
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
41
Capítulo 4
4. Implementación del programa.
Para la implementación del programa se ha elegido el software Wolfram Mathematica.
Este es un programa de algebra computacional de propósito general con su propio
lenguaje de programación muy utilizado en áreas científicas y de ingeniería. Ha sido
elegido por ser un programa que permite una fácil programación de cálculos simbólicos
y por ser un programa muy utilizado dentro del departamento.
Los archivos de código se pueden englobar en tres categorías:
El programa principal. Es el código que se debe ejecutar y donde se introducen
las opciones y declaran los datos de entrada. Se han desarrollado dos programas
principales con similar función: uno llamado Principal1.nb, donde el usuario debe
introducir los datos del laminado directamente en el archivo Notebook, haciendo más
rápida las modificaciones o pruebas que se necesiten hacer; y otro, llamado
Pincipal2.nb, donde los parámetros del laminado se importan de un libro Excel
(Resultados.xlsm), más intuitivo de utilizar pues el usuario no necesita conocer la
estructura ni los nombres de la variables del programa. En la Figura 11 se muestra el
aspecto del formulario creado para la introducción de los datos.
Una vez introducidos los datos, el programa principal llama a los códigos donde están
implementados los criterios de fallo. Durante la ejecución de los mismos van
apareciendo en el Notebook del programa principal información sobre el estado de
ejecución. Al final, el usuario puede exportar los datos a una hoja de Excel si lo desea
ejecutando la última celda del programa (función ).
Programas asociados al criterio de fallo. Son archivos .m, conocidos en
Mathematica como “Package” donde se implementan los distintos criterios de fallo.
Hay un archivo por cada criterio de fallo estudiado: Máxima tensión, Tsai-Hill, Tsai-
Wu, Hashin-Rotem y Puck. Aunque comparten la estructura y parte del código se han
separado para facilitar su análisis. Cada uno de estos archivos realiza llamadas a otros
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
42
programas auxiliares para realizar tareas como aplicar la teoría clásica del laminado, el
modelo de degradación o representar los datos por pantalla. La estructura de estos
códigos se explica en detalle más adelante.
Figura 10. Salida de resultados del programa (Notebook) principal.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
43
Figura 11. Formulario en Excel para introducir los datos del laminado.
Programas auxiliares. Archivos .m donde se encuentran funciones auxiliares
como son las representaciones gráficas de los resultados, funciones para exportar los
resultados a Excel, etc. En el archivo Biblioteca1.m se han implementado las funciones
siguientes:
ExportaResultados: Exporta los resultados una hojas de cálculo Excel.
Dependiendo del tipo de carga que se esté estudiando, exportará la envolvente de fallo
inicial y final o las curvas tensión-deformación.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
44
MuestraResultados: Si se desea ver la evolución del fallo durante la ejecución del
programa se puede llamar a esta función dentro de alguno de los programas asociados al
criterio de fallo, poniendo de argumento “1”. Aparecerá la lámina que rompe junto con
el modo de fallo y las propiedades que adopta la lámina. De todas formas esta
información se puede consultar después de la ejecución con las variables degradación y
degradación. Esta información es gran utilidad para el estudio de la evolución de fallo
y para la determinación del modo de fallo. Un ejemplo se muestra a continuación.
Figura 12. Ejemplo de variable degradación tras la finalización del programa.
PintaGrafica: Muestra gráficamente en la celda de salida del programa Principal
los resultados obtenidos: Envolventes de fallo inicial para cada una de las láminas y
envolvente de fallo final para el laminado, curvas tensión-deformación, etc. Si el
argumento de la función es igual a “1”, entonces muestra la envolvente de fallo inicial
de cada lámina por separado, en caso contrario, las muestra todas superpuestas, siendo
la envolvente de fallo inicial del laminado la intersección de estas áreas Véase un
ejemplo en la Figura 13.
El resto de programas auxiliares implementados son TeoriaLaminado.m y
DegradarLaminado.m donde se implementa la Teoría Clásica del Laminado y el
modelo de degradación explicado en el apartado anterior de este trabajo
respectivamente. Por su importancia han sido realizados en archivos independientes.
4.1. Estructura de los programas.
Todos los códigos donde se implementan los criterios de fallo poseen la misma
estructura básica. Las diferencias radican en la parte de los códigos encargadas de
buscar las cargas críticas y los modos de fallo ya que deben ajustarse a los criterios. Por
ejemplo el criterio de Máxima tensión posee 5 expresiones directamente relacionadas
con el modo de fallo, es decir una vez determinada la carga mínima que soporta el
laminado se sabe el modo de fallo inmediatamente, mientras que el criterio de Tsai-Wu
consta de solo una expresión por lo que después de determinar la carga critica se debe
buscar cual es el modo de fallo asociado a esa carga.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
45
El usuario, además de establecer las propiedades del laminado (rigideces, resistencia,
temperatura de curado, etc.) debe indicar que resultados desea obtener:
Si desea obtener la evolución de la tensión para una carga uniaxial debe dar a la variable
tipocarga valores de 1 ó 2. Un valor de 1 indica que el vector de esfuerzos por unidad de
ancho del laminado utilizado en la Teoría Clásica del Laminado será:
[
]
[
]
( 51)
mientras un valor de 2 indica que en el vector de esfuerzos se contempla el efecto de la
imposición de giro en las mordazas de un ensayo de tracción uniaxial según la ecuación
( 52). (Este efecto no se utiliza en este trabajo pero se implementado la opción para
futuros análisis)
[
]
[
]
( 52)
Como se ha mencionado antes, toda la información para el posterior análisis se
almacena en la variable degradación.
Si lo que se desea determinar es la envolvente de fallo ante un caso de tensión plana los
valores de tipocarga deben ser:
3- Envolvente de fallo para cargas combinadas
4- Envolvente de fallo para cargas combinadas
5- Envolvente de fallo para cargas combinadas
Si lo que se desea es obtener las curvas tensión-deformación para estados de tensión
biaxial del tipo =cte se debe asignar a la variable tipocarga un valor de 6 e
introducir en la variable k el valor de la relación entre tensiones en x e y deseada.
El usuario también debe elegir los factores de degradación que se van a utilizar y el
criterio de fallo. El factor de degradación de la matriz D de la expresión ( 49)
corresponde a la variable fdm del programa y el factor Df ( 50) de degradación de la
fibra corresponde a la variable fdf.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
46
En cuanto al criterio de fallo a utilizar este se indica mediante la variable crotura según
la siguiente correspondencia.
1.- Criterio de Máxima Tensión.
2.- Criterio de Tsai-Hill.
3.- Criterio de Tsai-Wu.
4.- Criterio de Hashin-Rotem.
5.- Criterio de Puck.
Una vez han sido determinados todos los datos iniciales del laminado el programa llama
la función oportuna según el criterio de fallo seleccionado.
Esta función calcula primero, en el caso de que se desee calcular una envolvente de
fallo, la envolvente para el primer fallo de cada una de las láminas que conforman el
laminado. Estas regiones se mostrarán más adelante en el Notebook mediante la función
PintaGrafica. Esta información es útil para la comprobación del buen funcionamiento
del programa y la correcta implementación de los criterios.
Figura 13. Envolvente de fallo inicial para un laminado con láminas a (90º,-30º, 30º)s con Tsai-
Wu.
Una vez finalizada esa tarea el programa comienza el cálculo de la envolvente del fallo
final del laminado. Para ello, el usuario indica mediante el vector ’k’ los casos de carga
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
47
para los que quiere determinar el fallo último del laminado. Los elementos de dicho
vector (ki) indican las relaciones entre las componentes del vector esfuerzos, que según
la envolvente que se desea describir relacionará una tensión con otra.
Si la envolvente de fallo es (tipocarga=3):
[
]
[
]
( 53)
Si la envolvente de fallo es (tipocarga=4):
[
]
[
]
( 54)
Si la envolvente de fallo es (tipocarga=5):
[
]
[
]
( 55)
En la siguiente imagen se muestra el resultado del programa para el cálculo de la
envolvente de fallo para un laminado. Cada uno de las líneas corresponde a una
componente del vector k, añadiendo más o menos elementos y variando su valor se
puede adecuar el resultado del programa a las necesidades de cada laminado o análisis
(Figura 14).
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
48
Figura 14. Envolvente de fallo final de un laminado.
Nótese que los valores de los elementos del vector k son las pendientes de cada una de
las líneas trazadas. Cuantos más puntos se calculen se obtendrá una envolvente más
suave y representará más fielmente al criterio utilizado (con más resolución) pero más
tardará el programa en resolver. Si se escogiesen pocos puntos y luego se estimara la
envolvente uniendo esos puntos se podía llegar a una solución que no aproximaría a la
que realmente dictaría el criterio si se pudieran trazar los infinitos puntos de la
envolvente.
Con los datos iniciales y todos los parámetros indicados se comienza el análisis según el
procedimiento que se va a describir a continuación. Este algoritmo se repetirá para cada
uno de los casos de carga requeridos.
Primero se calculan las tensiones y las deformaciones de cada una de las láminas en ejes
principales de cada lámina mediante el uso de la TCL. Estas tensiones y deformaciones
estarán expresadas en función de nx y/o ny en función del tipo de carga seleccionado
(expresiones ( 53), ( 54) y ( 55)).
Entonces se sustituye ny según la relación ki y se aplica el criterio de fallo oportuno,
obteniendo para cada lámina el valor de nx que produce el fallo de la lámina. El valor
mínimo de todos esos valores será la carga crítica del laminado. A la vez de determinar
la carga mínima que soporta el laminado se obtiene la lámina que falla primero (la cual
se degradará en la próxima iteración). También se obtiene el modo de fallo de la lámina
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
49
y se incrementa los registros donde se almacena el número de veces que ha fallado cada
lámina. En la siguiente tabla se muestra la correspondencia de los resultados de cada
iteración con su nombre en el código.
Resultado de la aplicación del criterio Variable del programa
Carga critica del laminado cargacrit
Lámina que falla primero lamcrit
Modo de fallo fallocrit
Nº de veces que ha fallado cada lámina nf2
Nº de veces que ha fallado la matriz de cada lámina nfm
Nº de veces que ha fallado la fibra de cada lámina nff
Tabla 3. Resultados de cada iteración del programa y variable asociada.
Con estos resultados se vuelve a degradar las propiedades de la lámina que ha fallado y
se repite el proceso hasta un número máximo de iteraciones o hasta que todas las
láminas hayan fallado un número determinado de veces (falloslam). Para evitar que el
programa entre un bucle infinito se añade como condición de finalización un número
máximo de iteraciones (maxiteracion).
Para la correcta predicción del fallo, la determinación del número de fallos que se busca
de cada lámina y del máximo de iteraciones que se permite al laminado debe estar en
consonancia con el factor de degradación de la matriz escogido y con el número de
láminas. Para evitar tener que calcular toda la envolvente de fallo, con el coste de
tiempo que requiere, se puede utilizar el cálculo de la curva tensión-deformación como
se mostró en la Figura 10.
Los criterios cuadráticos, como Tsai Hill, ofrecen para cada relación de carga dos
soluciones, donde normalmente nx es positivo y otra donde es negativo. Para cada uno
de estos casos la lámina crítica y el modo de fallo puede ser distinto, por tanto el
análisis debe separarse. Para poder obtener toda la envolvente de fallo de una forma
sencilla se ha duplicado el código variando únicamente el proceso de búsqueda de la
carga mínima (en valor absoluto) para valores positivos y negativos de nx.
2 Las variables nf, nfm y nff son vectores con número de elementos igual al número de láminas
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
50
No
Determinación de las propiedades del laminado (llamada a DegradarLaminado)
Degradación de
propiedades de la
lámina que falló según
„nff’ y „nfm’
¿Es la primera
iteración?
Si
No
Asignación de
propiedades iniciales
𝜎 𝑘 𝑦 𝜀
𝑘 𝑒n fun ion de 𝑛𝑥 y 𝑛𝑦
Cálculo de tensiones y deformaciones para
todas las láminas. (TCL)
𝑛𝑦 𝑘𝑖 𝑛𝑥
Se pone todo en función de nx
Aplicación del criterio de fallo para cada lámina. Cálculo
de nx que produce el fallo en cada lámina
Búsqueda de la lámina que falla a una carga menor, la
carga de fallo del laminado y el modo de fallo.
Se incrementan los contadores de fallos:
nff y nfm
Se almacenan resultados en “degrada ion”
¿Se ha alcanzado el número máximo de
iteraciones?
Si
Representación y exportación de
resultados.
Introducción de datos. Propiedades y
características del material, criterio de rotura,
factores de degradación, condiciones de carga.
Programa principal
DegradarLaminado.m
Programa asociado al
criterio de fallo
Figura 15. Diagrama de flujo de la estructura del programa.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
51
Es importante señalar que con el criterio de Puck se obtienen soluciones complejas para
las expresiones de fallo de la matriz y estas deben ser descartadas como solución,
además no siempre la solución de menor valor absoluto es la que satisface las
condiciones para las cuales la expresión de las que provienen sea válida, por ello es
necesario comprobar esta validez de las expresiones para cada una de las soluciones.
Los resultados de cada iteración se almacenan en las variables degradacion para valores
y degradacionN. Al finalizar el análisis se puede consultar para estudiar la evolución del
daño en el laminado. Un ejemplo de estas variables se muestra en la Figura 12. En la
Figura 15 se muestra de forma general un diagrama de flujo del algoritmo que calcula la
envolvente de fallo último de un laminado.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
52
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
53
Capítulo 5
5. Validación del modelo.
La validación del modelo de degradación implementado se realizará contrastando los
valores obtenidos con los resultados experimentales del Word Wide Failure Exercise [3]
y se compararan con las predicciones de fallo realizadas por otros autores [21] [2] [22]
[23], lo que dará una idea de la validez y fidelidad del modelo de degradación
estudiado. Es imposible conocer si el modelo da resultados satisfactorios si no se
conoce el grado de aproximación alcanzado por otros trabajos.
Se analizará el modelo de degradación de propiedades combinado con los cinco criterios
de fallo descritos en el apartado “Criterios de fallo a nivel de lámina” determinando cual
es el criterio que da una mejor predicción de fallo según cada caso: según tipo de
laminados y según a qué estado tensional se somete dicho laminado. Además al estudiar
el modelo con varios criterios, cada uno con sus ventajas e inconvenientes, se obtendrá
una mejor visión de la capacidad del modelo de degradación.
5.1. Origen de los datos experimentales. WWFE.
El origen del Word Wide Failure Exercise data de 1991 [24], cuando el “Engineering
and Physical Sciences Research Council” junto con el “UK Institution of Mechanical
Engineers” organizaron una reunión de expertos con el objetivo de establecer el grado
confianza de los métodos de predicción de fallo de los polímeros reforzados con fibras.
Estaban motivados por el hecho de que existen una gran cantidad de criterios y
deseaban determinar cuál de ellos proveían resultados suficientemente precisos en un
gran número de situaciones y cuáles de ellos solo funcionaban en un número muy
limitado de casos (solo en determinados laminados y estados de carga). Además
pretendían acercar el trabajo de los investigadores y el de los ingenieros de diseño pues
muchas de las teorías son demasiado complicadas para su utilización de manera práctica
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
54
o eficiente en la industria. Para conseguir este acercamiento de la comunidad de los
composites plantearon el siguiente guión:
Identificar las teorías de fallo de PRF que están en uso actualmente.
Probar la aplicabilidad de estas teorías en un número de problemas.
Comparar unas teorías con otras.
Comparar las teorías con resultados experimentales.
Tomar conclusiones y recomendaciones para el futuro.
Los organizadores tuvieron que seleccionar que materiales, geometrías y estados de
carga que se iban a testar y hubieron de garantizar que existieran resultados
experimentales fiables para su posterior comparación.
Para los ensayos de carga biaxial escogieron el método de ensayos en tubos como los de
la Figura 16 frente a los ensayos en probetas cruciformes que conforman la otra familia
de probetas ampliamente utilizada.
Figura 16. Pobretas cilíndricas para ensayos de carga biaxial.
Las propiedades de los laminados y las condiciones de carga en las que cada
participante debía realizar las predicciones de fallo fueron publicados en la parte A [25]
mientras que los resultados fueron publicados en el artículo ya mencionado (Part B) [3].
En el año 2011 se puso en marcha un segundo Word Wide Failure Exercise (WWFE-II)
con el mismo propósito que el primero pero esta vez para casos triaxiales de carga.
5.2. Laminados seleccionados para el ejercicio.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
55
El conjunto de casos seleccionados para el estudio debía ser manejable y a la vez
representar un amplio rango de parámetros. Estos parámetros incluían el tipo de
material (fibra y matriz), tipo de laminado (unidireccional, angle-ply, cross-ply, cuasi-
isótropo, etc.) y las condiciones de carga. Debían además, de estar disponibles
suficientes datos experimentales.
Un total de 6 laminados fueron seleccionados. De la gran variedad de materiales
compuestos disponibles se limitó el ejercicio a resinas termoestables reforzadas con
fibras continuas con el fin de hacerlo más específico. Y teniendo en cuenta la gran
cantidad de datos experimentales disponibles se redujo la el grupo a matrices epoxy y
fibras de vidrio y carbono.
Se consideró que era básico realizar inicialmente el estudio de laminados
unidireccionales pues las propiedades del laminado dependen en gran medida de las
propiedades de las láminas y gran parte de los criterios de fallo están basados en el
comportamiento de una lámina aislada que después es aplicado al laminado mediante el
TCL. De la Tabla 4 a la Tabla 6 se recogen las propiedades3 de los laminados
unidireccionales, de las fibras y de las matrices.
Tipo de fibra AS4 T300 E-glass 21xK43
Gevetex
Silenka E-Glass
1200tex
Matriz 3501-6
epoxy
BSL914C
epoxy
LY556/HT907/
DY063 epoxy
MY750/HY917/
DY063 epoxy
Especificaiones Prepeg Filament
winding Filament winding Filament winding
Fabricante Hercules DFVLR DLR DRA
Fracción de volumen de fibra,
Vf 0.60 0.60 0.62 0.60
Módulo longitudinal, E1
(GPa) 126a 138 53.48 45.6
Módulo transversal, E2 (GPa) 11 11 17.7 16.2
Módulo cortante en el plano,
G12 (GPa) 6.6a 5.5a 5.83a 5.83a
Coef. Poisson mayor, ν12 0.28 0.28 0.278 0.278
Coef. Poisson fuera del plano,
ν23 0.4 0.4 0.4 0.4
Resistencia longitudinal a
tracción, XT (MPa) 1950b 1500 1140 1280
Resistencia longitudinal a 1480 900 570 800
3 Muchas de las propiedades como módulo de rigidez a cizalladura no tiene un comportamiento lineal.
Para más detalle, los datos se encuentran en [25].
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
56
compresión, Xc (MPa)
Resistencia transversal a
tracción, YT (MPa) 48 27 35 40
Resistencia transversal a
compresión, Yc (MPa) 200 200 114 145
Resistencia a cortante en el
plano, S12 (MPa) 79 80 72 73
Deformación longitudinal a
rotura a tracción, ε1T (%) 1.38 1.087 2.132 2.807
Deformación longitudinal a
rotura a compresión, ε1C (%) 1.175 0.652 1.065 1.754
Deformación transversal a
rotura a tracción ε2T (%) 0.436 0.245 0.197 0.246
Deformación transversal a
rotura a compresión, ε2C (%) 2.0 1.818 0.644 1.2
Deformación tangencial de
fallo, ε12u (%) 2 4 3.8 4
Coef. de expan. térmica
longitudinal, αl (10-6
/ºC) -1 -1 8.6 8.6
Coef. de expan. térmica
transversal, α2 (10-6
/ºC) 26 26 26.4 26.4
Temperatura de curado (ºC) 177 120 120 120
Tabla 4. Propiedades térmicas y mecánicas para láminas unidireccionales.
Tipo de fibra AS4 T300 E-glass 21xK43
Gevetex
Silenka E-Glass
1200tex
Módulo longitudinal, Ef1
(GPa) 225 230 80 74
Módulo transversal, Ef2 (GPa) 15 15 80 74
Módulo cortante, Gf12 (GPa) 15 15 33.33 30.8
Coef. Poisson mayor, νf12 0.2 0.2 0.2 0.2
Modulo cortante transversal,
Gf23 7 7 33.33 30.8
Resistencia longitudinal a
tracción, XfT (MPa) 2500 2000 1450 1450
Deformación a rotura a
tracción, εf1T (%) 1.488 1.086 2.687 2.905
Deformación a rotura a
compresión, εf1C (%) 1.111 0.869 1.813
1.959
Coef. de expan. térmica -0.5 -0.7 4.9 4.9
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
57
longitudinal, αfl (10-6
/ºC)
Coef. de expan. térmica
transversal, αf2 (10-6
/ºC) 15 12 4.9 4.9
Tabla 5. Propiedades mecánicas y térmicas para las fibras.
Tipo de matriz 3501-6 epoxy BSL914C epoxy LY556/HT907/
DY063 epoxy
MY750/HY917/
DY063 epoxy
Fabricante Hercules DFVLR Ciba Geigy Ciba Geigy
Módulo, Em (Gpa) 4.2 4.0 3.35 3.35
Módulo transversal Gm
(Gpa) 1.567 1.481 1.24 1.24
C. Poisson νm 0.34 0.35 0.35 0.35
Resistencia a tracción
YmT (MPa) 69 75 80 80
Resistencia a
compresión YmC (MPa) 250 150 120 120
Resistencia a cortante
Sm (MPa) 50 70 -- --
Defor. de fallo a
tracción, εmT (%) 1.7 4 5 5
Coef. de expan.
térmica, αm (10-6
/ºC) 45 55 58 58
Tabla 6. Propiedades mecánicas y térmicas para las matrices.
En cuanto a los laminados escogidos, los seis tipos distintos fueron:
Laminados unidireccionales a 0º. Espesor de 1mm. En el ejercicio se demandó a
los paricipantes las envolventes del fallo ante cargas biaxiales. En concreto se
pidió:
- E-glass/MY750 sujeto a una combinación de σy y σx.
- E-glass/LY556 sujeto a una combinación de σy y τxy.
- T300/914C sujeto a una combinación de σx y τxy.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
58
Laminados balanceados y simétricos:
(90º/30º/-30º/-30º/30º/90º). Espesor total
de 2 mm, 82.8% corresponde a láminas
±30º y 17.2% del espesor a láminas a
90º.
Este laminado no puede considerarse
cuasi-isótropo y por tanto es de esperar
que se encuentren distintos modos de
fallo según la combinación de carga
biaxial. Se seleccionó el análisis de un
laminado de E-glass/MY750 sometido a
combinaciones de σy - σx. y σx y τxy.
Laminados balanceados y simétricos (Cuasi-isotrópico): (90º/+45º/-45º/0º)S.
Espesor total de 1.1 mm y todas las láminas de idéntico espesor.
Los laminados cuasi-isotrópico son muy usuales en la industria aeronáutica por
ello se consideró realizar el análisis de un laminado de carbono/epoxy AS4/3501-
6 bajo una carga σy - σx. Además se analiza la respuesta tensión-deformación
ante una relaciones de carga σy /σx =1/0 y σy /σx =2/1.
Laminados balanceados y simétricos (Angle ply): (55º/-55º/-55º/55º). Espesor
total de 1 mm y todas las láminas de idéntico espesor.
Los laminados angle-ply resultan muy interesantes pues las componentes de
tensión longitudinal, transversal y tangencial dependen de la orientación
escogida. Se eligió un laminado de ±55º por ser muy común en la fabricación de
tubos.
Se estudia la envolvente de fallo ante carga biaxial σy -σx y la curva tensión-
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
59
deformación para una relación de tensiones σy /σx =1/0 y otra de σy /σx =2/1 para
un laminado E-glass/MY750.
Laminados balanceados y simétricos (Cross
ply): (0º/90º/90º/0º). Espesor total de 1.04 mm y
todas las láminas de idéntico espesor.
Los laminados cross-ply son utilizados para el
estudio de la evolución de la rotura de la matriz
y su efecto en la capacidad de carga del
laminado. Se estudia su comportamiento bajo
carga uniaxial para un laminado E-glass/MY750.
Laminados balanceados y simétricos (Angle ply): (45º/-45º/-45º/45º). Espesor
total de 1 mm y todas las láminas de idéntico espesor.
Para este laminado se requiere el análisis de la curva tensión-deformación para
relaciones de carga de σy /σx =1/1 y σy /σx =1/-1 para un laminado E-
glass/MY750.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
60
Hay que destacar que en algunos de los experimentos de los que se extraen los datos el
espesor de los tubos es superior al indicado con el fin de evitar el pandeo. En especial en
el laminado a ±55º donde se analiza con especial hincapié el cuadrante de la envolvente
de fallo σy -σx en compresión – compresión.
Para centrar el objetivo de este trabajo, nos hemos ceñido a estudiar la carga de fallo de
los laminados. La predicción del comportamiento a rigidez podría considerarse como un
posible desarrollo del presente estudio.
5.3. Resultados para laminados unidireccionales.
A continuación se exponen los resultados para los laminados unidireccionales. Los
laminados unidireccionales se comportan como una sola lámina por tanto el fallo inicial
y final coincidirán. Se estudian en primer lugar porque la comparación de la predicción
con los resultados servirá para ajustar las resistencias del material intacto que se le
introducen al programa en los análisis de los casos posteriores y para comprobar que los
cinco criterios de fallo han sido bien implementados en el programa. Hay que recordar
que la dispersión de los resultados de los ensayos de resistencia en materiales
compuestos es muy alta. De hecho, aunque en la parte A de WWFE se indicaban unas
propiedades del laminado, una vez fue publicada la parte B con los resultados empíricos
la mayoría de autores realizaron correcciones basándose en propiedades extraídas de
dicha parte B obteniendo mejores resultados.
ENVOLVENTE DE FALLO 1
Corresponde al PLOT 1 requerido en el WWFE. Se trata de obtener la envolvente de
fallo del E-glass/MY750 unidireccional sujeto a una combinación de σy y σx. Las
resistencias fueron modificadas para ajustarse mejor a los resultados como ya se ha
mencionado. Se han adoptado unas resistencias promedio entre todos los datos
obtenidos. Estas nuevas propiedades son Xt= 1210 MPa, Xc= 570 MPa, Yt= 37.5 MPa,
Yc= 137MPa y St= 66.6 MPa. En la Figura 22 se aprecia como algunos participantes del
WWFE han publicado dos predicciones, unas con las propiedades originales y otras
corregidas que aparecen con el mismo nombre acompañado de B.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
61
Figura 17. Envolvente de fallo σ2 -τ12 de un laminado E-glass/LY556 unidireccional. Criterio de
Máxima tensión.
Figura 18. Envolvente de fallo σ2-τ12 de un laminado E-glass/LY556 unidireccional. Criterio de
Tsai - Hill.
0
50
100
-150 -100 -50 0 50
τ 12 (
MP
a)
σ2 (MPa)
E-glass/LY556/H7906/DY063 (UD) - Máxima Tensión
Datos Part B (MPa) Datos Part A Máxima tensión Máxima tensión (B)
0
50
100
-150 -100 -50 0 50
τ 12 (
MP
a)
σ2 (MPa)
E-glass/LY556/H7906/DY063 (UD) - Tsai - Hill
Datos Part B (MPa) Datos Part A Tsai - Hill Tsai - Hill (B)
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
62
Figura 19. Envolvente de fallo σ2 -τ12 de un laminado E-glass/LY556 unidireccional. Criterio de
Tsai - Wu.
Figura 20. Envolvente de fallo σ2 -τ12 de un laminado E-glass/LY556 unidireccional. Criterio de
Hashin - Rotem.
0
50
100
-150 -100 -50 0 50
τ 12 (
MP
a)
σ2 (MPa)
E-glass/LY556/H7906/DY063 (UD) - Tsai - Wu
Datos Part B (MPa) Datos Part A Tsai - Wu Tsai - Wu (B)
0
50
100
-150 -100 -50 0 50
τ 12 (
MP
a)
σ2 (MPa)
E-glass/LY556/H7906/DY063 (UD) - Hashin -Rotem
Datos Part B (MPa) Datos Part A Hashin - Rotem Hashin - Rotem (B)
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
63
Figura 21. Envolvente de fallo σ2-τ12 de un laminado E-glass/LY556 unidireccional. Criterio de
Puck.
Con el criterio de máxima tensión (Figura 17) se ha obtenido el rectángulo esperado. Al
no contemplar este criterio la interacción entre las distintas componentes de tensión no
se alcanza un buen acuerdo con los resultados experimentales salvo donde hay una
tensión predominante.
El criterio de Tsai-Hill si muestra interacción entre las componentes del tensor de
tensiones lo que produce una mejor aproximación a los resultados experimentales. Aun
así, este criterio genera resultados muy por el lado de la seguridad en la zona donde σ2
es negativa (Figura 18). El criterio de Tsai-Wu capta mejor la tendencia es dicha zona y
en general se acerca más a los datos experimentales que Tsai-Hill. Prácticamente solo
hay un punto que se no capta la predicción (Figura 19)
Del criterio de Hashin- Rotem se pueden obtener las misma conclusiones que para Tsai-
Hill pues en el caso σ2 -τ12 el segundo criterio se reduce al primero. El criterio e Puck es
el que mejor se ajusta a los resultados empíricos y el que mejor capta la tendencia de
estos debido a que su envolvente de fallo para un estado tensional σ2 -τ12 está dividida
en 3 zonas (MODO A, B y C).
0
50
100
-150 -100 -50 0 50
τ 12 (
MP
a)
σ2 (MPa)
E-glass/LY556/H7906/DY063 (UD) - Puck
Datos Part B (MPa) Datos Part A Puck Puck (B)
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
64
Figura 22. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σ2 -τ12 de un
laminado E-glass/LY556 unidireccional. PLOT 1 [2].
ENVOLVENTE DE FALLO 2
Corresponde al PLOT 2 requerido en el WWFE. Consiste en la envolvente de fallo de
un laminado unidireccional de grafito T300/BSL914C sometido a una combinación de
σx y σxy. En este caso las propiedades no han sido modificadas respecto a las indicadas
por los organizadores del WWFE en la parte A del ejercicio. Estas propiedades son por
tanto Xt= 1500 MPa, Xc= 900 MPa, Yt= 27 MPa, Yc= 200MPa y St= 80 MPa.
En este caso el criterio de Máxima Tensión aproxima bien los resultados cuando
predomina σ1. Se obtienen mejores resultados para el caso de tracción que en
compresión.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
65
Figura 23. Envolvente de fallo σ1 -τ12 de un laminado T300/BSL914C unidireccional. Criterio
de máxima tensión.
Tanto el criterio de Tsai-Hill como el de Tsai-Wu recogen mejor la tendencia del fallo
que el de máxima tensión, nuevamente debido a la interacción entre las distintas
tensiones. Se aprecia levemente unos mejores resultados para el criterio de Tsai – Wu
que para el de Tsai- Hill.
El criterio de Hashin-Rotem se reduce en este caso al de máxima tensión por lo que se
podría concluir lo mismo. El criterio de Puck mejora el resultado de Hashin-Rotem y
máxima tensión ya que añade a estos un redondeo a la envolvente. Se puede concluir
que los que mejor se adaptan en este caso son Tsai-Hill y Tsai-Wu aunque hay puntos
experimentales, sobretodo en la zona de τ12 >100MPa, que ningún criterio de los
estudiado es capaz de predecir.
De hecho ninguno de los participantes es capaz de proponer un criterio que prediga esos
resultados [22,2].
0
50
100
150
-1600 -1200 -800 -400 0 400 800 1200 1600
τ 12 (
MP
a)
σ1 (MPa)
T300/BSL914C (UD) - Máxima Tensión
Datos Part B Datos Part A Máxima Tensión
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
66
Figura 24. Envolvente de fallo σ1 -τ12 de un laminado T300/BSL914C unidireccional. Criterio
de Tsai - Hill.
Figura 25. Envolvente de fallo σ1 -τ12 de un laminado T300/BSL914C unidireccional. Criterio
de Tsai - Wu.
0
50
100
150
-1600 -1200 -800 -400 0 400 800 1200 1600
τ 12 (
MP
a)
σ1 (MPa)
T300/BSL914C (UD) - Tsai - Hill
Datos Part B Datos Part A Tsai - Hill
0
50
100
150
-1600 -1200 -800 -400 0 400 800 1200 1600
τ 12 (
MP
a)
σ1 (MPa)
T300/BSL914C (UD) - Tsai - Wu
Datos Part B Datos Part A Tsai -Wu
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
67
Figura 26. Envolvente de fallo σ1 -τ12 de un laminado T300/BSL914C unidireccional. Criterio
de Hashin - Rotem.
Figura 27. Envolvente de fallo σ1 -τ12 de un laminado T300/BSL914C unidireccional. Criterio
de Puck.
0
50
100
150
-1600 -1200 -800 -400 0 400 800 1200 1600
τ 12 (
MP
a)
σ1 (MPa)
T300/BSL914C (UD) - Hashin-Rotem
Datos Part B Datos Part A Hashin - Rotem
0
50
100
150
-1600 -1200 -800 -400 0 400 800 1200 1600
τ 12 (
MP
a)
σ1 (MPa)
T300/BSL914C (UD) - Puck
Datos Part B Datos Part A Puck
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
68
Figura 28. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σ1 -τ12 de un
laminado T300/BSL914C unidireccional. PLOT 2 [2].
ENVOLVENTE DE FALLO 3
Se ha calculado la envolvente de fallo ante una combinación de carga σx y σy para un
laminado unidireccional de vidrio/epoxy E-glass/MY750. Corresponde al PLOT 3
requerido en el WWFE. En este caso la única propiedad que sugieren modificar [3]
respecto a la los datos indicados en la Parte A del ejercicio ha sido la resistencia a
compresión en dirección de las fibras Xc que ahora es de 520 MPa aunque como se
muestra en la Figura 29 siguieron utilizando el valor original de 800 MPa.
Con los datos experimentales disponibles no se puede obtener ninguna conclusión
respecto a la situación en la que la lámina está sometida a un estado de compresión en
dirección de la fibra.
El criterio de máxima tensión (Figura 30) no recoge de forma satisfactoria la tendencia
cuando σ2<0 pero por otro lado, parece que sí que se acerca a los datos experimentales
en el caso σ2>0. En realidad no se disponen de datos suficientes en esa zona ya que
todos los puntos están muy próximos.
Los criterios de Tsai-Hill y Tsai –Wu si recogen la tendencia del fallo para σ2<0. Para
los casos con σ2 positiva se observa que Tsai-Hill no se acerca a los datos empíricos
mientras que Tsai- Wu se ajusta bien a ellos.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
69
Figura 29. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σ1 - σ 2 de un
laminado E-glass/MY750 unidireccional. PLOT 3 [2].
En el caso de compresión-compresión el criterio de Tsai-Wu predice un área segura más
grande que el resto de criterios, tal y como se observa en la Figura 29 y la Figura 32.
La aplicación del criterio de Hashin-Rotem genera el mismo resultado que Máxima
tensión. El criterio de Puck no es capaz de recoger completamente la interacción entre
las tensiones.
En conclusión se puede decir que Puck funciona satisfactoriamente para las envolventes
de fallo σ2 -τ12. Pero en los casos en los que aparece σ1 el criterio no reproduce bien la
interacción entre las componentes de tensión y entonces el criterio de Tsai-Wu puede
predecir mejor la envolvente de fallo.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
70
Figura 30. Envolvente de fallo σ1 - σ2 de un laminado E-glass/MY750 unidireccional. Criterio
de máxima tensión.
Figura 31. Envolvente de fallo σ1 - σ2 de un laminado E-glass/MY750 unidireccional. Criterio
de Tsai -Hill.
-200
-150
-100
-50
0
50
100
-1800 -1300 -800 -300 200 700 1200
σ2 (
MP
a)
σ1 (MPa)
E-glass/MYZ50 (UD) - Máxima Tensión
Datos Part B Datos Part A Máxima Tensión
-200
-150
-100
-50
0
50
100
-1800 -1300 -800 -300 200 700 1200
σ2 (
MP
a)
σ1 (MPa)
E-glass/MYZ50 (UD) - Tsai - Hill
Exercise Result Datos Part B Tsai - Hill
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
71
Figura 32. Envolvente de fallo σ1 - σ2 de un laminado E-glass/MY750 unidireccional. Criterio
de Tsai – Wu.
Figura 33. Envolvente de fallo σ1 - σ2 de un laminado E-glass/MY750 unidireccional. Criterio
de Hashin - Rotem.
-200
-150
-100
-50
0
50
100
-1800 -1300 -800 -300 200 700 1200
σ2 (
MP
a)
σ1 (MPa)
E-glass/MYZ50 (UD) - Tsai - Wu
Datos Part B Datos Part A Tsai - Wu
-200
-150
-100
-50
0
50
100
-1800 -1300 -800 -300 200 700 1200
σ2
(MP
a)
σ1 (MPa)
E-glass/MYZ50 (UD) - Hashin - Rotem
Datos Part B Datos Part A Hashin - Rotem
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
72
Figura 34. Envolvente de fallo σ1 - σ2 de un laminado E-glass/MY750 unidireccional. Criterio
de Puck.
5.4. Resultados para laminados.
ENVOLVENTE DE FALLO 4
Se ha calculado la envolvente de fallo ante una combinación de carga σx y σy para el
laminado E-glass/LY5556/HT907/DY063 con una secuencia de laminado (90º/30º/-
30º/-30º/30º/90) cuyas características y propiedades han sido expuestas en el apartado
anterior: „Laminados seleccionados para el ejercicio‟.
Se han calculado las envolventes de fallo para los cinco criterios de fallo escogiendo un
factor de degradación de propiedades de la matriz: D=0.5 y D=0.7. El factor de
degradación de la fibra elegido ha sido Df=0.005. Los resultados son comparados con
los presentados para el PLOT 4 del WWFE (Figura 40).
En los cinco criterios estudiados se sobreestima la resistencia en el cuadrante
compresión-compresión de la gráfica. Siendo este efecto más acentuado en el caso de
Tsai–Wu Figura 37 como ya auguraba el análisis de la envolvente de fallo para
envolvente unidireccional Figura 32.
-200
-150
-100
-50
0
50
100
-1800 -1300 -800 -300 200 700 1200
σ2 (
MP
a)
σ1 (MPa)
E-glass/MYZ50 (UD) - Puck
Datos Part B Datos Part A Puck
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
73
Por otro lado, es con los criterios polinomiales, Tsai – Hill y Tsai – Wu, con los que se
obtiene una mejor predicción en los casos tracción en ejes x e y del laminado, siendo el
resultado del primero ligeramente mejor. Los criterios de máxima tensión, Puck y
Hashin-Rotem predicen una envolvente de fallo no segura.
Cuando solo existe σy y esta es negativa los cinco criterios se quedan fuera del lado de
la seguridad. Incluso el fallo a primera lámina produce una predicción no segura.
Los datos empíricos disponibles de estados de compresión son insuficientes para poder
obtener más conclusiones sobre la conveniencia de este modelo de degradación en para
laminados sometidos a este tipo de cargas.
Figura 35. Envolvente de fallo σx – σy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º). Criterio de
máxima tensión.
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
900
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
σx
(MP
a)
σy (MPa)
E-glass/LY556 (90º/±30º/90º) - Máxima Tensión
Datos Part B Máxima Tensión (D=0.5)
Máxima tensión FPL Máxima Tensión (D=0.7)
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
74
Figura 36. Envolvente de fallo σx – σy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º). Criterio de
Tsai - Hill.
Figura 37. Envolvente de fallo σx – σy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º). Criterio de
Tsai - Wu.
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
900
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
σx
(MP
a)
σy (MPa)
E-glass/LY556 (90º/±30º/90º) - Tsai - Hill
Datos Part B Tsai - Hill (D=0.7) Tsai - Hill (D=0.5) Tsai - Hill FPL
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
900
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
σx
(MP
a)
σy (MPa)
E-glass/LY556 (90º/±30º/90º) - Tsai - Wu
Datos Part B Tsai - Wu (D=0.7) Tsai - Wu (D=0.5) Tsai - Wu FPL
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
75
Figura 38. Envolvente de fallo σx – σy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º). Criterio de
Hashin - Rotem.
Figura 39. Envolvente de fallo σx – σy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º). Criterio de
Puck.
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
900
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
σx
(MP
a)
σy (MPa)
E-glass/LY556 (90º/±30º/90º) - Hashin - Rotem
Datos Part B Hashin - Rotem (D=0.7)Hashin - Rotem (D=0.5) Hashin - Rotem FPL
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
900
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
σx
(MP
a)
σy (MPa)
E-glass/LY556 (90º/±30º/90º) - Puck
Datos Part B Puck (D=0.7) Puck (D=0.5) Puck FPL
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
76
En algunos de los tramos las envolventes de fallo inicial y final coinciden, como por
ejemplo en esta con Tsai-Hill en la Figura 36 o con Puck en la Figura 39. Esta
coincidencia puede depender ligeramente del factor de degradación como en máxima
tensión (Figura 35).
Figura 40. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σx - σ y de
un laminado E-glass/LY556 (90º/±30º). PLOT 4 [2].
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
77
ENVOLVENTE DE FALLO 5
Se ha calculado la envolvente de fallo ante una combinación de carga σx y τxy (PLOT 5)
para el mismo laminado de la envolvente anterior: E-glass/LY5556/HT907/DY063 con
una secuencia de laminado (90º/30º/-30º/-30º/30º/90).
Al igual que en el caso anterior se representan las envolventes de fallo para los cinco
criterios de fallo y dos factores de degradación de propiedades de la matriz D (0.5 y 0.7)
y el mismo factor de degradación de la fibra.
Figura 41. Envolvente de fallo σx – τxy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º). Criterio de
máxima tensión.
En el caso de Máxima Tensión (Figura superior) y mediante el criterio de Hashin-
Rotem (Figura 44) la solución hallada es muy parecida a la encontrada por otros autores
como Sun, Zineview o Hart-Smith (Figura 46), cuyos modelos generaron envolventes
con tramos rectos.
Para máxima tensión y Hashin-Rotem, la estimación del fallo por compresión en
dirección x sin cortante es algo mayor que los datos empíricos, y en los casos de
cizalladura pura, y tracción en x la predicción es satisfactoria. Sin embargo en los casos
con carga combinada la tendencia prácticamente lineal no se ajusta demasiado bien a los
resultados experimentales, sobretodo en el caso de compresión en dirección x.
0
100
200
300
400
-600 -400 -200 0 200 400 600
τ xy
(MP
a)
σx (MPa)
E-glass/LY556 (90º/±30º/90º)) - Máxima Tensión
Datos Part B Máxima Tensión (D=0.7)
Máxima Tensión (D=0.5) Máxima Tensión FPL
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
78
Figura 42. Envolvente de fallo σx – τxy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º). Criterio de
Tsai - Hill.
Figura 43. Envolvente de fallo σx – τxy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º). Criterio de
Tsai - Wu.
0
100
200
300
400
-600 -400 -200 0 200 400 600
τ xy
(MP
a)
σx (MPa)
E-glass/LY556 (90º/±30º/90º)) - Tsai -Hill
Datos Part B Tsai - Hill (D=0.7) Tsai - Hill (D=0.5) Tsai - Hill FPL
0
100
200
300
400
-600 -400 -200 0 200 400 600
τ xy
(MP
a)
σx (MPa)
E-glass/LY556 (90º/±30º/90º) - Tsai - Wu
Datos Part B Tsai - Wu (D=0.7) Tsai - Wu (D=0.5) Tsai - Wu FPL
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
79
Figura 44. Envolvente de fallo σx – τxy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º). Criterio de
Hashin - Rotem.
Figura 45. Envolvente de fallo σx – τxy de un laminado E-glass/ LY556 (90º/±30º). Criterio de
Puck.
0
100
200
300
400
-600 -400 -200 0 200 400 600
τ xy
(MP
a)
σx (MPa)
E-glass/LY556 (90º/±30º/90º) - Hashin - Rotem
Datos Part B Hashin - Rotem (D=0.7)
Hashin - Rotem (D=0.5) Hashin - Rotem FPL
0
100
200
300
400
-600 -400 -200 0 200 400 600
τ xy
(MP
a)
σx (MPa)
E-glass/LY556 (90º/±30º/90º) - Puck
Datos Part B Puck (D=0.7) Puck (D=0.5) Puck FPL
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
80
Figura 46. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σx - τ xy de un
laminado E-glass/LY556 (90º/±30º).PLOT 5 [2].
Los criterios de Tsai-Hill Y Tsai-Wu predicen una envolvente de fallo que se sitúa en el
lado de la seguridad, bastante alejada de los datos empíricos. El criterio de Tsai-Hill es
ligeramente mejor al de Tsai-Wu.
En este caso la aplicación combinada del criterio de Puck con el modelo de degradación
genera una envolvente de fallo que sigue la tendencia de los datos experimentales,
subestimando ligeramente la resistencia, hasta τxy = 250MPa aprox. a partir de donde la
predicción comienza a divergir de los datos de ensayos hasta τxy =0 MPa y σx negativa,
momento en el que vuelve a coincidir el resultado teórico con el empírico. Esta forma
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
81
de envolvente no se parece al presentado en el ejercicio por Puck. El más aproximado es
el presentado por Sun en 1998 [26].
ENVOLVENTE DE FALLO 6
Se ha calculado la envolvente de fallo ante una combinación de carga σx y σy (PLOT 6)
para un laminado cuasi-isotrópico de grafito/epoxy AS4/3501-6 con una secuencia de
apilamiento (90º/45º/-45º/-45º/45º/90) y un espesor total de 1.1 mm, teniendo todas las
láminas el mismo espesor.
Al igual que en el caso anterior se representan las envolventes de fallo para los cinco
criterios de fallo y dos factores de degradación de propiedades de la matriz D (0.5 y 0.7)
y el mismo factor de degradación de la fibra.
Figura 47. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σx - σy de un
laminado AS4/3501-6 (90º/±45º/0º)S.PLOT 6 [2].
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
82
Al igual que sucedía en la envolvente σx - σy anterior (ENVOLVENTE DE FALLO 4)
se sobreestima la resistencia del laminado en los casos donde la lámina está sometida un
estado de tensión de compresión-compresión, siendo de nuevo el criterio de Tsai- Wu el
que peor aproximación proporciona (Figura 50).
Para el resto de datos disponibles todos los criterios dan una buena predicción si se
escogen un valor de coeficientes de degradación de propiedades de la matriz de 0.7. Si
este valor es demasiado bajo aparecen en la envolvente estimada saltos bruscos.
El criterio de Máxima Tensión da para este laminado una envolvente de fallo del lado
de la inseguridad (Figura 48) pero que recoge bien la tendencia del fallo. Con el criterio
de Hashin-Rotem sucede lo mismo, y ambos criterios captan los puntos con tensión en
dirección y (σy) alta (1000 MPa), cosa que no sucede con los criterios de Tsai-Wu y
Tsai-Hill que no son capaces de predecir esos puntos.
El criterio de Puck proporciona unos resultados parecidos a Máxima Tensión y Hashin-
Rotem, también por el lado de la inseguridad, y con las mismas capacidades de estos.
Figura 48. Envolvente de fallo σY – σX de un laminado AS4/3501-6 (90º/±45º/0º)S. Criterio de
máxima tensión.
-1400
-1000
-600
-200
200
600
1000
1400
-1400 -1000 -600 -200 200 600 1000 1400
σx
(MP
a)
σy (MPa)
AS4/3501-6 (0º/±45º/90º) - Máxima Tensión
Máxima TEnsión FPL Datos Part B
Máxima Tensión (D=0.5) Máxima Tensión (D=0.7)
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
83
Figura 49. Envolvente de fallo σY – σX de un laminado AS4/3501-6 (90º/±45º/0º)S. Criterio de
Tsai - Hill.
Figura 50. Envolvente de fallo σY – σX de un laminado AS4/3501-6 (90º/±45º/0º)S. Criterio de
Tsai - Wu.
-1400
-1000
-600
-200
200
600
1000
1400
-1400 -1000 -600 -200 200 600 1000 1400
σx
(MP
a)
σy (MPa)
AS4/3501-6 (0º/±45º/90º) - Tsai - Hill
Tsai - Hill FPL Datos Part B Tsai - Hill (D=0.5) Tsai - Hill (D=0.7)
-1400
-1000
-600
-200
200
600
1000
1400
-1400 -1000 -600 -200 200 600 1000 1400
σx
(MP
a)
σy (MPa)
AS4/3501-6 (0º/±45º/90º) - Tsai - Wu
Tsai - Wu FPL Datos Part B Tsai - Wu (D=0.5) Tsai - Wu (D=0.7)
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
84
Figura 51. Envolvente de fallo σY – σX de un laminado AS4/3501-6 (90º/±45º/0º)S. Criterio de
Hashin - Rotem.
Figura 52. Envolvente de fallo σY – σX de un laminado AS4/3501-6 (90º/±45º/0º)S. Criterio de
Puck.
-1400
-1000
-600
-200
200
600
1000
1400
-1400 -1000 -600 -200 200 600 1000 1400
σx
(MP
a)
σy (MPa)
AS4/3501-6 (0º/±45º/90º) - Hashin - Rotem
Hashin - Rotem FPL Datos Part B
Hashin - Rotem (D=0.5) Hashin - Rotem (D=0.7)
-1400
-1000
-600
-200
200
600
1000
1400
-1400 -1000 -600 -200 200 600 1000 1400
σx
(MP
a)
σy (MPa)
AS4/3501-6 (0º/±45º/90º) - Puck
Puck FPL Datos Part B Puck (D=0.5) Puck (D=0.7)
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
85
ENVOLVENTE DE FALLO 7
Se ha calculado la envolvente de fallo ante una combinación de carga σx y σy (PLOT 9)
para un laminado angle-ply a ±55º según las características comentadas en el apartado:
“Laminados seleccionados para el ejercicio.”.
En la Figura 58 se muestra la comparación de varias teorías con los datos
experimentales. En el artículo original [2] se muestran algunas más.
Para este laminado la precisión alcanzada en la predicción del fallo es del orden de la
alcanzada por los participantes del ejercicio. Se obtiene una envolvente demasiado
conservadora cuando la tensión σy es negativa la tensión σx también es negativa. Esto es
debido en que en este caso, los datos experimentales provienen de probetas distintas
para los casos de compresión-compresión. En concreto, fueron usadas probetas
tubulares con mayor espesor para evitar los efectos de pandeo [27]. Ahora es Tsai-Wu
el que se aproxima mejor en los casos de compresión en los dos ejes debido a la
sobrestimación de la resistencia en estados tensionales de compresión de este criterio
respecto al resto de teorías.
Ninguno de los criterios analizados en este trabajo predice los puntos experimentales
situados más a la derecha en el cuadrante σx positivo y σy positivo.
Figura 53. Envolvente de fallo σy – σx de un laminado E-glass/ MY750 (±55º). Criterio de
máxima tensión.
-750
-500
-250
0
250
500
750
-1250 -1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000 1250
σx
(MP
a)
σy (MPa)
E-glass/MYZ50 (±55º) - Máxima Tensión
Exercise Result b Exercise Result c Exercise Result a
Máxima Tensión (D=0.7) Máxima Tensión (D=0.5) Máxima Tensión FPL
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
86
Figura 54. Envolvente de fallo σy – σx de un laminado E-glass/ MY750 (±55º). Criterio de Tsai -
Hill.
Figura 55. Envolvente de fallo σy – σx de un laminado E-glass/ MY750 (±55º). Criterio de Tsai
- Wu.
-750
-500
-250
0
250
500
750
-1250 -1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000 1250
σx
(MP
a)
σy (MPa)
E-glass/MYZ50 (±55º) - Tsai - Hill
Exercise Result b Exercise Result c Exercise Result a
Tsai -Hill (D=0.7) Tsai - Hill(D=0.5) Tsai - Hill FPL
-750
-500
-250
0
250
500
750
-1250 -1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000 1250
σx
(MP
a)
σy (MPa)
E-glass/MYZ50 (±55º) - Tsai -Wu
Exercise Result a Exercise Result b Exercise Result c
Tsai - Wu (D=0.7) Tsai - Wu (D=0.5) Tsai - Wu FPL
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
87
Figura 56. Envolvente de fallo σy – σx de un laminado E-glass/ MY750 (±55º). Criterio
de Hashin - Rotem.
Figura 57. Envolvente de fallo σy – σx de un laminado E-glass/ MY750 (±55º). Criterio
de Puck.
-750
-500
-250
0
250
500
750
-1250 -1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000 1250
σx
(MP
a)
σy (MPa)
E-glass/MYZ50 (±55º) - Hashin -Rotem
Exercise Result b Exercise Result c Exercise Result a
Hashin - Rotem (D=0.7) Hashin - Rotem (D=0.5) Hashin - Rotem FPL
-750
-500
-250
0
250
500
750
-1250 -1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000 1250
σx
(MP
a)
σy (MPa)
E-glass/MYZ50 (±55º) - Puck
Exercise Result b Exercise Result c Exercise Result a
Puck (D=0.7) Puck (D=0.5) Puck FPL
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
88
Figura 58. Comparación de teorías con resultados experimentales para el fallo σx - σy
de un laminado E-glass/MY750 (±55º).PLOT 9 [2].
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
89
Capítulo 6
6. Conclusiones.
A la vista de los resultados, el modelo de degradación de propiedades implementado
ofrece una buena predicción de la envolvente de fallo si se compara con la capacidad de
otros modelos de degradación progresiva.
Tras la comparación de las envolventes obtenidas con los datos experimentales de
resistencia procedentes del WWFE se advierte que el modelo funciona mejor cuando las
tensiones predominantes son de tracción, y no tanto cuando son de compresión, lo que
hace pensar que en esas condiciones de carga el modelo no es apropiado para la
estimación de las propiedades del laminado en la fase post-fallo.
El desarrollo de un modelo capaz de predecir mejor el fallo último de laminados
sometidos a estados tensionales de compresión requeriría de más datos experimentales
en esas condiciones.
En cuanto a la conveniencia de la aplicación de uno u otro criterio de fallo
conjuntamente con el modelo de degradación de propiedades se puede decir que,
aunque en un primer momento se pueda pesar que criterios como Máxima tensión no
fueran a generar buenos resultados debido a las limitaciones que presenta (comparado
con otros criterios) en la predicción del fallo en laminados unidireccionales, sobre todo
cuando la interaccione entre distintas componentes de tensión es importante, la
experiencia dice que en laminados con varias láminas orientadas en distintas
direcciones, las diferencias con otros criterios son más pequeñas y los resultados
aceptables. En estos casos toma más importancia el modelo de degradación empleado.
En líneas generales, el uso de los criterios de máxima tensión y Hashin-Rotem predice
envolventes de fallo que sobreestiman la resistencia del laminado en comparación con
las envolventes previstas por la aplicación de Tsai-Hill o Tsai-Wu.
Hay que mencionar que cuando se aplica el modelo de degradación estudiado en
algunos de los laminados propuestos se observa que la envolvente de fallo final y la de
fallo inicial coinciden en algunos tramos, especialmente en combinaciones de carga que
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
90
supongan fallos de fibra por compresión. Este fenómeno también sucede con los
modelos de degradación presentados en otros trabajos como Tsai [9] , Rotem [28] o Sun
[26].
Elección de los factores de degradación.
La calidad de los resultados obtenido mediante el programa presentado depende, como
en cualquier método numérico, del valor escogido de ciertas constantes.
En particular, para el programa implementado, estas variables son: el coeficiente de
degradación de la matriz D, el número de fallos que se permite a cada lámina y en
número de puntos calculados.
Cuando mayor sea el valor del coeficiente de degradación de la matriz más fina será la
predicción de la tensión última del laminado pero, por otro lado, el programa requiere
de más iteraciones para alcanzar ese valor deseado y por tanto se necesitará más tiempo
de cálculo.
Si el valor escogido para D es demasiado bajo, el modelo planteado se acerca a un
modelos de degradación total, y aunque más rápido, la envolvente obtenida puede no
tener una forma suave, con saltos bruscos que se deben únicamente a una mala
estimación de las propiedades de las láminas y de la distribución de tensiones después
del fallo inicial.
De igual modo, si el número de puntos elegidos para trazar la envolvente es insuficiente
puede que no se detecte bien la tendencia del fallo. Debe ser quien aplique en su
momento el modelo quien debe llegar a un compromiso entre calidad de resultados y
tiempo invertido.
El modelo de degradación se puede aplicar conjuntamente con varios criterios de fallo a
nivel de lámina. El criterio escogido también influye en el tiempo de cómputo.
Ordenados por orden, de menor a mayor tiempo empleado:
Máxima tensión y Tsai-Wu.
Tsai-Hill.
Hashin.
Puck.
El factor de degradación de la fibra no tiene apenas influencia siempre que se escoja un
valor lo suficientemente pequeño, como se explica en el apartado: “Modelo
implementado en el programa.”. Sin embargo, hay que tener en cuenta que en este
modelo las propiedades en dirección de la fibra solo se degradan una vez, y a partir del
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
91
segundo fallo de la fibra de una misma lámina el programa puede entrar en un bucle
donde siempre falla la misma lámina sin variar la tensión de fallo. Para evitar estos
bucles el programa termina tras un número máximo de iteraciones como se explica en el
apartado: ”Implementación del programa.”.
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
92
Implementación y verificación de un modelo de degradación de propiedades para la predicción
de fallo en materiales compuestos
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