UNIDADES Y MAGNITUDES

Paul Dirac

James C. Maxwell

Marie Curie Albert Einstein Niels Bohr

Max Planck

Stephen Hawking

Isaac NewtonGalileo GalileiArquímedes

Erwin Schrödinger

Michael FaradayCharles Coulomb

Ernest Rutherford

Werner Heisenberg

Nicolás Copérnico

C U R S O: FÍSICA COMÚN

MATERIAL: FC-01

2

Magnitudes Escalares y Vectoriales

Sistema Internacional (SI)

Con el avance de la ciencia se hizo evidente normar las unidades que expresaban las distintasmagnitudes, es por esto que a partir de la Conferencia internacional de Pesos y Medidas realizadaen 1960 se establecieron un conjunto de patrones. Se definieron lo que son las magnitudesfundamentales y las derivadas. El sistema que se ingresó es una adaptación del sistemamétrico, y recibe el nombre de Sistema Internacional (SI) de unidades.

Las Magnitudes Derivadas son las que se obtienen a partir de las fundamentales por medio deecuaciones matemáticas. Como por ejemplo el área de un cuadrado, que es derivada de unamagnitud fundamental como la longitud.

DIMENSIONES

El principio de Fourier o principio de homogeneidad establece que toda ecuación serádimensionalmente correcta si los términos, que componen una suma o diferencia son de igualesdimensiones. Es decir para que una fórmula física sea correcta todos los términos de la ecuacióndeben ser iguales dimensionalmente. En el S.I. la unidad de medida de la longitud es m, pero sudimensión es L, la unidad de medida de masa es kg y su dimensión es M, y la unidad de medidadel tiempo es s y su dimensión es T. Así por ejemplo la dimensión de velocidad es L/T.

Nota: en cualquier fenómeno físico que se analiza, se debentener en cuenta las unidades de medida con las cuales setrabaja, ya que deben ser compatibles, de lo contrario seprocede a la conversión de unidades.

MagnitudesFundamentales Nombre Símbolo

Longitud metro m

Masa Kilógramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corrienteeléctrica ampere A

Temperatura kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd fig. 1

3

Magnitudes Escalares

Son magnitudes físicas fáciles de reconocer, ya que para identificarlas solo necesitamos saber sumagnitud o módulo.

Ejemplos: rapidez, masa, tiempo, distancia, área, perímetro, densidad, volumen, temperatura,etc.

Magnitudes Vectoriales

Son aquellas que poseen tres características fundamentales: magnitud (módulo o largo), sentido(indicado por la flecha) y dirección (indicado por la línea recta que pasa sobre el vector).

Una magnitud vectorial se simboliza con una letra que lleva una flecha en su parte superior A

.

Si queremos referirnos a la magnitud del vector A

se denota por A.

Algunos ejemplos de magnitudes vectoriales son: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza,momentum lineal, torque, etc.

Álgebra de vectores

i. Adición (método del triángulo)

Al sumar dos vectores A

y B

, primero se dibuja A

y a continuación se dibuja B

, procurando

mantener las proporciones, luego el origen de A

se une con el final de B

(punta de la flecha).

ORIGEN

DIRECCIÓN

SENTIDOMAGNITUD

fig. 2

fig. 3

A + B

A

B

B

A

4

Nota 1: Encontrar el opuesto de un vector equivale a hallar otro, que posea igual magnitud y

dirección, pero con sentido opuesto. Matemáticamente el opuesto de A

es A

.

Nota 2: Dos vectores paralelos y de sentido opuesto se llaman antiparalelos.

Nota 3: Al sumar vectorialmente un vector con su opuesto se obtiene el vector cero 0

ii. Sustracción

Se procede como en la suma, es decir, para obtener A B , se procede a efectuar la operación

A + (-B)

obteniéndose así una suma de dos vectores.

Transformación de Unidades

En muchas situaciones en Física, tenemos que realizar operaciones con magnitudes que vienenexpresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos que realicemos seancorrectos, debemos transformar las unidades de forma que se cumpla el principio dehomogeneidad.

Por ejemplo si tenemos una rapidez v0 que está expresada en km/h y la queremos expresar enm/s deberemos dividir v0 por 3,6 y así quedara v0 en m/s esto se debe a lo siguiente:

1 km = 1000 m; para pasar de kilómetro a metro debemos multiplicar por 10001 h = 3600 s; para pasar de hora a segundo debemos multiplicar por 3600

De lo anterior si tenemos v = 72 km/h para llevarlo a m/s debemos hacer lo siguiente:

72km 1000m 1 m 1 m mv = = 72 · = 72 · = 72 · = 20

36001h 3600s s 3,6 s s1000

es decir 72 km/h es equivalente a 20 m/s

Para pasar de m/s a km/h se debe multiplicar por un factor igual a 3,6.Para pasar de km/h a m/s se debe dividir por un factor igual a 3,6.

fig. 4

A

-A

fig. 5

AB A

-B

A + (-B)

5

A continuación veremos los distintos tipos de proporcionalidad que se dan en las ecuaciones quese ven en las ciencias físicas, es de mucha ayuda para la comprensión de los conceptos entendercómo se relacionan las variables.

Proporcionalidad Directa

Si dos variables, x e y, cumplen que y = k · x donde k es una constante, entonces se dice que xe y son directamente proporcionales, y al graficar los distintos valores que toman estas variables,se obtiene el siguiente gráfico:

Un ejemplo de esto en física es:

Cuando se aplican distintas fuerzas sobre una misma masa la relación entre estas variables es:

si m es constante la fuerza y la aceleración son directamente proporcionales, por ejemplo si seduplica la fuerza entonces también se duplica la aceleración.

Proporcionalidad Inversa

En este caso las variables cumplen que y = k/x, con k constante y se dice que x e y soninversamente proporcionales, al graficar los distintos valores que toman estas variables se tiene elsiguiente gráfico:

Un ejemplo de esto en física es:

Un móvil que debe recorrer una misma distancia (d) con rapideces distintas (v) usamos la relaciónd = v · t, donde d es constante y la rapidez es inversamente proporcional al tiempo. Como ladistancia es constante cuando el móvil recorra con una velocidad mayor entonces la otra variableque es el tiempo disminuirá.

Es decir una línea recta que pasa por el origen. Seobserva que a medida que crece la variable x tambiénaumenta la variable y, en la misma medida.

Se observa que si una variable aumenta la otra disminuye oviceversa, la curva corresponde a una hipérbola.

y = k · x

ky =

x

F = m · a

x

y

fig. 6

x

y

fig. 7

6

Proporcionalidad al Cuadrado

Aquí una de las variables esta elevada al cuadrado y la relación entre estas variables puede ser dela forma y = k·x2 donde, k es constante, en este caso decimos que y es proporcional al cuadradode x. Otra forma de decirlo es que y es directamente proporcional al cuadrado de x. Cuandoestamos en esta situación la figura que se obtiene al graficar los valores que toman las variables xe y es:

Un ejemplo de esto en física es:

La relación entre la energía cinética (EC) y la velocidad (v) es una proporcionalidad de este tiposiendo la ecuación que las relaciona la siguiente:

donde 1/2 m es constante. En esta expresión si la velocidad se duplica entonces la energíacinética se cuadruplica, o si v disminuye a la mitad entonces EC disminuye a la cuarta parte, etc.

Proporcionalidad Inversa al Cuadrado

Esta situación se da cuando la relación entre las variables es de la forma y = k/x2 donde k esconstante, se dice que y es inversamente proporcional al cuadrado de x. Si se tienen distintosvalores de x e y al graficarlos obtendremos lo siguiente:

Un ejemplo de esto en física es:

La famosa Ley de la Gravitación Universal donde se muestra la forma en que se atraen dosmasas. Por ejemplo la atracción entre la Tierra (m1) y el Sol (m2), la relación es la siguiente:

donde el producto Gm1m2 es constante. Si la distancia entre ambos cuerpos celestes fuese lamitad de la actual entonces la fuerza de atracción entre ambos sería 4 veces mayor de lo que esahora.

La curva corresponde a una parábola. Cuando una de lasvariables se duplica (x) la otra se cuadruplica (y).

Aquí se observa que si una de las variables crece la otradisminuye. Al estar la variable x elevada al cuadradoocurrirá por ejemplo que, si x se duplica, la variable ydisminuye a la cuarta parte.

x

y

2C

1E = mv

2

1 22

m · mF = G ·

d

2y = k · x

2

ky =

x

x

y

fig. 9

7

Glosario

Escalar: cualquier valor que no posee dirección ni sentido, por ejemplo 5, -3, 1,5 etc.

Magnitudes Derivadas: Son aquellas magnitudes que derivan de otras magnitudes.

Magnitudes Fundamentales: En el SI existen 7 magnitudes fundamentales y se caracterizanporque no derivan de otras cantidades.

Proporcionalidad al cuadrado: Esto ocurre cuando una de las variables crece la otra tambiénaumenta, y una de las variables está elevada al exponente dos; esto provoca que al duplicar estavariable, la otra se cuadruplica.

Proporcionalidad directa: Se dice que dos cantidades son directamente proporcionales, cuandoal variar una de ellas la otra varía en la misma proporción. Más específicamente, si una de lasvariables aumenta al doble la otra también aumentará al doble. De la misma forma si una de ellasdisminuye en un tercio la otra variable disminuirá en un tercio también.

Proporcionalidad inversa: Dos variables son inversamente proporcionales entre sí, cuando unade ellas aumenta, la otra disminuye en la misma proporción. Por ejemplo si una de ellas secuadruplica, entonces la otra disminuye en un cuarto.

Proporcionalidad Inversa al cuadrado: Dos variables se relacionan de esta forma cuando unade las variables crece la otra disminuye o viceversa, y una de las variables está elevada alexponente dos; por ejemplo si la variable con exponente dos se duplica, la otra disminuye a lacuarta parte.

Sistema Internacional de Unidades (SI): Es un sistema de unidades derivado del SistemaMétrico Decimal, este último creado alrededor del año 1800. El Sistema internacional se abreviaSI y es una versión revisada y más completa que el sistema métrico decimal.

Vector: En física hay cantidades en que no basta solo conocer su magnitud, para poder definirlacompletamente necesitamos conocer también su dirección y sentido; a estas cantidades lasllamamos vectores.

8

EJEMPLOS

1. En la figura 10 se aprecian 4 vectores, dos tienen dirección horizontal y los otros dos tienendirección vertical. Considerando que todos los vectores miden lo mismo, es correcto que

A) al sumar los vectores A y B se obtiene como resultado un vector 2A o 2B.B) los 4 vectores son iguales.C) los vectores A y B son iguales entre sí, de igual forma los vectores C y D.D) todos los vectores al ser comparados entre sí, son distintos.E) la diferencia de los vectores A y B da cero, lo mismo ocurre con los vectores C y D.

2. Para los vectores mostrados en la figura 11, la operación vectorial P

- Q

da como resultado

un vector cuya dirección y sentido se muestra en

A)

B)

C)

D)

E)

3. Respecto de las operaciones entre vectores se afirma que

I) al sumar dos vectores entre sí, se obtiene un vector.II) el producto entre un número y un vector da como resultado un vector.

III) al sumar dos vectores entre sí el orden entre ellos no importa, ya que elresultado será el mismo.

Es (son) correcto(s)

A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y III.E) I, II y III.

A

B

C

D

fig. 10

fig. 11

P

Q

9

PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. Las magnitudes fundamentales en el Sistema Internacional (SI) de unidades son

A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

2. El módulo de un vector puede ser

I) positivo.II) negativo.

III) cero.

De las afirmaciones anteriores, es (son) falsa(s)

A) solo IB) solo IIC) solo I y IID) solo I y IIIE) I, II y III

3. Al sumar dos vectores que tienen igual dirección y de magnitudes 3 y 8, el módulo del vectorresultante debe ser

A) 5B) 11C) 5 o 11D) cualquier valor entre 5 y 11, incluyendo los extremos.E) 0, 5 o 11.

4. Los módulos de los vectores A, B, C y D, mostrados en la figura 12 son 4, 5, 6 y 8respectivamente. Se sabe que los vectores A y B son horizontales y los vectores C y D son

verticales. Al sumar el resultado de | A

- B

| con el resultado de |C

+ D

| se obtendrá lacantidad

A) 23B) 15C) 11D) 3E) 1

A

B

C

D

fig. 12

10

5. La dimensión de una magnitud física se expresa como M · L2 · T -2, por lo tanto si se usanunidades del SI estas unidades se relacionan correctamente, como se muestra en

A)2

2

m · kg

s

B)2

2

kg · m

s

C) 2

2s · m

kg

D) 2 2m · s · kg

E)2 2m · s

kg

6. El vector resultante de A

+ B

+ C

de acuerdo a la figura 13, considerando que todos midenlo mismo da como resultado un vector cuya dirección y sentido es aproximadamente igual a

A)

B)

C)

D)

E)

7. De acuerdo al gráfico que se muestra en la figura 14, la relación correcta entre las variablesH y K, donde C1 y C2 son constantes distintas de cero, es

A) H = K2

B) H = C1·KC) H = C1·K + C2

D) H = C1 / KE) H = C1 / K2

8. Una persona avanza en su auto con una rapidez de 20 m/s, y desea saber a cuánto equivaleen km/h. Lo correcto es decir que equivale a

A) 75B) 72C) 20D) 10E) 5

A

fig. 13

B

C

K

H

fig. 14

11

9. Una tortuga comienza a caminar desde el punto A como indica la figura 15, camina 3unidades en la dirección x en el sentido positivo, luego se dirige 7 unidades en la dirección yen el sentido positivo y finalmente camina 8 unidades en la dirección x en el sentidonegativo. El vector que mejor representa la posición de la persona con respecto al origen Oes

A)

B)

C)

D)

E)

10. Al multiplicar un vector B

por un escalar, el resultado puede ser un

I) vector de igual módulo que B

.II) escalar.

III) vector nulo.

De las afirmaciones anteriores es (son) falsa(s)

A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y II.E) solo II y III.

11. De las siguientes afirmaciones:

I) Un escalar puede ser positivo, negativo o cero.II) Dos vectores distintos pueden tener igual módulo.

III) La componente de un vector es un escalar.

Es (son) verdaderas(s)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

x

y

A

7O

fig. 15

12

12. En la relación v = v0 + a · t , v0 y a son constantes distintas de cero, mientras que v y tson variables. Entonces, el gráfico que podría representar la relación entre v y t es

13. En la relación p = m · v, m es constante mientras que p y v son variables, luego es correctoafirmar que

A) al triplicar v se cuadruplica p.B) si v disminuye a la cuarta parte, entonces se cuadruplica p.C) el gráfico de p versus v es una línea recta que no pasa por el origen.D) lo que pase con p solo depende de m.E) si v fuese constante y distinto de cero, entonces el gráfico de p versus v sería un punto.

14. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una relación directamente proporcionalentre las variables x y t?

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

15. Al sumar un vector cuyo módulo es │ A│= 7 m con otro vector de módulo │B

│= 5 m.

Entonces, │A + B

│ no podrá ser igual a

A) 3 mB) 5 mC) 7 mD) 12 mE) 13 m

Claves de los ejemplos

1 D 2 B 3 E

DMDOFC-01

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/

v

t

x

t

I) x

t

II) x

t

III)

v

t

A) B)v

t

C)v

t

D)v

t

E)