PED FisicaII.web

7/31/2019 PED FisicaII.web

1/16

Ejercicios resueltos de FISICA II que se incluyen en la Gua de la Asignatura

Mdulo 1. Campo gravitatorio

1. Calcular la velocidad que ha de tener un satlite que describe una rbita circular a laaltura z sobre la superficie de la Tierra.

La Ley Fundamental de la Dinmica, aplicada al satlite, es:

Siendo M la masa de la Tierra, m la masa del satlite y R el radio terrestre. Se obtiene:

2. Si los radios de Mercurio y de la Tierra se encuentran en la relacin 1:3 y sus densidades

medias estn en la relacin 3:5, determinar la intensidad del campo gravitatorio de

Mercurio en su superficie.

La intensidad del campo gravitatorio g en la superficie de un planeta de masa M, y radio R es:

Aplicada, respectivamente, a la Tierra y Mercurio:

Reemplazando, en cada caso, , se obtiene

Dividiendo la primera entre la segunda


2/16

y, dado que y , se obtiene

3. Una nebulosa esfricamente simtrica da origen a un campo gravitatorio cuya intensidad

est dada por

en donde y son constantes y r es la distancia de un punto genrico al centro. Obtener la

expresin que define la densidad de materia en funcin de r y encontrar la masa total de la

nebulosa.

a) Obtencin de la densidad.El vector campo gravitatorio es

Segn el teorema de Gauss

El campo vectorial

solo depende de r de modo que, en coordenadas esfricas, la

divergencia del campo gravitatorio es

Donde

Por consiguiente:

Resultado que reemplazado en el teorema de Gauss permite obtener la densidad

b) Obtencin de la masa total de la nebulosa. Si su radio es R:


3/16


Mdulo 2. Campo electrosttico

4. Consideremos dos superficies gaussianas esfricas, una de radio r y otra de radio 2r, querodean a una carga puntual + q. Cul es el valor de la relacin flujo a travs de la esfera

exterior/flujo a travs de la esfera interior?.

El teorema de Gauss afirma que el flujo del vector campo elctrico a travs de una

superficie cerrada es proporcional a la carga neta Q que encierra dicha superficie. La

expresin exacta de este enunciado es:

donde es la constante dielctrica del vaco. Este resultado, consecuencia le la Ley deCoulomb, nos dice que el flujo que atraviesa cualquier superficie que encierre la misma carga

Q es el mismo, de modo que:

La relacin de flujos, debido a una misma carga neta, que atraviesan dos superficies de

gauss cualesquiera es la unidad

5. Determinar la expresin de la energa potencial de un sistema de tres cargas iguales +qlocalizadas en los vrtices de un tringulo equiltero de lado a.

La energa potencial electrosttica de un sistema de n cargas puntuales es:

Para un sistema de 3 cargas, esta expresin toma la forma:

Dado que q1 = q2 = q3 = q y r12 = r13 = r23 = a, tenemos, para la energa potencial de tres cargas

idnticas situadas en los vrtices de un tringulo equiltero:


4/16

6. El potencial de una distribucin de carga, a la distancia r de un punto O, viene dado por

Siendo a una constante y q > 0. Calcular:

a) El campo

a la distancia r de O.

b) El flujo del campo a travs de una esfera de centro O y radio r (Qu ocurre cuando elradio tiende a cero?).

c) La densidad volmica de carga a la distancia r.d) La suma de las cargas contenidas en la esfera (qu sucede cuando r tiende a infinito?).

a) La relacin entre el campo elctrico y el potencial es

El gradiente en coordenadas esfricas para una funcin que solo depende de r, es:

De modo que el vector campo elctrico a una distancia r de la fuente, es:

b) El flujo de campo elctrico a travs de una esfera de centro O y radio r viene dado,segn el teorema de Gauss, por

Pero el vector tiene, en cada punto de la superficie de gauss, la misma direccin y sentidoque el vector de modo que podemos escribir

En todos los puntos de la superficie de gauss r es constante por ser dicha superficie una esfera,

de modo que

(recordemos que .Cuando r tiende a cero, el flujo tiende a

. (Extrao campo, para r tendiendo a infinito, el

flujo se anula.)


5/16

c) Para hallar la densidad de carga que produce el campo elctrico utilizamos larelacin

El campo vectorial

solo depende de r de modo que, en coordenadas esfricas, la

divergencia del campo electrosttico es

donde

Por consiguiente:

y de la expresin

Obtenemos

El hecho de que esta distribucin de carga tenga una densidad negativa pone de manifiesto el

carcter anmalo del campo elctrico

Como se seala en el texto Electricidad y Magnetismo(Berkeley physics course, vol.2, E.

Purcell), en la pgina 64 de la segunda edicin en espaol, una expresin para el campo como

la que se deriva del potencial propuesto en este ejercicio hace que falle la ecuacin de

Maxwell

d) Si la distribucin de carga tiene un radio R, la carga total es:


6/16

Cuando el radio de la esfera que encierra la distribucin de carga tiende a infinito la

carga es:

Una carga negativa es responsable de un flujo emergente, tal y como se obtuvo en el

apartado b)! Este resultado incoherente es consecuencia del tipo de potencial elctrico

propuesto en el ejercicio.

7. Dos cargas puntuales, una positiva, q1, y otra negativa, -q2, estn en el vaco, distandoentre s 2L. Hallar la ecuacin de la familia de superficies equipotenciales del campo. Las

magnitudes estn expresadas en el SI.

El potencial en cada punto P(x,y,z) del espacio debido a la presencia de las dos cargas es

Donde

Como corresponde al caso de haber colocado q1 en el punto (L,0,0) yq2 en el punto (-L,0,0).

De modo que

Para cada valor constante de la ecuacin anterior define la ecuacin de la superficie

equipotencial pedida.

8. La intensidad de un campo elctrico est dada por en donde x, a y b semiden en el SI; a y b son constantes. Determinar la expresin del potencial del campo.

La relacin entre el vector campo elctrico y el potencial asociado es (generalizada a R3)

En coordenadas cartesianas


7/16

de donde se obtienen las siguientes relaciones escalares

El potencial compatible con estas relaciones es:

9. Calcular la fuerza que acta en el punto (1,-1,2) sobre una partcula con carga de 0,5 C quese encuentra en un campo elctrico de potencial (donde r y semiden en unidades del SI).

La relacin entre el vector campo elctrico y el potencial asociado es

en coordenadas cartesianas

de modo que:

La fuerza sobre la carga q es

Para q = 0,5 C y (x,y,z) = (1,-1,2):


8/16

10. Sean dos hilos conductores rectilneos e indefinidos, dispuestos paralelamente yseparados una distancia d. Los hilos se pueden desplazar y por ellos circulan,

respectivamente, en sentido ascendente, corrientes de intensidades I1 y I2. Entre ambos

se sita otro hilo de las mismas caractersticas pero que se puede desplazar lateralmente

por el que circula, en sentido descendente, una intensidad I3. Determinar la posicin de

equilibrio de este hilo, indicando si el equilibrio es estable o inestable.

La intensidad del campo magntico que produce cada conductor en un punto situado entre

ambos, a una distancia x del primero es:

Por ser corrientes paralelas y con el mismo sentido, en un punto intermedio del segmento

perpendicular a las mismas la intensidad de campo magntico B resultante es el valor absoluto

de la diferencia

Puesto que la lnea de corriente del tercer conductor es perpendicular al campo B resultante

que producen los otros dos conductores, la fuerza magntica por unidad de longitud que acta

sobre la lnea de corriente de intensidad I3 es

La posicin de equilibrio se obtiene cuando F/L = 0, esto es, cuando

de donde se obtiene

que se trata de una posicin de equilibrio inestable. Aunque nuestra intuicin fsica nos sea

suficiente para prever este resultado, el estudio elemental de curvas en el plano nos confirma

este resultado. En efecto, que el equilibrio sea inestable es equivalente a afirmar que en el

punto

la funcin F/L alcanza un mximo, lo que se comprueba verificando que el signo de su derivada

segunda para dicho valor de x es negativo.


9/16


Mdulo 3. Campo magnetosttico

11.De la ley de Gauss del campo magntico se sigue:a) la ausencia de polos magnticos aislados

b) que un campo magntico no es conservativo

c) que un campo magntico variable induce un campo elctrico

De estas tres respuestas la correcta es la primera. De la ecuacin

Se sigue, mediante el teorema de gauss que relaciona una integral de volumen con unaintegral de superficie,

Estando la integral de superficie a toda la superficie que encierra la regin sobre la que se

integra la integral de volumen. El segundo miembro de la anterior ecuacin es el flujo de

campo que atraviesa dicha superficie. De la ecuacin se sigue que

de modo que el flujo neto de campo magntico que atraviesa cualquier superficie es cero. Este

resultado se vincula con la no existencia de monopolos magnticos aislados. Los polos

magnticos estn confinados en un imn. Cuando se trocea un imn se obtiene otros tantos

imanes cada uno con sus correspondientes polos norte y sur.

Por el momento el monopolo magntico magntico es una especulacin terica y todos los

intentos realizados para su localizacin no han dado resultados positivos.

Ciertos aspectos no resueltos de la fsica terica que se vinculan con la existencia de

monopolos magnticos se explican con suficiente detalle en Electrodinmica Clsica, de J.D.

Jackson, Ed. Alhambra, 1980 (pginas 258 y 259)


10/16

12.Calcula la fuerza de interaccin entre dos cargas puntuales q1 = 1 C y q2 = 10 C que semueven, respectivamente, con velocidades m/s en elmomento en que la separacin entre ambas est definida por el vector m.

La fuerza magntica entre ambas cargas viene dada por

Con los datos del ejercicio tenemos:

De modo que

Y finalmente

newtons.

13.Puede modificarse la energa cintica de una partcula cargada, mediante un campo:a) Electrosttico.b) Magnetosttico.Raznese la respuesta.

a) La relacin del campo elctrico , la fuerza y la carga q sobre la que acta dichafuerza es:

Si la velocidad de la carga es , se puede hacer

El primer miembro de esta ecuacin es la energa transferida por unidad de tiempo (potencia).

El segundo miembro en general no es cero, y dado que :


11/16

El ltimo trmino, en general, no es cero y esto significa que la derivada de la energa cintica

tampoco es cero, esto es, la energa de una carga en movimiento puede ser modificada por

accin de un campo electrosttico.

b) La relacin del campo magntico , la fuerza , la carga q de velocidad sobre la queacta dicha fuerza es:

Si ahora multiplicamos escaleramente la velocidad de la carga los dos trminos de laecuacin anterior, obtenemos:

El segundo trmino es siempre cero pues los vectores y son perpendiculares. El primertrmino, tal como se trat en el apartado anterior

esto significa que la energa cintica de la partcula permanece constante bajo la accin de un

campo magnetosttico


12/16


Mdulo 4. Campo electromagntico

14. Calcular el mdulo de la fuerza que acta sobre un semicrculo, de radio R, recorrido por

una corriente de intensidad I, situado en un campo magntico, de intensidad B, uniforme y

perpendicular al plano de la corriente.

Suponemos que el campo

magntico es perpendicular alplano de la figura y se dirige hacia el

lector, . La fuerza elemental sobre el segmento elemental por el que circula la corriente I, es:

La fuerza total que acta sobre toda la semicircunferencia es

Y siendo , el elemento , de modoque

La fuerza resultante acta en direccin paralela al eje y. Su mdulo es el mismo que se

obtendra si la semicircunferencia se sustituyese por un segmento conductor de longitud 2R:

15. Sea una espira rectangular, de lados a y b que gira alrededor de su eje de simetra vertical

con velocidad angular constante . La espira se encuentra en presencia de un campomagntico uniforme, de intensidad , perpendicular a su eje vertical. Si la resistenciahmica de la espira es R, determinar la intensidad de la corriente elctrica inducida que

recorre la espira.

El flujo de campo magntico que atraviesa la espira de seccin ab es

La fuerza electromotriz inducida en la espira es:

Segn la Ley de Ohm RI = , luego la intensidad de la corriente inducida es


13/16

16. Un disco de cobre de 10 cm de radio gira alrededor de su eje con una velocidad de 20 rps y

est situado en un plano perpendicular a un campo magntico uniforme de intensidad 0,6

T. Hallar la diferencia de potencial entre un punto de la periferia y el centro.

En el intervalo de tiempo dt el radio R del disco barre un rea elemental ds

El flujo elemental d es el nmero de lnea de campo magntico que corta dicho radio:

La fuerza electromotriz inducida es:

La diferencia de potencial medida es:


14/16


Mdulo 6. ptica fsica

20. Discutir el diagrama de interferencia producido por dos fuentes no coherentes de la misma

frecuencia

Dos fuentes son coherentes cuando oscilan con la misma frecuencia y mantienen un desfase

constante. Contrariamente, dos fuentes no son coherentes cuando:

- no son de la misma frecuencia, o- sus diferencias de fase cambian errticamente con el tiempo.

En nuestro caso la no coherencia se debe a que la diferencia de fase es variable.

Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2 que oscilan con la misma frecuencia y

amplitudes 01 y 02. Sus ondas esfricas respectivas son:

Donde r1 y r2 son las distancias desde cualquier punto a S1 y S2, respectivamente, y es la faseadicional que vara con el tiempo al azar debido a lo cual las fuentes son incoherentes. El

desfase es

Los movimiento ondulatorios y se pueden representar por vectores,

de longitud y respectivamente, los cuales forman los

ngulos y con el eje X, comoindica la figura adjunta. La amplitud y la fase del movimiento ondulatorio

resultante estn dadas por el vector

resultante.

Por lo tanto podemos expresar la

amplitud de la perturbacin resultante en el punto de interferencia es:

Pero ahora no es constante en el tiempo para cada punto donde interfieren losmovimientos ondulatorios debido a que depende del tiempo al azar, como se ha sealado.


15/16

Debemos hallar el valor medio de . Sin embargo el valor medio de una funcin f(t) en eltranscurso del intervalo T es:

Si la funcin est acotada en el intervalo considerado, para un tiempo suficientemente largo T,

Este es el caso de la funcin coseno, de modo que:

Por lo tanto:

Y como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud,

Por consiguiente, la intensidad media resultante es la suma de las intensidades individuales y

no se observan fluctuaciones en la intensidad. La intensidad media es la misma en todos los

puntos. Esta es la razn por la cual, por ejemplo, no se observan franjas de interferencia con la

luz proveniente de dos bombillas elctricas, porque las diferencias de fase de sus respectivos

tomos radiantes estn distribuidas al azar.

21. Un rayo luminoso incide en el aire sobre un medio cuyo ndice de refraccin es igual a .Determinar el ngulo de incidencia del rayo mencionado para que el rayo refractado sea

perpendicular al reflejado.

La Ley de Snell, cuando el primer medio es aire, es

La condicin de que el rayo reflejado y el refractado sean perpendiculares

es que

i, dado que r = i,

Por consiguiente


16/16

Para n = ,i = 600

22. Considrese una onda plana monocromtica incidente sobre una red de difraccin, siendo

no nulo el ngulo de incidencia. Determinar la posicin de los mximos en el correspondiente

diagrama de difraccin.

Los mximos principales estn determinados por el diagrama de interferencia, el cual a su vez

est determinado por el desfase entre rayos correspondientes provenientes de rendijas

sucesivas. La figura muestra que ese desfase

est dado por

La condicin de mximos, ,permite escribir

Recordando que

podemos escribir

Por consiguiente, si D = i + , para el mximo de orden n se puede obtener de la relacin

La desviacin es mnima cuando = I; el ngulo de incidencia para la desviacin mnima en el

orden n se obtiene de

Documents

PED FisicaII.web