Péndulo simple

El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.

Índice [ocultar]

1 Ecuación del movimiento

1.1 Método de Newton

1.2 Método de Lagrange

2 Pequeñas oscilaciones

3 Isocronismo

4 Oscilaciones de mayor amplitud

5 Instrumento gravimétrico

6 Véase también

7 Referencias

8 Bibliografía

9 Referencias externas

Ecuación del movimiento[editar]

Péndulo simple. Esquema de fuerzas..

Método de Newton[editar]

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la

gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, \ell, del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.

La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

F_\text{t} = -mg\sin{\theta} = ma_\text{t} \,

siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).

Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

a_\text{t}= \ell\ddot\theta \,

siendo \ddot\theta \, la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

-mg\sin\theta = m\ell\ddot\theta \qquad\Rightarrow\qquad \ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0 \,

Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

Método de Lagrange[editar]

El lagrangiano del sistema es

\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos{\theta}

donde \theta\, es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y l\, es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue

\frac{d}{dt}\frac{\part\mathcal L}{\part\dot\theta} - \frac{\part\mathcal L}{\part\theta}=0

\qquad\Rightarrow\qquad

ml^2\ddot\theta + mgl\sin\theta = 0

y obtenemos la ecuación del movimiento es

l\ddot{\theta} + g\sin{\theta} = 0

de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.

Pequeñas oscilaciones[editar]

Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas.

Para pequeñas oscilaciones, la función que representa la elongación angular con el tiempo, \scriptstyle\theta(t), es casi sinusoidal; para mayores amplitudes la oscilación ya no es sinusoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud \scriptstyle 0,999\pi\ \text{rad}\ \approx\ 180^0 (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud \scriptstyle 0,25\pi\ \text{rad} \ =\ 45^0 (gris).

Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), como podemos apreciar en la Tabla I, y la ec. dif. del movimiento se reduce a

\ell\ddot\theta + g\theta = 0 \,

que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es:

\theta = \Theta\sin(\omega t + \phi) \,

siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el período de las mismas:

\omega = \sqrt{g \over l} \qquad\Rightarrow\qquad T = 2\pi\sqrt{\ell \over g}\,

Las magnitudes \Theta \, y \phi\, son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.

En esta página estudiamos el comportamiento del péndulo simple cuando su amplitud es pequeña. En el capítulo de Oscilaciones estudiaremos el comportamiento del péndulo para cualquier valor de la amplitud

Fundamentos físicos

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

el peso mg

La tensión T del hilo

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.

Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe

man=T-mg·cosq

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la tensión T del hilo.

La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv2/l

Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0

Principio de conservación de la energía

En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.

Comparemos dos posiciones del péndulo:

En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial.

E=mg(l-l·cosθ0)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

La energía se conserva

v2=2gl(cosθ-cosθ0)

La tensión de la cuerda es

T=mg(3cosθ-2cosθ0)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at=dv/dt.

La segunda ley de Newton se escribe

mat=-mg·senq

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

(1)

Medida de la aceleración de la gravedad

Cuando el ángulo q es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es

q =q0·sen(w t+j )

de frecuencia angular w2=g/l, o de periodo

Un péndulo simple es uno tal, que se puede considerar como una masa puntual, suspendida de una cuerda o varilla de masa despreciable. Es un sistema resonante con una frecuencia de resonancia simple. Para pequeñas amplitudes, el periodo de tal péndulo, se puede aproximar por:

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Para una longitud de péndulo 

L =   cm =  my una aceleración de la gravedad  

g =  m/s2

el periodo del péndulo es 

T =   s

(Entrar datos para dos de las variables y luego haga clic sobre el texto activo de la tercera

variable a calcular.)

Esta expresión del periodo es razonablemente exacta para ángulos de unos pocos grados,

pero el tratamiento del péndulo de amplitud grande es mucho mas complejo.

Si la vara no tiene una masa despreciable, entonces debe ser tratada como un péndulo físico.

Sean Carroll relata la historia del descubrimiento de Galileo sobre el hecho de que para pequeñas amplitudes, el período y la frecuencia no se ven afectados por la amplitud. "Según se informa, en 1581, un joven Galileo Galilei hizo un descubrimiento revolucionario mientras estaba sentado y aburrido durante un servicio religioso en una iglesia de Pisa. La araña que pendia del techo sobre su cabeza, oscilaba suavemente hacia atrás y hacia delante, pero parecia moverse más rápidamente cuando el balanceo era más amplio (por ejemplo, después de una ráfaga de viento), y más lentamente cuando el balanceo era más corto. Intrigado, Galileo decidió medir el tiempo que duraba cada oscilación, utilizando para ello el único evento aproximadamente periódico al que tenia fácil acceso: los latidos de su propio pulso. Encontró algo interesante: el número de latidos del corazón entre los vaivenes de la araña era más o menos el mismo, independientemente de si las oscilaciones eran anchas o estrechas. El tamaño de las oscilaciones - la amplitud del recorrido del péndulo hacia adelante y hacia atrás-, no afectaba a la frecuencia de estas oscilaciones.

Indice

Conceptos sobre

Movimiento Periódico

HyperPhysics*****Mecánica M Olmo R NaveAtrás

Movimiento del PénduloEl movimiento de un péndulo simple es como un movimiento armónico simple en donde la ecuación para el desplazamiento angular es

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Que tiene la misma forma que el movimiento de una masa sobre un muelle:

La frecuencia angular del movimiento está dada por

comparada a para una masa sobre un muelle.

La frecuencia del péndulo en Hz está dada por

y el periodo del movimiento es entonces

.

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Conceptos sobre

Movimiento Periódico

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Periodo de Péndulo SimpleUna masa puntual colgando de una cuerda sin masa, es un ejemplo idealizado de unpéndulo simple. Cuando se desplaza desde su punto de equilibrio, la fuerza de restauración que lo trae de nuevo al centro, está dada por:

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Para pequeños ángulos θ, podemos usar la aproximación

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en cuyo caso la segunda ley de Newton toma la forma

Aún en este caso aproximado, la solución de la ecuación hace uso de las ecuaciones y cálculo diferencial. La ecuación diferencial es

y para pequeños ángulos θ la solución es:

Fundamentos Teóricos

Péndulo simple: sistema mecánico que se mueve en un movimiento oscilatorio. Un péndulo simple se compone de una masa puntual m suspendida por una cuerda ligera supuestamente inextensible de longitud L, donde el extremo superior de la cuerda está fijo, como se muestra a continuación:

Objetivos

Estudiar el comportamiento del período en función:

El ángulo de oscilación

La masa de oscilación

2. La longitud del péndulo

El movimiento ocurre en un plano vertical y es accionado por la fuerza gravitacional. Considerando que el péndulo oscila libremente (sin roce) se puede demostrar que su movimiento es un movimiento armónico simple, siempre y cuando la amplitud de su oscilación sea pequeña. Las fuerzas que actúan sobre la masa son las fuerzas ejercidas por la cuerda T y la fuerza gravitacional mg. la componente tangencial de la fuerza gravitacional, mg sen , actúa siempre hacia = 0, opuesta al desplazamiento. Por consiguiente, la fuerza tangencial es una fuerza restauradora, y podemos escribir la ecuación de movimiento en la dirección tangencial:

Ft = -mg sen = m d2s

dt2

Donde s es el desplazamiento medido a lo largo del arco y el signo (-) indica que Ft actúa hacia la posición de equilibrio. Puesto que s=Ly L es constante, esta ecuación se reduce a:

d2 = -g sen

dt2 L

Ecuación de movimiento para el péndulo simple ( pequeña)

d2 = -g

dt2 L

Ecuación de frecuencia angular del movimiento para el péndulo simple

g

L

Ecuación del periodo de movimiento para el péndulo simple

T = 22L

g

Materiales Y Equipos

Balanza

Escala semicircular

Cuerpos de diferentes masas

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos12/pensi/pensi.shtml#ixzz3Wa7VvMxV