Pensamiento algebraico

Universidad de Sonora

Departamento de Matemáticas

Programa de Maestría en Matemática Educa-tiva

Diplomado "La Enseñanza de las Matemá-ticas en la

Educación Secundaria"

Material Didáctico sobre Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico

Responsable:Villalba Gutiérrez Martha Cristina

Colaboradores:Del Castillo Bojórquez Ana GuadalupeMaricela Armenta Castro

Hermosillo, Sonora. Octubre de 2006

Álgebra: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico

Contenido:

Lección 1: Estableciendo Patrones

Actividad 1 De Fracciones a Decimales

Actividad 2 De Decimales a Fracciones

Lección 2: Un significado para las fracciones

Actividad 3 Ordenando Fracciones

Actividad 4 Interpretación de Fracciones y Unidades

Lección 3: Relaciones entre significado de las fracciones y Operaciones con frac-

ciones

Actividad 5 Regletas de Cuisenaire

Actividad 6 Otra Interpretación para las Fracciones

Actividad 7 Operaciones Decimales

Tarea: Otros Retos con Fracciones

Lectura: Block, David (2006) “Notas sobre el papel de la noción de razón en la construcción de

las fracciones en la escuela primaria”. En Matemáticas. Antología. Primer Taller de Actua-

lización sobre los Programas de Estudio 2006. Subsecretaría de Educación Básica

de la Secretaría de Educación Pública.

Elaboración de los Materiales:Responsable: Martha Cristina Villalba

Colaboradores: Ana Guadalupe del Castillo y Maricela Armenta Castro


Presentación

Todo el material gira alrededor de las fracciones y su representación decimal.

Se seleccionó este tema aritmético pues dada la diversidad de significaciones que tienen

las fracciones, proporciona un amplio campo para iniciar las reflexiones acerca de lo que

significan a su vez las representaciones numéricas, sus operaciones y las relaciones que

existen entre este “sentido numérico” y un tipo de pensamiento matemático –el algebrai-

co- que se explora a través de la identificación de patrones y su representación, así como

la expresión de propiedades de las operaciones que permiten validar los algoritmos pro-

puestos en este sistema numérico –los racionales.

Es claro que en un periodo de tiempo tan limitado, si bien no es posible realizar un activi-

dades que agoten el estudio de las fracciones, sus representaciones, sus relaciones, sus

validaciones, sus alcances, el dominio de las técnicas algorítmicas, etc., se tiene a favor el

hecho de que esta exploración tiene fines didácticos. Así, se busca que los participantes

retomen o verifiquen su propio conocimiento sobre estos asuntos con la finalidad de que

el proceso de estudio llevado a cabo para ello, les permita “refrescar” sus propias expe-

riencias de aprendizaje y estudio, resaltando aquellos momentos que tienen que ver con

la búsqueda de estrategias para enfrentar las tareas propuestas, el tipo de argumentos

utilizados para sostenerlas o rechazarlas, las formas de verificación realizadas, etc., para

dar pie a los momentos de análisis sobre el tipo de materiales didácticos con los que

cuentan (libros de texto, manipulables, software, materiales “en línea”, etc.) en los que se

discutirá su pertinencia, alcance y eficacia.

En las dos primeras actividades se aprovecha este tema de fracciones y su relación con

los números decimales para descubrir y establecer patrones. Los retos se fincan esencial-

mente en el descubrimiento de un patrón, su expresión y su verificación.

Particularmente se recurre a la caracterización de fracciones cuyo denominador es –o no

es-una potencia de 10 a través de las factorizaciones primas de sus denominadores, con

el fin de identificar las relaciones que existen entre éstas y las expansiones finitas e infini-

tas periódicas de los números decimales que representan. Se resaltan solamente las sig-

nificaciones de las fracciones en estos procesos como partes de un todo y como división.




No se proporcionan definiciones iniciales en cada actividad. Básicamente se espera que

cada participante –trabajando individualmente o en equipo-, al hacer las operaciones que

le parezcan convenientes, las organice en las tablas que se proporcionan. Esta sistemati-

zación de operaciones y resultados resulta ser un apoyo excepcional para provocar la

percepción y reflexión necesarias que conduzcan a descubrir el patrón aritmético involu-

crado. Cuando esto se logra, las operaciones de cálculo se simplifican y se hace posible

expresar, mediante simbología más compacta, el patrón descubierto. En cada caso, las

justificaciones o comprobaciones de la extensión y generalidad de la expresión obtenida

se hacen obligadamente necesarias.

Se proponen luego tres actividades que retoman uno de los significados de las fraccio-

nes, el de partes de una unidad, para revisar “el sentido” de sus elementos, su represen-

tación y los algoritmos asociados a las operaciones elementales de suma, resta, multipli-

cación y división.

Con el propósito de poner en evidencia la limitación de la validez del algoritmo de la suma

que impone algún significado asumido para la fracción, se propone la actividad seis, en la

cual justamente se expone un significado diferente que no admite como válido el algoritmo

clásico, pues esa nueva interpretación o significado requiere de un “sentido” también dife-

rente para la operación suma. Así mismo, cambia el sentido de los elementos que consti-

tuyen la fracción y se pone también de manifiesto el sentido relativo que se le proporciona

a la unidad.

Finalmente, en la actividad siete se espera que las significaciones y técnicas utilizadas en

las primeras actividades resulten herramientas útiles para darle sentido a las reglas de

“recorrer el punto” en los algoritmos comunes de la multiplicación y división de números

decimales.

Igualmente se proporciona en esta sesión la lectura “Notas sobre el papel de la noción de razón

en la construcción de las fracciones en la escuela primaria” (Block, David. 2006) la cual se espera anali-

zar en grupo. Si por razones de tiempo no se alcanza a hacerlo, se ha previsto el análisis

grupal a través de un foro virtual en el que las opiniones sean vertidas siguiendo un míni-

mo de cuestionamientos planteados en él.




Objetivos

Objetivo general de los materiales

Desarrollar habilidades del pensamiento algebraico a partir de reflexiones sobre relacio-

nes entre números decimales y fracciones, sus significados y sus operaciones

Objetivos específicos

1. Encontrar estrategias que permitan descubrir patrones y formas de expresarlos.

2. Expresar argumentos que justifiquen el ámbito y la validez de las expresiones

construidas

3. Identificar y relacionar propiedades de fracciones y decimales.

4. Identificar y expresar distintos significados para las fracciones.

5. Llevar a los profesores la experiencia de encontrar un sentido para el uso de las

operaciones de suma resta multiplicación y división y una justificación de los algo-

ritmos establecidos.

6. Explorar y reflexionar acerca del uso de las nuevas tecnologías como apoyo en la

enseñanza y aprendizaje de las fracciones.

Metodología

El seguimiento de las actividades que componen cada lección se sugiere que se haga en equipos

de tres personas, que se les de tiempo para que lleven a cabo las acciones requeridas en cada

punto con el fin de que puedan posteriormente socializar con el grupo sus resultados.

Para que las acciones que se proponen en las actividades cumplan con los objetivos propuestos

es necesario contar con un guía de estudio –en este caso el instructor- quien tendrá la función de

organizar los procesos de acción, construcción, reflexión y evaluación de la actividad para que en

su conjunto tenga el éxito esperado.

Aún cuando no se logre terminar alguna actividad en un tiempo limitado de clase, se sugiere espe-

rar a trabajarla en una siguiente sesión todo el grupo. Consideramos que es más conveniente re-

currir a tareas consistentes en búsqueda de contenidos relacionados con este material en los li-




bros de texto y materiales oficiales para la secundaria. Si cada profesor encuentra una referencia

con lo que se busca hacer en el salón de clase, será más atractivo el estudio que aquí se propone.

Aún la lectura indicada es conveniente hacerla en el grupo como “lectura comentada”, pues son

múltiples las oportunidades de reflexión que de esta manera se aprovechan.



Secuencia deSecuencia de ActividadesActividades



Actividad 1

De Fracciones a Decimales

PARTE A: Decimales Finitos

El asesor mostrará al grupo una serie de fracciones sencillas. Usted solamente tie-ne que fijarse en ellas y predecir si la representación decimal que le corresponde a cada una es finita o no.

1. Una fracción unitaria es una fracción cuyo numerador es 1. En la siguiente tabla se enlistan las representaciones decimales para las fracciones unitarias ; llene las ca-sillas que faltan.

Fracción DenominadorFactorización

Prima

Número de lugares

decimales

RepresentaciónDecimal

1/2 2 21 1 0.5

1/4 4 22 2 0.25

1/8 8 23 3 0.125

1/16

2. ¿Encuentra usted alguna relación entre estas representaciones decimales y las potencias de cinco?

Comente con sus compañeros.




3. Complete la tabla que sigue (fracciones unitarias cuyos denominadores son poten-cias de dos) para verificar o rechazar su conjetura:


Prima

Número de lugares

decimales


1/2 2 21 1 0.5

1/4 4 22 2 0.25

1/8 8 23 3 0.125

1/16 16

1/32 32

1/64 64

1/1024 1024

1/2n 2n

4. Explique cómo encontró la expresión decimal para 1/2n

5. Ahora complete la tabla que muestra fracciones unitarias cuyos denominadores son potencias de cinco y observe igualmente el patrón que siguen sus representa-ciones decimales:




Prima

Número de lugares

decimales


1/5 5 51 1

1/25 25 52 2

1/125 125 53 3

1/625 625

1/3125 3,125

1/15625 15,625

1/5n 5n


6. Registre cómo encontrar la representación decimal de 1/5n

7. Ahora que ya tiene los registros en las tablas anteriores, complete la siguiente ta-bla para ver qué sucede cuando se combinan las potencias de 2 y de 5:

8. Comente sus resultados y registre sus observaciones:




Prima

Número de lugares

decimales


1/10 10 21 51

1/20 20 22 51

1/50 50 21 52

1/200 200

1/500 500

1/4000 4000

2n 5m 2n 5m

Todas las fracciones que se han revisado hasta ahora se convierten en decimales finitos; esto es, sus representaciones decimales equivalentes tienen un número finito de lugares decimales. Otra manera de describir esto es que si usamos la división para convertir la fracción a decimal, llegará el momento en el que el residuo será cero


9. ¿Cree usted que las fracciones cuyos denominadores tienen como factores única-mente potencias de 2 y/o 5 se pueden representar siempre mediante expansiones decimales finitas? ¿por qué sí o por qué no?Comente en el grupo sus respuestas.

PARTE B: Decimales Periódicos

Vamos ahora a investigar un poco sobre lo que pasa con las fracciones unitarias

cuyos denominadores tienen otros factores primos además de potencias de 2 ó 5 .

10. Llene la siguiente tabla para fracciones unitarias con denominadores primos me-nores que 20 (¿por qué solamente los primos?). Asegúrese de que en su calcula-dora aparecen todos los dígitos que corresponden a las expansiones finitas, o bien, el período completo de aquellas que no lo son.




Revise los siguientes tres puntos para “curiosear” un poco más por su cuenta:

11. Note que el número de dígitos del período de 1/7 es seis, o sea, uno menos que el denominador. ¿Por qué el período de esta fracción no puede tener más de seis dí-gitos?

12. ¿Las expansiones para los denominadores 17 y 19 siguen el mismo patrón que el período del denominador 7?

13. Describa el comportamiento de los períodos correspondientes a las fracciones 1/11

y 1/13



Fracción DenominadorNúmero de Dígitos del

Período


1/2 2 finito

1/3 3 1

1/5 5 finito

1/7 7 6

1/11 11

1/13 13

1/17 17

1/19 19


....Y si tiene más curiosidad por verificar lo que hasta ahora ha observado, fíjese en la siguiente

tabla, exprese –o discuta con alguien tan curioso como usted- lo que nota en las expansiones, y

después llene los espacios vacíos:

Finalmente...

¿Puede predecir –sin hacer el cálculo- cuántos dígitos tendrá el período de la representación decimal

correspondiente a 1/47?



Fracción DenominadorNúmero de Dígitos del

Período


1/23 23 0.0434782608695652173913...

1/29 29 0.0344827586206896551724137931...

1/31 31 0.032258064516129...

1/37 37

1/41 41

1/43 43 0.023255813953488372093...



Actividad 2

De Decimales a Fracciones

¿Por qué es deseable convertir fracciones a decimales y decimales a fracciones? Se po-dría responder que algunas veces los cálculos mentales son más fáciles con unos que con otros. Por ejemplo, parece ser más fácil multiplicar por ¾ que por 0.75 . Por otra par-te es más fácil dividir entre 2 que multiplicar por 0.5. ¿Usted qué piensa?

En la actividad anterior, usted estableció que para cada número racional es posible deter-minar su representación decimal, y además es también posible predecir si ésta será finita o infinita-periódica.

1. Ahora estamos en la situación inversa: Si usted tiene un decimal a la vista ¿siem-pre será posible expresarlo como fracción? Argumente su respuesta y comenten en grupo.

Revise la definición de número racionali

2. Exprese en forma de fracción los siguientes números decimales:a. 0.125 __________b. 0.5436 _________c. 0.001__________d. 2.08 ___________

Entonces, si la expansión decimal es finita, ¿cómo se expresa en forma de fracción?

iDefinición: Número Racional es aquel que puede ser expresado como fracción de números enteros y cuyo denominador es diferente de cero




Y si la representación decimal tiene una expansión periódica infinita ... ¿Cree usted que tendrá una representación correspondiente en forma de fracción? ________ ¿por qué?

3. ¿Puede usted expresar en forma de fracción los siguientes números decimales?

a. 0.125125... _____________

b. 0.54365436... _____________

c. 0.2363636... ______________

Trate de expresar el procedimiento a seguir - y el argumento que lo justifica- en cada uno de los casos anteriores:





Actividad 3

Ordenando FraccionesMétodos Intuitivos

1. Explique a sus compañeros qué método mental rápido utiliza para determi-nar:

a. si una fracción es mayor que 1 b. si una fracción es mayor o menor que 1/2

2. Agrupe las siguientes fracciones según correspondan al intervalos señala-

dos:

entre 0 y 1/2, ________________________________________

o al intervalo entre 1/2 y 1, ______________________________

¿Cómo lo hizo?_____________________________________________________________________________________________

3. Comente y anote algunos recursos intuitivos para comparar fracciones que tienen:

a. El mismo denominador

b. El mismo numerador

c. Fracciones cuyo numerador y denominador tienen una diferencia de

una unidad, por ejemplo




d. Fracciones cuyo numerador y denominador tienen la misma diferen-

cia, por ejemplo

4. Escriba en orden ascendente las fracciones siguientes haciendo uso de los criterios anteriormente descritos:

a. _______________________________________

b. ___________________________________________

c. ____________________________________________

d. ___________________________________________

e. ___________________________________________

5. Para concluir, utilice la referencia de los intervalos y los métodos o criterios antes utilizados para organizar las siguientes fracciones en orden ascen-dente :

6. Piense en una actividad-juego para el salón de clase en la que los estudian-tes ordenen fracciones con métodos similares a éstos, comente con sus compañeros y descríbala brevemente:





Actividad 4Interpretando Fracciones y Unidades

Al enfrentar problemas con fracciones puede que en el contexto esté o no definida la “unidad” —ya sea explícita o implícitamente. Cuando no es así, la situación se torna ambigua y es necesario tratar de definir la unidad antes de emprender cualquier cálculo entre tales fracciones.

A continuación se presentan algunos casos de unidades ambiguas:

1. La parte sombreada puede representar 5, o , o , o .

Mencione la unidad en cada caso.

2. Los siguientes seis puntos están espaciados uniformemente en una línea, ¿qué fracción le corresponde al punto E? Comente cómo puede determinarlo.

3. La parte sombreada en la siguente figura es .

a. Especifíque la unidad que está definida implícitamente. ___________________

b. Si se usa la misma unidad, qué parte representan cuatro rectángulos pe-queños?____________________

c. Mencione otros tres o cuatro valores que podría representar la parte som-breada de la figura y determine la unidad correspondiente en cada caso:



31

A B D FEC

43


________ la unidad sería__________ , ________ la unidad sería__________

________ la unidad sería__________ , ________ la unidad sería__________

4. Tres rebanadas de jamón del mismo peso cada una, pesan juntas Kg. A Ramón

se le permite comer a lo más 95 gr. Jamón ¿Cuántas rebanadas completas se puede comer?

Lección 3: Relaciones entre significado de las fracciones y Operaciones con fracciones

Actividad 5Regletas de Cuisenaire:

Una representación gráfica para fracciones.

Antes de dar respuesta a esta actividad, atienda la presentación que hace su asesor del material didáctico “Regletas de Cuisenaire” y asegúrese de que cuenta con el material referido.

1. Después de haber visto el funcionamiento de las regletas de Cuisenaire, y hacien-do uso del material disponible, trate de dar respuesta a las siguientes cuestiones:

a. ¿Qué regleta utilizaría como unidad para hacer cálculos con quintos?____________

b. ¿Qué regleta utilizaría como unidad para sumar y restar medios y quintos?____________________________________

c. ¿Qué característica debe tener la regleta que se utiliza como unidad en re-lación a los denominadores de las fracciones con las que se hacen opera-ciones de suma o resta?

2. Utilice sus regletas para modelar las operaciones que siguen. Comente con sus compañeros los arreglos:

a.

b.




c.

d.

3. ¿Qué regleta o combinación de ellas puede ser utilizada como unidad para realizar las siguientes operaciones? Compare y comente.

a.

b.

c.

d.


Actividad 6

Otra Interpretación para las Fracciones

De acuerdo a lo que hemos visto en las actividades anteriores, un significado que le hemos dado a las fracciones tiene que ver con situaciones en las que el numerador indica el número de partes que se tomará de aquéllas en las que el que se han dividido el o los enteros, lo cual está a su vez indicado por el

denominador; por ejemplo, lo interpretamos como tres partes de un entero que




está partido en cuartos, o bien si tenemos es que estamos tomando 5 partes

de enteros divididos en cuartos. También hemos pensado en ellas como la indicación de dividir el numerador entre el denominador para determinar la representación decimal correspondiente.

1. ¿Cree usted que una expresión como las anteriores, por ejemplo , pue-

da representar alguna otra relación entre los números enteros 5 y 4?

2. ¿Cómo decide usted en cuál de las carteras de huevos que se muestran hay más huevos de cáscara obscura?

3. ¿Puede determinar cuál de las rampas tiene más inclinación (más eleva-ción)? ¿de qué manera?

4. Un bebé y un adulto aumentan dos kilos de peso en un mes ¿En qué senti-do razonamos cuando decimos que ambos aumentaron lo mismo y qué tipo de razonamiento es el que nos indica que el bebé tuvo más aumento de peso?



A

710

B


5. Describa el tipo de situaciones en las que la palabra “más” tiene un signifi-cado absoluto frente a situaciones en las que su significado es relativo:

6. ¿Qué papel juegan las expresiones escritas como fracciones en estos ca-sos de comparación entre cantidades?

7. ¿Piensa usted que las reglas para las operaciones elementales entre frac-ciones que hemos revisado hasta ahora sigan funcionando para el significa-do de “razón”? Explore un poco con la siguiente situación:

Isabel tiene tres pelotas rojas y cuatro blancas, por lo que la razón de rojas a blancas es

(tres a cuatro). Si Alex le da a Isabel otra pelota roja y dos blancas (una razón de )

¿cuál el la nueva razón de pelotas rojas a blancas que tiene Isabel?

Comente con sus compañeros lo que observa como resultado.

Una confirmación de que las sumas entre razones se efectúan de numerador a numerador y denominador a denominador la escuchamos seguido en el ambiente beisbolero:

Si en un juego un bateador “pega” dos hits en tres turnos al bat y en un segundo juego batea un hit en cuatro turnos, en total lleva tres hits en siete turnos.

Exprese mediante razones esta situación _____________________

¿Cuál es el porcentaje de bateo de este jugador?)

___________________





Actividad 7

Encontrando significado para los procesos de multiplicación y división con decimales

Lo que hemos visto en las primeras actividades de esta sesión, nos permiten dar

significado a los decimales con expansión finita como fracciones cuyo denomina-

dor es alguna potencia de 10. Con esto en mente podemos dar sentido a algunas

cuestiones que surgen cuando multiplicamos o dividimos este tipo de decimales,

por ejemplo:

¿Por qué al multiplicar decimales, para establecer el lugar del punto

decimal en el producto lo que hacemos es sumar el número de dígitos

que tiene la parte no entera de ambos factores?

Para multiplicar lo que comúnmente hacemos –más o menos-, es

efectuar la operación como y luego vemos que como hay 1 dígito no entero

en el primer factor y 2 en el segundo, decimos que debe haber 1+2 =3 lugares

decimales en el resultado (la expansión no entera debe ser de 3 dígitos). O sea, el

resultado es 0.006

En el desarrollo que se presenta enseguida, llene los espacios que hacen falta al efectuar la misma operación mediante las fracciones correspondientes (con denominadores expresados como potencias de 10) para que justifique el procedimiento común antes descrito:




¿Por qué recorremos los puntos decimales cuando dividimos?

Al dividir lo que hacemos es recorrer el punto decimal dos lugares a la

derecha, que es el número de dígitos no enteros que tiene el divisor. Visualizar la

razón para esto requiere que recurramos al sentido de “división” que le damos a

las fracciones. Es decir, podemos escribir esta división como la fracción .

Al hacerlo, nos damos cuenta que para encontrar ahora algún sentido a esta

expresión, requerimos que al menos el denominador sea entero... Llene los

espacios en el desarrollo siguiente :

Tarea

Otros Retos con Fracciones

I. Decimales a fracciones:a Encuentre la fracción equivalente a 0.142857.b Encuentre la fracción equivalente a 0.142857142847....

II. Patrones en las expansiones decimales.

a Franco y Chelita estaban calculando la expansión decimal de . Ya que

Franco estaba trabajando sobre los márgenes de una hoja ya impresa, no tenía espacio para escribir su respuesta. Por ello continuó escribiendo los dígitos en la siguiente línea, y al final, su respuesta quedó así:

0. 052 631 578 947 368 421




Franco se dio cuenta que había un patrón en esos números. Describa este patrón

b Chelita hizo su cálculo en una libretita muy angosta, de tal modo que su respuesta quedó así:

0. 052 631 578 947 368 421

Después de de darse cuenta del patrón de Franco, ella trató de encontrar al-guno en su respuesta. ¿Qué observaciones puede hacer usted sobre el patrón de Chelita?

c David se dio a la tarea de calcular la expansión de , pero se sintió de-

masiado cansado cuando llevaba la expansión en:

0.021 276 595 744 680 851 063 829 787

Franco no tuvo problema en terminar la expansión utilizando su patrón... ¿Qué tal si usted intenta también terminar la expansión y explicar el proceso de solución?

d ¿Tiene la longitud del período en su expansión algún sentido? Explique por qué sí o por qué no.

e Cuando Chelita vio el trabajo de David se dio cuenta de que su método ( el de ella) no iba a ser útil. Explique por qué no

f ¿Es posible predecir el período de si se conoce el período de (o sea, 6)?




Referencias Bibliográficas

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