PAG 1 a 22
PERMUTACIONES CON REPETICIONESpgina 1PERMUTACIONES CON
REPETICIONESHay casos en los que los elementos estn repetidos, de
manera que al intercambiarlos de posicin loque se obtiene es
exactamente lo mismo a lo que ya se tena. Se trata entonces de una
repeticin.Por ejemplo, si se tienen las letras BALA, cuando se
intercambian las con-sonantes se obtiene la palabra LABA. Si ahora
se intercambian las vocales, una A en el lugar de la otra A, ver la
figura 7, se obtiene LABA, que es lo mismo que ya se tena.Existen
dos tipos de repeticiones: simples y compuestas. Sobre la marchase
definirn cada una. Por lo pronto debe entenderse que mientras no se
diga otra cosa, se trata de repeticiones simples.figura
7CUANTIFICACINLas repeticiones se eliminan dividiendo entre el
factorial de cada clase repetida.nmero de permutaciones
=Evidentemente, igual que en las permutaciones sin repeticin, debe
vigilarse al plantear la solucin quese cumplan las condiciones del
enunciado del problema.Ejemplo 1: Cuntas palabras se pueden formar
con las letras LABA ?Solucin:En este caso,k1 = 2n = 4(A)de manera
queSi n es el nmero total de elementos, k1 es la clase 1 repetida
k1 veces, k2 es la clase 2 repetida k2 veces, etc., el nmero total
de permutaciones diferentes que se pueden obtener es n!k1! k2! k3!
...
Segunda forma: Con mayor simplicidad se puede realizar este
clculo razonando de la siguientemanera: Como las dos vocales que
existen son la misma, la palabra necesariamente deber comen- zar
con la A. Entonces, en el primer sitio se coloca en forma fija una
cualquiera de las dos A, lo que quiere decir que esa A no va a
intercambiar con ninguna otra letra porque va a quedarse fija all;
en el segundo lugar cualquiera de las cuatro letras que quedan
(incluida la otra A); luego tres y as sucesivamente.En total: no
hay ninguna condicin especfica que cumplir, de manera que solamente
hay que vigilar las posibles repeticiones cuando permuten las dos A
:pgina 2PROBABILIDAD Y ESTADSTICA IEjemplo 2:Cuntas palabras se
pueden formar con las letras CABAL,en total;que comiencen con
vocal;que lleven la slaba CA;que terminen en consonante?Solucin:En
este caso,k1 = 2n = 5(A)de manera queb) En este caso la condicin
que debe hacerse cumplir es que el primer sitio sea ocupado por
unavocal. Puede hacerse de dos formas:Primera forma: Considerando
que hay dos vocales, el primer sitio puede ser ocupado por
cual-quiera de esas dos vocales; pero como ambas son la misma (la
A), habr una repeticin:En este caso,k1 = 2(A)de manera queLo
anterior es cierto, pero equivale a "hacer para luego deshacer",
cuando se ponen dos A en elprimer sitio y luego se quitan las
repeticiones con la divisin del 2!. Eso se puede evitar y hacer el
clculo ms simple con el razonamiento de la siguiente segunda
forma.
d) Para hacer cumplir la condicin de que terminen en consonante,
el ltimo sitio solamente podr serocupado por una de las tres
consonantes que existen. Una vez ocupado este ltimo sitio, el
primer lugar podr ser ocupado por una de las cuatro letras que
quedaron, luego por tres y as sucesiva- mente. En este caso s est
contemplado que las dos A intercambien lugares, por lo que s habr
repeticiones.En este caso no hay ninguna repeticin ya que el primer
sitio fue ocupado exclusivamente por unade las A sin "quitarse de
all para nada", por lo que la otra A no podr intercambiar con ella
y, por lo tanto, no habr repeticiones. Y la condicin de que
comiencen con A se est cumpliendo.PERMUTACIONES CON
REPETICIONESpgina 3de manera quec) Para garantizar que la slaba CA
siempre existacomo tal, se considera CA como un slo elemento
(equivale a que nada ms haya cuatro letras).Eso significa que la
otra A podr permutar con to-do el conjunto CA, pero no podr nunca
intercam- biar posicin solamente con la A de la slaba CA, por lo
que no habr repeticiones.de manera queSe tiene quek1 = 2(A)de
manera que
Obsrvese que en el ltimo sitio se coloc una V tachada para
indicar que all no va una vocal, yaque eso implica necesariamente
que vaya una consonante. Aqu lo importante anotar es que no se
coloc arriba de esa cruz una C que indicara que all va una
consonante ya que la letra C es uno de los elementos a permutar y
eso provocara confusin.pgina 4PROBABILIDAD Y ESTADSTICA IEjemplo
3:Cuntas palabras se pueden formar con las letras CHACAL, que
lleven la slaba CA?Solucin:Para garantizar que la slaba CA siempre
exista como tal, se considera CA como un slo elemento(equivale a
que nada ms haya cinco letras). Eso significa que la otra A no podr
nunca intercambiar posicin con la A de la slaba CA, ni tampoco la C
que qued sola con la otra C de la slaba.Aparentemente con eso no
habr repeticiones ya que todos los elementos son diferentes; sin
embargo,la slaba fija CA puede intercambiar posiciones con la C y
la A sueltas simultneamente cuando stas dos queden juntas. Uno de
varios casos posibles est mostrado en la figura 8. Al final de
cuentas, ambas palabras son exactamente las mismas. Se trata de una
repeticin compuesta.figura 8El clculo se puede hacer contando todas
las palabras que lleven la slaba CA (hacindolos un soloelemento),
lo que incluye palabras que lleven una sola vez la slaba CA y las
que la lleven dos veces. Luego debern restarse las repeticiones
dadas por las permutaciones entre s de esas dos slabas CA
ejemplificadas en la figura 8. Para esto ltimo es necesario
considerar como un solo elemento a cada una de las slabas CA para
garantizar su existencia en cada palabra, lo que dara el
equivalente a cua- tro elementos solamente, como se muestra en el
siguiente diagrama, dondek1 = 2(CA)
PERMUTACIONES CON REPETICIONESpgina 54!en total son:5! = 120 12
= 1082EJERCICIO 2Cuntas palabras de cinco letras se pueden formar
con las letras MOROS,en total;que comiencen con vocal y terminen
con consonante;que comiencen y terminen con consonante;que lleven
las tres consonantes juntas?Cuntas palabras de cuatro letras se
pueden formar con las letras MOROS,en total;que comiencen con vocal
y terminen con consonante;que comiencen y terminen con
consonante;que lleven las tres consonantes juntas?Cuntas palabras
de cinco letras se pueden formar con las letras MOMOS,en total;que
comiencen con vocal y terminen con consonante;que comiencen y
terminen con consonante;que lleven las tres consonantes
juntas?Cuntas palabras de cuatro letras se pueden formar con las
letras MOMOS,en total;que comiencen con vocal y terminen con
consonante;
pgina 6PROBABILIDAD Y ESTADSTICA Ique comiencen y terminen con
consonante;que lleven las tres consonantes juntas?Cuntas palabras
de seis letras se pueden formar con las letras TODOTO,en total;que
comiencen con vocal y terminen con consonante;que comiencen y
terminen con consonante;que no lleven la slaba OD;que lleven la
slaba TO?Cuntas palabras de cinco letras se pueden formar con las
letras TODOTO,en total;que comiencen con vocal y terminen con
consonante;que comiencen y terminen con consonante;que no lleven la
slaba OD;que lleven la slaba TO;que no comiencen con la letra
D?Cuntas palabras de siete letras se pueden formar con las letras
TODOTOD,en total;que comiencen con vocal y terminen con
consonante;que comiencen y terminen con consonante;que lleven la
slaba TOD;que lleven en grupos todas las letras repetidas juntas
entre s (TT, OOO y DD);que no comiencen ni terminen con la letra
D?Cuntas palabras de seis letras se pueden formar con las letras
TODOTOD,en total;que comiencen con vocal y terminen con
consonante;que comiencen y terminen con consonante;que lleven la
slaba TOD;que lleven las dos T juntas entre s y las dos D tambin
(el grupo TT puede ir junto o separado del grupo DD);que lleven las
dos T juntas entre s y las dos D separadas;que lleven dos O juntas
entre s (no tres) ?.9) Un batalln est compuesto por tres mexicanos,
dos ingleses, cuatro franceses y tres holandeses. De cuntasmaneras
pueden acomodarse en una fila, tomando en cuenta nicamente las
nacionalidades,en total;que vaya un mexicano en el extremo derecho
de la fila;que vaya un mexicano a la derecha de la fila y un ingls
en el extremo izquierdo;que vayan todos los de misma nacionalidad
juntos entre s;que vayan todos los de misma nacionalidad juntos
entre s, pero sin juntarse un francs con un mexica- no?
