Apunte (#1) .  Facilitada por José Carrión. Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.Siguiendo la construcción resulta que el triágulo A´´B´´C´´ es simétrico del triángulo ABC respecto al punto O centro del cuadrado mayor.Por otra parte, los cuadriláteros ABC´´A´´ y A´´B´´CA son congruentes (tienen el mismo aspecto y área)La figura formada por los dos cuadrados menores, el triángulo ABC y su simétrico AB´C´ tiene un eje de simetría DE y se compone de dos cuadriláteros iguales DBCE y DEC´B´Si se gira DBCE un ángulo de 90° a la derecha con centro en B y se hace coincidir con ABC´´A´´, los hexágonos BCEC´B´D y A´´B´´CABC´´ son equivalentes. Si restamos de ambos los dos triángulos que forman parte de ellos, obtenemos el teorema de Pitágoras.

Apunte (#2).

Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se muestraPartimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuación construimos un cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anteriorEl lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b) 2. Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es

4 ( 1/2 a b) = 2 a by un cuadrado interior de lado c y área c 2.Igualando ambas áreas tendremos: (a + b) 2 = c 2 + 2 a b de donde a 2 + b 2 = c 2.

 Si las superficies S, S´ y S´´ son semejantes,

entoncesÁrea (S) = Área (S´) +

Área (S´´)

Apunte   (#3).  Generalización del teorema de Pitágoras.Para los semicírculos de la figura, a partir de la expresiónc 2 = a 2 + b 2 multiplicando ambos

miembros por   resulta

de dondeÁrea (Semicírculo S) = Área (SemicírculoS´) +

Área (SemicírculoS´´)

Apunte (#4). Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

 El triángulo ABC es rectángulo en C.

  Teorema del cateto.   En el triángulo ADC

En el triángulo BCA

Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones

Es decir:"En todo triángulo rectángulo un cateto es

  Teorema de la altura.   En los triángulos rectángulos ADC y DBC resulta:

h = m.tag(A) h = n.tag(B)Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones

h 2 = m.n.tag(A).tag(B) = m.n(puestag(A).tag(B) = tag(A).tag(90 - A) = 1).

Es decir:"En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre ella"

media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella"  Teorema de Pitágoras.   Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los catetos del triángulo ABC y sumando resulta:

a 2 = c.nb 2 = c.m

a 2 + b 2 = c.n + c.m = c (n + m) = >c 2

A partir del triángulo rectángulo MPT trazamos por M una paralela a la hipotenusa

(PT) y por P y T perependicualres a dicha paralela de forma que se determinan los

triángulos rectángulos MNP y VMT. También construimos sobre la hipotenusa el triángulo

rectángulo PST.

Apunte (#5).En T1 resulta sen (x) = b/c y en T4 sen (x) = PN /a de donde PN = ab/c y por construcción TV = PN = ab/cPor otra parte, en T4 cos (x) = MN/a y en T1 cos (x) = a/cde donde MN = a 2/c. Además en T3 sen (x) = VM/b = b/c de donde VM = b 2/c

(A partir de estos datos podemos comprobar que

A T2 = A T3 + A T4

pues los triángulos T2, T3 y T4 son semejantes; ver Apunte (#3)).

La figura así construida podemos mirarla de dos formas: formada por el rectángulo VNPT y el triángulo rectángulo T2 o bien por el rectángulo MPST y los triángulos T3 y T4.Evidentemente:

Área (VNPT) + Área (T2) = Área (MPST) + Área (T3) + Área (T4)

Calculando el área de cada una de estas composiciones, identificando y simplificando las expresión obtenida obtendremos el Teorema de Pitágoras.

Apunte (#1) .  Facilitada por José Carrión. Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.Siguiendo la construcción resulta que el triágulo A´´B´´C´´ es simétrico del triángulo ABC respecto al punto O centro del cuadrado mayor.Por otra parte, los cuadriláteros ABC´´A´´ y A´´B´´CA son congruentes (tienen el mismo aspecto y área)La figura formada por los dos cuadrados menores, el triángulo ABC y su simétrico AB´C´ tiene un eje de simetría DE y se compone de dos cuadriláteros iguales DBCE y DEC´B´Si se gira DBCE un ángulo de 90° a la derecha con centro en B y se hace coincidir con ABC´´A´´, los hexágonos BCEC´B´D y A´´B´´CABC´´ son equivalentes. Si restamos de ambos los dos triángulos que forman parte de ellos, obtenemos el teorema de Pitágoras.

Apunte (#2).

Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es la siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se muestraPartimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuación construimos un cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anteriorEl lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b) 2. Dicho cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es

4 ( 1/2 a b) = 2 a by un cuadrado interior de lado c y área c 2.Igualando ambas áreas tendremos: (a + b) 2 = c 2 + 2 a b de donde a 2 + b 2 = c 2.

 Si las superficies S, S´ y S´´ son

semejantes, entonces

Apunte   (#3).  Generalización del teorema de Pitágoras.Para los semicírculos de la figura, a partir de la expresiónc 2 = a 2 + b 2 multiplicando ambos miembros

por   resulta

de dondeÁrea (Semicírculo S) = Área (SemicírculoS´) + Área

(SemicírculoS´´)

Área (S) = Área (S´) + Área (S´´)

Apunte (#4). Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

 El triángulo ABC es rectángulo en C.

  Teorema del cateto.   En el triángulo ADC

En el triángulo BCA

Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones

Es decir:"En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella"

  Teorema de la altura.   En los triángulos rectángulos ADC y DBC resulta:

h = m.tag(A) h = n.tag(B)Multiplicando miembro a miembro ambas expresiones

h 2 = m.n.tag(A).tag(B) = m.n(puestag(A).tag(B) = tag(A).tag(90 - A) = 1).

Es decir:"En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre ella"

  Teorema de Pitágoras.   Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los catetos del triángulo ABC y sumando resulta:

a 2 = c.nb 2 = c.m

a 2 + b 2 = c.n + c.m = c (n + m) = >c 2

A partir del triángulo rectángulo MPT trazamos por M una paralela a la hipotenusa

(PT) y por P y T perependicualres a dicha paralela de forma que se determinan los

triángulos rectángulos MNP y VMT. También construimos sobre la hipotenusa el triángulo

rectángulo PST.

Apunte (#5).En T1 resulta sen (x) = b/c y en T4 sen (x) = PN /a de donde PN = ab/c y por construcción TV = PN = ab/cPor otra parte, en T4 cos (x) = MN/a y en T1 cos (x) = a/cde donde MN = a 2/c. Además en T3 sen (x) = VM/b = b/c de donde VM = b 2/c

(A partir de estos datos podemos comprobar que

A T2 = A T3 + A T4

pues los triángulos T2, T3 y T4 son semejantes; ver Apunte (#3)).

La figura así construida podemos mirarla de dos formas: formada por el rectángulo VNPT y el triángulo rectángulo T2 o bien por el rectángulo MPST y los triángulos T3 y T4.Evidentemente:

Área (VNPT) + Área (T2) = Área (MPST) + Área (T3) + Área (T4)

Calculando el área de cada una de estas composiciones, identificando y simplificando la expresión obtenida obtendremos el Teorema de Pitágoras.