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PLAN DE RECUPERACIÓN CURSO 17-18

2º BACHILLERATO MODALIDAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

NOMBRE: ................................................................................................... CURSO: ..........

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Los criterios de evaluación seleccionados para este nivel en el curso escolar 17-18

1. Utilizar procesos de razonamiento, de matematización y estrategias de resolución

de problemas en contextos reales (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o

probabilísticos), realizando los cálculos necesarios, comprobando las soluciones obteni-

das y expresando verbalmente el procedimiento seguido. Además, practicar estrategias

para planificar, de forma individual y en grupo, un proceso de investigación matemática, a

partir de la resolución de un problema y el análisis posterior, la generalización de propie-

dades y leyes matemáticas, o la profundización en algún momento de la historia de las

matemáticas; realizar demostraciones sencillas de propiedades o teoremas; y elaborar en

cada situación un informe científico escrito con el rigor y la precisión adecuados, analizar

críticamente las soluciones y otros planteamientos aportados por las demás personas,

superar bloqueos e inseguridades ante situaciones desconocidas, desarrollando actitudes

personales relativas al quehacer matemático y reflexionar sobre las decisiones tomadas,

valorando su eficacia y aprendiendo de ellas para situaciones similares futuras.

2. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando

cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, re-

creando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico

situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la reso-

lución de problemas; así como utilizar las tecnologías de la información y la comunicación

de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando in-

formación relevante en Internet o en otras fuentes, elaborando documentos propios, ha-

ciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos y compartiéndolos en entornos

apropiados para facilitar la interacción.

3. Utilizar el lenguaje matricial, para transcribir problemas reales al lenguaje algebrai-

co planteando sistemas de ecuaciones lineales y solucionarlos utilizando las operaciones

con matrices y determinantes y sus propiedades.

4. Estudiar la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y aplicar los

resultados obtenidos para representar funciones y resolver problemas.

5. Aplicar el cálculo de derivadas y su interpretación física y geométrica al estudio lo-

cal y global de funciones que representen diferentes situaciones y resolver problemas

contextualizados mediante el análisis de los resultados obtenidos al derivarlas, y la apli-

cación del teorema de Rolle, del valor medio y la regla de L’Hôpital.

2

6. Calcular integrales de funciones sencillas y aplicar los resultados para resolver pro-

blemas de cálculo de áreas de regiones planas contextualizados.

7. Utilizar el lenguaje vectorial para expresar situaciones y problemas geométricos y físicos en el espacio y utilizar las propiedades y las operaciones con vectores para resolverlos e interpretar las soluciones; además utilizar las ecuaciones de la recta y el plano para resolver problemas métricos y estudiar posiciones relativas, ayudándose para todo ello de programas informáticos.

8. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios, independientes o no, en experimentos

simples y compuestos e interpretarlas, utilizando para ello diferentes leyes, teoremas y

técnicas de recuento, con la finalidad de tomar decisiones ante diversas situaciones y ar-

gumentar su elección.

9. Identificar los fenómenos que se ajustan a distribuciones de probabilidad binomial y

normal en diferentes ámbitos y determinar la probabilidad de diferentes sucesos asocia-

dos para interpretar informaciones estadísticas.

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1ª EVALUACIÓN

1. a) Dibujar la región limitada por la funciones f(x)=x2 − 4x + 3 y g(x)=3 + 4x − x2 se-ñalando los puntos de corte entre ambas curvas.

2. b) Calcular el área encerrada entre las gráficas de las dos funciones del apartado a)

3. Un granjero dispone de 200 metros de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares de igual tamaño según se muestra en la figura. ¿Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada en los corrales sea máxima? (10 puntos)

4. Sea la función

0 x si ,x

0 xsi ,1-2x

x

)(2x

xf Estudia

a. Indicar su dominio y calcular la imagen de x=−2 b. Estudiar su continuidad. c. Estudiar su derivabilidad.

5. Dada la función f(x)=x4 − 6x2 + 4 a. Estudiar la monotonía y los extremos de la función b. Estudiar la concavidad, convexidad y los puntos de inflexión de la función

1. a) Derivar las siguientes funciones, dando los resultados simplificados al máximo:

xx

xx

ee

eexg

xsenxxarcsenxf

22

2222

ln)(1

4)(

b) Calcular los siguientes límites:

limx→

π

2

(1

cos x− tagx) lim

x→0ln(1+x)

1-𝑒𝑥

limx→0

(1 − cos 𝑥)𝑐𝑡𝑔𝑥

2. Se considera la función definida por:

f(x) = {𝑎𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑥 <

𝜋

2

𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑥 ≥𝜋

2

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad, en función de los parámetros a y b

b) Para los valores de los parámetros, en donde la función sea derivable en R, expresar como sería

la función f’(x)

3. Sabiendo que la recta tangente a la gráfica de la función en su punto de

inflexión es y = 2x+3.

a. Calcular las coordenadas del punto de inflexión

baxxxy 23 122

4

b. Calcular los valores de a y b

4. a) Sea la función

Estudia su continuidad y derivabilidad en x=0. Indicar su dominio.

b) Calcular el siguiente límite:

5. a) Halla los valores de a y b para que la función sea

derivable en todo .

6. Se considera la función

Determinar si existen valores de los parámetros a y b para los que f(x) sea derivable

en todo R. Justifica la respuesta

7. Determinar a y b en la función 18)( 23 bxaxxxf sabiendo que tiene un extremo en x=2, un punto de inflexión en x=3. Analizar si este extremo es máximo o mínimo y hallar sus puntos de inflexión.

8. Determina las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal (perpendicular a la

tangente) a la gráfica de la función f(x) = 2xex +x3−2

x2+4en el punto de abscisa x=0.

9. En la figura siguiente se muestra la parábola de ecuación f(x)= 4 – x2 y la recta “r” que pasa por los puntos

A y B de la parábola de abscisas respectivas -1 y 2. Hallar la ecuación de una recta “s” tangente a la parábo-

la f(x) y paralela a “r”.

)1(

)12(ln 2

1

xtag

xLimx

1 x si ,

x

bx

1 xsi 1),-sen(x a

)(5

xf

023

01

12

)(2 xsix

xsibxa

xsia

xf

x

0 x si ,x

0 xsi ,1-2x

x

)(2x

xf

5

10. a) El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica camiones viene dado por la función: B(x)= 1.2x − (0.1x)3

donde x es el número de camiones fabricados en un mes.

Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.

El beneficio máximo correspondiente a dicha producción. b) Dada la función g(x)=(ln x)x. Calcular g’(e).

11. Se quiere construir un marco para una ventana de un metro cuadrado de área. El coste del marco se estima en 125 € por cada metro de altura de la ventana y 80€ por cada metro de anchura. ¿Cuáles son las dimensiones del marco más económico? ¿A cuánto asciende dicho coste?

12. Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es de 50 € para la base; 60 para la tapa y 40 para cada pared lateral.

13. Obtener razonadamente dos números positivos, de forma que se cumplan los siguientes

requisitos: a. La suma de ambos debe ser 60 b. El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro resulte de valor

máximo.

14. En un concurso se da a cada participante un alambre de 2 m de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro

6

ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso.

15. Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente en forma de pris-ma recto de base cuadrada, de 50 m3 de volumen, que tenga superficie mínima para reducir su coste de producción.

16. Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:

a. La producción actual de la huerta. b. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más. c. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles

más. d. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la

producción sea máxima?

17. Determina las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal (perpendicular a la tangente) a la gráfica de la función f(x) = 2xexen el punto de abscisa x=0.

18. Determinar a y b en la función 18)( 23 bxaxxxf sabiendo que tiene un extremo en x=2, un punto de inflexión en x=3

19. a) Determina la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la función f(x) =

1x

1xLn

es paralela a la recta de ecuación 2x + 3y = 4

b) Obtén la ecuación de la recta tangente a la función dada en el punto de abscisa 3.

20. Determinar a y b en la función 18)( 23 bxaxxxf sabiendo que tiene un extremo en x=2, un punto de inflexión en x=3. Analizar si este extremo es máximo o mínimo y hallar sus puntos de inflexión.

21. Dada la función f(x) =x2+2x−2

x−1, estudiar: dominio, asíntotas, puntos de corte con los ejes,

regiones, monotonía y extremos.

22. Resolver las siguientes integrales:

dxx

xxxx 3 22 ··

7

23. Calcula las siguientes integrales

a. ∫ (𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos(1 − 3𝑥) + 2 cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥

b. ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥

24. Resolver las siguientes integrales:

dxx

xxxxa

3

3 2··)

b) ∫1+𝑥

1+√𝑥dx

25. Resolver las siguientes integrales:

dxx

xxxx 3 22 ··

dxx 9)32(

52

26. Calcula las siguientes integrales

a. ∫ (𝑠𝑒𝑛2𝑥 − cos(1 − 3𝑥) + 2 cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥

b. ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥

27. Resolver las siguientes integrales:

dxx

xxxxa

3

3 2··)

b) ∫ 1+x

1+√xdx

28. 1. Enunciado de la Regla de Barrow

2. Halla el valor de a>0, tal que

∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 9

2

𝑎−1

0

29. Calcular las siguientes integrales:

∫𝑥 + 1

𝑥2 − 9𝑑𝑥∫

𝑑𝑥

𝑥 + 3 + 5√𝑥 + 3

30. Dada la función f(x)= x3 – x. Calcular el área encerrada por la región limitada por la función y la recta tangente a la curva en x= -1. Dibujar el recinto.

31. Determina el área del recinto OABCDO sabiendo que el segmento curvilíneo BC, corresponde a un arco de la parábola de ecuación y=x2-6x+10

O(0,0); A(0,5),B(1,5);C(3,1);D(3,0)

8

32. Calcular el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones:

f(x)= 3x2 y g(x)= 4x− x3

33. Calcular:

a. ∫1−√𝑥

2𝑥dx

b. dxxsen 23

34. Calcular:

a.

dx

xx

x2

2

b. ∫ 𝑥√2𝑥2 + 1𝑑𝑥2

0

35. Hallar la función f(x)tal que f′′(x) =1

x2 , f(1)=0 y f(e)=1

36. Determinar el valor de a>0, para que el área de la región limitada por la curva y=x2 y la

recta y= ax sea igual a 9

2

37. ∫ x√2x2 + 1dx2

0

38. Calcular la siguiente integral

∫6𝑠𝑒𝑛𝑥

5 − 3 cos 𝑥

𝜋

0

𝑑𝑥

39. Resolver las integrales:

4

3

22)2)

xx

dxbdxxsena

40. Hallar el área del recinto limitado por la parábola 562 xxy , la recta tangente en x = 2 y el eje de ordenadas.

41. Determinar la función y = f(x) sabiendo que f’’’(x) = 24x, f(0) = 3, f’(0) = 1, f’’(0) =2.

42. Dibujar el recinto limitado por la curva y=x2, la bisectriz del primer y tercer cuadrante, el

eje de abscisas y la recta x=2 y calcular su área. 43. Calcular el área del recinto comprendido entre la gráfica de la función f(x)=x3-6x2+8x y el

eje OX. Representar aproximadamente el recinto. 44. Dada la región plana limitada por la curva f(x)= x(x-2)(x-3) y la recta de ecuación y=0

a. Dibujar el recinto.

b. Calcula el área de dicho recinto. 45. Dada la función

9

c. Encuentra una primitiva de f(x)

d. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x) y el eje de abscisas entre x = 0 y x = 9.

46. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x− x2 y las rectas tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX. Representar el recinto.

47. Calcular las siguientes integrales:

∫𝑥+ln𝑥

𝑥𝑑𝑥 ∫

2𝑥−√𝑥

𝑥2

2

1 dx

∫𝑑𝑥

𝑥 + 3 + 5√𝑥 + 3

48. Se sabe que la gráfica de la función f(x)=x3+ax2+bx+c es la que aparece en el dibujo.

a. Determinar la fun-

ción

b. Calcular el área de

la región som-

breada

49. Calcular el área de la región

del plano limitada por la curva f(x)=|x2 − 4x + 3|. Representar el recinto.

10

2ª EVALUCIÓN

1. a)Discutir el sistema según los valores del parámetro a :

{

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −23𝑥 + 𝑦 + 𝑎𝑧 = 1

5𝑥 + (𝑎 + 1)𝑦 + 2𝑧 = 4

b) Resolver para a=0

2. a) Hallar la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1,-1,1) y B(0,-3,2) y es paralelo al eje OY. b) Ecuación de la recta perpendicular al plano anterior y que pasa por el punto P(1,-1,0) en forma paramétrica y como intersección de dos planos.

3. Se consideran los puntos A(0, 5, 3), B(0, 6, 4), C(2, 4, 2) y D(2, 3, 1) y se pide: a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios y que el polígono ABCD es un

paralelogramo.

b) Calcular el área de dicho paralelogramo y la distancia ente A y D

4. Considera la matriz A =

a- 1 4

3 a 0

1- 0 1

a) Halla los valores del parámetro a para que la matriz sea inversible. (3 puntos)

b) Calcular la matriz X en la ecuación matricial A X = B, siendo A la matriz anterior

para a=-1 y 𝐵 = (10−1

)

5. Dada la matriz A:

100

010

501

A

a) Calcular A2 – 2 At + I (I matriz identidad, At traspuesta de A)

b) Calcular A10

6. Dada la matriz A

𝐴 = (1 0 40 𝑚 1−1 3 −𝑚

)

a. Determinar los valores del parámetro m para los que la matriz A tiene inversa

b. Calcular la inversa de la matriz A para m=2

7. Considera la matrices A = (−1 0 13 1 −12 1 0

) B=(2 −1 10 1 32 −2 1

)

Calcular el rango de M=A·B

11

8. Sabiendo que |𝑧 0 2𝑦 −1 2𝑥 1 2

| = 7 Halla sin desarrollar el valor de:

|𝑧 3𝑧 𝑧 + 2𝑥 3𝑥 + 1 𝑥 + 2𝑦 3𝑦 − 1 𝑦 + 2

|

explicando las propiedades de los determinantes que utilizas 9. Se dice que una matriz cuadrada A es involutiva si cumple que A2 = I, donde I denota la matriz

identidad.

a. Justifica razonadamente que toda matriz involutiva tiene inversa (es decir que es regular o inversible)

b. Determina para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es invo-lutiva

10. Dadas las matrices A y B

a. Calcular A15 y A20 b. Resolver la ecuación matricial 6 X = B – 3 A X, donde X es una matriz cuadra-

da de orden 3 11. Dada la matriz:

𝐴 = (𝑎 1 11 𝑎 11 1 𝑎

)

a. Estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro a.

b. Obtener la matriz inversa de A para a =-1.

12. Sabiendo que

|𝑎 𝑏 𝑐1 1 1𝑥 𝑦 𝑧

| = 2, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑙𝑎𝑠𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑑𝑒𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 sin 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟

a. |1 1 12𝑎 2𝑏 2𝑐

𝑥 − 1 𝑦 − 1 𝑧 − 1| = b. |

𝑎 + 2𝑥 𝑏 + 2𝑦 𝑐 + 2𝑧1 1 1𝑥 𝑦 𝑧

| =

b. |𝑎 −1 −𝑥−𝑏 1 𝑦−𝑐 1 𝑧

| =

12

13. Considera la matriz 𝐴 = (𝑎 10 −𝑎

) siendo “a” un número real.

a. Calcular el valor de “a” para que 𝐴2 − 𝐴 = (12 −10 20

)

b. Calcula, en función de a, el determinante de At

14.

a) Hallar la matriz A que verifica la ecuación:

(1 2 32 3 13 1 2

) · 𝐴 = (666)

b) Dadas las matrices:

𝐴 = (2 3 0−7 −5 −21 −1 0

) ; 𝐵 = (−1 20 32 1

); C=(0 2 −13 −4 0

)

Calcular el determinante de B·C-2At

15. Calcular el rango de la matriz según los valores del parámetro a

16. Ejercicio

a) Considera los vectores �⃗� = (2, −1,4) y �⃗⃗� = (0,3,𝑚). Hallar el valor de mR para que los vectores sean ortogonales.

b) En el caso m=0. Calcula el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores �⃗�

y �⃗⃗�.

c) Sean �⃗⃗� y �⃗� dos vectores tales que: (�⃗⃗� + �⃗�) · (�⃗⃗� − �⃗�) = 17 y |�⃗⃗�| = 9. Calcular |�⃗�| (módulo de �⃗�)

17. Ejercicio

a. Estudia, en función del parámetro kR, la posición relativa de los planos π x y

z 1 y π’ x y k2 z k

b. Existe algún valor de k para el que los planos π y π’ sean perpendiculares?

18. Ejercicio

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según el valor del parámetro λ y resolver para λ=2

x + λy + z − 4 = 0; x + 3y + z − 5 = 0; λx + y + z − 4 = 0

13

19. Ejercicio

a) Hallar la matriz A que verifica la ecuación:

(1 2 32 3 13 1 2

) · 𝐴 = (666)

b) Dadas las matrices:

𝐴 = (2 3 0−7 −5 −21 −1 0

) ; 𝐵 = (−1 20 32 1

); C=(0 2 −13 −4 0

)

Calcular el determinante de B·C-2At

20. Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres

mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros, respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40.500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30% de las cajas.

21. Dados los vectores 1,1,1,1,,2,2,,1 wavau

a) Hallar el valor de a para que los vectores sean linealmente dependientes.

b) Si a = 1, expresar 2,0,6b como combinación lineal de wvu ,, .

22. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,2) y es perpendicular al

plano determinado por los puntos (1,0,1), (3,2,1) y (2,-1,0). Expresarla como intersección de dos planos.

23. Sean los puntos P(3,1,5) y Q(-1,7,3). Por el punto medio del segmento PQ se traza un plano perpendicular a PQ. Este plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos A, B y C. Calcular el área del triángulo ABC.

24. Sean el punto P(1,-3,2), la recta

632

032

zyx

zyxr

y el plano 154 zyx . Se pide:

a) Vector director de la recta. b) Ecuación continua de la recta que pasa por P y es paralela a r.

c) Ecuación del plano que pasa por P y es paralelo a . d) Ecuación del plano que contiene a la recta r y al punto P. e) Punto del plano π que tiene las tres coordenadas iguales.

25. Sea r la recta

2

3

1

z

yx

r

, contestar razonadamente si son verdaderas o falsas las siguientes cuestiones:

a) El punto P(1,2,2) pertenece a la recta.

b) 0,2,0v es un vector director de la recta.

14

c) La recta r es coincidente con la recta

2

3

1

2

z

yx

s

d) La recta r está contenida en el plano 02 zyx

26. Calcular BAt · siendo A y B las matrices que verifican

27. Discutir y resolver, en su caso, en función de los valores del parámetro el sistema

03

02

zyx

kzky

zkx

. Interpretación geométrica (tres planos)

28. Sea r la recta

2

3

1

z

yx

r

, contestar razonadamente si son verdaderas o falsas las siguientes cuestiones:

a) El punto P(1,2,2) pertenece a la recta.

b) 0,2,0v es un vector director de la recta.

c) La recta r es coincidente con la recta

2

3

1

2

z

yx

s

d) Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

2

13

z

y

x

r

e) La recta r está contenida en el plano 02 zyx

29. Calcular la ecuación de la recta r que pasa por el punto (1,-1,2) y es paralela al plano

determinado por los puntos (1,0,1), (3,2,1) y (2,-1,0). Expresar la recta r como intersección de dos planos.

a) Dar la ecuación general de un plano ’ paralelo a y que pase por el origen de coordenadas

4110

3003

151

1072

BA

BA

15

3ª EVALUCIÓN

1. En un comercio se vende gofio de tres marcas (A, B y C) en paquetes de un kilogramo. Dos

séptimas partes son de la marca A, cinco novenas partes son de la marca B y el resto es de la

marca C. A veces algún paquete de gofio presenta defectos que no lo hacen apto para su co-

mercialización. Esto ocurre en el 0,3% de la marca A, en el 0,5 % de la marca y en el 0,4% de

la marca C. Si un cliente del comercio elige al azar un paquete de gofio,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga defectos?

b) Si presenta defectos, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?

2. Una máquina produce tornillos. Por término medio, el 2%de ellos son defectuosos. Se empa-

quetan en cajas de 100. Calcular las probabilidades de que en una caja:

a. Haya exactamente 3 defectuosos

b. Haya alguno defectuoso.

c. ¿Cuántos tornillos defectuosos hay en cada caja por término medio?

3. De dos sucesos A y B sabemos que: 𝑝(�̅�) = 0.48𝑝(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.82𝑝(𝐵) = 0.42

a. ¿Son los sucesos A y B independientes? Razona la respuesta

b. b) ¿Cuánto vale P[A / B]?

4. En una gran empresa el 55% son hombres. Entre los hombres, son fijos el 30%, y el resto tem-

porales. Entre las mujeres, son fijas el 60% y el resto temporales.

a. Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado.

b. Qué proporción de trabajadores fijos y que proporción de trabajadores temporales tiene

la empresa?

Construir el árbol de probabilidades ramificando primero por tipo de contrato y luego por sexo.

5. Una ciudad dispone de un carro de bomberos y una ambulancia para emergencias. La probabi-

lidad de que el carro de bomberos esté disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabiidad

de que esté disponible la ambulancia es de 0.92. En caso de un herido en un incendio calcule la

probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estén disponibles supo-

niendo que operan de forma independiente. Sol 0.9016

6. Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades de las cuales 5 están de-

fectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se retiran de la caja uno después del otro, sin

reemplazar el primero. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos? Sol

1/19

7. Cierto organismo de gobierno emplea tres empresas consultoras A, B y C con probabilidades

de 0.4, 0.35 y 0.25 respectivamente, para estudiar si existe un exceso en los costos de gestión

de dicho organismo. Se sabe por experiencia que las probabilidades de que las empresas reba-

sen los costos son de 0.05, 0.03 y 0.15 respectivamente.

8. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudio de las consultoras muestre como resultado un exceso

en los costos de gestión? Sol 0.068

9. Si el resultado ha sido un exceso en los costos de gestión. ¿Cuál es la probabilidad de que la

empresa consultora que ha concluido dicho resultado sea la empresa C? Sol 0.5514

10. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudio de las consultoras concluya que no existe un exceso

en los costos de gestión?. Sol. 0.932

11. Considere un proceso industrial en la rama textil en el que se producen listones de u na tela es-

pecífica. Los listones pueden tener defectos en dos de sus características la longitud y la textu-

ra. A partir de la información histórica del procesos se sabe que solo el 10 % de los listones no

pasan la prueba de longitud, el 5 % no pasan la prueba de textura y solo el 0.8 % no pasan am-

16

bas pruebas. Si se elige un listón al azar y no pasa la prueba de longitud. ¿Cuál es la probabili-

dad de que la textura esté defectuosa? Sol 0.08

12. La probabilidad de que un vuelo programado salga a tiempo es de 0.83, la probabilidad de que

llegue a tiempo es 0.82 y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es 0.78. Calcule la

probabilidad de que un avión

a. Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo. Sol. 0.939

b. Salió a tiempo dado que llegó a tiempo. Sol 0.951

c. Llegue a tiempo dado que no salió a tiempo. Sol 0.235

13. Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde

5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable. Sol

Desfavorable.

14. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale 1 o número primo, gana tantos cientos de euros

como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca

el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego. Sol.

16.667

15. Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo

premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por

la papeleta? Sol. 11 €

16. Cuatro personas apuestan 1€ a que saldrá un número en un dado, cada uno a un número dife-

rente. Entonces por cada euro apostado si se gana recibes 3 euros más. ¿Saldrá a cuenta apostar

en este juego? . Sol por cada euro apostado se pierde -0.33

17. Lanzamos 4 monedas. Por cada cara que salga ganamos 5 euros, pero debemos pagar 3 euros

por jugar. ¿Cuánto esperas ganar en una jugada? ¿y en 20 jugadas? ¿y en 100?. Sol

18. Se sacan tres cartas seguidas sin reemplazo de una baraja ordinaria. Encuentre la probabilidad

de que la primera sea un as rojo, la segunda un 10 o una jota y la tercera sea mayor que 3 pero

menor que 7. Sol 8/5525

19. (EBAU ULL 2016 junio) Del alumnado que se matricula en la universidad el 60% acaba la ca-

rrera elegida, de los cuales el 45% son chicos. El 25% cambia de carrera, de los cuales el 30%

son chicas. Y el 15% deja los estudios, de los que el 50% son chicos:

a. Realizar un diagrama de árbol.

b. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico?. Sol 0,52

c. Elegido un chico al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de carrera?. Sol 0,3365

20. (EBAU ULL 2017 Julio) El 30% de los videojuegos que se consumen en España se juegan en

PC, el 45% en consola y el resto en el móvil. De los que se juegan en PC, el 50% son de ac-

ción, el 40% de estrategia y el resto de otras categorías. De los que se juegan en consola, el

70%, son de acción, el 10% de estrategia y el resto de otras categorías. De los juegos para mó-

vil, un 25% son de acción, otro 25% de estrategia y el resto de otras categorías.

a. Construir el árbol de probabilidades.

b. ¿Qué proporción de los videojuegos consumidos en España son de acción?. Sol 0,5275

c. Se elige al azar un jugador que está jugando a un juego de estrategia ¿cuál es la proba-

bilidad de que lo esté haciendo a través del móvil? Sol. = 0,2747

21. En una época del año se sabe por datos históricos que la probabilidad de que el agua de un río

esté contaminada es 0.2. Se dispone de un Test para analizar el agua y se sabe que este test,

cuando hay contaminación la detecta en un 95% de los casos, y cuando no hay contaminación

también da positivo en un 7% de los casos.

a. Calcular la probabilidad de que habiendo dado negativo haya realmente contaminación

(falso negativo). Sol Existe un 1.32% de probabilidades de que de un falso negativo, es-

to es, que habiendo contaminación, no la detecte.

17

b. Se descarta el test si probabilidad de que habiendo dado positivo no haya contamina-

ción (falso positivo) es mayor que 10%. Decida si debe descartarse o no. Sol Se descar-

ta.

22. Se ha agrupado una población para su estudio en tres categorías A = niño; B = adulto; C = an-

ciano, según su edad. Se sabe que el 25% del total son niños, el 55% son adultos y el resto son

ancianos. El estudio dio como resultado que la incidencia de la gripe en niños es de un 40 %,

en adultos es de un 35% y en ancianos de un 60%. Calcule,

a. Entre las personas que tienen gripe, qué probabilidad existe de que sea anciano? Sol

Existe un 29% de probabilidades de que, estando enfermo sea anciano

b. ¿Qué probabilidad tiene cualquier persona de la población de no tener gripe?. Sol

0.5875

c. Entre las personas sanas, qué probabilidad existe de que sean niños? Sol. Puede afir-

marse que existe un 25.5% de probabilidades de que estando sano, sea niño.

23. Sea X es una variable aleatoria discreta que sigue una distribución binomial B(10, 0.3), se pide:

a. P(X = 3) Sol 0.2668279

b. P(X ≤ 2) Sol 0.3827828

c. P(X > 4) Sol 0.1502683

d. P(X ≥ 6) Sol 0.04734899

e. P(X < 8) Sol 0.9984096

24. Una variable aleatoria X sigue la ley binomial de tipo B(5,0.3). Determina la función de proba-

bilidad. b) La media y la desviación típica. Sol b) media= 1.5, desviación=1,0247

25. Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado 20 veces, se obtenga al menos un 5. Sol

0.9738742

26. Un tratamiento contra una enfermedad produce mejoría en el 80% de los pacientes a los que se

aplica. Se suministra a 5 pacientes y se pide:

a. Probabilidad de que mejoren los 5. Sol 0.32768

b. Probabilidad de que al menos mejoren 3. Sol 0.94208

c. ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren? Sol Se espera que mejoren 4 pacientes

27. De acuerdo con la revista Chemical Engineering Progress (noviembre 1990), aproximadamente

el 30% de todas las fallas de operación en las tuberías de plantas químicas son ocasionadas por

errores del operador.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que de 20 fallas en una planta química, exactamente 5 se

deban a errores del operador?. Sol Existe un 17.88% de probabilidades de que de 20 fa-

llas en una planta química, 5 se deban a errores del operador

b. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 o más fallas de 20 encontradas en una planta química

se deban a errores del operador? Sol. La probabilidad de que 2 o más fallas de 20 en-

contradas en una planta química se deban a errores del operador es de 99,24%

c. ¿Cuál es el número esperado de fallas de operación en las tuberías ocasionadas por

errores del operador? Sol. El número esperado de fallas de operación en las tuberías

ocasionadas por errores del operador es 6

28. La probabilidad de que un alumno/a de primero de Bachillerato estudie Matemáticas I es 0.4.

Calcula la probabilidad de que en un grupo de 10 alumnos/as elegidos al azar haya exactamen-

te 7 que no estudien matemáticas I

29. Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con tres respuestas, de las cuales sólo

una es correcta. Si un alumno contesta al azar:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien 7 preguntas?. Sol 0.0162

b. ¿Cuál es la probabilidad de que aprueba el examen (al menos 5 preguntas correctas?

Sol. 0.2131

18

30. En un examen de Geografía, consiste en desarrollar un tema de los 22 que consta el temario.

Elvira se sabe 18 temas. En un examen, por medio de extracción de bolas, se eligen dos temas

al azar.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que se sepa las dos temas? Explica la respuesta. Sol 0.6622

b. ¿Cuál es la probabilidad de suspender el examen? Explica la respuesta. Sol 0.03

MATERIAL DE AMPLIACIÓN

LIBRO MAREA VERDE (GRATUITO EN LA RED): www.apauntesmareaverde.org.es/grupos/mat/Bachillerato/MatematicasII.htm

PROBLEMAS DE EBAU ULL AÑOS ANTERIORES

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/web/bachillerato/pau/examenes-

recursos-coordin-materias/examenes_pau/

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PORTAL AMO LAS MATEMÁTICAS. PRUEBAS EBAU DE OTRAS

COMUNIDADES

https://www.matematicasonline.es/BachilleratoCCNN/Segundo/mat2-Bach-

ciencias1.html