Planxa fenómenos; créditos: Rood van Nistelrroy

Problema 1Determinar viscosidad de un liquido, este se coloca en un recipiente largo y de espesor E. Al centro del recipiente esta una lamina muy delgada (espesor despreciable) de alto a y largo b y jalada a velocidad cte V. La fza F para mantener esa velocidad es medida en un dial electrónico. E/2= 2 cm, a= 3cm, b=6cm V=0.5cm/s, F=1 dina (g*cm/s)Sol.:1. coord.. rectangulares2. V= (Vx, Vy, Vz)= (0, Vy, 0)3. Vy= Vy(x,y,z) Vy (x)** Vx = Vz = 0

dVydy

=d Vydz

=0

4. ec. Movimiento en función de (tau) (componente y)*Escribir formula.**se igualan a 0 y se eliminan:

dVydt

,VxdVydx

,Vyd Vydy

,Vzd Vydz

,d Pdy

,d τ xydy

,d τ zydz

, ρ. gy***continuando

d τ xydx

=0; integrando

dτ xy=0∗dxτ xy=C 1

Por definición

τ xy=−u[ dVxdy + dVydx ]=C 1; d Vxdy

=0

C1=−u∗d Vydx

; integrando

C1 x+C2=−u∗VyCond. Fontera:* x=0; Vy= V C2=-uV* x= E/2; Vy=0 C1 * E/2 – u*V =0

2uVxE

−uV=−uVy

Vy=V−2VE

x→perfil de veloc .Derivando respecto a x

dVydx

=−2VE

… (β)se define :

F=τ xy∗A…(α )

F=−u dVydx

∗A

F=−u∗−2VE

∗A

u= E∗F2V∗A

Reemplazando datos:

u=2∗1g∗cm / s2

0.5∗3∗6=0.22gcm∗s

Problema 2: Un viscosímetro de cilindro descendente consiste en un cilindro contenedor, de mayor longitud y radio R2, cerrado en ambos extremos, por cuyo interior desciende un cilindro macizo de menor longitud y radio R1. Mediante una guía se consigue q los ejes de ambos cilindros cooincidan al desplazarse El cilindro interior, al descender por el tubo contenedor, fuerza al fluido contenido en la parte inferior del tubo a salir por el espacio anular contenido entre ambos cilindros. Para el análisis del proceso puede admitirse régimen estacionario, siendo Vo la velocidad de caída constante del cilindro interiora. Halle y dibuje el perfil de velocidades entre R1 y R2. Sugerencias: considere como sistema solo la región anular, haciendo Z=0 la superficie inferior del cilindro macizo y Z=L la superior.Sol.: Considerando como sistema a la región anular:1. coord. cilíndricas2. V = (Vr, Vteta, Vz) = (0,0, Vz)3. Vz= Vz(r, teta, z) = Vz(r)

Vr=Vθ=0dVzdθ

=dVzdz

=04. ecuación de movimiento (componente Z)Se desprecian efectos gravitatorios***escribir el formulón*** se iguala a cero y se eliminan:

dVzdt

,Vrd Vzdr

,VθdVydθ

,Vθrd Vzdθ

,VzdVzdz

,1r2d2Vzd θ2

,d2Vzd z2

, ρ . gz***continuando, queda:

d Pdz

=

ur∗d

dr(rdVzdr

)

PL−PoL

∗r

u∗dr=d(r dVzdr ) , integrando

(PL−Po )r2

2uL+C1=r dVz

dr(PL−Po )r2uL

+C1r

=dVzdr

,integrando

(PL−Po )r2

4uL+C1∗ln (r )+C2=Vz

C. Frontera:a. r= R2 Vz=0

(PL−Po )R22

4uL+C 1∗ln (R2 )=−C2

Vz=(PL−Po )r2

4uL+C1∗ln (r )−

(PL−Po )R22

4uL−C1∗ln (R2 )

C. frontera:b. r= R1 Vz= Vo

Vo=(PL−Po ) R12

4uL+C1∗ln (R1 )−

(PL−Po )R22

4uL−C1∗ln (R2 )

Vo=(PL−Po )(R12−R22)

4uL+C1∗ln (R1

R2)

C1=Vo−Po−PL

4uL∗(R22−R12)

ln(R1R2 )Perfil de velocidades:

Vz=(Po−PL )(R22−r2)

4uL+Vo− Po−PL

4 uL∗(R22−R12 )

ln( R1R2 )∗ln (

rR2

)

Para graficar se darán valores a ciertos parámetros constantes:

Po−PL4uL

=2Vo= 1 / R2= 3 / R1=0.5

Se tiene una ecuación estimada

Vz=2(9−r2)+1+2(9−0.52)

ln ( 16)

∗ln ( r3)

Evaluando valores se tiene:r Vz

0 Error

0.5 36

1 27.3

1.5 20.7

***armar tabla (Vz v.s. r) : se ve q la velocidad decrece a medida q se aleja de R1

Problema 3. Dos laminas de longitud L y ancho W se colocan paralelamente a una distancia B entre ellas. Un liquido newtoniano de viscosidad m se enencuentra entre ellas. L a placa de arriba se mueve en dirección de x a velocidad V.Determine perfil de velocidades y velocidad media:sol.:1. coord.. rectangulares2. V= (Vx, Vy, Vz) = (Vx,0,0)3. Vx= Vx(x,y,z) = Vx(z)

dVxdy

=dVxdx

=0

d2Vxd x2

=d2Vxd y2

=04. en función de cant de movim (componente x)*Escribir formula.**se igualan a 0 y se eliminan:

dVxdt

,VxdVxdx

,VydVxdy

,VzdVxdz

,d Pdx

,d2Vxd x2

,d2Vxd y2

, ρ . gx***continuando

u∗d2Vxd z2

=0

d2Vxd z2

=0 , integrando

dVxdz

=C 1, integrando

Vx=C1 z+C2Condicion de Frontera:a. z=0 ; Vx= 0 0=C1(0) + C2

b. z=B Vx= V V=C1 (B) + C2 C2=0 ; C1= V/BPerfil de velocidad: Vx = [V/B] z Vx es lineal con z

b) velocidad media:

¿Vx>¿∫0

W

(∫0

B

Vxdz )dy

∫0

W

∫0

B

dz dy

=∫0

W

(∫0

BVBz dz)dy

∫0

W

∫0

B

dzdy

¿∫0

WV z2

2B∨ (B ,0 )dy

BW=∫0

WVB2dy

BW

¿ VBW /2BW

=V2

Problema 4. Dos cilindros coaxiales, de radios R el menor y kR el mayor, giran en sentido contrario con las velocidades angulares Ω y 2Ω mostradas.a. halle el perfil de velocidades del liquido q se encuentra entre ambos cilindros

Planxa fenómenos; créditos: Rood van Nistelrroy

b. determine el radio en donde la velocidad del fluido es ceroSol.:1. coord.. cilíndricas2. V= (Vr, Vteta, Vz) = (0, Vteta, 0)3. Vteta= Vteta(r, teta, z)= Vteta(r)

dVθdθ

=dVθdz

=0

d2Vθdθ2

=d2Vθd z2

=04. ecuación de movimiento (componente teta):***escribir el formulón*** se iguala a cero y se eliminan:

dVθdt

,VrdVθdr

,VθrdVθdθ

,VrrdVθ ,Vz

dVθdz

,dPrdθ

,1r2d2Vθd θ2

,d2Vθd z2

,2r2dVrdθ

, ρ . gθ***continuando, queda:

u[ ddr ( 1r∗ddr (rVθ ))]=0 , integrando1r∗d

dr(rVθ )=C 1

ddr

(rVθ )=C1∗r ,integrando

rVθ=C 1∗r2

2+C2 ; C1

2=C

Vθ=C∗r+C 2r…(α )

Condiciones de frontera:

a. r= R Vteta= -ΩR (sentido horario)

−Ω R=CR+C2R….x (– k )…(I )

b. r=KR Vteta= + 2 ΩkR (sentido antihorario)

2Ωk R=CkR+C2kR

….sumaconecuac .(I )

3ΩkR= CkR

−kC2∗(k )R∗(k )

3Ωk2R2

1−k2=C 2

En: (I) , reemplazamos:

−Ω R=CR+ 3Ωk2 R2

1−k2

−Ω−3Ωk2

1−k2=C

−Ω−2Ωk2

1−k2=C

En ecuac. (alfa):

Vθ=−Ω−2Ωk2

1−k2∗r+ 3Ωk

2R2

(1−k2)∗r

Vθ=−Ωr2−2Ωk 2r2+3Ωk2R2

(1−k 2)∗rPerfil de velocidades: rpta a)

Vθ=−Ωr k2 R2

(1−k2 )∗( 1k 2R2

+ 2R2

− 3r2 )

b) Vteta=0; reemplazando

0=−Ωr k 2R2

(1−k2 )∗( 1k2R2

+ 2R2

− 3r2 )

1

k2R2+ 2R2

= 3r 2

r2∗1+2k2

k2R2=3

r=√ 3k2R21+2k2= √3kR

(1+2k2 )0.5

Problema 5. Se deja discurrir un liquido newtoniano por el interior de un tubo de radio R de tal manera q forma una película tal como se muestra en la figura.a. Calcule el perfil de velocidades

b. calcule la fuerza q hace el fluido sobre la paredc. calcule el caudal del fluido q desciende al interior del tubo (suponga la película de espesor constante)sol.:1. Coord. Cilíndricas 2. v= (Vr, Vteta, Vz)= (0,0, Vz)3. Vz=Vz (r, teta, z) = Vz (r)

dVzdz

=dVzdθ

=0

d2Vzd z2

=d2Vzdθ2

=04. ecuación de cantidad de movimiento [componente Z](en función de [tau], ya q cuando r=kR Tau (rz)=0 )*Escribir formula.**se igualan a 0 y se eliminan:

dVzdt

,Vrd Vzdr

,Vθrd Vzdθ

,Vzd Vzdz

,d Pdz

,d τ θzdθ

,d τ zzdz

***continuando

1rddr

(r∗τ rz )= ρ. gz

r∗τ rz= ρ. gz .r2

2+C1

τ rz=ρ .gz .r2+C1r

Condición de frontera: r= kR [Tau] (rz) = 0

0=ρ .gz .kR2

+C1kR

C1=−ρ .gz .k2 R2

2

τ rz=ρ .gz .r2−ρ .gz .

k 2R2

2 r… (I )

Relación entre Tau y V:

τ rz=−u[ dVzdr + dVrdz ]; dVrdz =0

De (I) reemplazamos:

τ rz=ρ .gz .r2−ρ .gz .

k 2R2

2 r=−u dVz

dr

dVz=(−ρ .gz .r2u

+ ρ .gz . k2 R2

2ur )dr ,integrandoVz=−ρ .gz .

r2

4u+ρ .gz . k

2 R2

2uln (r )… (a)

Condición de frontera: r=R Vz=0

0=−ρ .gz .R2

4 u+ ρ. gz . k

2R2

2uln (R )+C2

C2=ρ .gz .R2

4u−ρ .gz .

k2 R2

2uln (R )

En ecuación (a):

Vz=−ρ .gz .r2

4u+ρ .gz . k

2 R2

2uln (r )+ ρ. gz . R

2

4u− ρ. gz .

k2R2

2uln (R )

Vz=ρ .gz .R2−r2

4u+ρ . gz . k

2R2

2uln (r /R )…perfil de veloc .

Parte b) considerando una longitud L, la fza q hace el fluido sobre la pared es Tau (rz) * Area.

τ rz , cuandor=Ry de ecuación 1.

τ rz=ρ .gz .R2

−ρ .gz .k 2R2

2 R= ρgzR

2(1−k 2)

F=τ rz∗A= ρgzR2

(1−k 2)∗2πRL=πρ .gz . R2(1−k2)c)Q=??

Q=∫0

2 π

∫kR

R

Vz rdrdθ;operando

Q=πρ .gz2u (R4 (2−k4 ))+πρ . gzk

2R2

u (−k2R2 ln ( k )2

+ R2

( k−1 ))

Problema 6: Suponga q el liquido intermedio tiene un comportamiento newtoniano y la presión es constante en el sistema.a. calcule el perfil de velocidad del sistema formado por dos cilindros coaxiales y en donde el interio se mueve con una velocidad Vo.b. calcule la fza necesaria para q la varilla se mueva a la velocidad Vo.Sol.:1. coord. Cilíndricas2. V= (r, teta, z)=(0, 0, z)3. Vz= Vz(r, teta, z)= Vz(r)

dVzdθ

=dVzdz

=0

d2Vzd θ2

=d2Vzd z2

=0

4. ecuac. De cantidad de movimiento (componente z)***escribir el formulón*** se iguala a cero y se eliminan:

dVzdt

,Vrd Vzdr

,Vθrd Vzdθ

,VzdVzdz

,dPdz,1r2d2Vzdθ2

,d2Vzd z2

, ρ . gzQueda:

0=u[1r ddr ( rdVzdr )] ,integrandordVzdr

=C1

dVzdr

=C1r, integrando

Vz=C1 ln (r )+C2… (I )Condiciones de frontera:a. r=R1 Vz= Vb. r=R2 Vz= 0reemplazando en la ecuación (I) V= C1 ln(R1) + C2… (a) 0= C1 ln(R2) + C2… (b)De ecuación (a) y (b):

V=C 1 ln ( R1R2

)

C1= V

ln(R1R2 )En ecuación (b)

0= V

ln( R1R2 )ln (R2 )+C2

C2= −V

ln(R1R2 )ln (R2)

En ecuación (I)

Vz= V

ln( R1R2 )ln (r )− V

ln( R1R2 )ln (R2)

Planxa fenómenos; créditos: Rood van Nistelrroy

Vz= V

ln( R1R2 )ln( r

R2 ), perfil de veloc .b)

F=τ (rz )∗Area , fuerza parala varilla :r=R1F=τ (rz )∗2πR1 L… (II)

τrz=−u[ dVzdr + dVrdz ]; dVrdz =0

τrz=−uddr ( V

ln( R1R2 )ln( r

R2 ))τrz= −uV

ln(R1R2 )ddr

( ln (r )−ln (R2 ) )

τrz= −uV

ln(R1R2 )(1r );r=R1

τrz= −uV

R1∗ln( R1R2 )Reemplanzando en (II)

F= −uV

R1∗ln( R1R2 )∗2 πR1L

F=−uV∗2 πL

ln( R1R2 )

Problema 7: En la Figura se muestra el esquema de un sistema de dispensación de liquidos viscosos El fluido, contenido en el deposito superior, circula a través de la estrecha rendija fomrada por el cilindro y la

base concéntrica y se vierte finalmente por la salida inferior de la rendija. El cilindro esta conectado a un motor de velocidad de giro constante Ω . Halle la expresión para el caudal q pasa por la rendija. Desprecie los efectos de la gravedad para este problema.Sol.:1. coordenadas cilíndricas2. V= (Vr, Vteta, Vz)=(0,teta,0)3. Vteta= Vteta(r, teta, z) = Vteta(r)

dVθdθ

=dVθdz

=0

d2Vθdθ2

=d2Vθd z2

=04. ecuac de cantidad de movimiento (componente teta)***escribir el formulón*** se iguala a cero y se eliminan:

dVθdt

,VrdVθdr

,VθrdVθdθ

,VrrdVθ ,Vz

dVθdz

,dPrdθ

,1r2d2Vθd θ2

,d2Vθd z2

,2r2dVrdθ

, ρ . gθ***continuando, queda:

0=u( ddr ( 1r ddr

(rVθ ))) ,integrando1rddr

(rVθ )=C1 ,integrando

rVθ= r2

2C1+C2

Vθ= rC 12

+C2r…(I )

Condicion de frontera:a. r= R1 V=ΩR1b. r= R2 V=0 ; reemplazando en ecuac (I)

Ω R1=R1C12

+C 2R1

…(a)

0=R2C12

+C2R2

…(b)De ecua (a)*R1 y restando con ecuac (b)*R2

Ω R12=C 12

(R12−R22)

C1= 2ΩR12

R12−R22Hallando C2 en ecuac. (b)

−2R22ΩR12

2(R12−R22)=C2

Reemplazando en ecuac (I)

Vθ=r ( 2Ω R12

R12−R22 )− Ω R22R12

r (R12−R22 ), perfil de veloc .

Q=??

Q=∫0

L

∫R1

R2

Vθ rd rdz ,operar

Problema 8: Una fuente deja resbalarse agua por una superficie cilíndrica tal como se muestra en las figuras superiores. El radio del cilindro es R y el espesor de la película de agua esta a un radio kR. Halle el perfil de velocidades para el recorrido de ese cuarto de circunferencia. El componente de la gravedad deberá ser expresado como una función del angulo en el cual calculemos el perfil.Sol.:1. coord. Cilíndricas2. V=(Vr, Vteta, Vz)=(0, Vteta, 0)3. Vteta= Vz(r, teta, z)= Vteta(r)

dVθdθ

=dVθdz

=0

d2Vθdθ2

=d2Vθd z2

=04. ecuac de cantidad de movimiento (componente teta)***escribir el formulón*** se iguala a cero y se eliminan:

dVθdt

,VrdVθdr

,VθrdVθdθ

,VrrdVθ ,Vz

dVθdz

,dPrdθ

,1r2d2Vθd θ2

,d2Vθd z2

,2r2dVrdθ

***continuando, queda:

0=u( ddr ( 1r ddr

(rVθ )))+ ρgθCosβ

u( ddr ( 1r ddr

(rVθ )))=−ρgθCosβ ,integrando

1rddr

(rVθ )=−rρgθCosβu

+C1

ddr

(rVθ )=−ρgθCosβu

r 2+C 1r , integrando

rVθ=− ρgθCosβ3u

r3+C1 r2

2+C 2; C1

2=C

Vθ=−ρgθCosβ3u

r2+Cr+C2r…(I )

Condiciones frontera:a. r=R V=0b. r=kR Tau (r,teta)=?Tabla 3.4-5

τ rθ=−u(r ddr (Vθr )+ 1r dVrdθ ); dVrdθ =0

τ rθ=−u(r ddr (Vθr ))…( II )Luego en (I):

Vθr

=− ρgθCosβ3u

r+C+C 2r2

dVθd r

=−ρgθCosβ3u

+C2r3

En (II):

τ rθ=ρgθCos (β )

3r+ 2uC2

r2Condición frontera r= kR ; Tau (r,teta) = 0

0=ρgθCos (β )

3kR+2uC2

k2R2

C2=− ρgθCos (β )

6uk3 R3

Condición frontera r=R; V(teta) = 0 .. en ecuación (I)

0=− ρgθCosβ3u

R2+CR−ρgθCos (β )

6uk3R2

CR=ρgθCos (β )

3uk3R2( k

3

2+1)

C=ρgθCos (β )3u

k3R( k3

2+1)

Reemplazando en ecuac (I)

Vθ=−ρgθCosβ3u

r2+ρgθCos (β )3u

k3 R( k3

2+1)r−

ρgθCos (β )6ur

k3 R3

Perfil de velocidad:

Vθ= ρgθCosβ3u

[−r2+rR ( k32 +1)− k3 R3

2 r]