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ISVESTlGAClÓN REVISTA MEXICANA DE FíSICA -47(2) 162-174 ABRIL 2001
Planteamiento operacional y análisis del problema inverso electroencefalográfico
Andrés Praguela Collar, 1,t José J, Oliveros Olivcros:! y Alcxandre Iv<Ínovich Greoénnikov3
Facilitad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Awónoma de PueblaAl'. San elmufin y /8 Slt1: 72570 Puebla, Pue., M('xico
e-mail: l/[email protected];[email protected]; 3ax,[email protected]
Recibido el 15 de enero de 2000: aceptado el 23 de octubre de 2000
Técnicns de In teoría de potencial han sido utilizadas para analizar las propiedades del operador que a las fllentes de corriente asociadas a laactividnd eléclrica de 1.lsneuronas en la corteza cerebral, le hace corresponder la medición del potencial eléctrico generado por dichas fuentessobre el cuero cabelludo. Un modelo de medio conductor que tomn en consideración las circonvoluciones del cerebro ha sido utilizadopara probar la unicidad de solución del problema inverso de recuperación de las fuentes de nctividaJ cortical a partir de las medicionese1ectroen<.:cfalográllcas. Este resultado de unicid¡¡d es fundamental ya que nos permite aplicm los métodos de regularización. Es presentadoolro planteamiento del problema que nos permite construir soluciones numéricas del problema inverso usando los dalOs de entrada discretos.La eSlabilidad de los algoritmos es ilustrada en algunos ejemplos numériros.
/)('.\cril'torcs: Problema inverso electrocncefalográfiro: identificaeiópn de fuenles: teoría de pOlencial: regularización
Tl'chniqucs of the pOlential theory have been lIsed lo analize Ihe propcrlies of the operalor where the SO\lTCCS of curren! produccd hy clectrieaClivity in Ihe cerchrall'ortex is assoeiets with Ihe measurements on lhe scalp of the clcetric pOlential gencrated hy these sources. A mediumconductor modcl which lake in account Ihe circomvolution of Ihe hrain has heell uscd lo prove the uniquencss of solution of the inverseprohlcll1 of rel'uperation of ac[ivity cortical sources from electrocncephalogl'aphic measurcmcnt on the scalp. This result of uniqueness is\'ery importanl hccause we can lo use algorilhrns of regularizalion. An olher siate Ihe problem is presenlcu lo elaborate numcrical solutions01' the inverse problern using a scl of discrelc rneasurement. Thc stability of al~orithms is showed in SOJ11Ccxamples.
K('.nl'Ord.\'.' illvcrse electroencephalographic problcm: sourcc identificalion: potentiallheory: reglllarization
PACS: X7.1O.+e
2. Modelo de medio conductor para laactividad electroencel'alográfica
Por simplicidad supondrclllos quc la caheza humana, comomedio conductor, está compuesta por cinco lonas disjuntassegLÍn nos muestra la Fig. la. a saher:
ser el resultado de la actividad de fuentes muy alejadas entresí. Por cste motivo. pnra resolver el PIE es necesario utilizarlos métodos de la teoría de regularización {S. 9].
La especilicidad del prohlema considerado nos permiteapl icar el método de aprox imación splifle [10-1 ~] y construiralgoritlllos numéricos estables para ootener una solución tlelPIE cuando los datos de entrada son discretos. Algunas ide-as, f¡)rrnulas y algoritmos que utilizan el método de aproxi-mación spline para el tralamiento de dalOs en electroencefa-lografía están explicados en las Refs. 14 y 15. En este traoa-jo despreciamos la aClividad del EEG provenienle de fuentesuhicadas en el interior de la masa cerehral. Al planteamientoy an<Ílisis del PIE para el caso de fuentes volumétricas estándedicados los trabajos de las Refs. 16-19.
Propondremos un modelo de medio conductor para ex-plicar la relación entre las fuentcs de actividad ncuronal en lacortL'la cerebral y el EEG medido sohre el cuero cabelludo.
l. IntroducciÍln
El método dc la electroencefalografía es el más conocido en-Ire los métodos no invasivos de investigación del cerehro, yse has a en el registro de su actividad eléctrica. En particular.L'1electroencefalograma (EEG) soore el cuero cahelludo esuna herramienta clínica valiosa. Tumores cerehrales, condi-ciones epilépticas. enfermedades infecciosas, retardo mental,daño ccrebral y últimamente muerte cereoral son algunas delas patologías que pueden ser detectadas por medio del EEG.Además los potenciales ohtenidos como respuesta a algúnestímulo (potenciales evocados) se muestran prometedoresL'n el diágllostico y tratamiento de enfermedades del sistemanervioso central (ver ReL 1, p. 5). Las aplicaciones clínicasdel EEG csUÍn traladas en las Refs. 2 y 3. El campo potencialproducido por esta actividad eléctrica ahre grandes posihili-dades de il1\'estigación [1. 4] que conducen al planteamientode prohlemas in\'ersos electroencefalográficos (PIE) [1.5.6].Diferentes planteamientos del PIE aparecen en las Refs. 1,4Y 7. Así. el PIE consiste. en grosso modo, en determinar, apartir de las mediciones del EEG la distrihución espacial delos agregados dc neuronas (fuentes) corticalcs que generandicho potencia!'
El PIE, cae dentro de la colección de los problemas lla-mados mal planteados los cuales, en particular, son inesta-bles. Esto se de he principalmente. a que pequeilas variacio-nes del potencial medido soore el cuero cahelludo, pueden
l. DI - Cereoro:t 0:1 - Líquido intracraneald. o~,- Cuero cahelludo.
2. n] - !\ILÍsculos4. n.t - Cr<Ínco
PLANTEAMIENTO OPERACIONAL Y ANÁLISIS DEL PROBLEMA INVERSO ELECTROENCEFALOGRÁFICO 163
FIGURA l. ~lodclo de la cabeza en capas conduclOras, J. Ccrchro,2. Músculos, 3. Líquido intracraneal. 4. Cráneo y 5. Cuero cabellu-do.
Dado que en este trabajo realizaremos solamente cálculonumérico en prohlemas modelo en los que no requeriremosde geometrías reales, representaremos la cabeza en una formam.ís esquemática (Pig. 1h).
En lo que sigue supondremos que tenemos un medio con.
ductor n = u:=¡ ni como en la Fig. lh, cada una de cuyascomponentes ni tiene una conductividad constante ai. donde(1i i' (1j para i i' j.
Mediante Si hemos denotado las superficies que compo-nen las fronteras de las regiones ni:
(3)
(4)i = 2, ...• 5.
1 -~ll=--y.J(11
~/t = O (n;);
(S,,);UUI Duz
(So)'/11 = Il'l (11-- = az--ano Dno
(S¡);DUt OU3 ~ (5¡)/l.1 =U;¡ (11-- = (73-.- - J . riíDn¡ Dnl
(52);Duz DU3
(52)/l2 = 11:1 (1.,-- = (7:1--- Dn2 . {Jn2
Se puede considerar que para el campo magnético jj ge-nerado por la actividad eléctrica del cerehro, se cumple queoÉ/al = O (ver ReL 1, p. 206). Por lo tan 10, existe un po-tencial electrostático 11 tal que E = \7u. Este potencial usatisface la ecuación
Introduzcamos las notaciones siguientes: U¡ ulo;.1 = L ... ,5. i10 es el vector normal unitario exterior a nien So; i7l es el vector normal unitario exterior a ni en Sí;i = 1, .... 5.
Las condiciones de continuidad del potencial eléctricoy de las componentes normales de la corriente en cada Sj(j = O.... ,5) nos dan las condiciones de contorno [19J quese escriben en la forma
(b)(a)
Denotaremos por
on¡=5"u51; an,=50u5,;
On3=5Iu52u53; an.¡=53u5,;
on., = SI U S,.
(5)
(6)
(7)
(S¡)
~/I=f Pll fl
(53);
(S,);
1 -f(.r) = --y ..1(.r), .r E ni;(11
j(.r) = -(J. ii¡)(.r). .1' E S,.
(So); OUI 8u'l(Sol/11= 112 (1,-- - a2 -- = jo
{Jno DilO
(5¡); VUI DU3(S,)/11= 111 (11-- - a3-- = it
Onl 8111
(52); DU2 alla(52)/12 = 11:1 (72-- - (13-- = I2
D112 DTl2
Siguiendo la notación dada por (6) introducimos el Problemade contorno e!ectroencef"lográjico ampliado (PCEA). queconsiste en huscar una solución de la ecuación
DU3 8U4(73-- = a4--
Dn3 8n3
{JU4 811.5(11-- = 175--
Dn.¡ Dn4
{J1/5- =0 (S,)Dn5
respectivamente. donde uu¡fDHj denota la derivada normalde lf¡ en Sj con respecto al vector ;lj.
En lo que sigue estudiaremos el problema de contor-no (3)-(5), al que llamaremos Problema de Contorno Elec-tmellcef(llog"(~fico (PCE). Por simplicidad denotaremos por
que satisfaga las condiciones
( l )
(2)j = 2 ..... S.
ñ = lh5,.
Supondremos que las corrientes que pueden producirse en laregión n se deben únicamente a la actividad eléctrica del ce-rehro y pueden ser de dos tipos: ohmicas e impresas. Las pri-meras se deben al movimiento de cargas iónicas a través delIluido extracelular en el cerebro y las segundas a las corrien-tes de difusión a través de las membranas neuronales.
Denotaremos mediante J. la densidad volumétrica de co-rrientes impresas en ni y mediante J, la densidad superficialde corrientes impresas en S} (cortew cerebral). Entonces ladensidad volumétrica total de corrientes en la región ni ocu-pada por el cerebro es (ver ReL 4, p. 88); J} = J + <71 El,donde E es el campo eléctrico generado y. por la ley de Ohm,el término a¡ E denota la densidad de corrientes ohmicas. Enlas restantes regiones sólo consideraremos estas últimas.
Es posible despreciar el término 0pJ/Or [18J en la ecua-cilÍn de conlinuidad Y . Ji- + (OpdDI) = O. donde J'r y ",denotan. respectivamente. la densidad de corriente y carga encada región ~li. j = l •.... 5. De esta forma obtenemos
R"l". Mex. FiJ. 47 (2) (2(Kll) 162-174
1M A. FRAGUELA COLLAI{. JJ. OLIVEROS OLIVEROS Y A. IV ÁN()vIC'l1 GREBÉNNIKOV
La siguiente sección cst:í dedicada al análisis de la soluhili-dad dI.' este prohlcma.
(5¡)
I (,,) = t .l j, ¡¡¡;ds - t .l fA dI" ( 14)k=II.,,~_ 1=112,
1/:1 = 111
111 = 11.)
UU:J DU417:1 -, - - 17.1 -- = .1:1
DH:,! Dn3
D/I.} DIl,')(T,-, - - (1::.-- =).1
()n4 D"IDII;,a,,- = l" (5,) (X)0"5
donde
(/l, 1')0 = t (1i ./lIiT'id.r/=1 n,
es un producto escalar equivalente al usual en I...:!(n) y
(13 )
J. Solución déhil del PCEA
Ddinic.:iún 1. (5iolllciñ" déhil del PCEA). l.il j//l1cifÍl1 11 E!f I (Ü) es so!uciáll débil del PCEA si se clImple la identidad
t (1'.l VIIi' vi'¡ d./"1=1 11,
= t.! j¡,'¡ds - t",.! f,",d.r (9)k=()~""l' /.:::::1 n,
¡Jura ((ld(/ /' E JlI (!1) donde I'~del/ola/a lrt1~a de l' (/ Sk yfi = flll,.
L:l igualdad (9) se ohticnc de manera natura] suponiendoque el PCEA (iClIL' solución clásica y aplicando la fórmula de(ircl'll acada inlc!!.ral:
./.:J./Iil'id.r.11,
T"'OI"('lI1a 1. !'um (jite exista solución débil del PCEA ('011
j, E ¡,,(SIl f, E L,(\!,).i = l. .... 5; 1.. = 0.1. .. ,j
es 11('("('.\'(/";0 y .mficie111e l/u!' se cU/1/I,fa la condición
En ('SIl' CliSO existe lino IÍnica .w/lI("Íú" déhil /1 l/l/e es ortogo-1/(// ti Itls CO/lstantes ('11 el 1,,"Odllc/o eSCl//af dc /....2(0) y I'(lmla e/fa! se r;clI(, el esfilllm/o
t/rmt/c fa ('(",s1(l1l1(' e l/O del,ende dr j" y Ji. C/lalqllia oTraSO!rIC;ÚII d,;h;! tic! ¡'CEA se diFerencia de /1 C// 1111(/ ('O//s1aI11e.
()('IIHIstradún: I:n J-! I (fi) lIn"prodUCID escalar equivalente alusual c-"t~ídado por:
es un funcional lineal y cOlllinuo en 1/1 (ñ).Por el teorema de representación de Riesl. existe un ope-
rador ..1 en JI' (fl) ,al que;
(/1, "),, = (AII.I-),
Yuna línica funci<ín F E I! 1 (ro para la cual
dc manera que la identidad (12) se escrihe en la forma
(/1- A/I- F,'-)' = O V,, E 11'(0)de donde
11 - 0.111 = F.
Sc dl'llluestra L:ícilmellte que el operador A es compactoy autoadjunto cn 111 (O) Y que>' = 1 es un valor propio deIllultiplicidad I dd operador ..l cuyo suhespacio propio est<Ígencrado por las fUllciones constantes .
En efecto. las constantes son funciones propias del ope-rador ..t correspondiente al valor propio>' = 1. ya que
11=(1.1'), -(1.1-),,=(1.1'), -(AI.I'), VI'EII1(0).
Para ver que es un valor propio de multiplicidad l. hasta verque si v' es una función propia asociada a >. = L entonces
de donde
t",/ I'VI-:I' = 111=1 H;
y por lo tanto
/ I'VI!I' d./" = 11.n
{}sea 1" = ct('. Aplicando los teoremas de alternativa deFredholm se concluye que la condición necesaria y suficientede existcncia de solución déhil del PCEA es
l:nl()IlCCS. la ¡dell! ¡dad inh:gral (9) que delJ!le la solm:ión déhi 1del PCEA se pucde escrihir en la forma
(11.1-), = t a, l {II,,,, + VII,. vii,} d.r.t=J . \1,
(11.1'), = (11,v)" + 1(,,). ( 12)
(F.I), =11.
la cual, seglín (14). se reduce a
( 15)
Nn'. Ml'x. Fi.\', ~7(2)(2001) 162-17-1.
PLANTEAl\lIENTO OPERACIONAL Y ANÁLISIS I)EL PROBLEMA INVERSO ELECTROENCEFAU)GRÁFICO ((,5
Por la desigualdad de Friedriehs (ver ReL 24. Cap 4, \ 1)en el suhcspacio:
ií'(U)={"EH'(ñ): ./l'dl'=O}."
Scgún el estimado (11) el operador P es continuo, ya que
Si se ddine
(¿(j) = P(j)I", = 'P.
la expresiún
[","], = t"'./VII;' VI'; d,,,1=\ U,
es un producto cwalar equivalente al usual.Si 11 es la solución débil dcl peEA pertenecicnte a
ií Id1). entonces tomando 11 = 11 en (10). tendremos
11uI1;,,(\/)::; ('¡["."J, ::;e, {~II),II,.,ls.,IIIIII/.,15,)
+ ~ "dl/,II'.,I,¡,¡II" II.'IO)} ,
( )lwialllenle
entonces como la tra!.a es un opcrador compacto dc 1ft (ñ)en L2(5,,). se liene 'lile C¿: /d5¡) ....,L,(5,-,) es 1111 ope-rador compacto. Claramente (j es el operador que a cada jdelinida sohre S, le asocia la restricción a 5...,de la solucióndel correspondiente rCE.
Si denotamos por (2 a la restricción de Q al suhespacio
L)(5¡) = {i E L2(5¡):'/ id, = o}.SI
entonces () es inyectivo y el inverso (}-I no es continuo ypor ello el problema de ohtener j a partir de las medicionessuperficiales del potencial 'P es un prohlema mal planteado.
4, Aplical'i6n de los métodos de la teoría depoteul'ial para ohtener una solul'i6n déhildel PCE
i = l.....:):k = O.. .;j
Para IEsolver el prohlema de encontrar una función armónicatl en n con condiciones de contorno de Dirichlet. o de Neu-mann, utili/.amos las técnicas de la teoría de potencia!, propo-niendo la solución en forma de un potencial de dohle y simplecapa, respeclivamente. Estas condiciones correspondcn a me-diciones de potcncial o de corriente sohre la frontera S de fí,rcspect ivamente.
Si f y y son funciolles continuas sonre la frontera de 0,es decir. 1. y E C(S), i..'1 problema se transfonnaen encontraruna densidad de <.:argal' para las condiciones de contorno deNculllann y ulla densidad de momentos dipolares JI para lascondiciones de Dirichlct que satisfagan ecuaciones operacio-nales de Fredholm de segunda especie 1221.
Sin emhargo. no consideraremos. en general, que el EEGmedido sobre el cuero cahelludo proviene de un potencialcontinuamcnte distrihuido sohre él mismo. ya que en casode que esto ocurriera se lendría que la densidad de corrienteque producc dicho potcllCial estaría uniformemente distrihui-da sohre la corleza cerehral. lo cual, en general. no ocurre yaque la distrihución de corrientes est,í conccntrada en la "zonaactiva" y ésta puede estar distrihuida de forma irregular.
Basados en este hecho. supondremos que las condicio-nes de contorno en el PCE pertenecen a L2. Para poder apli-car los métodos de la 1coría de potcncial para condiciones decontorno CI1 L], necesitamos fórmulas de Sojo\'tsky análogasa las que se tiellen para condiciones de contorno continuas(ver Rd. 22. p. XX). El siguiente teorema nos da la paula pa-ra hahlar de fórmulas tic Sojovtsky en L'2' C~msidcrcmos elpotcncial de simple capa
( 1 (,)
y ademas por el teorema sohre las trazas de funciones de11' (ñ) a 5, se lielle '1ue
y por In lanto. satisface la ecuación de Laplace en sentidoci,ísieo sobre n (ver ReL 24, Cap. 4 \2).
En nuestro caso particular, es decir. en cl quc sólo tcnc-mos una dcnsidad de corriente concentrada en la corteza cere-bral. la noción de solución déhil del PCE nos permite defInirun operador lineal
" E C~(n)
donde las constantes C'2 y ey') no dependen de /l. Tomando
se ohlielle el eslimado (11). f::,Considerelllos ahora el caso particular del PCEA cuando
tomamos
1.':1 so/uciún déhil del peE¡\ con la condición (1 ()) cs una fUIl-ción
mediante PU) = 11. donde H es la solución dcl PCE corres-pondiellte a la dcnsidad de corrientc j normal a SI.
1 /' ,,(y)1"(.1') = - -1--Id.<" .•~1i. .1'- Y
s
R('l'. Alf'x. F,.\". "'7 (2) (20(11) 1(12-174
166 A. FRAGUELA COLLAR. J.1. OLIVEROS OLIVEROS Y A IVl\NOVICIl GRERÉNNIKOV
ComenZarelTI(lSsuponiendo que las condiciones de con-torno del PCEA con la condición (Ió) son funciones conti-nuas sohre Si y buscarcmos su solución clásica en forma deuna suma de potenciales de simple capa con respecto a den-sidades continuas Pi sohrc S¡. i = O. . .5, es decir.
Teorema 2. Si S es /lila superficie de Liapunov di' clase el,o
('nronces los \'a/ores principales Vo y (dV /dll)o del¡wte".cial de simple capa y de su derivada normal se eXlienden deC(5) a opaadores compacto.\" en L'2(5).
El teorellla anterior es una consecuencia de un resultadom;ls general que puede encontrarse en la ReL 25 Cap 1, ~4:Si G es un subconjunto medible y acotado ell RTll
)' 1\' es1111 operador imegral debilmente singular sobre G con núcleoA(",)I)/I,r - yl"O:::.\ < mdonde.\¡,' > m, l/Jl+l/¡,' =1, en/once ..•el ol'erQ(/or f{ : Lp(G) -+ Lq(G) es compactoI'0ra cado" rol '11/1'1 ::: '1 < "ó = "'Jlllm - (m - .\)1'].
Las fórmulas de Sojovtsky para las derivadas normales dcun potencial de simple capa, correspondientes a condicionesde contorno continuas, se escriben en la forma
donde
( 19)
d\'dll¡
= (d\') _ ~Idn o 2'
( 17) 1'1 = {1'1 (.,.);¡Jo (.,.):
.,. E SI.J' E So' {
P2(''');1'0 (.r);
:r E 52T E So'
~1I(.r) = O. .r E n.
Para cualquier elección de las densidades Pi la funciónu(;r) dcflnida en (19) satisface la ecuación de Laplace:
Si exigimos que u(:r) satisfaga además las condiciones decontorno correspondientes a la continuidad de las componen-tes normales de la corriente dadas en (5). de las ecuacionesclüsicas de Sujovtsky, obtenemos un sistema de ecuacionesintegralcs singulares de Fredholm de segunda especie para ladeterminación dc las densidades Pi.
Para ver esto escrihamos ( 19) en la forma:
(20).')
1I(.r) = L Fw(.,.) = F(¡J)(J'),k=\
donde ¡J = (Po... ,r'e,) y
I>cfinicii)1l 2. ¡Soluhilidad del PCEA con la condición (/ó)en el .\'l'111idode la teoría de potencial]. Dado 1m \'ec1Or
5(jo .... ,j,,) E L2(So)x ... xL2(S,)llIlqlle I: J jkd8k =
k=O.':hO. diremos que el ['CEA con la condición (/6) es .wlublc ('n.\'('111idode la teoda de potencial. si existe una sucesión desolucioncs clásica.v
d\' = (d\') + ~I (IX)dile dn O 2'
donde 11 representa la normal exterior a la superfkie S y,tlF /dllj, ti\! /dHe representan los valores límites de las de-rivadas normales illlcrior y exterior del potencial de simpleL'apa. respectivamcnte.
Porcl Teorema 2 los operadores d\l /rln¡ y d\' /rlne scex-tienden continuamente a £2(S), !\lantendremos la notaciónrara los oreradores extendidos a £2(5). Las igualdades (17)y (18) para los operadores extendidos ser:í.nconsideradas co-mo las fórmulas de Sojovtsky en £2(5).
""" E n {C2 (11;) n Cl (IT,)} n C (IT) .
i=1
11 E Nl j' fií;(¡Jd _
Fw(.r) = - I -1 d",...tii .r - Yk
S;
dOl/de 11n .Wlti~faccfas condiciones de contort/o (8) C01l
del problcma
~l',,(.,.)= O, "En Siguiendo la nOlación dI' 1"11;. dI' Id",. y (dI'1"11)0 in-troducida para los valores límites y el valor principi:!1de lasderivadas normales de los potenciales dc simple capa V, setiene
En csttlS ('(",dicioncs. si existe el límite e1/ L:z(ñ) de la slIce-siálll'll' {/ dicho /(/IIite se la llama solución del PCEA cml /tIn",diciá" (16) ('11 S('111idode la teoría de potencial.
Aplicando las fórmulas de Sojovlsky (17) Y (18) obtenemos:
donde lo es la identidad en C(So).
(21 )
t (dl'k)+ k=:l dilO o'
iJll11 ~(d\'k)- = L.. - + loDilO So k=\ dilo () •
D/l1 1 = _,_/1_'1_ _ tlF2DIJo So tlllO,i d( -no),I'
i = O. 1,. . ., 5j;' E C(S;);
t/ji' dS, = O,I=OSi
('/1 lrl~tlr de ji y
R<'I'.Mex. Fú. ~7 (2) (2IKII) 162-17~
PLANTEAMIENTO OPERACIONAL Y ANÁLISIS DEL PROBLEMA INVERSO ELECTROENCEFALOGRÁFICO 167
(24 )
(25)
(26)
0//3/ ~ ("V,) 1- = L - +-13D1l3 SI k=l dll;!, o :2
O. //" I ~ ("1,) 1- = L - +-1.DII.~. ''''" k=1 dile, o :2;;¡
Sustituyendo las relaciones (22)-(2ó) en las condiciones dccontorno (5) corrcsponL!icnlcs a la continuidad de las compo-nentes normales de la corriente, ohtcncrnos
(22)
(23)
_ L" ("v;.) 1- - - -111 .)'k=1 (111 o -
DI/31
DH] SI
0//, I ~ ("V,) 1- = L - +-J.,DIl2 52 ,(:=1 dn2 o 2-
0//"1 ~ ("V,) 1- =L - --/,DH:! 82 .1.-=1 da:! o 2 '
AnalogamcnlC. si denotamos por Jj; j = 1, ...• 5 el 0PCM,ador identidad en C(Sj), se tiene
0//'1 L5 ("V,)- - - -lo0'10 So - lino '
1.:=1 (J
0//11 _ ~ (,IV,) 1- L - +-1,DfI¡ SI }.;=l dn¡ o 2
5 ("V,) .(al - a,) L -,- Cro) + (a, + a')l'o(.ro) = .loCro); .1'0E So.k=l (l/o ()
(27)
~ ("1,) (al +(3)(al-a3)L -,- (.rl)+ .) 1'1(.rl)=J¡Crl);.r, ES1.1.'=1 (11, " -
(a, -a:,) t (,:v,) (3:,) + (a, :a:1) 1',(.1',) =j,Cr,): .1', E S,.k=l (lIo! o -
~ ("V,) (a" + a.,)' .(a" - a,) L -,- Cr3) + .) 1'3Cr:,) = .1"('1',,): .1'" E 53.k=1 (//:¡ o -
~ ("V,) (al + (5) .(a'l - (5) L -,- (.1',) + .) 1'1('1',) = f,(.r.I): .1'.1E S,.k=l (//-10 -
a5 t (,;\,)(.1',,)+ ~;' 1",(.1'5)= j,.,(.r,,); .1'5E 55'/.:=) (1/." o -
(28)
(29)
(30)
(31 )
(32)
NOlemos que para k = 1. .... 5: i = O. L .... .)
("V,.) I [O ( I )_(')_-. (.1',) = ;-"'" -O ¡. l' _ '1 I")/k ""¡.,fin, () lir. Hi JI lh.~
el cual es un operador integral déhilmente singular para k = :L.1. 5: i = k Y larnhién para k = 2. i = 0,2. Además, se tiene.para" = 1. 2.
('1\" ..)-,- (.1';) =( 11,
o
1[[01 /'iJ I ]- V.p ~ '(l' 1)I'OÜ¡o)""o + ~ '(l' 1)l'dy'¡d.,o : i = O<lrr . uncí .10 - Yo , U/In .10 - .lJ1.:So ~k
..I.. [".p[ O, ( 1 )"d.'l'¡d",. + [ .O,.(1 1 1)"OCyo)dS~]; i = k.4rr . DIII.: 1.l'k - Ykl . ()II~ .I'k -Un
Sk ~)
Según esta descomposici6n introducimos la notación
(dI ,)dilO
o(dV") + ("V,) k=1,2. (3:\)dilO dilO
0.0 O,/.:(dI ,)dllk (J
(;;,1,':) + (:::::) ; k = l,2 (34)O,/.:. 0.0
Jiev. Mex. Frs. 47 (2) (2IX)I) 1(,2-174
1611 A. FRAGUELA COLLAR, J.J. OLIVEROS OLIVEROS Y A. IV ÁNOVICH GRERÉNNIKOV
(dV,) (dV,) + (<IV,) ; k '1 i, (35)
dl1¡ (111, dn¡() O,k 0,0
donde (dV,)d"o)o,n y (dV,/d,,;)o,o son operadores integra-b (el primero de ellos singular) definidos sohre £,(50),
I
Claramente
Además (dV,)d,,;)o,' y (dl,)d"o)o.' son operadores inte-grales (el primero de ellos singular) definidos sobre L2(S¡Jmientras que los operadores (tlVk/t!n¡)o,k y (dVJ.)dn¡)o,odefinidos sohre £,(5;) y £,(50), respectivamente. amhosson no singulares.
(dVI) (<IV,) 1- (r¡) = - (.ri) = -dn¡ dll¡ --tíT
0,0 0,0
j.O( 1 )".1' O JI' 1 1'0 (1J0) dso: i = 11I/.n .10 -.'lo
SO
!OOJ(1 .1 1)/'O(1Jo)d.<o: ii'O. I'¡ ,fl - YoSo
(36)
Utilizaodo (33)-(35) el sistema (27)-(32) puede escrihirse en la forma matricial:
(Ií + J) ¡;= .r.donde 1 es la matriz identidad en el espacio C(50) x ... X C(55) (con la norma producto).
_ J'
l' = [1'0(;ro), 1', (;rl ), 1', (.r,), 1'" (;,.,,),1" (."'1) ,1'" (.r,,) 1 '
_ (1 2 2 2 2 2)1'J= jo.---jl,---h,---l:l, --j.¡.-hal + a'l a} + (7;¡ f1'l + 11:~ t'T:l+ 17,\ 071 + (T~, 17,.,
Y 1\" == (/\"j) es la malriz cuyas componentes son los operadores integrales:
2(al - IT,) (dV,) (ITI - IT,) (dl'l)f\'()() == ~ C -- /\"01 == ---- --
(1] + (í'l duo 0,0' al + (12 dilO 0,1'
(ITI - IT,) (<11, ) (IT, - IT,) ('IV, ) (ITI - IT,) ('/\: )I\-O:l ==
dilo ().I\'f},\ == -;¡;;;; o'
/\"0;, =::dn~: 11'(11 + (J2 al + G2 al +a'1
'I(ITI - IT:¡) ('IVI )2(ITI - IT:¡) ('IVI)
2(ITI - IT:¡) (d'" )1\-10 =:: -;¡;;; 0,0'h-II = -;¡;;; El 1 '
h'12 =dlll 0,2'(1} + (1:i al + 0'3 (JI + (1:~
1\-13 = 2(al - IT:¡) (dV,) . /\"14 = 2(ITI -a.l) ('11:1) 1\" i5 = 2(ITI - IT:¡) ("h)al + (1:~ dlll o (TI + 0'3 -;¡;; o" f11 + f1:¡ J;;; O'
1\"20 ='I(IT, - IT:¡) (dl'l) 2(IT, - IT:¡) ('IVI) [\'22 = 2(IT, - IT:¡) (''':, )
0'2 + O':~ dll'1 0,0'[\"'11
0''1 + 0'3 dll2 o I ' dn'1 0,2'f12 + f1:1
1\'2:i =::2(IT, - IT:¡) (di:, ) K2.1 =::
2(IT, -IT:¡)("VI) 1\-2;, =
:2(f1'1 - (T:d ("1;, )(J2 + (J:I du'1 ()' (12 + 0'3 dll'2 o' f12 + (1:~ dn2 (J'
1\-:w =-I(IT:¡ - IT.¡) ("1'1 ) K:J1 =
2(a:¡-IT,) ('IVI) 1\'::12=:2(IT:¡ - ITI) (''':, )
(13 + 17,\ dll:1 0,0' 17:1 + (J.¡ dll,1 n,l' 17:1+ (J,I -;¡;; o ') ,
[\-:l.1 =::2(IT3 - ITI) (<IV, ) /\':\.1 =::
2(ITI - IT.¡) ('W, ) 2(IT.1- IT,) ('IV. )dTl] o' d,,:~ O'
I\-:{,") =d,,;; {)'<T:J + (J.\ (J:l + (7,\ (T:1 + 171
1\-.10 =:4(IT., - a5) (dl'l) h',ll
2(ITI-a5) (dV¡ ) K.12 =::2(IT,¡ - ITe,) ('11', )
(7, + (7,) -;¡;;; 0,0 1 t7,1 + a5 dll.j 0,1' a.1 + (1" dll.1 0.2'
[\-n = 2(IT, - IT,,) (dV, ) KH =:2(IT.1- IT5) (dV, ) h'.I" =::
2(IT., - IT,,) (dV, )t7.j + (T" ~(). (JI+(T" ~ o' (JI + (1.', ;¡;;; ()'
. (dI', ) . ,("1'1 ) _ ('IV,)1"0 = 4 - 1\,>1 = 2 - , h'j" =2 -- ,.) dH,} 0,0' dl'" 01 '- dl/;) O')
. (di, ) . (dI',) l' ,(',,;, )1\5::1 =:2 - , 1\",\ = 2 -1- . \;,,} =:: 2 dl/;, ndH" () ( 1/ r, o
R,'v. Mer. fú. 47 (2) (2(XlI) 162-174
(37)
I'LANTEAMIENTOOPERACIONAL y ANÁLISIS DEL PROBLEMA INVERSO ELECTROENCEFALOGRÁFICO 169
tlición necesaria y suficiente de existencia de solución clásicaVn del PCEA, correspondiente a las condiciones de contornoUO', ...• j(') E C = C(So) x .. X C(S5) y que salisfa-cen (39). viene dada por (38). En esle caso, según el comen-tario previo al enunciado del teorema, el vector de densidadesP~l= (1';:, .... pg) que satisface según (20)
donde .fi") = {[l/(a, +a,)]j¿"), [2/(<71 +<73)]jl"), [2/(<7,+)1'(") [2/( )1'(") [.,/( )] ,(,,) (2/ ) .(,,)}l7:) 12, CTJ + fT,¡ h ,... 0"4 + a5 J1' as 15 .Según la leoría de Riesz Fredholm la Ec. (41) es soluhlc
si .ll es ortogonal al núcleo del operador 1(* + I en C.Uniendo este enunciado con la condición de solubili-
dad (38), ohleneJl1os que el Ker(/," + /) en C es un suhes-pacio unidimensional de e generado por el vector constante:
El operador I'ij es un operador inlegral débilmenle singularpara i = j y con núcleo continuo para i -f:. j. Según el Teore-ma 2 estos operadores se prolongan a operadores compactosKij : L,(Sj) -t L,(S.). de donde se concluye el siguienleresultado:Teorema J. El operador matricial f{ es compacto enC(So) x ... x C(S,) Y el/ Lz(So) x ... x L,(S5)' /:;
Ohviamellle si fi E C(Si) en el PCEA con la condi-ción (16). la funci6n 11 expresada en la forma (19) es so-lución clásica de este prohlcma si y sólo si las densidades1'. E C(S,) salisfacen la ecuación operacional (37).
Los teoremas siguientes son fundamentales en el estudiodel PIE.Teorema 4. La solución en sentido de la teorra de potencialCOIlla condición ( 1óJ. existe y es IÍnica para cualquier vectorde cmuficirmes de C01ltnmo (jo" .. ,jr;) E L:dSo) x. xLz(S,,) tal 'lile
¡',,(.r) = F(¡J,,)(x)
es solución de la ecuación operacional
(/,-+ /)ji" = .J;.
(40)
(41 )
fU,' - f,fll.,(8,) -t O, ,,-t 00, O S; k S; 5. (39)
Alás aún. esta .wlllciá,¡ no dependí' de la elección de la Sll-
c<'.I'ió" (jg,. .in E C(So) x ... x C(5.,) siempre 'JI/e secumplan las eO/u/iciones
ti f,'''", = Ok::=°S"
(38)
<7.,+ C'¡ <74+ <75 <75) (42)2 1 2 1 2 .
Si denotamos por pi) = (pg,. , pg) un vector propio dcloperador 1\" correspondienle al valor propio A = -1 cn e ydefinimos
J)clllustrad6n: Claramente cualquier solución clásica estamhién déhil y por ello del teorema I se concluye que la con.
I(43)
+ (<73 ; <74) / "1 <183 + (rr¡ ; 17, ) / ", <18, + (~5) 1"5 d85= O}, (44).53 '''.4 SI
k + 1: Co -t CI
tiene in\'crso continuo y. por In tanto. la El'. (41) tiene solu-ción línica en Co:
entonces si k es la restricción del operador K a Co se tieneque
(46)-o -1K + 1 : L, -t Lz
se cumple que
tiene inverso continuo. donde i.~se define por la misma con-dición (44) p<lra ji EL},. -
Pero cntonces la condición (39) implica la convergenciaen £}, de la succsión 1'" definida mediante (45) a un vector¡I E [,.
1__tricción de 1\" al suhespacio L~ de L2 dado por
(45)¡i" = (f~'+ I) - I.f".
Si consideramos la extensión compacta de 1\" a £2 =L2(S()) X .•• x 1'2(S,:,). entonces como los suhcspacios pro-pios de 1\" y 1\". en D1 asociados al valor propio A = -1siguen siendo generados por los \'eclores ¡1J y (4~) respecti-vamente, se tiene que si tamhién denotamos por K a la rcs-
Re". Mex. Fr.,. 47 (2) (200 1) 162-174
170 A, FRAGUELA COllAR. U. OLIVEROS OLIVEROS Y A, IvAr-;oVICH GREHÉNNIKOV
donde
Adcm<ls para el operador V(¡J) definido en (20) se cumple
Si tomamos dos sucesiones (jg ..... jsl) y (]g, . .1.5)satisfaciendo las propied",les (38) y (39). entonces de (45)se cOIH,::luyeque las correspondientes sucesiones de densida-dcs ¡in y (>11 convergen al mismo vector ¡iy. por ello, el límitel{r) ohtenido en (50) no depende de la eleción de la sucesión(jg. . . j;'l) siempre que se salisfagan las condiciones (39)y (38).
Con esto se demuestra la unicidad de solución en sentidode la leoría de potencial. D.
En el Imnscurso de la demostración del teorema anteriorse han verificado dos resultados imporlantes:
l. La solución en sentido de la leoría de potencial delPCEA con la condición (16) se puede huscar en la for-ma
"(.1') = F(¡T)(.,.)
(47)
(48)
(49)
De la continuidad del operador 1\" en £2 se concluye que
Para cada TÍ/..: E S". consideremos la hola B(Yk) de centroen fh y radio igual al diámetro el de n. Entonces pasando acoordenadas polares centradas en YJ.: se tiene
d
./' I . 1',1 I < /' I 1. 1" ,1.1' :o; e (,11' :o;Cd..I-ljA- . J:-Yk- .
11 H(fid o
donde la constante e no depende de Tí/..:.Regresando a (9) y aplicando la desigualdad de IWldcr
ohtenemos
11I'(¡T)IIL,lii) :o; MllfilJ¡;"de donde se concluye que
cuando la condición de contorno (jo .. '. j,,) salisfacela propiedad (38).
En esle caso el vector f) es la única solución en ig dela ecuación operacional
(/\ + l)¡i = .1donde el veclor.T esl:í delinioo en (48).
2. El nlÍmero real ,\ = -1 es un valor propio del operadorf\'. en i'2 oe multiplicidad 1. cuyo suhespacio propioest:í generado por el vector conslante (42).
Las componentes 1\';) del operador matricial K son. sal-vo un factor numérico. de UIlOde los tres tipos siguientes:
,. : L, -t L,(i'í)
es un operador continuo v. por cllo. de (40) pasando al límitecuando 11 --+ ':'\.) en L:dñ-) se concluye que existe
1'(.1') = lilll 1',,(.1') = lilll F(¡i,,)(:¡:) = F(¡T)(:•.) (50)11-4(X, 11---1>00
y. por lo tanlo, existe la solución del PCEA con la condi-ción (16), cn scntido tic la teoría de potencial.
(~) :1.,(50)-tL,(5i): i=0.1. .... 5.dll i o o
(dl'k) . Id5¡) -t L,(5,): /; = 1. 2: i = O. l. .... 5.dH¡ o k
(d¡"') : Id5¡) -t IdS,): /; = :l.~. 5: i = 0.1. .... 5.("1 o
Los respectivos operadores adjunlos son:
(d"')'dll¡ OJ
l..!:..UI'/oO"(I.ll)""C>/")d'''''=O
(:;::1)' = ~3 J' SOD U/(/O ; ()- ),1/0
'0,0 - -O" l' I /¡I,(/¡,) d,;,. / f. ()••...'3 "1 .lo - //,
S,
1 J' O ( 1 )
1_" l' O y I I VI (.'11) d'l, I = k = 1.2.u)~ l/Á ./¡-lj¡
1 J' "a ( 1 )- -O" l' I U',(I/,) ,1". lo' = 1. 2. , io l.W3 //, .11. - /¡'
s.
jI /O( 1 )-1'.1' --,¡ I n(lIdd".: ;=k=:\..1.5.
(d\'k). = W3 S" DlIk I.r¡. - Yk
dlll o 1 J O ( 1 )- O y l' I ¡j'i(¡li)d"i; k. = 3.. 1.5; i io kW:l s; 1I¡ ./k -!Ji
Rel'. Mt'x. 1"ú. 47 (~) (200]) 162-174
I'LANTEAMIENTOOPERACIONAL y ANÁLISIS DEL PROHLEMA INVERSO ELECTROE~CEFALOGRÁFICO 171
donde las funciones LJi (y¡) son densidades pertenecientes aL:z(S¡): i = 0, L ... ,5 respectivamente.
Teniendo en cuenta las expresiones anteriores, la CCUJ-
ci(Ín matricial adjunta
(51 )
es equivalente al sistema dc ecuaciones:
mediante
R(¡J)(.,.,,) = \'((7)15,
es fácil ver que existe un único vector propio
" _ [ o ( .) o ( . ) o ( ))(J - (Jo ,'0 ,p¡ ., ¡ ,'" ,P., X5
(55)
(56)
(58)
(59)
(60)
(1\ + I)r' = .T.!Ir' = 'P.
!I (l~'+ 7) -, .T = 'P - c.
de !\", correspondiente al valor propio ,,\= -1 tal que
.T = (o. 2 J. ,,¡,o.o,o,o). (57)171 + 17:1
Pucde probarse de la misma forma que para un solo po-tencial de simple capa, que el operador R es inyectivo 125j.Sin cmhargo, el inverso del operador R no es continuo y porlo tanto, con esta técnica dencmos aplicar algoritmos de rc-gularización para rccuperar de forma estable a .J . 111.
Una vez obtenido el vector propio pO, para lo cual hay queresolver la Ec. (54), la solución del problema invcrso electfO-enccfalográlico se reduce al estudio del sistema
para .T del tipo (57) tal que
L, J. ,,¡<lS¡ = O.
donde tp es una función dada de L:l(5;,) que corresponde alEEG generado por la actividad de la corteza cerehral y medi-do sobre el cuero cahelludo (S;,). En el problema real, dondela densidad dc corriente impresa .l que origina la actividadeléctrica cSlá concentrada sobre la corteza cerebral, el vcctor.r toma la forma
Si 1\" e ! son las restricciones de los operadores 1\" e ! alsuhespacio ortogonal al vector propio pe) en £2(50) x ... x1./(5;,) entonces, la solución general de (55) es de la forma
donde el operador (K" + 7) -1 es continuo al actuar entre los
subespacios ortogonales a 11) y al vector constante (42), res-pedivamel1le. en L:l(So) x ... x 1..2(55).
Si sc sustituye (58) en (56) se tendrá que
Si la medición elcclrocnccfalográfica 'P coincide con larcslrkdlÍn a Sr, de alguna solución del PCEA con la condi-cilÍn (16) siendo.r de la forma (57) y que cumple la condi-d6n (59), entonces la Ec. (60) tiene solución única que se ex-
(52)
Ir, =:2
(7¡-(72)(TI + a2~,o=
L ¡dIV,.)o.,(.I",)+'x,Wi(.I",) = 9,(.1",),1.:=0
(7" - (7" )~,..!= 2 - .al. + CTJ
Ih,IIII'(ñ) ~ eL IIJ,.'III.,(-,,).,,"=0
,.
i = 0.1, .... ~: donde .r, E Si, (IV,.)o., es un pOlencialdc doole capa con densidad sobre S¡.,. y que está definido so-ore Si:
Aplicando este estimado a Vn - 1'1/1 ohtenemos que 1'11
es ulla sucesión de Cauchy en /{I (11) cuyo límite es la so-luci<íll débil del PE EA con la condición (16) y obviamentedehe coinciJir con {'o 6.Ohservaciones: Para cualquier vector propio ji de f\" corres-pondienlc al valor propio'x = -1. se cumple que \ "(¡J)(.,.)es constante en lOdo R3 ya que en este caso \ "(¡J)(.r) es S{l-
luciún del PCEA homogéneo.Por ese 1II0fivo,si se define el operador singular
1,lo = 2' ,x, = 1, i l' O.
OhS('rv:lci6n: A diferencia del problema clásico dc Dirichlclo NClIlllann. no siempre es posible encontrar un problema decontorno que corresponda a la ecuación adjunta (51).
Tcorcma 5. Para cada t'ector UD..... jr)) E L2(50) x ... X
L1(S;,} (Il/(' .w11i.~fa('ela condición (38), /a .wlucirifl en semi-tlo de {a /(,Orlll de ¡Jo/encial del PCEA con la condición (/6)("(¡(l/cid£,COIl SIl .wl/lción débil.I>l'llIoslral'ii)n: Sean j? y 1'" C0ll10 en la Dellnición 2. Enel Teorcma 4 hemos probado que 11" convergc en L:l (ñ) a lasolución " del PCEA con la condición (16) en sentido de lateoría de potencial.
Ademüs claramente Vn es también la solución débil deeste problema y por ello, según el estimado (11) se tiene que
Rl'\'. Me.\". Ft ••.47 (2) (200!) 162-17'"
172 A. FRAGUELA COLLAR, J.J. OLIVEROS OLIVEROS Y A. IVÁNOVICH GREHÉNNIKOV
51
N
'1
FIGURA 4. En el modelo equivalente sólo hay corriente tangencia-les en la corleza cerebral S l.
FIGURA 2. Caso de dos capas conductoras.
FI(,URA J. Flujo de la componente normal de la corricnle iónicaen la corlCla cerebral. LIs circunvoluciones del cerebro son consi-deradas CI1 este modelo.
y en el que la corriente neuronal J sólo tiene componentestangenciales, es decir la componente normal de dicha corrien-te es nula (Fig. 4).
Así el potencial producido por una fuente de corrienteneuronal J concentrada en corteza cerehral con sólo compo-nentes tangenciales satisface el problema
5. Planteamiento de UIImodelo e(luivalente y susolución lIumérica usando splines
Por ello es importante conocer las propiedades del espacio detrazas a 5" de las soluciones del PCEA con la condición (16)cuando .T es dc la forma (57) y satisface la condición (59).
(63)
(66)
(67)
(64)
(65)
(62)n= Un,.i=1
n = U!!;.i=l
¿).u = (J
¿)." = Il
'/1'2 = f
DlI¡ Dlt2 ~al UT -a, UT =j -T (S¡),
'" =", (S¡).
U", _ U (5,),on2 -
Du¡ D1l2a¡-- - a.,-- = ODII¡ -D/ll
donde T es un vector tangente a la superfkie SI.Adcm:ís H satisface el prohlema:
donde f es el potellcialmedido sohre el cuero cahelludo 52.El sistema (62)-(63) no nos permitc resolver el PIE. por-
que no incluye dato\ de entrada electroencefalognílkos. Su-pondremos que se cumplen las condiciones del Teorema 5 yP(ll" lo tanto. existe s(llución única del problema directo (62)-(63). Además, supondremos que la función f pertenece a laimagen del operador (1 + 1\-). Entonces existe solución únicadel PIE (64)-(67) que cs posihle representar como suma depotcllciales de simple capa con densidades desconocidas. Uti-Iil.ando la condición de contorno (65) y la condición de con-torno de tipo Dirichlet (67) en 5'2, ohtenemos un sistcma dedos ecuaciones integrales con respecto a dos densidades des-conocidas p¡ y /)"!. que nos dan la posihilidad de resolver elPIE.
Consideremos el caso de dos c¡rculos concéntricos cen-trados cn el origell. Asi. las curvas SI Y S2 corresponden a
(61 )
.r = (K + T)[w\, - Cff')
= (1:- + 1¡w'<p = (1\ + I)W'<p
En lo que resta de este tI"ahajo consideraremos el caso dc sólodos capas conductoras que representan al cerebro y el restode la caheza según nos muestra la Fig. 2.
Presentaremos olra forma del planteamiento consideradoanteriormente que nos da la posibilidad de construir algorit-IllOS numéricos hasados en splines para calcular solucionesdel PIE usando dalOs de entrada discretos. Por simplicidaddesarrollaremos las ideas y algoritmos en un modelo plano.
La idea general para el nuevo planteamiento es: en elmo-delo descrito anteriormente la condición de contorno (5) im-puesta sohre la superHcie de separación SI correspondiente ala componente norlllal de la corriente sobre la corleza tOlllaen consideración las circonvoluciones del cerehro (Fig. 3).
La descripción de la corteza considerando estas circun-voluciones es complicada. Además en una primera aproxi-mación modelaremos al cerehro como un círculo. Esto noslleva a hacer el siguiente análisis para el planteamiento de unnuevo modelo equivalente al anterior.
Sanemos que el espesor de la nc(}corteza es de 2.5 mm a-proximadamcnte [23] y que en las crestas y los valles la com-ponenlc normal de la corriente es Illuy pequcña 181. Por cstopodemos modelar a la corleza como una superficie SI en laque no lomemos Cll cllenta las circonvoluciones de la misma
presa en la forma
Re\'. M('x. Fú. -$7(2) (2001) 162-17-$
PLANTEAMIENTO OPERACIONAL Y ANÁLISIS DEL PROBLEMA INVERSO ELECTROENCEFALOGRÁFICO 173
i = 1,2,
Jos circunferencias de radios r1 Y1'2. respectivamente. Usan-do las fórmulas para potenciales en el caso bidimensional:
donde o E [O,2"j Y
[., , ]f\',,(o, V)) = log 1'¡ + 1', - 21'¡r2 C05(0 -1jJ) ;
¡,'I(n, ¡J) = ]og[4I'i sin2(o - (3)J.
Construimos el algoritmo en hase al método de aproxi-mación spline [11, 12}que consiste de los puntos:
1) Suavización recursiva por splines explicitos (SR) delos segundos miembros del s¡slema (68)-(69) segó n lafórmula:
En los gráficos dc la fig. 5 están representados:
1) .6.m(r): linea continua: .6.11/1(1'): linea punteada;
2) Los coeficientes (y): linea continua; recuperados porel algoritmo sin regularización (1\"* = O): linea puntea-da; recuperados por el algoritmo de regularización conA' = f): linea estrcllada (con 1\" = J\*(ó) = 10. esco-gido según el principio de discrepancia. No es posihleoh servar diferencia entre las gráficas de los coeficien-tes exactos y recuperados.);
.::1lm(r) = lllaX1SjSndj(r);1/2
. [L;'~Idj(r)].6.11I(1') = ~---~-- n = N2; (73)
n"J{r) = 1"",(r,oJ) -uN,(r,oj)l. (74)
1\'+1
lIk = L lIk-1 (oj)sj(n), k = 1,2",. , f{',j=O
,l/o = ¡; (72)
donde ¡{* es el parámetro de regularización, que esescogido del principio de discrepancia de V.A. Moro-zov [D), usando la estimación dada del error ó.
2) Colocación por splines del sistema (68)-(69), que nosda un sistema dc ecuaciones lineales algebraicas paraohtener los coelkicntos cjll, j = 1, ... ,N; l = 1,2;desconocidos.
De los resultados teóricos [13), se sigue que este algo-ritmo da soluciones aproximadas. que convergen de formaestable a la solución exacta del sistema (68)-(69) cuandoN --+ 00, Ó --+ O. Los resultados de los cálculos justifkaneste hecho.
En el siguiente ejemplo modelo tomamos 1'1 = 3.5,1'2 = 4,0'1 = 5,0'2 = 1. Como solución exacta l/ex(".(\')
se ha escogido la suma de los potcnciales V1, y Vol con den-sidades en forma de splines. construidos en la redes regularesde los contornos 51,52 para N = 61, usando los coeficien-tes c)21 = Sill 0.1' y los coellcientes c)1), que escojelllos porcolocaci6n de la condición de contorno (68) en la red nj' He-mos calculado para estos coeficientes los valores tle la fun-ción J(o) en la red regular (ti. ; = 1•... ,N2• N2 = 31,con errores adicionales estimados por el valor 8 = 0.1. Des-pués de esto sc resuclve el problema inverso. por el algoritmopresentado en la red {ti, i = 1,. . 1 ;\'2' Hemos calculado loscoeficientes dc los splines en la red {Oí}. que representana las dcnsidades aproximadamcntc. y el potencial del campol/N'}. (1', n), correspondiente a estas densidades. La calidad delalgoritmo está estimada por los valores
(69)
(68)
y
11,(P) = 21" .!log r(/ M) Pi (M)dSi(M),Si
en el sistema de coordenados polares obtenemos, según (65),la ecuación1 g l,rr-;-PI(I')+- p¡(1/1)d1/12 4íT . o
l,rr- gr, I\¡ (1', 1/1)p, (1/1) d1/1 = O,27i o
donde l' E [0,2,,],(a¡ - a2)
9= ----(al + a2)
En la situacion real, los datos entrada del EEG son dis-cretos e incluyen el error correspondiente a las mediciones,el cual estará reflejado en nuestro caso incluyendo a los va-lores de la función ¡(a). de la parle derecha de la Ec, (69).errores. Para construir un algoritmo proponemos una red re-gular del N nodos en el segmento [O, 21f]:
2"o; = "(i-1); ,,= (N -1)' i = -2"",N +3. (70)
Determinaremos .'>j(3) -base local del spline cúbico deShoenherg [20]-, construido en los nodos Qj-2,' ., O'j+2'
La solución del sistema (68)-(69) la vamos a representar enla forma:
N+1
I¡I(~!) = L cíl)8j(1/1),j=ON+I
p-,((3) = L C}2lSj(f3),f3, 1/1 E [0,2,,]' (71)j=O
donde (.(1) _ ('(1) ('(1) _ ('(1) c(l) _ C(l)o - N~1' 1 -'N' 2 - N+1'
, ¡,',(1', 1/1)¡'I(I',1/1) = R2(1',¡jJ)'
1\'2(1', V') = 1'2COS(I' -VJ) - 1'¡ + COSI' + sin 1',
R'(I',1/1) = (r¡coSl'-1'2cos1/1)'
+ (1"1 sin I.p - 1'2 sill t./J)2,
que junio con la condición de contorno de tipo Dirichlet (67)en 52 nos da la ecuación
!J.- 1'" 1\3(0, V')PI (1/1) d1/1,lIT Jo
+ 22. r2rr
[(4(0, (3)p,(f3) df3 = ¡(o),41í Jo
Re", Me". F[,. 47 (2) (2001) 162-174
17~ A. FI~AGUELA COLLAR. J.J. OLIVEROS OLIVEROS Y A. IV r\l\OVICII CiREBÉNi'\IKOV
o.• ,--~-- ~,
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O .•.....•...•...•. _,_.p,~,...}. -'o
-2:, r'" ::::::::::::::::::::::::::¡::::::::l""\;,o
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o,
o.,
0.3
0,1 -
FI(;URA 5. Comparación del potencial exacto con los rccuperadm. sin y con regularización.
.1) lineas isopotencialcs para el potencial exacto en coor-denadas cartesianas.
..•) lineas isopotcncialcs para el potencial recuperado encoordenadas cartesianas.
(j. Conclusiones
(56), siempre que.J. /11 satisfaga la condición (5Y). Ademásdebido a quc cl invcrso del opcrador R no es continuo cstcprohlcma es 1l1J1 plantcado .
Basados cn el cjcmplo numérico dc la Scc. 5, esperamoscncontrar resultados Iluméricos satisfactorios al resolver clPIE con datos dc entrada discrctos en el caso tridimcnsional.
HClllos prohado que el prohlema inverso de recuperación dcla componente normal .J . TI¡ de la corriente J producida porla actividad clcctrica dc las neuronas en la corteza cerebralticlle solución única y se reduce al estudio del sistema (55)-
Agradecimientos
Trahajo parcialmellte apoyado por el CONACyT. proyecto2~~51A.
r\lio saoatico 11~IAS-UNAt\1.
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