Introducción a la teoría de la plasticidad - II

2011 – 2do Cuatrimestre

Planteo para estudio analítico

• e) un criterio de fluencia que establezca la transición de la región elástica a la plástica,

• f) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango plástico,

• g) la variación de las condiciones de fluencia para un material que ya experimentó endurecimiento o ablandamiento.

f) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango plástico

• Se trata de establecer relaciones constitutivas. • Teorías *de la deformación total *incrementales • Ventajas y desventajas. • Comportamiento plástico ideal

Teoría de Prandlt y Reuss • Asume: dε = dεe+dεp (materiales elastoplásticos) y los ejes

principales de tensiones y deformaciones coinciden . • Postula que los incrementos de deformación plástica son

instantáneamente proporcionales a las tensiones desviadoras actuantes

donde dλ es una función instantánea del punto del cuerpo en el que se considera el estado. Puede evaluarse usando tensiones y deformaciones equivalentes

λεεεεεε ds

ds

ds

ds

ds

ds

dzx

pzx

yz

pyz

xy

pxy

zz

pzz

yy

pyy

xx

pxx ======

equiv

pequiv

equivijijijijp

equivp

ijp

ij

ijp

ij

dd

dssdsddddd

sdd

σε

λ

σλλλεεεε

λε

23

)(32

32)(

32).)(

32()()

32(

.

2222

=⇒

====

⇒=

Teoría de Prandlt y Reuss • Para escribir los incrementos de la deformación elástica en función

de las tensiones, se toman incrementos en la Ley de Hook generalizada. Para calcular los incrementos de la deformación plástica se utiliza proporcionalidad anterior y la expresión de la parte desviadora sij del tensor de tensiones:

xyequiv

pequivxy

xyxy

xy

zyxequiv

pequiv

zyx

zyxzyxxx

ijijkkijp

ijeijij

dG

dsd

Gd

d

dddd

E

ddddE

d

ejemplopor

sddE

dE

ddd

σσεσ

λσ

ε

σσσσε

σσνσ

σσσλσσνσε

λδσνσνεεε

+=+=

+−++−=

=+−++−=

+−+

=+=

2.

2

)](21[)]([1........

)](21.[

32)]([1

:.

.))1((

Teoría de Levy y Mises

• Asume dε = dεp (materiales rigido-plásticos) y la otras hipótesis de la teoría de Prandlt-Reuss.

• Operando en forma similar al caso anterior:

xyequiv

equivxy

zyxequiv

equivzyxxx

ijp

ijij

dd

ddd

ejemploporsddd

σσε

ε

σσσσε

σσσλε

λεε

=

+−=+−=

==

)](21[)](

21.[

32

:.,...

λεεεεεε ds

ds

ds

ds

ds

ds

dzx

zx

yz

yz

xy

xy

zz

zz

yy

yy

xx

xx ======

Teoría de Levy y Mises

• Con cálculos similares al caso anterior:

xyequiv

pequiv

xyxy

zyxequiv

pequiv

zyxxx

ijp

ijij

dsdd

d

dd

ejemploporsddd

σσε

λε

σσσσε

σσσλε

λεε

==

+−=

=+−=

==

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32

:.

.

Planteo para estudio analítico

• e) un criterio de fluencia que establezca la transición de la región elástica a la plástica,

• f) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango plástico,

• g) la variación de las condiciones de fluencia para un material que ya experimentó endurecimiento o ablandamiento.

g) la variación de las condiciones de fluencia para un material que ya experimentó endurecimiento o ablandamiento.

• Modificación de la superficie de fluencia por endurecimiento o ablandamiento.

• Sólo trataremos endurecimiento lineal

Hipótesis simplificativas • Para la consistencia en la formulación

(espacio de tensiones admisibles en plasticidad quasiestática)

Eσadm = Eσ ∪ ∂ Eσ = {σ / F (σ,α) ≤ 0}.

Endurecimiento isotrópico Endurecimiento cinemático

Caso de estudio: objetivo

• Endurecimiento isotrópico – solicitación uniaxial: • En el espacio de las tensiones admisibles Eσ

adm las siguientes situaciones son posibles:

j) En régimen elástico (Eσ):

σ = E ε => dσ = E dε , (Ley de Hooke) jj) En régimen elasto-plástico (Eσ): en descarga:

dF(σ,α)<0 => dσ = E dε , (Ley de Hooke) en carga plástica:

dF(σ,α)=0

• postulamos que la relación es dσ = Eplast dε , • queremos hallar una expresión para Eplast

Caso de estudio: planteo del problema

• Elegiremos, como variable (funcional) de endurecimiento α= α(σ, εp) a una función que verifique: y α(εp=0) = 0. Si el proceso de deformación es monótono creciente α= εp, ésto no es válido bajo condiciones generales de deformación.

• Dar una ley de endurecimiento significa especificar la función

σy(α) , que en este caso será:

σy(α)=σy + H’α => dσy(α)=H’dα

Caso de estudio: planteo del problema

• Completamos la expresión de F, que en este caso (ya sea que usemos el criterio de Tresca o de von Mises ) es

• Sobre la superficie de fluencia Eσ se verifica F(σ,α)=0. por lo tanto diferenciando y teniendo en cuenta que dF(σ,α)=0 , se tiene:

)'(),( ασσασ HF y +−=

.'0)(')(')(

0)(

p

p

y

dHddsignHdsigndHdsign

dd

εσ

εσσσασσ

ασσ

=⇒

=−=−⇒

=−

Caso de estudio: ecuación constitutiva en el rango elastoplástico

• De lo anterior, con la hipótesis de aditividad de los incrementos de

deformación resulta:

''.......

''

'')

'11(

'11

HEHEEd

HEHEd

dEH

HEdHE

dH

dE

ddd

plast

pe

+=⇒

+=⇒

+=+=+=+=

εσ

σσσσεεε

Caso de estudio: conclusiones • La expresión anterior permite explicar diversos comportamientos:

• l) H’>0 => Eplast>0 lo que indica endurecimiento (ver figura a)). En

particular, si H’=∞ => Eplast=E y no hay fluencia.

• ll) H’=0 => Eplast=0 es el caso de elasto-plasticidad ideal (figura b))

• lll) H’<0 => Eplast<0, plasticidad con ablandamiento. Si H’= -E => Eplast=-∞ (ver figura b))

a b

Generalización Para tratar la plasticidad en estados complejos de tensiones solo

comentaremos dos tendencias en el caso de metales con endurecimiento, asumiendo

• que la variación unitaria de volumen es despreciable, • que los ejes de tensiones y de incrementos de la deformación se

mantienen paralelos a los largo de todo el proceso y -como antes- que el endurecimiento es isotrópico,

• que la expresión de f(I1, I2, I3) está determinada por el criterio de von Mises y la ley de endurecimiento es lineal)

Trataremos los siguientes casos: • Endurecimiento por deformación (hipótesis de curva universal de

flujo) • Endurecimiento por trabajado (se asume que la tensión equivalente

σequiv es una función del trabajo plástico total )

Endurecimiento por deformación Plantea la existencia de una curva universal del flujo. Hipotesis: , H una función conveniente. • proporcionalidad (para las teorías de Prandlt-Reuss o de Levy-Mises) • las cargas son aplicadas radialmente, producen componentes de tensión proporcionales y sigue siendo válida la hipótesis de pequeñas deformaciones; es posible integrar los incrementos plásticos Ahora hay una expresión funcional que relaciona σequiv y εequiv, que se

supone derivable,

• Si no pueden despreciarse los incrementos de deformaciones elásticas

• Si pueden despreciarse los incrementos de deformaciones elásticas

'23)(

'H

dd

dd

ddH

Hequiv

equivp

equiv

equivp

equiv

pequiv

σσ

λεσ

εε

=⇒==

equivequivequiv

equivpequivequiv d

HHd

dd σσσ

σεε .

'1

23.

'23

===

equivequivequivequiv

equivequiv

pequiv

eequivequiv d

Hd

EHd

dE

ddd σσσσ

σσεεε .

'1

231.

'231

+=+=+=

∫= )( pequivequiv dH εσ

Endurecimiento por trabajado

• Se asume que la tensión equivalente σequiv es una función del trabajo plástico total

• Es un caso particular del anterior en el que la relación universal se puede expresar en términos del potencial plástico Bajo hipótesis suficientes, esta teoría propone la siguiente relación

• Procediendo de manera similar

• Se obtiene:

• Y, cuando se pueden despreciar las deformaciones elásticas,

∫== pequivequivppequiv dWconWG εσσ ..),..(

223

equiv

p

equiv

pequivp

equivequivp

dWddddW

σσε

λεσ ==⇒=

equivequiv

pequiv

pequiv

eequivequiv d

dWd

Eddd σ

σσεεε .

231

2+=+=

equivequiv

ppequivequiv d

dWdd σ

σεε .

23

2==

Fluencia plana • Se conoce con este nombre al proceso de deformación plástica en el que las

mayores deformaciones se producen solamente en un plano (pudiéndose despreciar las que resultan en la dirección normal a dicho plano). Esto puede suceder porque el mismo material restringe las deformaciones o porque la herramienta usada en el proceso impide las deformaciones en una dirección. Es el caso de la laminación de metales (a) o de compresión de planchas entre placas paralelas (b).

a

b

Fluencia plana Sea xy el plano en el que se produce la deformación, entonces: • el flujo de deformación es siempre paralelo al plano xy y es

independiente de la variable z, lo que implica que los únicos incrementos de deformación NO nulos son dεxx, dεyy y dεxy que sólo dependen de x e y.

• Si los incrementos de deformaciones elásticas son despreciables frente a los correspondientes a las deformaciones plásticas ( pueden aplicarse las relaciones de Levy-Mises) y se obtiene

lo que significa que la dirección z es principal y vale : • si se asume constancia de volumen, de la ecuación (13) se deduce que dεxx = -dεyy.

00

00

=⇒==

=⇒==

yzyzrquiv

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xzxzrquiv

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dd

dd

σσσε

ε

σσσε

ε

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21[ yx

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