Plasticidad - simula.industriales.upm.essimula.industriales.upm.es/ignacio/resources/MSD/Apuntes/MSD-tema8.pdf · Si se continu´a deformando la probeta, la curva tension-deformacion

Capıtulo 8

Plasticidad

Una caracterıstica de los materiales reales es su resistencia limitada.Esta propiedad fundamental, que hace entre otras cosas que las piezas yestructuras se rompan, no se contempla en la respuesta elastica, ni siquieraen la viscoelastica. El primer rasgo importante de las teorıas de plasticidad esque incorporan un lımite a la capacidad resistente del material y lo codificanmatematicamente.

Un segundo rasgo propio de la plasticidad es la caracterizacion de larespuesta irreversible, que se observa, sobre todo, en los materiales ductiles.En estos tipo de materiales se aprecia claramente que cuando se supera uncierto estado de carga las deformaciones que se producen posteriormente nose recuperan, a pesar de que se retiren las solicitaciones. Este fenomeno,conocido como fluencia, es clave para disenar procesos de fabricacion porconformado, pero tambien para poder valorar la seguridad de estructuras ovehıculos en situaciones extraordinarias como impactos, terremotos, etc.

8.1. Historia

La teorıa de la plasticidad se origina con los estudios de Tresca en 1864 enlos cuales describe que ciertos materiales fluyen cuando se someten a cargassuficientemente altas y que la deformacion que alcanzan permanece, inclusocuando las cargas se retiran [1]. Colocando varias finas laminas de plomo ysometiendolas a punzonamiento, Tresca concluye, entre otras cosas, que elmaterial se deforma isocoricamente, y que el flujo plastico se inicia cuandola maxima tension tangencial alcanza un cierto valor crıtico, condicion quese asocia desde entonces a su nombre.

Casi a la vez, Saint-Venant propone la primera teorıa de lo que se conoceactualmente como plasticidad rıgida y la aplica a problemas planos, teorıaque posteriormente extiende Levy a problemas tridimensionales.

En 1913 von Mises propone un criterio de fluencia distinto al de Trescamuy utilizado para estudio de metales y que mantiene su nombre hasta

163

164 Mecanica de solidos I. Romero

Figura 8.1: Detalle de los experimentos de Tresca sobre la plasticidad enplomo.

hoy basado, no en el valor de la tension tangencial, sino en consideracionesenergeticas.

La primera teorıa elasto-plastica completa la presenta Prandtl en 1924para problemas bidimensionales y es Reuss quien la extiende a problemastridimensionales en 1930. Durante los anos siguientes se desarrollan todaslas aplicaciones de la plasticidad perfecta, como el analisis lımite, la teorıade lıneas de fluencia, etc, y es en 1950 cuando Hill publica su libro sobrela teorıa matematica de la plasticidad ([2]) que culmina y unifica todoslos trabajos anteriores a el. El trabajo de Hill practicamente concluye todala formulacion de la teorıa de la plasticidad en pequenas deformaciones ydesde entonces los avances fundamentales han estado asociados a la teorıaen grandes deformaciones ([3]).

8.2. Fenomenologıa de la plasticidad

Las caracterısticas principales de la respuesta plastica son, como se hamencionado, la existencia de un lımite en la respuesta mecanica y la apari-cion de fenomenos irreversibles. Estas dos cualidades seran replicadas en losmodelos que presentaremos pero existen otras, tambien importantes, que seobservan en los experimentos sobre materiales elastoplasticos.

8.2.1. El ensayo de traccion uniaxial

Todos los elementos basicos de respuesta elastoplastica se pueden iden-tificar en el ensayo de traccion uniaxial, por lo que a continuacion lo descri-bimos con cierto detalle, basandonos en el esquema de la figura 8.2.

Supongamos que se ensaya a traccion una barra de un material metalicolibre de tensiones y se dibuja un diagrama tension-deformacion (ingenieriles)del ensayo. En este se puede apreciar lo siguiente:

Al comenzar a cargar la probeta, el diagrama muestra una respuesta

Capıtulo 8. Plasticidad 165

"

�

�f

P

Figura 8.2: Ensayo uniaxial de traccion en un material ductil tıpico.

proporcional: la tension crece con la deformacion, y ademas esta rela-cion es proporcional. Esta constante de proporcionalidad, como ya seexplico, es el modulo de Young del material. La respuesta proporcionaltiene ademas otra propiedad fundamental y es que es reversible. Cuan-do la tension disminuye, la deformacion tambien lo hace, y ademas elcamino de descarga es la misma recta que la de carga.

Al continuar incrementando el valor de la tension se observa que lacurva � � " pierde su linealidad. El valor de la tension por encima delcual esto ocurre se conoce con el nombre del lımite de proporciona-

lidad . Cuando la tension supera este valor caracterıstico del material,la respuesta (y por tanto la curva) pasa a ser no lineal, pero se siguemanteniendo la reversibilidad del proceso: al igual que antes, al reducirel valor de la tension, observamos como la curva se recorre en sentidocontrario a la carga, hasta el origen.

Si se incrementa mas la tension, se supera un valor, tambien carac-terıstico del material y que se conoce como lımite elastico, a partirdel cual las deformaciones que se producen no son completamente re-cuperables. Al descargar la probeta se observa que el camino ya nocoincide con el de carga y que, al retirar las tensiones completamente,la probeta queda con una deformaciones permanentes o deformacio-

nes plasticas. Este proceso se verifica de forma identica a tracciony a compresion de la probeta, siendo el lımite elastico de ambos casosidenticos.

Si en el ensayo de traccion se supera el lımite elastico, se observa en


el diagrama una region en el que la tension se mantiene practicamenteconstante mientras la deformacion crece, como si el material fluyera.Este valor de la tension se conoce como el lımite de fluencia . Ladeformacion que ocurre durante la fluencia es plastica.

Si se continua deformando la probeta, la curva tension-deformacioncontinua con pendiente positiva, siendo la deformacion mayormenteplastica. Para identificar la parte de la deformacion plastica de laelastica basta con descargar la probeta en cualquier instante, puesla deformacion plastica es la que se corresponde con la tension nula.

Despues de una descarga completa se observan dos fenomenos: prime-ro, al volver a cargar la probeta este proceso es elastico hasta que sealcanza la tension en la se comenzo la descarga. Esta tension es mayorque el lımite elastico y se dice que el material, debido a la deforma-cion plastica, ha sufrido un endurecimiento isotropo. Ademas, si laprobeta se descarga y despues se continua ensayando a compresion secomprueba que el lımite elastico a compresion ha disminuido respectoa su valor original, conociendose esto como el efecto Bauschinger .Para modelar este efecto, se supone que la disminucion del lımite elasti-co en un sentido es igual al incremento del lımite elastico en el otrodebido al endurecimiento isotropo, siendo el primero conocido comoendurecimiento cinematico.

En los metales se observa experimentalmente que la deformacion plasti-ca es practicamente toda ella desviadora, es decir, que el flujo plasticoes isocorico.

Si las tensiones de traccion siguen incrementandose se llega a la roturadel material.

8.2.2. Efecto de la velocidad de deformacion

En este capıtulo estudiaremos la deformacion de cuerpos elastoplasticosbajo velocidades de deformacion pequenas (⇡ 10�2 s�1). En este orden develocidades de deformacion las propiedades de los materiales elastoplasti-cos son constantes. En cambio, si la velocidad de deformacion es alta lascaracterısticas del material cambian: el lımite elastico se incrementa con lavelocidad de deformacion y la rama plastica se acorta.

8.2.3. Efecto de la temperatura

Como en la viscoelasticidad, la temperatura tiene un efecto importanteen el comportamiento plastico de los materiales. Por ejemplo, a temperaturasbajas los metales se comportan de manera fragil, mientras que lo hacen de


"

�

�f

"

�

�f

"

�

�f

"

�

�f

"

�

�f

"

�

Figura 8.3: Modelos simplificados del comportamiento plastico. De arribaa abajo, izquierda a derecha, modelo: plastico perfecto, plastico con en-durecimiento lineal, elastoplastico con plasticidad perfecta, elastoplasticocon endurecimiento no lineal, de Ramberg y Osgood.

manera ductil a temperaturas altas. Tambien la forma de la curva tension-deformacion se modifica con la temperatura.

8.3. Modelos simplificados

Como la respuesta elastoplastica es tan compleja, incluso para el casouniaxial, se han propuesto varios modelos simplificados. Vease la figura 8.3.Por ejemplo, el caso de la plasticidad perfecta ha servido para resolver, deforma aproximada varios problemas de interes en ingenierıa de fabricaciondonde las piezas se “conforman” por acumulacion de deformacion plasti-ca. Este tipo de modelos pueden dar aproximaciones aceptables cuando lamagnitud de la deformacion plastica sea mucho mayor que la de la parterecuperable.

Tambien se han propuesto varias modelos analıticos que permiten repre-sentar matematicamente la curva de tension-deformacion unidimensional [3].


�f

� �

"

Figura 8.4: Modelo reologico del elemento rozante, caracterizado por unlımite en la tension �f , o tension de fluencia.

Algunas de ellas, junto con el nombre de la persona que las propuso y lafecha son:

Ludwick (1909): � = �f + H"n

Prager (1938): � = �f tanh⇣

E�f

"⌘

Ramberg y Osgood (1943): " = �E + H

��E

�n

siendo H y n en cada caso constantes escogidas para ajustar el comporta-miento. Todos estos modelos sencillos permiten ajustar el comportamientoelastoplastico en un ensayo de carga, pero no pueden representar ciclos decarga y descarga o cualquier otro proceso mas complejo.

8.4. Plasticidad unidimensional

De la misma manera que los modelos reologicos permiten una descrip-cion “intuitiva” de la viscoelasticidad, existen modelos similares para pre-sentar la el comportamiento plastico. El elemento basico para comprender laplasticidad es el rozante , dibujado en la figura 8.4, un elemento mecanicounidimensional cuya deformacion viene dada por la relacion

" =

(0 |�| < �f ,

� sgn(�) |�| = �f , con � � 0 .(8.1)

Este sistema no establece una relacion unıvoca entre tension y defor-macion, sino que simplemente limita el valor lımite de la tension. La rela-cion (8.1) no es una funcion diferenciable, lo cual dificulta el analisis y laresolucion de problemas.

Para ilustrar la forma en la que los rozantes pueden emplearse para es-tudiar la respuesta de solidos elastoplasticos consideremos, en primer lugar,un solido con el modelo reologico de la figura 8.5, compuesto de un resorteelastico de constante E y un rozante de constante �f , indicando como � la


�f E

��

"p "e

"

Figura 8.5: Modelo reologico para el comportamiento elastoplastico per-fecto.

tension (fuerza) ejercida sobre el sistema, " su deformacion, que consta deun parte plastica "p y otra elastica "e, satisfaciendo " = "p + "e.

Este modelo es sometido a un ciclo de carga y descarga con control dedeformacion (ver la figura 8.6). Desde el estado sin deformar, la deformaciontotal " se incrementa hasta que se alcanza la tension de fluencia en el esta-do 1. Si se sigue incrementando la deformacion, esta crece hasta el estado 2,aunque la tension ya no puede superar el valor �f . Si en el estado 2 se iniciaun ciclo de descarga, se puede ir reduciendo la deformacion hasta encontrarun estado (correspondiente al punto 3) en el que la tension se anula. En lafigura 8.6 tambien se puede observar la evolucion de la deformacion en elrozante y en el resorte. En el primero, la deformacion crece durante la fasede carga 1 ! 2, y se mantiene constante una vez que se alcanza la tensionde fluencia, hasta la rama de descarga. Sin embargo, la evolucion de la de-formacion plastica es junto la opuesta: permanece igual a cero durante larama inicial de carga y solo cuando se alcanza �f la primera crece, hastaque se reinicia el proceso de descarga.

En este sencillo experimento se observan los dos fenomenos principalesde la plasticidad: la existencia de un lımite para el valor de la tension y laaparicion de efectos permanentes en la deformacion una vez retiradas lascargas. Tambien ilustra un aspecto que sera muy util para la formulacionmatematica de la elastoplasticidad: la deformacion " se puede descomponeraditivamente de la siguiente manera:

" = "e + "p , (8.2)

siendo "p la parte plastica de la deformacion. Ademas, la tension total sepuede expresar como

� = E(" � "p) = E"e . (8.3)

Por ultimo, para expresar matematicamente las condiciones en las que seinicia la deformacion plastica resulta util definir una funcion de fluencia

que depende solo de la tension y que para este modelo reologico es

f(�) = |�|� �f . (8.4)


�

"

1 2

3

�f

"e

t

1 2

3

�f/E

"p

t

1

2 3

"

t

1

2

3�f/E

Figura 8.6: Ensayo traccion-compresion con modelo elastoplastico perfec-to. En la figura de la izquierda se muestra el ciclo de carga-descarga y enlas tres figuras de la derecha, la evolucion de las deformaciones.

Por la forma en la que hemos definido el elemento rozante esta funcion nuncapuede tener valor positivo. De hecho, cuando se verifica f = 0, quiere decirque el rozante puede empezar a deslizar. De forma geometrica podemos decirque la tension � solo puede tomar valores en el intervalo [��f , �f ] y que elflujo plastico solo puede ocurrir cuando � esta sobre el contorno de esteconjunto. La expresion matematica de estas condiciones es:

� � 0, f(�) 0, � f(�) = 0 , (8.5)

siendo � = |"p|. Estas relaciones se suelen denominar las condiciones deKarush-Kuhn-Tucker . Notese que en el rozante se verifica

"p = � sgn(�) = �@f

@�. (8.6)

Estas expresiones para la regla de flujo seran muy utiles posteriormente.El modelo descrito tiene una respuesta analoga a la de un material elas-

toplastico con plasticidad perfecta. Otros modelos reologicos mas complejos,incluso con endurecimiento, se pueden obtener combinando mas elementos.


8.5. Criterios de fallo

La funcion de fluencia f utilizada en el modelo unidimensional sirve paracaracterizar de manera unica los casos en los que se puede dar deformacionpermanente. Extendemos a continuacion esta idea a problemas con estadosde carga completamente generales.

Los solidos salen del regimen de comportamiento elastico por motivosmuy distintos, dependiendo de la microestructura de los materiales que losconstituyen. Por ejemplo, los metales dejan de ser elasticos cuando plastifi-can debido a la nucleacion y movimiento de dislocaciones en la red cristalinade cada grano. Los polımeros tambien salen del regimen elastico, pero eneste caso se debe a desenrollamiento de cadenas polimericas. Por ultimo,los materiales ceramicos o el hormigon dejan de ser elasticos debido a laaparicion de microfisuras. Por unificar conceptos, llamaremos fallo a la fi-nalizacion del comportamiento elastico de un material, independientementedel micromecanismo responsable del mismo.

Un criterio de fallo es un modelo matematico que intenta explicarcuando se inicia el fallo de un punto material a partir del estado de tensio-nes y/o deformaciones del mismo. Aunque estan “inspirados” en la micro-mecanica de los materiales, los criterios de fallo son solo formulas sencillasque, con uno o varios parametros, ajustan los resultados experimentales dela mejor forma posible. No hay ningun criterio de fallo exacto para todoestado tensional.

En este curso estudiaremos criterios de fallo de la forma f(�) 0 yllamamos a f la funcion de fallo. Cuando f(�) es negativo, el estadotensional � se encuentra en regimen elastico. Cuando f(�) = 0, el criteriopredice que se produce el fallo. Lo que ocurre si f > 0 no tiene interesporque el criterio no proporciona entonces informacion util. Cuando el valorde f(�) es negativo, su modulo indica, la “distancia” que esta el punto delfallo. Aunque no lo definamos con precision, si f(�1) < f(�2), entonces elestado �1 esta mas lejos del fallo que el estado �2.

De forma abstracta se puede definir el dominio elastico E como laregion en el espacio de tensiones tal que f < 0. Cuando una tension es talque � 2 E, el punto material se estara cargando o descargando elasticamente.Solo cuando un estado tensional este en el contorno de E sera posible quehaya deformacion plastica.

Por simplificar mas aun los criterios de fallo, nos basaremos en el ensayode traccion/compresion pura para definir los criterios de fallo. En un materialductil, sabemos que el fallo plastico ocurre cuando la tension alcanza el lımiteelastico �e; en cambio, un material fragil falla cuando la tension alcanza elvalor �r, la tension de rotura. Si definimos la tension ultima �u al lımiteelastico, si el material es ductil, o la tension de rotura, si el material es


fragil, consideraremos en este curso criterios de fallo siempre de la forma:

f(�) = �eq(�)� �u , (8.7)

siendo �eq un escalar que denominamos la tension equivalente y que siem-pre ha de definirse de acuerdo a un criterio de fallo.

Para cuantificar la severidad de un estado tensional respecto de un cri-terio de fallo, se define el coeficiente de seguridad del estado tensional �respecto al criterio de fallo f como el escalar n tal que

f(n�) = 0 . (8.8)

De acuerdo a las dos definiciones anteriores, la tension equivalente �eq(�)es aquella tension que en un ensayo de traccion/compresion pura tendrıa elmismo coeficiente de seguridad que �.

Un criterio de fallo no puede depender de � de cualquier manera. Paraque este sea fısicamente correcto, por ejemplo, no puede ser una funcionde las componentes de la matriz asociada a � que dependa del sistema decoordenadas escogido. Expresado de otra manera, la funcion f solo puededepender de invariantes de � y si ademas, es isotropa, no puede depender deninguna direccion. Existen infinitos invariantes del tensor tension, pero solose pueden escoger tres que sean funcionalmente independientes. Tıpicamentese escogen, bien los invariantes principales descritos en el Capıtulo 1, o bienlas tres tensiones principales. Por unificar conceptos utilizaremos siempreestas tres ultimas y, abusando de la notacion, escribiremos:

f(�) = f(�I , �II , �III) = �eq(�I , �II , �III)� �u . (8.9)

Como en ultima instancia la funcion de fallo depende unicamente de lastres tensiones principales se puede dibujar la superficie f(�I , �II , �III) = 0en un sistema cartesiano tridimensional. Esta representacion puede ser utilpara comprender cualitativamente los criterios y para compararlos entreellos. Vease por ejemplo los dominios elasticos en la figura 8.7.

8.5.1. Criterios de fluencia para materiales ductiles

Independientemente de los micromecanismos responsables de la finaliza-cion del comportamiento elastico en los materiales ductiles, estos se carac-terizan por una rama plastica muy larga hasta el fallo definitivo. Por ello,todos los criterios de fallo de materiales ductiles se llaman criterios de

fluencia .Entre los materiales ductiles, los mas comunes son los metales. Existen

varios criterios para modelar su fallo y a continuacion describimos los dosmas habituales.


�I �II

�III

�I �II

�III

Figura 8.7: Representacion grafica en el espacio (�I , �II , �III) de los domi-nios elasticos segun el criterio de Tresca (izda) y de von Mises (dcha).

Figura 8.8: Henri Edouard Tresca (1814–1885).

El criterio de Tresca

El criterio de Tresca (1814-1885) se basa en una serie de experimentosllevados a cabo entre 1864 y 1873 por dicho ingeniero frances. En ellos, Trescaestudio la deformacion plastica y el punzonamiento de placas y cilindros deplomo, cobre, parafina, hielo, etc. Los informes de estos experimentos fueron,durante 80 anos, los mas completos sobre el tema de plasticidad. En ellos sedescriben, por primera vez, el regimen elastico, el endurecimiento plastico yla fluencia de los metales. Sobre este ultimo aspecto, ademas de identificarpor vez primera que los metales fluyen como lıquidos, de forma isocorica,demostro que esto ocurre siempre bajo un estado tensional en el que latension tangencial maxima tiene un valor caracterıstico, constante para cadamaterial. Como en un ensayo de traccion pura la tension tangencial maxima


toma el valor �/2 propuso la siguiente funcion de fluencia:

fTresca(�I , �II , �III) = �Trescaeq (�I , �II , �III)� �e,

�Trescaeq (�I , �II , �III) = �I � �III .

(8.10)

En ocasiones resulta mas util expresar el criterio de Tresca como unafuncion de la tensiones principales sin ordenar. En este caso, la tensionequivalente se puede escribir como

�Trescaeq (�I , �II , �III) = max [|�I � �II |, |�II � �III |, |�III � �I |] . (8.11)

Usando esta ultima expresion es sencillo comprobar que la superficie defluencia en el espacio �I , �II , �III se obtiene extruyendo un hexagono a lolargo del eje �I = �II = �III . Ver la figura 8.7.

Los criterios de von Mises y Beltrami

El segundo criterio de fluencia que consideramos fue formulado por Max-well hacia 1865, pero se suele atribuir a von Mises (1883–1953) que lo publicoen 1913. La motivacion fısica para el criterio de von Mises se encuen-tra en el comportamiento de los metales y expresa matematicamente que laplasticidad ocurre cuando la energıa de distorsion alcanza un umbral carac-terıstico del material.

La energıa de distorsion es la energıa que tiene la parte desvidora de latension definida como s = � � pm I con pm = 1

3 tr(�). En un ensayo detraccion pura, el valor de esta energıa cuando se alcanza el lımite elasticose puede calcular y es (1 + ⌫)/(3E)�2

e . Calculando tambien esta energıa enfuncion de las tensiones principales se puede establecer la siguiente funcionde fluencia:

fvM (�I , �II , �III) = �vMeq (�I , �II , �III)� �e , (8.12)

siendo la tension equivalente respecto al criterio de von Mises igual a

�vMeq (�I , �II , �III) =

r1

2[(�I � �II)2 + (�II � �III)2 + (�III � �I)2] . (8.13)

Al dibujar fvM = 0 en el espacio de las tensiones principales se observaque la superficie de fluencia es un cilindro con eje en la recta �I = �II = �IIIque pasa por el origen de coordenadas (ver la figura 8.7). Ası, por ejemplo,se puede apreciar que segun este criterio, tensiones esfericas nunca tocan lasuperficie de fluencia.

. Ejemplo 8.5.1. Un punto de un cuerpo deformable ductil esta sometidoa un estado tensional cuya matriz asiociada, en un sistema de referenciacartesiano, es

[�] =

2

410 �10 0

�10 20 00 0 15

3

5 MPa . (8.14)


Calcular la tension equivalente en el punto segun los criteriosd de Tresca yvon Mises. Si se sabe que el lımite elastico del material es �e = 80 MPa,calcular ademas el factor de seguridad del estado tensional anterior seguncada uno de los dos criterios indicados.

Las tensiones principlales de este estado tensional son

�I = 15 + 5p5 MPa , �II = 15 MPa , �III = 15� 5

p5 MPa .

(8.15)Las tensiones equivalentes segun los criterios de Tresca y von Mises son:

�Treq = 10

p5 = 22,36 MPa , �vM

eq = 19,37 MPa . (8.16)

En cada caso, el factor de seguridad es

nTr =80

22,36= 3,58 , nvM =

80

19,37= 4,13 . (8.17)

Notese que, para este estado tensional, el criterio de Tresca es mas conser-vador que el criterio de von Mises. /

Anteriormente a von Mises, Beltrami propuso un criterio de fluenciamuy similar que predecıa el fallo plastico cuando la densidad de energıa dedeformacion alcanza un valor crıtico. A diferencia del criterio de von Mises,el criterio de Beltrami tiene en cuenta la densidad de energıa debida a lapresion y su uso es muy limitado porque sus predicciones no se ajustandemasiado bien a los resultados experimentales en metales.

8.5.2. Criterios de rotura para materiales fragiles

Los materiales fragiles fallan de forma subita, sin aparente fluencia, ypor ello los criterios de fallo se denominan criterios de rotura . Ademas,otra caracterıstica que distingue los materiales fragiles de los ductiles es suhabitual anisotropıa pues resisten mucho mas a compresion que a traccion.

El criterio de Rankine

El criterio de Rankine predice que un punto material falla cuando,bien la tension principal mayor �I alcanza la tension de rotura a traccion�rt, o bien la menor tension principal �III alcanza la tension de rotura acompresion �rc.

Matematicament el criterio de Rankine se puede expresar como

fRankine(�I , �II , �III) = �Rankineeq (�I , �II , �III)� �rt ,

�Rankineeq (�I , �II , �III) = max(�I ,��III

�rt

|�rc|)

(8.18)


Figura 8.9: William Rankine (1820–1872).

El criterio de Saint Venant

El criterio de Saint Venant predice que el material fallara cuando lasdeformaciones principales alcancen un valor crıtico. Definiendo la tensionequivalente como

�SVeq = max

i 6=j 6=k|�i � ⌫�j � ⌫�k| (8.19)

la funcion de fallo, se puede formular, como siempre,

fSV (�I , �II , �III) = �SVeq (�I , �II , �III)� �u (8.20)

El criterio de Mohr-Coulomb

La motivacion para el criterio de Mohr-Coulomb surge de la observacionexperimental que indica la resistencia al cortante de ciertos materiales essensible a la presion media. Este tipo de comportamiento se asemeja a la leyde Coulomb de la friccion y fue Mohr en 1882 quien noto que la condicion defallo en este caso coincide con el instante en el que el mayor cırculo de Mohres tangente a una recta, denominada la recta caracterıstica del material.

Como se puede apreciar en la figura 8.10, la recta caracterıstica intersectael eje vertical del diagrama de Mohr en el punto (0, C). La constante C delmaterial indica su resistencia a cortante cuando la tension normal es nula yse llama por ello la cohesion del mismo. El angulo � determina cuanto crecela resistencia a la cortadura en funcion de la tension normal. Por analogıacon la ley de Coulomb del rozamiento, esta constante material se llama elangulo de friccion del material.

En la figura 8.10 se observa que los estado tensionales correspondientes alos estados de tension y compresion pura en el punto de rotura son tangentes


�rt�rc�n

|⌧ |

�3 �1

�

(0, C)

H

Figura 8.10: Representacion grafica del criterio de Mohr-Coulomb.

a la recta caracterıstica del material. Por tanto se puede escribir:

sin� =�rt/2

H � �rt/2, y tambien sin� =

|�rc|/2

H + |�rc|/2. (8.21)

Igualando ambas expresiones del seno del angulo de friccion se obtiene que

H =�rt

1� k, con k =

�rt

|�rc|. (8.22)

Una vez obtenida el valor de la tension H para la cual el material no resisteningun esfuerzo tangencial, se puede despejar el valor del seno del angulo defriccion como:

sin� =1� k

1 + k. (8.23)

Por ultimo, como se deduce de la figura 8.10, se puede escribir que, encualquier estado de fallo se ha de verificar:

sin� =�I��III

2

H ��I+�III

2

. (8.24)

Y sustituyendo los valores de sin� y H obtenidos, respectivamente, en (8.23)y (8.22) resulta que en cualquier estado de fallo:

�I � k�III � �rt = 0 . (8.25)

Concluimos que la funcion de fluencia para el criterio de Mohr-Coulomb sepuede escribir como:

fMC(�I , �II , �III) = �MCeq (�I , �II , �III)��rt , y �MC

eq (�I , �II , �III) = �I�k�III .(8.26)

En el caso en el �rt = �rc el criterio de Mohr-Coulomb coincide con el deTresca.


�n (MPa)

|⌧ | (MPa)

-40 -30 -20 -10 0 10

Figura 8.11: Ejemplo 8.5.2. Diagramas de Mohr del estado tensional ori-ginal (gris), del estado escalado segun el factor de seguridad del criteriode Rankine (amarillo), del estado escalado segun el factor de seguridad deMohr-Coulomb (rojo).

. Ejemplo 8.5.2. Un solido esta sometido a una solicitacion de forma queen un punto el estado tensional se puede expresar, en una base cartesiana,como

[�] =

2

4�10 10 010 �15 00 0 2

3

5 MPa . (8.27)

La tension de rotura a traccion del material es �rt = 10 MPa y la de com-presion es �rc = 40 MPa. Calcular la tension equivalente en el punto segunlos criterios de Rankine y de Mohr y los factores de seguridad en cada caso.Dibujar el diagrama de Mohr del estado tensional en el punto y los diagra-mas de los estados tensionales cuando la tension es �0 = n�, siendo n cadauno de los coeficientes de seguridad previamente calculados.

Las tensiones principales son

�I = 2,00 MPa , �II = �2,19 MPa , �III = �22,81 MPa ,

y, empleando las expresiones (8.18) y (8.26), las tensiones equivalentes deRankine y Mohr-Coulomb son:

�Rankineeq = 5,70 MPa , �MC

eq = 7,70 MPa ,

por lo que sus correspondientes factores de seguridad son

nRankine = 1,75, nMC = 1,29 .

En la figura 8.11 se observan el diagramas de Mohr correspondiente alestado tensional �. Cuando este estado se escala segun nRankine, se sigue


un diagrama de Mohr (amarillo) que se puede dibujar multiplicando pordicho factor cada una de las tensiones principales y volviendo a completarlos cırculos. El nuevo estado es tangente a la lınea �n = �40 MPa. Porultimo, al dibujar el diagrama de Mohr asociado al estado � ·nMC (en rojo)se observa que este es tangente a la recta caracterıstica del material.

/

�

�

p

Figura 8.12: Cilindro sometido a un estado triaxial del ejemplo 8.5.3.

. Ejemplo 8.5.3. El cilindro de la figura es de un material ceramico cuyofallo puede predecirse con el criterio de Mohr-Coulomb. Se desea conocer laresistencia del material y para ello se realizan dos ensayos. En el primero, laprobeta se comprime lateralmente con una presion p = 2 MPa; despues setracciona en direccion axial y se observa que el fallo se produce cuando � =0, 7 MPa. En el segundo ensayo se emplea una presion lateral de p = 4 MPay la probeta se comprime axialmente, observandose que en este caso el falloocurre cuando esta compresion es de 14 MPa. Determinar la cohesion y elangulo de friccion del material.

El criterio de Mohr-Coulomb indica que el fallo en un material ocurrecuando se verifica

�1 � �3 � �rt = 0 ,

siendo �1 y �3 la mayor y menor tension principal, respectivamente, �rt

el lımite de rotura a traccion y = �rt/�rc, con �rc el lımite de roturaa compresion. Como en los dos ensayos realizados se llega a la rotura del


material se cumple que

0,7 + 2� �rt = 0 ,

�4 + 14� �rt = 0 .

Resolviendo este sistema de ecuaciones se sigue que

= 0, 392 y �rt = 1,48 MPa ,

por lo que �rc = 3,79 MPa. De aquı se sigue el la cohesion C y el angulo defriccion ✓ son:

✓ = arcsin1�

1 + = 25, 9o , C =

�rt

1� sin ✓ = 1,73 MPa .

/

8.5.3. Otros criterios

Existen numerosos otros criterios de fallo, adaptados especialmente paraun tipo particular de materiales.

El criterio de Drucker-Prager

De la misma manera que el criterio de Mohr-Coulomb generaliza el crite-rio de Tresca introduciendo una dependencia de la resistencia con la presion,Drucker y Prager en 1952 propuesieron una extension del criterio de von Mi-ses para capturar el mismo efecto. La funcion de fallo en este caso es de laforma

fDP (�I , �II , �III) = k desv�k � ↵p � K , (8.28)

8.6. Endurecimiento

En el modelo simplificado del rozante, una vez que la tension alcanzael valor lımite �f , esta permanece constante mientas el modelo sufre de-formacion plastica. Sin embargo, ya en el ensayo de traccion de metales seobserva un comportamiento distinto, en el que a medida que la deformacionplastica crece, la tension necesaria para seguir deformando plasticamenteel material tambien crece. Este efecto se conoce con el nombre de endu-

recimiento isotropo. Ademas, tambien se aprecia que el lımite elasticoa compresion cambia, conociendose este fenomeno como el de endureci-

miento cinematico. Estudiamos en esta seccion el modelado de ambosendurecimientos.

Comenzamos por estudiar el problema unidimensional. Cuando se pro-duce plastificacion, se observa que el lımite elastico pasa de ser �e a ser


�e + q, siendo q una funcion monotona de la deformacion plastica. Es decir,q = q(↵) y

↵(t) =

Z t

0|"p| d⇠ (8.29)

En este caso, la funcion de fluencia del material endurecido serıa

f = f(�, q) = |�|� (�e + q) (8.30)

y por tanto

↵ = ��@f

@q. (8.31)

Existen varias expresiones que se emplean para modelar q(↵), por ejemplo,

Endurecimiento lineal: q(↵) = Hiso ↵, con Hiso constante;

Con saturacion: q(↵) = (�1 � �f )(1� e�⌘↵)

Cuando existe endurecimiento cinematico se observa que la plastificacionno depende del modulo de � sino del modulo de una tension desplazada ��Q,siendo en este caso Q = Q(�) una funcion de � = "p, la deformacion plasticatotal. Cuando un material tiene este tipo de endurecimiento, su funcion defluencia para a ser

f = f(�, Q) = |� � Q|� �e (8.32)

y se comprueba tambien que

� = ��@f

@Q. (8.33)

La relacion entre Q y � admite varias expresiones posibles pero la mas comunes la lineal, es decir,

Q(�) = Hcin � (8.34)

Las constantes Hiso y Hcin se conocen como los modulos de endureci-

miento isotropo y cinematico, respectivamente y son positivas.En el caso general de un material con endurecimiento de los dos tipos

considerados anteriormente, su funcion de fluencia serıa simplemente

f(�, q, Q) = |� � Q|� (�e + q), (8.35)

con q = q(↵), Q = Q(�) y

↵ = ��@f

@q, � = ��

@f

@Q, (8.36)

Los dos tipo de endurecimiento enunciados tienen una interpretaciongeometrica sencilla cuando se emplea el concepto de la region elastica. Enel caso del endurecimiento isotropo, se observa que cuando este se produ-ce, el dominio elastico crece de tamano, en todas las direcciones por igual.En el caso de endurecimiento cinematico, este se manifiesta desplazando eldominio elastico dentro del espacio de tensiones.


8.7. Las ecuaciones de Prandtl-Reuss

Una vez presentadas las ecuaciones que describen el modelo elastoplasti-co en una dimension, estudiamos a continuacion su extension a problemastridimensionales, limitando esta a materiales ductiles. El modelo completo deplasticidad en pequenas deformaciones lo propuso por primera vez Prandtlen 1924, para dos dimensiones, y Reuss en 1930 para tres dimensiones. Estosson los principales ingredientes de la teorıa:

Descomposicion aditiva de la deformacion. En todo punto, la defor-macion infinitesimal se descompone en una parte “elastica” y otra “plastica”,es decir,

" = "e + "p . (8.37)

Por consiguiente, y dada la linealidad del operador traza, tambien se puedendescomponer la deformacion volumetrica y la desviadora:

✓ = ✓e + ✓p , e = ee + ep . (8.38)

Flujo plastico isocorico. Para adecuarse a la evidencia experimentalque indica que la deformacion plastica no tiene componente volumetrica seadmite la simplificacion:

✓p = 0 . (8.39)

Esta simplificacion es muy util y se verifica de forma muy precisa parapequenas deformaciones, aunque no es tan precisa cuando las deformacionesson grandes.

Respuesta elastica. La tension depende unicamente de la parte elasticade la deformacion, ası pues

� = s+ pI , s = 2µ(e� ep) , p = k(✓ � ✓p) = k✓ . (8.40)

Superficie de fluencia en el espacio de tensiones. Se supone queexiste una funcion f , la llamada funcion de fluencia, tal que la ecuacionf(�, q,Q) = 0 define la superficie de fluencia y tal que la tension nuncapuede estar en el exterior de la region del espacio de tensiones delimitadapor la funcion de fluencia, es decir, f 0. Mas aun, solo puede haber flujoplastico cuando la tension este en la superficie de fluencia.

Las variables q y Q modelan el endurecimiento isotropo y cinematico.La primera es una funcion escalar que depende del deslizamiento plasticoacumulado, es decir, q = q(↵) y

↵(t) =

Z t

0|"p| d⇠ . (8.41)

La segunda es una funcion de la deformacion plastica total, es decir, Q =Q(�) con � = "p.


Ley de flujo plastico y evolucion de las variables de endurecimien-to. La evolucion de la parte desviadora de la deformacion plastica ep vienedada por la ecuacion diferencial

ep = �@f

@s. (8.42)

En el caso de las variables de endurecimiento ↵ y �, su evolucion es analogaa la del caso unidimensional:

↵ = ��@f

@q, � = ��

@f

@Q. (8.43)

El deslizamiento plastico � no queda determinado todavıa pero, como encaso del elemento rozante, expresamos que el flujo plastico solo puede darsecuando la tension alcanza la superficie de fluencia mediante las ecuaciones

� � 0 , f(�, q,Q) 0 , � f(�, q,Q) = 0. (8.44)

8.8. La rigidez elastoplastica

El modulo de rigidez de un material se define como la pendiente dela tension �/". En materiales elasticos esta pendiente es constante e igualal modulo de Young E. Sin embargo, en los materiales elasto-plasticos lapendiente depende del estado, siendo inicialmente constante e igual a E,pero modificandose una vez el material plastifica.

En realidad la rigidez es un tensor de cuarto orden, como ya se estudio,que relaciona en cada instante los incrementos de tension y de deformacion,es decir,

� = C" . (8.45)

A partir de las ecuaciones de la plasticidad podemos calcular el valorinstantaneo del tensor de rigideces en un material elasto-plastico, que deno-minaremos Cep. Consideramos primero el caso unidimensional y calculamosla pendiente de la curva tension/deformacion que se llama el modulo elas-

toplastico Eep.En un material elasto-plastico con endurecimiento isotropo y cinematico

sus ecuaciones de evolucion son:

" = "e + "p ,

� = E(" � "p) , q = q(↵) , � = �(Q) ,

"p = �@f

@�, ↵ = ��

@f

@q, � = ��

@f

@Q,

� � 0 , f(�, q, Q) 0 , � · f = 0 .

(8.46)


Durante un periodo de deformacion elastoplastica f = 0 todo el tiempoası que f = 0. Expandiendo esta condicion se obtiene que

0 =@f

@�� +

@f

@qq +

@f

@QQ . (8.47)

Empleando las relaciones entre tension y deformacion, y los modelos deendurecimiento se sigue que

0 =@f

@�E(" � "p) +

@f

@qHiso↵ +

@f

@QHcin� . (8.48)

Sustituyendo la regla de flujo y las ecuaciones de evolucion de las variablesde endurecimiento se puede despejar el deslizamiento plastico como

� =@f@�

@f@�E @f

@� + @f@q Hiso

@f@q + @f

@QHcin@f@Q

E" =@f@�

E + Hiso + HcinE" . (8.49)

Finalmente, la de la expresion

� = E" �@f@�

E + Hiso + HcinE2"E

@f

@�(8.50)

se concluye que el modulo elastoplastico es:

Eep =Hiso + Hcin

E + Hiso + HcinE . (8.51)

Se observa que, como en la curva de la figura 8.2, el modulo elastoplasticoes menor que el modulo de Young.

8.9. Consideraciones termodinamicas

En las ecuaciones que describen la respuesta elastoplastica se han em-pleando funciones de fluencia, de endurecimiento, de flujo plastico, etc sinconsiderar en ningun momento si cualquier funcion es valida para modelarestos fenomenos. Empleando ahora los resultados del capıtulo 6 examinamosalgunas de estas funciones.

Limitandonos al caso de las ecuaciones de Prandl-Reuss, la energıa librede un punto material es

A(", "p) =1

2✓2 + µ(e� ep) : (e� ep) , (8.52)

siendo y µ el modulo de rigidez volumetrica y el de cortante, respectiva-mente. En este modelo la deformacion plastica "p cumple el papel de variableinterna y por lo tanto se sigue

� =@A

@"= ✓ + 2µ(e� ep) = pI + s , q = �

@A

@"p= 2µ(e� ep) = s .

(8.53)


Como se vio en el capıtulo 6, la segunda ley de la termodinamica imponeciertas restricciones sobre las posibles relaciones entre las variables ("p, ↵,�)y sus fuerzas conjugadas (�, q,Q). En concreto, estas han de cumplir

� · "p � q · ↵ �Q · � � 0 (8.54)

en cualquier proceso e instante. Utilizando la regla de flujo y ecuaciones deevolucion en Prandtl-Reuss, se sigue que

� · "p � q · ↵ �Q · � = �� ·@f

@�+ �q ·

@f

@q+ �Q ·

@f

@Q(8.55)

y esta cantidad es no negativa con tal de imponer � � 0 y asegurar quela funcion f sea convexa. Cuando la evolucion de la deformacion plastica ylas variables de endurecimiento son en la direccion de los gradientes de f ,como en las ecuaciones (8.42) y (8.43), se dice que el modelo de plasticidades asociativo y si ademas f es convexa, este tiene garantizado respetar lasegunda ley de la termodinamica.

Tambien relacionadas con la termodinamica de los procesos irreversibles,estan todas las consideraciones que historicamente se han discutido sobre laestabilidad de la respuesta elastoplastica. De entre ellas, la mas interesantees quizas la asociada con el llamado principio de maxima disipacion

plastica que presentamos unicamente para un material elastoplastico sinendurecimiento.

En un material de este tipo, y para una velocidad de deformacion plasticaconocida "p, el principio de maxima disipacion plastica establece que latension en el punto es aquella que maximiza la disipacion � : "p de entretodas las que satisfacen f(�) 0. Matematicamente este principio se escribecomo

� = arg max⌧ ,f(⌧)0

⌧ : "p (8.56)

o, equivalentemente,

D("p) = � · "p = max⌧ ,f(⌧)0

(⌧ · "p). (8.57)

Las consecuencias de este principio son numerosas y indicamos sin demos-tracion que implica la convexidad de la region elastica y la normalidad delflujo plastico.

8.10. Teoremas lımite

En muchos disenos mecanicos se desea que los cuerpos bajo cargas noalcancen, bajo ningun concepto, el regimen plastico. En su calculo, se debede verificar que en todo momento las tensiones en el cuerpo sean suficien-temente pequenas como para que el lımite elastico nunca se alcance, quiza


incluso considerando un factor de seguridad. Este razonamiento es la basedel diseno elastico.

En otros disenos, sin embargo, es aceptable que el solido o estructuraplastifique. Por ejemplo, el parachoques de un coche ha de plastificar paraabsorber la energıa de un impacto. En estos casos la capacidad de plastificarno es ilimitada sino que, cuando la zona plastificada se extiende, puede darseel caso de que el cuerpo colapse. Para los casos de diseno plastico, es portanto necesario no solo conocer el inicio del regimen inelastico, sino tambienla capacidad resistente antes del fallo.

En general, el estudio del comportamiento plastico de un cuerpo es com-plejo y se realiza habitualmente mediante analisis por elementos finitos. Esposible, sin embargo, obtener cotas (o lımites) de la capacidad resistentede un cuerpo elastoplastico. Estas cotas suelen ser relativamente sencillasde obtener y proporcionan una informacion muy valiosa para el diseno enestructuras, procesos de conformado plastico y suelos. Los resultados masutiles se conocen como los teoremas lımite del calculo plastico, queestudiamos a continuacion limitandonos a los materiales rıgidamente plasti-cos.

Consideremos en esta seccion unicamente estados de carga proporciona-

les, es decir, de la forma f = �f0 y t = �t0, y busquemos el valor de la cargade colapso de un cuerpo rıgidamente plastico. Este valor, que denominamos�⇤, es el maximo � 2 R+ que resuelve el problema mecanico

Z

⌦� · "[w] dV = �

✓Z

⌦f0 ·w dV +

Z

�t

t0 ·w dS

◆, (8.58)

para todo w con � = C("� "p), " = rsu, f(�) 0 y u = u en �u. Como

es difıcil, en general, encontrar este valor, supongamos que conocemos uncampo de tensiones �1 que satisface f(�1) 0 y

Z

⌦�1 · "[w] dV = �1

✓Z

⌦f0 ·w dV +

Z

�t

t0 ·w dS

◆(8.59)

para todo w. Este campo de tensiones se dice que es estaticamente admisible

porque cumple las condiciones de equilibrio en el interior y la frontera, y escoherente con el comportamiento elastoplastico, aunque no tiene por que serla solucion del problema mecanico porque no suponemos ninguna relacionde este con el campo de desplazamientos.

Por otro lado, supongamos que podemos encontrar un campo de veloci-dades u2 que satisface u2 = 0 en �u tal que

Z

⌦f0 · u2 dV +

Z

�t

t0 · u2 dS > 0. (8.60)

Este campo de velocidades es cinematicamente admisible, porque cumple lascondiciones cinematicas que ha de satisfacer el campo real de velocidades,


pero no tiene por que ser igual al verdadero. Como el material consideradoes rıgidamente plastico, " = "p = r

su2 y

�2 · "p = D(rsu2). (8.61)

Indicando como �2 el valor de la amplitud de las cargas en el caso de lasolucion cinematicamente admisible, se verifica que

Z

⌦�2 ·r

su2 dV = �2

✓Z

⌦f0 · u2 dV +

Z

�t

t0 · u2 dS

◆, (8.62)

siendo �2 un tensor cuyo valor desconocemos, pero que verifica la identi-dad (8.61).

Con estas definiciones podemos proceder a enunciar los dos teoremas delcalculo plastico

Teorema 8.10.1 (teorema cinematico). Si en un cuerpo de un material

rıgido-plastico se conoce un campo de velocidades tal que la disipacion plasti-

ca es igual a la potencia de las fuerzas externas sobre este campo de veloci-

dades, dichas fuerzas serıan iguales o mayores que las causantes del colapso

plastico, es decir, �2 � �⇤

Teorema 8.10.2 (teorema estatico). Si en un cuerpo de un material rıgido-

plastico se puede postular un campo de tensiones � que satisfacen f(�) 0en todo punto y que se encuentra en equilibrio con unas fuerzas exteriores,

estas ultimas seran inferiores o a lo sumo iguales que las que provocan el

fallo plastico del solido, es decir, �1 �⇤.

La demostracion de ambos resultados es consecuencia del principio de lamaxima disipacion plastica. Tomando como campo admisible de desplaza-mientos w = u2 en la ecuacion (8.59), se tiene que

�1 =

R⌦ �1 · "[u2] dVR

⌦ f0 · u2 dV +R�t

t0 · u2 dS

R⌦D(u2) dVR

⌦ f0 · u2 dV +R�t

t0 · u2 dS

R⌦ �2 · "[u2] dVR

⌦ f0 · u2 dV +R�t

t0 · u2 dS

= �2.

(8.63)

Este resultado indica que toda solucion estaticamente admisible tiene unfactor de carga inferior al de cualquier solucion cinematicamente admisi-ble. Como la solucion exacta del problema mecanico es tanto estatica comocinematicamente admisible ha de verificarse

�1 �⇤ �2. (8.64)


F

A

B

C

Figura 8.13: Estructura sometida a una carga hasta el colapso plastico.La barra BC tiene longitud ` y el angulo que forman las dos barras es de45o.

. Ejemplo 8.10.3. Un ejemplo muy sencillo para comprender la aplicacionde los teoremas lımite es el estudio de la estructura de la figura 8.13, supo-niendo que las barras son de seccion constante A, longitudes L y

p2L, y de

un material rıgido-plastico con lımite elastico �f .Para aplicar el teorema estatico, necesitamos un campo de esfuerzos

axiales tal que en ninguna seccion de la estructura se supere el lımite elastico.Un campo de esfuerzos admisible es el que resulta de suponer que la barraBC esta sometida a una traccion pura de valor N = �fA, y que la barra ABesta completamente descargada. Este estado de esfuerzos esta en equilibriocon una carga �1F = N , por lo que

�1 =N

F=

�fA

F. (8.65)

Logicamente, estos esfuerzos son menores o iguales que los que realmentecausan el colapso plastico de la estructura porque se ha supuesto que labarra AB no contribuye en absoluto a la resistencia del conjunto.

Para aplicar el teorema cinematico buscamos un campo de velocidadesque produzca potencia no negativa con las cargas de la form �2F . Por ejem-plo, si el punto B se mueve hacia arriba con velocidad u, las velocidades deelongacion de las dos barras seran

�AB =up2

, �BC = u , (8.66)

y sus correspondientes velocidades de deformacion

"AB =�ABp2L

, "BC =�BC

L(8.67)


La disipacion en cada una de las barras es por tanto

DAB = Ap2L max

��f

�

�ABp2L

!=

�fAup2

, DBC = A L max�<�f

�

�BC

L

!= �fAu,

(8.68)y el factor el factor de proporcionalidad es por tanto

�2 =DAB +DBC

Fu=

�fA

F

1 +

p2

2

!. (8.69)

Con este resultado concluimos que la fuerza F ⇤ que hace colapsar plastica-mente a la estructura satisface

�fA F ⇤ �fA

1 +

p2

2

!. (8.70)

/

8.11. Viscoplasticidad

La teorıa y los modelos de plasticidad presentados en este capıtulo sonindependientes de la velocidad de aplicacion de las cargas y de las defor-maciones. En general no se puede asegurar que esto sea ası en todos losmateriales y rangos de temperatura. Esta simplificacion es muy util, y pre-cisa, para modelar solidos en un cierto rango de velocidad de deformacion, yes en estos rangos donde los modelos presentados son realmente predictivos.

Cuando los efectos de la velocidad de deformacion no son despreciables,sino que se observa experimentalmente que modifican sustancialmente la res-puesta del solido, resulta imprescindible mejorar los modelos elastoplasticoscon algun ingrediente sensible a la tasa de deformacion, y dando lugar a losmodelos viscoplasticos.

Matematicamente, los modelos viscoplasticos se formulan de manera muysemejante a los elastoplasticos pero se permite que los estados tensionalessalgan fuera de la region elastica, aunque tienden a retornar a este. Porejemplo, el modelo de Perzyna reemplaza la ecuacion (8.42) por una la leyde evolucion de la deformacion plastica de la siguiente forma:

ep =1

⌘hf(�)i , (8.71)

siendo ⌘ un parametro de viscosidad y h·i el corchete de Macaulay. En estecaso la funcion f puede tomar valores positivos y, cuando esto ocurre, ladeformacion plastica aumenta.


8.12. Problemas

Problema 8.1. El criterio de fluencia de Tresca establece que la fluenciase inicia en un punto cuando se verifica la condicion:

�I � �III2

= ⌧adm .

Si llamamos �1, �2, �3 a las tensiones principales, en cualquier orden, enton-ces la condicion anterior se puede reescribir como

max

✓|�1 � �2|

2,|�2 � �3|

2,|�3 � �1|

2

◆= ⌧adm .

Demostrar que esta ultima expresion tambien se puede escribir como

[(�1 � �2)2� 4⌧2

adm][(�2 � �3)2� 4⌧2

adm][(�3 � �1)2� 4⌧2

adm] = 0 .

Problema 8.2. Demuestra que el criterio de von Mises predice la iniciacionde la fluencia cuando la parte desviadora de la energıa por unidad de volumenalcanza el valor crıtico W = ⌧2

adm/2µ.

Problema 8.3. Para un estado tensional � definimos sus invariantes Jcomo:

J2(�) = �I2(s) , J3(�) = I3(s) , (8.72)

siendo s la parte desviadora de � e I2, I3 los invariantes principales. De-mostrar que la funcion de fluencia de von Mises depende solo del invarian-te J2(�), que justifica por que la teorıa mas habitual de plasticidad parametales se conoce a veces como “plasticidad J2”.

Problema 8.4. Dibuja la interseccion de las superficies de fluencia de Tres-ca y von Mises con el plano �I , �II .

Problema 8.5. Considera el siguiente ensayo de traccion/compresion sobreel modelo reologico de la figura 8.14. Comenzando en un estado libre detensiones, la tension crece linealmente hasta el valor � = 3�f . Alcanzadoeste valor, la tension decrece linealmente hasta el valor � = �2�f .

Dibuja el diagrama � vs " en el modelo reologico, en el resorte y en elrozante.

Problema 8.6. Repite el problema 8.5 para el modelo reologico de la figu-ra 8.15.

Problema 8.7. Un punto de un solido se encuentra en un estado de tensionplana cuya expresion matricial es

[�] =

2

4�e3 t 0t 0 00 0 0

3

5 ,

siendo �e el lımite elastico del material. Se pide:


�f

E

��

" = "p

Figura 8.14: Modelo reologico del problema 8.5.

�f

E1

E2

��

"p

"

Figura 8.15: Modelo reologico del problema 8.6.

a) Dibujar el diagrama de Mohr del estado tensional.

b) Encontrar el valor de la tension t sabiendo que el coeficiente de segu-ridad de dicho estado tensional es 3/2 (utilıcese el criterio de Tresca).

Problema 8.8. Los planos octaedricos de tension son aquellos cuya normalforma el mismo angulo con los tres ejes principales de tension (↵ = � = �).Demuestra que el criterio de fluencia de von Mises predice el fallo plasticocuando la tension tangencial sobre cualquiera de dichos planos alcanza elvalor

⌧eq =

p2

3�e .

Problema 8.9. Se desea emplear el criterio de Mohr-Coulomb para estu-diar la rotura de un material fragil. Se sabe que el angulo de friccion dedicho material es � = 30o y que, al someter una probeta a un ensayo de


cortante puro, la tension tangencial en el instante del fallo es ⌧r = 10 MPa.Determinar la cohesion del material.

Problema 8.10. Un tubo de acero con diametro exterior � y espesor eesta sometido a un par torsor M . Determinar el valor del par que provocael inicio de la plastificacion en el tubo segun los criterios de Tresca y vonMises (Datos: modulo de cortante G, lımite elastico �f . Suponer e ⌧ �).

t

"

�f/E

t0 t1 t2 t3 t4 t5

Figura 8.16: Evolucion en el tiempo de la deformacion del problema 8.11.

Problema 8.11. Un punto elastoplastico perfecto se encuentra sometido aun proceso de deformacion uniaxial cuya historia se dibuja en la figura 8.16.Dibuja en una grafica � � " el proceso y tambien la evolucion de la tensionen un diagrama � � t, identificando en ambos casos el valor de la tension yde la deformacion en los tiempos caracterısticos t0 · · · t5.

Problema 8.12. Dibujar la curva par-curvatura de la respuesta a flexion deuna viga de seccion rectangular de anchura b y canto h, de material elastico-perfectamente plastico, con modulo de Young E y lımite de fluencia �f .Indica cual es el maximo par que puede soportar esta.

Problema 8.13. Dibujar la curva par-giro por unidad de longitud de larespuesta a torsion de una seccion circular de radio a de material elastico-perfectamente plastico, con modulo de cortante G y lımite de fluencia �f

Problema 8.14. Demuestra que la funcion de fluencia de Tresca es funcionunicamente de la parte desviadora del tensor de tensiones.

Bibliografıa

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mechanics. Springer Verlag, 1984.

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Plasticidad - simula.industriales.upm.essimula.industriales.upm.es/ignacio/resources/MSD/Apuntes/MSD-tema8.pdf · Si se continu´a deformando la probeta, la curva tension-deformacion