Poliedros-b

Ing. Guillermo Verger - Poliedros

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Poliedros

Ing. Guillermo VergerCátedra: Sistemas de Representacion

http://www.ingverger.com.ar

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AdvertenciaEste trabajo contiene conceptos teóricos y las soluciones a los ejercicios que se plantean en lacátedra de Sistemas de Representación para Ingeniería Mecánica.La propuesta es que los alumnos resuelvan los ejercicios sobre el mismo cuadernillo de trabajoy luego comparen las soluciones alcanzadas con las presentadas en el apunte.Se debe entender que en el apremio por poner este material a disposición de los alumnosseguramente que se habrán deslizado varios errores u omisiones. Invito a todos a hacermellegar las observaciones que tengan. Lo pueden hacer en mi pagina de consultas:http://www.ingverger.com.ar/consultas.html

ContenidoPOLIEDROS.......................................................................................................................3

Definición ........................................................................................................................3Elementos de los poliedros ................................................................................................3Clasificación.....................................................................................................................3Poliedros regulares............................................................................................................3Poliedros conjugados.........................................................................................................5Poliedros semirregulares o arquimedianos ..........................................................................6Superficie poliédrica.........................................................................................................7

Superficie PoliédricaPiramidal.......................................................................................8Superficie poliédrica prismática......................................................................................8

Representación de poliedros ..............................................................................................9Reglas de visibilidad ......................................................................................................9Problema 1: Contorno aparente y visibilidad..................................................................10Problema 2: Prisma recto .............................................................................................10Problema 3: Tetraedro regular ......................................................................................10Problema 4: Prisma oblicuo..........................................................................................10Secciones planas en un poliedro....................................................................................13Interseccion de recta con poliedro.................................................................................13

Desarrollos.....................................................................................................................14Soluciones a los ejercicios presentados.............................................................................15

Desarrollo de prisma oblicuo........................................................................................23

BibliografíaLópez, R. – Apuntes de poliedrosWerber, M. – Ejercicios para el desarrollo de Sistemas de representación.

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POLIEDROS

DefiniciónPoliedro es un cuerpo geométrico o sólido limitado por un conjunto finito de poligonos planostales que cada uno de los lados pertenezca a dos de dichos polígonos, y que dos polígonoscualesquiera que tengan un lado común no pertenezcana un mismo plano.

Elementos de los poliedrosLos elementos geométricos fundamentales de los poliedros son:Caras: son los polígonos planos que lo limitan.Aristas: son los lados de las caras.Vertices: son los extremos de las aristas.Angulos planos: son los ángulos de las caras.Angulos diedros son los ángulos formados por dos caras contiguas.Angulos poliedros: Son los ángulos sólidos formados por las aristas concurrentes en cada unode los vértices, y cuyas caras son los ángulos planos que tienen un vértice común.

ClasificaciónSe pueden practicar varias clasificaciones según diferentes criterios.

Cóncavos y convexosSi cada cara, que divide al espacio en dos semi-espacios, deja al resto de las caras en un solosemi-espacio, el poliedro se dice que es convexo. En caso contrario el poliedro es concavo.

Regulares y no regularesSe describen los elementos detalladamente en párrafos siguientes.

Poliedros regularesSe llama poliedro regular al poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares e iguales, ycuyos ángulos diedros son todos iguales.Propiedad:No hay más que cinco poliedros regulares convexos, también llamados Sólidos de Platón.En efecto, para formar un ángulo sólido, es menester por lo menos tres ángulo planos, y que,además, la suma de los ángulos planos que han de formar el ángulo sólido o poliedro valgamenos que cuatro rectos (360º). Se deduce que sólo pueden existir los siguientes casos:

Caras concurrentes al vértice Angulos a sumar Suma de los ángulos3 triángulos equiláteros 3 x 60º 180º4 triángulos equiláteros 4 x 60º 240º5 triángulos equiláteros 5 x 60º 300º3 cuadrado 3 x 90º 270º3 pentágonos regulares 3 x 108º 324º

Es decir, solo pueden existir cinco poliedros regulares convexos.

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Llamando:C : Número de caras del poliedroA : Número de aristas del poliedroV : Número de vértices del poliedroM : Número de lados de cada caraN : Número de aristas de cada vértice

Como se tienen que cumplir las condiciones:3m y 63 n

resulta el siguiente cuadro correspondiente a los únicos cinco poliedros regulares convexosexistentes:

NaturalezaNOMBRE m n C V ACaras Angulos sólidos

TETRAEDRO 3 3 4 4 6 Triángulos TriedrosOCTAEDRO 3 4 8 6 12 Triángulos TetraedrosICOSAEDRO 3 5 20 12 30 Triángulos PentaedrosHEXAEDRO o CUBO 4 Cuadrados TriedrosDODECAEDRO 5 Pentagonos Triedros

Tabla 1 Poliedros regulares

Figura 1. Poliedros regulares

Cada arista pertenece a dos caras contiguas y cada arista contiene dos vértices. Entonces severifica:

ACm 2AVn 2

Todo poliedro convexo cumple el Teorema de Euler:2 AVC

Todo poliedro regular es incriptible en una esfera y circunscribible a otra, concentrica con laprimera. O sea que todo poliedro regular se puede inscribir en una esfera y circunscribir a otraconcentrica con la anterior.En el primer caso el radio de la esfera inscripta sería la distancia del centro del poliedro a la cara(apotema del poliedro) y en el segundo caso la distancia del centro del poliedro al vértice seríael radio de la esfera circunscripta.

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Tabla 1 - Poliedros regulares

SO2 Radio de la esfera inscripta(apotema del poliedro)

SA Radio de la esfera circunscripta(radio del poliedro).

S Centro del poliedro

Nota: Trazando por los centros O1 y O2 de dos caras contiguas, rectas perpendiculares a losplanos de dichas caras, estas rectas se cortan (por estar ambas situadas en el plano perpendicularal lado común AC de dichas caras en su punto medio) en el punto S (centro del poliedro) queequidista de los vértices de las dos caras.

Poliedros conjugadosSe entiende por poliedro conjugado de uno dado al que resulta de tomar como vértices loscentros de las caras de este último.

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Figura 2. Poliedros regulares y sus conjugados

Poliedros semirregulares o arquimedianosSe llaman poliedros semirregulares (sólidos de Arquímedes a los poliedros convexos formadospor caras que son polígonos regulares iguales pero de más de una especie y ángulos sólidosiguales.Las caras son de dos o tres tipos, y los ángulos sólidos son: triedros o tetraedros o pentaedros.Existen 13 poliedros semirregulares, entre los cuales se tienen:CUBO-OCTAEDRO 6 caras cuadrados iguales y 8 caras

triángulos equiláteros igualesPOLIEDRO DE KELVIN 6 caras cuadrados iguales y 8 caras

hexágonos regulares iguales.POLIEDRO DE LEONARDO 12 caras pentágonos regulares iguales y 20

caras hexágonos regulares iguales (balón defutbol).

Tabla 2 Poliedros semirregulares

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Figura 3. Dos Poliedros semirregulares

Observación: algunos poliedros reciben nombre particulares como pirámide y prisma.

Los polígonos planos que limitan un poliedro constituyen el contorno del mismo, y la superficiede los mismo forman la superficie del poliedro. Así como el contorno de un polígono es unalinea cerrada, el de un poliedro es una superficie poliedrica finita y cerrada.

Un poliedros de l aristas tiene l diedros, y si tiene x vértices tendrá x ángulos sólidos.

Superficie poliédricaSi en un poliedro (convexo o no) suprimimos una cara, o varias contiguas, obtendremos unasuperficie denominada: superficie poliédrica finita o casquete poliédrico. Los lados de lospolígonos que no son ya comunes a dos caras constituyen una línea poligonal cerrada, plana oalabeada que se llama orla del casquete poliédrico.

Figura 4. ABCDEFGHIJA: Orla del casquetepoliédrico

Una superficie poliédrica finita puede tener una o varias orlas según que las caras suprimidas enel poliedro sean o no contiguas.

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Superficie Poliédrica PiramidalEs la superficie generada por una recta llamada generatriz que se mueve en el espacio pasandoconstantemente por un punto fijo Q que llamaremos cúspide y apoyandose constantementesobre una poligonal plana o alabeada, abierta o cerrada, que llamaremosdirectriz .Se obtienen dos mantos que llamaremos manto inferior y manto superior.

Figura 5. Superficie piramidal

Superficie poliédrica prismáticaEs la superficie generada por una recta llamada generatriz que se mueve en el espaciomanteniéndose constantemente paralela a si misma y teniendo simpre un punto de contacto (T)con una poligonal, plana o alabeada, abierta o cerrada, llamada directrriz.

Figura 6. Superficie poliédrica prismática

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Representación de poliedros

Figura 7. Contorno aparentey visibilidad

ABC polig. contorno aparentesobreA B C polig. proy.cont.apar

Reglas de visibilidad1. Toda la figura que es contorno de la proyección vertical de un poliedro es siempre

visible y constituye el contorno aparente para la proyección vertical de la figura.2. Toda la figura que es contorno de la proyección horizontal de un poliedro es siempre

visible y constituye el contorno aparente para la proyección horizontal de la figura.3. Si una cara de un poliedro es visible en una determinada proyección, son visibles en esa

proyección todas las aristas que la conforman.4. Si una cara de un poliedro es no visible en una determinada proyección, son no visibles

en esa proyección todas las aristas que la conforman.excepto las que pertenecen alcontorno aparente en dicha proyección.

5. Si un vértice de un poliedro en un determinada proyección es visible y no pertenece alcontorno aparente de dicha proyección, todas las aristas que a él concurren son visiblesen dicha proyección.

6. Si un vértice de un poliedro en un determinada proyección es no visible y no perteneceal contorno aparente de dicha proyección, todas las aristas que a él concurren son novisibles en dicha proyección.

7. Si en una determinada proyección se superponen to tal o parcialmente 2 caras de unpoliedro; si una de ellas es visible en esa proyección, la otra es necesariamente novisible en esa proyección.

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8. Si se tienen dos caras contenidas en planos paralelos, si una de ellas es visible en unadeterminada proyección, la otra es necesariamente no visible en esa misma proyección.

Problema 1: Contorno aparente y visibilidadEstudiar contorno aparente y visibilidad de la piramide A-B-C-D

Problema 2: Prisma recto

Representar un prisma recto de base exagonal regular apoyada en el plano I. Dos lados de labase serán segmentos de punta. Lado base: 15. Altura: 35.

Problema 3: Tetraedro regularRepresentar un tetraedro regular apoyado en el plano I. Un lado de la base será recta paralela aLT. Longitud arista: 40 mm.

Problema 4: Prisma oblicuoCompletar las proyecciones de un prisma oblicuo. Datos ABC: base; las aristas laterales sonrectas frontales que forman 45° con el plano de proy.I. Altura prisma:35.

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Secciones planas en un poliedro

Interseccion de recta con poliedro

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Desarrollos

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Soluciones a los ejercicios presentados

Solución Problema 1 - Visibilidad

Figura 8. Visibilidad en un tetraedro no regular

Problema 2: Prisma recto

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Problema 3: Tetraedro regular

Figura 62

A' '

A'

B''

B'

C''

C'

A1'

C1'

B1'

C1'' A1'' B1' '

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Figura 63

I

e

A Ag

B Bg

O

A' '

A'

B''

B'

O''

O '

e' '

e'Bg'

Bg''

( AB

)

Ag'

Figura 64

A''

A'

B''

B'

C ''

C'

O'

1''

1 '

2 ''

2'

3''

3 '

O''

f ''

f '

h''

h'

Vg''

Pg''

V''

V'

n ''

P''

n '

Pg'

P'

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Figura 65

O''

O'

A1''

A''

B1''

B''

C1''

C''

D1''

D''

A1' A'

B1' B'

C1' C'

D1' D' A'''

B'''

C'''

D'''

O'''

//

//

//

Figura 66

A''

A'

B''

B'

C' '

C'

D''

D'

V' 'V'

A' '' B'' '

C'' ' D'' '

V'''

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Figura 67

C'

A''

B'

C''B''

A'

V'

V''

V

2''1''Bg''

3''

4' '

3'

3g''

3g'Bg'

Figura 68

3' C'

V

A''

B'

C'' B''

A'

1''

3''

2''

2'

1'

A1 ''

A1'

B1 ''

B1 '

C1 ''

C1'

/

/Bor

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Figura 69

V''

A'' B'' C''D''

A'

B'

C'

D'

V'

r''

r'

1'2'

3'

4'

1''2'' 3''

4''X''

X'

Y''

Y'

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Figura 70

B

A V A

C V

Figura 71

A1

A

B'

B1

C'

C 1

A1

A

1' 12 3

A

A1

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Figura 72

A'

A'

B'

C'

3'4'

1'

2'

Figura 73

A'' D'' B'' C''

E'' H''F'' G''

A' B'

C'D'

E' F'

G'H'

A

B

C

D

E

F

G

H

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Fig 74Representar una pirámide recta de base hexagonal regular.Datos: V (vértice) V''(20,260)

V'(20,140)

e: eje ; a: una arista ; altura: 70

V'

V''

a' '

a'

e''

e'

e' ''

a'' '

A' ''B'' '

C'''

D'''E'''

F '''

V'' '

F' '' E' ''A' '' D'''

B'' ' C'''

V'' ' e'' '

A' B'

C'

D'E'

F'

A''

F' ' E''

D''

C''B''

Desarrollo de prisma oblicuoDeterminar el desarrollo de la superficie total del prisma oblicuo representado.

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Figura 9. Ejercicio: Determinar el desarrollo de lasuperficie prismática

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Figura 10. Solución al desarrollo desuperficie prismática.

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