Simetra y PoliedrosJavier Bracho(Roli)

Los Slidos PlatnicosEl Tetraedro{3,3}El Cubo o Hexaedro{4,3}El Octaedro{3,4}

El Dodecaedro{5,3}El Icosaedro{3,5}Y en otras dimensiones qu?.Su desendencia?

En dimensin 2Polgono regular de n lados, {n}:Tiene muchas simetras:tantas como es posible.Est hecho de vrtices y aristas,y cualquier par

v < a

se puede mandar en cualquier otropor una isometra.

Sim+{n}n rotaciones Grupo cclicoy adems:n reflexiones Grupo didricoy Sim{n}

Sim+{4,3}Rotacionesen caras:

6 (p/2) + 3 (p) = 9{4,3}{{4},3}

Sim+{4,3}Rotacionesen vrtices:

8 (2p/3) Rotacionesen aristas:

6 (p) # Sim+{4,3} = 9 + 8 + 6 + 1 = 24La identidad (0)

{3,4} \Sim+{3,4} = Sim+{4,3}El octaedro

{3,3}El tetraedro \Sim+{3,3} Sim+{4,3} # = 12

y

{3,3} = {3,3}*

Estos tres se generalizan:El n-simplejo, {3,3,,3} :

Rn

El hiperoctaedro, {3,3,.,4} =

El n-cubo, {4,3,.,3} = I I ... I

casco convexo

El hipercubo {4,3,3} R4

Proyecciones de R4 a R3Ortogonal:

Desde un punto:

El hiperdodecaedro {5,3,3}La construccin de Coxeter (1910-2003)y su proyeccin ortogonal...

SO(3) = P3 Rotaciones de la esfera, S2 Bola slida, B3, identificando antpodas en la frontera de S2.Pues,

rotar p en v = rotar p en -v...se parametrizan por una direccin y unngulo a < p ,

i.e. por un vector

av

con v e S2

R3S2idSO(3) visto en S3Rotaciones de ngulo 2aRotaciones de ngulo pa

12 de

2p/5 12 de

4p/5 Sim+{5,3} SO(3) S3Rotaciones en caras:

Sim+{5,3}20 de 2p/3 Rotaciones en vertices: 15 de p Rotaciones en aristas: 24 + 20 + 15 + 1 = 60

Sim+{5,3} SO(3) S3p/5p/32p/5p/2son 120puntos en S3

Tomamos sus hiperplanos tangentes y queda el {5,3,3} (120-cell)

Su proyeccion ortogonal

El {5,3,3} tiene su dual {3,3,5} hecho de 600 tetraedros

Otro, que es autodual: {3,4,3} hecho de 24 octaedros, asociado a Sim+{3,3}Adems, en R4 hay:

Teorema. No hay ms politopos regulares convexos.es decir:Adems de {3,3,,3}, {3,3,,4}, {4,3,,3},slo hay:

En R2 {n}

En R3 {3,5} {5,3}

En R4 {3,3,5} {5,3,3} {3,4,3}

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