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por:

José Beltrán Jiménez

Dirigido por:

Alfredo Luis Aina

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ÍNDICE

Introducción 2 1.- Campo electromagnético cuántico 4 1.1.- Cuantización del campo electromagnético. Estados número 4 1.2.- Estados coherentes 7 1.3.- Estados coherentes comprimidos 8 1.4.- Transformaciones 10 2.- Ruido cuántico en interferómetros lineales 12 2.1.- Divisor de haz 12 2.2.- Detección homodyna 13 2.3.- Precisión en la medida 14 2.4.- Precisión bajo iluminación coherente 15 2.5.- Precisión bajo iluminación comprimida y límite de Heisenberg 17 3.- Efecto de la eficiencia cuántica en interferómetros lineales 19 3.1.- Eficiencia cuántica 19 3.2.- Efecto con iluminación coherente comprimida 20 4.- Ruido cuántico en interferómetros no lineales 24 4.1.- Dependencia del ruido con el generador de las transformaciones 24 5.- Efecto de la eficiencia cuántica en interferómetros no lineales superando el límite de Heisenberg 26 Conclusión 28 Apéndice A: Relación de indeterminación 29 Bibliografía 30

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INTRODUCCIÓN

Habitualmente, en los experimentos interferométricos que se realizan con el fin de hacer mediciones de alguna magnitud física (generalmente una diferencia de fase) no se tienen en cuenta los efectos que produce el hecho de tener unos recursos energéticos finitos. Formalmente estos efectos pueden resumirse en las relaciones de incertidumbre energía-tiempo o amplitud-fase que sugieren que la incertidumbre en fase es inversamente proporcional al número de fotones, lo que se conoce como límite de Heisenberg. En los análisis más usuales se considera que operamos con un número de fotones infinito, de modo que los efectos en la precisión que introduce el principio de incertidumbre de Heisenberg se desprecian frente a otras fuentes de error que, normalmente, son mucho más significativas. Sin embargo, los recursos energéticos disponibles en todo experimento son finitos, por lo que sería apropiado estudiar los efectos cuánticos que produce la finitud del número de fotones disponible. Además, las mejoras desarrolladas en las técnicas de medición recientes proporcionan medidas cada vez más precisas y los efectos cuánticos en las incertidumbres de las mismas deben empezarse a tener en cuenta. El objetivo de este trabajo es estudiar la dependencia en la precisión de la medida interferométrica de algún parámetro (relacionado con alguna magnitud física) con el número de fotones empleado en la medida. En particular, se estudiará dicho efecto para detectores homodynos, tanto ideales como considerando la eficiencia cuántica menor de uno de los detectores empleados en la práctica. El estudio de la detección de eficiencias cuánticas menores que uno (es decir que el detector no registra todos los fotones incidentes) es interesante puesto que tienden a empeorar la precisión en la medida ya que influye en la estadística del proceso de medición al ser la detección o no de cada fotón un proceso aleatorio. En el primer capítulo se procede a la cuantización del campo electromagnético clásico, que es lo primero que necesitamos si queremos estudiar efectos cuánticos. Para ello, se partirá de las ecuaciones de Maxwell que describen el campo electromagnético clásico y se deducirá la ecuación de ondas que satisface el potencial vector. Posteriormente, se desarrolla el campo en modos normales (en serie de Fourier) con lo que se obtiene que el Hamiltoniano del campo se reduce a una suma de Hamiltonianos de osciladores armónicos independientes. De este modo resulta muy fácil proceder a la cuantización del campo, ya que la cuantización de un oscilador armónico es bien conocida. En la cuantización del campo se hace la identificación de las amplitudes complejas con operadores que cumplen reglas de conmutación bosónicas y que se pueden descomponer en los operadores cuadratura, que no son más que las partes real e imaginaria de los operadores amplitud compleja. Estos operadores cuadratura serán de suma importancia en este trabajo, ya que serán los que finalmente podrán medirse con la detección homodyna. También se presentan en el primer capítulo los estados de luz que serán utilizados posteriormente: los estados número, coherentes y coherentes comprimidos, así como sus principales propiedades. Así mismo, en el capítulo uno, se recordarán aspectos fundamentales de las transformaciones de estados cuánticos, ya que la operación de un interferómetro sobre un estado de luz incidente puede tratarse como la aplicación de una cierta transformación sobre dicho estado. Las transformaciones utilizadas dependerán de un parámetro. En el contexto de este trabajo el parámetro de la transformación tiene un valor desconocido siendo el objetivo de la medida realizada el inferir su valor. Se establecerá una división entre dos tipos fundamentales de interferómetros (o transformaciones), a saber, los interferómetros lineales, en los que las amplitudes complejas emergentes se relacionan de forma lineal con las incidentes, y los interferómetros no lineales, en los que dicha relación es no lineal. En el segundo capítulo se estudiará el efecto que produce el ruido cuántico en los interferómetros lineales. Para ello, lo primero que se hará será presentar el elemento fundamental del interferómetro que se utilizará: el divisor de haz. Se expondrán sus principales características y su modo de operar sobre los estados incidentes y, posteriormente, se utilizará para construir un detector sencillo: el detector homodyno. Durante todo el trabajo se supondrá que las ondas incidentes serán monocromáticas. A continuación se procederá al cálculo de la precisión en la medida del parámetro de la transformación (que será un cambio de fase), suponiendo que la señal que esperamos es muy pequeña, como es el caso habitual en la práctica. Finalmente, se aplicarán los resultados obtenidos a los casos de iluminación

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coherente y coherente comprimida. Se comprobará cómo el límite de Heisenberg únicamente es alcanzable con estados coherentes comprimidos. Una vez estudiado el efecto del ruido cuántico sobre la precisión de la medida se procederá a estudiar la influencia de considerar que los detectores empleados no tienen una eficiencia cuántica igual a la unidad. Esto se hace en el capítulo 3. Se presenta el concepto de eficiencia cuántica y se expone un montaje que simula la ineficiencia cuántica de los detectores a partir de divisores de haz antepuestos a detectores ideales. Así, se implementa un modo sencillo de estudiar los efectos de la eficiencia cuántica sobre la precisión en la medida. Se comprobará cómo la precisión empeora con respecto a detectores ideales de modo que en el caso de ineficiencia cuántica no es posible alcanzar el límite de Heisenberg, ni siquiera con estados coherentes comprimidos. Una vez estudiados los interferómetros lineales se procederá al estudio de interferómetros no lineales. En este caso, el parámetro de la transformación no será necesariamente un cambio de fase, pero podrá relacionarse con algún parámetro físico (longitud, índice de refracción, etc.), que será el objeto de la medida. En el cuarto capítulo se hace un análisis del efecto del ruido cuántico cuando se considera que la transformación es de tipo cuadrático en el operador número de fotones (que es una transformación no lineal). En primer lugar se verá de forma general cómo depende la precisión en la medida del generador de la transformación que produce el interferómetro. Se obtendrá que la incertidumbre en la medida del parámetro será mayor o igual que la inversa de la incertidumbre en el generador de la transformación. En el caso de que el generador sea el operador número se obtiene el límite de Heisenberg, pero si el generador es cuadrático en dicho operador aparece la posibilidad de superar dicho límite. En el último capítulo de este trabajo se comprobará explícitamente que con los interferómetros no lineales puede superarse el límite de Heisenberg. Finalmente, se estudiará el efecto de la eficiencia cuántica en interferómetros no lineales. Para simplificar el cálculo se utilizará iluminación coherente, que es más fácil de tratar debido a que los estados coherentes son autoestados del operador amplitud compleja. El resultado final que se obtiene es una dependencia de la incertidumbre con el número de fotones de la forma n-3/2, lo cual constituye una clara superación del límite de Heisenberg, incluso para eficiencias cuántica menores que la unidad. El cálculo se hace con estados coherentes, lo que sugiere que dicho resultado podría mejorarse empleando estados coherentes comprimidos. No obstante, los estados coherentes son más estables que los estados comprimidos frente a las imperfecciones de los detectores (como se verá a lo largo del trabajo), por lo que su uso es más cómodo y eficaz.

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1.-CAMPO ELECTROMAGNÉTICO CUÁNTICO 1.1.-Cuantización del Campo Electromagnético. Estados número. El método que se utiliza usualmente para cuantizar el campo electromagnético se basa en descomponer a éste en osciladores armónicos, hecho lo cual resulta inmediata la cuantización sin más que utilizar la conocida cuantización del oscilador armónico. Un punto de partida conveniente son las ecuaciones de Maxwell clásicas en el espacio libre:

(1.1.1)

t

t

∂∂=×∇=∇

∂∂−=×∇=∇

DHD

BEB

0·

0·

donde B = µ0H, D = ε0E y µ0 y ε0 son la permeabilidad magnética y permitividad eléctrica en el vacío respectivamente, que cumplen µ0 ε0 = c-2. Si no hay fuentes presentes, las ecuaciones de Maxwell son invariantes gauge, es decir, los potenciales escalar φ (r, t) y vector A (r, t) de los que se derivan los campos están determinados salvo una derivada total con respecto al tiempo el potencial escalar y salvo un gradiente el potencial vector1. En los problemas de óptica cuántica es conveniente elegir el gauge de Coulomb, en el cual la divergencia del potencial vector es nula. En este gauge, los campos E y B están determinados por el potencial vector como sigue:

(1.1.2)

t∂∂−=

×∇=AE

AB

con la condición del gauge de Coulomb: (1.1.3)

∇ ·A = 0. Sustituyendo los valores de B y E en función del potencial vector en la última ecuación de Maxwell (1.1.1) y teniendo en cuenta (1.1.3) se encuentra que el potencial vector debe cumplir la siguiente ecuación de ondas:

(1.1.4)

2

2

22 ),(1),(

tt

ct

∂∂=∇ rArA .

Por sencillez podemos considerar la solución de esta ecuación en un volumen finito del espacio V desarrollando A(r, t) en serie de Fourier:

(1.1.5)

∑∑ += −

kkk

kkk

kk rururA titi ecect ωω )(**)(),( .

Introduciendo esta expresión en la ecuación de ondas (1.1.4) se llega a una ecuación de Helmholtz para el conjunto de funciones vectoriales uk (r) como la siguiente:

(1.1.6)

0)(2

22 =

+∇ ruk

k

cω .

Los modos uk (r) también deben satisfacer la condición de transversalidad impuesta por (1.1.3):

(1.1.7) ∇ ·uk (r) = 0.

1 En el lenguaje de la formulación relativista del campo esta condición se expresa diciendo que el cuadripotencial está definido salvo el cuadrigradiente de una función escalar arbitraria. La cantidad conservada asociada a la invariancia gauge, según el teorema de Noether, es la carga eléctrica.

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Además, estos modos forman un conjunto ortonormal completo: (1.1.8)

kk'kkuu δ=∫V dV* ' .

La solución de la ecuación está sujeta a las condiciones de contorno impuestas sobre el volumen considerado. Supondremos condiciones periódicas para discutir ondas viajeras en lugar de ondas estacionarias. Para una onda plana en dicho volumen, los modos se expresan de la siguiente forma:

(1.1.9) k·r

k êru ieV

)( )(1 λ= ,

siendo ê (λ ) el vector de polarización, que es unitario. El índice λ puede tomar los valores 1 ó 2, es decir, hay dos polarizaciones posibles2. Las condiciones de contorno periódicas imponen a las componentes del vector de onda las siguientes restricciones:

(1.1.10)

L,2,1,0,,siendo222 ±±==== zyxzz

zyy

yxx

x nnnnL

knL

knL

k πππ .

La condición de transversalidad (1.1.7) impone que el vector de polarización sea perpendicular al vector de ondas y la ecuación (1.1.6) que:

2

22

ckk ω= .

Con vistas a la cuantificación expresamos (1.1.5) en la forma:

(1.1.11)

( )∑ += −

kkkkk

k

kk rururA titi eaeat ωω

εω)(**)(

2),(

0

h ,

donde ak son constantes adimensionales que representan la amplitud compleja del modo correspondiente. El campo eléctrico que proporciona este potencial vector se calcula de forma inmediata:

(1.1.12)

( )∑ −= −

kkkkk

k kk rururE titi eaeait ωω

εω )(**)(

2),(

0

h .

Clásicamente, estas amplitudes de Fourier son números complejos. La cuantización del campo va acompañada de la elección de estas amplitudes como operadores mutuamente adjuntos con la identificación a*k → a+

k y los estados de luz son los vectores en el espacio de Hilbert en el que actúan estos operadores. En las subsecciones siguientes se presentan los estados de luz relevantes para este trabajo: los estados número o de Fock, coherentes y comprimidos. Como los fotones son partículas de espín 1 la elección de las reglas de conmutación debe hacerse de acuerdo a las reglas bosónicas:

(1.1.13) [ ] [ ] [ ] kk'k'kk'kk'k δ=== +++ aaaaaa ,0,, .

Así, las propiedades dinámicas del campo pueden describirse como un conjunto de osciladores armónicos independientes que obedecen las reglas de conmutación (1.1.13). Esto se ve claramente expresando el Hamiltoniano del campo. Dicho Hamiltoniano viene dado por:

(1.1.14)

( )∫ +=V

dVH 20

202

1 HE µε .

2 El hecho de que la polarización del campo venga dada por un vector indica que la partícula cuántica asociada (el fotón) tiene espín 1. Así, en el caso del campo gravitatorio la polarización se describe por un tensor de segundo orden, lo que indica que el gravitón tiene espín igual a 2.

7

Introduciendo aquí la expresión de E obtenida y la análoga para B y haciendo uso de las condiciones (1.1.7) y (1.1.8) se llega a la siguiente expresión para el hamiltoniano:

(1.1.15)

∑

+= +

kkkk 2

1aaH ωh ,

que es la suma de Hamiltonianos de osciladores armónicos independientes.

Los autovalores de cada uno de estos Hamiltonianos son conocidos y vienen dados por: (1.1.16)

+=

21

, kkk nEn ωh ,

con nk = 0, 1, 2,…∞.Esta expresión puede interpretarse como la excitación de nk fotones de energía ħωk cada uno más la energía del vacío ħωk/2. Cabe destacar que la energía del vacío calculada sumando para todos los modos es infinita. Sin embargo, lo importante para nosotros es la medición de diferencias de intensidades, por lo que podemos considerar que todos los procesos ocurren en una mar del vacío, siendo detectables sólo las variaciones con respecto a ese fondo, como se pone de manifiesto en el efecto Casimir3. Matemáticamente, esta dificultad puede solventarse tomando como origen de energías dicha energía del vacío. A partir de ahora y por sencillez se considerará que sólo hay un modo excitado, con lo cual la suma en modos y los subíndices k desaparecen.

Comparando (1.1.16) y (1.1.15) resulta natural llamar al operador a+a operador número de fotones ya que sus autovalores son precisamente n, que se ha identificado con el número de fotones existente. Los autovectores del operador número de fotones son los llamados estados número o estados Fock:

(1.1.17) a+a n ⟩ = n n ⟩.

Los estados número son ortonormales y forman un conjunto completo del espacio de Hilbert asociado. A partir de las relaciones de conmutación (1.1.13) se tiene que la acción de los operadores a y a+ sobre los estados número es:

(1.1.18) 11 ++=+ nnna 1−= nnna ,

por lo que es natural llamarlos operador creación y destrucción respectivamente. El estado de vacío se define como aquél que cumple:

(1.1.19) 00 =a

y, a partir de él, es posible crear todos los estados excitados sin más que aplicar reiteradamente el operador creación, siendo válida la siguiente expresión:

(1.1.20)

0!)(

nan

n+= .

Por ser los operadores creación y destrucción complejos, se puede hacer una descomposición en sus partes real e imaginaria:

(1.1.21) iYXa += . iYXa −=+

Los operadores X e Y son los llamados operadores cuadratura4 y pueden despejarse de (1.1.21), resultando:

3 En el efecto Casimir se observa la aparición de una fuerza entre dos placas metálicas muy próximas debido a la diferencia de estados posibles entre el espacio comprendido entre las placas y el exterior de las mismas. 4 Nótese que estos operadores son Hermíticos, por lo que sus autovalores son reales, como se comprueba en (1.1.22).

8

(1.1.22)

( )++= aaX21 ( )aai −= +

2Y .

La regla de conmutación entre estos operadores cuadratura es la siguiente:

(1.1.23)

2],[ iYX =

y da lugar a la relación de indeterminación: (1.1.24)

41≥∆∆ YX ,

donde, como de costumbre, (∆A)2 = ⟨A2⟩ - ⟨A⟩2

Es útil expresar el operador número en función de los operadores cuadratura:

(1.1.25)

2122 −+=+ YXaa .

1.2.-Estados coherentes Consideremos el operador (X +iµY), siendo µ un número real, y planteemos la ecuación de autovalores correspondiente:

(1.2.1) ( ) ( )[ ] 0=−+− ψµ YYiXX .

Los autovectores ψ ⟩ que satisfacen dicha ecuación son los llamados estados de incertidumbre mínima, ya que, para ellos, se satisface5:

(1.2.2)

2µ

=∆X µ2

1=∆Y ,

alcanzándose así la igualdad en (1.1.24). Si µ = 1 las dos incertidumbres coinciden y son iguales a ½. Los estados que cumplen esta condición son los estados coherentes y, para ellos, la ecuación de autovalores se reduce a6:

(1.2.3) ααα =a ααα ∗+ =a ,

es decir, son autoestados del operador destrucción. Puede comprobarse que el estado de vacío definido anteriormente por medio de (1.1.19) cumple la condición de estado coherente. Luego, el estado de vacío es a la vez estado número y estado coherente. Como ya se mencionó anteriormente, los estados número forman un conjunto completo de vectores, por lo que podemos expresar los estados coherentes como combinación lineal de los estados números. Dicho desarrollo es el siguiente:

(1.2.4)

∑∞

=

−=0

2/

!

2

n

nn

ne αα α .

5 Véase Apéndice A. 6 Es usual denotar a los estados coherentes por α ⟩.

9

A partir de este desarrollo es posible calcular el producto escalar de dos estados coherentes:

∑∑∑∑ +−∞

=

−∞

=

− =

=

'

'2/)'(

0

2/

0'

'2/' '

!'!'*

!'

!''*'

2222

n n

nn

n

n

n

nnn

nnen

nen

ne αααααα αααα .

Utilizando que los estado número son ortonormales ⟨n' n⟩ = δnn' se obtiene finalmente:

(1.2.5) 22222 '2'*2/)'(2/)'( '

!'*)(' αααααααα αααααα −−+−+− =⇒== ∑ eee

ne

n

n.

Como esta expresión es distinta de cero, los estados coherentes no son ortogonales. De hecho, los estados coherentes son más de los necesarios para construir una base completa del espacio de Hilbert. Esto permite desarrollar un estado coherente como suma del resto de estados coherentes. Nótese, sin embargo, que si α = α', el producto escalar es igual a 1, es decir, los estados coherentes están normalizados. Además, para α' - α >>1 los estados coherentes tienden a ser ortonormales, ya que el módulo de su producto escalar tiende a cero exponencialmente.

El valor medio del número de fotones en un estado coherente es: (1.2.6)

2* ααααα ==+aa , donde se han tenido en cuenta las relaciones (1.2.3) y que los estados coherente están normalizados.

A continuación se calculará la incertidumbre en el número de fotones en un estado coherente. Para ello es necesario calcular el valor medio del cuadrado del operador número de fotones:

[ ] ( )2222 1,*)( ααααααααααααα +=+=== ++++++ aaaaaaaaaaaa . Por lo tanto, la incertidumbre del número de fotones en un estado coherente será:

(1.2.7)

α=−=∆ +++ 22)()( aaaaaa . La probabilidad de encontrar n fotones en un estado coherente α viene dada por:

(1.2.8)

!!)(

222

nen

ne

nnPnnn −−

===αα

α ,

donde ⟨n⟩ = α 2, como se ha demostrado más arriba. La expresión obtenida es una distribución de Poisson centrada en ⟨n⟩ y de anchura ⟨n⟩1/2. 1.3.-Estados coherentes comprimidos Los estados que cumplen la ecuación de autovalores (1.2.1) con µ ≠ 1 se denominan estados coherentes comprimidos. Esta denominación se debe a que las incertidumbres en las cuadraturas ya no son iguales, estando la fluctuación en una de las cuadraturas comprimida con respecto a la otra. Una propiedad muy importante de los estados comprimidos es que tienen fluctuaciones en una de las cuadraturas menores que las fluctuaciones del vacío (véase figura). En efecto, recordando que el vacío es un estado coherente tiene una fluctuación correspondiente a la de un estado coherente que es mayor que la correspondiente a una de las cuadraturas de un estado comprimido. La idea de que exista un estado de luz con fluctuación menor que la del vacío es inconcebible en el marco de la mecánica clásica, por lo que los estados comprimidos son estados de luz puramente cuánticos.

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Láser

Controlador de la fase φ

Oscilador local

o Fase del oscilador local Generador de estados comprimidos

Algoritmo de reconstrucción

Matriz densidad

Un ejemplo interesante de es

como el estado que cumple (1.2.1) coestado de vacío comprimido se deduccomprueba multiplicando por el bra ⟨teniendo en cuenta que un númersimultáneamente.

El valor medio del número de

=+ Xaa ξξξ

donde se ha tenido en cuenta (1.1.25análogamente para Y: ⟨Y 2⟩ = (∆Y)2 + ⟨número de fotones:

+ξ a

Nótese que en un estado cohsuma de los cuadrados de los valores m(1.3.1)). Por tanto, estos primeros térparte coherente y el resto de términos c Mientras que un estado cohecírculo, indicando que la incertidumbrrepresentado por una elipse cuyo eje mfigura).

Detector homodyn

Analizador

Analizador estadístico

Fase del oscilador local

En la figura de la izquierda se muestra el diagrama del dispositivo utilizado para la medida de las cuadraturasδδ

δii eaaeX −++∝ de un estado comprimido donde δ es la fase del oscilador local. A la derecha, en (a) se

representan los resultados de un número elevado de medidas para varias fases del oscilador local pudiéndoseobservar como las fluctuaciones son mayores o menores dependiendo de la cuadratura medida. En (b) estárepresentada la varianza de la distribución de la cuadratura para 128 fases de osciladores locales derivadas delos datos de (a) junto con la curva teórica. La línea horizontal representa las fluctuaciones del vacío. La figurase ha reproducido a partir de S. Schiller, G. Breitenbach, S. F. Pereira, T. Müller, y J. Mlynek, Phys. Rev. Lett.Vol. 77 p. 2933 (1996).

tado comprimido es el estado de vacío comprimido 0ξ ⟩ definido n µ ≠ 1 y con ν = 0. De la ecuación de autovalores que cumple el e que: ⟨X ⟩ = ⟨Y ⟩ = 0, al igual que en el vacío normal. Esto se

0ξ la ecuación de autovalores (1.2.1) con ψ ⟩ = 0ξ ⟩ y ν = 0 y o complejo es nulo si sus partes real e imaginaria lo son

fotones en un estado coherente comprimido es:

21

21 2222 −+=−+ YXY ξξξξξ ,

). Utilizando ahora que ⟨X 2⟩ = (∆X)2 + ⟨X⟩2, con (∆X)2 = µ/4 y, Y⟩2 , con (∆Y)2 = 1/(4µ), resulta finalmente para el valor medio del

(1.3.1)

21

41

422 −+++=

µµξ YXa .

erente (µ =1), el valor medio del número de fotones es igual a la

edios de los operadores cuadratura (los dos primeros términos de minos de (1.3.1) pueden interpretarse como la contribución de la orresponde a la parte comprimida.

rente se representa en el plano de amplitudes complejas por un e en las dos cuadraturas son iguales, un estado comprimido viene enor se dirige a lo largo del eje de la cuadratura comprimida (ver

11

Y Y X X

En la figura de la izquierda se muestra un estado coherente con ⟨X⟩ = 0, por lo que está representado por un círculo sobre el eje Y. A la derecha se muestra un estado comprimido en la cuadratura X.

1.4.- Transformaciones En este trabajo estamos interesados en la precisión máxima alcanzable en la detección del cambio de un estado de luz producida por la variación de algún parámetro. Por ello, en esta subsección recordamos conceptos básicos de las transformaciones de estados de luz. Una transformación sobre un estado cuántico viene dada por la aplicación de un cierto operador unitario U sobre dicho estado cuántico, obteniéndose así un estado cuántico transformado:

(1.4.1) ψψ U=~ ,

donde la unitariedad de U garantiza la conservación de los productos escalares.

En este trabajo todas las transformaciones podrán expresarse como la exponencial de un cierto

operador: (1.4.2)

GieU φ= ,

donde φ es el parámetro de la transformación y G es el generador de la transformación y es un operador Hermítico. En el contexto de este trabajo, el parámetro φ es una incógnita que debe inferirse realizando medidas de algún observable M y cuya incertidumbre ∆φ estudiaremos para tratar de diseñar el experimento de modo que dicha incertidumbre sea lo menor posible con los recursos disponibles. Los factores causantes de incertidumbre que estudiaremos serán las fluctuaciones cuánticas y la imperfección de los detectores. En óptica es usual que la señal a medir aparezca en una fase como por ejemplo en los interferómetros clásicos, donde la señal a medir aparece como una diferencia de fase producida por una diferencia de caminos ópticos en las trayectorias de los haces que interfieren. Un interferómetro puede entenderse que realiza una transformación sobre el estado de luz transformando el estado de luz con el que iluminamos el interferómetro en el estado de luz que lo abandona. Dicha transformación depende de una serie de parámetros, entre ellos la diferencia de fase. En tal caso, el parámetro φ puede contener información acerca de una multitud de variables físicas: longitud, frecuencia, tiempo, índice de refracción, temperatura, presión, composición química, velocidad, etc. El ejemplo más sencillo de transformación es la evolución temporal libre, ya que, si el Hamiltoniano es independiente del tiempo, la ecuación de Schrödinger:

ψψ Hdtdi =h

se puede resolver formalmente del siguiente modo:

(1.4.3) )0()( / == − tet iHt ψψ h ,

donde el parámetro y el generador de la transformación son el tiempo y el Hamiltoniano respectivamente. El valor medio de un cierto observable A en el estado transformado se relaciona con el valor medio de dicho observable en el estado sin transformar del siguiente modo:

12

(1.4.4) ψψψψψψ AAUUA ~~~ == + ,

donde se ha definido el operador transformado AUUA +=~ . Así, la evolución de los observables de un sistema cuántico admite dos interpretaciones o imágenes: 1.- La imagen de Schrödinger: ψψ ~~ A , en la que la evolución recae sobre el estado cuántico del sistema. 2.- La imagen de Heisenberg: ψψ A~ , en la que la evolución recae sobre los operadores correspondientes a los observables del sistema. Empleando la imagen de Heisenberg puede verse fácilmente que la evolución temporal libre equivale a un cambio de fase. El operador de la transformación se expresa, recordando la expresión del hamiltoniano (1.1.15):

(1.4.5) teeeeeU aaiiitaaititH ωφφφωω ≡===

++ −−−−− donde2/2// h .

Por lo tanto, la amplitud compleja transformada es: (1.4.6)

aaiaaiaaiiaaii aeeeaeeeaUUa++++ −−−+ === φφφφφφ 2/2/~ .

Ahora bien, dada una función arbitraria de a+a, se tiene la siguiente igualdad:

(1.4.7)

( ) ( ) ( )( ) .)1(1

)(

aaafaaac

aaacaaaaaacaaacaacaaaaf

n

nn

n n

nn

nn

nn

n

nn

+=+=

=====

∑

∑ ∑∑∑++

++++++ L

Insertando este resultado en (1.4.6) se llega finalmente a: (1.4.8)

aeaeea iaaiaai φφφ −+− ==++ )1(~ ,

donde se comprueba explícitamente que la amplitud compleja se ve afectada por un cambio de fase φ en la evolución temporal libre. En el cálculo de transformaciones en la imagen de Heisenberg es útil la siguiente relación:

(1.4.9)

L+++=− ]],[,[!2)(],[

2AGGiAGiAAee GiGi φφφφ

que es especialmente útil si φ es lo suficientemente pequeño, que será nuestro caso. Finalmente distinguimos entre transformaciones lineales y no lineales. Esta limitación es interesante puesto que veremos que los límites cuánticos en un caso y otro son distintos. La evolución temporal libre es un ejemplo de transformación lineal puesto que como puede verse en (1.4.8) la amplitud transformada es una función lineal de a. Un interferómetro en el que la transformación sea una función lineal de a y a+ se dirá que es un interferómetro lineal. Sin embargo, también podemos considerar transformaciones no lineales y, en ese caso, diremos que el interferómetro es no lineal. En particular, si el generador de la transformación es (a+a)2, el operador de la transformación y la amplitud compleja transformada son:

(1.4.10) 2)( aaieU

+= φ U aeaU aai )12( ++ +

= φ

respectivamente. Por lo tanto, U+aU es una función no lineal de a y a+. Este tipo de transformaciones se dan en la propagación de la luz en medios no lineales, como medios tipo Kerr.

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2.- RUIDO CUÁNTICO EN INTERFERÓMETROS LINEALES 2.1.- Divisor de haz El elemento fundamental de muchos interferómetros es el divisor de haz, que actúa como se muestra en la figura:

a1

a2

1

2b

b

Sobre el divisor (constituido por una lámina de cierto medio, por ejemplo una lámina de vidrio con un fino recubrimiento metálico) inciden dos ondas con amplitudes a1 y a2, que se reflejarán y se refractarán, emergiendo detrás del divisor dos ondas de amplitudes b1 y b2. Estas amplitudes emergentes se relacionan con las incidentes a través de los coeficientes de transmisión t y reflexión r (supuestos reales) por medio de las expresiones siguientes:

(2.1.1)

.212

211

tarabratab

+=−=

Esta relación es válida tanto en óptica clásica como en óptica cuántica. Siempre se supondrá que no hay pérdidas, es decir, que t y r están relacionados por t2 + r2 = 1. Se dice que el divisor es al 50% si t = r = 1/√2.

Los productos de b1 y b1+ y b2 y b2

+ son los siguientes: (2.1.2)

)())(( 2112222

112

212122 aaaartaataartaratarabb +++++++ +++=++=

)())(( 1221222

112

212111 aaaatraaraatrataratabb +++++++ +−+=−−= . Sumando ambas expresiones y suponiendo que no hay pérdidas resulta:

(2.1.3)

22112222

1222

211 )()( aaaaaartaartbbbb ++++++ +=+++=+ . Este resultado expresa la conservación del número de fotones incidentes y emergentes, es decir, no se pierden fotones en el divisor. Esto es válido sólo en el caso de que no haya pérdidas, como se comprueba en la expresión anterior, es decir, esto es la expresión de la conservación de la energía.

Para que las relaciones (2.1.1) sean válidas, las amplitudes emergentes deberían satisfacer las reglas de conmutación (1.1.13). El conmutador de b1 y b1

+ es:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )+++++++ +−+=−−= 1221222

112

212111 ,,,,,, aaaartaaraatrataratabb . Análogamente, para b2 y b2

+ se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )+++++++ +++=++= 1221222

112

212122 ,,,,,, aaaartaataartaratarabb . Ahora teniendo en cuenta las reglas de conmutación7: 7 Como las amplitudes con distinto subíndice operan sobre espacios distintos su conmutador es nulo.

14

[ ] [ ][ ] [ ] 0,,

1,,

1221

2211

==

==++

++

aaaa

aaaa

se concluye que:

[ ] [ ] 222211 ,, trbbbb +== ++ .

Si no hay pérdidas r2 + t2 =1, con lo que los conmutadores son iguales a la unidad, como se quería comprobar. El conmutador de los operadores b1 y b2

+ es:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) 0,,,,,, 2211122

212

212121 =−+−=+−= +++++++ aaaartaaraattararatabb , donde se han tenido en cuenta las igualdades anteriores para los conmutadores que aparecen. Por lo tanto, las amplitudes emergentes cumplen las reglas de conmutación debidas.

Finalmente, nos será de utilidad en lo que sigue demostrar que si sobre el divisor inciden dos estados coherentes α1⟩α2⟩ en los modos a1 y a2, a la salida del mismo se tendrán los estados:

(2.1.4)

.)()(

)()(

2221212121212

1121212121211

ββαααααααα

ββαααααααα

≡+=+=

≡−=−=

trtarab

rtratab

El estado a la salida del divisor será el producto de los estados β1⟩ y β2⟩, que son estados coherentes, es decir, si inciden estados coherentes emergen estados coherentes. 2.2.-Detección homodyna. Un modo sencillo de construir un interferómetro destinado a detectar un cambio de fase φ utilizando un divisor de haz es el llamado detector homodyno, que tiene la siguiente configuración:

Se hace pasar un haz a través de un medio que provoca un cambio de fase lineal φ de valor desconocido en el modo a1. Esta amplitud compleja modificada se hace incidir en una cara del divisor de haz. Por la otra cara se hace incidir un modo a2 de referencia. Las dos ondas de amplitudes complejas a1 y a2 son coherentes y monocromáticas, por lo que pueden interferir (independientemente del estado de luz). Las ondas emergentes de amplitudes complejas b1 y b2 resultado de la interferencia de las ondas a1 y a2 se dirigen a sendos detectores, cuya respuesta es proporcional al número de fotones b+

1b1 y b+2b2, con lo

que se está suponiendo detección ideal (eficiencia cuántica η =1), es decir, se supone que no se pierde ningún fotón. Mediante la medida del número de fotones detectados se puede obtener el valor de la fase desconocida introducida.

15

La combinación útil más simple que se puede construir con los observables número de fotones b+

1b1 y b+2b2 es: M = b+

1b1 - b+2b2, con divisores al 50%. El observable construido es una medida de la

interferencia de las dos señales emergentes. A partir de los productos (2.1.2) puede expresarse este observable en función de las ondas incidentes. Haciendo t = r = 1/√2, el observable M resulta:

(2.2.1) ( )12212211 aaaabbbbM ++++ +−=−= .

Cuando se produce un desfase φ, el observable M vendrá dado por:

( ) (

( ),)(

)1()1(

21121221

122112212211

aaaaiaaaaM

iaaiaaeaaaeabbbbM ii

++++

+++−+++

−++−=⇒

⇒++−−≅+−=−=

φ

φφφφ )

donde se ha desarrollado la exponencial hasta los términos lineales en φ puesto que estamos interesados en desfases muy pequeños φ <<1. En función de los operadores de Stokes, el resultado anterior se puede expresar en la forma:

(2.2.2) ( )yx SSM φ+−= .

Los operadores de Stokes se definen del siguiente modo:

(2.2.3) ( ) 221121121221 aaaaSaaaaiSaaaaS zyx

++++++ −=−=+= .

y verifican las mismas reglas de conmutación que un momento angular: [Sa, Sb] = 2iεabcSc, donde εabc es el tensor de Levi-Civitá completamente antisimétrico y los subíndices toman los valore x, y, z. Como el álgebra de Lie de estos operadores coincide con el álgebra de Lie de los generadores del grupo SU(2), estos interferómetros son conocidos en la bibliografía como interferómetros SU(2). Este grupo es isomorfo al grupo O(3) que es el grupo de las rotaciones tridimensionales, por lo que puede entenderse que el interferómetro efectúa una rotación de ángulo φ sobre los operadores de Stokes. Estos operadores suelen aparecer en el contexto de la polarización de la luz (cuando a1 y a2 representan polarizaciones ortogonales), pero también son útiles en montajes interferométricos en los que a1 y a2 tienen el mismo estado de polarización. 2.3.- Precisión en la medida En la realización de todo experimento hay presente un ruido inherente al mismo, que debe ser menor que el valor de la señal que se desea medir. En nuestro caso, esta condición implica que el desfase φ debe proporcionar un valor del observable ⟨M ⟩ superior al ruido ∆M del experimento. En este trabajo siempre se supondrá que la señal a medir φ es muy pequeña, de tal modo que es válida la expresión:

(2.3.1)

φφ

φφ

00

== +≅

dMd

MM ,

donde se ha hecho un desarrollo en serie de Taylor reteniendo términos lineales en φ. Esta ecuación permite inferir el valor de la señal a partir de la medida de ⟨M ⟩. A partir de la expresión (2.3.1) puede obtenerse una expresión para la incertidumbre de M, que puede calcularse como (∆M)2 = ⟨M2⟩ - ⟨M⟩2. Reteniendo sólo los términos lineales en φ se tiene:

16

(2.3.2)

.)(

)(

2

0

22

02

2

0

2

022

φφφ

φφφ

φφ

φφ

OdMd

MM

Od

MdMM

++=

++=

==

==

Por lo tanto, la incertidumbre en el observable M puede expresarse como:

(2.3.3)

( ) ( ) ( ) φφ

φφ

0

22

02

==

∆+∆≅∆dMdMM ,

pero como la incertidumbre en M es menor que la propia señal ⟨M⟩ (como ya se ha señalado anteriormente) el segundo término es, al menos, de segundo orden. Además, suele ocurrir que la incertidumbre no varía notablemente al variar la señal, es decir, hay estabilidad en el experimento. Teniendo esto en cuenta puede despreciarse el segundo término en (2.3.3) y se llega finalmente a:

(2.3.4) 0=∆≅∆ φMM .

Esta ecuación pone de manifiesto la estabilidad del experimento, ya que al variar la señal φ la variación en la precisión de la medida es, al menos, de segundo orden. Esta incertidumbre en el observable M se traduce de forma natural en una incertidumbre sobre la señal φ que puede estimarse haciendo una propagación de errores con lo que se obtiene (se omitirá el punto de evaluación para aligerar la notación):

(2.3.5ª)

φφ

∆≅∆dMd

M .

Como nosotros queremos determinar la incerticumbre en φ, es conveniente expresar esta ecuación como:

(2.3.5b)

φ

φ

dMdM∆=∆ .

2.4.- Precisión bajo iluminación coherente

La expresión (2.3.5b) se puede simplificar notablemente en el caso de que el modo a2 sea un estado coherente con un elevado número de fotones (a este modo se le denomina oscilador local). En estas condiciones los operadores de Stokes se pueden aproximar del siguiente modo:

(2.4.1) XnaaaaaaSx 212212112 2=+≅+= ∗+++ αα

( ) ( ) YnaaiaaaaiS y 212212112 2=−≅−= ∗+++ αα , donde se ha supuesto que la amplitud α2 es real, n2 = α2 2 es el número medio de fotones en el modo a2 y X e Y son los correspondientes operadores cuadratura para el modo a1. La aproximación efectuada consiste en reemplazar el operador amplitud compleja por la variable amplitud compleja del estado

17

coherente a2 → α2. Esta aproximación sólo es válida si el número de fotones en el modo a2 es elevado, es decir, si α >> 1. Recordando ahora la expresión (2.2.2) que se obtuvo para el observable M en función de los operadores de Stokes se tiene lo siguiente:

(2.4.2)

.2

22

20

2020

YnSdMd

XnMMXnSM

y

x

−≅−=

∆−≅∆≅∆⇒−≅−=

=

==

φ

φφ

φ

Por lo tanto, la expresión (2.3.5b) que resulta finalmente es:

(2.4.3)

YX∆=∆φ .

Esta relación muestra como las fluctuaciones del observable medido ∆X limitan la precisión de la medida de cambios de fase. De las expresiones (2.4.1) se ve también que un cambio de fase equivale a una rotación en el plano de amplitudes complejas ya que se identifican los operadores cuadratura con los operadores de Stokes (salvo constante de proporcionalidad) y éstos se rotan por efecto del interferómetro, como ya se explicó anteriormente (ver figura).

En la figura se muestra el efecto en el plano de amplitudes complejas de introducir un desfase φ.

Como aplicación de la de la expresión (2.4.3) se calculará la incertidumbre en la medida del

parámetro φ cuando se utilizan estados coherentes en los modos a1 y a2. La incertidumbre en la cuadratura X para un estado coherente es: ∆X = ½. El valor medio de la cuadratura Y viene dado por:

(2.4.4)

( ) ( ) )Im(*21

21

1111111 ααααααα =−=−= +

iaa

iY .

Por lo tanto, la incertidumbre en la medida del parámetro φ será:

(2.4.5)

)Im(21

1αφ =∆ .

Para minimizar la incertidumbre lo óptimo es escoger que la amplitud compleja del modo a1 se puramente imaginaria: α1 = in1/2. Con esto, se tiene una dependencia de la incertidumbre con el número de fotones en la forma:

(2.4.6)

n21=∆φ .

18

2.5.- Precisión bajo iluminación comprimida y límite de Heisenberg. La expresión (2.4.3) sugiere que emplear estados comprimidos mejorará la sensibilidad de la medida al reducir la incertidumbre de la cuadratura X de ½ a µ1/2 /2. Por otra parte, el estudio del apartado precedente también sugiere que aumentar el número de fotones del estado coherente también contribuye a mejorara la precisión de la medida. Teniendo en cuenta que siempre tendremos unos recursos enegéticos finitos surge entonces el dilema de cuál será la mejor estrategia, utilizar un estado coherente con el mayor número de fotones posible o utilizar un estado comprimido repartiendo la energía disponible entre la parte coherente y la comprimidia como se expresa en (1.3.1). Para resolver este dilema minimizaremos la incertidumbre ∆φ para un número de fotones constante utilizando estados comprimidios.Para ellos se empleará la expresión (2.4.3). La incertidumbre en la cuadratura X en un estado comprimido viene dada por (1.2.2):

2µ

=∆X .

Por otra parte, de la expresión (1.3.1) se tiene:

µµ

41

421 22 −−−+= XnY .

Por lo tanto, la incertidumbre en φ vendrá dada por:

(2.5.1)

−−−+

=∆

µµ

µφ

41

4214 2Xn

.

El valor medio de la cuadratura X puede tomarse igual a cero por optimización8. Puesto que el número de fotones será, en general, muy grande, podemos aproximar la expresión (2.5.1) del siguiente modo:

(2.5.2)

µ

µ

µ14

41 −

≈

− n

, ( )µ

µφ

4214

2

−+

=∆n

donde se ha despreciado ½ frente a n y µ frente a 1/µ ya que n será muy grande y µ será pequeño. Esta función tiene un mínimo en µ = 1/(2n) (este resultado justifica despreciar µ frente a 1/µ), por lo tanto, la incertidumbre en φ tiene una dependencia con el número medio de fotones en el caso óptimo de la forma:

n21=∆φ .

Se obtiene por tanto que en el caso de iluminación comprimida smedida con respecto a iluminación coherente, siendo ∆φcomprimidfijo n >> 1.

8 Este valor medio siempre se puede hacer cero sin más que dejar pasar el tiempevolución temporal introduce un desfase. Esto equivale a una rotación en el pintroducir un desfase de modo que el valor medio de la cuadratura X se encuentr⟨X⟩ = 0

Gráfica de ∆φ frente al parámetro decompresión µ para un número fijo de fotones n= 10.

(2.5.3)

e mejora notablemente la precisión en la o<< ∆φcoherente para un número de fotones

o ya que, como se comentó en el primer capítulo la lano de amplitudes complejas y siempre podemos e sobre el eje de la cuadratura Y, lo que supone que

19

Cuando la incertidumbre de la medida es inversamente proporcional al número de fotones se dice que se trata del límite de Heisenberg. Puede argumentarse que esta sería la mínima incertidumbre alcanzable utilizando la relación de incertidumbre energía-tiempo en la forma ∆φ∆n ≥ 1. Como n (número de fotones) es una cantidad positiva, se tiene que, grosso modo, ∆n ≥ n/2 (ver (4.1.5) y (4.1.6)) y, en consecuencia:

n1≥∆φ .

No obstante, debe notarse que, en nuestro caso, φ no es ningún operador sino un parámetro. En este capítulo se ha comprobado que, para detección ideal, el límite de Heisenberg sólo es accesible cuando se utilizan estados comprimidos.

20

3.-EFECTO DE LA EFICIENCIA CUÁNTICA EN INTERFERÓMETROS LINEALES 3.1.-Eficiencia cuántica La eficiencia cuántica de un determinado detector se define como el cociente entre el número de fotones detectados y el número de fotones incidentes:

(3.1.1)

incidentes

detectados

nn=η .

En un detector ideal este cociente es igual a la unidad, es decir, detecta todos los fotones que le llegan. En un detector real, sin embargo, la eficiencia cuántica es menor que la unidad, evidenciando que algunos fotones incidentes son ignorados. El efecto de una eficiencia cuántica menor que la unidad no es tan trivial como pueda parecer (en principio se pensaría que el único efecto sería una disminución de la señal). La causa de que los efectos de ineficiencia cuántica sean más nocivos radica en la aleatoriedad del proceso de detección, ya que los fotones son detectados o no de un modo aleatorio (no se puede predecir que fotones serán detectados y cuales no), lo que puede influir notablemente en la estadística de la medida. El efecto de una eficiencia cuántica menor que 1 puede describirse anteponiendo a un detector ideal un divisor de haz cuyo coeficiente de transmitancia sea t2 = η (véase figura). Así, se tiene un dispositivo que puede detectar un fotón (transmitido a través del divisor) con una probabilidad η o no detectarlo (reflejado por el divisor) con una probabilidad 1 - η. Este es precisamente el comportamiento que se deseea, equivalente a un detector real. Para tal sistema, las relaciones entre las amplitudes incidentes y emergentes (2.1.1) se expresan del siguiente modo:

(3.1.2)

,11

012

011

aabaab

ηηηη

+−=−−=

cumpliéndose las reglas de conmutación requeridas, ya que t2 + r2 = η + 1 - η = 1.

Cuerpo negro absorbente 1

Divisor de haz

Fotodetector ideal

Cuerpo negro absorbente 2

Simulación de un fotodetector ineficiente por medio de un fotodetector ideal y un divisor de haz. El cuerpo negro absorbente 2 absorbe aquellos fotones de la señal entrante que nos son contados por el fotodetector. La figura ha sido reproducida a partir de B. Yurke, Phys. Rev. A Vol. 32, p.311 (1985).

21

Para obtener un modelo más real de detección de cambios de fase deberíamos anteponer un divisor de haz a cada uno de los dos detectores del interfórmetro homdyno ideal considerado anteriormente. Sin embargo, si los detectores de ambos brazos del interferómetro son iguales puede simplificarse el problema utilizando un solo divisor interpuesto en el camino de la señal antes del divisor de haz del oscilador local. Con ello, el interferómetro homodyno con detectores indeficientes se convierte en la medida de la cuadratura X del modo 1b a la salida del divisor de haz ficticio que representa la ineficiencia cuántica y siendo a0 un modo en el estado de vacío acoplado a la señal por el divisor de haz y cuyas fluctuaciones deterioran la calidad de la medida. Este estado de vacío acoplado es necesario tenerlo en cuenta ya que cuánticamente no puede imponerse a0 = 0 porque el vacío también presenta fluctuaciones.

3.2.-Efecto con iluminación coherente comprimida

En este apartado se calculará la incertidumbre en la señal φ considerada a lo largo de este trabajo teniendo en cuenta la ineficiencia de los detectores. Para ello se hará uso de la expresión (2.4.3) obtenida en el capítulo anterior:

YX∆=∆φ .

La incertidumbre de X se calcula del modo habitual, utilizando: (∆X)2 = ⟨X2⟩ - ⟨X⟩2. El promedio de X2 en el estado incidente producto de un estado coherente comprimido y el estado de vacío ξ,0⟩ es:

( ) ( ) 0,0,410,0,

410,0, 11111111

211

2 ξξξξξξ +++++ +++=+= bbbbbbbbbbX .

Teniendo en cuenta ahora las relaciones entre las amplitudes de salida y las de entrada dadas por (3.1.2):

,11

011

011+++ −−=

−−=aabaab

ηηηη

donde se ha tomado φ = 0 (∆X se considera a orden cero en φ), se calculan los valores medios de los productos de amplitudes:

22

( ) ( ).1100

00

00

00

110001111

1111

2111

2111

ηηηηξξ

ηξξ

ηξξ

ηξξ

ξξ

ξ

ξ

ξ

−+=−+=

=

=

=

++++

++

+++

aaaaaabb

aabb

abb

abb

Se ha utilizado que a00⟩ = 0. Por tanto, se tiene que:

( )4

14

141

11112

121

2 ηηηη ξξξξξ

−+=−+

+++= +++ XaaaaaaX .

El valor medio de X se calcula del siguiente modo:

( ) ξξξ ηηξξ XaabbX =

+=+= ++

1111 2100

21 .

Por tanto, la incertidumbre de X es:

( ) ( ) ( ) ( )4

14

1 222222 ηηηη ξξξ

−+∆=−+

−=−=∆ XXXXXX ,

y, recordando ahora (1.2.2), se tiene finalmente:

(3.2.1)

( )4

)1(2 ηηµ −+=∆X .

El valor medio de Y es:

(3.2.2)

( ) ξξξηηξξ Yaa

ibb

iY =

−=−= ++

1111 2100

21 .

Por lo tanto, la incertidumbre en φ es:

( ) ( )2

2

41

ξηηηµφ

Y−+=∆ .

Con la relación

21

41

422 −+++=≡ +ξξξ µ

µ YXaan

se puede expresar el valor medio de Y en función del valor medio de X, el número de fotones y el parámetro µ, resultando finalmente:

(3.2.3)

( ) ( )

−−−+

−+=∆

µµη

ηηµφ

ξ 41

4214

12

2

Xn.

Esta expresión nos permite optimizar el experimento de modo que la incertidumbre en el parámetro de interés, φ, sea lo menor posible teniendo en cuenta la limitación práctica en el número de fotones n, que se toma como constante. El valor medio de la cuadratura X podemos suponerlo nulo, lo que contribuye a la optimización de la incertidumbre, como se comentó en 2.5.

23

En primer lugar podemos comprobar que se recuperan los resultados del capítulo anterior con detección ideal e iluminación coherente haciendo µ = η = 1. Con esto, la incertidumbre en φ resulta:

(3.2.4)

( )n4

12 =∆φ .

que es lo que se obtuvo en 2.4. A continuación se analizará el caso de detección ideal, pero utilizando estados comprimidos. Manteniendo µ ≠1 y haciendo η = 1 se obtiene la expresión para iluminación comprimida:

(3.2.4)

( )µ

µ

µµ

µφ 1441

4214

2

−≈

−−+

=∆nn

,

donde se ha aproximado del mismo modo que en 2.5. La expresión resultante es la misma que se obtuvo en 2.5, es decir, la precisión en la medida es de la forma:

(3.2.5)

n81=∆φ ,

que es el límite de Heisenberg. Ahora se pasará al estudio del efecto de la ineficiencia cuántica de los detectores. Haciendo las mismas aproximaciones que en el caso anterior en (3.2.3), pero manteniendo η < 1, se tiene la siguiente expresión:

(3.2.6)

( ) ( )

−

−+=∆

µη

ηηµφ

414

12

n.

Haciendo µ = 1 en (3.2.6) se obtiene la incertidumbre con la utilización de estados coherentes, que resulta ser:

(3.2.7)

( )η

φη

φnn 21

412 =∆⇒≈∆ .

Para µ ≠ 1 la función (3.2.6) presenta dos extremos para los siguientes valores de µ:

(3.2.8)

ηηηηη

µn

n4

)1(42 −+±= .

El signo menos proporciona un valor de µ negativo y resulta ser un máximo. Por tanto, el valor que buscamos es la solución con signo positivo. Teniendo ahora en cuenta que η < 1 y n>>1 se puede aproximar (3.2.8) del siguiente modo:

(3.2.9)

ηη

ηηη

µnn

n41

4)1(4 −=

−≈ .

Como µ es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de fotones puede despreciarse el segundo término del corchete de (3.2.6) frente al primero, obteniéndose para la incertidumbre en φ:

(3.2.10)

( )ηηµφµ

ηηφ

nn 41

41 22 −==∆⇒=−≈∆ ,

24

que está lejos del límite de Heisenberg y es la misma que se puede alcanzar con estados coherentes. En consecuencia, la utilización de estados comprimidos con detectores reales no permite mejorar la precisión de la medida con respecto a la utilización de estados coherentes. En la siguiente tabla se resumen los resultados que se han obtenido para la dependencia de la precisión en la medida con el número de fotones empleando los dos tipos de iluminación tanto en detectores ideales como detectores reales:

η = 1 η ≠ 1

µ = 1 n1

n1

µ ≠ 1 n1

n1

Se comprueba que el límite de Heisenberg únicamente es alcanzable con detectores ideales y empleando iluminación comprimida. Cuando se tiene en cuenta la imperfección de los detectores, el límite de Heisenberg no es alcanzable. Además, en el caso de estados comprimidos, el efecto de la ineficiencia no permite mejorar la precisión con respecto al uso estados coherentes. Estos resultados se refieren a interferómetros lineales. Cuando se emplean interferómetros no lineales, puede superarse el límite de Heisenberg (incluso con detectores no ideales), como se demostrará en el último capítulo.

25

4.- RUIDO CUÁNTICO EN INTERFERÓMETROS NO LINEALES 4.1.-Dependencia del ruido con el generador de las transformaciones Hasta ahora nos hemos limitado al estudio de interferómetros lineales, en los que las amplitudes complejas de los modos transformados son una función lineal de las amplitudes complejas de los modos iniciales. En este capítulo se estudiarán interferómetros no lineales que son aquellos en los que la transformación es una función no lineal de las amplitudes complejas. En concreto, utilizaremos un caso sencillo, en el que el generador de la transformación sea una función cuadrática del operador número de fotones: G = (a+a)2, con lo que, recordando los resultados de la sección 1.4 se tiene:

2)( aaieU+

= φ U . aeaU aai )12( ++ += φ

Como ya se mencionó en 1.4., este tipo de transformaciones son típicas de medios no lineales, como en el denominado efecto Kerr, en el que el índice de refracción depende de la intensidad de la señal. En cierto sentido, el significado físico del parámetro φ es distinto que en el caso de transformaciones lineales, ya que no es exactamente un cambio de fase. Sin embargo, esta objeción no afecta al análisis que se hace aquí de la eficacia óptima de parámetros, ya que dicho parámetro dependerá de magnitudes físicas tales como tiempo, longitud, índice de refracción, etc. cuyas variaciones son el objeto de la medida en una forma análoga a la fase. También puede objetarse que los efectos no lineales suelen ser notablemente menores que los efectos lineales. No obstante, en los últimos años los descubrimientos en el ámbito de la óptica con átomos de tres niveles han dado lugar a medios con susceptibilidades no lineales muy elevadas. De todos modos, esta reflexión tampoco afecta al análisis planteado en este trabajo, a saber, la dependencia de la precisión de la medida con el número de fotones empleado. Recordando la expresión (1.4.9) y reteniendo únicamente el término lineal en φ se tiene:

(4.1.1) ],[ GMiMMee GiGi φφφ +≅− ,

de modo que para φ << 1

(4.1.2)

],[ GMdMd

≅φ

y, en consecuencia:

(4.1.3)

GGMM

dMdM

∆≥∆≅∆=∆

21

],[φ

φ ,

donde se ha utilizado la relación de incertidumbre general:

(4.1.4)

],[21 GMMG ≥∆∆ .

Para transformaciones lineales, el generador es G = a+a y puede verse que, como máximo:

(4.1.5) naaG =∝∆ + ,

con lo que (4.1.3) se reduce al límite de Heisenberg. Así, se prueba de nuevo que el límite de Heisenberg impone una cota a la precisión en la medida, pero esto únicamente es válido en interferómetros lineales.

26

Para probar la validez de (4.1.5) se calculará la incertidumbre en G empleando estados con máxima dispersión en el número de fotones:

( )n202

1 +=ψ .

Los valores medios de G y G2 en este estado son:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] .22020

21

202021

22 nnaaaanG

nnaanG

=++=

=++=

++

+

ψ

ψ

donde se ha utilizado que, por definición de vacío, a0⟩ = 0 y ⟨0a+ = 0. Por lo tanto, la incertidumbre en G es:

ψψψψ aannnGGG +==−=−=∆ 2222 2)( ,

comprobándose la validez de (4.1.5). Como puede verse en 2.5, los estados comprimidos permiten alcanzar la precisión máxima posible en interferómetros lineales (límite de Heisenberg). El resultado obtenido para transformaciones lineales parece indicar que en el caso no lineal con un generador del tipo G = (a+a)2 se tendrá

(4.1.6)

21

aa+≥∆φ .

Este resultado supone la superación del límite de Heisenberg que estipula que ∆φ decrece con el inverso del número medio de fotones. El resultado (4.1.6) es claramente más favorable y conduce a precisiones mucho mayores que las alcanzables con interferómetros lineales. Sin embargo, debe señalarse que lo demostrado anteriormente indica una posibilidad. La validez de (4.1.6) dependerá de la satisfacción o no de la relación de incertidumbre entre M y G y del valor ∆G en el estado de luz utilizado (en la demostración anterior se utilizó un estado de máxima dispersión). Por ejemplo, para los estados de incertidumbre mínima del producto ∆G∆M no es obligado que tengan un valor de ∆G elevado. Esta posibilidad se demuestra cierta en el próximo capítulo, incluso en el caso de detección ineficiente.

27

5.- EFECTO DE LA EFICIENCIA CUÁNTICA EN INTERFERÓMETROS NO LINEALES SUPERANDO EL LÍMITE DE HEISENBERG El estudio del efecto producido al considerar detectores reales con eficiencia cuántica menor que la unidad en interferómetros no lineales es el último objetivo de este trabajo. Para ello se utilizará el siguiente esquema:

análogo al utilizado en el capítulo 3, pero siendo ahora: 22 )(

1)(

1aaiaai eaea

++−= φφ . Para realizar el cálculo se utilizará el mismo procedimiento que en el caso del interferómetro lineal, haciendo uso de la expresión (4.1.3):

])(,[],[ 211 aaX

XGM

M+

∆=∆=∆φ ,

ya que, en este caso, el observable a medir es la cuadratura X del modo b1 y el generador de la transformación es (a1

+a1)2. Recordemos que la ecuación anterior se evalúa en φ = 0. De acuerdo con (3.1.2), el conmutador de la cuadratura X con este generador, que aparece en el denominador es:

[ ] [ ] [ ] [ ]21111

2110011

21111

211 )(),(

21)(),()1()(

21)(,

21)(, aaaaaaaaaaaabbaaX ++++++++ +=+−++=+= ηηη

. Por lo tanto, hay que calcular los siguientes conmutadores: [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ),2)(,)(,

2,,)(,

11112

1112

111

111111111111111111112

111

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

+++++++

++++++++

+−=−=

+=+=+=

donde se ha utilizado que [a1, a1

+a1] = a1 y [a1, a1+]=1. En consecuencia, el conmutador de la cuadratura

con el generador es:

[ ] ( ))(221)(, 11111111

211 aaaaaaaaaaX +++++ −+−= η .

Por sencillez, vamos a considerar el caso en el que la iluminación del interferómetro se haga con un estado coherente α ⟩ en el modo a1. En tal caso se tiene que:

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[ ] ( ) )21)(Im()(221)(, 22*2*2

11 ααηααααααηαα +=−+−=+ iaaX .

De nuevo, para minimizar ∆φ consideraremos que Im(α) sea lo mayor posible para un número fijo de fotones, es decir, que el estado coherente sea tal que: α = in1/2. En dicho estado coherente resulta lo siguiente:

[ ] 2/3211 2)21()(, ninniaaX ηηαα ≈+=+ .

La incertidumbre de la cuadratura X en un estado coherente es:

( )412 =∆X ,

con lo cual, la incertidumbre en φ resulta:

(5.1)

( ) 2/332 1

161

nn∝∆⇒=∆ φ

ηφ .

Se tiene por lo tanto que la precisión supera el límite de Heisenberg. Cabe destacar que este resultado se ha obtenido para iluminación coherente, por lo que cabría esperar que el uso de estados comprimidos mejoraría todavía más el resultado. En la expresión anterior también se observa que la eficiencia cuántica del detector aumenta la incertidumbre de la medida en un factor 1/η1/2 con respecto al caso de detección ideal η =1. Aunque la eficiencia cuántica deteriora la precisión de la medida, su efecto no es tan dramático como cuando se utilizan estados comprimidos en (3.2.10), por lo que observamos en la ecuación anterior que, incluso con detección ineficiente, los interferómetros no lineales pueden superar el límite de Heisenberg.

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CONCLUSIÓN A lo largo de este trabajo se ha visto cómo el ruido cuántico deteriora la precisión en la medida de un parámetro relacionado con alguna magnitud física (que en el caso de interferómetros lineales es una diferencia de fase), así como el efecto nocivo de tener detectores no ideales, es decir, con eficiencia cuántica menor que la unidad. Los resultados obtenidos para la incertidumbre en la medida pueden resumirse como sigue:

Interferómetros lineales

Interferómetros no lineales

η = 1 η ≠ 1 η = 1 η ≠ 1

µ = 1 n21

ηn21

316

1

n

µ ≠ 1 n81

η316

1

n

ηη

n41−

Podemos comprobar que, en el caso de interferómetros lineales, la máxima precisión alcanzable en la medida del parámetro φ corresponde al límite de Heisenberg y únicamente puede obtenerse cuando se utilizan estados comprimidos y detectores ideales. Al pasar a detectores ineficientes, los estados coherentes no se ven afectados de un modo dramático, ya que la precisión en la medida tiene la misma dependencia en el número de fotones que en el caso de detectores ideales. Sin embargo, cuando se utilizan estados comprimidos, la ineficiencia de los detectores provoca que el límite de Heisenberg sea inalcanzable, es decir, deteriora en gran medida el resultado obtenido para detección ideal. Esto indica que los estados coherentes son más robustos frente a la ineficiencia de los detectores que los estados comprimidos. Además, en el caso de detección ineficiente, el uso de estados comprimidos no mejora la precisión que puede obtenerse con estados coherentes, con respecto a la dependencia con el número de fotones (que se supone fijo y muy grande). Por lo tanto, el uso de estados comprimidos cuando los detectores son ineficientes (es decir, los detectores reales) no está justificado ya que los estados coherentes proporcionan la misma precisión y son más fáciles de preparar.

Cuando pasamos a interferómetros no lineales puede superarse notablemente el límite de

Heisenberg, como se comprueba en la tabla anterior, siendo la dependencia con el número de fotones proporcional a n-1,5, tanto en el caso de detección ideal como en el caso de detectores ineficientes. Además, este resultado se ha obtenido para estados coherentes, que son más estables frente a los efectos de la ineficiencia cuántica de los detectores que los estados comprimidos. Así, mientras que en el caso de detectores ideales, este resultado podría mejorarse utilizando estados comprimidos, cuando consideramos la ineficiencia de los detectores, el uso de éstos es de esperar que no aporte mejora en la precisión, como se explicó en el párrafo anterior.

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Apéndice A: Relaciones de indeterminación

Sea el operador A dependiente del parámetro real µ:

(A.1) ( ) ( )YYiXXA −+−= µ

y calculemos ⟨A+A⟩ para un estado arbitrario ψ :

(A.2)

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( ) [ ] ,,222

222

YXiYX

XXYYYYXXiYYXXAA

µµ

µµ

+∆+∆=

=−−−−−+−+−=+

donde se ha tenido en cuenta que X + = X e Y + = Y. Se obtiene un polinomio de segundo grado que es positivo o nulo para todo µ por serlo el valor medio A+A, que es un operador positivo por construcción. Por lo tanto, dicho polinomio debe tener discriminante negativo o nulo, ya que debe tener, a lo sumo, una solución real. Entonces, se tiene la desigualdad:

(A.3)

[ ]( ) ( ) ( ) [ ]YXYXYXYXi ,2104, 222 ≥∆∆⇒≤∆∆− ,

que es la relación de indeterminación general. Particularizando al caso de los operadores cuadratura, para los que [X, Y] = i/2 se obtiene la expresión (1.1.23). El mínimo en (A.2) se obtiene cuando se alcanza la igualdad en (A.3) y, en dicho mínimo, el valor medio A+A es igual a cero. Para el caso de los operadores cuadratura se obtiene que:

(A.4)

( ) ( ) 021222 =−∆+∆ µµ YX .

Además, la relación de indeterminación proporciona la igualdad: ∆X∆Y = ¼. Despejando ∆Y de aquí e introduciéndolo en (A.4) se llega a:

(A.5) ( ) ( ) 08161 242 =∆−∆− YY µµ ,

cuya solución con respecto a ∆Y se encuentra en:

(A.6)

µ21=∆Y .

Por tanto, la incertidumbre en X cumple:

(A.7)

2µ

=∆X .

Los estados para los que se cumplen estas relaciones se llaman estados de incertidumbre mínima porque para ellos se alcanza la igualdad en la relación de indeterminación (A.3) por lo que vienen determinados por la ecuación de autovalores 0=ψA . Cuando se elige el parámetro µ igual a la unidad se obtienen los

estados coherentes y, para ellos, las incertidumbres en las cuadraturas son iguales. Cuando µ es distinto de uno se tiene que las fluctuaciones de una de las cuadraturas es menor que las de un estado coherente no habiendo en principio ninguna limitación teórica para los valores que puede tomar µ .

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BIBLIOGRAFÍA C. Brif y A. Mann: Nonclassical interferometry with intelligent light. Phys. Rev. A, Vol. 54, p. 4505 (1996).

C. M. Caves: Quantum-mechanical noise in an interferometer. Phys. Rev. D, Vol. 23, p. 1693 (1981).

G. M. D'Ariano y M. G. A. Paris: Lower bounds on phase sensitivity in ideal and feasible measurements. Phys. Rev. A, Vol. 49, p. 3022 (1994). S. E. Harris y L. V. Hau: Nonlinear optics at low light levels. Phys. Rev. Lett., Vol. 82, p. 4611 (1999). M. Hillery y L. Mlodinow: Interferometers and minimum-uncertainty states. Phys. Rev. A, Vol. 48, p. 1548 (1993). H. Kang y Y. Zhu: Observation of large Kerr nonlinearity at low light intensities. Phys. Rev. Lett., Vol. 91, p. 093601 (2003).

T. Kim, Y. Ha, J. Shin, H. Kim, G. Park, K. Kim, T.-G. Noh, y Ch. K. Hong: Effect of the detector efficiency on the phase sensitivity in a Mach-Zehnder interferometer. Phys. Rev. A, Vol. 60, p. 708 (1999). U. Leonhardt y H. Paul: Realistic optical homodyne measurements and quasiprobability distributions. Phys. Rev. A, Vol. 48, p. 4598 (1993).

A. Luis: Reaching quantum limits for phase-shift detection with semiclassical states. J. Opt. B: Quantum and semiclass. Opt. Vol. 6, p.1 (2004). A. Luis: Nonlinear transformations and the Heisenberg limit. Phys. Lett. A Vol. 329, p. 8 (2004). A. Luis: Heisenberg limit for displacements with semiclassical states. Phys. Rev. A Vol. 69, p. 044101 (2004). Z. Y. Ou: Fundamental quantum limit in precision phase measurement. Phys. Rev. A, Vol. 55, p. 2598 (1997).

S. Schiller, G. Breitenbach, S. F. Pereira, T. Müller, y J. Mlynek: Quantum Statistics of the Squeezed Vacuum by Measurement of the Density Matrix in the Number State Representation. Phys. Rev. Lett. Vol. 77, p. 2933 (1996) H. Schimdt y A. Imamoğlu: Giant Kerr nonlinearities obtained by electromagnetically induced transparency. Optics Letters, Vol. 21, p. 1936 (1996).

M. O. Scully y S. Zubairy: Quantum Optics. Cambridge University Press.

D.F. Walls y G. J. Milburn: Quantum Optics. Springer. B. Yurke: Wideband photon counting and homodyne detection. Phys. Rev. A Vol. 32, p. 311 (1985).

B. Yurke, S. L. McCall, y J. R. Klauder: SU(2) and SU(1,1) interferometers. Phys. Rev. A, Vol. 33, p. 4033 (1986).

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