por la Cátedra de Física Teórica de la Facultad de ... · ii) Los métodos variacionales en espacios de dimensión infinita son herramienta adecuada para la discusión de soluciones

Sp ISSN 0031-3397

por

la Cátedra de Física Teórica dela Facultad de Ciencias Físicasde la U.C.M.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES

F51DIFFERENTIAL EQUATIONSINVERSE SCATTERING PROBLEMCAUCHY PROBLEMSOLITONSMATHEMATICS

Toda correspondencia en relación con este traba-jo debe dirigirse al Servicio de Documentación Bibliotecay Publicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Uni-versitaria, Madrid-3, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse aeste mismo Servicio.

Los descriptores se han seleccionado del Thesaurodel INIS para-describir las materias que contiene este in-forme con vistas a su recuperación. Para mas detalles con_súltese el informe IAEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indiza-cion) y IAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por el Or-ganismo Internacional de Energía Atómica.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes ana-líticos que aparecen en está publicación.

Este trabajo se ha recibido para su impresión en

Octubre de 1977.

Deposito legal n° M-850-1 978 I.S.B.N. 84-500-2445-3

NOTA

El presente trabajo corresponde al Informe #1 del

equipo vi) Problemas Físicos no Lineales, del Subprogra-

ma de la J.E.N, sobre Confinamiento Inercial , proyecto La_

ser-Fision-Fusión, descrito en el Informe JEN-351.

Í N D I C E

0 . PROLOGO ¡i

1. ECUACIONES DE ONDA NO-LINEALES: PROBLEMA DE CAUCHY

A. Gal indo 1

2. INTRODUCCIÓN AL CALCULO VARIACIONAL EN PROBLEMAS NO-

LINEALES

L. Martínez Alonso 3^

3. MÉTODO DE INVARIANCIA EN LAS ECUACIONES NO-LINEALES

(Ordinarias y en derivadas parciales)

L. Abellanas 57

k. PROBLEMA INVERSO DE LA DISPERSIÓN Y EVOLUCIÓN TEMPO-

RAL PARA ECUACIONES NO LINEALES: UNA INTRODUCCIÓN

ELEMENTAL

R. Fernández Alvarez-Estrada 149

5. ONDAS VIAJERAS Y SOLITONES EN ALGUNAS ECUACIONES DI-

FERENCIALES NO-LINEALES

G. García Alcaine 177

6. TRATAMIENTO NUMÉRICO DE ECUACIONES EN DERIVADAS PAR-

CIALES

F. Ramírez Cacho 222

11

PROLOGO

Las notas presentes resumen los contenidos de algunos seminarios de-

sarrollados por el Grupo de Física Teórica de la UCM durante el año 1976,

dentro de su pro}recto de iniciación a la investigación de problemas físi-

cos no-lineales. Estos seminarios tenían por objeto informar con detalle

a los componentes del grupo sobre aquellas técnicas básicas en el estudio

de ecuaciones no-lineales (ENL) que forzosamente subyacen cualquier inten_

to serio de análisis de estos tipos de problemas:

i) Primeramente el problema básico es asegurarse de que existen so_

luciones. Esto lleva de inmediato a la formulación abstracta en espacios

funcionales del problema de Cauchy, cuestión esta no trivial incluso a ni

vel local. Por otro lado, la eliminación del "blow-up" típico-de muchas

ecuaciones de onda no-lineales requiere laboriosas estimaciones a priori,

todavía no conocidas en algunos casos de gran interés físico. La intuición

juega hasta ahora un gran papel en su búsqueda.

ii) Los métodos variacionales en espacios de dimensión infinita son

herramienta adecuada para la discusión de soluciones estacionarias a esas

ecuaciones y su estabilidad. Aunque el método abstracto es muy potente,su

aplicación requiere grandes esfuerzos aún en los casos más simples.

iii) La construcción de soluciones explícitas a las ENL es en gene-

ral harto difícil, y las técnicas anteriores no suelen aportar informa-

ción en este sentido. Esencialmente el único método general de que se dis_

pone es el de Lie. En principio estos métodos de invariancia permiten

construir familias de soluciones a cualquier ENL. Como contrapartida, el

método elige sus propias soluciones, que resultan muchas veces demasiado

triviales o alejadas de situaciones realistas.

iv) Un procedimiento no general, pero de gran profundidad y alcance3

para la resolución explícita de ciertas ENL en dimensión 1+1, es el del

111

método inverso de la dispersión, que trasladando el problema no lineal a

otro lineal totalmente equivalente, permite de forma muy elegante analizar

la cuestión de solitones y de evolución temporal con toda generalidad. La

extensión de este método a dimensiones superiores presenta grandes dificul

tades.

v) Puede decirse que gran parte del interés surgido en estos años

por las ENL entre físicos de los más diversos campos ha sido motivado por

la existencia de curiosas soluciones a algunas ENL: los solitones. Su in-

destructibilidad asintótica los convierte en candidatos privilegiados pa-

ra la descripción de muchos fenómenos físicos. De ahí nuestro interés en

resumir el conocimiento actual sobre esas ENL que presentan soluciones de

tipo solitón.

vi) La carencia de soluciones explícitas no ha sido obstáculo para

el estudio de las ENL. De hecho los propios solitones emergieron del aná-

lisis numérico de ecuaciones en derivadas parciales. No podía faltar por

tanto una introducción al estudio numérico de estos tipos de ecuaciones,

los esquemas apropiados de diferencias finitas, su convergencia y su esta

bilidad.

Confiamos que el esfuerzo depositado en la confección de estas notas

se vea recompansado por el alivio de trabajo que su utilización puede su-

poner para otros grupos incipientes en este campo de investigación. Hemos

procurado en su redacción conjugar una exposición suficientemente detalla

da para facilitar su comprensión con comentarios críticos sobre el alcan-

ce de cada técnica y la situación actual de sus resultados.

Queremos finalmente agradecer al Instituto de Estudios Nucleares de

la Junta de Energía Nuclear la financiación económica de este proyecto y

la confianza depositada en nuestro grupo. Asimismo, nuestro agradecimien-

to a Ascensión Iglesias y Pilar Vilella por el cuidado puesto en el meca-

nografiado de estas notas.

Madrid, Enero 1977

-1-

"ECUACIONES DE ONDA NO-LINEALES: PROBLEMA DE CAUCHY1

A. Gal indo

-2-

ECUACIONES DE ONDA NO-LINEALES: PROBLEMA DE CAUCHY

A. Galindo

0.INTRODUCCIÓN

El interés y variedad de los problemas físicos en que aparecen las

EONL están excelentemente recogidos por Scott et al. en "The Soliton:

A New Concept in Applied Science" JjSC 73J . Así, por ejemplo:

1) KdV (Korteweg-de Vries):

Aparece en el estudio de propagación de ondas de agua, poco profun

das y sin disipación. Muchos otros fenómenos se reducen, en aproxima-

ción, a esta ecuación: ondas iónico-acústicas en plasmas, ondas magneto_

hidrodinámicas, paquetes fonónicos térmicamente excitados en cristales

no-lineales a bajas temperaturas, etc.

2) KGNL (Klein-Gordon no-lineal):

Surge como modelo clásico procedente de TQC, y en elasticidad.

3) SNL (Schrodinger no-lineal):

1^+A«-± K\V = o (o.3)

Interesa en la óptica de medios no-lineales, en el estudio de on-

das de Langmuir en plasmas, etc.

" Notas de los seminarios y curso de doctorado que sobre el tema indica

do fueron dados en la UCM durante la primavera del curso 1975-76.

-3-

SG ("Sine"-Gordon)

-i , J— -». - r *JL 4- «t iS.Y\. \JL — O

En la forma u - u + sen u = 0 aparece en la propagación de dislo-tt xx * " &

caciones en cristales, en el movimiento de paredes Bloch en cristales mag

néticos, etc.

5) KG-D (Klein-Gordon-Dirac), KG-M (Klein-Gordon-Maxwell), D-M (Dirac-Max

well), etc.

E c u a c i o n e s p r o c e d e n t e s de i n t e r a c c i o n e s l o c a l e s d e l t i p o -\ • ^ -^, v nu}

e t c . , s u g e r i d a s p o r l a TQC.

6) Ecuaciones tipo Hartree y Hartree-Fock, surgidas del formalismo cuán-

tico.

De muchas de estas ecuaciones se conocen soluciones con propiedades

verdaderamente notables, las llamadas soluciones de tipo solitón. Por

ejemplo:

KdV: u, C*,t") = 5<f/C\i (-g fv? Cx--xo-vr4:")J / \ í ^ € F + , V vo € R (0 .5 )

KGHL(en 3R x IR , s i g n o - ) :

s i e n d o X - ^-& .

SNL (en E x E , s i g n o + ) :

TP \¡ Cxn ,9 é IR

Ante una EONL surgen inmediatamente cuestiones tales como:

i) 3 local y global de soluciones para unas con-

diciones iniciales dadas en un cierto instan-

te , digamos t = 0.

Problema de Cauchy

ii) Suavidad de las soluciones, según la de los

datos iniciales.

iii) Dependencia continua de las soluciones en los

datos de partida.

iv) Velocidad finita de propagación para ecuacio-

nes del tipo Qa="í:(a").

Difusión

i) Comportamiento de las soluciones a grandes [t|

ii) Asíntotas y operadores de Moller

iii) Operador S y sus propiedades

iv) Problema inverso: obtención de la interacción

a través de S

Y otras muchas, como cuestiones de analiticidad en parámetros que Ínter

vengan en las EONL, cálculos perturbativos, cuantificacion, estados es-

tacionarios, etc.

Aquí nos centraremos en el problema de Cauchy, analizando esquemas

abstractos (algunos recientes) que permiten enfocar estos problemas de

una forma totalmente rigurosa. Sin embargo, los resultados son bastante

fragmentarios, existiendo muchas EONL de interés que quedan fuera de su

alcance. Aún así puede ocurrir que las ideas y técnicas utilizadas, más

ciertas propiedades específicas de la EONL en cuestión, permitan obte-

ner conclusiones relevantes, aunque no se satisfagan todas las condicio_

nes necesarias para las conclusiones de los teoremas generales. Podría-

-5-

mos decir que incluso el estudio detallado de una EONL determinada puede

ser muy importante, pues quizás ilumine asDectos nuevos a considerar en

una futura teoría más completa.

Finalmente, ilustraremos el marco abstracto con aplicaciones concre_

tas a algunos tipos familiares de EONL.

Como bibliografía básica, hemos utilizado £RS 75,Cap.XJ, [_RE 76J,

ÍSE 63,68~j, [CH 72~] y [_ST 7M-1 , amén de otras fuentes matemáticas genera-

les y otros trabajos sobre EOKL especiales que citaremos en su lugar

apropiado.

1. PROBLEMA DE CAUCHY

1.1 Planteamiento del problema

Sea una EONL del tipo KGNL

u. - Au + n it +g (u| -u - O , *x€ tR*" (1.1)

con datos iniciales

U-C-,D) =-£(•), «tC* ;«>) - ( O (1.2)

En notación

la ecuación (1.1), junto con (1.2), pasa a ser

PCD: J, _ ? A l _ L T f . N rkfM=¿ (1.4)

La resolución de (1.4) constituye el problema de Cauchy en forma diferen

cial (PCD). Tal PCD puede llevarse a forma integral (PCI):

PCI:

- 6 ~

(1.5)

Un espacio funcional apropiado en eme los diversos términos del PCI pue-

den tener sentido es el Hilbert H(B) s D(B) © L (JR ), con producto esca-

lar

(1.6)

2 1/2siendo B = (m - A ) > m > O (más adelante discutiremos el caso m=0).

Nótese que H(B) consiste de aquellas M5 correspondientes a funciones

u(x,t) con energía libre finita:

y. < o=> (1.7)

y coincide con la suma directa de dos espacios de Sobolev hilbertianos:

H(B) = H1 © H°.

oEs fácil probar que H(B) es Hilbert, y que A, con D(A)=D(B ) © D(B),

es simétrico y cerrado; más aún, es autoadjunto, generador de

-i

(1.8)

I Basta ver que tales operadores forman un grupo unitario uniparamétrico

fuertemente continuo, que deja estable el subespacio denso DÍA), y que su

generador en D(A) es A; apliqúese luego el hecho, consecuencia del teore-

ma de Stone, de que entonces el operador cerrado A es autoadjunto en D(A)

y engendra ese grupo I.

Así pues parece natural formular el PCD (1.4) y el PCI (1.5) en un

Hilbert H, con A autoadjunto, y J una aplicación (no necesariamente li-

neal) de un conjunto de H en H.

1.2 Existencia local

Supondremos un Kilbert (complejo y separable) H, un operador autoad-

junto A, y una aplicación J de H en H.

-7-

(hL), 0 í ] f m, si J:D(Aj) -* DÍA1) y

Def.l.l.- Dado un entero mÔ diremos que J satisface las hipótesis (h.),L

(h.)¡

b : I)AV^VA^CÎ!¿cciî!;íiyi, M,u\\i)

para 0 < j •£ m, indicando por C(.,...,.) funciones, siempre finitas y mo-

nótonas crecientes, de sus argumentos.

[Nota: D(A°) = H, A° = I; el superíndice L en (h.) indica carácter lips-

chitziano •

Teor.l. 1.- Supóngase que J satisface (h.), (h.), 0 á j ¿ B. Dado o' '-A ),

_2 intervalo abierto -f2 o 1R, conteniendo t = O, tal que el PCI tiene

una única solución (fuertemente continua) Y ^ ) , t G-T2 ; tal cj>(t)6D(A ).

Además, A'¿>(t)s O ¿ j é m, t6Í2 , es C°. Si m > 1, entonces A^ $(t) es

C para 0 í j ¿ m-1, su derivada 7- A] i>(t) = A1 -^ <$>(t), y 4>(t) re-

suelve el PCD. Finalmente, para todas las condiciones iniciales 9 den-

tro de cualquier conjunto de la forma \Q>O: |AJ% 1| - a{ ; * 0,4,-.,w ?

puede escogerse un mismo intervalo abierto SL de existencia local de

solución u>(t).

Dem.- La idea de la demostración consiste en construir un espacio métri-

co completo apropiado en que el PCI se traduzca en la búsqueda de un pun-

to fijo para una aplicación (estrictamente) contractiva.

Dado un intervalo abierto XZcÍK, conteniendo t=0, sea X(il ,m) el

conjunto de las funciones cj>(t), t 6XL, con valores en D(A ), y tales que

4> (.),. A §( . ) , . . . , Amc|?(.) son C° y satisfacen

< 00 (1.9)

Es fácil ver que con esta norma X(i"l,m) es Banach.

Sea ¿> 6D(Am), ¿ (t) s. e~lAt ¿ . Es claro que (|> (.)GX(X2,m). Da-IQ 'O lo lo

-8-

do £. > 0 , sea X(i2,m, <j> , S. ) el subconjunto cerrado y no vacío de X(_í"2,m)

formado por aquellas cj>( .) G X(i2 ,m) tales que

Vamos a probar que puede elegirse £2- de manera que la aplicación

o

sea una con t racc ión en e l e spac io métr ico completo X(12,m,q> , £. ) |_esto e s ,

dados cua l e squ i e r a cj>(.), -^( . ) G X(X2,m, ¿> ,6), también CV <J>)(.) ,(V\\> ) ( . )

yacen en e s t e e s p a c i o , y l l W ¿ Y > V C ^ C o | | ¿ k f^CO-^ÍO j , V < 1 &

independien te de q > ( . ) , 'W ( . )J . En e f e c t o , notemos que:

oC en s

* 1\ f t c * w ) -

indicando por C la mayor de las constantes C en las hipótesis (h.),S,m • ~]

(h L), 0 á j ¿ m, con argumentos Rí>.I+£

í —iCt"-s)A iIdéntico razonamiento = ^ A e J(c|>(s))es C° en s, 0 &• j £ m.

Luego n(t)s \ e J(c|>(s))ds pueden definirse "a la Riemann,oo

como el límite (fuerte) de

mcuando n -> o= . Por otro lado, Y) (t)QD(A ), y la continuidad de

(1.13)

-9-

Como A es cerrado, tendremos (f> <c VÍA / ,

ii)

t+lt

T

O sis k.o .

Obsérvese que el último integrando está acotado Dor ^c

y el teorema de Lebesgue üermite pasar al límite bajo la integral.

iii) VcjX .) 6 X(iZ,m, <j) , e ) ==í> « (.) eX(Jl,m): Resta por ver que

< o" • Pero de la definición de vi(t), de (1.14) y de las hi

potesis (h.) se tiene

denotando por 1(Q) la longitud del intervalo iT • Luego

iv) \j

siempre que

(1.16)

(1.17)

-10-

Evidente, pues II A (.") | = 1 $> \\ +.... + (I A ^ H -

v) V es una contracción en X(^Z ,m, q> , &), siempre aue C " )¿ •*-=-.o ' o * ° c>

y K i 7 ) <c 1/C : pues dados <k ( . ) , 4> ( .) G X(¿Z. ,m, ¿ , e ) , se t ieneo £ , m " 1 2 o ^ o

á . C ^ L U ^ n ) ="f II n Y ^ J - ri Y i i B . / | | a ~-£ ^ - ^ - - « ' v n v ~ ' n v i' »o ; w

por lo que

4 < e < c o -

(CQD).

En consecuencia, por el teorema del punto fijo, 3 1 cpG) € XCfl ,m é &)

tal que (V<|?)(.) = 4>(.), esto es, solución del PCI, a la vista de

(1.11). Por construcción, tal solución 4>(t)GD(A'), y A-'c ít) es C° pa-

ra 0 £ j á m.

Por otro lado, si q>(t), C°, tS X\ (intervalo abierto alrededor

de t = 0), es solución de (1.5), es claro que & (.) 6 algún X(j2,0, ¿> , e.),1 'o

O_ e- O n<TL • Como I ( i2) á KSl ) & 1 á. 1 n , 1(-Q.)C . -«c

•1 KJ7 )C < 1, V es también una contracción en X(J2,0, ¿> , £ ) , yO £ jül O

/yla unicidad del punto fijo =3>' 4> 't) = T ^ ^ » t Q il . Sea V521 la

1unión

de aquellos intervalos abiertos -Tí., tales que OGoZ, S~¿- C Si. (\ Si. ,

h> (t) = < >(t), t G il . Si il r f\J7.0 y t es un extremo de J7. que

no lo sea de Jl-AJ¿-o , tal t- G J X ^ J X ^ , y como d?(t) = cf> (t) para

tG J ¿ 1 5 también d>(t. ) = > (t.), que tomado como dato inicial para el

PCI en t = t = > (por repetición de argumentos anteriores) cp(t)=q>(t)

en un entorno de t . En consecuencia, ¿>(t) = cp(t), U S Slf\Sl o ,

por lo que la solución al PCI es única sobre J L. .

-11-

Supongamos ahora m ^ 1. Entonces

i r , x , i e -á. -<-AT UnK-t+Wi- tpít) \ = e <3> + — \ e|U J I 'O L «J

Como , si h —*• 0. El integrando del 22 término es1 o

C° en s, por lo que —? J(A?(t). El integrando del 3$ término está aco

tado en norma por G (_£+- l)A >o¡|j 9 siendo así posible pasar al lí

límite bajo la integral,coon el resultado — í. Jo a /A3(4>ít)) s =

= -iA \ e '" J(¿>(s))ds. Resumiendo, J <fV » Y satisface

= -iA <q> + J(q>), esto es, el PCD. Además, q> es C°, pues lo son

y J(ct>). De forma análoga se muestra que A cj[>(t) es C , para

0 é jé m-1, y que (A (j>) = A q?^ para tales j.

Finalmente, como la acotación sobre 1(J2 ) depende de £ , ll >,|L

líA !,..». j % A "fe 1 (~-e ' bastará tomar la correspondiente a

6- ,a ,a , ...,a , sup C(a + £.,....), para hallar algún SL válido para

todos los ¿> iniciales en el conjunto 1 9O : ''A Toll ¿ <x\ ' "~

(CQD).

Observación: Si m ^ 1, y suponemos las condiciones del Teor.1.1, dada

una solución C al PCD (1.4), entonces tal <j?(t) resuelve el PCI (1.5);

pues las hipótesis (h.) = ^ J( cb(t)) es C°, y por tanto también A^>(t).

Si cp(t) s <í> (t) + \ e L J(á>(s))ds, los argumentos presentados

en la demostración anterior = ^ t?(t) es C , y <f+ = -iA<|> +J(i>).

Luego si Av£ ¿>-<|? , tendremos ( h « O. = -iA(Acp), y siendo (jA <> \ (<>) = 0,

forzosamente Aa>=-0 • Así pues el PCI y el PCD son equivalentes para

m 1 (único caso en que el PCD tiene sentido), bajo las hipótesis gene_T

rales (h.,hf).

-12-

1.3 Suavidad local

Hemos visto en 1.2 la existencia local de soluciones al PCI. Estas

soluciones se mantienen en D(A ) si el dato inicial ¿ GD(A ). Para elT o

ejemplo discutido en 1.1 esto significa que la regularidad en las varia

bles x se mantiene bajo la evolución temporal (admitido, como probare-

mos luego, que en ese ejemplo se satisfacen (h.,h.)). Sin embargo, para

asegurar diferenciabilidad elevada en la variable t, es preciso cierta

suavidad de la aplicación J, que haga posible derivar respecto de t la

ecuación ¿> = - •

Def.1.2.- Sea J con las propiedades (h.,h.), 0 £ j £ m, m "> 2. Diremos

aue J satisface la condición J si para 0 £ i ¿ m se cumple:x m

"4>(t), solución CD' del PCD, con § G D(A m~ k), Am"k 4>(k) siendo

C°, ^ k £ j =7> J(cj)(t)) es C-1, d-'j/dt"3 G DÍA111"*-1""), A™""3" d^J/dt3

es C°".

Teor. 1.2.- Si J cumple (h.,tO, 0 ¿ j í m, m &• 2, y satisface la condi-

ción J , entonces la solución <5>(t) al PCI, tG SI , de existencia ase-

m o

gurada por el Teor. 1.1, con dato inicial cp GD(A ), es C , y

Dem.- El Teor. 1.1 =¿> P? d> es C 1 , 0 £ j £ m-1 , y á{t?^ t

es C°. Entonces , l a condic ión J = ^ > J(<|?) es C , A' d J / d t es C°. Como

© = -iA<J? + J(cj? ) , cj)^ s e r á C , y ej> = -iAcj? + d J / d t = -A cj> -iAJ(cj>)+

+ dJ/dt. Si m=2, ya estaría probado el teorema. Si no, tendremos por lo

1 O rn TTS "1 m O

pronto que , A §> , A q> .^ de clase C°; y de

nuevo, por la condición J también J(q> ) será C , y A d J/dt C°. Pa-

ra concluir que cp es C , bastará demostrar que AJ es C : sabemos que J

es C , y que A J es C°, por lo que A J es C y (A J)J_=A J(úsese A [TC*ft+tóVrC+^] * A ] *'Gt<Í))¿¿ = \ pT'* T'

r 1 s i s sademás, J,A J C =£ A J C , (A J) = A J , s i s é r , ya aue

-13-

—> Ok-¿>0

I 3En consecuencia, o? es C . Y así sucesivamente, repitiendo el argumento

cuantas veces fuere preciso, probaríamos que <p es C , y que

^ ( j ) m " j ) . (CQD).

Existencia y suavidad globales

Es bien sabido que una ecuación diferencial no-lineal puede carecer2

de soluciones globales. Así, la ecuación dx/dt = x , x(0) = 1, tiene co-

mo solución x(t) = 1/1-t, que "estalla" cuando til. Para garantizar la

existencia de solución global es preciso requerir alguna condición que

fuerce la acotación de la solución.

Def.1.3.- Dado un entero m ? 0,diremos que J satisface las hipótesis

(hl), 1 < j £ i, si J: D(A3) —> D(A3) y

indicando, una vez más, genéricamente por C(.,...,.) funciones finitas

y monótonas crecientes en sus argumentos. Evidentemente (h.) = > (h.).

Teor.1.3.- Supóngase que J satisface (h ,h.,...«h ), (h ,...,h ). Sio l m o m

sup || ó(t) || <°° para cualquier intervalo finito abierto íH0G°,)de existencia de al-

guña^solución4)(t)al ECK1T5) ,tal que A-*¿(t) es C°, 0 é j £ m, entonces

las conclusiones del Teor. 1.1 referentes a la existencia, unicidad y

propiedades de la solución cp(t) son válidas para N t. Si además J sa-

tisface la condición J , entonces tal c p ( . ) e s C , y Cp G J)CA )•

Dem.- El Teor. 1.1 asegura la existencia de tales X2. . Admitamos (lo

probaremos luego) que también sup IIA vp(-0 || <• °° > ^ J é T*I .

-14-

Sea O- la unión áe todos ellos. Supongamos -Q. f H, y sea T (digamos >• 0)

un extremo finito de SL . Como la longitud del intervalo de existencia

asegurada por el Teor. 1.1 dependía solo de eCf>jo)) l|<j>o!|,.... , H/4Wc}>o [/

y estas cantidades se mantienen acotadas al variar el dato inicial sobre

Cp(t), 0 é t <- T, ese mismo teorema permitiría prolongar la solución más

alia de T, partiendo de un dato inicial 4>(T), con TQ Si y suficientemen

te próximo a T. Esto contradiría la maximalidad de -Q_ • Luego Xi_ = H.

Finalmente, la suavidad global (supuesto J ) es mera consecuencia delm

Teor. 1.2.

sobre XINos resta por probar la acotaciórTfde ||A cp(t)[\ , 1 £ j £ m. Pero

Y como li í l - -i C^-) / $^Jc~ , y C es monótona creciente,

desigualdad que, iterada, = » lM¿fel < [|A4|( « f

(Tal conclusión se conoce como lema de Gronwall). Esto prueba la acotación

de ti A Y (t) |j sobre Je (finito). Utilizando ahora (h') y una desigualdad

para y A <?(t)|¡ análoga a la (1.20), probaríamos su acotación. Y así su-

cesivamente hasta l|ir

Observación: Si definimos (h ) como la propiedad H^l^l! ~ C ||íp|j;

es fácil ver que reemplazando la condición sup ||(J>(-t)|) < "t>o del Teor.1.3

por (h ), manteniendo las demás, subsisten las conclusiones de ese teorema

pues (1.5) y (h¿) =4> \^\ á [\¿?0\\ exj> C^lÔ » Por idéntico ar-

gumento al seguido con (1.20).

1.5 Dependencia continua en los datos

Según el Teor.1.1, siempre que J satisfaga (h ,h ) puede resolverse

el PCI (1.5) para V<j> 6 B(r) = (j> G H: (1<H| ó <" £ , sobre algún intervalo

s (-T(r), T(r)). Así la aplicación 1^: ¿ » <(?fo) 1 > ^>ftW M

-15-

está definida para p GB(r), tGl¿ . Tal M es función fuertemente con-

>o r t

tinua de t, y debido a la unicidad local de las soluciones, M M =M

para aquellos y sobre los que tenga sentido. Veamos que también, fijado

t, M : B(r) —?• H es una aplicación continua (en la topología de H).

Teor. 1.4.- Supóngase (h jh"1) para J. Sea D«=H, y-T2_ = (-T,T) un interva_

lo finito tal que 3 M^ é> , \l tip G D, \/t G Sí , y 1 4>o |( é \<C(T, i ) .

Entonces la familia )M : tG v/¿^ es equicontinua sobre D.

Demm.- En efecto, V ^ , )<|>2_€l)/

t V ^ | ¿

lo que ==> (CQD).

Consecuencias:

1) La familia H : tG S~i t es equicontinua sobre B(r). Obsérvese

** t r>

que de la demostración del Teor.1.1 resulta \\ M, <po || £• + ** 7 Y"tC<J¿r ,

y puede aplicarse el Teor. l.H-, con D = B(r).

2) Con las hipótesis del Teor. 1.4, también 3 M_,_ sobre el cierre D,

es equicontinua sobre 5. En efecto, dado 4? GD, sea q> una sucesión

en D convergente a ¿ . y l> (t) = K A . Por (1.21) Óp (t) —> A(t),1 o ' n t ' o n '

C°, uniformemente, y (h ) = ^ J(^> (t)) —* J(c^>(t)), también uniformemen

te. Como por hipótesis ^ (t) = ty i¥) +•

pasando al límite tendremos que 4>(t) resuelve el PCI con Q)(0) = cp ,

V tGvSl . El resto es consecuencia inmediata del Teor.1.4 aplicado a D.

3) De igual forma a como se demuestra (1.21) se puede probar que,

añadiendo (h1., h~!), 1 •£ j ^ m, a las hipótesis del Teor.1.4-, se tiene

si q>(0), iV(O)GD(A ), y |t| es suficientemente pequeño. En otras pala

bras, las soluciones y sus "derivadas" dependen continuamente de los da-

tos iniciales.

^•6 Propagación de soluciones

Vamos a ver que bajo ciertas condiciones simples, la interacción J

conserva las propiedades de propagación del problema libre.

Teor.l.5.- Supóngase que J satisface (h ,h ), y sea 4>(t) la solución

local al PCI (1.5) asegurada por el Teor.1.1 para tG il- . Supóngase que

U'¡ : t G Jl f es una familia de subespacios cerrados de H tales quet t oJ *-iA(t -t ) . ,

e : M —y M , \J t. ,to G XI , J'- M --• M^, N t G Jl . Entoncest. t_ 1 2 O T t O. t_

Dem.- Basta repetir la demostración del Teor.1.1, para m=Q., tomando en

lugar de X(~$-,0, q>0 / e ) su subconjunto X(í2.; o;£ ) definido por la con-

dición adicional cp(t) GM . También es cerrado y no vacio (pues

¿> (t) S H ^ ) ; más aún, es también estable bajo V, por lo que respecta a° L -iA(t-s) v ±

respetar M : obsérvese que e J(^»(s) ) G M (pues cp(s)GM ) , yX X S

siendo M cerrado, \ e J(^>(s))dsGM. Luego el punto fijo de

°V en X(Sí0 0|<k,(£- ) también yace en X C^, ¿o,í) .

Al discutir a continuación algunas aplicaciones' veremos que el

Teor.í.5 =p- velocidad finita de propagación para ecuaciones relati-

vistas del tipo D u = F(u).

-17-

1.7 Aplicaciones

1.7.1 SGCO.U)

Tiene sobretodo interés para u real. En el caso complejo, y para

evitar crecimiento incontrolado del sen u cuando Im u i- 0, tomaremos co-

mo interacción en (O.ÍJ-) g sen u, con u s Re u. Con la notación de 1.1,

y m = 1, tomaremos H = D(B) © L2(IRn) = H1(]Rn) O H°(]Rn), <f> = (U ),

J(4> ) = ( J.-g sen 'u

Vamos a probar que J satisface (h ,h ) para V n , así como (h.,tu),

j > 1, si n 4 4. Ademas, cumple J para todo m, si n i 4. En consecuen-

cia, de los teoremas anteriores se desprende que para SG el PCI tiene

solución global 4>(t) (esto es, para V t ) , única, para Y cp inicial

en H, y asimsimo el PCD para V <j> GD(A). Además, si <> GC°°(A)£

D(A n), <^(t) es C°°, y dj $ /dtj G C ^ (A),o

Procedamos a las estimaciones necesarias:

(1.23)

para H iTa. - > • L^ o r ^ indicaremos una constante genérica, sin valor

estipulado . En particular, (h ) = ^ (h ).

llA+f ;

0 ) O JÎ

Hemos utilizado para (1.24): uGD(B ) = ^ u G D ( B ) <c D(B) = » senuGD(B),

y v sen u = (eos u)V u; para esto ultimo notemos que es evidente siu G C , y que en general 3 sucesión \'u \ , C , u (x) —^ u(x), c.d.,

Z-' rJ 2 *S ~* 2

u - > - u e n L , B u -* B u e n L , p o r l o q u e

-18-

Pero | V £ - V U | —> 0 eos U. Cx) - »s" (3) —> 0 c . á. Y u fe i-

luego el teorema de Fubini permite concluir que V -fe* uK = C£0£^M./

£• (eos'u) V u en L . Siendo V cerrado, concluimos V « « M

En el futuro no insistiremos más sobre detalles técnicos similares a

éstos; en general puede demostrarse £SE 66j que -fs L (?Rn) ñ 1— ÓR y>

V , y real,FG C 1 ^ ^ , F(x) = 0([x\) (si

?y ?F(f) = F'(f)

(hL)1

La igualdad = es simbólica, y significa que en ella manejamos B como

si fuera un operador de derivación, cosa que no es. Sin embargo es fá-

cil convencerse de que el resultado final no cambia haciendo los cálcu-

los bien, como en (1.24). Las acotaciones l|B" 'u\( £ \|B u[| son evi-

dentes, por ser B un operador real. Finalmente, el paso ||(u -u )Bu |

< K ll"5(<V^vHLlt^ «< \|a está, permitido si la dimensión n del

espacio de las variables x es ¿ 4, como consecuencia de las clásicas in-

mersiones de Sobólev:

-19-

"Indicando por X —> Y un par de espacios Banach tales que X <=• Y y

la imêcción natural de X en Y es continua, se tiene:

H m ( JR n ) ^ L p ( 3 R n ) 5 2lpl ''n-

H m ( K n ) - L p ( J R n ) , 2 C ^ ( J R n ) , j > 0

—— , s i e m p r e que 2m < n

, s i e m p r e q u e 2m = n

s i e m p r e q u e 2m > n

siendo n->l, m > 0 , j > 0 enteros. Además, si 2m > n, H (3R ) es álge-

bra de Banach bajo multiplicación punto a punto de las funciones".

[AD 75].

Y así, por ejemplo, si se cumplen los requisitos de (1.27), tendre-

mos:

Hl

tí*w) >

é K

bar

Por consiguiente, dados u,vGD(B), la estimación II uv

usada en (1.26) (equivalente, via Holder, a pro-

está asegurada siempre que n 4. 4-, Y*

en particular, dado N £ 0:

(1 .29)

Por otro lado, según la tabla (1.27)

po(1 .30)

s i n 4 4 , y N > 0.

-20-

Mediante (1.29) y (1.30) probemos (h.,h.), j > 2; más concretamente

Pero

y dado que la función sen (y todas sus derivadas) de una variable real están

acotadas, B > 1, y | Je* £, - ¿a» \ ¿ l^-u^l , ^

es fácil convencerse de que (1.32) está acotada por una combinación li-

neal de términos de la forma | ^ w j ( ^ w ) CB** W ) C w f l¿ ,

con m. + ...+m = j , c ^ = O , l , siendo w ya u , u o "u -'u (esta última

posibilidad debe aparecer una vez y una sola en ese monomio). |_ A esta

conclusión se llega de inmediato formalmente tratando B como un operador

de derivación]. Tomemos m = sup m.. Si j > 5, es claro que j -m. > 3,

i t 1, y por tanto (1.30) =$•

1-3.

y de aquí (1.31). Para j = 2,3,4, se prueba directamente; así, por ejern

pío, para j = 3 puede aparecer un término de la forma

lw

fNótese que ^Q D(A:') exige u G

-21-

Resta por ver que se satisface J , \/m,,n 4 M-. Nos limitaremos al ca

so m = 2, pues los otros son idénticos. Supongamos pues que -¿>(t) sea so_

lución C al PCD, siendo A Q?(t), A^'ít) C°. Hay que probar que senû(t)1

es C ; pero

¿en'

^Y

El primer término —• 0, si h -#-0, por ser c|> C . El teorema de Lebesgue

es aplicable al cálculo del límite del segundo término, y también1 , 0 r-

si h -? 0. Luego J e s C , y J ' ( < p ( t ) ) = ( , ^-f-1, ft\) • I Nótese que

0,

(eos u) u'(t) es C° en |[. |( J •

Hemos probado así las afirmaciones enunciadas al principio de 1.7.1.u

Es interesante notar que si el dato inicial r ~\0 - _

pondiente solución c?(t) es C°° , y todas sus derivadas yacen en C°°(A).

Esto nos permite concluir que 3u(x,t), C en x,t, tal que

= ( /'L, w : en efecto, u(t), que es C , define localmentev u \.,t) - 1

un

RL (]R )elemento u(. ,.) de L (JR, L (3R ))=C"y dado que C c L , las derivadas

(temporales) de u(t) son derivadas distribucionales de u(.,t); como

í u/2t GC ( B ) y e s C e n t , todas las derivadas distribucionales de

u(x.t) están en L, (3R ). En consecuencia, el clásico lema de Sobolevloe

[RS 75] =^ u(x,t) es C en x,t j_más propiamente, pueden cambiarse los

valores de u(x,t) en un conjunto nulo Lebesgue de forma a obtener una fun

ción C (]R ); el mencionado lema afirma lo siguiente:

-22-

"Sea Te,S'(P, N) 5ü abierto en 3RN, T G H m (3RN), V «f G C9* con

P C ^ L . Entonces, sobre > I, T es C~, V entero l > 0 tal que 1-¿ m-N/2".

En nuestro caso, T = u, y tfu G Hra (Bn+ ), <f G C°° , N/ m > 0, por lo que u

es C~, V 1 > 0, sobre cada abierto £2. j

Finalmente, veamos que no solo u(x,t) es C en x,t, cuando u ,v 6C ,o o o

sino que para cada t, u(x,t) es C°° en x. Más concretamente,y para *

si el compacto K C IR contiene los sop u , sop v , entonces sop u(. ,t)cC(K,t)

= ^ x G 3R : distancia (x,K) 4. |t| \ ; dicho de otro modo, la velocidad de pro-

pagación para la SG es 4 1. Según el Teor. 1.5, bastará probar que- los subes-

pacios cerrados M = (D(B) A Q ) © Q con Q s. u G L (]Rn): sop u c C(K,t)} ,i A ( t x )

2 1

satisfacen e M <c M , J: M —> M . La primera condición estable-. t 1 t 2 t t

cera que la ecuación libre Q u + u = 0 tiene velocidad de propagación 4 1, y

la segunda es evidente por ser J local. Supongamos primero que K = S°(bola

en M , de radio R y centro el origen). La solución libre u (t), determinadapor u y v , esF o J o

y Fourier =£>

V i

El teorema de Paley-Wiener =^> u (k), v (k) son analíticas enteras, y cum-

plen

-y,

Por o t r o l a d o , c o s ( t \l k + 1 ) y s e n ( t \ k + l ) / \ J k + 1 son t ambién a n a l í t i

c a s e n t e r a s y

-23-

Por tanto u (k,t) es analítica entera en k, yo

Luego Paley-Wiener =p- sop u (.,t)c: S° ... = C(S°,t). Por invarianciaO K+ I LI K

translacional, tendremos que sop u , sop v cz bola cualquiera S =¿*

sop u (,,t)cC(S,t), Sea ahora K un conroacto arbitrario; dado e > 0 ,

° M3 bolas S ,...,S tales que Kc: LJ S.<=C(K,e). Y como la KG libre es

lineal, los datos iniciales pueden suponerse superposición lineal de da-

tos con soportes en cada S., y la solución será la superposición de las

soluciones correspondientes. En consecuencia, sop u , sop v' a K = ? •M

sop u {.,t)dKJ C(S . ,t)<c C(K, e + |t! ). Y como e es arbitrario,o 1 i

-iAtsop u (.,t)<:C(K,t). En consecuencia, e : M —^ M : de igual modo,

-iA(t -t )e : M -?- Vi . (CQD).

X

Para terminar con la discusión de la SG, consideremos el caso espe-

cial de masa nula: D u + gsenu = 0. Podemos escribir

. 34-)

El nuevo término fuente satisface obviamente las propiedades (h.,h.),

> j > 0, de -gsenu, así como J , V m > 2. Luego todo lo dicho antes

(existencia, suavidad, velocidad finita de propagación) es aplicable a

esta situación particular de masa nula.

1.7.2 KGNL (0.2)

Consideraremos en general

t>-/Du+K.± |u|l u - 0 (1.35)

0 \De nuevo H = D(B) © L 2(]R n) ,y ahora J C 4>) = ( 1 j , siendo 4 = (U •

>•+ tul P~~u-' utNecesitamos una estimación del tipo

ll

-2k-

< k!lBu|

que de acuerdo con (1.28) se satisfará provisto que

n = 1,

n = 2, 1 3), l £ p 4 n/(n-2)

En efecto, con estas restricciones, tenemos en primer lugar:

Para ver (h ), observemos que (1.36) es equivalente a

siempre que p. •> 0, p + ... tp = p. Por tanto

Pero si x,y > 0:

0r

Además, para z ,z G¿, se tiene1' 2 z, - z.

cia

. Ln consecuen-

-25-

y por ende

En conclusión, el Teor.1.1 asegura que 3 solución local al PCI asociado

a (0.2) para todo dato inicial ©(0)6H, provisto que el número real p

satisfaga las limitaciones (1.37). [_De igual forma pueden probarse estas

conclusiones de 3 local en el caso general

Ck+u-s-FOÜU. = O (1.39)

p -1 p -2supuesto que FG C (IR), F(x) = 0(x n ) y F'(x) = 0 ( x n ), x -?• co _,

con p = n/(n-2) si n > 3, arbitrario si n < 3.J

De igual modo se demuestra

con las restricciones (1.37). Esto nos va a permitir probar la existen-

cia de solución global para el PCI asociado a (1.35) (y para el PCD si

(jí (0) G D(A)), siempre que en la KGNL (1.35) figure el signo + (esto es,

para energía de interacción no-negativa). En efecto, consideremos en ese

caso la energía total asociada a la solución local cp(t) = ( c^-))1

Como H —•* \P siempre que se respete (1.37) ,JE(t)|< o° . Si (p(O)GD(A),

el Teor.1.1 asegura que o?(t) es C , por lo que también lo será

-26-

Tambien 1W^)| es C1: como |M<r)||p^ * || h\ ***** |*

bastará probar que |u(t)| es C en L . Y en efecto, es fácil compro_

bar que, con los supuestos anteriores

Por tanto E(t) es C , si |)(O)eD(A), y

Luego E(t) = E(0), y (1.40) = > (l^t^N ^(o) . El Teor.1.3

=7> J global para estas soluciones con dato inicial' en DÍA). Por otro

lado, DÍA) en denso en H; y sabemos (Teor.1.4) que el flujo

!f_: 4>(0)t—> 4>(t) es continuo. Luego dado ¿>Ct>) € (-1, ij ^(elXA)) ~>

se desprende que cp (t)- > c|?(t), y siendo el funcional energía (1.40)

continuo en su dependencia en cp , también E (t) —?• E(t). Dado que

E (t) = E (0), también pues Eít) = E(0) y así, para V 4>ÍO)GH,

[| c|> (t)J| ± E1/2(0), y tendremos 3 global.

De haber sido, sin embargo, negativa la energía de interacción

(signo - en (1.35)), el fenómeno del "blow-up" de las soluciones sería

inevitable para datos iniciales adecuados, como veremos enseguida.

A partir de este momento nos restringiremos a exponentes p enteros

y no triviales. Esto es:

n = 1, p = 2,3,...

n = 2, p = 2,3,...

n = 3, p = 2,3

n = 4, p = 2

-27-

jLa razón de ello es que las estimaciones (h., tu), j > 2, así parecen

exigirlo para su cumplimientoj. En esas condiciones, y por las técnicas

anteriores, puede demostrarse que se satisfacen las hipótesis del Teor.

1.3 referentes a suavidad, y por tanto siguen sus conclusiones. Y en par

ticular, si además la interacción es repulsiva (signo + en (1.35)), las

soluciones (globales) con datos de Cauchy C

que para SG, se propagan con velocidad < 1.

soluciones (globales) con datos de Cauchy C son C (H ' ), y al igual

Exhibamos finalmente el blow-up en el caso atractivo. Consideremos,

por ejemplo, el caso standard n = p = 3, u real (basta para ello que

0(0) sea real). Escojamos u(0), u (0) en C^ÍJR 3). Sea F(t)s l(«££)(/,. •

Claramente F(t) será C en algún abierto de existencia local, dada la

suavidad arriba mencionada.

Supongamos que pueda escogerse y(0) ê f°rm& que, para algún coO^

se tenga:

- a *i) (F(t) )" < 0, para t = 0

— oí " ;

ii) (F(t) ) 4 0 , v t > 0 ( e n e l intervalo de existencia)

Es claro que si esto se cumple, F(t) llegará a anularse en algún t >'O

finito, y por ende F(t)->o« cuando t^t . ¿Cómo conseguir que se cum-

plan i), ii)?. Nótese que

si u(x,0),u (x,0) son del mismo signo y con soportes no disjuntos. Por

otro lado, ii) quedará asegurada si

0 «

Pero

-28-

Luego basta conseguir que H(t) > 0. Mas utilizando la KGNL, y la conser

vación de la energía, resulta:

HOH -

por lo que, tomando o! 4 1/2, Q(t) :> 0 si E(0) 4. 0. Como

es obvio que multiplicando u(0) por una constante positiva suficientemen_

te grande se logrará hacer E(0)«£ 0. En resumen, es posible, para la KGNL

atractiva, que F(t)-*©•=» en un lapso finito de tiempo, esto es, que

H 4*Ct) [| —> P° s imposibilitando la existencia global. Ahora bien, obsér_

vese la necesidad de no limitar el tamaño del dato inicial, con el propo-

sito de poder conseguir que E(0) -¿ 0. No es sorprendente ésto, por cuanto

es demostrable que si |lí>fo")|l es suficientemente pequeño, entonces 3 v&)

"\ft. La demostración o bien es simple consecuencia de la teoría de difu-

sión no-lineal, o bien resulta más directamente del análisis de Marsden

[_MA 73J para sistemas hamiltonianos de dimensión infinita, y que aquí sim

plificamos de manera patente: de la conservación de energía se tiene

= \rnf-1, ni (caso atractivo)

Por otro lado

é E(o) (1.46)

La función f(x) = x - k x- presenta un máximo en x =x s (2/k(p+l))

suficientemente pequeño y menor que x , de forma que laTomemos H ) ! p q y

energía asociada E(0) < f(x ). Como ll ft || es C°, es claro (ver figura)

que se moverá sobre el trozo grueso, sin poder saltar la brecha [x ,x ].

'\\H

-29-

Luego H (4r")|) se mantendrá acotada, y esto =& 3 global para tal cf>(0)

Y para terminar, diremos que el caso de la KGNL con masa nula (esto

es, Du'i |u|- u = 0) se trata de igual forma que hicimos para la SG,

y subsisten los resultados indicados en cuanto a _3 local, global, suavi-

dad y velocidad de propagación.

1.7.3 KG-D, D-M

Para estos tipos de EONL no se dispone de resultados tan generales

como los anteriores en cuanto a 3 global. La situación actual queda re-

sumida como sigue:

ZJ solución global en espacio-tiempo de dimensión 1 + 1 £CH 73J .

3 solución global en dimensiones 3 + 1 si los datos de Cauchy se es-

cogen adecuadamente [_CG 74J . Esta elección de datos iniciales se hace de

forma que la fuente del campo KG se anule idénticamente. Que es posible

conseguirlo para todo x,t es consecuencia de una peculiar invariancia del

sistema bajo el grupo no-compacto SU(1,1) J_GA 76J > Que permite ampliar

considerablemente el resultado mencionado sobre 3 global.

ii) D-M: G'"Í-

global en dimensiones 1 + 1 [_CH 73 J.

£j global en dimensiones 2 + 1, si el campo magnético B s 0 y los da-

tos iniciales son suaves CG 76J•

En consecuencia, siguen abiertos problemas fundamentales para estos

tipos de EONL, cuya solución tal vez exija nuevas estimaciones a priori.

1.7.4 KdV (0.1)

Existen resultados muy concretos sobre el problema de Cauchy aso-

ciado, incluso para ecuaciones mucho más generales [pu 7*M como

-30-

en condiciones poco restrictivas sobre f,g ,g ,p. Para la 3 global, se

recurre al método de regularización parabólica, consistente en añadir al

segundo miembro de (1.4-7) una perturbación -£(u - f(u) ), £>0.xxxx xx

Mediante estimaciones a priori sobre las normas Sobolev de las soluciones

al problema perturbado se demuestra la 3 global al mismo bajo condicio-

nes apropiadas de suavidad y signo de las funciones coeficiente y luego

se procede al límite £.^0.

Para la KdV ordinaria (0.1) se demuestra ¡_SA 75] , con técnicas simi-

lares, que si el dato inicial u(.,0)6H (IR),m-> 2, entonces 3 solución

u(t) s u(.,t) global al PCI asociado. Tal u( .) QL^ÍO,!;;/) para V T.

2. CONCLUSIONES

Las notas precedentes muestran el alcance e interés de los métodos

abstractos del análisis funcional para establecer la existencia global de

soluciones a ciertas EONL, así como para probar propiedades de las mismas.

Cierto es que cada EONL puede presentar dificultades específicas, que a

veces se obvian mediante consideración de la física subyacente o el ha-

llazgo, quizás fortuito, de funcionales conservados. Como ya decíamos en

la introducción, toda investigación en este sentido ayudará a confeccio-

nar la teoría futura, mejorando y completando el panorama tan fragmentado

que existe en la actualidad. Y no cabe duda de que la teoría de difusión

no-lineal, vinculada al problema de Cauchy en t —> ± <*=> , jugará papel

fundamental a este respecto. (Desgraciadamente la necesaria brevedad de

estas notas nos impide discutir aquí estos aspectos, en que los resulta-

dos concretos son aún más parcos que los señalados para el PC a tiempo fi

nito). Finalmente, añadiremos una vez más que el probar la 3 global de

soluciones para las EONL del tipo KG-D, D-M y DNL en dimensiones 3 + 1,

con datos iniciales suficientemente generales, constituye uno de los pro-

blemas actuales abiertos de mayor envergadura e interés en este campo.

-31-

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-33-

"INTRODUCCION AL CALCULO VARIACIONAL EN PROBLEMAS

NO LINEALES"

L. Martínez Alonso

0. INTRODUCCIÓN

Los métodos variacionales juegan un papel creciente en el estudio de las

ecuaciones diferenciales no lineales. Su puesto hay que buscarlo dentro del

contexto de los teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales elípti-

cas, en donde la utilización de espacios de Hilbert tipo Sobolev lleva consi-

go la posibilidad de englobar la parte de mayor orden en las derivadas de la

ecuación dentro de un producto escalar y la parte restante dentro del gradien_

te de un funcional en el espacio de Hilbert.

El comienzo de la teoría es en forma muy apreciable debido a L.Lusternik

y posteriormente su desarrollo ha sido influenciado por las técnicas de la

geometría diferencial en espacios de Banach especialmente por el trabajo de

Palais.

En este seminario vamos a estudiar los fundamentos de la teoría según

son descritos en los siguientes lugares:

M.Vainberg: "Variational Methods for the Study of Nonlinear Ope-rators", Holden Day, S. Francisco, 1964.

L.Lusternik: "The Topology of the Calculus of Variations in theLarge" (A.M.S. 1966).

Aplicaremos estos resultados al estudio de algunas ecuaciones lineales y

no lineales. En particular discutiremos el trabajo de M.Berger:

"Stationary States•for a Nonlinear Klein-Gordon Equation"J.Funct.Anal. 9, 249 (1972).

-35-

1. ANÁLISIS EN ESPACIOS DS BANACH

DEF.l: Sean E,F espacios de Banach reales y A¿ abe E, f:.Cl > F aplica

ción, decimos que f admite diferencial Gateaux en a eil

nótese que hGE—>Vf(a,h)GF, además Vf(a,>h) = "XVf(a,h). En el caso de

que Vf(a,.) GiA(E,F) denotaremos Df(as.) = Vf(a,.).

Teorema 1: Bajo las condiciones

(1) En un entorno U de a: x G~U —>Vf(x,h) SF continua en a.

(2) h S E — ? Vf(a,h)GF continua en h=0

DEF.2: f:.Q_—>F dif. Frechet en aQÍI <> 3 df(a) G J\ (E,F) /

n miTeorema 2:

(1) 3 df(a) = # 3 Df(a,.) A Df(a.h) = df(a)h

(2) la inversa es falsa.

(3) Si en un entorno D*de a, x Q~\f—> Df (x, •) 6 J\ (E,F) continua en a

Proof

(1) IIÍCÛ)^-? C^)-¿ÍCaH^)ll*0(|t!l)Vll) j oS¿d¿**lo li

(2) Z^ i-^^% 14~** ^"--

Yíc<v> e JHfcV

Sin embargo no J df(O) ya que f no es continua en x = 0, basta tomarA 3 .1

x = A x j Á r 0 para ver que

= - 4 o

"1

DEF. 3: df(a) i f' (a) G Jn (E,F). Decimos que f:Il-> F es C si

f':jQ_ > í\(E,F) continua.

DEF.4: Supongamos que exista f' :.Q_ > u^(E,F), decimos que f es dos ve

ces diferenciable en a 6£i si 3 f"(a)= df'(a)

DEF.5: f clase C2 en £[ ¿> f es de clase C en íl

DEF.6: En general decimos que f:i~L—? F es n veces dif. en aGiL si:

(1) f es n-1 veces dif. en un entorno U de a.

(2) f : 0 >- J-t(Ex Ex xE,F) es diferenciable en a.

decimos que f es de clase C en ÍL si f es n veces dif en XL y f :fi-*-j\(E ,F)

continua.

-37-

Teorema de Taylor: Sea f:^L—> F verificando:

(1) f es n-1' veces dif. en i-L

(2) f es n veces dif. en aSi¿

, ~ o

Ejemplos

(1) Funcionales en espacios de Banach.

¿Como es f'(a)?

f ' ( a ) GvA (E,PO Teorema de Riesz

(2) f:xGH - > f(x) = i

+ Vi)- f (X)--- ¿ <x+V l j X

6

* C + O 4 i

-38-

2. SOLUCIONES GLOBALES PARA EC. EVOLUCIÓN HAMILTONIAHAS NO LINEALES

Sea A un operador lineal antisimétrico en un espacio de Hilbert real

y V,J:H —?• IR funcionales smooth verificando:

(1) DV(u).Av = - < J(u),v) , (u,v) Q x DA

(2) DV(u).J(u) = 0 , uS Vi

entonces decimos que la ecuación evolución:

U/4. = AU-a-T(u) _, UCO^D^

es de tipo Hamiltoniano. Siendo el Hamiltoniano definido según:

H(u)3 i <uJa>.4

Por el teorema de Segal sabemos que existe solución local a la ecuación

de evolución, veamos que la energía es conservada:

Teorema: Bajo las condiciones:

veo) =o , )Vío)

existe G>0 tal que ¡u(.«) |[ < £ implica solución global.

Proof

Por el teorema de Taylor:

H ( u ) = H(o)+l>HCoVa+ ^

D H ( O ) U = < D , U ) VDVíO-o =o

D2H(u)(v,w) = ^ v

=4 HW- U +

= 0

-39-

como

por t a n t o siempre e x i s t e n Â¡ ,. V. i > 0 / \\:\\\v>,\ é ~ K^-j =

c u l a r es p o s i b l e escoger M > 0 ( *'A v í; i N 1<A" ¿ Ki x t a l aue:

en Dar t i -

Tomemos t - /S t,,í A W^^) j|< P- , supongamos l\u(-V) 1[ í ¿> V"t € L° j t J

O 2

=^> solución global acotada en ÍW1|< o ^ \\^(,«) V¡ t

II"

v

ttA^ dá x:eorewi2.

0 Z

A 0

i

o¿

I

O

\J

-40-

3. EL GRADIENTE DE UN FUNCIONAL

DEF. 1: 'Sea E Banach real y Ci. C H ¡ -\

definimos grad f:

r< -graar: X £

(gradf(x),h) ~

decimos que gradf es fuerte si existe df(x)

>t» O

Nota: ^ áf(x)-

DEF. 2: Fc

, O "= <&¡« = T

E" op. potencial / F ^ = gradf (x)

Decimos que f es el potencial de F.

Lema 1: £~L convexo j F:D. —> E" op.potencial

Ejemplos:

(1) Sea. A6j}(H): A op.potencial < = ? A=A1 ; \

(2) Sea L?(X): grad

-7C^ r T

"

íc es un gradiente fuerte

" se obtiene derivando formalmente:

?+UH,

^-^) cü:

(3) Lagrangianos en mee.clásica.

Sea I = [a,bj intervalo compacto en 3R y Es í Q :i

\jq\l = sup |q(t)| + Sao I .(.-1)1 < 0 VI L OI _L

j )\ |1 ) es Banach.

^¿1 CÍA¡U G

- A l -

(t,X,v) £ J t i t1 )

q iV]]¿ :& K

W ' ( q ) . S > Q - (r. si

Teoremama: \ \ | ' [^"]- "b -í entorno \J de x / o'

(

el extremo es estricto si las desigualdades lo son.

DEF. 2: x punto crítico de f <=?> \'t 0*°j-) - °

Teorema 1: Sea f: D- oA>. C E — ^ 1Í\ Qx punto extremo de f A ;j Vf(x ,.) =y' x punto crítico de f.

Proof

Sea hSE, definamos vj? (t) ~ f(x +th), existirá N entorno de 0 en I / *?

x p.extr. de f =—>• 0 p.extr.deo

Teorema 2: Sea f: Q_ abCE -> 3R dos veces dif. en x S II

(1) x mínimo de fo

0(2) f'(x ) = 0 „ \ i?*) H no

Teorema tipo Vfeierstrass

Teorema 3: Sea E un op. normado de dimensión finita y K cerrado y acotado c E

f:K—»3R continua ^ d ^ m j ^ e s . J i("wj s 1 H T W A-t^MJ-

El punto fundamental es que dim E < «o ===> K cerrado y acot. <c==7)

<==7 K compacto ( < \X i4 uJi'io. C K 3 zJS^''"-^'^

¿Qué ocurre en dimensión infinita?

K cerrado y acotado =p=> K compacto.

Conclusión: La top. fuerte de un Banach no admite th.Weiestrass

Ejemplo:

H Hilbert separablejdim H = co

B(0,l) cerrada y acotada.

fc V I

r 1 °°J e V no admite subsucesiones convergentes

Teorema de Gantmakher. E Banach:

E = E"'" (regular) <c=^ Todo subconjunto acotado es precompacto en la topo-

logía débil de E.

Nota: Toda bola cerrada en un Banach es cerrada en la topología débil.

Corolario:

(1) C acotado y cerrado (débil) =^> C compacto en la topología débil.

(2) Toda bola cerrada es compacta en la topología débil.

DEF.3: E tiene bolas débilmente compactas < > Todo subconjunto acotado

es precompacto en I

Ejemplos:

Hilbert

-kk-

Teorema Weierstrass

E Banach con bolas deb. compactas""]

K acotado y cerrado débilmente ) ZJXjX £ \ I T(X')- i/ojr \(x) M

f: K —> 3R continuo débilmente

Proof

í: f es acotada interiormente en K

Supongamos que no =^> •j \¿ñ\ C ifC | -f

K compacto en la top. débil =£> d\

í: f alcanza su ínfimo en K

Nota: En un espacio de Banach, todo convexo cerrado es débilmente cerrado.

5. EXTREMOS CONDICIONADOS SOBRE ESFERAS

Considérenlos en un espacio de Hilbert una esfera de ecuación

sea un ffuncional definido en un abierto f: .Q. - \R> J Xi

DEF.l x 6 S es un extremo condicionado de f sobre S < ? j to a a

o Í

Teorema (Lusternik) 1

x extr.cond. de f sobre So a

f diferenciable en xo

Proor

demostraremos que gradf(x ) G M ~ = N. Consideremos la familia de vectores:

V, e Nx =

xesa <->

ecuación con dos soluciones:

-> 0

tomando 't = T ( € ) obtenemos una familia Xte) - 0 + t ¡ € ) x o + € n exi

f dif . en xo

siendo lim — L - 0 || e Cr (X0+ h) \\=

11 e ( x b ) 1|

?or otra parte -t¡ = O f.<=0-46-

como x es extremo de f sobre S ==/ (gradf O*2); H j -

=4-gradf(xo) c ÍA--

6. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE PUNTOS CRÍTICOS DE LUSTERNIK-SCHNIRELMAN

Sea F: IR —y-IR C un operador potencial (basta con que Vj .F. = <j .F.)

busquemos las soluciones de la ecuación:

TOO »

por el teorema de Lusternik, podemos buscar las soluciones entre los extremos

condicionados de F sobre las esferas S . En particular por el teorema dea *

Weierstrass, sabemos que habrá V£L > 0 dos soluciones X ¿, (C = \j2) [ Wx-iWÂ.

Pasando a dimensión infinita^ un Hilbert H, la cosa se fastidia ya que

las esferas no son compactas, no obstante en el caso F op.compacto potencial

lineal Q"F , TÍ) 3 Sj (x) = O¡1^1 ^ ( x ) ^ )

luego el th. de W. nos dice que V-

(=7 Manejar compacidad).

0 hay dos soluciones >i

-47-

TI p

Volviendo al caso F: IR. -—>• IR" con F lineal, es anreciable la pobreza del

resultado de la existencia de 2 soluciones en cada esfera, como es sabido hay

exactamente 2n(F = F i ) (contar x y -x). Sin embargo el teorema puede obte-

nerse aplicando con toda ootencia la teoría de principios de mínimo.

Teorema (Lusternik-Schnirelman) 1

X variedad compacta C)\'\ \sj n° p. críticos de f sobre X > AA. (X)

4? •• X

En el caso F: B. —> jR1 lineal potencial, f(x) = <CFX,X") satisface TC") =-(- X3

funcional par. Por tanto f es también un funcional sobre el espacio proyecti-

vo < (a) H ^

Categoría Lusternik-Schnirelman

DEF.l Sea X un espacio topológico y A,B£ J (X), decimos que A es cont

deformable a B ( A v w U ) s¿ :

DEF.2 cat (A,X) = 1 O A

cat (A,X) = K<oD <> 3 {Cj3f tt*ft!¿o<L/ AcOCj /ü>x(Cj) =

cat (A,X) = 09 en caso contrar io

Propiedades

(i)

(2)

O) A c

(4) dim H =cx =r> s" contiene conjuntos de cualquier categoria.

-48-

DEF. 3: Sea X un esp. topológico compacto y V compacto c X ; j_V_;-- 'Ó C,

clase compacta de homología

f: X —•r- ]R continua: YY\ C-\ , W J )

L j V OCLUÍS.eroTeorema 2 Sea X variedad compacta o \k

¿Qué ocurre en dimensión infinita?.

Teorema 3 Sea f un funcional par en un espacio de Kilbert H verificando:

(1) gradf es fuert. continuo sobre la bola H*\\ -ft j -^(O -0

(2) (gradf(x),x) > O V x / \\*\\>0

=$• V V compacto C <£t ~T <*^ = Vv,

Notas

h ^( 1 ) F : iz i 5- h a -ûjuêuuê £&i.cr>aux> <[_ t-

(2) Sea H un Hilbert separable,

F:H->H f.c. en la bola cerrada

Lema 1 Sea f :H -> 3R par, continuo en

= >

Proof

V

£ 1-Pco -?

Sea ahora V compacto d, S", hay dos posibilidades:3,

(a)i

* H "SVe>0 3 ^

j \ (o3 = 0

3 > | If

-49-(b) 1\ ¡ >• ¡I £> v X £ V . En ese caso deformemos V mediante el ODeradoi

_\ ._=

D es continuon

¡ \ ! --i-, (••••'. ¡i

x n-Cj -í- u r A ¡

C

^4^ 4 Mll r' x i!

por tanto D es una def. continua de V. Además:n

N.

Por tanto si cat(V,S") > n se sigue el resultado.3.

Teorema fundamental

Sea f: H —> 3R par verificando:

(1) gradf es fuert.cont. sobre la bola 1\*)1¿Í\ - (°) = °

(2) (gradf(x),x) >0 , Vx^-'O, t>£B

Proof

En S" existen conjuntos de categoria arbitraria, tomemos V compacto

ftv, S í tov, cat

por e l teorema anterior ^ x K e o r >uJn) cví Co de^- / \\

gradf f.c. =^- f cont. en "í . Luego podemos aplicar el lema anterior

ST, precompacta en > D ^ B W] *

-50-

esto implica x =0 va que si xo -> i

.1

__v 0

r iNota: Evidentemente \ X K 1 es una su

-

infinita ya que como lim f(*K ) = 0«• -* en

r> - /la otra posibilidad sería -TC*KO=O V"^^ salvo un número finito, lo cual esimposible ya que -L Q*)>o V x ^ O .

7. EJEMPLO 1

Sea L L dominio acotado C 3R , con borde ci¿ , buscamos soluciones al

problema:

o, - O l ], x

1,2Vu € L'CÍI) \

DEF.l: uSH es sol. generalizada

2Lema 1: u sol. C del problema (*) =y> u sol. generalizada

Proof

v

(u,V) =

( i) in t . por partes y dado que u = 0 sobre é\L

vGH

(u,V) = lira (. /v'vO - I / Í T Í J I ^ ^ J V O J , =- C^ 'oC^

(1) No hay solución en H para k =-1 distinta de u=0,

(2) Hagamos 'X •- — 7 Cu-i v^z = * (ujV)K+1

f(u) = i|W||^ = ¿

( g r a d f ( u ) , v ) = 1 U-V

==> (gradf(u) ,v) = A (L>JN

. -7

(3) f(u) = - \\u II2 es evidentemente un funcional par. de H en 3R

Veamos que gradf(u) es compacto en H

u -^. u en Hn ^

gradf (u ) - gradf (u) || = í^ C v ^ ' ^ ^ "

= sup K-all2\|v\\

Lema de Rel l ich . u —> u en W¡ 2. C^-) ==T7 ^ ^ -> U. QM. V-

(gradf (u),u) = CaJ^X>0 ^ ' u r 0 .

-52-Conclusion

j j \.UvM^ s o l u c i o n e s en H / u —•$. f\ ^ ¿£ .¿o. • fuV>£aM¿1 9i.oÁ4 (u) =. % u_

Tomemos \\ u-v, \\ ••- I

1W\¡ >°

Ahora b i e n :

i >. c,

6

Ejemplo 2: Consideramos las ecuaciones:

(1) Ec. Schrodinger LIA, = - Á u •+- lu\

(2) Ec. Klein-Gordon

-iEtSea u = e v un estado estacionario, las anteriores ecuaciones implican:

(1) Av + ^ W = 0 ;•

Nota. X'co^ Kato =^> soluciones V (x) tendiendo a cero exp, en el infinito

no existen salvo v = 0.

-53-Sea N>0 y \L = (O,N)C P., busquemos soluciones:

V + e, \' - * i vi i °vJ -

V?(0) = -tí(N) = 0

Q.Ic?O

= \Nll2

DEF. u G H es sol. generalizada < "> (uj

jema: u sol C del Droblema (*) ==) u sol. generalizada7

Proof

1

(u,v) = i (y. 0^ ~¿V •=

vQH

(u,v) = lim(u,vn) = lim

(1) Tomemos:

r(w) = —

(gradf(w),v) =

Veamos aue

_ A.

-Sk-

luego nuestro problema se reduce a buscar soluciones:

gradf(w) = A W ^ W Q

Lema.

* h-—>

Proof

u(r) = TW (r)

Nirenberg = > -w

uTomando p = "+2 y w ± - encontramos:

oo

=*

Ahora bien:

ILU

B Ctt

ac

-55-

Corolario: f(w) está bien definido v

Lema: 0 - C <£ -H i==7> C&)

Proof

u = rw(r),

Para demostrar que L es compacto, basta ver que para cualquier sucesión

acotada en H,-TLu\es fuertemente convergente en \ ~

Para ello empleamos el lema de Kardrachev:

A u >

con normas 11 ll7 unif .acotadas

V\ u \\ acotadas en Hn "

Wy,v' "7Wft t ienen normas L (B(0,N)) acotadas =^>

\}

te[

-y-t-2

T 0

Si

Nota: f(u) = J_

Lema, gradf es compacto

Proof

f N

--r

-56-

-57-

METODO DE INVARIANCIA

EN LAS ECUACIONES NO LINEALES

(Ordinarias y en derivadas parciales)

- 5 8 -

C a p í t u l o 1 : E C U A C I O N E S O R D I N A R I A S I N V A R I A N T E S B A J O G R U P O S D E L I E

1 . 1 : In t r o d u c e ¡ ó n

L o s g r u p o s d e L i e n a c i e r o n 1 i g a d o s a la t e o r í a d e e c u a -

c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . S u p a p e l c r u c i a l e n d i c h o t e r r e n o s e a d -

m i t e e n t o d o s l o s t r a t a d o s c l á s i c o s ( v e r tVCl p o r e j e m p l o ) . En

e f e c t o i n c l u s o a n i v e l d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i á i s o r d i n a r i a s

d e p r i m e r o r d e n ( E D 0 1 ) , p u e d e n s e r c o n s i d e r a d o s c o m o el p r i m e r

e l e m e n t o c l a r i f i c a d o r y a g l u t i n a n t e d e l o q u e h a s t a e l l o s n o

e r a n s i n o u n o s c u a n t o s t r u c o s ó r e c e t a s m á s ó m e n o s e f i c a c e s

p e r o a i s l a d o s .

P a s a n d o y a al d o m i n i o d e l a s e c u a c i o n e s e n v a r i a s v a r i a _

b l e s , la i d e a d e l m é t o d o e s t r a n s f o r m a r e n u n a e c u a c i ó n e n d e -

r i v a d a s p a r c i a l e s t D P ) d a d a , l a s v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s y l a "

f u n c i ó n i n c ó g n i t a d e t a l f o r m a q u e la e c u a c i ó n q u e d a i n v a r i a n t e

e n u n s e n t i d o q u e p r e c i s a r e m o s l u e g o . T a l e s t r a n s f o r m a c i o n e s s e

h a c e n d e p e n d e r n o s ó l o d e las v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s , s i n o tarn

bien de la p r o p i a función i n c ó g n i t a . E s e s t a i n t e r d e p e n d e n c i a e n t r e

la t r a n s f o r m a c i ó n y el o b j e t o t r a n s f o r m a d o q u i e n c o n f i e r e v a l i -

d e z al m é t o d o e n c u a n t o a b ú s q u e d a d e s o l u c i o n e s p a r t i c u l a r e s

d e E D O y E D P n o 1 i n e a l e s .

A h o r a b i e n , el m é t o d o e n s í t r a b a j a s o b r e la e c u a c i ó n y

s u s s o l u c i o n e s c o n el g e n e r a d o r i n f i n i t e s i m a l ( m e j o r d i c h o c o n

u n a e x t e n s i ó n n a t u r a l d e é s t e ) m á s b i e n q u e c o n el p r o p i o g r u -

p o d e t r a n s f o r m a c i o n e s y e l l o c o n d u c e a u n a 1 i n e a r i z a c ? ó n d e l a s

e c u a c i o n e s q u e d e t e r m i n a n l a s f u n c i o n e s i n f i n i t e s i m a l e s del g r u -

p o y u n a q u a s i 1 i n e a l i z a c i ó n p a r a la e c u a c i ó n q u e f i j a el t i p o d e

s o l u c i o n e s e s c o g i d a s .

E n e l p r i m e r c a p í t u l o e x p o n e m o s el m é t o d o y s u a p l i c a c i ó n

a E D O . U n a e s c u e t a p r e s e n t a c i ó n d e l c o n c e p t o d e g r u p o d e t r a n s -

f o r m a c i o n e s d a r á p a s o a u n a d e s c r i p c i ó n d e t a l l a d a del m é t o d o d e

i n v a r i a n c i a e n E D 0 1 y E D 0 2 . T o d o e s t e c a p í t u l o s i g u e c o n f i d e l i -

d a d lo e x p u e s t o e n el l i b r o d e B l u m a n y C o l é \_3\ q u e e s la r e f e -

r e n c i a m á s a m p l i a , y c a s i ú n i c a , d i s p o n i b l e h a s t a h o y . P a r a g u i a r

e n l o p o s i b l e al l e c t o r d i g a m o s a q u f q u e l a s p a r t e s q u e e m a n a n d e

e s a r e f e r e n c i a s o n e s e n c i a l m e n t e l o s d o s p r i m e r o s c a p í t u l o s

-59-

( e x c e p c i ó n h e c h a d e 1 1 . 4 ) y I I I . 1 . E ] r e s t o e s o r i g i n a l 6 c o m e n

t a a s p e c t o s n o c u b i e r t o s e n L 3 J •

E,l c a p í t u l o II a t a c a y a l a s E D P 2 , e c u a c i o n e s d e r i v a d a s

p a r c i a l e s d e s e g u n d o o r d e n ^ y e n s ó l o d o s v a r i a b l e s . T r a s la e x p o s i '

c i ó n d e l a i d e a c e n t r a l d e l m é t o d o M e l c á l c u l o d e l a s e x p r e s i o n e sd

p e r t i n e n t e s ( I K 1 ) , se a n a l i z a n d o s e j e m p l o s l i n e a l e s c o m o e n t r e

n a m i e n t o p a r a a p r e n d e r a m a n e j a r los e n t r e s i j o s del m é t o d o , en

1 1 . 2 y I I . 3 - En \\.k se p a s a a o t r o s e j e m p l o s , no l i n e a l e s y a ,

a l g u n o s de e l l o s tan i m p o r t a n t e s c o m o las e c u a c i o n e s de Burger:s

y la de S i n e - G o r d o n . D e j a m o s el c o m e n t a r i o y c r í t i c a de los r e -

s u l t a d o s p a r a el c a p í t u l o V , l i m i t á n d o n o s e n é s t e SI I a a p l i c a r

f r í a m e n t e la t é c n i c a e x p u e s t a a n t e s .

En el c a p í t u l o III se e x t i e n d e el m é t o d o a E D P 2 en v a r i a s

v a r i a b l e s , p a r a d a r u n a i d e a de c ó m o c r e c e n las d i f i c u l t a d e s p o r

el a u m e n t o de t a m a ñ o de las e x p r e s i o n e s en j u e g o . P e s e a t o d o

p u e d e d e c i r s e q u e u n a E D P de s e g u n d o o r d e n d e d e r i v a c i ó n y en

c u a t r o v a r i a b l e s es r e l a t i v a m e n t e c ó m o d a t o d a v í a .

En el c a p í t u l o IV se p r o c e d e a u n a e x t e n s i ó n m á s i n t e r e -

s a n t e : ap1 icabi 1 i d a d del m é t o d o a E D P d e o r d e n 3» en d o s v a r i a -

b l e s . Si b i e n la m a g n i t u d d e las f ó r m u l a s i m p l i c a d a s ( I V . 1 ) es

y a i m p r e s i o n a n t e , lo c i e r t o es q u e u n a v e z c o n o c i d a la m e c á n i c a

de la a n i q u i l a c i ó n de c o e f i c i e n t e s , es p o c o e n g o r r o s o e n f r e n t a £ _

se a u n a e c u a c i ó n de t e r c e r o r d e n en d o s é i n c l u s o en t r e s varia_

b l e s .

Se a p l i c a el m é t o d o e n IV.3 y I V . 4 . a la e c u a c i ó n de

K o r t e w e g - d e V r i e s y v a r i a s m o d i f i c a c i o n e s s u y a s .

F i n a l m e n t e el c a p í t u l o V se d e d i c a a u n i n t e n t o de c a l i -

b r a r el a l c a n c e real del m é t o d o , c o m p a r a n d o los r e s u l t a d o s obte_

n i d o s p o r él c o n los q u e se c o n o c e n d e a n t e m a n o . Y se t e r m i n a

c o n u n a c r í t i c a del m é t o d o p r o p u e s t o p o r K u m e i y o t r o s £ 6 , 7 3 » Qê

h a c e n d e p e n d e r las t r a n s f o r m a c i o n e s de las d e r i v a d a s i n c l u s o . C £

m o t á c t i c a p a r a o b t e n e r s o l u c i o n e s e s t e m é t o d o no a p o r t a n a d a

n u e v o .

- 6 0 -

Y p u e s t o q u e h a b l a m o s d e d e r i v a d a s , la r a z ó n d e q u e n u n -

c a n o s p r e o c u p e m o s d e t r a n f o r m a r l a s p r o p i a s d e r i v a d a s m e d i a n t e

t r a n s f o r m a c i o n e s d e p e n d i e n t e s d e e l l a s m i s m a s , e s s e n e i 11 a m e n t e

q u e e l l o n o s a b o c a r í a a u n a s i t u a c i ó n s i m i l a r a la d e l o s B a c k -

l u n d , d o n d e la t r a n s f o r m a c i ó n e l i g e la e c u a c i ó n p a r a la q u e si_r_

v e . C o n el m é t o d o d e i n v a r i a n c i a s e p u e d e t r a t a r c u a l q u i e r e c u a _

c i ó n , a p r i o r i al m e n o s , y l o q u e e l m é t o d o e l i g e s o n s o l u c i o n e s

p a r t i c u l a r e s (¡ d e m a s i a d o t r i v i a l e s a v e c e s 1 . ) d e e s a e c u a c i ó n . .

I.2 R e c o r d a t o r i o e l e m e n t a l d e g r u p o s d e t r a n s f o r m a c i o n e s u n i p a -

r a m é t r i c o s .

A u n q u e r e s u l t e t e n t a d o r o f r e c e r u n a e x p o s i c i ó n m á s m o d e r -

n a y e l e g a n t e d e l o s g r u p o s d e L i e , v a m o s a r e s t r i n g i r n o s al n_¡_

v e l m a s e l e m e n t a l p o s i b l e , s i r v i e n d o e s t a s e c c i ó n p a r a f i j a r t e £

m i n o l o g í a y r e c o r d a r l o s c o n c e p t o s m á s f u n d a m e n t a l e s p a r a la posi_

t e r i o r a p l i c a c i ó n . D i s t i n g u i r e m o s , a u n q u e e s i n n e c e s a r i o e n r e a l j _

d a d , l o s c a s o s d e d o s y m á s v a r i a b l e s , p a r a i n t e n t a r s i m p l i f i c a r

c o n e l l o la c o m p r e n s i ó n d e l o q u e s e g u i r á .

a ) E n I R 2

C o n s i d e r e m o s u n a f a m i l i a de t r a n s f o r m a c i o n e s a n a l í t i c a s

d e p e n d i e n t e s de un p a r á m e t r o <* e IR , q u e c o n s t i t u y a n g r u p o , es de_

cir t a l e s q u e :

S u p o n e m o s X{• / •) a n a l í t i c a . Es la f u n c i ó n q u e d e f i n e la ley de

c o m p o s i c i ón del g r u p o .

O b v i a m e n t e é (%l -i - •, - % \| [x,~i ; aia) - y • S e d i c e q u e olo c o r r e s p o n _

d e al e l e m e n t o n e u t r o (ó u n i d a d ) d e l g r u p o .

iii) V«*r B ^ £ Y i * ^ ) - °lo -^(•eíioí\ > y se d i c e q u e o<! d e f i n e el

e l e m e n t o i n v e r s o del oí. .

- 6 1 -

iv) A s o c i a t i v i d a d : Y (*i, í t ^

Ej e m p 1 o s :

1) ) > t r a s l a c i o n e s d e d i r e c c i ó n x . E s f á c i l v e r q u e133 i

2 ) j'M ~ ^ a <J I r o t a c i o n e s en t o r n o al o r i g e n . N u e v a m e n t e

3 ) ) 'l ~ [ d i l a t a c i o n e s . R e s u l t a s e r ^ í <¿i a/O) •=• o¿ ^

H) ) ' y N o c o n s t i t u y e n un g r u p o d e t r a n s f o r m a c i o n e s

P a r a v a l o r e s o^-ô + óv ¿«f<<4 , la s u p u e s t a a n a l i t i c i d a d

p e r m i t e d e s a r r o l l a r :

L u e g o l o s i n c r e m e n t o s s u f r i d o s e n p r i m e r o r d e n s o n :

C o n s i d e r e m o s a h o r a el s i s t e m a d i f e r e n c i a l a s o c i a d o

c o n c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s x . = x - , y . = y p a r a / S = 0 ( n o r m a l i z a m o s el

n u e v o p a r á m e t r o p A , Í O d e f i n e el e l e m e n t o n e u t r o d e l g r u p o ) .

D a r 1 vi s i g n i f i c a c o n o c e r e s e s i s t e m a ( 2 ) . R e c u p e r a r

el g r u p o a p a r t i r d e 1 n s i g n i f i c a i n t e g r a r ( 2 ) . P u e s b i e n ,

del p a r y %*,~\i\ s e d e d u c e al i n t e g r a r una cierta f a m i l ia 3( xi Mil-

c o n s t a n t e , d e c u r v a s del p l a n o . S o n l a s t r a y e c t o r i a s d e l g r u p o ,

- 6 2 -

2y "5( . , . ) e l " i n v a r i a n t e " b a j o el g r u p o e n 1P. . P o r s u p a r t e l a sr e l a c i o n e s r e s t a n t e s / x - 7 M Ai. •= 7 //, n o s d a n l a s t r a n s f o r m a -

c i o n e s g l o b a l e s d e l g r u p o al i n t e g r a r l a s c o n la c o n d i c i ó n i n_i_

c i a l cit'ada a r r i b a . ( N ó t e s e a u e x , y j u e g a n el p a p e l d e c o n d i -

c i o n e s i n i c i a l e s ) .

E j e m p l o s (los d e a n t e s ) :

-==? \-\ . vi - O

S i s t e m a d i f e r e n c i a l a s o c i a d o /*., = "^j. -=. i A q u e n o s l l e v a ao i

" S ^ , ^ ) ~ 4 = c o n s t a n t e ( t r a y e c t o r i a s ) . 0 sea que 5í\^) = 1

Y £y^-iif> r=$> x, - X H - A ( r e c o r d a r la con d i c i ó n

i n i c i a l ) . l

-1Ü

E 1 s istema e s a h o r a _ £ Ü L •=. _ ^ 3 l . •= JA

luego "^ tx, * \ _ X'L+ a _ -v .(constante)

Y p o r o t r a p a r t e ¿** ~ j . - ^ A ~ ^ C(O x< _ (

0 o = ÍWX c<r> 21 ( á n g u l o i n i c i a l )

Ana 1og amen t e

Y

Luego

El s i s t e m a | Ax ^ (

La c o n d i c i ó n i n i c i a l e x i j e x ^ x e T . í d e m p a r a ^

q u e e n e s t e e j e m p l o s e o b t i e n e d el s i s t e m a ( 2 ) u n a n u e v a p a -

r a m e t r i z a c i ó n , c o n c r e t a m e n t e e> j u e g a a h o r a el p a p e l d e U

a n t e s . El A e s t á n o r m a l i z a d o d e f o r m a a u e la i d e n t i d a d d e 1

-63-

g r u p o x..=3<, y , = y c o r r e s p o n d e al v a l o r A = 0 .

De h e c h o es f á c i l d a r s e c u e n t a de q u e s i t u a m o s p o r ejem_

p í o la r e l a c i ó n

d o n d e y . ( x . ,^) se ha d e s p e j a d o del i n v a r i a n t e 3 = ~§(x.. , y. ) , al

i n t e g r a r l a o b t e n e m o s u n a r e l a c i ó n del t i p o :

¡ } ^ ) — A z^ c a p t a n t e 1 =

p a r a u n a c i e r t a f u n c i ó n W ( . , . ) . P u e s b i e n , p o r a s í d e c i r ,

5 = c t e . d e f i n e n las t r a y e c t o r i a s del g r u p o , m i e n t r a s q u e W = c t e

c a r a c t e r i z a la f a m i l i a " t r a s v e r s a l " p o r la q u e el g r u p o t r a s -

l a d a u n a m a g n i t u d A» los p u n t o s del p l a n o .

Un c a m b i o de c o o r d e n a d a s en el p l a n o C * , 1 ^ - — ^ (~3 W )

c o n d u c e a u t o m á t i c a m e n t e a q u e el g r u p o s e r e f o r m u l a a s í :

es d e c i r , c o m o un g r u p o de t r a s l a c i o n e s de d i r e c c i ó n W . Se di-

ce de 3 , W q u e s o n las c o o r d e n a d a s c a n ó n i c a s del g r u p o . 0.ueda

v i s t o c o n e l l o q u e t o d o g r u p o un i p a r a m é t r i c o es e q u i v a l e n t e a

u n o d e t r a s l a c i ó n (a lo l a r g o de las c u r v a s 3 = c t e ) . De h e c h o

en e s t a s c o o r d e n a d a s es f á c i l v e r q u e \ (f'Âv) - A,, -r/S.u-

E j e m p l o s ( l o s de a n t e s )

2) ^§,W s o n a h o r a las c o o r d e n a d a s p o l a r e s .

3) 3 = 7 » W = l n x

A b a n d o n a n d o un m o m e n t o la ó p t i c a de e c u a c i o n e s d i f e r e n -

c i a l e s en f a v o r de la de o p e r a d o r e s , d i g a m o s , q u e el o p e r a d o r

d i f e r e n c i a l

-64-

se l l a m a " g e n e r a d o r i n f i n i t e s i m a l " del g r u p o . F.s la d e r i v a d a

d i r e c c i o n a l en c a d a (x,y)61R , en la d i r e c c i ó n ( ? ,^) c a r a c t e -

r i z a d a p o r el c a m p o v e c t o r i a l de la e c u a c i ó n , 0 si se p r e f i e -

re la d e r i v a d a t a n g e n c i a l a las t r a y e c t o r i a s del g r u p o .

A c t ú a s o b r e c a d a f u n c i ó n f ( x , y ) d a n d o rtv^ H v i > - ~^T* 4 7 "f

En p a r t i c u l a r \í x - y v j ) ) /\,L - y (y.,-n .

V i e n e r e f o r z a d a su i m p o r t a n c i a p o r el h e c h o de q u e al

d e s a r r o l l a r

+ =- «ÍÜLÍ

si se s u s t i t u y e n :

y a n á l o g a m e n t e 'c T , se o b t i e n e f o r m a l m e n t e :

expresión finita de las transformaciones del grupo.

Ejemp1 os:

1) .'u_- 2-

2) -Ur x2 _^2

3) -U x^ +^2

E j e r c i c i o : O b t e n e r el g r u p o c u y o g e n e r a d o r i n f i n i t e s i m a l e s

-65-

P u e s t o q u e ' ! X x = l t * , - | •, - x2" V^-j = M ( X ( - , _ v - i e s ' f á c i l v e r a u e

. vi

Luego

De esta formulación exponencial (3) se deduce que para

que una cu rva ¿j(x,y)=0 sea invariante bajo las transfor-

m a c i o n e s del grupo es ne c e s a r i o y suficiente g u e '¿'t w = 0 .

b) En TR n + 1

La definición abstracta de grupo de transformaciones

un i p a r a m é t r i c o sigue en p i e , siendo ahora:

En primer orden sera

El generador infinitesimal es ahora

Existen coordenadas canónicas 5<»'••• >5 'w tales que en ellas

el grupo actúa por traslación

Son funciones independientes de x-,...,x , y tales que

' \A ~S>' —^ V \ • Es decir que , U. — A es esas coordenadas

Ej emp1 o: Hallar las coordenadas canónicas en.IR del grupo

cuyo generador infinitesimal es

-i/ 1 1 O

-66-

c o n notación x i ~ * /te r i or.

r e s p e c t o al p á r r a f o a n -

Es decir q u e hemos de b u s c a r ~5 "5- vJ i n d e p e n d i e n t e s

tales q u e :

<j —, •

1 - o

- O

+ 0

El s i s t e m a d i f e r e n c i a l c a r a c t e r í s t i c o de e s t a s tres e c u a c i o n e s

de p r i m e r orden e s :

que i n t e g r a d o c o n d u c e a

1.3 Invariancia de EDO1 bajo un.grupo de transformaciones. Re-

ducción a cuadratura y factor integrante

Definición: Una familia de curvas w(x,y)=constan te, definida2

en IR se dice invariante bajo el grupo de tranformaciones en

IR 2:

si e x i s t e a l g u n a f u n c i ó n f tal q u e : tú (x« ,y.) = f \u> (x ,y ) l .

-67-

E q u i v a l e n t e m e n t e , e n t é r m i n o s i n f i n i t e s i m a l e s , la f a -

m i l i a U ) ( x , y ) = c t - e s i n v a r i a n t e s i y s ó l o si 3 F 3 fi{,uO — !f(u>)

S ó l o c u a n d o F s 0 , s e d e j a i n v a r i a n t e c a d a c u r v a d e la f a m i l i a

D e l o c o n t r a r i o s e t r a t a d e u n a i n v a r i a n c i a g l o b a l d e la f a m i -

l i a .

E j e m p l o s :gy

1) La f a m i l i a de semirrectas r a d i a l e s 00= y / x = c t - es i n v a r i a n t e

b a j o el g r u p o de r o t a c i o n e s :

+^, C

En e f e c t o :

2) Esa m i s m a f a m i l i a es i n v a r i a n t e b a j o d i l a t a c i o n e s

X^-^x , M r p o r q u e :

E s t a v e z c a d a u n a de las c u r v a s y = c x es i n v a r i a n t e .

C o n s i d e r e m o s a h o r a u n a ED01 p a r a la f u n c i ó n y ( x ) , d i g a

mos

q u e p o r c o n v e n i e n c i a s u p o n d r e m o s p u e d e e s c r i b i r s e 'corno

¿i

El h a z de c u r v a s u j ( x , y ) = c t - s o l u c i ó n de (k) s a t i s f a c e

^ " u / (S)

P u e s b i e n , si s a b e m o s e n c o n t r a r un g r u p o G de transforma-

c i o n e s q u e d e j e i n v a r i a n t e e s t a f a m i l i a , es d e c i r tal q u e su

g e n e r a d o r U c u m p l a 'lAw = F U ° ) , p a r a c i e r t a F, ¿©n q u é se tra_

d u c e e s t o r e s p e c t o de n u e s t r o c o n o c i m i e n t o de la e c u a c i ó n ?

-68-

A n t e s de c o n t e s t a r e s a c u e s t i ó n o b s e r v e m o s q u e la f a m i -

lia de c u r v a s a d m i t e m u c h a s r e p r e s e n t a c i o n e s d i s t i n t a s . Si c a m

b i a m o s de r e p r e s e n t a c i ó n t o m a n d o ^í^l en v e z ê ^ > t e n e m o s :

¿í -

Para m a y o r s e n c i l l e z s u p o n d r e m o s escogida una represen

tación u¡ 1*1*1) -r ¿j- 3> Í'U^-Í . Con esa e l e c c i ó n , obtene

mos para uJ un s i s t e m a :

^ - o 2ü¿ -

De donde c o n c l u í m o s d¡x> = Qi¿ -1 ~ A1 ser

diferencial exacta de la función UJ (x, y) , vemos que

admite como factor integrante ( X ^ - Y ) ) " • La conclusión pues

de esta d i s c u s i ó n , a la que llegó ya S.Lie en 1 8 7 ^ , es la si-

g u i e n t e :

P ropos i ción ;Si la ED01

grupo un i pa ramé t r i co de g e n e r a d o r

N es factor integrante.

es invariante bajo un

JL e n t o n c e s

S ó l o f a l t a t e n e r a m a n o a l g ú n c r i t e r i o q u e n o s p e r m i t a

s a b e r , c o n s e n c i l l e z , a la v i s t a d e u n a E D O 1 y a la v i s t a d e

u n g e n e r a d o r i n f i n i t e s i m a l si é s t e e s d e i n v a r i a n c i a p a r a d i -

c h a e c u a c i ó n . H e a q u í el c r i t e r i o :

C r i t e r i o : L a E D 0 1 y JU — V ¿^ - o e s i n v a r i a n t e b a j o el g r u p o(J

de generador A/- ~ ~^ ¿^ + J~

ta1 q u e

s ¡ y sólo si e x i s t e \ ( x , y )

donde h^\~—i-V — es la derivada direccional a lo larqo/x Qx / -jde las curvas integrales de la E D 0 1 .

-69-

Demostración: Para que u) sea invariante ha de ser ;'lAi/J — t"( )

ademas ío cumple la ecuación de haz integral de la ecuación,

es decir A uJ = 0 . Luego

Comparando las dos ecuaciones que ^ satisface, a saber:

concluímos la existencia de una X(x,y) tal como anunciaba el

criterio. El recíproco es evidente.

Nota: Cuando /\=:0, los papeles de 'VI, A pueden i ntercamb i ar_

se. Es lo que ocurre por ejemplo en el caso:

Familia de semirrectas radiales invariantes bajo rotacione:

Familia de circuios con centro en el origen invariante bajo dilatación

Escogiendo coordenadas canónicas para el grupo de inva-

riancia, digamos ^jW, el generador se convierte en ' "Jrri • ^ s^

que la ecuación, que en principio seria del tipo genérico

1

Y por tanto para que esto sea proporcional al A, es necesario

que sea F = F(^) con lo que [A/U")= 0.

En otras palabras, invariancia bajo el grupo exige que

la ecuación pueda escribirse (en coordenadas canónicas) en la

forma:

que es ya de variables separadas. Más aún en un plano ("5,W)

el campo vectorial (1,F('5)) que define la ecuación (*) es in-

-70-

dependiente de la coordenada W. Luego todas las curvas integrales

se conocen, por simple traslación, conocida una de ellas. Se ha

reducido pues la ecuación a una cuadratura.

Caso genérico ÜZ •= Y [ Caso especial¿L1

Nótese que siempre puede uno escoger U=A y obtiene un grupo de

invariancia, según el criterio precedente, Obviamente toda EDO1

pues reducible al tipo é%L •= fli) • Pero debe observarse qu

conocer las coordenadas canónicas en el caso del grupo cuyo U=A

es exactamente lo mismo que integrar la ecuación. De manera que

tal elección no es práctica.

Lo será aquél U 3 Û, Aj cumple el criterio y.qu

ademas de un grupo de transformaciones sencillo y conocido.

-70-

d e p e n d i e n t e de la c o o r d e n a d a W . L u e g o t o d a s las c u r v a s i n t e g r a l e s

se c o n o c e n , por s i m p l e t r a s l a c i ó n , c o n o c i d a una de e l l a s . Se ha

r e d u c i d o p u e s la e c u a c i ó n a una c u a d r a t u r a .

C a s o g e n é r i c o á - - 1" [~%,W) C a s o e s p e c i a l

N ó t e s e q u e s i e m p r e p u e d e u n o e s c o g e r U=A y o b t i e n e un g r u p o de

i n v a r i a n c i a , s e g ú n el c r i t e r i o p r e c e d e n t e . O b v i a m e n t e t o d a EDO 1 es

p u e s r e d u c i b l e al t i p o éH, — F(i) • P e r o d e b e o b s e r v a r s e q u e

c o n o c e r las c o o r d e n a d a s c a n ó n i c a s en el c a s o del g r u p o c u y o U = A

es e x a c t a m e n t e lo m i s m o q u e i n t e g r a r la e c u a c i ó n . De m a n e r a q u e

tal e l e c c i ó n no es p r á c t i c a .

Lo s e r á a q u é l U 3 |_U, Aj c u m p l e el c r i t e r i o y. q u e

a d e m á s de un g r u p o de t r a n s f o r m a c i o n e s s e n c i l l o y c o n o c i d o .

-71-

1.k B ú s q u e d a de las E D)1 i n v a r i a n t e s b a j o un g r u p o p r e f i j a d o .

a) H a y u n a f o r m a d i r e c t a de a t a c a r e s t e t i p o d e pregunta s i n2

s a l i r del e s q u e m a d e IR a n t e r i o r . N o s l i m i t a m o s a d a r a l g ú ne j e m p l o . 1

E j e m p l o : H a l l a r t o d o s los E DO 1 i n v a r i a n t e s b a j o el q r u p o x.. = x ,

y = ( i + « ) y .

H a b r á de s e r i n v a r i a n t e la f a m i l i a de s u s c u r v a s i n t e g r a l e s .

L u e g o si y = f ( x ) e s u n a d e e s a s c u r v a s , h a b r á n d e s e r t a m b i é n

c u r v a s i n t e g r a l e s t o d a s las o b t e n i d a s d e e l l a p o r a c c i ó n del

g r u p o !

0 - ^ - ^ 1 * 0 - ( 1 + c O y - f U )

T a l e s c u r v a s se c a r a c t e r i z a n p o r s e r = c t - . D i f e r e n c i a ny -

d o o b t e n e m o s : ¡

L u e g o 1 a s e c u a c i o n e s i n v a r i a n t e s b a j o e s e g r u p o son

o

E j e r c i c i o : P r o b a r q u e b a j o e l g r u p o d e r o t a c i o n e s e n e l p l a n o

s o n i n v a r i a n t e s l a s e c u a c i o n e s del t i p o

b) En d.. 6" d e s c r i b i r e m o s un m é t o d o m á s e l e g a n t e y q u e a d m i t e

g e n e r a l i z a c i ó n a E D O d e o r d e n s u p e r i o r . A n t e s de e n t r a r en él

n e c e s i t a m o s a b o r d a r un p a s o m á s en los i n v a r i a n t e s b a j o la a £

c i ó n d e u n g r u p o d e t r a n f e r e n c i a s en IR

"72-

1.5 Grupos en IR : i n v a r i a n t e s , t r a y e c t o r i a s , ...

Sea f\X. - \ -£— ± ~x sL 4- x jL el generador infinite

'\D*\ 'T-n*,. ' s ^ -

simal ( de un grupo G de tr a n s f o r m a c i o n e s en IR )

^na función f (x- , x« , x,) se dice por definición que es invariante

bajo G si f( x » , x * , x | ) = f U ^ x ^ x ) .

Eq u i v a l e n t e m e n t e si U f = 0 , de acuerdo con la formu l a c i ó n e x p o n e n -

cia 1 de 1 g rupo.

3 2

Las t r a y e c t o r i a s del grupo G en IR , que con s t i t u y e n un oo

de c u r v a s , se calculan como las integrales del sistema diferencia

c a r a c t e r í s t i c o a s o c i a d o :

A. _ _ M ...

Si por ejem p l o e n c o n t r a m o s dos solucio n e s de (*), digamos

" ^ Ü S ' H , *}> - ct1 , ^^ (.^v^v/^^ " 0^ ) como por el apéndi

ce sabemos que las solucio n e s de (*) están reí a clonadas a la so

lución general de la e c u a c i ó n ;

"Jí - O

por medio de la relación y = "F [S^ ~Î\ obtenemos así el i nva r i an

te general y del g rupo G.

Las trayectorias son las curvas determinadas por

3 A1 O O *~\Ejemplo: Sea un IR el grupo G con generador iW."*^— *%-Xr — + y-, ¿. •

n 1 1 -*

De su s i s t e m a a s o c i a d o —-—- - í x - -£—> c o n c l u i m o s que \ - ^ i ~g ^ ^

L a s t r a y e c t o r i a s de G v i e n e n c a r a c t e r i z a d a s p o r ^¿ _ c ^ ^ _ r/ê

-73-

q u e e s u n a f a m i l i a o¿> d e c u r v a s .

E l i n v a r i a n t e g e n e r a l d e G e s M ~ "Y [ ^ t l x i \ F a r b i t r a r i a .

N a t u r a l m e n t e l a s t r a y e c t o r i a s s o n c u r v a s i n v a r i a n t e s b a j o G (ta_n_

to 1 ^ c o m o S,_ lo s o n ) . H a y t a m b i é n o c a s i o n e s e n q u e u n o se en c u e n _

t r a c o n t r a y e c t o r i a s p u n t u a l e s , c o n c r e t a m e n t e a q u e l l o s p u n t o s

\ ~- (A ,Y^ *\) en que

T a m b i é n p u e d e o c u r r i r q u e d i c h o s p u n t o s f i j o s 1 c o n s t i t u y a n u n a

c u r v a ó i n c l u s o u n a s u p e r f i c i e .

P o r su p a r t e u n a s u p e r f i c i e j L j x ^ ^ x^\ — ct*"

e s i n v a r i a n t e b a j o G, si p o r d e f i n i c i ó n

La s u p e r f i c i e i n v a r i a n t e g e n e r a l b a j o G v i e n e d a d a p o r

d o n d e ^ "S-^ s o n d o s i n v a r i a n t e s i n d e p e n d i e n t e s del G.

E j e m p l o : C a l c u l a r la s u p e r f i c i e g e n e r a l q u e e s i n v a r i a n t e b a j o el

g r u p o d e g e n e r a d o r

B u s q u e m o s d o s i n v a r i a n t e s i n d e p e n d i e n t e s del G. Es d e c i r s ó l u c i £

n e s del s i s t e m a a s o c i a d o :

S o n p o r e j e m p l o ^ s N / X ^ x ^ " i ^ - xv

L u e g o l a s u p e r f i c i e g e n e r a l q u e d e j a d i c h o g r u p o G i n v a r i a n t e t i e n e

la forma Ti ( \J xft xf / x-¡,) - O.

0 sea " X x - T Í ^ Qu& e s I a ecuación de una super f ic ie a rb i t r a r i a de

revolución en t o r n o a l e j e x_ .

1.6 N u e v o m é t o d o p a r a b u s c a r t o d o s los E DO 1 i n v a r i a n t e s b a j o

un G d a d o .

C o n c r e t a m e n t e , d a d o el g r u p o G de t r a n s f o r m a c i o n e s en

es fácil h a b l a r la ley de t r a s f o r m a c i ó n q u e s u f r e b a j o e l l a s

la d e r i v a d a «v •—, h\ . En e f e c t o :

H a b l a r e m o s del t r i o de r e l a c i o n e s

c o m o de la e x t e n s i ó n de p r i m e r o r d e n de G. N o es d i f í c i l con

v e n c e r s e , m e c á n i c a m e n t e 6 g e o m é t r i c a m e n t e , de q u e (7) c o n s t i

t u y e n un g r u p o . S u g e n e r a d o r i n f i n i t e s i m a l es

/\

d o n d e{ • ' < r •

El g r u p o G d e f i n i d o p o r (7) en \KXv, , es un t i p o espe_

cial de g r u p o . L N o t o d o g r u p o en IR es de la f o r m a (7)

E j e m p l o : p a r a el g r u p o de r o t a c i o n e s r e s u l t a ser

0 JP u e s b i e n , e n e s t a n u e v a p e r s p e c t i v a , la i n v a r i a n c i a

d e u n a E D O 1 del t i p o

r e q u i e r e i n v a r i a n c i a d e la s u p e r f i c i e de '^x^î d e t e r m i n a d a'J'J

-75-

por la ecuación _il =

_íl = 0 es

0 . C o s a q u e o c u r r e si y s ó l o si s u p u e s t o

U7 -= O

/\T o m a m o s u n c a s o s e n c i l l o p a r a e n t e n d e r m e j o r q u e ' s i g n i

fica M-Cl = 0.

S e a la e c u a c i ó n M = 1, c u y a s s o l u c i o n e s s o n " ] = x + c , c^

, la s u p e r f i c i e jfl = 0 e s el p l a n oc t - a r b i t r a r i a . En IR

h o r i z o n tal y 1 : 1.

L a s s o l u c i o n e s e n el p l a n o x , y s o n r e c t a s p a r a l e l a s

y = x + c ^ a s T que en el R s o n l a s c u r v a s i n d i c a d a s e n la f i g u r a

A

D e s d e l u e g o la i n v a r i a n c i a (^lV\,Si~O) d e la s u p e r -

f i c i e e s n e c e s a r i a p a r a q u e la f a m i l i a ¿Wx,«p •= j - * = c-<-

s e a i n v a r i a n t e . P e r o p a r e c e q u e n o e s e n g e n e r a l s u f i c i e n t e ,

p o r q u e e n e s t e c a s o d i g a m o s q u e t r a n s f o r m a c i o n e s del t i p o r o -

t a c i ó n r e s p e c t o d e l e j e v e r t i c a l , ó s e a

(*)

p a r e c e n d e j a r i n v a r i a n t e la s u p e r f i c i e g l o b a l m e n t e c o n s i d e r a -

d a , p e r o n o la familia d e c u r v a s s o l u c i ó n . A h o r a b i e n , lo q u e

o c u r r e e s q u e e n (*) s e h a e s c r i t o a l g o q u e n o e s c o m p a t i b l e

-76-

e x t e n d i d o s de f o r m a com

con °\ =• - - . Es p r e c i s a m e n t e el h e c h o de q u e n u e s t r o s g r u p o sJ h- 2

son grupos de t r a n s f o r m a c i ó n en IR•5 ^ > y

p a t i b l e a IR , q u i e n a s e q u r a l a i n v a r i a n c i a d e l a f a m i l i ax . y . y '

d e s o l u c i o n e s d e _ í l ( x , y , y l ) = 0 , c o n "sólo' : b u s c a r l a i n v a r i a n c i aAA

g e o m é t r i c a

El m a y o r d e f e c t o de e s t e m é t o d o r a d i c a en q u e p e s e a

t e n e r s ó l o u n a e c u a c i ó n c o n d i c i o n a n t e /ÍAfl=Q s o b r e 7 > y , con

lo q u e hay i n f i n i t a s s o l u c i o n e s , no hay r e g l a g e n e r a l q u e per_

m i t a o b t e n e r l a s . Con m á s ó m e n o s e s f u e r z o y a s t u c i a se c o n s i -

g u e e n c o n t r a r a l g u n a s .

2 2Ej e m p 1 o: Las r e c t a s t a n g e n t e s al c i r c u l o u n i d a d x + y =1 t i e n e n

2 2 a

e c u a c i ó n a x + b y = 1 , a + b = 1 . L u e g o y ' = - r . E l i m i n a n d o a,b o b t e n e -

m o s q u e la E D01 q u e v e r i f i c a n e s :

1 "°C o m p r o b e m o s q u e e s t a E D 0 1 (no l i n e a l ) es i n v a r i a n t e b a j o r o t a -

c i o n e s , c o s a g e o m é t r i c a m e n t e e v i d e n t e :

q u e es n u l o s i e m p t e que-íí-=0

J

V o l v i e n d o a la c u e s t i ó n p l a n t e a d a a r r i b a , p u e d e probar_

se Y3~\ p o r a r g u m e n t o s c o p i a d o s d e dos del a p é n d i c e :

P r o p o s i c i ó n : D a d o un g r u p o G de t r a n s f o r m a c i o n e s c o n g e n e r a d o r

['\\~ \ Í M I — + U-iN £_ , s e a n u,v s o l u c i o n e s i n d e p e n d i e n t e s de' J ^ ' g T-)

E n t o n c e s las E D O 1 i n v a r i a n t e s b a j o G son las de la f o r m a

- y F a r b i t r a r i a (11)

N o t a : En o t r a s p a l a b r a s u,v s o n ' s o l u c i o n e s i n d e p e n d i e n t e s del

s i s t e m a d i f e r e n c i a l c a r a c t e r í s t i c o a s o c i a d o :

-77-

r

E j e m p l o : G r u p o G de rota c i o n e s "

Ay u n a s o l u c i ó n de >) f e s d e c i r d e

2 . 2U n a s o l u c i ó n d e \ \ \ K •= O e s p o r e j e m p l o u ( x , y ) = J x + y

fy -

T\ \T ~ íw K vi! — a~K.\s ^_ - ^ AT-

L u e g o de a c u e r d o con la p r o p o s i c i ó n la f o r m a g e n e r a l de las

ED01 i n v a r i a n t e s b a j o r o t a c i o n e s es

F a r b i t r a r i a .o

1 . 7 G r u p o s un i p a r a m é t r i eos de i n v a r i a n c i a p a r a 'íl}pj¿

G e n e r a l i z a r e m o s a h o r a la v e r s i ó n g e o m é t r i c a d e i n v a r i a n _

c i a a E D 0 2 ( d e s e g u n d o o r d e n ) . L a s s o l u c i o n e s d e u n a e c u a c i ó n

j f L (x , y ,y ' , y ' ' ) = 0 f o r m a n u n a f a m i l i a d e c u r v a s e n el p l a n o IRx j y

d e p e n d i e n t e s de dos p a r á m e t r o s , d i g a m o s UJ (x , y , a , b) =0 Necesita_

r e m o s la e x t e n s i ó n de s e g u n d o o r d e n del g r u p o , que re s u l t a s e r :

(U)

" - I

J

-78-U n c á l c u l o e l e m e n t a l l l e v a ( r e s p e t a n d o a n t e r i o r e s n o t a c i o n e s

p a r a ~S w y ) a q u e el g e n e r a d o r d e e s t e g r u p o e x t e n d i d o e s :'/ I' (

donde

El c r i t e r i o de invariancia de la e c u a c i ó n , interpretada geo'me

t r i c a m e n t e en IR , . . como una h i p e r s u p e r f i c i e se enunciax,y,y',y' '

así:

C r i t e r i o : La ED02 J i ( x , y , y ' , y " ) = 0 es invariante bajo el grupo

de g e n e r a d o r f[k. — \ C L + v i i L si y sólo si

s u p u e s t o Ii=0.

Caso part i cu 1 ar : cu ando Ji- (x ,y , y ' , y") = y " - UJ (x , y , y ' ) =0 , (15) se

conv i e rte en :

Ej emp1 o: y" = 0. En este c a s o , el más sencillo de t o d o s , la (1 6)

se lee así:

Es un p o l i n o m i o en y 1 , con coefici en tes dependíen tes de x,y

-79-

t a n s ó 1 o ( í /vií T vñ n vu T -? .. . v¡ r, c o n t i e n e n d e r i v a -

d a s d e y p o r q u e al c a l c u l a r |>o V • $** - - a | T |bas v a r i a b l e s

x , y s e c o n s i d e r a n en l a s f u n c i o n e s ~ t ( x , y ) , ^ ( x ^ ) c o m o i n d e -

p e n d i e n t e s ! ) . A n i q u i l a m o s p u e s el c o e f i c i e n t e d e c a d a p o t e n c i a

d e y 1 p o r s e p a r a d o :

i*-)

,/">•* • ^

En r e s u m e n , l a s ú n i c a s s o l u c i o n e s s o n :

g r u p o c o n o c h o s u b g r u p o s u n i p a r a m é t r i e o s i n d e p e n d i e n t e s .

N o t a : C a b e e s p e r a r q u e t o d a s l a s E D 0 2 t e n g a n a l o s u m o o c h o

p a r á m e t r o s d e i n v a r i a n c i a , p u e s y " = 0 e s la q u e t r i v i a l i z a m a -

y o r n ú m e r o d e c o n d i c i o n e s e n AA,_ÍL=o.

L o q u e s f p u e d e o c u r r i r a h o r a e s q u e u n a E D 0 2 d a d a n o

t e n g a n i n g ú n g r u p o d e t r a n s f o r m a c i o n e s d e i n v a r i a n c i a n o t r i

v i a l .

- 8 0 -

AAE j e m p 1 o : - / l = y " - ( y t ) - ( y 1 ) - x y a d m i t e p a r a A A J l r O c o m o ú n i c a

s o l u c i ó n l a t r i v i a l ~í - ^) = 0 .~í - ^)

1 . 8 E D 0 2 i n v a r i a n t e s b a j o u n g r u p o p r e f i j a d o

2Sea G el grupo de transformaciones en IR de Generador

'U - "y*\p "*" 7 tx'¿p ¿ j • Para c o n s t r u i r todas las ED 0 2q u e son i n v a r i a n t e s b a j o G, v a m o s a c o l o c a r n o s en la perspect_í_

va del g r u p o e x t e n d i d o d o s v e c e s , con g e n e r a d o r U a c t u a n d o ya

en IR i u • En e l l a la i n v a r i a n c i a de u n a c i e r t a e c u a c i ó n .x,y ,y , y "

y[) - o

es decir la p r o p i e d a d de que _íl (x* , y - , y ' * ,y" *) = n , donde * indj_

ca v a r i a b l e s G - 1 r a n s f o r m a d a s , se traduce como invariancia de

la h i p e r s u p e r f i c i e ü = O en IR . Luego ha de ser AA.A=n.

Así que la c o n s t r u c c i ó n de todas las EDD2 invariantes

bajo G e q u i v a l e a c o n s t r u i r la h i p e r s u p e r f i c i e más general dekIR que sea G-invaria

el a p é n d i c e , a saber:

IR que sea G - i n v a r i a n t e . El m é t o d o es análogo al expuesto en

a) C a l c ú l e n s e tres invariantes independientes "5 ~ $ v S

clones r e s p e c t i v a s de A fi

11 ^b) La forma general délas ED02 buscadas es T{^\ v S r ~%¿) ~ O

F a r b i t r a r i a .

N o t a 1: El c á l c u l o de los t r e s i n v a r i a n t e s p u e d e h a c e r s e e q u i -

v a l e n t e m e n t e p o r i n t e g r a c i ó n del s i s t e m a diferencial característi-

co a s o c i a d o :

N o t a 2: H a y u n a f ó r m u l a d i r e c t a p a r a "$ m u y s i m p l e . En e f e c t o

-81-

s u p o n g a m o s h a l l a d o s ya *54-r (,<-(", ) ~S - v (*."] ii'i 3 VUu -'U-v'-0-

E n t o n c e s la e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l J\.-= «ri*,* y ) — ûtx.-ix-

es i n v a r i a n t e b a j o el g r u p o e x t e n d i d o p o r q u e de h e c h o WW¡/ÍJL ~ 'IÁJL ~-Q

\'CÍI U c o n s t a n t e s .

Deriva'ndola en x o b t e n e m o s u n a e c u a c i ó n ya de 2- o r d e n :

q u e s e g u i r á s i e n d o i n v a r i a n t e bajo^t/ p o r q u e las d e r i v a d a s p a r -

c i a l e s conmutan e n t r e s í , l u e g o 4 ( v - 3 => /í(^ •= o,-Í7^ —

T e n e m o s p o r t a n t o q u e la expresión —— -5 —* *"vf? 3 + jvj L c ^ ^ t oC\

es i n v a r i a n t e y de s e g u n d o o r d e n .

P o r t a n t o p o d e m o s t o m a r c o m o s o l u c i ó n ~S de 'U^^-=0

i n d e p e n d i e n t e de "S. *S^ la e x p r e s i ó n p r e c e d e n t e .

Con e l l o c o n c l u i r e m o s q u e si u t i l i z a m o s el s i m b o l i s m o

s i g u i e n t e de d e r i v a d a s t o t a l e s

La E D 0 2 g e n e r a l q u e e s i n v a r i a n t e b a j o eí g r u p o G p r e f i j a d o

~ S - v " ^ " ) = ®' ° en f ° r m a m^s e x p l í c i t a :

Q u e d a a s í p a t e n t e la r e d u c c i ó n E D 0 2 ? E D O 1 q u e en las nue_

v a s v a r i a b l e s "S: s u f r e la e c u a c i ó n o r i g i n a l p o r m e d i o d e su

i n v a r i a n c i a b a j o G .

-82-

E j e m p 1 o s

1) y " - y y ' = 0 . L a c o n d i c i ó n 'L/L_1L - o d e i n v a r i a n c i a l l e v a al g r u p o

1 s - t ) ¿ t ) v¡ - Y * • T o m a r e m o s el s u b g r u p o G u n i p a r a m é _

t r i c o d e i n v a r i a n c i a X = 0 . S u s i s t e m a d i f e r e n c i a l a s o c i a d o e s

- x

del q u e se d e d u c e " S ^ - x ^ , "^-L- X N V y ~$\~ ^ " i " • L u e g o la fo£_

ma de ED01 r e d u c i d a a la q u e el m é t o d o U e v a la e c u a c i ó n y'uyy'=0

es la s i g u i e n t e :

c a s o p a r t i c u l a r de la f o r m a g e n é r i c a y?- - $.&,,*-O de

t o d a s las E D 0 2 i n v a r i a n t e s b a j o G, c o m o era de e s p e r a r .

2) En el e j e m p l o a n t e r i o r el s u b g r u p o ^ = 0, es d e c i r el de síste_

ma d i f e r e n c i a l a s o c i a d o

/OÍ -

0 o

c o n d u c e a ^ i ~ 1 / "^v " ^';

den r e s u l t a n t e es a h o r a :

^ 0' J

. L u e g o la e c u a c i ó n de p r i m e r o r -

3) P r o b a r q u e a d m i t e n / K - ^ "" «*í

i n v a r i a n c i a t o d a s I a s e c u a c i o n e s del tipo

c o m o g e n e r a d o r de

La e c u a c i ó n y"-xe + 1 = 0 t i e n e g r u p o trivial de i n v a r i a n c i a :

-83-

9 Un ejemplo de api icación en ED02: Thomas - Fe rm i .

Para átomos 1 ibres n e u t r o s , la ecuación de Thomas-Fermi

se reduce a resolver la ED02:

con O ^ X ^ O Ó , y condiciones de contorno y ( 0 ) = 1 , y 0») = 0 .

Vamos a buscar el grupo de invariancía de ( T F ) , que según

(16) ex i ge resolver:

— o

Vayamos aniquilando los diversos coeficientes de ese polj_

n y':

Lo<¿- du h'\ -o •=> \ - 1 ^Í^) + ¿ ^ ; .

nomio en y':

C(x)j+

•=- O -=£?

<J '3'Al tener que anularse la expresión \/x^ es preciso hacer a = 0,

b" = 2c'. Luego c ( x ) = — ^ - + oí. , ^ c o n s t a n t e .

Es decir que de momento tenemos - \}^} + <Á*\ +

F i n a l m e n t e al h a c e r c o e f i c i e n t e d e l o s t é r m i n o s s i n y 1

r e s u 1 t a :

N u e v a m e n t e al t e n e r q u e s e r c e r o e s t a e x p r e s i ó n VK,'i

h e m o s d e h a c e r s e p a r a d a m e n t e c e r o e n p r i m e r l u g a r el c o e f i c i e n -

te ¿JL -A\ =?>

El r e s t o d e l o s t é r m i n o s e x i g e d ( x ) - 0 , 1 = 0 . L u e g o el r e s u l t a -

d o f i n a l e s

que puede reescribirse haciendo A = 1*I 1

C o r r e s p o n d e al grupo de t r a s f o r m a c i o n e s :

c u y o i n v a r i a n t e e s 3 = x y. H e m o s o b t e n i d o un g r u p o d e d i l a t a c i o -

n e s t í p i c o del a n á l i s i s d i m e n s i o n a l . D e h e c h o e s t e m é t o d o g u a r -

da e s t r e c h a r e l a c i ó n c o n el a n á l i s i s d i m e n s i o n a l , y g r u p o s d e

d i l a t a c i o n e s s o n c a s i s i e m p r e a p l i c a b l e s .

De c u a l q u i e r m a n e r a el m é t o d o d e i n v a r i a n c i a es m u c h o m á s

f u e r t e q u e el s i m p l e a n á l i s i s d i m e n s i o n a l , c o m o i r e m o s v i e n d o

m á s a d e l a n t e (en el p r ó x i m o c a p í t u l o e s p e c i a l m e n t e ) .

Del s i s t e m a d i f e r e n c i a l a s o c i a d o

¿h¿ _ -di _ - d^1

"Y3 *»v e m o s q u e u = x y, v = x y 1 . D e d o n d e :

-85-

X

A s í q u e v,u s a t i s f a c e n la e c u a c i ó n o r d i n a r i a de p r i m e r o r d e n

q u e y a e s s u s c e p t i b l e d e un e s t u d i o a n a l í t i c o b a s t a n t e p r o f u n d o

q u e p e r m i t e c o n o c e r i m p o r t a n t e s d a t o s s o b r e la ( T F ) o r i g i n a l .

P a r a m á s d e t a l l e s v e r [3~] •

E n r e s u m e n , corno l o g r o f i n a l d e e s t e t i p o d e t é c n i c a s e n

E D O , p o d e m o s d e c i r q u e el c o n o c e r u n g r u p o d e i n v a r í a n c i a d e u n a

E D 0 2 n o s p e r m i t e r e d u c i r l a a u n a E D O 1 ; c o n la v e n t a j a e n o r m e q u e

e l l o s u p o n e .

V e r e m o s e n el p r ó x i m o c a p í t u l o , c u a n d o c a l c u l e m o s f n d i r e £

t á ñ e n t e y"1 ( e x t e n s i ó n d e t e r c e r o r d e n ) c ó m o a n á l o g a m e n t e el m é t o -

d o d e i n v a r i a n c i a c o n s i g u e r e d u c i r E D 0 3 > E D 0 2 .

A P E N D I C E : In t e g r a c i ó n d e e c u a c i o n e s 1 i n e a l e s d e p r i m e r o r d e n

S e a y = y ( x , , . . . , x ) . C o n s i d e r e m o s la e c u a c i ó n h o m o g é n e ai n

d o n d e p a r a e m p e z a r s u p o n d r e m o s q u e ~\- (x. x^^j no d e p e n d e n

de y .

P r o p o s i c i ó n 1: La i n t e g r a c i ó n de ( 1 ) , c u a n d o 1. no d e p e n d e de y

( j = 1 , . . . , n ) se r e d u c e a la del l l a m a d o s i s t e m a d i f e r e n c i a l c a r á £

t e r í s t i c o a s o c i a d o :

-86-

Si se c o n o c e n ( n - 1 ) s o l u c i o n e s i n d e p e n d i e n t e s "3 • (x-i , • • • »x ) = c t -

j = 1 , . . , n-1 del s i s t e m a d e ( n - 1 ) e c u a c i o n e s (2) e n t o n c e s la i n t e -

gral g e n e r a l de (1) e s :

- t -l

c o n F a r b i t r a r i a .

D e m o s t rae i ó n :

a) V M del t i p o (3) cumpl e (l) p o r q u e :

j J 1 ^ J

pues de la definición de ^, ^¿^ - - = o .J J

b) R e c í p r o c a m e n t e si " 1 ' ^ C * - , , — / x,] v e r i f i c a ( 1 ) , e n t o n c e s e x i s t e

una r e l a c i ó n f u n c i o n a l e n t r e las f u n c i o n e s

p o r q u e al s e r p o r (a) c a d a %• s o l u c i ó n de (1) t a m b i é n , t e n d r í a -

m o s el s i s t e m a h o m o g é n e o :

S i s t e m a h o m o g é n e o d e n e c u a c i o n e s p a r a . n i n c ó g n i t a s

A s í q u e p a r a q u e a d m i t a , c o m o s u p o n e m o s , s o l u c i o n e s d i s t i n t a s de

la t r i v i a l , ha d e s e r (condición n e c e s a r i a y s u f i c i e n t e ) el dete_r_

m i n a n t e :

-87-

r O

L u e g o y s a t i s f a c e (3) p a r a a l g u n a F . (C.Q..D.)

En el c a s o g e n e r a l en q u e n o s p l a n t e a m o s la e c u a c i ó n no

h o m o g é n e a

s i e n d o a h o r a a d e m á s t a n t o ")>- c o m o vy f u n c i o n e s de x , , . . , x , y,

lo q u e se h a c e es p a s a r el c a s o a n t e r i o r p o r un s e n c i l l o t r u c o .

P r o p o s i c i ó n 2 : La i n t e g r a c i ó n de ( 4 ) , c o n 1- ... x. ~<\ v) u ...x \

se r e d u c e a la del s i s t e m a d i f e r e n c i a l a s o c i a d o ^

h

Es d e c i r q u e c o n o c i d a s n f u n c i o n e s i n d e p e n d i e n t e s "$» (.x-1;--,Xv,V)

s o l u c i o n e s d e ( 5 ) , la i n t e g r a l g e n e r a l d e (4) v i e n e d a d a i m p l i -

c T f a m e n te po r

( 4\

c o n F a r b i t r a r i a .

D e m o s t r a c i ó n : D e f i n i m o s una n u e v a f u n c i ó n ¿ - •£ (x ... x v

Como *d - -(—,,.) ( ~ ) la (4) se convierte en ¿ I . g í y í ^

ya del tipo de la Proposición 1. (C.Q..D.)

E j e m p l o i : Calcular la integral general de la ecuación

- O

S o l u c i ó n : El s i s t e m a asociado

-88-

c o n d u c e a ""S< * v -? - x ¿i*"* • L u e g o la i n t e g r a l general de

l a e c u a c i ó n d a d a e s

E j e m p l o 2: C a l c u l a r la i n t e g r a l g e n e r a l de la e c u a c i ó n

El s i s t e m a a s o c i a d o es a h o r a :

¿^

q u e c o n d u c e a S ^ ^ ^ S ^^^-^^, ~S^, - e *

De m a n e r a q u e la s o l u c i ó n g e n e r a l e s :

F i n a l m e n t e r e c o r d e m o s el c o n t e n i d o del m é t o d o de L a g r a n g e -

- C h a r p i t de i n t e g r a c i ó n de e c u a c i o n e s en d e r i v a d a s p a r c i a l e s de

p r i m e r o r d e n .

P r o p o s i c i ó n 3 ( L a g r a n g e - C h a r p i t ) : C o n s i d e r e m o s la s i g u i e n t e

e c u a c i ó n de p r i m e r o r d e n para y = y ( x . , x 7 ) , con is = zA ti- = (~^X .I 'Dx1 ' 9 x t

La s o l u c i ó n g e n e r a l se o b t i e n e a s í :

a) C a l c ú l e s e una integral del s i s t e m a d i f e r e n c i a l c a r a c t e r T s t j _

c o :

-89-

b) Esa integral, digamos g(x. ,x ,y , p , q)=c , ct-, se usa junto con

(7) para despejar p,q:

nL \ V "Hg ,

c) Métase (8) en la diferencial i^-T 1 ¿**\ •+ %, $xx .Se puede

probar que la diferencial resultante es exacta.

d) La solución general de

es la s o l u c i ó n g e n e r a l d e ( 7 ) .

E j e m p 1 o : f •=. x . p -q = 0 . D e su s i s t e m a a s o c i a d o s a l e -3- l u e g o q=c.

2D e f í x - p - q = 0 , q = c s e s i g u e q u e

P- JZ- ,V x

Luego ^ - T ^ , - S ^ - ,-, - v, =_ ^ , c ^ __ o ^ ^ ^ ^ . ( _ +

- 9 0 -

C A P I T U L O I I : E D P 2 I N V A R I A N T E S B A J O G R U P O S D E T R A N S F O R M A C I O N E S

( D O S V A R I A B L E S )

1 1 . 1 : F o r m u l a c i d ' n y c o n s e c u e n c i a s d e la i n v a r i a n c i a .

No t a : T r a b a j a r e m o s d u r a n t e g r a n p a r t e d e e s t e c a p í t u l o c o n d o s

v a r i a b l e s x, t t a n s ó l o , p o r s e n c i l l e z .

C o n s i d e r e m o s u n g r u p o d e t r a n s f o r m a c i o n e s G d e f i n i d o p o r

ó b i e n e n v e r s i ó n i n f i n i t e s i m a l

. ^ r , t , o

c o n g e n e r a d o r / \ X - = T J L * . " £ J L + VI

P a r a f o r m u l a r la i n v a r i a n c i a de EDP de 2- o r d e n n e c e s i t a '

r e m o s c a l c u l a r p r e v i a m e n t e la e x t e n s i ó n de la a c c i ó n de G h a s t a

s e g u n d o o r d e n , es d e c i r , en un e s p a c i o {R x t

con g e n e r a d o r e x t e n d i d o AA. . ' "*' **

La e x t e n s i ó n se c a l c u l a sin d i f i c u l t a d , a u n q u e r e s u l t a

a l g o t e d i o s o . A t í t u l o de e j e m p l o c a l c u l a m o s vi, ,, con

N e c e s i t a r e m o s las e x p r e s i o n e s a u x i l i a r e s :

A n á l o g a m e n t e

-91-

Luego * u~* — 1L f

y e l c o r c h e t e e s e x a c t a m e n t e v) / \ . P u e s b i e n c á l c u l o s a n á l o g o s

c o n d u c e n a l a e x p r e s i ó n

siendo respectivamente:

"* - C*. Ktt

- 9 2 -

D e f i n i c i ó n :

D i r e m o s q u e ( 1 8 ) e s un g r u p o d e i n v a r i a n c i a a d m i s i b l e pa

ra la e c u a c i ó n

.siOSt,u;ux;wt, w ^ WKt/ u ^ ) ^ (21)

siseverifica

supues to/l = 0.

P o r a b r e v i a r d i r e m o s q u e _ÍL=0 es i n v a r i a n t e b a j o G, p e r o

n o es m u y c o r r e c t a * la f r a s e . E n e f e c t o , al e s t a r it e n \ T \/)

c o m o v a r i a b l e , el g r u p o d e p e n d e d e q u é u s e t o m e n . Y a su v e z l a s

u c a p a c e s d e v e r i f i c a r ( 2 2 ) d e p e n d e n d e q u e ~%,~£,yl s e el i j a n . E n

p r i n c i p i o ( 2 2 ) es u n a c o n d i c i ó n s o b r e ~? "s/ vj oc a l a v e z . C a b e

e s p e r a r c o m o s i t u a c i ó n g e n é r i c a q u e h a y a a l g u n a s f u n c i o n e s ~j-c,y

q u e h a g a n AA J L ~ O p a r a a l g u n a c o l e c c i ó n p a r t i c u l a r d e u s o l u c i o -

n e s d e -i = o .

A h o r a b i e n , si u n a s o l u c i ó n c o n c r e t a tt~ Q (*, ¿ J d e _í L ~ o

la t r a n s f o r m a m o s b a j o ~\ , t, *) d a d a s en l a s q u e s e m e t e 14 - iS » ten_

d r e m o s d e u n a p a r t e a n i v e l i n f i n i t e s i m a l :

oír)

D i r e m o s q u e ( 1 8 ) e s u n g r u p o d e i n v a r i a n c i a a d m i s i b l e p a r a

U - 6^,t)s i w ^ — 9 (•*•% t%) • L o c u a l e n p r i m e r o r d e n s i g n i f i c a , a l a

v i s t a d e ( 2 3 ) q u e :

v/ t

( P o d r í a d e c i r s e q u e (2h) a s e g u r a q u e G es la 0- e x t e n s i ó n d el

g r u p o y t d e IR \ t a I R ^ ) .

-93-

N ó t e s e p o r t a n t o q u e c o n e s t a n u e v a c o n d i c i ó n s e p r e t e n d e e s c o -

g e r u n a s c i e r t a s . s o l u c i o n e s u = 0(x,b) d e ( 2 1 ) , c o n c r e t a m e n t e a q u e

l i a s c u y a f o r m a f u n c i o n a l e s c o n s e r v a d a p o r la a c c i ó n d e G . 0 si

s e p r e f i e r e , a q u e l l a s s u p e r f i c i e s \^-9^,t) d e IR . s o l u c i ó np K x , t , u

d e -fl = 0 , t a l e s q u e e n el e s p a c i o t r a n s f o r m a d o 1RX*- * b a j o

V ^ / ^ ^ t ) , T(x,t,6i*,t)) , Y^.t.&í^t)) \ q u e d a n e x a c t a m e n t e i g u a l e s3a c o m o e r a n e n IRx , t ,u

T e n e m o s p o r u n l a d o e n t o n c e s la e c u a c i ó n c o n d i c i o n a n t e ( 2 2 )

e c u a c i ó n s o b r e 3'"2:'v? y c'ue u n a v e z s a t i s f e c h a a s e g u r a q u e la

h i p e r s u p e r f i c i e d e IR _ / L [%ti/ v¡ .... / •) = o d e t o d a s l a s s o l u c i o n e s

d e S i = 0 , e s i n v a r i a n t e b a j o G s i e m p r e q u e la u q u e f i g u r a e n

l . ^ v t ' A "£{-,-, *•) ¡Vi'/-/u) s e a s o l u c i ó n d e / L = 0 . Y p o r o t r o l a d o [2h) s e

o c u p a d e s e l e c c i o n a r a q u e l l a s u 3 _ / l ( . t ^ ^ " C q u e vistas c o m o s u -•5

p e r f i c i e s \A -= 6 (••*, fc) en IR s o n i n v a r i a n t e s b a j o &\6).' x , t , u

A u n q u e ( 2 2 ) y ( 2 4 ) s o n a m b a s e c u a c i o n e s c o n d i c i o n a n t e s p a -

ra 3 / x ' > ? u s i m u l t á n e a m e n t e , el m é t o d o d e i n v a r i a n c i a c o n s is_

te e n i n t e r p r e t a r ( 2 2 ) c o m o u n a c o n d i c i ó n s o b r e ~\/~c¡ YI en el

s e n t i d o d e q u e s e a s a t i s f e c h a i d é n t i c a m e n t e en x , t y t a m b i é n e n \A.

E s t o ú l t i m o s i g n i f i c a q u e d a m o s p o r i n d e p e n d i e n t e s a p r i o r i t o d a s

las d e r i v a d a s \A>y u t u * x ... y u U U T - U \A \A d e \A. , c o n la

ú n i c a 1 i g a d u ra _Uí=0 .

U n a v e z c o n s e g u i d o a l g ú n t r i o "J (*,t,uii T í*, t,u.) v) {^tî d e f u n -

c i o n e s t a l e s q u e AÁJl~ ° i r e m o s a (2h) q u e y a c o n "f -c d a d a s

5e c o n v e r t í rá e n u n a e c u a c i ó n p a r a u .

L a e c u a c i ó n ( 2 4 ) , q u a s i - l i n e a l d e p r i m e r o r d e n , t i e n e p o r

s o l u c i ó n g e n e r a l la q u e r e s u l t a ( v e r A p é n d i c e ) d e i n t e g r a r el lla_

m a d o s i s t e m a d i f e r e n c i a l c a r a c t e r í s t i c o a s o c i a d o a e l l a , e s d e c i r

Í£* lt JU

S i ~% z, n o d e p e n d e t \ d e 0 , c o s a r e l a t i v a m e n t e f r e c u e n t e p o r d e s -

g r a c i a , el s i s t e m a ( 2 5 ) p e r m i t e o b t e n e r d e s u s d o s p r i m e r o s t é r -

m i n o s u n a f u n c i ó n " ^ S ( x , t ) q u e es el i n v a r i a n t e d e G en el p l a n o

( x , t ) e n el s e n t i d o d e q u e las c u r v a s 3 ( ) < ) t ) = c t - s o n } a s p r o y e c -2

- c i o n e s s o b r e IR ¿ e \as c u r v a s c a r a c t e r í s t i c a s d e ( 2 5 ) .

Y la integración de cualquier otro par de (25) conduce

a una cierta dependencia de u respecto de x , t , ^ :

Luego <9-^l£~Y* t T(t)) > c'ue â â v a r ¡ a c ' ° n de. u a]m o v e r n o s en el p l a n o x , t .

Se d i c e q u e 3 es la v a r i a b l e de s i m i l a r í d a d y q u e

£'•=. C£Y*, £, Fff i) es la forma de s í m í l a r i d a d de la s o l u c i ó n u.

C l a r o q u e aún no e s t á a s e g u r a d o que u sea s o l u c i ó n de J/ = O.

Para q u e lo sea es n e c e s a r i o q u e ~O-y^r{Y-,tlf(^))-=''0 " 1° cual

c o n d u c e a una e c u a c i ó n q u e d e b e s a t i s f a c e r la F(S) para que u

sea s o l u c i ó n de ^ i ~ ° , d i g a m o s

E(F) = 0

e c u a c i ó n o r d i n a r i a ya para la f u n c i ó n de una sola v a r i a b l e F ("S)

La c u e s t i ó n de p o r q u é x,t a p a r e c í a n e x p l í c i t a s en \F de m a n e r a

tal q u e r e s u l t a una e c u a c i ó n pura en su c o n g l o m e r a d o S, se con_

testa a u t o m á t i c a m e n t e sin más que s e ñ a l a r q u e en las c o o r d e n a -

das c a n ó n i c a s del g r u p o en Í R ^ , q u e son ( r e c o r d a r 1.2) precj.

s á m e n t e * S , $ se p r o d u c e el m i s m o f e n ó m e n o de r e d u c c i ó n q u e

ya se e x p l i c ó en Si. Q u e d a s ó l o la c o o r d e n a d a e s e n c i a l ^ que

p a r a m e t r i z a el e s p a c i o de t r a y e c t o r i a s y d e s a p a r e c e su " o r t o g £

n a l " q u e es la t r a s l a d a d a por el g r u p o .

D e b e q u e d a r bien c l a r o q u e la n o c i ó n de i n v a r i a n c i a a q u e

a l u d i m o s c o n s t a n t e m e n t e no es i n t r í n s e c a a la e c u a c i ó n d i = 0 ,

s i n o q u e al ser las t r a n s f o r m a c i o n e s del g r u p o f u n c i o n e s de u,

el m é t o d o d a r á c o m o f r u t o , p r e s u m i b l e m e n t e , el h a l l a z g o s i m u l -

t á n e o e i n terre 1 ac i o n a d o d e :

a) F u n c i o n e s ~\llziY] d e d u c i d a s de ,4/jC =0

b) F o r m a s de s i m i l a r i d a d para u= # ( x , t ) d e d u c i d a s de (24) ó (25)

Sk-

Y la i n t e g r a c i ó n de c u a l q u i e r o t r o par de (25) c o n d u c e

a una c i e r t a d e p e n d e n c i a de u r e s p e c t o de x , t , ^ :

L u e g o Q '=<^P~(^/1, T(t) ) > c'ue áa la v a r i a c i ó n de. u al

m o v e r n o s en el p l a n o x , t .

S e d i c e q u e 3 e s la v a r i a b l e d e s i m i l a r i d a d y q u e

Q •=. t^fr(x/t/f(-ej) es la f o r m a d e s i m i l a r i d a d d e la s o l u c i ó n u .

C l a r o q u e a ú n no e s t a a s e g u r a d o q u e u s e a s o l u c i ó n de *i¿ = Í?.

P a r a q u e lo s e a e s n e c e s a r i o q u e _/Z í^r"('x/í, ffá)) - o ' lo c u a l

c o n d u c e a u n a e c u a c i ó n q u e d e b e s a t i s f a c e r la F ( 5 ) p a r a q u e u

s e a s o l u c i ó n d e , i l ~ o , d i g a m o s

E ( F ) = 0

e c u a c i ó n o r d i n a r i a y a p a r a la f u n c i ó n d e u n a s o l a v a r i a b l e F Í~S.)

La c u e s t i ó n d e p o r q u é x , t a p a r e c í a n e x p l í c i t a s e n \r d e m a n e r a

tal q u e r e s u l t a u n a e c u a c i ó n p u r a en su c o n g l o m e r a d o ~5, s e con_

t e s t a a u t o m á t i c a m e n t e s i n m á s q u e s e ñ a l a r q u e e n l a s c o o r d e n a -

d a s c a n ó n i c a s del g r u p o e n lR^t , q u e s o n ( r e c o r d a r 1 . 2 ) prec_i_

s á m e n t e V S / 2> s e p r o d u c e el m i s m o f e n ó m e n o d e r e d u c c i ó n q u e

y a s e e x p l i c ó en £ l . Q u e d a s ó l o la c o o r d e n a d a e s e n c i a l ^ q u e

p a r a m e t r i z a el e s p a c i o d e t r a y e c t o r i a s y d e s a p a r e c e su " o r t o g £

n a l " q u e es la t r a s l a d a d a p o r el g r u p o .

D e b e q u e d a r b i e n c l a r o q u e la n o c i ó n d e i n v a r i a n c i a a q u e

a l u d i m o s c o n s t a n t e m e n t e n o e s i n t r í n s e c a a la e c u a c i ó n A L = 0 ,

s i n o q u e al s e r las t r a n s f o r m a c i o n e s del g r u p o f u n c i o n e s d e u ,

el m é t o d o d a r á c o m o f r u t o , p r e s u m i b l e m e n t e , el h a l l a z g o s i m u l -

t á n e o e i n t e r e 1 a c i o n a d o d e :

a ) F u n c i o n e s l r , y d e d u c i d a s d e ,4{Si = 0

b ) F o r m a s d e s i m i l a r i d a d p a r a u = # ( x , t ) d e d u c i d a s d e {2k) ó ( 2 5 )

-95-

A m b a s c o s a s se d e t e r m i n a n m u t u a m e n t e s i e n d o p o r a s í

d e c i r l a s s o l u c i o n e s d e s i m i l a r i d a d f i n a l m e n t e c o n s t r u i d a s a q u e

l i a s Q t a l e s q u e a u t o s o p o r t a n la i n v a r í a n c i a b a j o T ^ - f ¿j-> z^(xt'\

F i n a l m e n t e v e m o s d e h a c e r n o t a r q u e c u a n d o T('x,í, &) / r7x,¿, £ )

d e p e n d a n d e ^ , el p r o c e s o d e i n t e g r a c i ó n d e ( 2 5 ) c o n d u c e m á s

b i e n a f o r m a s i m p l í c i t a s . P e r o e s t o s e r á c l a r o al h a c e r e j e m p l o s .

N o m e r e c e la p e n a i n s i s t i r a h o r a .

T a m b i é n e v i t a m o s e n e s t e p u n t o t o d o c o m e n t a r i o s o b r e la

t á c t i c a a s e g u i r p a r a a n i q u i l a r l o s d i v e r s o s c o e f i c i e n t e s e n

AA-ÍL = 0 d e t é r m i n o s i n d e p e n d i e n t e s , p u e s s ó l o c o n el m a n e j o con_

c r e t o d e e j e m p l o s s e p u e d e l l e g a r a a s i m i l a r c o r r e c t a m e n t e .

1 1 . 2 Un e j e m p l o l i n e a l : la e c u a c i ó n del c a l o r

A u n q u e n u e s t r o i n t e r é s p r i m o r d i a l s e c e n t r a e n l a s e c u a -

c i o n e s n o l i n e a l e s , n o e s t a r á d e m á s c o m e n z a r p o r un e j e m p l o

s e n c i l l o l i n e a l . , al o b j e t o d e a p r e n d e r a m a n e j a r el m é t o d o . E s _

p e c i a l m e n t e la t é c n i c a d e a n i q u i l a c i ó n d e c o e f i c i e n t e s e n /U

q u e es d o n d e r e s i d e el m e o l l o d e la d i f i c u l t a d .

C o n s i d e r e m o s p o r t a n t o la e c u a c i ó n del c a l o r

Su i n v a r i a n c i a r e q u i e r e /í/fjl ~ V7,. - 7 ~ o q u e a la

v i s t a d e ( 2 0 ) s i g n i f i c a :

i d é n t i c a m e n t e e n x , t . E s t a e x p r e s i ó n s e ha o b t e n i d o t r a s s u s t i -

t u i r u p o r u e n d o n d e a p a r e c í a u , p u e s h e m o s d e t e n e r e nX X t XX

-96-

c u e n t a q u e ~í¿ ^ ^t- k^^-=- O • P r o c e d a m o s a a n i q u i l a r c o e f i c i e n -

t e s d e t é r m i n o s i n d e p e n d i e n t e s . C u a n t a s m e n o s e c u a c i o n e s d e a n j _

q u i l a c i ó n e s c r i b a m o s m a y o r i n f o r m a c i ó n d e d u c i r e m o s d e la i n v a -

r i a n c i a , ' p u e s l a s p o s i b i l i d a d e s p a r a T r ^ s e r á n m á s a m p l i a s . D e

a h í q u e a u n q u e e n p r i n c i p i o s e r í a s u f i c i e n t e e x i g i r a n u l a c i ó n

d e t o d o s y c a d a u n o d e l o s c o e f i c i e n t e s d e ( 2 6 ) , e l l o n o s l l e -

v a r í a a q u í y e n c a s i t o d o s l o s c a s o s a la s o l u c i ó n t r i v i a l

s i n i n t e r é s .

D e a h í q u e o p t e m o s p o r la m a y o r a g r u p a c i ó n d e t é r m i n o s e n

( 2 6 ) q u e s e a p o s i b l e . Y si o b s e r v a m o s q u e "t ~z. vo a s í c o m o

s u s d e r i v a d a s I y i \ 7 *7 s ó l o p u e d e n d e p e n d e r d e

x , t , u p e r o n o d e u ,x , . . . ( r e c u é r d e s e q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o

x , t , u c o m o v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s e n e s a d e r i v a c i ó n ! ) , f á c i l

e s c o n v e n c e r s e d e q u e la a n i q u i l a c i ó n d e b e h a c e r s e a g r u p a n d o l o s

t é r m i n o s q u e v a y a n s i n d e r i v a d a s d e u p o r u n a p a r t e , los q u e v a

y a n c o n s ó l o la d e r i v a d a u p o r o t r a , e c t . . .X

1 _¡M. u x u-vi - u \ ^ ^ _ , Y y a el c o e f i c i e n t e d e u ^ u n o d i c e

~~ " n a d a n u e v o .

; | t ^ ^ - o ^ > " ? - j ( x , t ) . El d e u n o la i n f o r m a c i ó n a d i c i o n a l .

u - o -=>

U - O -=2)

N o s . h a l l a m o s a n t e u n a s i t u a c i ó n f r e c u e n t e e n E D P l i n e a l e s

e n la q u e el c á l c u l o d e a l g u n o s 3 / ^ ' V s ° 1 u c i ó n d e /UM--0 e x i -

g e s a b e r d e a n t e m a n o a l g u n a s o l u c i ó n d e la p r o p i a E D P 2 . N o o b s -

t a n t e , y a ú n a d v i r t i e n d o q u e n o o c u r r e t a l c í r c u l o v i c i o s o e n

l a s n o l i n e a l e s , l a s i t u a c i ó n e s s a l v a b l e si o p t a m o s p o r la s o -

l u c i ó n t r i v i a l c o m o ú n i c o c o n o c i m i e n t o a p a r t i r d e la e c u a c i ó n

d e l c a l o r . T r a b a j a r e m o s p u e s c o n el s u b g r u p o d e i n v a r í a n c i a d e -

-97-

terrninado por g = 0.

De ~t' ^ ¿ > * d e d u c i m o s "^ — i x ' í í ) + / w | t ) . l u e g o - ^ _ o

por lo que -\2f«--"ijt •==> Yr i

P e r o d e ft. — (•„ - © c o n c l u í m o s x h i - c ^ W ' ,? i- _ T " E s d e c i r P - ~~c''

,\ c o n s t a n t e .

A s í p u e s , s u p u e s t a la e l e c c i ó n g = 0 , s e l l e g a al s i g u i e n

t e g r u p o d e i n v a r i a n c i a p a r a la e c u a c i ó n d e l c a l o r

Es un grupo con seis parámetros independientes. Sus gene-

radores infinitesimales son:

A L - ^ t , &,<> -- -t-

q u e c i e r r a n un á l g e b r a d e L i e de s e i s d i m e n s i o n e s f á c i l d e h a -

ce r e x p l í c i t a , p e r o q u e n o i n t e r e s a e s p e c i a l m e n t e .

G r u p o s d i v e r s o s d e e c u a c i o n e s m u y d i s t i n t o s p u e d e n c o n d u -

c i r al m i s m o á l g e b r a d e L i e , sin q u e p o r e l l o los r e s u l t a d o s

del m é t o d o s e a n re 1 a c i o n a b 1 es e n t r e s í .

V a m o s a i n t e g r a r el s i s t e m a d i f e r e n c i a l ••- = — — -- — £ _ 13 * r

e n el c a s o g e n é r i c o A ¡i c< Y • E s f á c i l o b t e n e r el s i g u i e n t e

r e s u l t a d o d e l a s d o s p r i m e r a s :

- 9 8 -

Y d e l a s d o s ú l t i m a s s e o b t i e n e la f o r m a d e s i m i l a r í d a d

c o n c = ~

L a f u n c i ó n F ( . ) , q u e t o d a v í a n o h a s i d o f i j a d a , h a d e c u m

p l i r u n a c i e r t a e c u a c i ó n si q u e r e m o s q u e la u q u e d e f i n e s e a so_

l u c i ó n d e la e c u a c i ó n d e l c a l o r . M e t i e n d o e n u t " U x x = 0 la u d e

s i m i l a r i d a d o b t e n i d a ( 2 8 ) r e s u l t a q u e u s e r á s o l u c i ó n d e la e c u a _

c i ó n d e l c a l o r s i e m p r e q u e F = F ( ^ ) s e a s o l u c i ó n d e

con

¡F v i e n e d e t e r m i n a d a p o r u n a E D 0 2 ! E s u n r a s g o g e n e r a l

d e l m é t o d o al a p l i c a r l o a e c u a c i o n e s e n d e r i v a d a s p a r c i a l e s q u e

p a r t i e n d o d e u n a e c u a c i ó n p a r a u q u e s e a E D P e n n v a r i a b l e s , la

F q u e c a r a c t e r i z a l a s s o l u c i o n e s d e s i m i l a r i d a d s a t i s f a c e u n a

E D P e n n - i . v a r i a b l e s , y e n g e n e r a l d e l m i s m o o r d e n d e d e r i v a -

c i ó n q u e la o r i g i n a l . U n a d e m o s t r a e i ó n - m á s f o r m a l d e e s t a s r e -

d u c c i o n e s (n v a r i a b l e s > ( n - 1 ) v a r i a b l e s ) p u e d e v e r s e e n [3].

E n el e j e m p l o q u e n o s o c u p a ( 2 9 ) p u e d e r e d u c i r s e a u n a

h i p e r g e o m é t r i c a . c o n f 1 u e n t e . P e r o f u e r a y a d e e s t a " c a s u a l i d a d "

d e l e j e m p l o p a r t i c u l a r , e s c i e r t o q u e el p a s a r p o r e j e m p l o d e

u n a E D P e n d o s v a r i a b l e s a u n a E D O d e i g u a l o r d e n d e d e r i v a c i ó n

e s u n p a s o i m p o r t a n t e . M u c h a s v e c e s la E D O o b t e n i d a s s e r á t r a -

t a b l e ó i n c l u s o r e s o l u b l e a n a l í t i c a m e n t e , c o n l o q u e s e h a b r á n

c o n s t r u i d o u n a s c i e r t a s f a m i l i a s d e s o l u c i o n e s d e la E D P . E n

r e s u m e n e s c u e t o :

V e n t a j a d e l m é t o d o ' : d a s o l u c i o n e s e x p l í . c i t a s si u n o s a b e

r e s o l v e r la e c u a c i ó n r e d u c i d a ( E D O si p a r t i m o s d e 2 v a r i a b l e s )

D e s v e n t a j a : el p r o p i o m é t o d o , v i a el g r u p o , e l i g e q u é s o -

l u c i o n e s p e r m i t e o b t e n e r y c u á l e s n o .

- 99 -

P e r o v a y a m o s ya a n u e s t r o e j e m p l o . T o m e m o s el c a s o s e n c i -

l l o •=<. = A> = X - 0 , q u e c o r r e s p o n d e al s u b g r u p o t r i pa r a m é t r i co de

p a r á m e t r o s o £, X.

El s i s t e m a e s a h o r a r\ — = -r- = • De él se d e d u

c e S = t > u = F(t)^ 4vi't**') _ M e t i d a e s t a u en la e c u a c i ó n del

c a l o r , v e m o s q u e es s o l u c i ó n si F s a t i s f a c e la E D O :

F- + —-£ flí- -O

q u e r e s u e l t a p a r a X = 0 p o r e j e m p l o , n o s d a :

- c o n s t a n t e p

L a f o r m a d e e s t a s o l u c i ó n o b t e n i d a h a c e p e n s a r q u e e s p o -

s i b l e d e d u c i r p o r e l m é t o d o d e i n v a r i a n c i a l a s o l u c i ó n f u n d a -o

1 - x /ktm e n t a l . e . P u e s b i e n v a m o s a m o s t r a r q u e es c i e r t o

i n c l u s o t e n i e n d o e n c u e n t a c o n d i c i ó n d e c o n t o r n o . T o m e m o s el

s i s t e m a s i g u i e n t e :

u - u = 0t xx

u(x,0) = í(x

q u e r e p r e s e n t a c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s e n t = 0 e n u n a b a r r a in-

f i n i t a c o n u n a f u e n t e p u n t u a l s i t u a d a en x = 0 , en el i n s t a n t e

t = 0 .

¿Q.ué s u b g r u p o del g r u p o ( 2 7 ) d e j a i n v a r i a n t e la c o n d i -

c i ó n de c o n t o r n o ? . V e a m o s e n p r i m e r l u g a r c ó m o d e j a m o s i n v a -

r i a n t e la c u r v a i n i c i a l t = 0 . Ha d e s e r t" = t + £ £ + 0 ( £ . 2 ) = 0

c u a n d o t = 0 . L u e g o T.(0) = 0 . E s t o n o s o b l i g a a h a c e r en ( 2 7 )

el p a r á m e t r o c ¿ = 0 ,

P a r a q u e u ( x " , 0 ) = o ( x * ) , c o m o en p r i m e r o r d e n e s :

u ( x * , 0 ) = u ( x , 0 ) + £ f ( x , 0 ) u ( x , 0 ) + 0 ( Í x )

í(x") = í(x) + £)(x,0) V (x) + Q{€- )

-100-

h a b r á de ser -^(x, o) Jo--, — l(*,o) $" (*"! que se s a t i s f a c e

si " l ¿¡ c) - O y a d e m á s £ (,o ¡ > ) - - ^ L", o") • L u e g o hemos de ha'

cer £ - ~ o y A - - V • Con e l l o q u e d a el s u b g r u p o :

El s u b g r u p o o c o n d u c e al s i s t e m a

h< Je -iLX U

q u e t i e n e v a r i a b l e d e s i m i l a r i d a d ~ 5 - = t , c o n f o r m a d e s i m i l a r i

d a d d e l a s s o l u c i o n e s a s o c i a d a s d a d a p o r :

J u g a n d o a h o r a c o n el s u b g r u p o A , l l e g a m o s al s i s t e m aA

c o n i n v a r i a n t e " ^= 5 ^ y c o n f o r m a d e s i m i l a r i d a d :

C o m p a r a n d o a m b a s f o r m a s d e s i m i l a r i d a d e n t r e s í o b t e n e m o s

q u e s ó l o p u e d e s a t i s f a c e r s e si a m b o s m i e m b r o s s o n i g u a l a u n a

c o n s t a n t e c ( c = V r — p o r q u e u ( x , 0 ) = ^ ( x ) ) . A s í q u e n o s v e m o s

-101

c o n d u c i d o s a la s o l u c i ó n

f u n d a m e n t a l d e la e c u a c i ó n del c a l o r .

E j e r c i c i o : l l e g a r al m i s m o r e s u l t a d o c o n el p a r d e p a r á m e t r o s , ^ X.

C o m e n t a r i o : N a t u r a l m e n t e el h e c h o d e q u e p o r el m é t o d o d e ¡nva_

r i a n c í a se p u e d e d e d u c i r la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l es un l o g r o

m u y f u e r t e . P e r o ni e x i s t e tal s o l u c i ó n p r i v i l e g i a d a en las ecua_

c i o n e s n o l i n e a l e s , ni d e b e el l e c t o r d e j a r s e e n g a ñ a r p o r lo e s -

p e c t a c u l a r del r e s u l t a d o en el e j e m p l o p r e c e d e n t e . En g e n e r a l s e

a l c a n z a n s ó l o f a m i l i a s m u y p a r t i c u l a r e s d e s o l u c i o n e s . C l a r o q u e

p a r a u n a E D P no l i n e a l no es n a d a d e s p r e c i a b l e tal o b j e t i v o , y

t a n t o m e n o s c u a n t o m á s a m p l i a s s e a n las f a m i l i a s d e s o l u c i o n e s

a l c a n z a d a s , e s d e c i r s e g ú n s e a d e " g r a n d e " el g r u p o d e i n v a r i a n -

c í a ' .

O t r a o b s e r v a c i ó n - p e r t i n e n t e e s la d e q u e a u n q u e h e m o s m a -

n e j a d o c o n d i c i ó n d e c o n t o r n o e n e s t a o c a s i ó n , y a s ó l o n o s p r e o -

c u p a r e m o s d e s d e M I . k e n a d e l a n t e d e la p r o p i a E D P , s i e n d o p o c o

t r a s p a r e n t e la p o s i b i l i d a d , e n el c a s o g e n e r a l , d e a c o p l a r solu_

c i o n e s d e s i m i l a r i d a d c o n c o n d i c i o n e s d e c o n t o r n o p r e f i j a d a s .

N o o b s t a n t e , • y- pa ra d e j a r b i e n p a t e n t e la p o t e n c i a del mé_

t o d o d e i n v a r i a n c i a é n el c a s o d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s q u e e s

d o n d e u n o p u e d e c o n t r a s t a r s u s r e s u l t a d o s c o n u n a t e o r í a c o h e -

r e n t e , p a s a m o s a e x p o n e r u n a d e d u c c i ó n m a s s i s t e m á t i c a d e la s o

l u c i ó n f u n d a m e n t a l . D e c i m o s m á s s i s t e m á t i c a p o r q u e el " t r u c o "

e m p l e a d o a n t e s d e c o m p a r a r d o s f o r m a s d e s i m i 1 a r i d a d funciona m u y

r a r a m e n t e , y a q u e e n g e n e r a l lo q u e o c u r r i r á s e r a q u e n o es p o -

s i b l e s e p a r a r la e c u a c i ó n d e c o m p a r a c i ó n en d o s m i e m b r o s e x p r e -

s a b l e s c a d a u n o e x a c t a m e n t e e n u n a v a r i a b l e d e 1 s i m i l a r i d a d . En

m u c h o s e j e m p l o s d e l o s q u e s e g u i r á n p u e d e el l e c t o r c o n v e n c e r s e

d e e l l o , s o b r e t o d o e n l o s n o l i n e a l e s .

C o n s i d e r e m o s la e c u a c i ó n

- 1 0 2 -

d o n d e P = d e n s ¡ d a d , 0 = c a l o r c e d i d o p o r u n i d a d d e á r e a , k = c o n d u c - .

t i v i d a d , c = c a l o r e s p e c í f i c o , u = t e m p e r a t u r a . E s la e c u a c i ó n d e l

c a l o r c o n u n a f u e n t e l o c a l i z a d a e n x = 0 p a r a t = 0 ( b a r r a i n f i n i t a

c o n f u e n t e e n el o r i g e n ) .

H a r e m o s p o r s i m p l i f i c a r :\ -r U - P - c - i.

Un a n á l i s i s a n á l o g o al a n t e r i o r c o n _¿' L o;^ - wx - j ¡x¡ ¿U; , c o n d u c e

a la c o n d i c i ó n d e i n v a r i a n c i a

Sí J C - O

El g r u p o s o l u c i ó n e s el s i g u i e n t e :

Grupo uniparamétrico de sistema asociado -=. —^— -= v ==>x z t " °*

^"j|r -> ^ = y= f o ) . Para que u satisfaga (24) ha de ser F solu-

ción de — // „ „ - ! o T/- f Z^ r <• t f = o .

Una solución posible es T(~5) "=• & q u e conduce a la so-

lución ^(fundamental) de ( 3 0 ) .

1 1 . 3 ¿ G r u p o s d e i n v a r i a n c i a d e d i m e n s i ó n i n f i n i t a ?

La a p a r i c i ó n d e la f u n c i ó n g en el e j e m p l o a n t e r i o r p a r e -

c e a b r i r la p o s i b i l i d a d d e g r u p o s d e i n v a r i a n c i a d e e c u a c i o n e s

q u e t e n g a n i n f i n i t o s p a r á m e t r o s i n d e p e n d i e n t e s . A h o r a v a m o s a

e x p o n e r b r e v e m e n t e o t r o e j e m p l o l i n e a l e n q u e e s f á c i l r a t i f i -

c a r e s a s o s p e c h a . S e a la e c u a c i ó n d e L a p l a c e e n d o s v a r i a b l e s ,

q u e e s c r i b i r e m o s e n p o l a r e s p o r c o m o d i d a d :

A u = uVY + 1 „ + ± u ~

U(Í9) •= lid)

S i q u e r e m o s q u e a d m i t a a l g ú n g r u p o d e i n v a r i a n c i a d e l t i p o r e s 1

t r i n g i d o :

-103-

- U + £,<=\(.^, 6

\ i

1 Q * _ Q r c /> (V, SH v O (.*> ) j

a p l i c a n d o e l m i s m o m é t o d o q u e a n t e s a A.u. = 0 s e l l e g a a q u e h a n

d e s e r :

*\ - \ OMOÍS-.U. \

A •"*" CW\ cVV>C o d^Mr- j íO t W J

N o p u e d e s o r p r e n d e r e l r e s u l t a d o a n a d i e q u e r e c u e r d e l o s r u -

d i m e n t o s d e A n á l i s i s C o m p l e j o e n u n a v a r i a b l e .

La invariancia de U('¡, &) - »l&) exige:

9) - O para preservar Y = '\ —^^-A.

á{\,$)~0 " " el soporte 0= 0 de 1 a ¿ -

\ + ?A11 &\- o " " la condición de contorno.

Cualquier R 5 *yx -FU<ll ) +• GK^-eT1" ) ^ K ^ I T ^ C ^ 1 ) verifica A ( % ) - ¿

VF,Q analíticas en una corona circular centrada en 0 que contenga

al círculo r=1. Ambas tendrán pues desarrollos Laurent en esa cu_r

va , di gamos

donde todavía tenemos en juego a ,b , n, constantes complejas

arbitrarias ( =*> infinitos p a r á m e t r o s ) . Pero para que

hemos de hacer <ytw-=-UM_ \jv\ . Así que

- 1 0 4 -

t o d a v í a c o n i n f i n i t o s p a r á m e t r o s l i b r e s .

E s f á c i l v e r q u e d e n t r o d e e s t e e n o r m e g r u p o h a y u n s u b -

g r u p o q u e c o n d u c e al c o n o c i d o n ú c l e o d e P o i s s o n . S i n i n s i s t i r

y a m á s e n lo e s p e c i a l d e e s t o s l o g r o s e n e c u a c i o n e s l i n e a l e s

f r e n t e a l o q u e s e r á t ó n i c a g e n e r a l e n n o l i n e a l e s , t i e n e s u -

f i c i e n t e i n t e r é s c o m o p a r a d e t e n e r n o s u n m o m e n t o .

T o m e m o s el c a s o p a r t i c u l a r d e a = 0 , \^\^t±i _ C o n c r é t a m e ^

te:

e s d e c i r ^ = a. A _ A - \, « ^ - o ve/**!<• El s u b g r u p o c o r r e s p o n d i e n t e

e s d e d o s p a r á m e t r o s :

A [s^\) a o 6 ( ^ * = ^ '

El s u b g r u p o c c o n d u c e al s i s t e m a d i f e r e n c i a l

e s d e c i r ~\ ~ ^ — c o n f o r m a d e s i m i l a r i d a d L{-

P a r a q u e e s t a u s e a i n v a r i a n t e b a j o el s u b g r u p o f\ h a d e s a t i s _

f a c e r l a e c u a c i ó n a s o c i a d a

S u s t i t u y e n d o y y a g r u p a n d o t é r m i n o s se l l e g a a la c o n d i c i ó n s i -

g u i e n t e p a r a F:

-105-

L a c o n d i c i ó n u 11, 9) -- o (f ¡ ^> :-rt ¡< - ¿•J ¿

al n ú c l e o de P o i s s o n :

y l l e g a m o s f i n a l m e n t e

u. -

II. k E j e m p l o s no l i n e a l e s p a r a E D P 2 en dos v a r i a b l e s

1 £ ) E c u a c i ó n de B u r g e r s : _/7 •=. iA¡, + u i¿ +- O (11)

La c o n d i c i ó n de i n v a r i a n c i a se e s c r i b e , tras, s u s t i t u i r por d o -

q u i e r a W * x = -i« t-nw». de a c u e r d o con (20) y (22)

í U. -3 L

,é o

A n u l a n d o los c o e f i c i e n t e s r e s p e c t i v o s de u u , u u , 1,x xt x tu , u u

x xt x tu , u , u y u , nos queda ~\x x xt ' t ?

con las s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :

",*)

C o m o a,b no d e p e n d e n de u , es c l a r o en (iii) q u e para q u e o c u -

rra esa i g u a l d a d i d é n t i c a m e n t e h e m o s de h a c e r s e p a r a d a m e n t e :

-106-

[ ¡.í

~ O

Además de (i) concluimos que

Y de (¡i) ==> / •t + A + "S.1

táneamente

/ •t + A + S. u --^ + Luego hemos de hacer simuj_

El r e s u l t a d o f i n a l e s p u e s p a r a el g r u p o d e i n v a r i a n c i a a d m i s i

b l e d e la e c u a c i ó n d e B u r g e r s :

A- —oit rtñt

- °Clu — Au "

Es un g r u p o de c i n c o p a r á m e t r o s .

P a r a m o s t r a r c o m o los d i v e r s o s s u b g r u p o s (no n e c e s a r i amen_

te un i p a r a m é t r i e o s ) c o n d u c e n a s o l u c i o n e s de s í m i l a r i d a d , e s c o -

j a m o s el s u b g r u p o o t = O . Su s i s t e m a d i f e r e n c i a l c a r a c t e r í s t i c o

es :

,¿A Y

D e l p r i m e r p a r ( v e r m é t o d o d e i n t e g r a c i ó n e n [ i l ) d e d u c i m o s el

i n v a r i a n t e :

1/3

i r Y (3")

-107-

Y ahora de — ~ — - — — sale que a / í«(¡*-L ) ¿- 1 u, r•>- f \ / - o

es decir:

(3Í)

P a r a q u e u s e a s o l u c i ó n d e B u r g e r s , m e t i e n d o ( 3 5 ) e n ( 3 1 ) v e m o s

q u e ha d e e s c o g e r s e F tal q u e :

22 F ' - F + ^ F = c o n s t a n t e [i O

Es d e c i r , t e n e m o s al a l c a n c e d e la m a n o u n a c o l e c c i ó n d e s o l u -

c i o n e s u d e ( 3 1 ) > al p r e c i o d e s a b e r e n c o n t r a r s o l u c i o n e s F d e

( 3 6 ) i q u e e s ya u n a E D O ! D e h e c h o es r e d u c i b l e al t i p o B e r n o u i

l l i . T i e n e s o l u c i o n e s

1% r , ^ --1

~ ^ I T l^ ^\ r K ¡ ¡{ c o n s t a n t e

q u e c o n d u c e n a l a s s i g u i e n t e s s o l u c i o n e s d e la ( 3 1 ) :

+ ^ kC

U = 1 + ^ [t

El s u b g r u p o u n i p a r a m é t r i c o d e p a r á m e t r o U , p o r s u p a r t e , l l e -

v a a s o c i a d o e l s i s t e m a d i f e r e n c i a l

OcLt

ut-x

L u e g o "5 " V ¿ / u ~ "5 + ~ F(~$) ^ p a r a q u e t a l u s e a s o l u -ir

c i ó n d e la e c u a c i ó n d e B u r g e r s ha d e s e r F s

. F 2

E s d e c i r F4—-r- = c o n s t a n t e c.

N ó t e s e q u e F = 0 ( s o l u c i ó n p a r a c = 0 ) l l e v a a u = — , q u e e s

la t r a n s f o r m a d a d e la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l d e la e c u a c i ó n d e l

c a l o r , e s d e c i r ó - £~îlt b a j o el c a m b i o q u e c o n v i e r t ef ¿fHT

-108-y

B u r g e r s — ? c a l o r . C l a r o q u e a h o r a u = — n o j u e g a el p a p e l p r i v i -

l e g i a d o q u e a n t e s j u g a b a é,_ e n l a d e l c a l o r , al m e n o s e n n u e s -

t r o c o n o c i m i e n t o .

O b s e r v a c i ó n : U n a m a l a e l e c c i ó n d e la i n t e g r a l q u e p r o d u c e la

f o r m a d e s i m i l a r i d a d p u e d e d e s f i g u r a r la E D O r e s u l t a n t e p a r a F

P o r e j e m p l o e n el s u b g r u p o . ^ = 0 , si s e t o m a

se d e d u c e u ~ Xr -f 1 Y para q u e sea u s o l u c i ó n

de B u r g e r s r e s u l t a G f o r z a d a a ser s o l u c i ó n de

4- i

en a p a r i e n c i a más c o m p l i c a d a que ( 3 6 ) . E s t o s j u e g o s de d e f o r m a -

ción son i n e v i t a b l e s .

2 2 ) E c u a c i ó n de S i n e - G o r d o n : u -u = s e n u

A d m i t e el g r u p o d e f i n i d o por

Por t a n t o S ~ - t5^- ) 4 - ^ ^ x - ^ ' t ; u-= f ( i ) . Para que u

sea s o l u c i ó n de S i n e - G o r d o n ha de o c u r r i r que

En el c a s o p a r t i c u l a r ?¿ = o , ^ n ^ 4 ^ ( = c r e s u l t a :

-109-

Multipl icando por F1 e integrando vemos que F ha de

t i sfacer la E DO 1 :

\ ~~t I - k - c j > r k = c o n s t a n t e d e i n t e g r a c i ó n

P a r a k = + 1 , c < c 1 t i e n e s o l u c i ó n f" (-§) = l< c-vtiv £ T '>/v^c-

Y para k= -1 , c > 1 tiene solución T í j W U «wt'L -oJ" -<-' j_ T—o

S o n l a s c o n o c i d a s s o l u c i o n e s d e t i p o o n d a s o l i t a r i a q u e

p o s e e S i n e - G o r d o n .

P a r a k¿ i 1 l a s s o l u c i o n e s s o n c a l c u l a b l e s v i a f u n c i o n e s

el í p t i c a s .

3 ° )

T i e n e g r u p o t r i v i a l e n el s e n t i d o d e q u e Al XI" o = > 1 - "c- = o.

Mi q u é d e c i r t i e n e q u e e n t a l e s o c a s i o n e s el m é t o d o d e i n v a r i a n _

c i a e s p e r f e c t a m e n t e i n ú t i l .

a d m i t e el g r u p o :

7-0 ,D e n u e v o e s t a m o s a n t e un g r u p o m u y p e q u e ñ o , q u e d a r á p o c a i n f o r

m a c i ó n .

T i p o d e s o l u c i o n e s e q u i v a l e n t e a h a b e r s e p r e g u n t a d b "

d i r e c t a m e n t e a la v i s t a d e / I ¿ q u é p a s a p r o b a n d o u = F ( x ) ?

E s d e c i r q u e a g r u p o p e q u e ñ o ( Í Í c t * , ! x 1 i n e a l e s e n u n a

v a r i a b l e ) c o r r e s p o n d e n l o s t i p o s d e s o l u c i o n e s m á s o m e n o s t r i

v i a l e s q u e u n a s i m p l e i n s p e c c i ó n v i s u a l p e r m i t í a a d i v i n a r .

-no-

l i . 5 I n v a r i a n c i a ( b a j o d i l a t a c i o n e s ) y a n á l i s i s d i m e n s i o n a l

E s m u y f r e c u e n t e e n c o n t r a r c o m o s u b g r u p o d e l g r u p o d e

i n v a r i a n c i a d e u n a c i e r t a E D P J L = 0 , e l s i g u i e n t e :

_ v V

q u e c o r r e s p o n d e a l a s t r a n s f o r m a c i o n e s g l o b a l e s d e l s i g u i e n t e

g r u p o u n i p a r a m é t r i c o :

U jU * - A?

q u e n o s t r a e a la m e m o r i a l a s m a n i p u l a c i o n e s q u e e n F í s i c a s e

e n g l o b a n b a j o el n o m b r e d e a n á l i s i s d i m e n s i o n a l , y d e l a s q u e

el c é l e b r e t e o r e m a d e B u c k i n g h a m r e s u m e el c o n t e n i d o e s e n c i a l .

S i n ir m a s l e j o s e n 1 1 . 2 o b t u v i m o s p a r a PCU. -\<wx>-=. (9 í¡x^ (t)

el s u b g r u p o

, y:t

e s d e c i r e n e s t e e j e m p l o m = 1 , m - 2 , p = ~ 1 .

A h o r a b i e n , h a b i d a c u e n t a d e l a s d i m e n s i o n e s f í s i c a s d e

l a s m a g n i t u d e s q u e e n g l o b a la e c u a c i ó n , a s a b e r :

con C = c a l o r í a s , G = g r a d o s , y el resto en n o t a c i ó n e v i d e n t e , ve-

mos que las c o m b i n a c i o n e s

° \A\fkt

- 1 1 1 -

s o n a m b a s a d i m e n s i o n a l e s . P u e s b i e n el a n á l i s i s d i m e n s i o n a l e n -

s e ñ a q u e l a f o r m a f u n c i o n a l d e l a s o l u c i ó n d e u n a t a l e c u a c i ó n

h a d e s e r d e l t i p o :

(X v ¿ J k t

q u e p a r a f = c = Q = k = 1 s e r e d u c e a l a o b t e n i d a p o r i n v a r i a n c i a

( b a j o d i l a t a c i o n e s ) e n I I . 2 .

P u e d e d e c i r s e s i n t e m o r a e q u i v o c a c i ó n q u e h a y t o d a v í a

m u c h o s f í s i c o s q u e a p l i c a n e l m é t o d o d e i n v a r i a n c i a r e s t r i n g i e r a

d o d e e n t r a d a al g r u p o d e d i l a t a c i o n e s , e s d e c i r p e n s a n d o e x d u _

s i v a m e n t e e n a n á l i s i s d i m e n s i o n a l , i n c l u s o e n a r t i c u l e s a c t u a -

l e s q u e l l e v a n p o r t í t u l o a l g o r e l a t i v o a " m é t o d o s d e s i m i l a r i -

d a d " .

S u r g e p u e s l a c u e s t i ó n d e s a b e r c u á l d e l o s d o s m é t o d o s

e s m á s p o t e n t e . Y a t a l e f e c t o p u e d e p r o b a r s e [ > 1 q u e t o d a

r e d u c c i ó n d e l n ú m e r o d e v a r i a b l e s o m a g n i t u d e s e n j u e g o q u e p u e _

d a l o g r a r s e p o r a n á l i s i s d i m e n s i o n a l , e s r e p r o d u c i b l e c o n el mé_

t o d o d e i n v a r i a n c i a , c o n c r e t a m e n t e c o n a l g ú n s u b g r u p o d e d i l a -

t a c i o n e s d e l g r u p o a d m i s i b l e t o t a l . •

Y h a y c a s o s a b u n d a n t e s q u e m u e s t r a n q u e r e s u l t a d o s s a c a -

d o s p o r i n v a r i a n c i a n o s o n r e p r o d u c i b 1 e s p o r e l s i m p l e a n á l i s i s

d i m e n s i o n a l d e l a e c u a c i ó n d a d a .

E j e r c i c i o : P r o b a r q u e e l g r u p o d e i n v a r i a n c i a d e l a e c u a c i ó n

e s e l s i g u i e n t e :

E s t e t i p o d e g r u p o s , f r e c u e n t e , n o e s d e d i l a t a c i o n e s .

N o c a e p o r t a n t o d e n t r o d e l m a r c o e s t r i c t o d e l a n á l i s i s d i m e n '

s i o n a 1 .

C o n d u c e a " ^ - r , u = F ( r ) .

P r o b a r q u e T ; u ^ • £ - o ¿ 1 t / 1v 7 - c > ¡ " u . s ó l o e s d e i n v a r i a n c i a s i

-112-

C A P I T U L O I I I . G R U P O S DE I N V A R i ANCI A P A R A EDP EN M A S DE DOS V A -

R I A B L E S •

I I I .1 . F o r m u l a c i ó n del m é t o d o

D a d a una EDP -¡•i-( >" 1,--,x»^ )Wx w-- / .¡<., w.x x }~° c o n u n a

v a r i a b l e d e p e n d i e n t e u , y con n v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s X; Í«?O

y c o n d e r i v a d a s h a s t a un c i e r t o o r d e n k, el c r i t e r i o g e o m é t r i c o

de i n v a r i a n c i a b a j o un g r u p o d e t e r m i n a d o p o r :

- U + (

ÍJtt.

s i g u e s i e n d o A A ./I ~ Ü . C o n c r e t a m e n t e s i k = 2

V a m o s a p r e o c u p a r n o s en e s t a s e c c i ó n de c a l c u l a r v?

P a r a a l i g e r a r la e s c r i t u r a d e n o t a r e m o s : J ' -i

vo

3

J

y en lo q u e s i g u e , c a d a v e z q u e a p a r e z c a un í n d i c e r e p e t i d o en

un m o n o m i o se s o b r e e n t i e n d e q u e hay s u m a c i ó n i m p l í c i t a en e s e

í n d i c e .

C o m e n z a r e m o s o b s e r v a n d o las s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s de los

o p e r a d o r e s de " d e r i v a c i ó n t o t a l " .

-113-

-- U

—— (regla de la cadena)3>J

Únicamente (iv) exige demostración:

L

— -£— -V —— — —^Z. —"T>xv -i' "T^x. Q K - T ^ "Dx*- IPX"

V a m o s a c a l c u l a r e x p l í c i t a m e n t e ^ 1 / • •> > d a n d o l o s r e s u l t a d o s d e

l a e x t e n s i ó n a s e g u n d o o r d e n s i n d e t a l l e s :

q u e p o r s e r

-1U-

L u e g o temos o b t e n i d o :

c o n s u m a t o r i o s 2_ i m p l í c i t o s . A n á l o g a m e n t e se o b t i e n e

"- h + 7rv- - % "S - P ^ M<+ 7» Y -

c o n v a r i o s 2— i m p l í c i t o s .I

E j e r c i c i o : C o m p r u e b e el l e c t o r q u e p a r a 1 = 1 , 2 e s t a s e x p r e s i o n e s

c o i n c i d e n c o n ( 2 0 ) .

El m é t o d o c o n s i s t e en e x i g i r , d a d a u n a s o l u c i ó n ¿/~ Q (x. ..v xM )

¿£(Jl-0 j--t U* - $ (x* y ...., x*0 ) l o c u a l l l e v a e n t é r m i n o s

i n f i n i t e s i m a l e s a u n a e c u a c i ó n q u a s i l i n e a l :

S u s i s t e m a c a r a c t e r í s t i c o a s o c i a d o

c o n d u c e , m e d i a n t e i n t e g r a c i ó n d e l o s n p r i m e r o s t é r m i n o s a ( n - 1 )

i n v a r i a n t e s "S, "t y la i n t e g r a c i ó n ú l t i m o - p a r (ó d e o ¡: r o p a r

q u e c o t e n g a d u ) l l e v a a u n a c i e r t a f o r m a d e s i m i l a r i d a d p a r a u

p o r m e d i o d e u n a f u n c i ó n ~f~(~$i / th ) a p r i o r i a r b i t r a r i a . P a r a

- 1 1 5 -

q u e u s e a s o l u c i ó n d e j l = 0 , ha d e c u m p l i r F u n a E D P e n l a s ( n - 1 )

v a r i a b l e s *S1 ;£„_., . La reducción e s p o r t a n t o

E D P n v a r i a b l e s > E D P ( n - i ) v a r i a b l e s

L o s e j e m p l o s a c l a r a r á n e s t e p u n t o .

I I I . 2 U n e i e m p l o e n t r e s v a r i a b l e s [ y. x , >J V - ', Q* **, t* Xj)

Si se sustituye en ////"_f[ — W f^"" Í ? M « V, 7,, x "i

<«xx • P ~>« + u ut - mn y se a n i q u i l a n c o e f i c i e n t e s en

la larga e x p r e s i ó n r e s u l t a n t e :

A n u l a c i ó n de los c o e f i c i e n t e s de l/x t/x . Í/,. ¿^ uK u j. =£>

C o e f i c i e n t e de u 2u x ; ^ O =?> 7 - T /

La e x p r e s i ó n /U il q u e d a r e d u c i d a ya a é s t o :

- u b* * > - ot -1\\ u3 - i}otA n u l a c i ó n d e l o s c o e f i c i e n t e s d e ^ t / w ¿c =s /I ) = /7 ) = 0 • Luego

C o e f i c i e n t e d e u J = o = > ^ = w-Tt*^.*,)+*S í*,4!. t ) . Q u e m e t i d o y a e n la

a n t e r i o r e x p r e s i ó n c o n d u c e a lo s i g u i e n t e .

Coeficiente de i/. Q => J + "^ L { - U-0* "l3O ~) = ° ^

Coeficiente de v.ô ^ ¿l~^ + ¿(.\)ô (u)

Coeficiente de v- - o ^> „*

Coeficiente de v,t,o => J + » L f • (JO.- £ tt,)t] =Coeficiente d . V = o =, u{,x . ^ ^ . .

-116-

De (i) deducimos que g = O = f+(lj) —

reformular todo lo anterior así:) . Con lo que se puede

<J

Vj --

De la c u a r t a v e m o s q ue f = f ( x , t ) . L u e g o la t e r c e r a e x i g e

fk)/=O. Y de la pri m e r a 2) = c t - .

P o n g a m o s por t a n t o esa i n f o r m a c i ó n a d i c i o n a l , con lo que

p a s a m o s a:

La s e g u n d a de e s t a s c o n d i c i o n e s r e q u i e r e

Y por t a n t o la p r i m e r a s ó l o es c o m p a t i b l e si f = 0 ? ) x x = 0 .

=o=2f -n )

L u e g o \ ~ o x->-o , f= ^- Y . F i n a l m e n t e la t e r c e r a d e c i d e ^ ) -

El g r u p o b u s c a d o es por t a n t o :

, VV

S i t u a c i ó n b a s t a n t e f r e c u e n t e e s t a d e s e r c a d a f u n c i ó n l i n e a l e n

su v a r i a b l e c o r r e s p o n d i e n t e . De su s i s t e m a d i f e r e n c i a l c a r a c t e -

-117-

r i s t í c o se d e d u c e :

Por e j e m p l o en el c a s o p a r t i c u l a r ,^~Y- ) t f - o , el sub_

g r u p o o( da s o l u c i o n e s del t i p o : i

¡ E c u a c i ó n ya en s ó l o d o s v a r i a b l e s ~%, •= x , "$••,_•= 3/i P e r o t o d a v í a h o -

r r i b l e ! P o d r í a en p r i n c i p i o a p l i c á r s e l e de n u e v o a e l l a el m é t o -

do de i n v a r i a n c i a , p e r o la e x p e r i e n c i a e n s e ñ a q u e la i t e r a c i ó n

del m é t o d o s u e l e t r i v i a l i z a r las s o l u c i o n e s o b t e n i d a s al f i n a l .

1.3 Un e j e m p l o en c u a t r o v a r i a b l e s

Sea la e c u a c i ó n en c u a t r o v a r i a b l e s ( x . ^ x , x = y, x _ = t , x , ^ z )

La condición de invariancia

__ / __ o contiene un centenar

2 2de términos, tras sustituir u = 2 u . ~ u u +u +3u - 1 .xx t t y z

Anulación de coeficientes de u u , u u , u u , u u =¿> ~%. no dependenx xy x xt x xz t xt _j

de u , [¿ = 1 , 2 , 3 , k).

E s t o r e d u c e la e x p r e s i ó n -U-A- en s ó l o c u a r e n t a y seis t é r -

m i n o s ya .

Un t e d i o s o c á l c u l o l l e v a al g r u p o :

-118-

V- x

El s i s t e m a d i f e r e n c i a l a s o c i a d o l l e v a a:

V

U. = F (~5 -3X -5 ) es s o l u c i ó n d e la e c u a c i ó n i n i c i a l si y s ó l o

s i F c u m p 1 e :

X Si

Es i m p o r t a n t e s e ñ a l a r q u e a u n q u e m u y d u r a p e s e a ser

ya en s ó l o t r e s v a r i a b l e s , sin e m b a r g o el c a r á c t e r tan c o m p l i c a ^

do d e los i nva r i a n t e s ^S_ , _ , p e r m i t e s a c a r s o l u c i o n e s p o c o t r j_

v i a l e s d e f o r m a s e n c i l l a .

Por e j e m p l o si b u s c o s o l u c i o n e s del t i p o p a r t i c u l a r u = F(S-j

la e c u a c i ó n (53) se r e d u c e a:

— _ A.

con solución f- J L \ ., c,^^< ¡ 'L

B a s t a e x p l i c i t a r la f o r m a de F p a r a c o m p r e n d e r q u e d i s t a

m u c h o de ser e v i d e n t e :

-119-

V.' . X,

O t r a h i p ó t e s i s c ó m o d a s e r á b u s c a r s o l u c i o n e s d e (53) t a l e s

F 3 . 3 * F ^q u e ^ j La e c u a c i ó n ( 5 3 ) se r e d u c e a:

o r d i n a r i a l i n e a l ya p a r a G •= F .

-120-

CAPITULO IV: EXTENSIÓN DEL MÉTODO A EDP3 (2 Variables)

IV.1 CALCULO DE LA EXTENSIÓN A TERCER ORDEN

f—\

de acuerdo con la receta que se deduce fácilmente de que para cualquier

conjunto previo de índices I =?>

F)T ~> -rU.KLi-} D t T H u^ 3>t (u>

(ix) =

Calculemos por tanto — ' y luego U,

1t *

Cál7( x x )

lculo de A • : Usaremos la expresión de v?, . en 11,1

i t r [(xx)

(XX) yj ,.-

'-ÍÍ

Cálculo de —^ : Usaremos la misma expresión de *) ,_ N. Y tendremos

en cuenta que ^— w x- iL u, = -Q

-121

Por tanto el resultado es:

'

^«-"t - 2 ^ ^ ^ t -

¡Un total de 50 términos, que ya indican claramente la dificultad de ma-

nejo!

El cálculo de los demás es análogo, de manera que nos limitaremos a

recoger los resultados:

que cuenta con "sólo" 30 términos, al igual que el próximo:

-122-

Nrt-t

. Ui(. _

uxtt

Dada una ecuación -/l(x,t,u,u ,ii,...5u ) = 0 en derivadas parciales de5Í U L L I

tercer orden (v en dos variables x,t), la condición de invariancia se es

cribe:

'

Ut)

Las expresiones de VI ,. .. , v9(J-t-) pueden verse en <§II.l. Las de tercer

orden son las arriba calculadas.

Inciso: Haciendo en la expresión de /(xxx)'

n -> nx -> ou -»• y

9 -*• y' 5 etc. . .

Icualquier derivada en t ->•

-123-

obtenemos obviamente la extensión vy a tercer orden de las expresiones

relativas a invariancia bajo un (~í,w)~grupo de una ED03, que coirrolemen-

tan las ya obtenidas en <£l.6 para Vi en primer orden (fórmula (8')), y

en él.l para *i" en segundo orden ye. (formula (14)). El resultado es en

la notación del jl:

m .vi - V x>*.

IV.2 UN EJEMPLO DE APLICACIÓN A EDO3

Consideremos la EDO3 siguiente

<J

conocida como ecuación de Blasius, que aparece en teoría de fluidos in-

compresibles viscosos. Su condición de invariancia U-/1 = IM 4-M *I U 4. 1' v\ -

tras sustituir M por ~ *i v se expresa:

+

Anulando sucesivamente coeficientes de términos independientes en deri-

vadas de y:

Coeficiente d e M " f - o :=á> ~^-~%(*).

Coeficiente de i " - O -==> ^ =

Coeficiente de f y i - o ^=> ^ - o -=£> y - M t*) +'n

En este momento la expresión se ha reducido ya a ésto:

-124-

Coeficiente de y" = 0 = ^ 3f + g + y(f+=O = 0. Luego ha de ser

3f' + g = 0 = f t s para q_ue la anulación ocurra idénticamente en y. Así

que f = - oí , g = -3f = 0. Es decir vir-°iM.

Y ya no hay condiciones adicionales.

Por tanto el grupo de invariancia de la ecuación de Blasius es ;

— Oí XI

1 -' h^ \ oí, A, constantes<J

Escojamos el subgrupo /> = 0. Su sistema diferencial asociado es:i

dxx

Es decir ^* K , v= *"^ *Y ' V

Es fácil comprobar que

No se llega portanto a una ED01 como ocurría al reducir una ED02 origi-

nal en 1.7. Sin embargo basta despejar "$ en la primera y sustituirlaó

en la segunda para llegar a la siguiente EDO2 para la función f '=-~lt

de la variable t"=-"$ :

(t+f) I (t+f)f"+f'(f'+t-4)l + (6-2t)f = 0 (•-•)

Puede resultar decepcionante que la EDO2 en que desemboca el método sea

tan complicada, pero a priori es ya un logro importante haber reducido

su grado de derivación.

En cuanto al otro subgrupo d = 0, A i- 0 lleva a s^1 - Y>

= y"' % =~\^l • E s f á c i l v e r q u e

ecuación más sencilla que la de antes. Naturalmente la solución obvia

f = constante corresponde a y' = constante, es decir y = ex + c', que

-125-

era evidente en la propia ecuación original M'" + Í -I1' - o . Para deducir so-

luciones menos triviales hay que pagar el precio de resolver las EDO2 resul_

tantes.

No obsxante hay todavía un truco a ensayar, consistente en recordar

que aunque para llegar a (**) sólo se ha echado mano de la invariancia bajo

traslaciones, quedaba la invariancia bajo "j = <*. x, vi = _ t, de tipo

dilatación. ¿Tendrá aun ("*) alguna invariancia adicional, reminiscente de

ese grupo de dilataciones?. Un sencillo cálculo con _/l = yy" + y'x + x i — o^

f x •=. t lleva a que ésta _/l tiene como grupo de invariancia éste:u •= f,

El sistema diferencial asociado

dx_ _ ¿3 _x ¿i 4t o

conduce a "5.- 3/> , \ - ; t ^ ' _ ^

Y como

sustituyendo ~5 s e obtiene la ED01 siguiente para " como función de

que ya es suficientemente sencilla {al ser de primer orden) como para per-

mitir algunos análisis cualitativos de interés referentes a su espacio de

trayectorias, etc...

Ejercicio: La ecuación y - y y" + xy'2 + xy = 0 tiene grupo de inva-

riancia trivial 1 •=*) - o .

Ejercicio: El grupo de invariancia de LY = 0 es de seis parámetros:

ü /Este último ejercicio muestra un descenso de los ocho parámetros libres en

el grupo de y" = 0 hasta sólo 6 de y'" = 0. Presumiblemente al crecer n en

la ecuación y = 0, la más simple de orden n, se llegará a un número es-

table de grados de libertad en su grupo. Lógicamente ese número será M-,

-126-

pues y = O es invariante bajo el grupo definido por:

para cualquier n > 3.

V.3 APLICACIÓN A LA ECUACIÓN KdeV: u + uu + u. = 0XXX X T

Escrita la condición de invariancia

y sustituyendo en ella u —?- -uu -u^, se obtiene en esquema para ~? ,XXX X L '

t , vo (ver notaciones en IV. 1):

Coeficientes nulos para w> Kx>t; wxxt , i/i*.* , ux x x =$> " = ~

\ = ^(x,t),

Quedando ya tan sólo la expresión:

Anulación del coeficiente de \AKX -=s> y) — -z

ídem para U* =^> v? - ^ v i u ^

ídem para \A =3> Tt-2>^^

Términos sin derivadas =^> vi + Uvi +

De (iii) = » ^ - ^^ lU)+^ltU

Luego (i) =£> vi - ncH_t + \>l*-,t).

Ahora bien, la (ii) que se reduce ya a v? = "V + 2u 1 nos dice que

- a =!£.' „ t=f-^'«.

Finalmente (iv) exige que

Luego necesariamente ~c" = 05 y en consecuencia f" = 0. Poniendo

= o<.t+/\, f(t) = t t +1 resulta para el grupo de invariancia

de KdeV:

-127"

de cuatro parámetros.

El sistema diferencial asociado conduce a

°\<i

X'-

Para que esa u sea solución de KdeV ha de ser G solución de

1 ico27 toí1- ¡.

Tomando el caso sencillo del subgrupo c¿ = ü = 0, nos queda

dx Jt-t ÍAM.

con lo que 3 = x - ct, c •« -r , u = F(x-ct) en forma de onda viajera.

Y la F ha de satisfacer:

F'" + FF' - cF' = 0

Es una EDO3 como era de esperar, pero con la propiedad de ser inmediata

mente integrable a esta EDO2:

F2

F" + — — cF = k , k = constante arbitraria.

Multiplicando esta por F! es de nuevo integrable a una ED01:

2 F 2 iF' + — — cF = 2kF +k' , VtV. constantes arbitrarias.

Esta ecuación tiene por solución para k = k^-ü :

Así pues obtenemos la siguiente solución para KdeV:

-128-

^ ^ (.x-Ct) j, C^ <</{>

que no es sino la forma explícita de un solitón para la ecuación KdeV,

obtenida como solución de similaridad por el método que venimos exponien

do.

Hay también soluciones aceleradas, en el sentido de que dependen de

x-c(t)t, c(t) no constante. Basta por ejemplo tomar el subgrupo <si = 0

para llegar a:

con F solución de la EDO3 siguiente:

Es inmediatamente integrable a una EDO2:

La novedad frente a la situación precedente es el término en — — que

es responsable de la "aceleración" y que no permite ya la integración

inmediata a una ED01. Ahora bien, haciendo

la ecuación (•') se convierte en

G" = G2 +

que es la famosa ecuación de Painlevé, cuyo análisis detallado puede

verse por ejemplo en \JÍ\.

Hemos de señalar que las soluciones a esa EDO2 de Painlevé no son

interesantes como ondas viajeras pues su comportamiento no es bueno (en

algunos polos) y no tienen forma localizada. No obstante en IV.i+(c) ci-

taremos una ecuación en que hay "ondas solitarias aceleradas", con for-

ma análoga a la de los solitones de KdeV. La pega que desde el punto de

vista físico tiene dicha ecuación es que depende explícitamente de t.

Pero no es difícil construirse ejemplos sin ese inconveniente. Sería de

seable analizar el comportamiento en colisión de tales soluciones, aun-

-128-

= 3c / Vfque no es sino la forma explícita de un soiitón para la ecuación KdeV,

obtenida como solución de similaridad por el método que venimos exponieii

do.

Hay también soluciones aceleradas, en el sentido de que dependen de

x-c(t)t, c(t) no constante. Basta por ejemplo tomar el subgrupo ^ - 0

para llegar a:

con F solución de la EDO3 siguiente:

Es inmediatamente integrable a una EDO2:

V

~í "5La novedad frente a la situación precedente es el término en — — que

I

es responsable de la "aceleración" y que no permite ya la integración

inmediata a una EDO1. Ahora bien, haciendo

la ecuación (í:) se convierte en

G" = G2 +

que es la famosa ecuación de Painlevé, cuyo análisis detallado puede

verse por ejemplo en \Bj.

Hemos de señalar que las soluciones a esa EDO2 de Painlevé no son

interesantes como ondas viajeras pues su comportamiento no es bueno (en

algunos polos) y no tienen forma localizada. No obstante en IV.4-(c) ci-

taremos una ecuación en que hay "ondas solitarias aceleradas", con for-

ma análoga a la de los solitones de KdeV. La pega que desde el punto de

vista físico tiene dicha ecuación es que depende explícitamente de t.

Pero no es difícil construirse ejemplos sin ese inconveniente. Sería de_

seable analizar el comportamiento en colisión de tales soluciones, aun-

-129-

que a priori parecen tener pocas posibilidades de ofrecer fenómenos tan

singulares como los que han ouesto de modo a los solitones.

IV.4 ALGUNAS PERTURBACIONES SENCILLAS DE KdeV

Al objeto de intentar comprender el tipo de variación del grupo y

de las variables y formas de similaridad, cuando se introducen "ligeros"

cambios en una cierta ecuación, vamos a considerar algunas modificacio-

nes de la ecuación de KdeV. El resultado será que en general los cambios

en el grupo son totalmente impredecibles.

a) u + UTIA. V Ut ~ O (KdeV )xxx x t n

admite Y n entero > 1 como grupo de invariancia:

b) Lo mismo es cierto para cualquier n real, es decir para la ecuación

X X X " " X v t ~ j ^ ^

(aunque para valores particulares de n, por ejemplo n = 1, el grupo sea

aún mayor).

En todos los casos hay soluciones de tipo u = F(x-ct). Basta tomar

el subgrupo <x = 0, con lo que:

Ecuación que tras una doble integración inmediata, como hicimos en KdeV,

lleva a:

que para k=k' = 0 admite la solución

Y [\\ —

-130-

Es decir que (KdeV ) tiene para los valores de n antes indicados/la solun

ción:- ~ \

u =

eme son ondas solitarias para todo valor de n.

i- U- jt + u - i -=- O (KdeV)

tiene por grupo de invariancia el determinado por:

Z = ¿Át rh

- - i¡ Au +/¡o\t +• í

que muestra una diferencia estructural enorme frente al grupo de KdeV, a

pesar de ser aún un grupo de cuatro parámetros.

El subgrupo A = 0 tiene por sistema asociado

dx _ ¿í-t ^ ¿Siu.

del que deducimos ~? = x - ( ií + -£~\ + IA~ — t -i- Irl- I . con F solución de

V 2A /\ J L yi j^ V3

integrable inmediatamente a:

El caso o = f> es particularmente interesante, pues conduce a

-131-

Ecuación nuevamente integrable, tras producto por F', quedando así:

F'2 + Ú - cFx^lkf ^

Luego la ecuación resultante es la misma que para KdeV. Por consiguien-

te (KdeV) admite soluciones del tipo

Son soluciones autoaceleradas, pero que no conservan su "localización"

inicial debido al sumando t. Al pasar el tiempo crecen en tamaño y ve

locidad simultáneamente, y para t r 0 no son normalizables.

Nótese sin embargo el siguiente corolario inmediato:

Corolario: La ecuación v + ( v + t ) v + v = 0 admite como soluciónxxx x t

que es una onda solitaria auto-acelerada.

¿Será posible un comportamiento de tipo solitón para estas ondas?.

Cuando se toma el subgrupo X= o = 0 , resulta u = F(x-ct), c -= in-

constante , con F solución de

F'"+TF'-cfM-o => r"-f- -- cf —i - VJLSJÍ^

Es decir que para (KdeV) las ondas viajeras de velocidad c constante

satisfacen la misma ecuación que las soluciones aceleradas de KdeV

esencialmente.

Tales analogías se producen entre subgrupos análogos, pues precisa

mente venimos anulando el parámetro X que es quien marca las diferen-

cias más profundas entre los grupos de KdeV y de (KdeV) .

El subgrupo X ^ 0, ¿ = L< = A = 0 tiene sistema diferencial aso-

ciado

dx _ ¿t _ JLt.2x + 5t2

-132-

Luego ~S = :— , u = t + con F solución de la EDO3 siguien-

£ t V i t'/Jte:

pin

Una solución evidente es F = —y- +2-^ + constante, es decir para (KaeV) .

-133-

C A P I T U L O V: C O M E N T A R I O S S O B R E EL A L C A N C E DEL M É T O D O

V.1 E c u a c i o n e s q u a s i - 1 inea1 es de p r i m e r o r d e n

T o m e m o s p a r a e m p e z a r la f a m o s a (y s e n c i l l í s i m a d e n t r o de

las no l i n e a l e s ) e c u a c i ó n :

_i7. = W t + w u x = O

q u e a p a r e c e c o m o u n a p r i m e r a a p r o x i m a c i ó n en p r o b l e m a s r e l a c i o -

n a d o s c o n c u a l q u i e r ley d e c o n s e r v a c i ó n fr + ^ - O , en q u e el f l u

j o d e p e n d a s ó l o de la d e n s i d a d cb-vj>(p.

La c o n d i c i ó n d e i n v a r i a n c í a es

h a b i é n d o s e c a n c e l a d o , t r a s s u s t i t u i r d o q u i e r a u. —*• -uu , los t é rt x —

m i n o s c o n \ , Z u • '- ca sua 1 i dadl- E l l o da p i e a e s p e r a r q u e ),x. pue_

d a n d e p e n d e r de u , cosa p o c o f r e c u e n t e c o m o se h a b r á ya comprobada

de los m u c h o s e j e m p l o s a n t e r i o r e s .

En e f e c t o es f á c i l l l e g a r al s i g u i e n t e g r u p o d e i n v a r i a n -

c ia : • r .

~ tX.-

g r u p o e n o r m e c o n f u n c i o n e s a r b i t r a r i a s , y q u e s ó l o es a ú n un sub_

g r u p o del t o t a l . Se ha o b t e n i d o a n i q u i l a n d o p o r s e p a r a d o los coe_

f i c i e n t e s d e u~u ,uu ,u ,u,r. ' P e s e a tal p é r d i d a d e i n f o r m a c i ó n en

el g r u p o d e i n v a r i a n c i a , el s u b g r u p o a = b = 0 , c = l , d = u c o n d u c e al

s i s t e m a d i f e r e n c i a l

iot _ iit _ A*-w A o

L u e g o ~5 = x - u t , u = F("< ) . La F ha de c u m p l ir una e c u a c i ó n p a r a q u e

u s e a s o l u c i ó n de u . + u u = 0 . P e r o m e t i e n d o u = F ( -j, ) = F ( x - u t ) en

e l l a , se l l e g a a q u e tal e c u a c i ó n es " a h o r a ' l a i d e n t i d a d

0 = 0

-134-

En o t r a s p a l a b r a s , el m é t o d o de ¡ n v a r i a n c i a nos l l e v a a la fami

lia de s o l u c i o n e s

u = F ( x - u t ) , F a r b i t r a r i a

ique es la s o l u c i ó n g e n e r a l de d i c h a s e c u a c i o n e s 1

A s í p u e s el m é t o d o es en e s t a o c a s i ó n de p o t e n c i a t o t a l .

¿ Q u é h a y d e c a s u a l i d a d en e s t e e j e m p l o ?

R e s u l t a q u e si nos f i j a m o s en la e c u a c i ó n q u a s i - l i n e a l de

p r i m e r o r d e n g e n e r a l

a ( x , t , u ) u + t ( x , t , u ) u = c ( x , t , u ) W

s i e m p r e se e n c u e n t r a e n t r e el g r u p o de i n v a r i a n c i a el s u b g r u p o

c o m o es fácil de v e r i f i c a r d i r e c t a m e n t e en <\A Jl-0 . Y p u e s t o q u e

la e c u a c i ó n (*) c o i n c i d e p a r a el d i c h o g r u p o c o n ( 2 * 0 , r e s u l t a

q u e la e c u a c i ó n c o n d i c i o n a n t e para la f o r m a de similartíad es

1 i b r e .

L u e g o para las e c u a c i o n e s q u a s i - l i n e a l e s el c i t a d o subgru_

po d e i n v a r i a n c i a p r o d u c e la s o l u c i ó n g e n e r a l , a u n q u e en f o r m a

i m p l í c i t a .

V . 2 : ¿ C u á n d o es l i b r e

Un r a s g o p e c u l i a r d e las e c u a c i o n e s q u a s i 1 inea1 es es q u e

~\,~C d e p e n d í a n de u , c o s a m u y p o c o f r e c u e n t e a la v i s t a de los

e j e m p l o s de c a p í t u l o s a n t e r i o r e s . P e r o m á s i n c l u s o , en el ejem-

p l o u + u u = 0 h e m o s v i s t o c ó m o se a n i q u i l a b a n d i r e c t a m e n t e en

''W SÍ los t é r m i n o s de ~V y los de ~C^ .

E l l o s u g i e r e una p o s i b i l i d a d para e n c o n t r a r f a m i l i a s de

-135-

e c u a c i o n e s q u e a d m i t a n g r u p o s d e i n v a r i a n c i a c o n " d e p e n d i e n t e s

d e u . S e n c i l l a m e n t e e x i g i r d e a n t e m a n o q u e el c o e f i c i e n t e d e ~\

s e a c e r o . P a r a m o s t r a r q u e s o n m u y r a r a s t a l e s e c u a c i o n e s , tome_

m o s c o m o b a s t ó n d e m u e s t r a e s t a c u e s t i ó n :

¿ C u á l e s d e e n t r e las E D P _iL ( u , u , u , u ) •= u - CU( u , u ,u 4_)=0 t i e -X t X X XX X c

n e n n u l o en /VI-^ e 1 c o e f i c i e n t e d e ^ ?

V e m o s , si e s c r i b i m o s ^ XI, q u e los t é r m i n o s c o n "| s o n : •

A s í q u e su a n i q u i l a c i ó n e x i g e ( d e s p r e c i a n d o la p o s i b i l i d a d u = 0 ,

p o c o i n t e r e s a n t e ) :

q u e e s u n a c o n d i c i ó n s o b r e u) . C o n c r e t a m e n t e r e q u i e r e o¿-

L u e g o la r e s p u e s t a a la p r e g u n t a p l a n t e a d a es q u e s ó l o las

del t i p o

u - a ( u ) u - b ( u ) u = 0 , (a b a r b i t r a r i a s ^XX X t V •* /

t i e n e n e s a p r o p i e d a d . En e l l a s e s d e e s p e r a r q u e "S d e p e n d a d e u .

E j e m p l o : _ Q - = U t - f \A^ , f c o n s t a n t e , a d m i t e el g r u p o d e invarian_

c i a d e f i n i d o p o r :

Como se ve "? d e p e n d e de u en e f e c t o . Y de hecho ese grupo lleva

a

"?

c o n F s o l u c i ó n d e ( F") 1 / 3 - F F '+1 = 0

Es d e c i r q u e c u a n d o u a p a r e c e en \ ó ~c » I a s o l u c i ó n u v i e n e

d a d a en f o r m a i m p l í c i t a v i a u n a F d e s i m i l a r i l a d . C a d a F s o l u -

c i ó n d e la E D O r e s u l t a n t e n o s p r o d u c e u n a s o l u c i ó n d e la E D P :

U - t- TY* + £-IAÍ)

-136-

C o m o s e v e el s e r u d e t e r m i n a d a e n f o r m a i m p l í c i t a e s un r a s g o

g e n e r a l d e l a s e c u a c i o n e s c o n \ y / ó "c d e p e n d i e n t e s d e u. P e r o

n o lo e s el q u e F s e a 1 i b r e .

V . 3 T á c t i c a ó p t i m a en la a n i q u i l a c i ó n d e c o e f i c i e n t e s en 4¿¿l= 0

Es e v i d e n t e q u e un a s p e c t o f u n d a m e n t a l d e la api i c a c i ó n

c o n c r e t a del m é t o d o r a d i c a en la f o r m a d e a g r u p a r s u m a n d o s d e n -

t r o de f\/i Ti p a r a a n i q u i l a r s u c e s i v a m e n t e c a d a u n o d e e s o s c o n g 1 o_

m e r a d o s . En t o d o s l o s e j e m p l o s e x p u e s t o s h e m o s c o n s i d e r a d o inde_

p e n d i e n t e s l o s t é r m i n o s e n

e x c e p t o p o r la ú n i c a l i g a d u r a e x i s t e n t e a p r i o r i , a s a b e r la p r o

p í a e c u a c i ó n -íl = 0 . V a m o s a i n d i c a r a q u í q u e un d e s d o b l a m i e n t o

m a y o r , tal c o m o el q u e se d e r i v a r í a d e c o n s i d e r a r i n d e p e n d i e n -

t e s p o r ej e m p 1 o

c o n d u c e a una fuerte pérdida de información en m u c h o s c a s o s .

Sirva como m u e s t r a un e j e m p l o :

1) La e c u a c i ó n \A* + w.t — 2— tiene como c o n d i c i ó n de invariancia

tras haber s u s t i t u i d o en donde aparecía \j^ —j> u~ — u^ .

Veamos qué pasa a n i q u i l a n d o c o e f i c i e n t e s por el método peor

C o e f i c i e n t e de u -0 =^-2 -2

C o e f i c i e n t e s de u xu , u t u "WVA-lo S ^> " •= "Cv, - o.2

C o e f i c i e n t e s d e u ,u u nulos = > ? - f x - - " ?-2 fc

C o e f i c i e n t e de u =0 =s j: ^ -r -

La s o l u c i ó n e s :

- 1 3 7 -

M i e n t r a s q u e a n i q u i l a d o s c o r r e c t a m e n t e se o b t i e n e :

C o e f i c i e n t e d e u u ^ = 0 = ^ ?<. + •£>•- 0-

2

C o e f i c i e n t e d e u = 0 -==> ~e - ^

C o e f i c i e n t e d e u = 0 ===> " ^ ^^^ .

C o e f i c i e n t e d e u = 0 -==> r*' ^ ^ -

C o e f i c i e n t e d e 1 (ó s e a s i n d e r i v a d a s d e u ) = 0 ==? y 4- <*( V^~~£t) ^

C u y a s o l u c i ó n e s m á s d i f í c i l , p e r o q u e p o r e j e m p l o a d m i t e c o m o

s u b s o l u c i ó n :

H i p ó t e s i s " ct - ° "==? s u b g r u p o i r*-

q u e e s y a m u c h o m á s r i c o p o r s í s o l o q u e e~l . g r u p o o b t e n i d o a n t e s .

N o t a : H a y o c a s i o n e s s i n e m b a r g o en q u e t r a s e s c r i b i r las c o n d i c i o

n e s r e s u l t a n t e s de/UÍ! = 0 p a r a ~í r, •*) e s t a s c o n d i c i o n e s se r o m p e n

e s t r a t i f i c a d a s e n p o t e n c i a s d e u , llegando al m i s m o r e s u l t a d o q u e

se h u b i e r a o b t e n i d o c o n la t á c t i c a d e m u c h o s d e s d o b l a m i e n t o s inj_

c í a l e s . P e r o no e s lo m á s f r e c u e n t e , a s í q u e m e r e c e la p e n a o p e - •

r a r s i e m p r e c o n c o n g l o m e r a d o s d e s u m a n d o s q u e s e c o m p o r t e n igual

e n u ,u ,... m ó d u l o f u n c i ó n a r b i t r a r i a d e U.

El e j e m p l o p r e c e d e n t e e s c o n t u n d e n t e a e s t e r e s p e c t o .

V . k : E c u a c i o n e s l i n e a l e s : S o l u c i o n e s F u n d a m e n t a l e s

Y a h e m o s v i s t o la g r a n p o t e n c i a del m é t o d o d e i n v a r i a n c i a

e n su a p l i c a c i ó n a l a s e c u a c i o n e s q u a s i -1 i n e a 1 e s d e p r i m e r o r d e n .

En s e g u n d o o r d e n h e m o s v i s t o t a m b i é n un e j e m p l o , la e c u a c i ó n del

c a l o r ( c S l l . 2 ) , y en él h e m o s p o d i d o d e d u c i r la s o l u c i ó n fundameri_

t a l , lo c u a l e q u i v a l e a d e c i r q u e h e m o s o b t e n i d o u n a i n f o r m a c i ó n

i n t r í n s e c a q u e la t e o r í a d e E D P l i n e a l e s e x i g e c o n o c e r d e tal

e c u a c i ó n . En e s t a s e c c i ó n q u e r e m o s i n t e n t a r c o n o t r a s E D P l i n e a -

l e s la b ú s q u e d a d e su s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l . El o b j e t i v o es s e n c i -

-138-

l l a m e n t e i n t u i r si el m é t o d o d e i n v a r i a n c i a e s c a p a z e n g e n e r a l

d e s a c a r la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l e n E D P l i n e a l e s . D e s e r c i e r t o

e s t o c o n s t i t u i r í a u n a p r u e b a d e f u e r z a i m p o r t a n t e p a r a el m é t o -

d o , i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e q u e al p a s a r a E D P n o l i n e a l e s l o s re_

s u l t a d o s s e a n m á s ó m e n o s e s p e c t a c u l a r e s . P o r q u e e n l a s E D P l i -

n e a l e s t e n e m o s c o n q u é c o m p a r a r l o s l o g r o s d e l m é t o d o , c o s a im-

p o s i b l e e n c a s i t o d a E D P n o l i n e a l , d e b i d o al g r a d o i n c i p i e n t e

d e c o n o c i m i e n t o s q u e d e e l l a s s e d i s p o n e n h o y d í a .

V a m o s a c e n t r a r n o s e n l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s (en d o s

v a r i a b l e s ) d e s e g u n d o o r d e n :

C A L O R : U t - v i x * - 0

S C H R O D I N G E R : [ u t - \ A i V - o

O N D A S : U * * - U f e t - o

L A P L A C E : \ A ^ A- V*,^- O*,

P a r a la del c a l o r ya c o n s e g u i m o s el t i p o de o b j e t i v o en

1 1 . 2 . Y es un s e n c i l l o e j e r c i c i o el l o g r a r l o p a r a la de Sehró'dir^

g e r , p u e s b a s t a r e p e t i r el a r g u m e n t o con un p a r á m e t r o P l i b r e en

P u t ~ uK>c = 0 . De h e c h o n u e s t r o m é t o d o no entiende de c o m p o r t a m i e n -

tos C ó n o , asi q u e d a r á s i m u l t á n e a m e n t e las s o l u c i o n e s f u n d a -

m e n t a l e s d e a m b a s , c o n un p a s o final t — ? it m á s 6 m e n o s camufla_

d o .

V a y a m o s con la e c u a c i ó n de L a p l a c e :

Obv i a m e n t é AA-i'- = 0 a d m i t e la s o l u c i ó n

pues ensayada en /U Jí ^ ^ , + vj^ _ ^ > ( x ) t ) , $\ [t) _

nos 11eva a :

x í

q u e e s c i e r t a ( r e c u é r d e s e la p r o p i e d a d X u X ) = 0 d e la d e l t a d e

D i r a e ) .

- 1 3 9 -

E s e s u b g r u p o t i e n e a s o c i a d a s s o l u c i o n e s d e s i m i l a r i d a d

w.* ?(*)

P a r a q u e u s e a s o l u c i ó n d e (*) f u e r a del o r i g e n ha d e s e r

TCSÎ 3> ^ " f | l i f ' - O , L u e g o F = C ¿ * 5 • La c o n s t a n t e v i e n e f i j a d a p o r

la c o n d i c i ó n e n el o r i g e n , y r e s u l t a la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l u-J-

d e la e c u a c i ó n d e L a p l a c e .

La e c u a c i ó n d e o n d a s p e s e a su p a r e c i d o f o r m a l c o n la d e

L a p l a c e , o f r e c e d i f i c u l t a d e s t é c n i c a s p a r a l l e g a r v i a al m é t o d o

d e i n v a r i a n c i a a su s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l , d e b i d a s a la i n t e r p r e _

t a c i ó n del X w •% -i ~ y^- C • P e r o n o e s n e c e s a r i o r e c u r r i r

a t r u c o s s o f i s t i c a d o s p a r a d e j a r p a t e n t e la p o t e n c i a del m é t o d o

e n e s t e e j e m p l o , p o r q u e la f a c t o r i z a c i ó n ( V * +\) Q x-^f) K •= °

l l e v a a s o c i a d o el p a r d e v a r i a b l e s d e s i m i l a r i d a d -%^ x + t y *jx-= ¿x-t

y r e s u l t a q u e u,~ T("30 w - Gi("Sa") s o n s o l u c i o n e s d e la e c u a c i ó n

u ~u = 0 p a r a c u a l q u i e r p a r F,G ( s u f i c i e n t e m e n t e d e r i v a b l e ) . P o r

l i n e a l i d a d s e d e d u c e la s o l u c i ó n g e n e r a l u = F ( x + t ) + G ( x - t ) .

V . 5 E c u a c i o n e s l i n e a l e s : ¿ C ' r c u l o v i c i o s o ?

Es f á c i l c o m p r o b a r q u e si e n la e c u a c i ó n d e o n d a s

i n t e n t a m o s api i c a r el m é t o d o d e i n v a r i a n c i af a 1 a n i q u i l a r c o e f i c i e n_

t e s e n tú^'O -= ""? — ^ — O s e l l e g a a q u e l a s t r e s f u n c i o

n e s i n f i n i t e s i m a l e s " ? ~c v\ h a n d e c u m p l i r

L u e g o s e c i e r r a u n c í r c u l o v i c i o s o : si d e s c o n o c ' a m o s t o d o s o b r e j T .

desconocermos t o d o s o b r e el g r u p o d e i n v a r i a n c i a , p u e s c a l c u l a r

-HO-

e x i g e s a b e r r e s o l v e r la p r o p i a E D P o r i g i n a l .

N o e s n u e v a e s t a s i t u a c i ó n . P e n s e m o s q u e lo mismo o c u r r i ó e n

la d e L a p l a c e e n I I I . 3- Y u n a c o s a p a r e c i d a c o n la d e l c a l o r e n

1 1 . 2 , d o n d e s e l l e g a b a a e s t a s i t u a c i ó n :

« Xlt)

\ 1 r ,' ° ~ <r V

J

L u e g o f,g ( e s d e c i r Vj ) h a b f a n d e s e r s o l u c i o n e s d e la E D P

o r i g i n a l , y 1 a " s o l u c i ó n d e e s a m i s m a E D P c o n u n t é r m i n o i n h o -

m o g é n e o q u e p r o v i e n e d e o t r a s o l u c i ó n d e d i c h a E D P . S ó l o "z s e

1 i b e r a d e l c í r c u l o v i c i o s o , p r e s u m i b l e m e n t e c o m o c o n s e c u e n c i a d e

q u e la E D P e s d e s ó l o p r i m e r o r d e n e n d e r i v a d a s d e t .

P u e s b i e n , t a m p o c o p u e d e s o r p r e n d e r tal s i t u a c i ó n . En efec_

t o , d e n t r o d e AA^-íX aparecenc\

(x)' 7(t)' (xx) > (xxx)

y c a d a ^,j* , s e a c u a l f u e r e s u c o n j u n t o d e í n d i c e s I d e d e r i v a -

c i ó n t i e n e u n t é r m i n o ^^ p u r o , y y a l a s r e s t a n t e s a p a r i c i o n e s

d e *! d e n t r o d e V9r-r\ s o n s i e m p r e c o n a l g u n a d e r i v a c i ó n r e s p e c -

t o d e u . Q u i e r e e s t o d e c i r q u e sí b i e n ~\ ¡T, p u e d e n l i b e r a r s e d e

c a e r e n la E D P o r i g i n a l , n o a s í 1 a " , e n el c a s o l i n e a l , p u e s

e s o s t é r m i n o s p u r o s c o p i a n p a r a vi la E D P o r i g i n a l p a r a u . A s í p o r

e j e m p l o —

V u t t = 0 ^ 7 ( x x ) - 7 ( t t ) = ° ^ - - *>•• + ••• = °

s i e n d o l o s p u n t o s s u s p e n s i v o s u n a e x p r e s i ó n e n q u e ^ a p a r e c e

s ó l o c o n d e r i v a c i o n e s p u r a s e n u ó m i x t a s *7,.. vi y?

L o s p u n t o s s u s p e n s i v o s p u e d e n o b l i g a r a q u e p o r e j e m p l o

7 = 0 , e s d e c i r v ^ = u f ( x , t ) + í j ( x , t ) . I n c l u s o a q u e w = v ? f =(^'

c o n l o q u e v7 = oi u + g ( x , t ) . P e r o si e s t a s i t u a c i ó n , q u e o c u r r i r á

e n la e c u a c i ó n d e o n d a s , i m p i d e q u e el s u m a n d o e n u s e v e a im-

- I m -

p u l s a d o n e c e s a r i a m e n t e a c u m p l i r la E D P d e p a r t i d a .

E s t a c o n c l u s i ó n p a r e c e c o n d e n a r el m é t o d o e n el c a s o l i n e a l .

Y s i n e m b a r g o h e m o s s i d o c a p a c e s d e o b t e n e r e n la e c u a c i ó n d e L a -

p l a c e el n ú c l e o d e P o i s s o n , l a s s o l u c i o n e s f u n d a m e n t a l e s d e v a r i a s

E D P l i n e a l e s , . . . . La e x p l i c a c i ó n e s s e n c i l l a : a u n q u e p o r e j e m p l o

e n la e c u a c i ó n del c a l o r s e l l e g a s e a a q u e l l a c o n d i c i ó n g -g =0 ,X. XX

b a s t a e n p r i n c i p i o u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r (en e s e c a s o a d o p t a m o s

la t r i v i a l g = 0 ) p a r a l l e g a r a u n s u b g r u p o d e i n v a r i a n c i a , Y p o r

p e q u e ñ o q u e e s t e s e a c o m p a r a r l o c o n el q u e h e m o s r e c h a z a d o , p u e d e

c o n d u c i r a i n f o r m a c i ó n s u s t a n c i a l . El m é t o d o n o e s p o r t a n t o i n ú -

til ni m u c h o m e n o s .

Y e n c u a n t o a l a s E D P n o l i n e a l e s ¿ P o r q u é n o s e c i e r r a

e n e l l a s t a m b i é n a l g ú n c i r c u l o v i c i o s o ? Es f á c i l d a r s e c u e n t a d e

q u e p o r e j e m p l o e n la K d e V : _ / I = u + u u + u = 0 , s e l l e g a e n t r e o t r a sX X X X X.

a u n a c o n d i c i ó n ( v e r ( i v ) e n I V . 3 ) d e l t i p o

V) +u V] + Y) = 0/XXX / X / t

q u e e s c o m o K d e V s a l v o q u e el t é r m i n o n o l i n e a l Vnvi es r e e m p l a -

z a d o p o r u n o l i n e a l e n *l . ¿ P o r q u é e s a 1 i n e a 1 i z a c i ó n ? . P u e s

p o r q u e el p r o c e s o del m é t o d o d é ¡ n v a r i a n c i a e m p i e z a api i c a n d o a J¿-

u n o p e r a d o r d e d e r i v a c i ó n l\K , q u e r o m p e l a s n o 1 i n e a l i d a d e s , p o r

e j e m p lo u u — ^ u v ? f 1 + u Y) 'â 1 í n e a 1 e n vi 1

E s t o e s f i e l r e f l e j o del c a r á c t e r i n t r í n s e c a m e n t e 1 ineal

del m é t o d o , al h a b e r u t i l i z a d o el g r u p o d e L i e d e i n v a r i a n c i a

e n su f a c e t a i n f i n i t e s i m a l (^ 1 i n e a 1 i z a d a ) .

V . 6 P o t e n c i a del m é t o d o e n E D P n o l i n e a l e s

N o e s f á c i l c a l i b r a r la p o t e n c i a del m é t o d o d e i n v a r i a n c i a

e n su a p i i c a c i ó n a E D P n o 1 i n e a l e s , p o r q u e s e c o n o c e m u y p o c o d e

é s t a s e n g e n e r a l , y l o q u e e s p e o r , d e a q u e l l a s q u e s o n m á s c o n o -

c i d a s h o y , e 1 n i v e l d e p r o f u n d i d a d e s e n a l g u n o s c a s o s t a n s i n g u -

l a r q u e n o p u e d e n t o m a r s e é s t a s c o m o n o r m a . De c u a l q u i e r m a n e r a

p a s a m o s r e v i s t a e n e s t a s e c c i ó n a ' o s l o g r o s del m é t o d o c o n b r e_

v e s a l u s i o n e s a s u m a y o r ó m e n o s g r a d o d e p r o f u n d i d a d .

- 1 4 2 -

E c u a c i o n e s q u a s i 1 i n e a 1 e s E D P 1 : El m é t o d o d a la s o l u c i ó n g e n e r a l

E j e m p l o u + u u = 0u X

E c u a c i o n e s E D P 1 n o 1 i n e a i e s a r b i t r a r í a s : C o m o m u e s t r a el e j e m p l o

2 2 1u + u = — y d e V . 3 e s d e e s p e r a r e n g e n e r a l o b t e n c i ó n d e g r u p o s d e

ui n v a r i a n c i a b a s t a n t e p r o l i j o s , y e n c o n s e c u e n c i a f a m i l i a s a m p l i a sd e s o l u c i o n e s .

E c u a c i ó n d e S i n e - G o r d o n : E s q u i z á s el e j e m p l o m á s p o b r e e n r e s u l -

t a d o s d e t o d o s l o s e n s a y a d o s ( e x c e p c i ó n h e c h a d e a q u e l l a s e c u a c i o _

n e s q u e t e n g a n g r u p o t r i v i a l ) . S a l e n s o l u c i o n e s d e t i p o o n d a v i a j e r a

c o m o s i e m p r e q u e x , t n o a p a r e z c a n e x p l í c i t o s e n X\ , p u e s e n t o n c e s

e s a d m i s i b l e el s u b g r u p o "\ = c t - , T = c t - , ^ = 0 , q u e c o n d u c e a d i -

c h a s s o l u c i o n e s .

E c u a c i ó n d e B u r g e r s : A q u í h a b í a q u e d e c i r q u e el r e s u l t a d o e s

b u e n o , p u e s s e o b t i e n e n m u c h a s " s o l u c i o n e s , d e t i p o p o c o t r i v i a l

d e s d e l u e g o . A h o r a b i e n , s i e n d o c o n o c i d o d e s d e 1 9 5 1 q u e la e c u a -

c i ó n d e B u r g e r s p u e d e t r a n s f o r m a r s e e n la d e l c a l o r p o r u n s i m -

p l e c a m b i o d e f u n c i ó n i n c ó g n i t a , p o d r í a d e c i r s e t a m b i é n q u e el

r e s u l t a d o e s p o b r e f r e n t e a la s o l u c i ó n g e n e r a l q u e da la e c u a -

c i ó n d e l c a l o r e q u i v a l e n t e , P e r o n o s e r í a u n a c o m p a r a c i ó n honej¡_

t a . A p a r t e d e q u e e n la e c u a c i ó n d e l c a l o r el m é t o d o s a b e c o n s -

t r u i r la s o l u c i ó n f u n d a m e n t a l .

E c u a c i ó n d e K d e V : S a l e la e x p r e s i ó n d e l s o l i t ó n . Y o n d a s v i a j e -

r a s c o n a u t o a c e l e r a c i o n , p e r o n o n o r m a 1 i z a b 1 e s .

E n r e s u m e n y p e s e a h a b e r h e c h o la c o m p a r a c i ó n c o n l a s ecua_

c i o n e s m á s t r i l l a d a s , p u e d e a f i r m a r s e q u e l o s r e s u l t a d o s d e l m e t o .

d o s o n i m p o r t a n t e s e n c u a n t o a c o n s t r u c c i ó n d e s o l u c i o n e s a n á l í t j _

c a s e x p l í c i t a s d e E D P n o l i n e a l e s .

V . 7 : S u s c e p t i b i l i d a d d e l m é t o d o a n t e d i s f r a c e s d e u n a m i s m a E D P .

H e m o s d e j a d o s i n c o m e n t a r e n V . 6 u n p u n t o m u y i m p o r t a n t e a

la h o r a d e h a b l a r d e la e c u a c i ó n d e B u r g e r s . S e t r a t a d e la pé£_

d i d a d e p o t e n c i a q u e p a r e c e s u f r i r el m é t o d o d e i n v a r i a n c i a fren_

t e a c a m b i o s d e a s p e c t o e n la e c u a c i ó n . A s í el m é t o d o e s m u c h o

-U3-m á s p o t e n t e e n la d e l c a l o r q u e e n l a d e B u r g e r s . L e m i s m o

p o d r í a d e c i r s e d e l s i g u i e n t e e j e m p l o :

•5 i o o c o

Burgers > v v +2vv -v v +v (v -v )=0y ^ ^^ ^ X X t

Grupo de invar ianciaGrupo de invariancia

de 5 parámetros

Esta dificultad es potente, pero no debe ser o b s t á c u l o para la validez teó-

r i c a del m é t o d o , p u e s t o d a la t e o r f a a c t u a l d e E D P n o 1 i n e a l e s

t i e n e s u b y a c e n t e el p r o b l e m a d i f i c i l í s i m o d e c l a s i f i c a r a l a s E D P

e n f o r m a " I n t r í n s e c a " . Es l ó g i c o q u e un m é t o d o q u e j u e g a c o n la

f o r m a e x p l í c i t a c o n c r e t a d e la e c u a c i ó n p a g u e t r i b u t o a e s o s

d i s f r a c e s .

V.8 Método de invariancia generalizado de Kumei

Supongamos una familia de transformaciones

x* = x+

t* = t+ fc{x,t,u,u ,u !

u* = u + t>?(x,t,iJ,u .u '

d e p e n d i e n t e d e l a s p r i m e r a s d e r i v a d a s , a d i f e r e n c i a d el m é t o d o

d e L i e q u e h e m o s u s a d o h a s t a a h o r a .

C o m o p r i m e r p a s o t r a b a j a r e m o s a v a r i a b l e s f i j a s , e s d e c i r

c o m o h a c e K u m e i , c o n

-Í o

Luego

Obviamente ¿ül - u + £ Ij _

Se o b t i e n e n a n á l o g a m e n t e

V

(í¿)

Ejemplo: _í i = u -senu = 0xt

tít

C o n d i c i ó n de i n v a r i a n c i a vi -NJc¡j>a = 0. Una v e z s u s t i t u i d o s

? ^^^^^ \ A x x f c — * \ w > * ; Uxtt—feuâ-ju queda •.

Al a n i q u i l a r c o e f i c i e n t e s ha de t e n e r s e a h o r a m u y en c u e n t a que

c o n t i e n e p r i m e r a s d e r i v a d a s . L u e g o :

Coeficiente de u u ^ = 0 =?> ^ ~o y

-H5-

Coeficiente de u x = 0 *=* ^ ^%» Wt + ^1 ,l¿^,«-o.

Coeficiente de u = (

Coef¡cíente de 1=0

<<t-~~y) u - ° -

L a h i p ó t e s i s V? = a ( u ) + b ( u ) + c ( u ) l l e v a p o r e j e m p l o a l a s o l u/ x t

cion

c o n d o s p a r á m e t r o s l i b r e s .

E s t a s e n c i l l a s o l u c i ó n r e q u i e r e y a u n p a r d e c o m e n t a r i o s

i m p o r t a n t e s :

1 - ) I n u t i l i d a d d e l m é t o d o d e K u m e i a la h o r a d e i n t e n t a r c o n s t r u i r

s o l u c i o n e s d e la e c u a c i ó n d a d a .

En e f e c t o el s i s t e m a d i f e r e n c i a l a s o c i a d o n o s e c i e r r a : P o r

e j e m p l o el s u b g r u p o /«> = 0 d a :i

dx _ &t _ J-v* _ /iA* _ /u f c0 0 u^ u»* j¿û

El s e r x , t " i n v a r i a n t e s " e r a e v i d e n t e p o r h a b e r t o m a d o d e a n t e m a n o

~") = Z. = 0 . P e r o al i n t e n t a r i n t e g r a r

d u

vemos que no es una ecuación cerrada, por aparecer u . ¡LógicoX X

que al variar u con u , lo haga u con u iH x x xx

El problema no se solventa yendo mas a la derecha en el

sistema diferencial, porque u varía con u , etc... Se debe aXX XXX

que el grupo no cierra bajo su acc i ón ningún subconjunto de dimen_

s i ón finita.

-146-

2°) R e l a c i ó n c o n l a s t r a n s f o r m a c i o n e s d e B a c k l u n d

La a p a r i c i ó n d e d e r i v a d a s e n y s u g i e r e la e x i s t e n c i a d e

a l g u n a r e l a c i ó n c o n l a s f a m o s a s B a c k l u n d

U "• - UX X

p a r a S i n e - G o r d o n . El p r o b l e m a es q u e , de no h a b e r c o n o c i d o de

a n t e m a n o las B a c k l u n d de e s t a e c u a c i ó n , no hay m a n e r a de i n t e n -

tar r e c o n s t r u i r l a s a p a r t i r s ó l o de ^ , p u e s es de s u p o n e r que

s e r í a n e c e s a r i a la s e r i e c o m p l e t a

u * = u + £ v ? +1p a r a l o g r a r v e r q u e u * - u s e r e l a c i o n a c o n u * + u v f a u n s e n o . Al3 M x xn o s e r f a c t i b l e la c o n s t r u c c i ó n d e t o d a la s e r i e , y h a b e r ínfjí_

n i t a s s e r i e s q u e c o m i e n z a n i g u a l , s ó l o p o d e m o s a g a r r a r n o s a u n a

s u g e r e n c i a n u e v a : ¿ E s c a s u a l i d a d q u e a p a r e z c a e n l a s B a c k l u n d la

m i s m a f u n c i ó n ( s e n o ) q u e e n la e c u a c i ó n ? ¿ 0 e s q u e a l g ú n a l g o r i t m o

s e n c i l l o c o n la p r o p i a e c u a c i ó n p e r m i t e a d i v i n a r q u e e s o e s a s í ?

P a r a i n t e n t a r c o n t e s t a r esta p T e g u n í a • c o m e n z a r e m o s p o r

t o m a r u n a e c u a c i ó n a l g o d i s t i n t a , p a r a v e r si s e d a u n a " c a s u a -

1 í d a d a n á l o g a " .

La e c u a c i ó n u = f ( u) , V-t » a d m i t e ^ = u c o m o s o l u c i ó n

d e la c o n d i c i ó n d e i n v a r i a n c i a .

Es e l e m e n t a l d e p r o b a r , p u e s p a r a v i = u la c o n d i c i ó n

= 0 se 1 e e

( f ( u ) ) x - f' ( u ) u x = 0

q u e e s e v i d e n t e m e n t e c i e r t a .

P e r o s e s a b e ( S c o t t S M c L a u g h l i n ) q u e s ó l o 3 ' B a c k h ' I u n d

p a r a u = F (u ) si

F l l i r~ ( t-• \

-U7-

L u e g o n o p a r e c e h a b e r n i n g ú n h e c h o p r o f u n d o q u e 1 i g u e e s t r i c t a -

m e n t e l a s B a c k l u n d al h a l l a z g o d e V ? ( u , u , . . . . ) p o r el

m é t o d o d e K u m e i .

A D D E N D A : A l g u n a s s e m a n a s d e s p u é s d e e s c r i t a s l a s n o t a s q u e p r e -

c e d e n , ha a p a r e c i d o p u b l i c a d o e n J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l P h y s i c s ,

F e b . 1 9 7 7 ) u n a r t í c u l o d e S . K u m e i q u e m e r e c e e s p e c i a l a t e n c i ó n ,

p u e s a b r e n u e v o s h o r i z o n t e s e n la c o n e x i ó n e n t r e s u m é t o d o y la

e x i s t e n c i a d e l e y e s d e c o n s e r v a c i ó n . La n i t i d e z d e s u e x p o s i c i ó n ,

c o n t r a el o b s c u r a n t i s m o d e l o s p r e c e d e n t e s , p e r m i t e c o n c l u i r l o s

s i g u i e n t e s p u n t o s q u e i n v a l i d a n e n p a r t e el p e s i m i s m o d e l o s p á -

r r a f o s ú l t i m o s :

a ) Si " í = 0 , T. = 0 , vi d e t e r m i n a i n v a r i a n c i a e n s e n t i d o d e K u m e i ,

t a m b i é n la d e t e r m i n a n \ , z , "1 si s e t o m aA A ^

E s t o h a c e q u e s e r e c u p e r e n l o s g e n e r a d o r e s o b t e n i d o s p o r el a l -

g o r i t m o u s u a l d e L i e ( B l u m a n y C o l é ) a p a r t i r d e a l g u n o s d e l a s

d e K u m e i . E l l o e s c i e r t o e n p a r t i c u l a r p a r a S i n e - G o r d o n , d o n d e

\ = "C = 0 , Y]= u e q u i v a l e al t r f o 1 = 1 » X = 0 = W . D e h e c h o

u " = u + £ + . . . = u + £ u + . . . e s el d e s a r r o l l o e n p r i m e r o r d e n

d e u ( x + £ ) .

b ) L o s g e n e r a d o r e s d e i n v a r i a n c i a d e K u m e i v a n l i g a d o s a l e y e s

d e c o n s e r v a c i ó n , c o s a p r o b a d a p a r a v a r i a s l e y e s d e c o n s e r v a c i ó n

c o n o c i d a s p a r a S c h r ' ó d i n g e r n o 1 i n e a l y K d e V .

c ) N o o b s t a n t e el a l g o r i t m o d e K u m e i e s m u y e n g o r r o s o . C o m o

e j e m p l o , si s e d e s e a o b t e n e r u n g e n e r a d o r d e i n v a r i a n c i a d e k d e V

n o r e d u c i b l e a l o s o b t e n i d o s e n e s t a s n o t a s , e s p r e c i s o m a n e j a r

e x p r e s i o n e s c o n u n o s 3 5 0 t é r m i n o s a p r o x i m a d a m e n t e . Y el c á l c u l o

d e d o s m á s l l e v a r í a a s o b r e p a s a r el m i l l a r d e t é r m i n o s .

-148-

Agradecimiento: Deseo hacer constar mi agradecimiento a F.Guil Guerrero por

su colaboración en la realización de la presente memoria, tanto en la veri-

ficación paralela de resultados tediosos, como a lo largo de muchas horas

de discusión en común.

REFERENCIAS

[l] E.L.1NCE: "ordinary differential equations" (Dover 1956).

[2] W.F.AMES: "Nonlinear Partial differential equations in Engineering"

(Academic Press 1972), vol.II.

[3] G.W.BLUMAN £ J.D.COLE: "Similarity methods for differential equations"

(Springer-Verlag 1974).

[4] H.BETHE: "Intermediate QM" (Benjamin 1954).

[5] S.LIE: Arch. for. Math. VI, n° 3 (1881) 328.

[6] R.ANDERSON £ S.KUMEI £ C.F.WULFMAN: Rev.Mex.Fis. 2_1, 1 (1972) 35.

R.ANDERSON £ S.KUMEI £ C.F.WULFMAN: J.M.P. 14_, (1973) 1527.

[7] S.KUMEI: J.M.P. 1_6 (1975) 2461.

[8] H.T.DAVIS: "Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equa-

tions" (Dover 1963).

-149-

P R O B L E M A INVERSO DE LA D I S P E R S I Ó N Y EVOLUCIÓN

T E M P O R A L PARA E C U A C I O N E S NO L I N E A L E S : UNA IN-

T R O D U C C I Ó N E L E M E N T A L .

R.F. Al v a r e z - E s t r a d a

-150-

INDI CE

E L P R O B L E M A I N V E R S O DE LA D I S P E R S I Ó N P A R A U N A P A R T Í C U L A CUAN-

T I C A UN I D I M E N S I O N A L .

1. P a r t í c u l a C u á n t i c a en p o t e n c i a l u n i d i m e n s i o n a l : A l g u n a s

i d e a s g e n e r a l e s .

2 . D e t e r m i n a c i ó n de las f u n c i o n e s d e o n d a s f + ( x , k )

3. M i s c e l á n e a d e p r o p i e d a d e s ú t i l e s (f + , R + , T + , e s t a d o s

1 i g a d o s ) .

k. D e t e r m i n a c i ó n del p o t e n c i a l a p a r t i r de las f u n c i o n e s de

o n d a s .

5. La e c u a c i ó n i n t e g r a l de G e l f a n d , L e v i t a n y M a r c h e n k o .

, E V O L U C I Ó N T E M P O R A L P A R A L A E C U A C I Ó N N O - L I N E A L DE KORTEVIEG

Y D E V R I E S C O M O P R O B L E M A I N V E R S O DE U N A D I S P E R S I Ó N .

6. I d e a g e n e r a l del m é t o d o .

I . G E N E R A L ! Z A C I O N E S

7 . E c u a c i ó n d e S c h r o d i n g e r n o - l i n e a l .

8. E c u a c i ó n d e S i n e - G o r d o n .

Re fe ren c i as .

- 1 5 1 -

I. P R O B L E M A I N V E R S O D E L A D I S P E R S I Ó N P A R A U N A P A R T Í C U L A C U Á N T I C A

U N I D I M E N S I O N A L .

1 . P a r t í c u l a c u á n t i c a e n p o t e n c i a l u n i d i m e n s i o n a l : A l g u n a s i d e a s

g e n e r a l e s .

C o n s i d e r e m o s , e n u n a d i m e n s i ó n e s p a c i a l , u n p o t e n c i a l \ ' ( x ) ,

o o < X < + o o t a l q u e , p o r h i p ó t e s i s : i ) e s r e a l , i i ) s e

a n u l a s i x — > ± o¿> . C o n d i c i o n e s m a s p r e c i s a s s o b r e V ( x ) a p a r e c e _

r á n m a s a d e l a n t e .

S u p o n g a m o s u n a p a r t í c u l a c u á n t i c a n o - r e í a t i v i s t a , d e m a s a

m , s i n g r a d o s d e l i b e r t a d i n t e r n o s ; q u e e v o l u c i o n a e n d i c h o e s p a -

c i o u n i d i m e n s i o n a l s o m e t i d a a l p o t e n c i a l V ( x ) . L a p a r t í c u l a v i e n e

r e p r e s e n t a d a p o r u n a f u n c i ó n d e o n d a s c o m p l e j a ^ ( x , t ) y la e v o -

l u c i ó n d i n á m i c a v i e n e d e s c r i . t a p o r l a e c u a c i ó n d e S c h r o d i n q e r

(M = D :

En lo q u e s i g u e , - s u p o n d r e m o s q u e la p a r t í c u l a e s t á en un

e s t a d o e s t a c i o n a r i o Cp(x) c on e n e r g í a _K_ , es d e c i r

Y(x,t) = Cf (x) exp(-ÍJ¿t) donde

cLf.

D e t a l l e m o s a l g o m á s los d i f e r e n t e s t i p o s de f u n c i o n e s de

o n d a s e s t a c i o n a r i a s i n t r o d u c i e n d o n o t a c i o n e s a p r o p i a d a s . D a d o

X( ^ 0 ) , d e f i n i m o s f (x , k ) c o m o a q u e l l a s o l u c i ó n de la e c . ( i . 2 )

tal q u e f ( x , k ) ' ^ e x p í+ ikx)si . x-> + ° ° . A n á l o g a m e n t e , i n t r o d u c i -

r e m o s f _ ( x , k ) , q u e e s la s o l u c i ó n de e c ( i . 2 ) c on el c o m p o r t a m i en_

to f_(x,k)^N^ e x p ( - i k x ) si x—> - oo .

P u e s t o q u e la e c . ( i . 2 ) es una e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l lineal

o r d i n a r i a de s e g u n d o o r d e n , t i e n e , a lo s u m o d o s s o l u c i o n e s lineaj_

m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . N o es d i f í c i l c o m p r e n d e r q u e \X, (*,!<), \ (*•;-*•))

Y ((_ (x-s^j / (X/"K)) c o n s t i t u y e n dos p a r e j a s d i f e r e n t e s

de s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .

- 1 5 2 -

P o r o t r a p a r t e , p o d e m o s c o n s i d e r a r l a s i g u i e n t e s i t u a c i ó n

f í s i c a : la p a r t í c u l a c u á n t i c a i n c i d e d e s d e x-¿> - °° e n f o r m a d e

o n d a p l a n a , e X, h a c i a l a r e g i ó n e n la q u e V ( x ) e s a p r e c i a b l e ,

p u d i e n d o s u f r i r u n a r e f l e x i ó n h a c i a x~> - »o o u n a t r a n s m i s i ó n h a -

c í a x - > + o ° . E n c o n s e c u e n c i a , l a f u n c i ó n d e o n d a s e s t a c i o n a r i a re_

p r e s e n t a n d o e s t a s i t u a c i ó n , e s p a r a t o d o x :

= X (*) -f+ U K)

s i e n d o R _ ( k ) y T _ ( k ) l a s c o r r e s p o n d i e n t e s a m p l i t u d e s d e r e f l e x i ó n

y t r a n s m i s i ó n .

L a j u s t i f i c a c i ó n d e la e c. (1 .3) e s i n m e d i a t a a p a r t i r d e :

i) el c a r á c t e r l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e d e l a s d i v e r s a s p a r e j a s

d e f ' s , i i ) el h e c h o d e q u e la o n d a e n x — > + »=> s ó l o p u e d e p r o v e -

n i r d e la t r a n s m i s i ó n , i i i ) el h e c h o d e q u e a m b o s m i e m b r o s d e la

e c . ( 1 . 3 ) s o n s o l u c i ó n d e la e c . ( 1 . 2 ) y c o n s i s t e n t e s c o n l a s c o n -

d i c i o n e s a s i n t ó t i c a s e x p u e s t a s . A n á l o g a m e n t e , si la p a r t í c u l a i_n_

c i d e d e s d e x — > + oe> e n el e s t a d o e x p ( - i k x ) , la f u n c i ó n d e o n d a s

e s t a c i o n a r i a a s o c i a d a a la n u e v a s i t u a c i ó n , e s p a r a t o d o x :

d o n d e R , ( k ) y T , ( k ) s o n l a s n u e v a s a m p l i t u d e s d e r e f l e x i ó n y t r a n s

m i s i ó n .

2 . D e t e r m i n a c i ó n d e l a s f u n c i o n e s d e o n d a s f + ( x , k )

P a r a e s t u d i a r l a s p r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s d e o n d a s

f ( x , k ) , r e s u l t a ú t i l c o n s t r u i r la f u n c i ó n d e G r e e n G ( x - x ' , k )

q u e c u m p l e l a s c o n d i c i o n e s s i g u i e n t e s , p o r d e f i n i c i ó n :

si x>x' (l.Z)

-153-

La solución es

(T C*-K Kj - w -*- n= í—=r? —-=r i J

c o m o p u e d e c o m p r o b a r s e f á c i l m e n t e , t r a s a p l i c a r el o p e r a d o r - í L - K Z

¿ A 3

y c e r r a r el c i r c u i t o d e i n t e g r a c i ó n e n Im 1 ^ 0 ,

F i n a l m e n t e , c e r r a n d o d i c h o c a m i n o d e i n t e g r a c i ó n e n l m l < 0

y a p l i c a n d o el t e o r e m a d e l o s r e s i d u o s , s e o b t i e n e p a r a x < x ' :

K(-2.4)

L a s p r o p i e d a d e s c a r a c t e r í s t i c a s d e f ( x , k ) y l a s d e la

f u n c i ó n d e G r e e n G ( x - x ' , k ) ( e e s . ( 2 . 2 - 4 ) ) , p e r m i t e n o b t e n e r la

s i g u i e n t e e c u a c i ó n i n t e g r a l p a r a la p r i m e r a :+00

es decir

En efecto: i) aplicando el operador — y — - K 2 a la ec.(2.5)

y usando la ec.(2.i) se concluye que la f +(x,k) dada por la ec.(2.5)

satisface la e c . ( i . 2 ) , ii) Tomando el límite x — > + 0 0 en la ec.(Z6)

y dado que V ( x ) — > 0 si x—?+<>«, se comprueba- formalmente que

f+(x,k)'x^ expikx. En lo que sigue admitiremos que k pueda ser, no

solo real, sino complejo.

Nótese que la ec.(2.6) es de t i po \?o 1 te r ra . Iterándola in_

definidamente, se obtiene la serie formal:

-15*-

Cn

A p a r t i r d e la e c . ( 2 . 8 ) y m a y o r a n d o s u c e s i v a m e n t e :

S u p o n g a m o s Im k %• 0 en lo q u e s i g u e . E x i s t e s i e m p r e u n a

c o n s t a n t e p o s i t i v a c tal q u e jsen k(x.j-x)| < c e x p Im k ( x ^ - x )

y a s í con los o t r o s . En c o n s e c u e n c i a , se o b t i e n e :

n. + 0 3

,+eo n

El ú l t i m o paso puede j u s t i f i c a r s e por m e d i o de adecuadas

L-f., (análogas m a n i p u l a c i o n e s pueden verse en

R.G.Nev/ton, " S c a t t e r i n g T h e o r y of w a v e s and P a r t i c l e s " )

C o m b i n a n d o (2.7) con ( 2 . 1 0 ) , se o b t i e n e

n-o

IKI

<

-15**-

r tt+

A partir de la ec.(2.8) y mayorando sucesivamente

S u p o n g a m o s Im k -O en lo q u e s i g u e . E x i s t e s i e m p r e una

c o n s t a n t e p o s i t i v a c tal q u e jsen k ( x , - x ) | < c e x p Im k ( x ^ - x )

y a s í con los o t r o s . En c o n s e c u e n c i a , se o b t i e n e :

n

El ú l t i m o p a s o p u e d e j u s t i f i c a r s e p o r m e d i o d e a d e c u a d a s

p a r t i c i o n e s d e i^. ( a n á l o g a s m a n i p u l a c i o n e s p u e d e n v e r s e en

R . G . N e w t o n , " S c a t t e r i n g T h e o r y o f w a v e s a n d P a r t i c l e s " )

C o m b i n a n d o ( 2 . 7 ) c o n ( 2 . 1 0 ) , se o b t i e n e

n-o

IV6cJ|

-155-

C o n c l u í m o s , a s í , q u e la s e r i e d a d a en ( 2 . 7 ~ 8 ) c o n v e r g e

y p r o p o r c i o n a la s o l u c i ó n f ( x , k ) de la e c . ( 2 . 5 ) p a r a t o d o x

f i n i t o , c o n tal q u e : i) Im k ^ 0 o b i e n Im k = 0 p e r o IK \ ^ 0

El e s t u d i o r e a l i z a d o p a r a f ( x , k ) p u e d e e x t e n d e r s e sin

d i f i c u l t a d a f - ( x , k ) . I n t r o d u c i e n d o la n u e v a f u n c i ó n de G r e e n

q u e se a n u l a si x ' > x y es igual a — — o&vx K C ^ - ^ 0 S' x' < x ,

se o b t i e n e la c o r r e p o n d i en te e c u a c i ó n i n t e g r a l p a r a f - ( x , k ) :

La s e r i e de i t e r a c i o n e s d e la e c . ( 2 . 1 3 ) p u e d e a c o t a r s e

a t r a v é s de un a r g u m e n t o s i m i l a r :

y, p o r t a n t o , c o n v e r g e p a r a t o d o x f i n i t o h a c i a la s o l u c i ó n de

la e c . ( 2 . 1 3 ) , c u a n d o Im k ^ O , o b i e n si Im k = 0 p e r o [k| <¿ 0

- 1 5 6 -

3 . M i s c e l á n e a d e p r o p i e d a d e s ú t i l e s ( f + , R + , T + , E s t a d o s 1 i a a_

d o s ) .

R e u n i r e m o s a q u í u n a s e r i e d e p r o p i e d a d e s i m p o r t a n t e s , d e

u s o p o s t e r i o r , s i n d e t e n e r n o s m u c h o s o b r e su d e m o s t r a c i ó n p r e c i -

s a .

(+~1) Analiticidad de f± (x,k) en k . - Si ¿ ^ J j + [ y H j yfr^ J < -j. <*=>

el e s t u d i o p r e v i o p u e d e g e n e r a l i z a r s e y c o n d u c e a q u e f + ( x , k )

e s p a r a x f i j o , a n a l í t i c a e n k, e n el s e m i p l a n o Im k > 0 . S i , ade_

m á s d e c u m p l i r la c o n d i c i ó n a n t e r i o r , V ( x ) s e a n u l a m á s r a p i d a -

m e n t e ( p o r e j e m p l o , c o m o e p a r a 1x1—> +¡*=) e n t o n c e s f ( x , k )

y f _ ( x , k ) t i e n e n p a r a x f i j o , r e g i o n e s a d i c i o n a l e s d e a n a l i t i c i -

d a d e n k .

2 ) P r o p i e d a d e s d e l a s a m p l i t u d e s d e r e f l e x i ó n y t r a n s m i s i ó n . -

P a r t i e n d o , p o r e j e m p l o , d e la e c . ( i . 4 ) , d e r i v a n d o r e s p e c t o a x

y r e s o l v i e n d o el s i s t e m a a s í r e s u l t a n t e p a r a T ( k ) y R ( k ) , s e

o b t i e n e n l a s r e p r e s e n t a c i o n e s

co =

donde \sj [aCx)f \>C*)] ^Tv) (LbM _ bfx) j-^¿"0 es el wrons-

k i a n o d e l a s d i f e r e n t e s s o l u c i o n e s d e la e c . ( l . 2 ) . E n p a r t i c u l a r

W I 3 + ( V , - K / , j + C^/KJ p u e d e e v a l u a r s e t r i v i a l m e n t e

en x—?» +=>« , con lo que:

T + ( k ) .•

-157-

Aná l o g a s r e p r e s e n t a c i o n e s p u e d e n o b t e n e r s e p a r a T _ ( k )

y R _ ( k ) , a p a r t i r d e la e c . ( i . 3 ) - N ó t e s e a u e : i) l o s d i f e r e n t e s

w r o n s k i a n o s q u e a p a r e c e n s o n i n d e p e n d i e n t e s d e x , i i ) l a s dívejr_

s a s p r o p i e d a d e s d e e x i s t e n c i a y a n a l i t i c i d a d d e f + (x , k) en k,

p a r a k r e a l o c o m p l e j o , i m p l i c a n , c u a l i t a t i v a m e n t e al m e n o s , q u e

R + ( k ) y T + ( k ) e s t á n d e f i n i d a s p a r a k r e a l ( ^ 0 ) y t i e n e n c i e r -

t a s r e g i o n e s d e a n d i t i c i d a d p a r a k c o m p l e j o . A q u i" n o s l i m i t a r e m o s

a m e n c i o n a r q u e , p a r a p o t e n c i a l e s q u e s e a n u l a n en ¡xl->+=-s c o n s u -

f i c i e n t e r a p i d e z , T ( k ) e s a n a l í t i c a en Im k > 0 e x c e p t o e n un n ú -

m e r o f i n i t o , N , d e p u n t o s s o b r e el e j e i m a g i n a r i o , k = i . x .

n = 1. . . N , X > 0 , e n l o s q u e t i e n e p o l o s s i m u l e s , c u y o s i g n i f i c a d o

c o m e n t a r e m o s l u e g o . P o r o t r a p a r t e , si k-> =>s , R + ( k ) — > 0 y

T-f. ( k ) - 1 — > 0 . P a r a k r e a l p o s i t i v o , e s t a p r o p i e d a d s e j u s t i f i c a

f í s i c a m e n t e a s í : p a r a g r a n e n e r g í a , la p a r t í c u l a a t r a v i e s a el p o -

t e n c i a l , s i n s u f r i r r e f l e x i o n e s . P u e d e v e r s e q u e si V ( x ) — ? > 0 p a r a

x — > i""0 c o n s u f i c i e n t e r a p i d e z R + ( k ) y T + ( k ) - 1 s o n f u n c i o n e s d e

c u a d r a d o i n t e g r a b l e e n R e k , p a r a Im k f i j o .

3 ) E s t a d o s l i g a d o s .

Un p a p e l f u n d a m e n t a l l o j u e g a n l o s e s t a d o s l i g a d o s : s o n

f u n c i o n e s d e o n d a s e s t a c i o n a r i a s , d e c u a d r a d o i n t e g r a b l e e n x ,

q u e r e p r e s e n t a n s i t u a c i o n e s e n l a s q u e la p a r t í c u l a e s t a c o n f i -

n a d a e n r e g i o n e s d o n d e V ( x ) e s a p r e c i a b l e , y n o p u e d e e s c a p a r

h a c i a x — T * Í : C O . L o s N p o l o s s i m p l e s d e T ( k ) e n k=\.X n = 1...N

a n t e s m e n c i o n a d o s , r e p r e s e n t a n d e o r d i n a r i o e s t a d o s l i g a d o s . En

e f e c t o , c e r c a d e k = i . x T f k ) >\^ ?ñ , s i e n d o r el r e s i -n> + K - I X , . n

d ú o c o r r e s p o n d i e n t e al p o l o i,X y c o m p a r a n d o c o n la e c . ( 3 - 2 ) ,

v e m o s q u e , n e c e s a r i a m e n t e W | f - ( x , k ) , f + ( x , k ) J = 0 p a r a t o d o x^si.

P o r o t r a p a r t e , r e c o r d a n d o l a s p r o p i e d a d e s d e l w r o n s k i a n o d e las

s o l u c i o n e s d e u n a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l , tal c o m o la e c . ( i . 2 ) ,

c o n c l u i m o s q u e d e b e e x i s t i r u n a c o n s t a n t e d t a l q u e , p a r a t o d o x.

n) = d n f - ( x > í x

n) (3'3)

- 1 5 8 -

C o n s i d e r a n d o el c o m p o r t a m i e n t o d e f + ( x , i x ) p a r a

s e v e q u e a m b a s d e f i n e n u n a f u n c i ó n d e c u a d r a d o i n t e g r a b l e e n x

h. D e t e r m i n a c i o n . d e ! p o t e n c i a l a p a r t i r d e l a s f u n c i o n e s d e o n -

d a s .

I n t r o d u c i r e m o s a q u í n u e v a s f u n c i o n e s d e o n d a s , g ( x , k )

y < 9 + ( x , y ) , m u y d i r e c t a m e n t e r e l a c i o n a d a s c o n f + ( x , k ) , y c u y a

u t i l i d a d s e r á p r o n t o p u e s t a d e m a n i f i e s t o . A n t i c i p a r e m o s a q u í u n a

d e s u s c o n s e c u e n c i a s i n t e r e s a n t e s : la d e t e r m i n a c i ó n d i r e c t a d e l

p o t e n c i a l a p a r t i r d e l a s f u n c i o n e s d e o n d a s .

L a s n u e v a s f u n c i o n e s d e o n d a s e d e f i n e n c o m o s i g u e :

9+ (x,k) = ;f±

s i e n d o k real en la ec.(h.2).

P rop i e d a d e s :

a) C o m b i n a n d o la e c . ( 4 . i ) con las d e s i g u a l d a d e s (2.11) y (2.14)

r e s u 1 t a :I / I .\

b) la p r o p i e d a d a) implica para Im k = II

oo

c ) l a s p r o p i e d a d e s d e f + ( x , k ) i m p l i c a n q u e g . ( x , k ) . y g _ ( x , k ) s o n

f u n c i o n e s a n a l í t i c a s d e k e n el s e m i p l a n o Im k ^ O p a r a x f i j o (y

e n r e g i o n e s m á s a m p l i a s si el p o t e n c i a l d e c r e c e e x p o n e n c i a 1 m e n t e

p a r a |x) — >

d ) ' g + ( x , y ) = O s i y < x

q u e s e d e d a c e d i r e c t a m e n t e a p a r t i r d e la e c . ( 4 . 2 ) , t e n i e n d o e n

c u e n t a l a s p r o p i e d a d e s a n t e r i o r e s a ) , b ) , c ) , c e r r a n d o el c a m i n o

-159-

de i n t e g r a c i ó n en Im k y O y u s a n d o el t e o r e m a de C a u c h y (o b i e n ,

d e f o r m a m á s p r e c i s a , a p e l a n d o al t e o r e m a d e , P a 1 e y - W i e n e r ) ; a n á -

l o g a m e n t e s e o b t i e n e

g " _ ( x , y ) = 0 s i y > x ( 4 . 6 )

e ) a p a r t i r de la e c . ( 4 . l ) , u t i l i z a n d o la t r a n s f o r m a d a de F o u r i e r

i n v e r s a d e la e c . ( 4 . 2 ) y las p r o p i e d a d e s d e s o p o r t e e x p u e s t a s en

d ) , se l l e g a a las r e p r e s e n t a c i o n e s

(4.7)

(4.8)

f) en v i r t u d de la p r o p i e d a d b ) :

OO

g ) a p l i c a n d o el o p e r a d o r é. +• K7" — -2 v w V f x ) (k, r e a l ) a la e celx2

( 4 . 1 ) , r e c o r d a n d o q u e f + ( x , k ) s a t i s f a c e n la e c . ( i . 2 ) , m u l t i p l i -

c a n d o p o r -5— ^-n.{+ l<<i) e i n t e g r a n d o en k, s e l l e g a a las

s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s p a r a g + ( x , y ) :

1

F i n a l m e n t e , d a r e m o s las r e p r e s e n t a c i o n e s , a n t e s a n u n c i a d a s , p a r a

el p o t e n c i a\ V (x) d i r e c t a m e n t e en t é r m i n o s de las f u n c i o n e s de on_

d a s g + ( x , y ) . P a r t i e n d o , p o r e j e m p l o , d e la e c . ( 4 . 1 0 ) p a r a g ( x , y ) ,

c a m b i a n d o v a r i a b l e s ( x , y ) — > (^^7 ), c o n %, = x + y , n = y - x , d e

m o d o q u e %—~~ - ¿-; — — ¿ i — > i n t e g r a n d o la e c u a c i ó n

r e s u l t a n t e s o b r e V en — & < ? £ £ + € C^ >©') p a r a &> f i j o , o b -

s e r v a n d o q u e ° f+ se a n u l a p a r a ~n = - 6 ( 0 ) en v i r t u d de la

e c . ( 4 . 5 ) , y t o m a n d o f i n a l m e n t e el l í m i t e € — > 0 , s e o b t i e n e :

- 1 6 0 -

En f o r m a s i m b ó l i c a , la e c . ( 4 . 1 i ) s e e s c r i b e a s í e n o c a s i o

nes :

(A.iz)

U n a r g u m e n t o s i m i l a r , p a r t i e n d o d e la e c . ( 4 . 1 0 ) p a r a g_(x,y)

c o n d u c e a :

3 *

5- La e c u a c i ó n i n t e g r a l d e G e l f a n d , L e v i t a n y M a r c h e n k o

M o s t r a r e m o s q u e el c o n o c i m i e n t o d e c i e r t a s c a r a c t e r í s t i -

c a s d e l o s e s t a d o s l i g a d o s , a s a b e r , X , "T y d p a r a n = 1 . . . N ,

y d e la a m p l i t u d d e r e f l e x i ó n R , ( k ) p a r a t o d o k r e a l , p e r m i t e de_

t e r m i n a r la f u n c i ó n d e o n d a s g . ( x , y ) ; m á s p r e c i s a m e n t e , p r e s e n t a

r e m o s u n a i m p o r t a n t e e c u a c i ó n i n t e g r a l l i n e a l p a r a g + ( x , y ) , deb_i_

d a a G e l f a n d , L e v i t a n y M a r c h e n k o (ó e c u a c i ó n G L M ) , e n la q u e t £

d o s l o s x , T , <k _ y R . ( k ) a p a r e c e n c o m o d a t o s . Su d e d u c c i ó n , e n

la q u e s e u t i l i z a r á n m u c h a s d e l a s p r o p i e d a d e s p r e s e n t a d a s h a s t a

a h o r a , p r o c e d e d e la f o r m a s i g u i e n t e . P a r t i m o s d e la e c . ( i . M >

c o n k r e a l ( >¿ 0 ) , q u e r e e s c r i b i m o s a s í :

- 1 6 1 -

M u l t i p l i c a n d o l a e c . ( 5 - i ) p o r _L. -e_xn Iv^y , i n t e q r a n

do s o b r e k en — t > c < K < +&¿> , d e f i n i e n d o

Í+cO

oÍK "2- .fl cfc.y f ? + ( K )

c u y a c o n v e r g e n c i a se d i s c u t i ó , a n t i c i p a d a m e n t e , en s e c c i ó n 3, apa_r

t a d o 2 , r e c o r d a n d o la e c . ( A . 2 ) y u s a n d o el t e o r e m a d e c o n v o l u c i ó n ,

l l e g a m o s a:

4- 34^>)-^fx/7) (5".3

q u e c a s i t i e n e l a f o r m a b u s c a d a . R e c o r d e m o s l a s p r o p i e d a d e s a n a -

l í t i c a s d e f _ ( x , k ) y d e T ( k ) e n Im k > 0 , m e n c i o n a d a s e n l a s e c -

c i ó n 3 » a p a r t a d o s 1 y 2 , y s u p o n g a m o s , e n l o q u e s i g u e x < y . E n

t a l c a s o , e l c i r c u i t o d e i n t e g r a c i ó n e n l a i n t e g r a l a l a i z q u i e £ _

d a d e l a e c . ( 5 • 3 ) p u e d e c e r r a r s e e n Im k ^ O ( l a c o n d i c i ó n x < y

p r o p o r c i o n a e l d e c r e c i m i e n t o e x p o n e n c i a l n e c e s a r i o ) . U s a n d o e l

t e o r e m a d e l o s r e s i d u o s y t e n i e n d o e n c u e n t a q u e s o l a m e n t e l o s N

p o l o s s i m p l e s d e T ( k ) e n k = \.X. c o n t r i b u y e n , s e o b t i e n e :

w

n-i

- 1 6 2 -

U s a n d o las e e s . (h . 5 ) ,N

la e c ( 5 - 3 ) pasa a ser:

F i n a l m e n t e s u s t i t u y e n d o f + ( x , i l n ) por el lado d e r e c h o de la

e c . ( 4 . 7 ) ( c o n k = i x n ) , r e a g r u p a n d o f a c t o r e s y d e f i n i e n d o

_a (X)=R+M 5".

l l e g a m o s a la e c u a c i ó n GLM b u s c a d a :+-00

*, y)

Un análisis matemático detallado de ecuaciones de este

tipo puede verse en el libro de Z,S, Agranoîch y V.A. Marchen_

ko, así como en el artículo de L.D. Faddeev,

- 1 6 3 -

I I . E V O L U C I Ó N T E M P O R A L P A R A L A E C U A C I Ó N N O - L I N E A L D E K O R T E W E G Y

D E V R I E S C O M O P R O B L E M A I N V E R S O DE U N A D I S P E R S I Ó N .

6. I d e a G e n e r a l d e l m é t o d o .

T r a t a r e m o s b r e v e m e n t e u n a i n t e r e s a n t e a p l i c a c i ó n d e la

t e o r í a e x p u e s t a e n l a s s e c c i o n e s k y 5 d e l c a p í t u l o I a la r e s o 1 u _

c i ó n d e l p r o b l e m a d e e v o l u c i ó n t e m p o r a l p a r a u n a e c u a c i ó n e n d e -

r i v a d a s p a r c i a l e s n o - 1 i n e a 1 . E s p e c í f i c a m e n t e , c o n s i d e r e m o s la sj_

g u í e n t e e c u a c i ó n n o l i n e a l ( c o n o c i d a h a b i t u a I m e n t e c o m o e c u a c i ó n

K d V o d e K o r t e w e g y d e V r i e s ) p a r a la f u n c i ó n r e a l u ( x , t ) d e u n a

v a r i a b l e e s p a c i a l x y u n a t e m p o r a l t:

y el c o r r e s p o n d i e n t e p r o b l e m a d e e v o l u c i ó n t e m p o r a l , e s d e c i r ,

s u p o n i e n d o c o n o c i d a u ( x , 0 ) , e n t = 0 , d e t e r m i n a r u ( x , t ) , p a r a t > 0 .

A n t i c i p e m o s q u e la c o n e x i ó n e n t r e la T e o r í a p r e v i a m e n t e

r e s u m i d a e n el c a p í t u l o I y el p r o b l e m a d e v a l o r e s i n i c i a l e s a c -

t u a l m e n t e p l a n t e a d o e s a l g o l a r g a y s o f i s t i c a d a , y s u e l e s e r m e -

j o r p e r c i b i d a a p o s t e r i o r i . El a r g u m e n t o p r o c e d e a t r a v é s d e v a -

r i a s e t a p a s .

A . C o n s t r u c c i ó n d e l o s o p e r a d o r e s L y H .

P a r a e m p e z a r , m o s t r a r e m o s q u e e x i s t e u n p a r d e o p e r a d o -

r e s L , H t a l e s q u e : i) d e p e n d e n d e Jl— y d e u ( x , t ) y a c t ú a n 1 i -

n e a 1 m e n t e e n u n c i e r t o e s p a c i o ^ - d e f u n c i o n e s c o m p l e j a s q ( x , t )

i i) la e x p r e s i ó n :

U [ L H - H L

se anula para toda q(x,t) en el espacio^G- c o n s i d e r a d o si y solo

si u(x,t) satTSÍf)c=e,-l a -écuac ion KdV, ( £ . i ) r Nótese que t|^ solo

actúa sobre L, para dar un nuevo operador \^L , pero no so

— at ~

-I6ít-

b r e q ( x , t ) , e n t a n t o q u e e l o p e r a d o r a _ , c o n t e n i d o e n l o s d i -

v e r s o s o p e r a d o r e s , s i a c t ú a s o b r e q ( x , t ) .

L a c o n s t r u c c i ó n e x p l í c i t a d e l o s o p e r a d o r e s L , H v i e n e

r e g i d a , e s e n c i a l m e n t e p o r l a s u e r t e y l a h a b i l i d a d p a r a e n c o n t r a r _

l o s t r a s u n a s e r i e d e t a n t e o s . P o d e m o s c o m p r o b a r q u e l o s . s i g u i e n _

t e s o p e r a d o r e s l i n e a l e s :

q u e o b v i a m e n t e c u m p l e n , i) t a m b i é n s a t i s f a c e n i i ) . E n e f e c t o , ha_

c i e n d o p = — t ü _ y u t i l i z a n d o l a s r e g l a s d e c o n m u t a c i ó n :

4-

s e o b t i e n e

P o r o t r a p a r t e

• -165-

y y a e s o b v i o q u e l a e x p r e s i ó n (6.2.) s e a n u l a s í y s o l o si u s a •

t i s f a c e l a e c . ( f i . i ) , e s d e c i r , l a v a l i d e z d e i i ) .

B . C o m p o r t a m i e n t o d e l o p e r a d o r H p a r a x - » i ° o

S u p o n g a m o s q u e p a r a x-*>±°& , el d a t o i n i c i a l u ( x , 0 ) en

la e c u a c i ó n K d V se a n u l a c o n s u f i c i e n t e r a p i d e z , La e s t r u c t u r a

d e la e c . ( 6 . i ) i m p l i c a e n t o n c e s q u e u ( x , t ) — > 0 p a r a x —^ ± <x=>

si t > 0. En c o n s e c u e n c i a , p a r a t >, 0 :

e s d e c i r , H ^ e s i n d e p e n d i e n t e d e u ( x , t )

C . " E c u a c i ó n d e S c h r o d i n g e r " en el e s p a c i o axr

P a r a u n a u ( x , t ) , s o l u c i ó n r e a l d a d a d e la e c . ( f . i ) c o n s i -

d e r e m o s el o p e r a d o r l i n e a l H , a c t u a n d o en ^ f , c o m o si f u e r a f o r -

m a l m e n t e u n " h a m i 1 t o n i a n o m e c a n o - c u á n t i c o u n i d i m e n s i o n a l " y, m a s

a ú n c o n c e n t r é m o n o s , d e s d e a h o r a , en l a s " f u n c i o n e s d e o n d a s " Q ( x , t )

p e r t e n e c i e n t e s a $-{£ q u e s a t i s f a c e n " l a e c u a c i ó n d e S c h r o d i ncjer":

H % C*1 = i (GA)

P o r c o n v e n i e n c i a p o s t e t * c o r , i n t r o d u c i r e m o s t a m b i é n el " O p e r a d o r

d e e v o l u c i ó n " U ( t ) en ^ , a s o c i a d o a la e c . ( 6 . 9 ) , y q u e c u m p l e

(U0)

s i e n d o I el o p e r a d o r u n i d a d e n "^ . A s í , la s o l u c i ó n f o r m a l q ( t ) =

- q ( x , t ) d e la e c . ( 6 . 9 ) , c o r r e s p o n d i e n t e a la c o n d i c i ó n i n i c i a l

q ( 0 ) = q ( x , S ) ( j n o c o n f u n d i r c o n el p r o b l e m a d e v a l o r e s i n i c i a l e s

p a r a la e c. ( 6 . 1 ) ' ) e s :

-166-

(o bien ^(^yt)— \l x; U (.*, *', ±) % (>', 6) > s i e n d o U(x,x',t)

el n ú c l e o a s o c i a d o al o p e r a d o r U(t)J.

D. A u t o v a l o r e s y a u t o f u n e iones del o p e r a d o r lineal L.

C o n s i d e r e m o s , en el i n s t a n t e t, la f u n c i ó n u ( x , t ) y el

c o r r e s p o n d i e n t e o p e r a d o r L, q u e d e n o t a r e m o s por l_t con o b j e t o de

r e c o r d a r su d e p e n d e n c i a t e m p o r a l . En c o n s e c u e n c i a , L o - " -—t +• u ( ^ ctí X

es el o p e r a d o r L. a s o c i a d o al d a t o inicial para la e c u a c i ó n K d V.

Los a u t o v a l o r e s E ( t ) , E ( 0 ) y las a u t o f u n e iones q , ( x , t ) , q ^ ( x , 0 )de L ., L o , c o n t e n i d a s en "^ s a t i s f a c e ntu v

= BCt) ^Cts-t) ,

Por r a z o n e s t é c n i c a s , s u p o n d r e m o s q u e U ( t ) p o s e e i n v e r s o , U ( t )

pa r a t > 0 .

No es difícil j u s t i f i c a r las i m p o r t a n t e s p r o p i e d a d e s si

gu i en tes :

a) Lt = U(t) LQ Uft)" 1

b ) s i q « ( 0 ) = q - ( x , 0 ) e s u n a a u t o f u n c i ó n d e L Q r e . í a t i v a a l a u t o -

v a l o r E ( 0 ) , e n t o n c e s :

es una autofunción

q-(t) = q.(x,t) de L , asociada al autovalor E($=E (t) =E .

En efecto, derivando la ec.(6.13) respecto al tiempo y

utilizando la ec . ( 6 . 1 0) , se com prueba que L £~±. _. F £ |-J ( — O1t J J y

lo cual e s t a b l e c e a ) . Por o t r a p a r t e , y e n d o a las e e s . ( 6 . 1 2 ) , sus_

t i t u y e n d o L. por el lado d e r e c h o de la e c . ( 6 . 1 3 ) y m a n i p u l a n d o ,

se j u s t i f i c a f á c i l m e n t e la p r o p i e d a d b ) .

-167-

L a p r o p i e d a d b ) p u e d e e n u n c i a r s e t a m b i é n a s í : l o s a u t o -

v a l o r e s E ( t ) = E d e l o p e r a d o r l i n e a l l_t s o n i n d e p e n d i e n t e s d e t y

l a a u t o f u n c i ó n q ( x , t ) d e l_t r e l a t i v a al a u t o v a l o r E e v o l u c i o n a

e n e l t i e . m p o s e g ú n l a " e c u a c i ó n d e S c h r o d i n g e r " ( 6 , 9 ) , a p a r t i r

d e l d a t o i n i c i a l q ( x , 0 ) , q u e e s , a s u v e z , a u t o f u n c i ó n d e L n c o -

r r e s p o n d i e n t e a l m i s m o a u t o v a l o r , E .

E . R e d u c c i ó n d e l p r o b l e m a d e e v o l u c i ó n t e m p o r a l p a r a l a e c u a c i ó n

K d V a p r o b l e m a s l i n e a l e s .

L a c o m b i n a c i ó n d e l o s r e s u l t a d o s d e l a s e t a p a s A - D a n t e -

r i o r e s n o s p e r m i t i r á , c o m o v e r e m o s , r e d u c i r el p r o b l e m a d e v a l o -

r e s i n i c i a l e s p a r a l a e c u a c i ó n n o - l i n e a l ( 6 . 1 ) a r e s o l v e r e c u a c i o

n e s l i n e a l e s m a s s i m p l e s q u e l a K d V . E n e s t e s e n t i d o , e s t o s d e s a -

r r o l l o s c o n s t i t u y e n n o s o l o u n a i m p o r t a n t e r e d u c c i ó n d e l p r o b l e m a

n o - l i n e a l s i n o i n c l u s o u n a v e r d a d e r a s o l u c i ó n t e ó r i c a d e l m i s m o .

L a e s t r a t e g i a e s c o m o s i g u e .

a ) C o n s i d e r a m o s e l d a t o i n i c i a l ü ( x , 0 ) p a r a l a e c u a c i ó n K d V ( p o r

h i p ó t e s i s , t » ( x , 0 ) —=> 0 s i x — > ± ° * ) , el o p e r a d o r L ^ a s o c i a d o y

e l c o r r e s p o n d i e n t e p r o b l e m a d e a u t o v a l o r e s y au t o f u n c i o n e s , d a d o

p o r l a s e g u n d a e c , ( 6 . 1 2 ) . E s c l a r o q u e e s t a ú l t i m a e s i d é n t i c a

a l a e c . ( i . 2 ) , c o n t a l q u e t i ( x , 0 ) = 2 m V ( x ) , y E Q = E * I < . A s í p u e s ,

L Q t e n d r á : i) u n n ú m e r o f i n i t o , N , d e a u t o f u n e i o n e s d e c u a d r a d o

i n t e g r a b l e ,

2c o n a u t o v a 1 o r e s - X , a s o c i a d o s a p o l o s d e u n a c i e r t a a m p l i t u d d e

t r a n s m i s i ó n T ( k ) , c o n r e s i d u o s T » ii) a u t o f u n c i o n e s q ( x , 0 ) = f + ( x , k )2 n ~

r e l a t i v a s a a u t o v a l o r e s k q u e b a r r e n al e s p e c t r o c o n t i n u o 0 ¿ K E

q u e c o n d u c e n a a m p l i t u d e s d e r e f l e x i ó n y t r a n s m i s i ó n , R + ( k ) ,

T + ( k ) . En lo q u e s i g u e , s u p o n d r e m o s r e s u e l t o el p r o b l e m a p l a n t e a _

d o p o r L Q , y e n p a r t i c u l a r , q u e s o n c o n o c i d o s N , t o d o s l o s X ,

d , r , a s í c o m o R ( k ) y T (k) p a r a t o d o k. N ó t e s e q u e e s e p r o b l e _

uta, " y a r e s u e l t o " , e s l i n e a l .

b ) E s t u d i a m o s la e v o l u c i ó n t e m p o r a l d e f + ( x , k ) y f + ( x , i ) p a r a

> d e a c u e r d o c o n l o s r e s u l t a d o s e x p u e s t o s en B , C y D,

-168-

L a e c . ( 6 . 9 ) , p a r a x —í> + 0 0 , s e c o n v i e r t e e n

Si la c o n d i c i ó n i n i c i a l c o r r e s p o n d e a u n e s t a d o l i g a d o :

n (- X n X^ X — ^ + <=o

la " f u n c i ó n d e o n d a s " e n t > 0 , s o l u c i ó n d e la e c . ( 6 . 1 4 ) es

4- oc

A n á l o g a m e n t e p a r a e l e s p e c t r o c o n t i n u o : p a r a

. x -

l a e v o l u c i ó n t e m p o r a l i m p l i c a d a p o r l a e c . ( 6 . l M c o n d u c e a

c) en c o n s e c u e n c i a , según l o v i s t o en l a e t a p a D, d e l o p e r a d o r

L , en e l i n s t a n t e t , se c o n o c e su e s p e c t r o de a u t o v a l o r e s , que

es e l mismo que p a r a l _ 0 , y la forma a s i n t ó t i c a (X-T>±°<>) de sus au to -

func iones , dada por las ees . (6 .16 ) y ( 6 . i 8 ) . P a r a acomodarnos a la normaliza_

c ión a s í n t ó t i c a e s p e c í f i c a de las funciones de ondas, es p rec iso m u l t i p l i c a r

las ees. (6.16) y (6.18) por ^ f - 4 x ^ t ) y ¿*/v(¿4fc3t)

respectivamente. Tras esto, vemos inmediatamente que, en el instante t , las

amplitudes de ref lex ión y transmisión correspondientes a la onda incidente

exp-ikx ' y. son R,.(k) exp i8k t y T (k) y que las análogas de las constantes

rn, d n , en (recodar la ec. (5.6)j son r^, d^ exp (-8 ^ t ) , G

Así pues tenemos la ' in formación necesar ia para «escr ib i r d i rectamente la ecua-

rc ión GLM para l a " f u n c i ó n de ondas ^ ( ^ y ^ t r j en e l i ns tan te t.>.P. :

- 1 6 9 -

d o n d e

#+Cvt)=¿

U n a v e z r e s u e l t o el n u e v o p r o b l e m a l i n e a l q u e c o n s t i t u y e

la e c u a c i ó n G L M , y c o n o c i d a ' g + ( x , y , t ) , y a p e l a n d o a la t e o r í a ex_

p u e s t a e n la s e c c i ó n h, c a p í t u l - o I, el " p o t e n c i a l " u ( x , t ) q u e apa_

r e c e e n L v i e n e d a d o d i r e c t a m e n t e p o r

fIx

E s t a es la s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n n o - l i n e a l ( 6 . 1 ) , correjs_

p o n d i e n t e a la c o n d i c i ó n i n i c i a l d a d a u ( x , 0 ) , c o n lo cual h e m o s

r e d u c i d o el p r o b l e m a n o - 1 i nea1 a d o s p r o b l e m a s l i n e a l e s - cu. s a b e r ,

los p l a n t e a d o s p o r la s e g u n d a e c . ( 6 . 1 2 ) y p o r la e c . (6.1°)).

S u p o n g a m o s q u e u ( x , 0 ) es tal q u e la s e g u n d a e c . ( 6 . 1 2 ) :

i) no t i e n e e s t a d o s l i g a d o s , ii) la c o r r e s p o n d i e n t e R., (k) c u m p l e

COTBO

p a r a t o d o t. E n t o n c e s , i t e r a n d o la e c , ( 6 . ] 9 ) , m a y o r a n d o la s e r t e

r e s u l t a n t e y u t i l i z a n d o a c o t a c i o n e s del t i p o (x -C y )

n

Z

se o b t i e n e Fl«.x <4 . í x, V .4r) S M , / M - / U ) . Esta d e s i -

gualdad e s t a b l e c e la existencia de soluciones g- (x,y,t) de la

e c . ( 6 . 1 9 ) en las c o n d i c i o n e s indicadas.

- 1 7 0 -

I I I . G E N E R A L I Z A C I O N E S .

L a s ¡ d e a s p r e c e d e n t e m e n t e d e s a r r o l l a d a s p a r a la s o l u c i ó n

d e l p r o b l e m a d e v a l o r e s i n i c i a l e s e n l a e c u a c i ó n K d V p u e d e n s e r

e x t e n d i d a s a o t r a s e c u a c i o n e s n o l i n e a l e s e n d e r i v a d a s p a r c i a l e s .

A c o n t i n u a c i ó n , p r e s e n t a r e m o s a l g u n o s a s p e c t o s e s e n c i a l e s d e d i -

c h a g e n e r a l i z a c i ó n p a r a l a s e c u a c i o n e s d e S c h r o d i n g e r n o - l i n e a l

y d e S i n e - G o r d o n : n o s c o n c e n t r a r e m o s e n l o s a n á l o g o s d e l o s o p e r a _

d o r e s L y H p a r a e s t a s n u e v a s e c u a c i o n e s . P o r o t r a p a r t e , o m i t i d

r e m o s p o r b r e v e d a d la g e n e r a l i z a c i ó n d e l p r o b l e m a i n v e r s o d e la

d i s p e r s i ó n y d e la e c u a c i ó n d e G e l f a n d , L e v i t a n y M a r c h e n k o p a r a

l o s n u e v o s o p e r a d o r e s L : r e s p e c t o a e s t a o m i s i 6 n ) di r e m o s q u e l a s

i d e a s b á s i c a s y a f u e r o n p r e s e n t a d a s e n e l c a p í t u l o I , y q u e l o s

d e t a l l e s p u e d e n e n c o n t r a r s e e n l a s r e f e r e n c i a s a e s t e c a p í t u l o .

7 . E c u a c i ó n d e S c h r o d i n g e r n o - l i n e a l .

C o n s i d e r e m o s l a l l a m a d a e c u a c i ó n d e S c h r o á i n g e r n o - l i n e a l

( S N L ) :

s i e n d o V u n p a r á m e t r o r e a l d a d o , y ^ = ^ f ) í x > t ) u n a f u n c i ó n c o m p l e _

j a . A s f p u e s , la e c . ( 7 - 1 ) i m p l i c a :

P r e s e n t a r e m o s p a r e s d e o p e r a d o r e s L , H , q u e d e p e n d e n d e 4^,

y a c t ú a n l i n e a l m e n t e s o b r e b i s p i n o r e s q ( x , t ) p e r t e n e c i e n t e s a u n

c i e r t o e s p a c i o >$-o- , d e m o d o q u e

p a r a t o d o q € % > s i y s o l o s i V , vj>* s a t i s f a c e n ( 7 . 1 ) y (7.2).j?fc-

g ú n Z a k h a r o v y S ^ a b a t u n p o s i b l e p a r e s el s i p u i e n t e :

O

-171-

I -0 4-J , b

N ó t e s e que \a\ y 1 6 \a\ ¿1 1 s e g ú n que y<.0 ó "V > O, s i e n d o

a real s i emp re .

A c o n t i n u a c i ó n d a r e m o s a l g u n o s d e t a l l e s i n t e r m e d i o s del

c á l c u l o :

a) U t i l i z a n d o ( 7 - 1 ) , (7.2) y (7-5) es i n m e d i a t o o b t e n e r

o

b) Haciendo p zz— L '5_ ,

pl i t i c a c i o n e s :

u s a n d o (6.5) y tras a l g u n a s sím-

s i en do

o

']

- 1 7 2 -

c ) F i n a l m e n t e , u t i l i z a n d o d e n u e v o ( 6 . 5 ) p a r a s i m p l i f i c a r ( 7 - 8 ) ,

e s f á c i l c o m p r o b a r q u e :

p a r a t o d a q 6 <HJ , es d e c i r , la e q u i v a l e n c i a e n t r e l a s e c u a c i o n e s

S N L y ( 7 - 3 ) •

O t r a p a r e j a d e o p e r a d o r e s L , H , d i s t i n t a d e l a a n t e r i o r ,i 3 "\y q u e t a m b i é n s a t i s f a c e ( 7 . 3 ) p a r a t o d o b i s p i n o r „

s' s°l°si y v e r i f i c a ( 7 - 1 ) e s ( L . D . F a d d e e v , L e s H o u c h e s , 1 9 7 5 ) :

o1

0 4 /

r\ oo 4

o

o

• O

4-

O

8. Ecuación de S i n e - G o r d o n .

L a e c u a c i ó n d e S i n e - G o r d o n p a r a la f u n c i ó n r e a l ü s e p r e_

s e n t a h a b i t u a 1 m e n t e e n c u a l q u i e r a d e l a s t r e s f o r m a s e q u i v a l e n t e s

s i g u i e n t e s :

~ \^ +

-173-

0 Vk+y^^^v y u=u(x'/t')

E s I n m e d i a t o o b t e n e r l o s c a m b i o s d e v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s q u e

m u e s t r a n l a e q u i v a l e n c i a d e l a s f o r m a s a ) , b ) , c ) , . A s í , e l c a m b i o

t r a n s f o r m a a) en b ) . P o r o t r a p a r t e , h a c i e n d o

es i n m e d i a t o , p a s a r d e c) a b ) .

A c o n t i n u a c i ó n , t r a n s f o r m a r e m o s ( 8 . 1 ) e n un s i s t e m a de

e c u a c i o n e s en d e r i v a d a s p a r c i a l e s d o n d e s o l o , a p a r e c e n d e r i v a d a s

p r i m e r a s r e s p e c t o al t i e m p o , y e s , a s í , m a s a p r o p i a d o p a r a g e n e -

r a l i z a r el m é t o d o e x p u e s t o en el c a p í t u l o 2 . En e f e c t o , i n t r o d u -

c i e n d o la n u e v a f u n c i ó n real w = w ( x , t )

la e c u a c i ó n ( 8 » 1 ) r e s u l t a s e r e q u i v a l e n t e al s i s t e m a

3¿

En el c a s o a c t u a l , p u e d e p r o b a r s e a m p l i a n d o el a n á l i s i s

de L . D . F a d d e e v (Les H o u c h e s , " 1 9 7 5 ) q u e el a n á l o g o de (6 . 2 ) y

( 7 - 3 ) e s :

= o

d o n d e q = q ( x , t ) es un c u a d r i s p i n o r c u a l q u i e r a y L, H, son los

s i g u i e n t e s o p e r a d o r e s m a t r i c i a l e s kxk;

-174-

i-'

ü_ -f-

4- (•¡.ID)

A s u v e z , I , J , A y B s o n l a s m a t r i c e s 2 x 2 s i g u i e n t e s

^ *

ñ~-'fí °0

O

\

Finalmente, (</

píen:

- 2

son números complejos que cum

(8.12)

U n l a r g o c á l c u l o , s i m i l a r a l o s y a p r e s e n t a d o s p a r a l a s

e c u a c i o n e s K d V y S N L , y q u e n o d e t a l l a r e m o s , p e r m i t e c o m p r o b a r

l a e q u i v a l e n c i a e n t r e e l s i s t e m a ( 8 . 7 ) y l a r e l a c i ó n ( 8 . 8 ) p a r a

t o d o c u a d r i s p i n o r q , c o n t a l q u e l a s c o n d i c i o n e s ( 8 . 1 2 ) s e v e r i

f i q u e n .

-175-

R E F E R E N C I A S

C a p í t u l o I.-

L.D. F A D D E E V , J o u r n a l of M a t h . P h y s . 4_, 72 ( 1 9 M ) .

R . G . N E W T O N , " S c a t t e r i n g T h e o r y of W a v e s and P a r t i c l e s " , M c G r a w ^

— H í 1 1 1966 y J o u r n a l of M a t h . P h y s . ]_, 3 1 4 ( 1 9 6 0 )

Z . S . A G R A N O V I C H , V . A . M A R C H E N K O , " T h e i n v e r s e p r o b l e m of S c a t t e r i n g

T h e o r y " , G o r d o n and B r e a c h , ( 1 9 6 3 ) •

I . M . G E L F A N D , B . M . L E V I T A N , A m e r . M a t h . S o c . T r a n s í . ]_, 253 ( i q 5 5 ) .

Y . K A T O , S u p p l . P r o g r e s s of T h e o r . P h y s . 5J_, 2 4 7 ( 1 9 7 4 )

A . C . S C O T T , F . Y . F . C H U , D. W . M c L A U G H L I N , P r o c . of the I.E.E.E. 6_1_,

14¿i3 ( 1 9 7 3 ) , A p é n d i c e D.

Cap Ttu1 o II.

M . J . A B L O W I T Z , D . J . K A U P , A . C . N E W E L L , H . S E G U R , P h y s . Rev. Let . 3J_,

125 ( 1 9 7 3 ) •

Y . K A T O , S u p p . P r o g r e s s of T h e o r . P h y s . _5_5_, 2 4 7 ( 1 9 7 4 )

P . D . L A X , Com. P u r é A p p . M a t h . 2J_, 4 6 7 ( 1 9 6 8 )

A . C . S C O T T , F . Y . F . C H U , D . W . M c L A U G H L I N , P r o c . of the I.E.E.E. £ ] _ ,

1443 ( 1 9 7 3 ) .

C a p í t u l o I I I . -

V . E . Z A K H A R O V , A . B . S H A B A T , S o V i e t P h y s . J . E . T . P . 34_, 62 (1972)

G . B . W H I T H A M , " L i n e a r and N o n - L i n e a r W a v e s " , J p h n W i l e y , New Y o r k

1 9 7 4 , C a p í t u l o 17-

L . D . F A D D E E V , "Q_uan t i za t i on of S o l i t o n s " , E c o l e d ' E t é de P h y s i q u e

T h e o r i q u e , Les H o u c h e s , A g o s t o , 1 9 7 5 .

L . D . F A D D E E V , L . A. T A K H T A O A N , U s p e k U M a t . S c i , _29_, 2 4 9 ( 1 ^ 7 4 ) , 2J_,

1 6 0 ( 1 9 7 4 ) .

V . E . Z A K H A R O V , L . A . TAKHTA.j AN , L . D . F A D D E E V , Dokiai/ A k a d . S c i . U S S R

2 1 9 , 1334 ( 1 9 7 4 ) .

I.YA, A R E F I E V A , V . E . K O R E p | N , P i z m a J . E . T . P . 20_, 680 (1

L.D. F A D D E E V , P i z m a J . E . T . P . 2 1 , 141 ( 1 9 7 5 )

- 1 7 6 -

L . D . F A D D E E V , P . P . K U L I S H , V . E . K O R E P I N , P í z m g ; > J . E . T . P . , 2 J _ ,

3 0 2 ( 1 9 7 5 ) .

-177-

'ONDAS VIAJERAS Y SOLITONES EN ALGUNAS ECUACIONES

DIFERENCIALES NOLINEALES"

G. García Alcaine

-178-

introducción

En los últimos anos se ha despertado un gran interés entre físicos

y matemáticos por el estudio de aquellas ecuaciones en derivadas parcia-

les oue admiten soluciones del tipo soliton. El monumental trabajo de(97)

Scott, Chu y McLaughlin constituye un punto de referencia imprescin-

dible en estos temas. El número de artículos, libros, symposia, etc. apa

recidos posteriormente hace imposible la realización de una puesta a pun_

to que, como la de Scott et al., contenga toda la bibliografía disponi-

ble en el momento de escribirla. Nuestro propósito es mucho menos ambi-

cioso y vamos a restringirnos a la consideración de las ecuaciones de Kor

teweg-de Vries (K-dV), sine-Gordon (s-G) y generalizaciones de ambas,

por ser las mejor conocidas y por creer que los fenómenos que en ellos

aparecen son comunes a una gama muy extensa de ecuaciones (aunque por eldeterminar

momento no exista medio que permitirá' priori y de una manera rápida siuna ecuación dada posee todas o algunas de las propiedades buscadas).

Nuestro énfasis va a estar en los resultados y no en la manera de

obtenerlos, dado que los dos métodos más importantes, el del Scattering

Inverso (I.S.T.) y el de las transformaciones de Backlund, son tratados

en sendos trabajos que acompañan a éste. No esta de más sin embargo re-

cordar que ambos métodos se originaron precisamente del estudio de K-dV

y s-G, respectivamente. El método I.S.T. ha permitido resolver el proble_

ma de Cauchy para una serie de ecuaciones para las que hace apenas diez

años parecía no haber esperanza, mientras que las transformaciones de

i. ii A v A A • ' • A • ' ^-' • (116,117,31,14-0,23)Backlund han dado origen a una serie de investigaciones

sobre "pseudopotenciales" y "estructuras de prolongación" que se encuen-

tran entre las lineas de trabajo más interesantes (y abstrusas) sobre

ecuaciones diferenciales no lineales.

Antes de comenzar el análisis de ecuaciones concretas, debemos esta

blecer algunas notaciones (nos resistimos a hablar de definiciones pues-

to que no existe una caracterización inequívoca y ni siquiera hay un

acuerdo unánime entre todos los autores acerca del sentido de los dife-

rentes términos).

Dada una ecuación de ondas en una variable temporal y otra espacial

una onda viajera es una solución de la ecuación que solo depende de las

variables a través de la combinación <e = x - vr ¿ , a = efe .

-179-

Una onda solitaria es una onda viajera esencialmente localizada. En

la definición más restrictiva debería anularse en y = ¿ «« _pero en un seni ——

tido más amplio basta con que tienda a valores constantes (no necesaria-

mente iguales) en V = +**> y ^ - - «= .En ocasiones se restringe el

nombre de onda solitaria al caso en que ambos valores coincidan y se ha-

bla de "onda de choque" si son diferentes.

Un solitón es una onda solitaria que conserva asintóticamente su

forma y su velocidad aunque interaccione con otros solitones. En otras

palabras: si se hacen interaccionar varias ondas solitarias inicialmente

disjuntas (es decir se toma una condición inicial formada por dichas on-

das solitarias suficientemente separadas y se deja evolucionar de acuer-

do con la ecuación diferencial en cuestión de manera que lleguen a inte-

raccionar entre si) y el resultado al cabo de un tiempo suficientemente

grande consta de las mismas ondas solitarias iniciales sin otro cambio

que un posible desplazamiento de sus centros respecto a las posiciones

que ocuparían de haber evolucionado aisladamente, se dice que dichas on-

das son solitones. Nótese que durante el tiempo de interacción la indivi

dualidad de los diferentes solitones puede desaparecer completamente, al

menos en apariencia (mediante el método del I.S.T. pueden seguir identifi_

candóse los distintos solitones componentes de una solución incluso du-

rante la interacción).

Aunque en la definición anterior hemos considerado en principio in-

teracciones múltiples, en todas las ecuaciones para las que existen solí

tones conocidas hasta el presente la interacción total es suma de las in

teracciones entre dos solitones: no hay "fuerzas entre tres o más cuer-

pos".

Una condición que en principio pudiera parecer mas fuerte, pero que

hasta ahora se ha encontrado en todos los casos, es que al evolucionar

de acuerdo con la ecuación, una condición inicial arbitraria dé lugar a

un cierto número de solitones más una parte residual que tiende a cero

al tender el tiempo a infinito.

El soliton posee por definición una forma muy particular de estabi-

lidad. La relación con otros criterios de estabilidad no es inmediata

(entre otras razones porque no abundan los criterios de estabilidad esen

cialmente no lineales).

-179-

Una onda solitaria es una onda viajera esencialmente localizada. En

la definición más restrictiva debería anularse en ^ = -°°,pero en un sen_

tido más amplio basta con que tienda a valores constantes (no necesaria-

mente iguales) en V = +°¿ y t - - ^ .En ocasiones se restringe el

nombre de onda solitaria al caso en que ambos valores coincidan y se ha-

bla de "onda de choque" si son diferentes.

Un solitón es una onda solitaria que conserva asintóticamente su

forma y su velocidad aunque interaccione con otros solitones. En otras

palabras: si se hacen interaccionar varias ondas solitarias inicialmente

aisjuntas (es decir se toma una condición inicial formada por dichas on-

das solitarias suficientemente separadas y se deja evolucionar de acuer-

do con la ecuación diferencial en cuestión de manera que lleguen a inte-

raccionar entre si) y el resultado al cabo de un tiempo suficientemente

grande consta de las mismas ondas solitarias iniciales sin otro cambio

que un posible desplazamiento de sus centros respecto a las posiciones

que ocuparían de haber evolucionado aisladamente, se dice que dichas on-

das son solitones. Nótese que durante el tiempo de interacción la indivi

dualidad de los diferentes solitones puede desaparecer completamente, al

menos en apariencia (mediante el método del l.S.T. pueden seguir identifi

candóse los distintos solitones componentes de una solución incluso du-

rante la interacción).

Aunque en la definición anterior hemos considerado en principio in-

teracciones múltiples, en todas las ecuaciones para las que existen soli

tones conocidas hasta el presente la interacción total es suma de las in

teracciones entre dos solitones: no hay "fuerzas entre tres o más cuer-

pos".

Una condición que en principio pudiera parecer mas fuerte, pero que

hasta ahora se ha encontrado en todos los casos, es que al evolucionar

de acuerdo con la ecuación, una condición inicial arbitraria dé lugar a

un cierto número de solitones más una parte residual que tiende a cero

al tender el tiempo a infinito.

El soliton posee por definición una forma muy particular de estabi-

lidad. La relación con otros criterios de estabilidad no es inmediata

(entre otras razones porque no abundan los criterios' de estabilidad esen

cialmente no lineales).

-180-

La definición anterior de soliton excluye aquellas soluciones com-

plejas cuya fase depende de una variable distinta a la del modulo (pues-

to que no son ondas viajeras en sentido estricto; no dependen de una so-

la variable). Para incluirlas es costumbre hablar de solitones de envol-

vente, refiriéndose a aquellas soluciones cuyo módulo es una onda sólita

ria que mantiene su integridad bajo interacciones en la forma indicada

anteriormente.

La generalización del concepto de soliton a ecuaciones con- más de

una dimensión espacial constituye uno de los problemas mas interesantes

en la actualidad pero se encuentra todavía en una etapa demasiado ini-

cial para ser incluida aquí.

Finalmente debemos hacer notar que las definiciones anteriores son

las preferidas por matemáticos y físicos clásicos. Los especialistas en

Teoría Cuántica de Campos usan la palabra mucho más alegremente y sin im_

poner apenas condiciones, entre otras razones porque la comprobación de

la estabilidad bajo interacciones en sistemas de ecuaciones en 3+1 dimen

siones, que son las que en general usan, es un problema de una dificul-

tad extraordinaria, que en nuestro conocimiento no ha sido aun resuelto

en ningún caso.

-181-

Ecuación de Korteweg-de Vries: Forma general y problemas físicos en los

que aparece.

La ecuación de K-dV es una ecuación en derivadas parciales no lineal

de tercer orden, que en su forma más general puede escribirse como

con =<- , A , S constantes reales no nulas y y constante real arbitraria.

Mediante el cambio * = W ~ O ^ - Y c ) , "£. - ó Y* t , ~X - ~ é> o también

mediante y = Y«w x , z = 6 * t > X~ ^ ( ^ -]f) , la ecuación anterior se

transforma en

-*- íí = ° (1-2)

Por conveniencias de manejo, y siguiendo la práctica usual, en lo que si-

gue utilizaremos la ecuación de K-dV en la forma

con b una constante real arbitraria. Otra forma que suele encontrarse a

menudo en la literatura, £ M + no •+ flz- 0 , se reduce inmediatamente

a (1-3) mediante el cambio "í = ve x , z r \í? f , q-= i ¿

Debe advertirse que la ecuación ^, + •] x — J^fO, que a veces apare

(118)

ce en la literatura con el nombre de ecuación de Korteweg-de Vries

no es en absoluto equivalente a (1-2) y resulta más lógico denominarla

ecuación de BBM (Benjamin-Bona-Mahony) en honor de los autores que han

propuesto con más insistencia su utilización. Esta ecuación tiene gran

interés desde el punto de vista puramente matemático pero es discutible

su relación con los problemas físicos a los que ha intentado aplicarse

(véase por ejemplo Kruskal ).

(59)

La ecuación de K-dV fue derivada por primera vez en 1895 en el

estudio de ondas en fluidos de poca profundidad. A pesar de su gran inte

res como la ecuación más sencilla que exhibe simultáneamente no lineari-

dad y dispersión, que desde el punto de vista puramente matemático debe-

ría haber garantizado su estudio a fondo, tras los trabajos iniciales

-182-

quedó casi relegada al olvido hasta su reaparición en conexión con el(32)

problema de Fermi-Pasta-Ulam, en 1955 . Posteriormente ha aparecido en

el análisis de un gran número de problemas físicos y tiene el mérito his-

tórico de haber sido la ecuación en la que primero se descubrió la exis-

tencia de solitones ~ , del método I.S.T. (Inverse Scattering Transform)( 36)

de resolución de ecuaciones diferenciales no lineales, y la existen-(76)

cia de un número infinito de leyes de conservación

Los problemas en los que aparece son muy variados, como ejemplo cita

remos la transmisión de ondas acoustico-ionicas en plasmas, ondas magneto

hydrodinamicas en plasmas, redes no armónicas unidimensionales, fonones

en cristales no lineales a baja temperatura, etc. Referencias a los traba(97) ~

:ott et al. . Algunas de-(109),(110),(127),(24),(56)

(97)jos anteriores a 1973 pueden encontrarse en Scott et al. . Algunas de-

rivaciones posteriores aparecen por ejemplo en

La ubicuidad de la ecuación es consecuencia del hecho de que los proble-

mas con nolinealidad débil en el límite de largas longitudes de onda pue-

den en general reducirse en primer orden de aproximación a la ecuación de

K-dV o a la ecuación de Burges, según sean del tipo dispersivo o disipa-

¿ (102),(54),(53)

K-dV: Existencia y unicidad de soluciones.

Coincidiendo con el aumento de interés en la ecuación de K-dV, han

aparecido una serie de trabajos demostrando la existencia y unicidad de

soluciones globales a partir de datos iniciales muy generales. Citemos

entre ellos los de Teman y Jeffrey y Kakutani para datos ini-(74)

cíales periódicos, Menikoff para funciones anulándose en el infinito(91)

y Saut para funciones que o bien se anulan en el « o son periódicas

ellas y sus n primeras derivadas. En general estos trabajos hacen uso de

acotaciones de la norma en espacios de Sobolev convenientes.

(27)

Los resultados mas completos parecen ser los de Dushane t que de-

muestra la existencia y unicidad de soluciones para la siguiente genera-

lización de la ecuación de K-dV

>*"• Di " T*x J 2 TJ vTx' ^ Yl^l (1-4)

donde f5g15g9,p son funciones suficientemente suaves y satisfacen condi-

ciones del tipo -í (<f>) ~^0 ^ I f(u)ctj^í? (aunque pueden crecer incluso

-183-

exponencialmente).

Dushane modifica la ecuación añadiendo un término - ¿ H3,.»,

y demuestra la existencia local (en el tiempo) de soluciones, para lo

cual es esencial la "parabolización" debida al término cp . A conti-I XXXX

nuacion demuestra la existencia de soluciones globales utilizando esti-3

maciones a priori de la norma en espacios de Sobolev H ; este paso es fa

cuitado por la presencia del término ¿ (A4)J e n Ia perturbación. Fi

nalmente demuestra que los resultados son todavía válidos en el límite

¿ -» o , lo cual constituye un problema clásico de perturbaciones singula

ees (ver ]

citadas).

(30)res (ver por ejemplo el artículo de Erdelyi y las referencias allí

K-dV: Ondas viajeras

Para soluciones del tipo cj) (x,t) = u( <? ), 'f = ><~ C <~ + o

con c, 8 constantes reales, la ecuación (1-3) se reduce a la ecuación

diferencial ordinaria

aM 1 + (b^ - c )u." =0 (I_5)

que admite una primera integración inmediata

V," + k ^ - C UL = V.2 d

Multiplicando por u' e integrando de nuevo

o lo que es lo mismo

. 2 ^ » , — -f- -iew (I.B)

es decir

(I_7)

P(u) es un polinomio de tercer grado y por tanto la integral es una in-

tegral elíptica. La constante de integración que en general habría que

añadir la hemos incluido en la constante $ de la variable V . Si el po

-184-

linomio P(u) tiene tres raices reales c ¿ c, < c , la solución puede... (54) • * 3

escribirse como

en V¿ >(I-8)

donde cn(u; i<) es una de las funciones de Jacobi. Como vemos la onda via_

jera más general solución de la ecuación de K-dV es una onda "cnoidal".

. «--f/2El periodo de u es I - A K (~ú -ci)j , siendo K la integral elíptica

completa de primera especie.

En el caso particular en que c —? C , el periodo T se vuelve «o

y la función elíptica en degenera en la función hiperbólica Sech. Deno-

tanto c-u. c - c = CL > l a onda solitaria resultante tiene la ex-

presión

o equivalentemente

Estas expresiones podrían haber sido obtenidas directamente a par-

tir de (1-6) determinando las constantes k ,k de manera que se verifique

Nótese que el signo de u-u^ es el mismo que el del coeficiente b

en la ecuación (1-3) (puesto que ab ha de ser positivo), la anchura de

la onda solitaria es inversamente proporcional a la raiz cuadrada de su

amplitud,y su velocidad es proporcional a 1^+ — . En particular, para

^W-o0<0 son posibles velocidades negativas o nulas (con tal de que se ve-

rifique — c < ~ ^ l l A0 D ) , contra lo que se afirma a veces en la

literatura. Solo si se exige que u -O se verifica que solo son posi-

bles ondas moviéndose en la dirección positiva.

En principio las ondas solitarias son únicamente unas soluciones

particulares de la ecuación de K-dV. Dado que para ecuaciones no linea-

les no se aplica el principio de superposición, puede parecer que su in

-185-

teres es limitado. Fue por ello una sorpresa el comprobar numéricamen-(191)

te "" que la colisión de dos o mas ondas solitarias mantiene asintoti-

camente su forma y velocidad, con solo un desplazamiento de la posición

de sus centros, a pesar de la no linearidad de la interacción. Este fenó_

meno es el que motivo el uso del nombre "solitón" para estas soluciones

que mantienen su integridad como si fueran "partículas" de algún tipo. To_

davía más importante es el hecho de que una condición inicial arbitraria

evolucione dando lugar a una suma de solitones, mas posiblemente una par_

te oscilatoria que tiende a cero cuando r-5»<=o . Como veremos más adelan_

te, el estudio de las soluciones tipo N-solitón, junto con el de las so-

luciones oscilatorias sin ningún soliton, da cuenta del comportamiento

asintótico de una solución general de la ecuación, a pesar de su no linea

lidad.

K-dV: Métodos de resolución • . • •

Los métodos analíticos utilizados en la búsqueda de soluciones de

la ecuación de K-dV son tres.

i) El método de Hirota, que es quizás el más directo, el que per-

mitió en primer lugar hallar fórmulas explícitas del tipo N-solitón, y que

posee la gran ventaja de ser en principio generalizarle a ecuaciones con

más de una dimensión espacial. A cambio es bastante empírico y sirve solo

para encontrar soluciones particulares.

ii) Las transformaciones de Backlund, que permiten pasar de una so-

lución conocida a otra con un soliton extra, y que se estudian en el tra-

bajo de L. Abellanas que acompaña a éste.

iii) El método I.S.T. (Inverse Scattering Transform), que es el más

general (el único que permite en principio hallar la solución a partir de

datos iniciales arbitrarios), el que más luz ha arrojado sobre las propi<e_

dades de las ecuaciones a los que es aplicable (naturaleza de los solito-

nes, estabilidad, leyes de conservación,...) y el que permite demostracio_

nes más rigurosas. Este método se analiza en el trabajo de R.Fernández Al

varez-Estrada que acompaña a éste, pero su importancia justifica la inclu

sión aquí de una breve descripción cualitativa.

(34-)El método puede verse desde tras perspectivas diferentes :

-186-

i) Como una generalización no lineal de la transformación de Fou-

rier.

ii) Como una aplicación canónica de la solución general de una ecua

ción en un conjunto de variables de tipo acción-ángulo, hecha posible por

ser la ecuación un sistema Hamiltoniano completamente integrable.

iii) Como un problema de invariancia del espectro de un operador ba-

jo transformaciones unitarias.

La interpretación i) es la preferida por Ablowitz, Kaup, Newell y Se_

gur y colaboradores ' ' .Se trata de hacer corresponder la solu-

ción inicial con unos ciertos "datos de scattering" (estados ligados y

coeficiente de reflexión) de una ecuación lineal asociada, hacer evolucio_

nar en el tiempo dichos datos de acuerdo con otra ecuación y finalmente

reconstruir la función a t arbitrario a partir de dichos datos, utilizan-(97)

do las ecuaciones de Gel'fand-Levitan y Marchenko para el problema in

verso del scattering (de ahí el nombre del método). El proceso puede con-

siderarse análogo a la transformación de Fourier, aunque en este caso el

principio de superposición sea no lineal.

(1 24)La segunda interpretación es la debida a Zakharov y Fadeev ~ : ver

(57) (72)también ' . En esta perspectiva, la correspondencia entre solución

y datos de scattering es considerada como una transformación canónica des

de el Hamiltoniano inicial (no lineal)a una forma del tipo acción-ángulo

trivialmente integrable.

Finalmente, la interpretación tercera, debida a Lax trata de en-

contrar una pareja de operadores L,B función de <j> y de los operadores de

rivación tales que la igualdad L = [^s^l s e a precisamente la ecuación di_

ferencial investigada, con lo cual dicha ecuación puede ser considerada

como una condición para la equivalencia unitaria de los operadores L(0) y

L(t).

K-dV: Soluciones con N-solitones

Fórmulas explicitas correspondientes a soluciones con N-solitones(til)

han sido obtenidos por Hirota , usando una transformación similar a" la

de Cole-Hopf, (}> = -(ln f) , que linealiza la ecuación' de Burges

éi^ - <j> + 2§§ = 0 = £ • f - f = 0. En el caso de K-dV con b = -6, es-L. XX. X "C XX

-187-

ta transformación es

<|K*,-Ü =-2(Én -í-í*,-*))^ (1-11)

con lo cual la ecuación que debe de satisfacer la función f es

K ~i(K,f -o

Aunque esta ecuación parezca más complicada que la inicial, tiene

ciertas ventajas, como la de que si f(x,t) es una solución, también lo es

<x.(t) f(x,t). La expresión resultante para la solución que asintóticamen-

te da lugar a N solitones es

f(x,t) =

M..(xft) = 8£j -> 2JkJk

kÍ ^p[{(^r^)} , CiJ=í,.../V (1-12)

(28)

donde todos los k. deben ser distintos. Hay que hacer notar que no

existen en este caso estados ligados similares a los estados ligados

Kink-antikink que aparecen en la ecuación de sine-Gordon.

El lector interesado en la manera de utilizar este método puede con-(49) (4-2) (43)

sultar un reciente artículo de Hirota . Otras referencias son ' :

(44),(45),(46),(47),(48),(51)

La solución anterior ha sido también obtenida por Wadati y Toda

utilizando el método I.S.T. Estos autores demuestran ademas que la solu-

ción se descompone asintóticamente en suma de solitones

Ñ 2 2 "

y análogamente para t - ? - « con la sustitución $.' —¿» 8.

donde los defasajes <§.~ vienen dados por §- _ ± £ g,-1 i 2. ¿

N

suponiendo ordenados en orden creciente los valores k .(k < k < . . .<"k < k )

y siendo c. los valores c.(0) que aparecen en la normalización de los esta_

dos ligados de la ecuación de Schrodinger asociada mediante el método IST

a la ecuación de K-dV. En particular el desplazamiento total del centro de

cada soliton, debido a su interacción con los restantes solitones es

h: "j

Es interesante notar que el desplazamiento del centro de cada soliton es

suma de los desplazamientos correspondientes a la interacción de dicho so-

liton con cada uno de los restantes;aunque es perfectamente posible que

tres o más solitones interaccionen simultáneamente. No hay pues "fuerzas

entre tres cuerpos": este resultado lo encontraremos igualmente al anali-

zar la ecuación de sine-Gordon y parece ser un resultado general para todas

las ecuaciones que tienen soluciones del tipo soliton (se ha comprobado pa

ra todas las ecuaciones para las que existen expresiones explícitas de la

solución con N-solitones).

NObsérvese que 21 o - = 0 , o lo que es lo mismo

i l

H _- z y

1

Ello es consecuencia de un resultado mucho mas general, la constancia

del movimiento del centro de masas, *CH -efe , con

cLi

XCÍA

donde ¿(x,t) es una solución cualquiera (integrable) de la ecuación K-dV.,

-189-

lo cual a su ves es consecuencia de las leyes de conservación satis-

fechas por la ecuación de K-dV, en concreto de

,¿) c-U = efe , / 4>2 tx, O M = ck

En particular para la solución con N-solitones, esto permite determinar

la velocidad del Centro de Masas en función de la velocidad de los dife-

rentes solitones como

4 3/2

(1-17)

Nótese que v < ü~ ^ o. , como tiene que suceder si ha de tener

una interpretación física razonable.

Para soluciones con un gran número de solitones, un tratamiento esta(122) ~~

dístico es posible . La interacción con la parte no-solitónica de la

solución no cambia la amplitud, velocidad o posición de los solitones y

la interacción entre diferentes solitones puede reducirse al estudio de

colisiones entre dos de ellos. El sistema puede ser descrito por una dis-

tribución de velocidades de los diferentes solitones y esta función dis-

tribución no depende del tiempo.

Como caso particular de las fórmulas anteriores puede considerarse

la colisión de dos solitones• Lax ha comprobado analíticamente que la

forma de la solución en un entorno del momento de máxima interacción de-

pende de la relación entre las velocidades de los dos solitones,

r 2 -— (donde v , velocidad del soliton a la izquierda, debe ser mayor

que v si ha de alcanzarlo y haber interacción; en caso contrario los so

litones inicialmente separados siguen separándose indefinidamente: nóte-

se de paso que dado el decrecimiento exponencial de las soluciones

no es preciso que la separación sea muy grande para que la interacción

sea despreciable). El análisis utiliza la existencia de las tres prime-

ras cantidades conservadas: en principio podría extenderse a la colisión

de tres o más solitones utilizando mas leyes de conservación pero el cal

culo se hace inmanejablemente complicado.

-190-

En el caso de dos solitones los resultados son los siguientes. Para

r ;> 3, el soliton más rápido (y por tanto de mayor amplitud y menor anchu_

ra) llega a absorber completamente al soliton más lento. En el momento de

máxima interacción la solución tiene un máximo central, i'de altura menor

que la suma de las amplitudes de los solitones constituyentes!.

Para r = 3 la solución tiene curvatura nula en el máximo central

u = 0 en el momento de máxima interacción.xx

Para -—— < r < 3 el soliton más rápido no llega a absorber com-

pletamente al mas lento. Antes de que el máximo relativo mas pequeño (co-

rrespondiente al soliton delantero) desaparezca,se forma un máximo secun-

dario en la parte posterior del máximo principal.

Para i" < -" -• , existe siempre un mínimo relativo entre los dos

máximos relativos. Los dos solitones se van transformando el uno en el

otro disminuyendo la amplitud(y la velocidad) del más rápido mientras au-

menta simultáneamente la del más lento.

(98)

El articulo se Shih se dedica precisamente al análisis de la in-

teracción "fuerte" entre solitones (r < 3), obteniendo expresiones explí-'

citas para la distancia mínima entre ambos'máximos, el tiempo en que esta

situación de máxima interacción se alcanza y las amplitudes (iguales) en

ese instante. El fenómeno para r < 3 consiste esencialmente en una trans-

ferencia de momento del soliton más rápido al más lento. El caso en que

las velocidades son exactamente iguales es inestable salvo que los dos so_

litones se encuentren a distancia infinita; físicamente esto puede inter-

pretarse teniendo en cuenta que dos solitones con la misma velocidad no

se separan nunca y por tanto la interacción total entre ambos resulta in-

finita.

En un artículo de Thickstum se relaciona el soliton de la

ecuación de K-dV con el movimiento de una serie de dipolos en un fluido

perfecto, debido a sus interacciones mutuas. En este sentido la solución

con dos solitones puede interpretarse como la interacción de dos series

de dipolos bastante separados inicialmente. Puede comprobarse que si

r s ^ - » i pocos de los dipolos interaccionan, mientras que para r r-j 1

la mayor parte de los dipolos de una de las series intercambian su momen-

to con los de la otra. En este modelo no parece existir una frontera bien

-191-

definida entre ambas situaciones•

K-dV: Soluciones sin ningún solitón

Aunque el caso más interesante (y más fácil de resolver) corresponde

a las soluciones compuestas solamente por solitones (condiciones iniciales

correspondientes a un potencial "sin reflexión" para la ecuación de Schro-

dinger asociada mediante el método I.S.T.), el comportamiento asintótico

(t —9 i ) para el caso en que no hay ningún soliton (espectro puramente

continuo para la ecuación de Schrodinger asociada) ha sido también investi_

gado . El resultado es que para datos iniciales que decrecen suficiente-

mente rápido en 1*1 —? <=o existen tres regiones

1/3i) x >> t .La solución <j>(x,t) decrece exponencialmente

ii) x w t .En esta región la solución se comporta como í

1/3iii) -x » t . La solución es altamente oscilatoria y para -x ~>t

-1/2se comporta como t , mientras que para -x » t decrece al menos como

WA ,-1/2

Aunque los resultados anteriores fueron obtenidos extrictamente para

el caso sin solitones, son válidos también en general, dado que los soli-

tones se mueven hacia la derecha y por tanto para un tiempo suficienteméii

te largo siempre llegarán a la zona i). Según acabamos de citar, en esta

zona la parte continua decrece exponencialmente y por tanto su interac-

ción con los solitones será despreciable. Vemos pues que, al menos asintó

ticamente, los dos tipos de soluciones, solitones y parte continua, des-

criben en su totalidad el comportamiento de la ecuación, a pesar del ca-

rácter no lineal de ésta. El estudio de soluciones particulares (suficien

temente bien escogidos) de ecuaciones no lineales, no es pues irrelevante.

El resultado anterior está ligado al hecho de que las velocidades de los

solitones, sus posiciones y el coeficiente de reflexión de la ecuación

asociada según el método I.S.T. caracterizan completamente cada solución,

pudiendo interpretarse como un análogo no lineal de la transformación de

Fourier.

-192-

K-dV: Evolución a partir de datos iniciales

Tanaka ~ ha demostrado que cualquier solución de la ecuación de

K-dV con datos iniciales suaves (y derivadas decreciendo suficientemente

rápido en x = 2¿o ) tiende (en la norma del supremo) a una suma de soli-

tones. Mas concretamente, que si ¿(x,t) es una solución de la ecuación

&, - & é é •>-¿ = O » dados ¿ ye •*- >O arbitrariamente pequeños, exis

te un valor de T ) 0 tal que para ± t y ~\

j'i zy -i 2 J J J 'S

donde los solitones en el interior de la norma son los que aparecen al

aplicar el método I.S.T. (en particular puede no haber ninguno, si la

ecuación de Schrodinger correspondiente no tiene ningún estado ligado,

por ejemplo si cb(x,o) y O V x )

Antes de conocerse el método I.S.T. ya se analizó, por métodos nu-

méricos y también analíticamente utilizando las leyes de conservación; el

número y velocidades de los solitones provenientes de condiciones inicia

les particulares. Por ejemplo en ' y para ¿ (x) igual a una gau-

ssiana se vio que si la anchura es mucho mayor que la del soliton con la

norma amplitud, se descompone en suma de solitones, si es mucho menor en

oscilaciones y si es comparable en una mezcla de solitones y oscilacio-

nes . Esto es consecuencia esencialmente de la conservación del área

¿(x,t)dx = cte (por ejemplo si el área inicial es de signo opuesto

al área de un soliton, no puede descomponerse en solitones y forzosamen-

te tiene que tender a una solución de tipo oscilatorio en algunas regio-

nes). Análogos resultados pueden obtenerse para ¿ (x) del tipo <x Sechz(¡ox.)

La evolución a partir de un dato inicial de tipo escalón puede ver-se en(38),(39),(61-b)

Es interesante notar que la tendencia de las soluciones de ecuacio-

nes hiperbólicas a volverse multivaluadas en algunas zonas, es neutrali_

zada por la presencia de derivadas de orden superior (aunque vayan multi

plicadas por coeficientes arbitrariamente pequeños). La solución comien-

za a oscilar en la zona en la que sin el término de orden superior sería

multivaluada, y eventualmente acaba descomponiéndose en solitones.

-193-

La evolución a partir de condiciones iniciales periódicas, su des-

composición en solitones y su posterior recombinación para dar de nuevo

i cont(67)

(121)la condición inicial puede verse numéricamente en y analíticamente

en

K-dV: Estabilidad de las soluciones

Una de las primeras citas en la literatura sobre la estabilidad en

el sentido de Liapunov de las ondas solitarias en la forma dada en la

ecuación (1-9) (es decir, no necesariamente anulándose en el <« ) puede

verse en Jeffrey y Kakutam

Benjamin demostró (con algunas reservas) que bajo perturbacio-

nes inicialmente pequeñas a una onda solitaria, la forma de la solución

perturbada permanece siempre próxima a la de la onda inicial, aunque no

pudo probar que la velocidad no fuera afectada (una modificación de la

velocidad, aunque sea muy pequeña, da lugar a un desplazamiento arbitra-

riamente grande al cabo de un tiempo suficientemente grande, y por tanto

no puede ser considerada como una variación pequeña). Esta demostración

fue mejorada por Bona , eliminando una hipótesis poco razonable e

innecesaria. Un breve resumen del método de Benjamin puede verse en^ ^

pag.1468. Resultados similares han sido obtenidos en utilizando un

análisis mas sofisticado.

Utilizando el método I.S.T. resulta mucho más clara la estabilidad

de los diferentes solitones bajo perturbaciones no demasiado grandes de

la condición inicial (basta con que la ecuación de Schrodinger asociada

a la nueva condición inicial perturbada siga teniendo los mismos estados

ligados). Véase por en ejemplo en y en la estabilidad de ondas

cnoidales.

Ecuación de sine-Gordon: Forma general y problemas en los que aparece

La forma más general de esta ecuación

aza - B 2a r r + e2 sin(y2a + 6) = 0 (II-l)

con a,g,Y, £ constantes reales no nulas, ó real arbitraria y a = a( £,f),pue-r/ R i

de reducirse mediante la transformación x = — t, E, = — x, a = — (<f>-<5) a

ÍE F y2

la forma usuali> - <j> + sin <? = 0 (II-2)1 tt xx

Es evidente que <j> está determinado módulo 2TT (la sustitución $ -*- <J> + 2mr no

altera en absoluto (II-2)). En particular las dos formas que más a menudo se

encuentran en la literatura, a - a__ + m2 sin a = 0 y X -X _ - k2 sinX =0T T T T ^ 2 2

pueden transformarse la una en la otra sin más que tomar c r = X + 7 r , k = m .

Mediante el cambio de coordenadas t = t + | , x = ~§-~ la ecuación (II-2)

puede también ponerse en la forma

<í>_ ~ sin <j> = 0 (II-3)

que es conveniente en algunas aplicaciones, o mediante un cambio similar pue_

de reducirse a la forma <j> t <Ji - sin <j> = 0, que ha aparecido en el estudio

de la transparencia autoinducida (S.I.T., Self Induced Transparency).

La ecuación de sine-Gordon ha aparecido en el estudio de modelos de par_

tículas elementales, propagación de dislocaciones en cristales, movimiento

de paredes de Bloch en cristales magnéticos, propagación de ondas en membra-

nas orgánicas, propagación de flujo magnético en uniones de Josephson y trans_

misión de pulsos láser en medios de dos niveles. Las referencias anteriores a

1973 pueden encontrarse en el trabajo de Scott. Referencias más modernas

irán apareciendo a lo largo de este capítulo.

(94)(95)Scott ha descrito un interesante modelo mecánico formado por

una fila de péndulos rígidos separados por intervalos constantes,unidos por

un muelle metálico, y oscilando en el plano perpendicular al de la linea que

une sus puntos de apoyo. La fuerza restauradora de estos péndulos no harmóni

eos es entonces proporcional a sin <J), siendo é el ángulo formado con la ver-

tical. Muchos de los fenómenos descubiertos analíticamente para la ecuación

han podido ser reproducidos en- este simple modelo mecánico.

Omitimos toda discusión sobre existencia y unicidad de soluciones de es-

ta ecuación a partir de datos iniciales puesto que será tratada en el trabajo

de A.Galindo que acompaña a éste.

-195-

s-G: Ondas viajeras

Los diferentes tipos de soluciones pueden verse en las páginas 606 yC 1 'Lñ 1

607 del libro de Whitham . Nosotros estamos interesados únicamente env—V"fc

soluciones del tipo <j)(x,t) = <j>(9), 9 = + 6, con v < 1 y 5 una constan/l-v2 ~"

te real arbitraria (nótese que la variable 9 exibe explícitamente la inva

riancia de la ecuación (II-2) bajo transformaciones de Lorentz). Para es-

te tipo de ondas viajeras la ecuación de s-G se reduce a la ecuación dife_

rencial ordinaria<j>" = sin tj> (II-4)

Multiplicando por $' se obtiene $"<}>' = <{>' sin <}> > cuya integración da

| 2 2 ! (11-5)

donde a es una constante de integración. Esta ecuación puede ponerse tam-

bién como

d ,cJK , f~

y por tanto integrando de nuevo y englobando la constante de integración

dentro de la constante 6 que aparece en la definición de 9

d -9 = ±

/a - eos2 $2

2 - " x » " (II-6)

o — 2 Jo a 2

Se trata de una integral elíptica, cuya solución puede expresarse co_

mor- -í/2 7T-Ó 6

en (/a 9; a ) = eos -y- = sin •- (II-7)

En particular, si exigimos que la función <j> se anule (módulo 2IT) pa-

ra 9 = ± <*>, junto con sus derivadas, esto fija la constante de integra-

ción a = 1 y la función elíptica en degenera en una función hiperbólica

sin j = Sech 9 (11-8)

o lo que es lo mismo,

-f-Q

<j> = 4 are tg {e~~ } (II-9)

Al variar 9 d e - o o a + '=°, <j> varía de 0 a 2u si se toma el signo

positivo en la exponencial de (II-9) o de 2ir a 0 si se toma el signo ne-

gativo. Estas ondas viajeras pertenecen pues al tipo de los que toman va-

lores constantes no nulos en ±°°. Es costumbre denominarlas "kinks" (plie-

-196-

gues, bucles) en el caso de sentido de rotación positivo (0 —=> 2 n ) y "an-

tikinks" para sentido de rotación negativo (2rr — > 0 ) , aunque en la actua-

lidad se va imponiendo el nombre de solitón, por analogía con K-dV y consi

derando que el hecho de anularse módulo 2n en el infinito no es una dife_

rencia esencial.

Nótese que la ecuación s-G admite ondas viajeras con velocidades posi_

tivas o negativas, a diferencia de K-dV: en particular para v = 0 se tiene

una solución estática no trivial. La amplitud de todos los kinks es la mis_

ma, pero su anchura depende de la velocidad, como puede verse en (II-8) te_2 -1/2

niendo en cuenta el factor v = (1 - v ) incluido en la definición de

la variable 9. Al aumentar la velocidad, el kink se contrae precisamente

de acuerdo con el factor y de las transformaciones de Lorentz. Los kinks

más anchos son los que se encuentran en reposo; por el contrario, al ten-

der v •—> 1 los kinks tienden a convertirse en funciones de tipo escalón.

Como ya hemos indicado, las soluciones de la ecuación s-G están deter_

minadas únicamente salvo términos aditivos 2TT n. Para evitar esta indeter-

minación y obtener soluciones más parecidas a los solitones usuales hay

dos métodos: utilizar como variable dependiente sin — o la primera deri

da § , en lugar del ángulo á> .

La primera alternativa es la que adoptan por ejemplo Caudrey et • '.

. Nótese que

tisface la ecuación

al. . Nótese que si ¿> es solución de (II-2) la función y = sin %- sa-

(43)

La segunda alternativa es la adoptada por Hirota y está inspirada

por el hecho de que en algunos de los problemas físicos descritos por la .

ecuación de s-G sea d> la variable con un sentido físico más inmediato.ix

Así ocurre concretamente en el estudio de uniones de Josephson, donde <b

es el flujo magnético (los solitones correspondientes son denominados

"quantos de flujo" por Hirota). Otra ventaja de esta elección es que si

es solución de s-G, & está directamente relacionado con las soluciones

para el fenómeno de la transparencia autoinducida, S.I.T. (Self Induced

Transparency).

Si cj> tiene la forma indicada en (II-9), denotando y s (-i - o-z)~*/z

se tiene

-197-

= 2 y SecÁ 9

que como veremos más adelante es el tipo de dependencia funcional de los

solitones de la ecuación de K-dV modificada (mK-dV).

Los kinks son estables bajo colisiones: es decir, si se toma como da-

to inicial una función con varios kinks o antikinks suficientemente separa,

dos (puede tomarse como "centro" de cada kink el punto en que eos <£=--/ ) ;

al cabo de un tiempo suficientemente largo la solución consta del mismo nu

mero de kinks y antikinks, con solo posibles desplazamientos de sus cen-

tros respecto a las posiciones que ocuparían de no haber existido interac-

ción.

Esto hace particularmente interesante el estudio de las soluciones con

N kinks.

s-G: Soluciones con N kinks v/o antikinks

Fórmulas generales para este tipo de solitones fueron obtenidas por

Hirota utilizando su método, y por Caudrey et al. ' ' y Zakha-

rov et al. utilizando el método I.S.T.. La razón por la que la trans-

formación <J> = H are tg =• del método de Hirota funciona ha sido discutida

en un artículo reciente de Sym } que también ha analizado la equivalen-

cia de los resultados de Hirota con los de.Caudrey et al. y la razón de la

existencia de una transformación de Backlund para la ecuación s-G. En lo

que sigue seguimos principalmente la ref.

La solución con N kinks y/o antikinks puede escribirse como

H . -a j. a.

-198-

G. = x r- (x- v.-t) + 6- (n-13)

a2 = ÍZ^L1 -i -h v7(-

donde los signos de a. y 0. deben de tomarse iguales, y las velocidades

v. y los defasajes 6- son 2N constantes arbitrarias con la condición

Para t —* *oo , la solución (11-12) tiende a

" (7< CMrC &K^ ' l " ?l'i (II-15)

donde

- Z (11-16)

Vemos pues que análogamente a lo que ocurre para K-dV, el defasaje

experimentado por el kink (antikink) i-simo es la suma de los defasajes

correspondientes a su interacción con cada uno de los restantes kinksy

antikinks, a pesar de que tres o más de ellos pueden llegar a coincidir

simultáneamente: no hay pues fuerzas entre tres cuerpos. Por otra parte,

e independientemente de los valores finitos de S., cada kink interac-

ciona con todos los restantes, puesto que al cabo de un tiempo suficiente

mente grande los kinks se habrán ordenado por orden creciente de velocida_

des mientras que retrocediendo suficientemente en el tiempo siempre se

acaba teniendo los kinks más rápidos a la izquierda.

De (11-14) y (11-16) se deduce que las velocidades han de ser todas

diferentes, o en caso contrario la separación entre los kinks con igual

velocidad habría de ser infinita. La razón es que mientras que para velo-

cidades diferentes, la interacción dura un tiempo finito, puesto que los

kinks se separan indefinidamente, para velocidades iguales la interacción

se prolongaría durante un tiempo infinito, por lo que qún pudiendo ser ar

bitrariamente pequeña, para separaciones suficientemente grandes pero

finitas la interacción total sería infinita.

-199-

En particular, la solución con N=2 puede expresarse tras algunas ma-

nipulaciones algebraicas en la forma,

4*J (a (11-17)

12

-,~^z

que asintóticamente se comporta como

t o o

4 o c L eJ

(11-18)

Dada la invariancia de la ecuación s-G bajo transformaciones de Lorentz,

podemos limitarnos a estudiar la colisión en el sistema de centro de masas,

= '

Para a =¿ al

(11-17) se reduce a

= v (x-vt), 9 = - y (x+vt) y la soluciónQ =

4 = }LJhíJÜ± (H_19)

Análogamente, para <xz - —•i

y se obtiene

~ x (x-î) , &z - Y

que son las soluciones halladas por Perring y Skyrme(85)

(11-20)

Otra elección interesante corresponde a a = a1 . Aunque para a9,a15

complejos arbitrarios la solución resulta compleja, la elección anterior

conduce a una solución real (este fenómeno no se presenta para la ecuación

K-dV, pero si para mK-dV).

-200-

Denotando

ai = a t s °- = a«^1' ar

la solución (11-17) se reduce a

donde

A-t{cx\2 _ A - l ° - l 2

A * I < X { 2 (11-22)

(11-23)

(11-24)

En particular si la i = 1, denotando vo s a_ , la solución (11-21) se

reduce a

(2)que es el tipo de solución denominada "breather" por Ablowitz et al.

Estos estados ligados fueron denominados "mesones" por Perrig y

Skyrme en su intento de utilizar la ecuación s-G como un modelo (muy sim-(16)

plificado) de partículas elementales. Posteriormente Caudrey et al.han propuesto para (11-21) el nombre de bion (bi-soliton bound state).

Nótese que u-g = 1 y _ < <c ¿ ± > , o-£ , > ±

las mismas propiedades de la velocidad de fase y velocidad de grupo en me_

canica cuántica, pero con la diferencia de que la solución (11-21) no se

dispersa como los paquetes de onda en solución de ecuaciones lineales. La

analogía se hace aun mayor si a f ^ 1, aR <^. 1 (=^=- r <§: 1, \\rs\4?i

1 v 1 y>, 1) en cuyo caso § a¿ A r Un &p $ech &o y el término oscilato-

rio varía mucho más rápidamente que la "envolvente" Sech &„

-201-

A O f>

solución semejante al bion (pero correspondiente a a- = - a!f)j que puede

2akharov et al. , utilizando el método I.S.T. han obtenido otra

Lón semejante e

ponerse en la forma

, 0 - L (11-26)

donde b s b o + ibT , = ^ ~lb1

Los biones mantienen su individualidad (asintóticamente) en la coli-( í B

sión con kinks, antikinks u otros biones . Además de las soluciones

(11-12) con n kinks y/o antikinks pueden buscarse soluciones más genera-

les con m biones. En ese caso hay que tomar N = n + 2m con n constantes

a. reales y m parejas de constantes complejas conjugadas entre si. Las exi • •

presiones explícitas son complicadas: como caso más sencillo para ver el

comportamiento de los defasajes indicamos la forma asintótica de la solu-

ción con un kink y un bion (

= a. =.

<b cure tu •+ A &vc lla (11-27)

donde

(11-28)

- 2

Como vemos, solo el defasaje de la "envolvente" influye en el defasaje

del kink individual. Por otro lado, aunque las fórmulas anteriores fueron

derivadas en la hipótesis de que v i- v_ , también pueden encontrarse so-

luciones en las que el kink y la envolvente del bion tienen la misma velo_

cidad (a diferencia de lo que ocurría con dos kinks de la misma velocidad)

-202-

y en ese caso los defasajes son todos cero.. Esto se corresponde con la

idea intuitiva de que un estado ligado "neutro" como el bion no ejerce

fuerzas a distancia sobre las partículas cargadas (kinks o antikinks)

sino que interacciona con ellos solamente cuando llega a estar en contac-

to (cosa que para velocidades iguales no ocurre nunca). El caso -s{ - o-s

no debe imaginarse como un estado ligado kink-bion, puesto que una peque-

ña variación de una de las velocidades basta para que separen indefinida-

mente.

En el caso general con n = kinks y m-biones, los defasajes son igual_

mente combinación lineal de los correspondientes a interacciones entre

dos objetos.

s-G: Consideraciones varias

La evolución a partir de datos iniciales arbitrarios ha sido resuel-

ta (al menos en principio; las dificultades concretas son las usuales en

la aplicación práctica del método l.S.T.) por Zakhavov et al. , Takh-

tadzhyan y Takhdzyan and Fadeev (esta última referencia es par-

ticularmente completa).

(73)

Me Laughlin y Corones han examinado el caso de la transmisión Jo

sephson, que puede ser analizado por medio de las ecuaciones de Maxwell

acopladas a un sistema mecano-cuántico fenomenológico, y han comprobado

que la ecuación linear que aparece en dicho sistema cuántico es precisa-

mente la misma que resulta al aplicar el método l.S.T. a la ecuación s-G,

que puede utilizarse como modelo para estudiar la evolución de la onda

electromagnética en dicho problema. En este sentido, el método l.S.T. no

es simplemente un artificio matemático para resolver la ecuación s-G, sino

que está ligado profundamenta al problema físico en cuestión. El mismo fe-

nómeno ha sido descubierto para la transparencia auto-inducida (lo cual no

es excesivamente de extrañar puesto que las ecuaciones que describen ambos

fenómenos pueden relacionarse fácilmente). Al menos en estos dos casos

existe pues una profunda relación entre el método l.S.T. y la teoría semi-

clásica de la radiación.

Una generalización de algunos de los resultados obtenidos para s-G .(37)

ecuaciones de campos con no linealidad periódica3ha sido tratada en

El trabajo intenta dar una interpretación termodinámica a la densidad de

kinks.

-203-

No quisiéramos acabar este apartado sin al menos citar los intere-

santísimos trabajos que ligan las soluciones de tipo N-kink de la ecua-

ción s-G con las soluciones de tipo soliton del modelo de Thirring,

ít j' - m) <i = - <$ (f /V-Y) )'* f • Esta correspondencia permite por tanto cons-

truir fermiones (campos spinoriales f ) a partir de bosones (campos esca

(81)" ~

lares <£' ) : Véase por ejemplo Orfanidis y las referencias allí cita-

das.

Otro campo que registra una gran actividad en el momento actual es

el de la cuantificación de la ecuación s-G. Puesto que nuestro interés

se centra en el estudio de ecuaciones clásicas, citamos solamente algunas, . , , . _ ^ (22)(25)(69)(70)(35)de las referencias mas importantes

-204-

Otras ecuaciones: Introducción al apartado•

En los capítulos anteriores hemos citado algunos resultados para las

ecuaciones K-dV y s-G, sin agotar en absoluto el tema. No se ha discutido

la manera de aplicar el método I.S.T., el origen de las transformaciones

de Backlund y su relación con í.S.i.(50)(79)(96)(65)(21)(33)(113)

o la. • A - . _ . . . , . . , ... (76)(61)(58)(99)

existencia de un numero inrmito de leyes de conservación) , ,puesto que cada uno de estos temas merece un resumen al

menos tan extenso como el presente.

Aun así, es evidente que la simple enumeración de resultados simila-

res a los citados para todas aquellas ecuaciones que se sabe los poseen,

haría este trabajo inacabable. Por ello en lo que sigue nos limitaremos a

las ecuaciones más directamente relacionadas con K-dV y s-G con atención

especial a los resultados aparecidos después del trabajo de Scott et"(97)

al

Omitimos por tanto la ecuación de Boussinesq y sus generalizacio-(48)(123)(55)(78) v . . _ , . . . . , , , . - . (

nes , Klein Gordon con nolmealidad polmomica(62)(14) . _ . (71)(20) . ' * . - * . *

, o logarítmica , Transparencia automducida(86)(15) _ , , . . . , . A A ~u. (125)(107)(90) . . , .

, Schrodmger con nolmealidad cubica o nolmeali-(93) (11)

dad logarítmica , tres ondas en interacción nolineal , modelo de

Thirring campos de Yang-Mills , etc. etc. La extensión

actual del campo puede adivinarse por esta enumeración en absoluto exaus_

ti va.

Otras ecuaciones: mK-dV

La ecuación general

con a,b,c f 0, se reduce a

mediante el cambio * =í

á ? —.; )¿j , z-êí" X - — \b — -£.(

-205-

No es por tanto necesario considerar (III-l) con d=0 como una combinación

de K-dV y K-dV modificada, como hacen algunos autores . En parti-

cular, (III-l) incluye la forma (£ + (.; + y<$ ) (f> <{>t •+ ¿ <í><f, ~ ^,-•-, • A « , (7) T . ,, (68)' ' ' '•<

utilizada por Askar y Lisner

Nótese que existen dos ecuaciones diferentes según el signo relativo

de d> y 4 ~ ¿~ ,siendo imposible el paso de una a otra manteniendo la' xxx J 1 > N - c

función real. En ocasiones es práctivo utilizar la ecuación en la forma

^*«- ¿4>2<k - <h -° (m-3)

que engloba ambas posibilidades de signo.

Es fácil hallar ondas solitarias para ecuaciones incluso más generales

que (III-3). Concretamente la ecuación

admiteite soluciones cj>(x,t) = u( i ), t = x-vt + , v _> 0 de la forma

Para obtener velocidades negativas habría que cambiar el signo relativo

de los términos ¿> u <b, .

En particular, para a = 2 se tiene la onda solitaria

Si se omite la exigencia tx(f ) $* o > puede verse que las dos

soluciones (positiva y negativa) resultantes no son ya opuestas, sino que(54)

tienen diferentes velocidades y amplitudes

Las soluciones de (III-2) con b < 0 se hallan de_forma análoga, pero

ahora además de soluciones del tipo u i <x Sech, pueden encontrarse "on-

das de choque"

-206-

u. =r-i ( a \ « •< i¿ c i - - L ( I I I - 7 )

416

que toman valores distintos en v = - "= y son pues parecidos a los kinks

de la ecuación de sine-Gordon.

Soluciones más complicadas, de tipo periódico, existen igualmente.

Por ejemplo, para b < 0 y utilizando el método del scattering inverso }

Ono halla soluciones del tipo

U " ^_ ^ .,r'.rí • í. 1 ( I I I - 8 )

u_ - T O. Sn(\ ) '<)

con las constantes convenientemente definidas, que en el límite k —9 1 se

reducen a los solitones compresivo y rarefactivo y a la onda de choque

(III-7), respectivamente.

La presencia de solitones "compresivos" ( k>u~Ô )y "rarefactivos"

( b a. < 0 ) solución de (III-3) (a diferencia de K-dV, donde necesariamente

los solitones verifican bu.>0 ) hace posible la existencia de "estados

ligados", similares a los biones de la ecuación s-G. Por ejemplo, Wadati(112 )

ha obtenido (para b = 6) la solución

,t) - 2 -2-

(111-9)

Soluciones con N-solitones han sido discutidas por ejemplo por Hiro-(42) (111)(112)

ta , usando su método, y por Wadati utilizando el método

I.S.T. Los defasajes totales son suma de los correspondientes a interac-

ciones entre dos solitones (no hay efectos debidos a interacciones múlti-

ples). La interacción entre solitones y ondas de choque ha sido estudiada

por Perel'man et al. , utilizando I.S.T. Estos autores han dis_

cutidos igualmente la relación entre las ecuaciones K-dV y mK-dV, encon-(75)

trada inicialmente por Miura y que fue la base del descubrimiento delmétodo I.S.T.

-207-

La existencia de un número infinito de cantidades conservadas ha si

do tratada por ejemplo por Ono y por Steudel que ha demostrado

como pueden expresarse en una forma continua.

La estabilidad de las ondas cnoidales, solución de mK-dV ha sido e_s

tudiada por Driscol y O'Neil ' . Estos autores concluyen que si el

polinomio de cuarto grado P(u) que resulta de la ecuación

obtenida integrando (III-3) dos veces para ondas solitarias, tiene cuatro

raices reales (cosa que se consigue por ejemplo si b < 0 ) , las ondas cnoi_

dales resultantes son estables, mientras que son exponencialmente inesta-

bles si dos de las raices son reales y las otras dos complejas (como ocu-

rre en algunos casos si b > 0). Este hecho tiene importantes consecuen-

cias físicas puesto que determina que los retículos unidimensionales con

nolinealidad cúbica (para los cuales (III-3) es un modelo continuo) se

comporten estocasticamente(algunas soluciones inestables) o no.

Ecuación múltiple sine-Gordon

La ecuación

J

<f> . -<f> < K -2 . K i i ' 4 f =o

es una generalización de s-G que aparece en la teoría de propagación reso_

nante de pulsos ópticos ultracortos en medios materiales con pares de

2J+1 niveles degenerados , con las reglas de selección AJ=0, &J =0,z

El caso más sencillo corresponde a J=2, en cuyo caso la ecuación pue

de ponerse simplemente en la forma

cb - <p + JÍO¿ + 2 b ;¡n i - n'tí '** ' 2 ~

llamada a veces "doble s-G".

-208-

Desarrollando en serie en torno al origen se obtiene

é - 6 - r d - f - ^ J S - f ^ ^ ^ - ) ^ +••• ~ d ( 1 1 1 - 1 3 )

La presencia de las dos funciones seno en la ecuación permite una mayor

libertad en la relación entre los coeficientes del término <j> y del cp

En particular, si b = -1, el término lineal se anula.

Para ondas viajeras, d) (x, í ) = t¿(©) 6 = •— •+ 8 , la ecuación

(111-12) se reduce a

O = jtV) m -+ Z b Sin ¿- (IIT-14)' T 2

Multiplicando por §' e integrando

irí é')2 - 2(0.-2 h eos i _ uso2 -É. ) (111-15)

donde a es una constante de integración, o lo que es lo mismo

6-- ± (111-16)o1 ±

Como vemos, la solución más general de (111-14) es una función elíp-

tica, cuya expresión explícita para valores arbitrarios de b y a es bas-

tante complicada.

Si se exige que en el infinito se anulen <£ y <¿' , la constante a

queda fijada, a = l+2b. En este caso, para que la ecuación (111-15) admi-

ta soluciones reales, debe de ser l + 2í>-2¿>ce3Í- uto2 X. > O

lo cual es imposible si b ¿C- 1. El valor b = -1 que anulaba el término

lineal en (111-13) es pues excepcional también en este sentido.

En la referencia ~ pueden verse algunas expresiones particulares

para b = — . Existen varios tipos de ondas solitarias, con diversas for-

mas funcionales, y una especie de estado ligado, cuya forma varía periódi^

-209-

camente mientras se traslada en conjunto con velocidad constante.

^ ., . . (25-b)(26-c) . ,. ,

Los cálculos numéricos parecen indicar que estas ondas

solitarias son auténticos solitones, puesto que conservan su integridad

bajo colisiones, y aparecen como resultado de la evolución de condicio-

nes iniciales muy variadas. Sin embargo, hasta el momento no se han ob-

tenido expresiones analíticas del tipo N-soliton.

La ecuación doble s-G no posee transformaciones de Backlund entre

-, • • - • *• •*. A i A " (25-b)

sus soluciones, ni un numero infinito de leyes de conservación

, propiedades que usualmente van unidas a la posibilidad de reso-

lución por el método I.S.T., lo cual lleva a los autores de las refereri

cias citadas a conjeturar que dicho método no es aplicable.

Algunas propiedades de la ecuación "triple sine-Gordon" han sido

también investigadas numéricamente en . La gama de fenómenos que

aDarecen carece ser aún más rica.

-210-

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-222-

TRATAMIENTO NUMÉRICO DE EQUACIONES

EN DERIVADAS PARCIALES.

F. Ramírez Cacho

-223-

T R A T A M I E N T O N U M É R I C O DE E C U A C I O N E S EN D E R I V A D A S P A R C I A L E S

1. El m é t o d o de d i f e r e n c i a s f i n i t a s

El t r a t a m i e n t o n u m é r i c o de las e c u a c i o n e s e n d e r i v a d a s o r -

d i n a r i a s c a r e c e d e d i f i c u l t a d e s i m p o r t a n t e s . S e p u e d e n o b t e n e r u n

c o n j u n t o d e v a l o r e s n u m é r i c o s s u f i c i e n t e m e n t e a p r o x i m a d o s a la so_

l u c i ó n e x a c t a de d i c h o t i p o d e p r o b 1 e m a s , sin m á s q u e la a p l i c a c i ó n

d i r e c t a d e c u a l e s q u i e r a de los m é t o d o s de i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a (Eu-

l e r , N e w t o n , R u n g e - K u l t a , e t c . ) ; e l i g i e n d o u n i n t e r v a l o d e i n t e g r a -

c i ó n a d e c u a d o .

U n a s i t u a c i ó n m u y d i f e r e n t e a p a r e c e al t r a t a r n u m é r i c a m e n

te las e c u a c i o n e s en d e r i v a d a s p a r c i a l e s , donde- es p r e c i s o u n a elec_

c i ó n c u i d a d o s a d e las c a r a c t e r í s t i c a s del m é t o d o a e m p l e a r ; si s e

q u i e r e e v i t a r un r o t u n d o f r a c a s o a la h o r a d e a p l i c a r el c á l c u l o

m e c a n i z a d o .

P a r a r e s o l v e r n u m é r i c a m e n t e un p r o b l e m a de d e r i v a d a s p a r

c í a l e s , t r a t a r e m o s d e o b t e n e r un c o n j u n t o ^ s u f i c i e n t e m e n t e a m p l i o ^

de v a l o r e s a p r o x i m a d o s de la s o l u c i ó n d e d i c h o p r o b l e m a . El métp_

d o c o m i e n z a p o r la e l e c c i ó n d e un c o n j u n t o d e p u n t o s en la r e g i ó n

-fry d o n d e d e s e a m o s c o n o c e r la s o l u c i ó n . E s t o s p u n t o s c o n s t i t u y e n

los n u d o s de u n a m a l l a i m a g i n a r i a y s o n e t i q u e t a d o s a d e c u a d a m e n -

t e m e d i a n t e í n d i c e s . L o m i s m o s e h a c e c o n los v a l o r e s a p r o x i m a d o s

de la s o l u c i ó n en d i c h o s p u n t o s . A c o n t i n u a c i ó n , se s u s t i t u y e n las

d e r i v a d a s p a r c i a l e s en d i c h o s p u n t o s ^ p o r e x p r e s i o n e s a p r o x i m a d a s^

r e s u l t a n t e s d e d e s a r r o l l o s d e T a y l o r t r u n c a d o s , q u e r e l a c i o n a n los

v a l o r e s d e la s o l u c i ó n en los n u d o s d e la m a l l a . L a s c o n d i c i o n e s

de c o n t o r n o s o n t a m b i é n t r a d u c i d a s a r e l a c i o n e s e n t r e d i c h o s valo_

r e s , m e d i a n t e h t e r p o 1 a c i o n e s , d e s a r r o l l o s t r u n c a d o s y el u s o , a

v e c e s , de p u n t o s e x t e r i o r e s a X I ( f a l s o s c o n t o r n o s ).

El r e s u l t a d o e s u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s algebraicas_, cuyas

i n c ó g n i t a s s o n los v a l o r e s n u m é r i c o s b u s c a d o s . La r e s o l u c i ó n de

e s t o s s i s t e m a s p a s a a s e r u n p r o b l e m a s e c u n d a r i o .

-224-

Ej emp1 o:

Buscamos soluciones de ^x< * Myy ~ ° (1.1)

o í x í a.

en la región Jl : [ e ¿ y £ i, s u j é t a s e l a

condición «• : u '' conocida sobre el contorno ' de -í2.

Tomamos sobre Si los puntos x= ¡ h , y = jh y

J

(suponemos que h verifica a/h y b/h enteros)

La condición de contorno nos permite conocer los valores

exactos de Ua. . uv.- , j-î^-j^ v u¿* U¿J/Í czc,^ . . . ^

Los desarrollos t r u n c a d o s :

donde por 0(h ) entedemos términos despreciados, que van a cero

como U con .>yoe cuando h-»0.

Estos desarrollos permiten obtener una expresión aproxi

mada para , "^3U

(»rOf •

y a n á l o g a m e n t e

Llevando estas a p r o x i m a c i o n e s a la ecuación diferencial

- 2 2 5 -

(1.1) obtenemos el sistema: . - . N'\

M-i.

(1.2)E s t a e x p r e s i ó n d i s c r e t i z a d a d e la e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l ,

u n i d a al t i p o d e m a l l a ( r e c t a n g u l a r ) y la r e l a c i ó n e n t r e l o s pa_

s o s d e m a l l a ( i n c r e m e n t o s d e l a s v a r i a b l e s al p a s a r d e u n n u d o

a o t r o c o n s e c u t i v o ^ e s lo q u e c o n s t i t u y e un e s q u e m a . M á s t a r d e

v e r e m o s q u e la c a l i d a d d e u n es q u e m a , , d e p e n d e d e m u c h o s , f a c t o r e s ,

j u g a n d o un p a p e l m u y i m p o r t a n t e ^ la r e l a c i ó n e n t r e p a s o s d e m a l l a ,

q u e e n el e s q u e m a del e j e m p l o v a l e u n o ( x / < a y , - A - •* J .

La s e g u n d a p a r t e d e l m é t o d o n u m é r i c o , la r e s o l u c i ó n del

s i s t e m a d e e c u a c i o n e s , n o p r e s e n t a la g r a v e d a d d e la e l e c c i ó n

del e s q u e m a a d e c u a d o . C o n t i n u a n d o c o n el e j e m p l o p r o p u e s t o y h e

a q u í u n p r o c e d i mi e n t o ^ s e n e i 11 o y f á c i l m e n t e p r o g r a m a b l e ; e n c u a l

q u i e r c o m p u t a d o s c o n o p e r a t i v i d a d m a t r i c i a r

UA. :

Definimos los vectores

u,u• £ , 4

fio

•fi-M

y l a m a t r i z

'--I

con su a y u d a , el s i s t e m a ( 1 . 2 ) se p u e d e e s c r i b i r :

U.

B u s c a n d o m a t r i c e s A R y v e c t o r e s b_ s a t i s f a c i e n d o

( I . M

v e m o s s u s t i t u y e n d o en ( I . 3), q u e

Cl.5)

-226-

La c o n d i c i ó n de c o n t o r n o en x=a, se introduce tomando

A., ,-0 y b.. = IL, . M e d i a n t e (l.5)/se o b t i e n e n s u c e s i v a m e n t e A D ,N - I N - I N K

b D , R = N - 2 , M ~ 3 , ... ,0 y a p l i c a n d o ( 1 . 4 ) , la solución deseada

U R , R = 1 , 2 , . . . N - l .

Otros c o n t o r n o s , no r e c t a n g u l a r e s , se pueden resolver

a n á l o g a m e n t e . Así en el caso de un c o n t o r n o como el de la f i gu_

ra •.

*

con un paso de N a M p u n t o s (M>N) de m a l l a en la posición R^ e 1

t r a t a m i e n t o es el s i g u i e n t e :

Sea w el v e c t o r de v a l o r e s del c o n t o r n o

al p a s a r deV-i-

í

^ A - l , * - * -

Ka,i.

se definen v e c t o r e s a u x i l i a r e s '"-A-I R-Í y

l a m a t r i z a u x i l i a r Á R _ . . E s t o s j í l t i m o s s e o b t i e n e n a p l i c a n d o ( 1 . 5 )R-l

a AR y b R:

ft-i[AI + Q. -

- i

S u p u e s t a la m a t r i z Á R _ - d i v i d i d a e n c a j a s :

-227"

siendo Án de dimensión X (W- I) ;

donde b. es el vector forma_

d o p o r las N - 1 p r i m e r a s c o m p o n e n t e s d e b D .. Al p r o c e d e r en s e n

ti do c o n t r a r i o , e n el c á l c u l o d e U D a p a r t i r d e (1 . M se u t i l i z a7 K 9

* *• 7IL - /í y_ + v/,. y e l p r o c e s o c o n t i n ú a s i n d i f i c u l t a d .

T r a t a m i e n t o s a n á l o g o s a é s t e y e l u s o d e i n t e r p o l a c i o n e s ,

p e r m i t e n a p l i c a r e s t e m é t o d o d e r e s o l u c i ó n d e l e s q u e m a ( 1 . 2 ) p a -

r a c u a l q u i e r c o n t o r n o .

Tampoco es d í f i c í l la i n t r o d u c c i ó n de o t r a s c o n d i c i o n e s de c o n t o r n o .

Con t inuando con e l e j e m p l o ( 1 . 1 ) p e r o con l a s c o n d i c i o n e s m i x t a s :

Se aplica de ( 1 . 2 ) , salvo que esta vez Uo y ¿ V son de s c o n o c i -

dos. La condición de contorno en x = a se traduce en &„,+, - ¿¿sr.¿

que introducida en (1.2) para R=N nos proporciona la r e l a c non

de f o r m a q u e

d o n d e

-., Un,./ * ¿f-/

I SJT y

j-* v

m e d i a n t e ( 1 . 5 ) J se calcular A R y b R } R = N - 2 , N-3 0.

La con d i c i ó n en x=0 $~ f»,*J - °

¿* ¿ — ¿s - o que llevado a (1.3) y (1.

se traduce por

conduce a

sistema que permite

obtener Ue . £

so 1u c i ón deseada.

7 * ¿o >e jon la

-228-

2. Convergencia y estabilidad.

Hemos v i s t o , en el . a p a r t a d o a n t e r i o r , c o m o s e r e s u l v e n u m é -

r i c a m e n t e un p r o b l e m a e n d e r i v a d a s p a r c i a l e s : A p r o x i m a r la e c u a -

c i ó n e n d e r i v a d a s p a r c i a l e s m e d i a n t e un e s q u e m a en d i f e r e n c i a s

f i n i t a s y r e s o l v e r el s i s t e m a d e e c u a c i o n e s a l g e b r a i c a s r e s u l t a r ^

t e s , o b t e n i é n d o s e v a l o r e s n u m é r i c o s a p r o x i m a d o s • d e la s o l u c i ó n ,

s o b r e l o s n u d o s d e la m a l l a .

El p r i m e r p a s o e s el m á s d e l i c a d o . H a y q u e s u s t i t u i r l a s

d e r i v a d a s p a r c i a l e s , p o r e x p r e s i o n e s f i n i t a s , o b t e n i d a s a p a r t i r

d e d e s a r r o l l o s d e T a y l o r t r u n c a d o s , en l o s n u d o s d e la m a l l a .

P o r e j e m p l o .

<•"<•,•>• -•> +*<•••'>

e n t r e o t r o s .

E s t a s u s t i t u c i ó n d e d e r i v a d a s p a r c i a l e s p o r d i f e r e n c i a s

f i n i t a s e s la q u e d a n o m b r e al m é t o d o .

N a t u r a l m e n t e , la s u s t i t u c i ó n d e l a s d e r i v a d a s p o r e x p r e -

s i o n e s f i n i t a s , i n t r o d u c e e r r o r e s d e t r u n c a c i ó n , q u e u n i d o s a

los p r o d u c i d o s e n el a j u s t e e i n t e r p o l a c i ó n d e l a s c o n d i c i o n e s

d e c o n t o r n o ( e r r o r e s d e i n t e r p o l a c i ó n ) y a los e r r o r e s c a r a c t e -

r í s t i c o s d e l a s maqu i ñas de cálculo automático (errores de redondeo), pueden anular

-229-

la u t i l i d a d del e s q u e m a j c u a n d o la a c u m u l a c i ó n d e e s t o s e r r o r e s

e s d e o r d e n c o m p a r a b l e c o n la s o l u c i ó n .

T r e s c o n d i c i o n e s d e b e m o s e x i g i r a un e s q u e m a p a r a a c e p t a r

s u s r e s u l t a d o s c o m o b u e n a s a p r o x i m a c i o n e s a la s o l u c i ó n e x a c t a

d e 1 p r o b l e m a :

i) E S T A B I L I D A D : L o s e r r o r e s i n t r o d u c i d o s en c a d a p a s o n o deber

a c u m u l a r s e e n l ° s p a s o s s i g u i e n t e s en f o r m a d e s m e s u r a d a .

i i) C O N V E R G E N C I A : L a s s o l u c i o n e s o b t e n i d a s , d e b e n conver_

g e r h a c í a a l g ú n v a l o r n u m é r i c o 3 c u a n d o la a n c h u r a d e la m a l l a t i en_

d e a c e r o .

i i i ) C O N S I S T E N C I A : En la s i t u a c i ó n l í m i t e d e a n c h u r a d e

la m a l l a c e r o , l as s o l u c i o n e s o b t e n i d a s han de coincidí r con lasolución

de la e c u a c i ó n e x a c t a .

V e a m o s un e j e m p l o ?

B u s c a m o s v a l o r e s n u m é r i c o s d e U (*', éJ en la r e g i ó n :

r»¿x't L

I ¿ * ° de forma

que satisfaga <x ''£, (K ^ f j * ¿ / &' é<'

y las cond i c i ones

— ( L. é'j =

Si a y K s o n c o n s t a n t e s , p o d e m o s t r a n s f o r m a r el D r o b l e m a :

a J

-230-

con

y a p l i c a r el m é t o d o d e d i f e r e n c i a s f i n i t a s , P a r a e l l o , c u b r i m o s

el p l a n o c o n u n a m a l l a r e c t a n g u l a r d e a n c h u r a s ¿ * = " y ¿í¿--4

D e n o t a m o s U . los v a l o r e s a p r o x i m a d o s d e la s o l u c i ó n H Cx, -éJ

d o n d e N = /. q u e s u p o n e m o s e n t e r o .

El c o n t o r n o d e e s t a r e g f ó n , c o r r e s p o n d e a c"-"^ c-='V/i

F a l s o s c o n t o r n o s en ¿~ w*-; sis**, - - p e r m i t e n la a p l i c a c i ó n d e la

c o n d i c i ó n d e c o n t o r n o e n x = l .

Hay que escojer expresiones finitas para (¿S*J¿ y

(Ux*.): . Para la primera podemos tomar la forma "adelanta

da" ^

y p a r a (¿oc</t. la e x p r e s i ó n " c e n t r a l "

A*

Sustituyendo en la ecuación diferencial tenemos

donde se ha definido r =

Las condiciones de contorno en t=0 y x=0 /son U.=g(ih)

U =f(nk) A que no introducen nuevos errores. Sin embargo al trans_

formar la condición en i=N(x-i), hay que hacerlo de modo que los

errores introducidos, no sean superiores a los de truncación (0(h¿

Tal se consigue utilizando

-231-

El esquema ( 2 . 1 ) p u e d e r e s o l v e r s e con f a c i l i d a d p a r a s u c e -

s i v o s v a l o r e s de n Sin e m b a r g o su c o m p o r t a m i e n t o p a r a los d i f e -

r e n t e s v a l o r e s de r, es m u y d i f e r e n t e . M á s t a r d e v e r e m o s q u e p a r a

v a l o r e s de r < Va, el e s q u e m a es e s t a b l e . En el v a l o r l í m i t e y^%,

la e s t a b i l i d a d d e p e n d e de -? y 9 .

Q.ue el s i s t e m a es i n e s t a b l e p a r a r » 'A ^ s i g n i f i c a q u e

p o r m u y p e q u e ñ o s q u e se t o m e n h y k los e r r o r e s se a c u m u l a n

t a n d e s m e s u r a d a m e n t e ^ , q u e s o l a p a n la s o l u c i ó n . De h e c h o , en e s t e

c a s o <" > V^ , c u a n t o m á s p e q u e ñ o s son h y k, p e o r e s r e s u l t a -

d o s se o b t i e n e n . A s í q u e m i e n t r a s la c o n v e r g e n c i a se ve f a v o r e -

c i d a p o r los v a l o r e s p e q u e ñ o s de h y k, la e s t a b i l i d a d e m p e o r a .

P o r t o d o e l l o h a y q u e c u i d a r la p e r m a n e n c i a de r p o r d e b a j o

del va 1 o r _ 1 ím ijte 1/2 si q u e r e m o s r e d u c i r los p a s o s de m a l l a h ,

k ^ p a r a m e j o r a r la a p r o x i m a c i ó n .

En el c a s o y z o , se p u e d e c o m p r o b a r f á c i l m e n t e en e s t e

p r o b l e m a q u e el v a l o r ir = 1 /6 es p a r t i c u l a r m e n t e b u e n o , p u e s , ade_

m á s d e g a r a n t i z a r la e s t a b i l i d a d , r e d u c e el e r r o r de t r u n c a c i ó n

r e s u l t a n d o de 0 ( h ) . En los c a s o s $>po se s u e l e t o m a r e s t e , o2

v a l o r e s p r ó x i m o s a é l , p a r a la r e l a c i ó n k/h , esperándose t a m b i é n

b u e n a c o n v e r g e n c i a .

En e s t e t i p o d e p r o b l e m a s , v e r e m o s q u e la r e l a c i ó n e n t r e

los p a s o s de m a l l a d e t e r m i n a la e s t a b i l i d a d o i n e s t a b i l i d a d de

un e s q u e m a .

R e s u m i e n d o : p a r a el e s q u e m a ( 2 . 1 ) , no c o n s e g u i r e m o s m a y o r

p r e c i s i ó n r e d u c i e n d o el v a l o r d e h , s \? a la v e z , no r e d u c i m o s pro_

p o r e iona1 m e n t e k de f o r m a q u e f se m a n t e n g a p o r d e b a j o del v a l o r

l í m i t e de e s t a b i l i d a d ( 1 / 2 ) .

P o r d e s g r a c i a ^ la i n f o r m a c i ó n q u e p o s e e m o s s o b r e la e s -

t a b i l i d a d de e s t e y o t r o s e s q u e m a s p a r a la e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l

q u e e s t u d i a m o s , se d e b e a s e r e s t a 1 ineal y de c o e f i c i e n t e s c o n s -

t a n t e s , U n a r e s t r i c c i ó n m u y f u e r t e .

A s í e n el c a s o m á s g e n e r a l ^ K = K ( u ) :

- 2 3 2 -

e x p e r i e n c i a q u e n o s p r o p o r c i o n a el c a s o cr=efe. s u g i e r e e s t a b i -

l i d a d p a r a el e s q u e m a ( 2 . 1 ) m i e n t r a s r s °~fuj ¿ /¿^ > < í//%/

E s t e h e c h o n o s e h a c o m p r o b a d o t e ó r i c a m e n t e , a u n q u e p a r e c e func :io_

n a r b i e n e n la p r á c t i ca (^.Vernos as í q u e e n l a s e c u a c i o n e s n o linea_

1 e s_, la e s t a b i l i d a d d e l e s q u e m a p u e d e d e p e n d e r d e la s o l u c i ó n p a r -

t i c u l a r q u e s e o b t e n g a ^ a d e m á s d e l o s p a s o s d e m a l l a . U n a r e g l a

p r á c t i c a e n e s t o s c a s o s > e s m a n t e n e r el c á l c u l o 7 m i e n t r a s el v a l o r

d e r s e m a n t e n g a d e n t r o d e l l í m i t e s u g e r i d o p o r la e c u a c i ó n l i n e a l

e i n t e r r u m p i r l o c u a n d o t a l l í m i t e s e s u p e r e . E n c a s o d e c o n t i n u a r

el c á l c u l o , m o d i f i c a r l o s v a l o r e s d e 0.x. y <át p a r a l l e v a r d e nue_

v o r d e n t r o d e la z o n a d e , p r o b a b l e , e s t a b i l i d a d . A s í la n e c e s i d a d

d e c o m p r o b a r el v a l o r d e r e n c a d a p a s o e s t í p i c a d e l a s e c u a c i o -

n e s n o l i n e a l e s .

L a e l e c c i ó n d e u n e s q u e m a p a r a la r e s o l u c i ó n d e u n p r o b l e _

m a e n d e r i v a d a s p a r c i a l e s , h a d e c o m e n z a r s i e m p r e p o r un e s t u d i o

d e s u e s t a b i l i d a d . L o s c o m p o r t a m i e n t o s d e l o s e s q u e m a s e n difereri_

c i a s f i n i t a s a e s t e r e s p e c t o p u e d e n s e r s o r p r e n d e n t e s . Si p a r a re_

s o l v e r la e c u a c i ó n U = U u t i l i z a m o s p a r a U la e x p r e s i ó n f i n i t a

c e n t r a l (¿*. ). - • y- « - ^ " ^ ^ c o n u n e r r o r d e t r u n -

o

c a c i ó n rnenor^ (0(k ) ) , q u e la f o r m a a v a n z a d a u t i l i z a d a en (2.1), lae c u a c i ó n d i s c r e t i z a d a r e s u l t a :

D e s a f o r t u n a d a m e n t e , l e j o s d e p r o p o r c i o n a r m a y o r c o n v e r g e n c i a , c o -

m o e r a l ó g i c o e s p e r a r , el e s q u e m a e s h e s t a b l e p a r a t o d o v a l o r d e

r. El e s q u e m a ( 2 . 2 ) e s , p o r l o t a n t o , c o m p l e t a m e n t e i n ú t i l p a r a

la r e s o l u c i ó n d e n u e s t r o p r o b l e m a .

Si e n ( 2 . 2 ) s u s t i t u í m o s U . p o r el p r o m e d i o : 1 (u,."'*

r e s u l t a

e s t a b l e p a r a t o d o V a l o r d e r.

-233-

E s t o s c o m p o r t a m i e n t o s r e s a l t a n el i n t e r é s del e s t u d i o d e

la e s t a b i l i d a d d e l o s e s q u e m a s f i n i t o s . Si n o a s e g u r a m o s la esta_

b i l i d a d d e un e s q u e m a , d e n a d a s i r v e q u e s u s e r r o r e s de t r u n c a c i ó n

s e a n p e q u e ñ o s .

3. E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s

A u n q u e n o se d i s p o n g a d e u n a t e o r í a g e n e r a l d e l o s m é t o -

d o s e n d i f e r e n c i a s f i n i t a s p a r a l a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s , s e

d i s p o n e d e c i e r t a s g u í a s t e ó r i c a s p a r a l o s p r o b l e m a s 1 i n e a 1 e s , q u e

c o n s t i t u y e u n b u e n p u n t o d e p a r t i d a p a r a el t r a t a m i e n t o d e e c u a -

c i o n e s n o 1 i n e a l e s .

En lo q u e s i g u e e s t u d i a r e m o s el p r o b l e m a (3)

Ai

(3.1)

•U lo) -

c u y o s e n t i d o , d e s c r i b i m o s a c o n t i n u a c i ó n :

T r a t a m o s d e h a l l a r u n a f a m i l i a u n i p a r a m é t r i ca u ( t ) perte_

n e c f e n t e a u n e s p a c i o d e B a n a c h 6^> , d e f o r m a q u e se s a t i s f a g a

( 3 - 1 ) y v e r i f i q u e U ( O ) = U . S i e n d o U un e l e m e n t o d a d o d e $£>o o

A e s u n o p e r a d o r l i n e a l s o b r e <3b , l a s c o n d i c i o n e s d e c o n t o r n o ,

si e x i s t e n , s e s u p o n e n l i n e a l e s y h o m o g é n e a s y s u p o n d r e m o s el do_

m i n i o D ( A ) r e s t r i n g i d o a l o s e l e m e n t o s d e G^> q u e s a t i s f a c e n

d i c h a s c o n d i c i o n e s .

D e f i n i c i ó n : u ( t ) f a m i l i a u n i p a r a m é t r i c a d e 0<3 s e d e n o m i n a s o l u c i ó n

g e n u i n a ( s . g . ) d e ( 3 . 1 ) c u a n d o (•*">)

i) U U) c J>(A) i i e Lo.T]

-234-

Sea ¿U el c o n j u n t o de e l e m e n t o s de <?S> cumpl i en do

3i *' &'

e s d e c i r : el c o n j u n t o d e e l e m e n t o s d e Oo q u e ^ u s a d o s c o m o c o n d i -

c i ó n i n i c i a l , p o s e e n u n a ú n i c a s o l u c i ó n g e n u i n a d e (3 . 1).

L a a p l i c a c i ó n p a r a c a d a v a l o r d e t e n t r e c a d a e l e m e n t o

d e oJ y su c o r r e s p o n d i e n t e s . g . la l l a m a r e m o s E Q ( t ) .

E » ( t ) , c o n d o m i n i o c U p o r c o n s t r u c c i ó n , e s l i n e a l , c o m o

s e d e d u c e d e la l i n e a r i d a d d e ( 3 - 1 ) . D e e s t e m o d o í U ( t ) = E Q ( t ) L ) Q

e s la s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a d e v a l o r e s i n i c i a l e s ( 3 - 1 ) p a r a l o s

e s t a d o s i n i c i a l e s q u e p o s e e n u n a ú n i c a s . g .

D e f i n i c i ó n : El p r o b l e m a d e v a l o r e s i n i c i a l e s ( 3 . 1 ) s e d i c e c o -

r r e c t a m e n t e p r o p u e s t o ( c . p . ) < >

i) El dominio, 5)^ de EQ(t) es denso en ^b L cD ~

ii) E Q (t) está u n i f o r m e m e n t e a c o t a d o en E-°-> ^ - ce..:

La a c o t a c i ó n u n i f o r m e de E n ( t ) en__=>^C ü ¿ ^ perm i te e x t e n d e r l o de

m a n e r a ú n i c a a E(t) con d o m i n i o o D r 0 5 y u n i f o r m e m e n t e a c o t a d o

en t o / T ]

La a p l i c a c i ó n u ( t ) = E ( t ) u- p r o p o r c i o n a la solución gene_

ral del p r o b l e m a (3.1) para c u a l q u i e r e l e m e n t o inicial de (J5 .

El p r o b l e m a de la d i s c r e t i z a c i o n se p u e d e e n f o c a r de m a -

n e r a d i s t i n t a . F i j a m o s v a l o r e s d i s c r e t o s para la v a r i a b l e t p e r -

m i t i e n d o a la v a r i a b l e x v a r i a r con t i n u a m e n t e ^ a u n q u e s e g u i m o s sus_

t i t u y e n d o por e x p r e s i o n e s en d i f e r e n c i a s f i n i t a s las d e r i v a d a s

p a r c i a l e s .

Por e j e m p l o : en la e c u a c i ó n u = cr 'U K p o d e m o s utilizar'

el esquema (-5 > =—r — r crt

-235-

D e e s t a f o r m a , l a s s o l u c i o n e s ^ -> u •>" '' J s e r á n e l e m e n t o s d e l

B a n a c h (Jh y el e s q u e m a s e p u e d e e s c r i b i r

u"+' , B U±' &«, ¿y- •• } ^ (3.2)

donde 13 es un ope r a d o r 1 ineal actuando en "¿* .

BLa f ó r m u l a ( 3 . 2 ) n o i m p l i c a ' q u e el e s q u e m a s e a e x p l í c i t o ,

p u e d e c o n t e n e r i n v e r s a s d e m a t r i c e s i n f i n i t a s . Ú n i c a m e n t e s e

s u p o n e q u e f m e d i a n t e c á 1 cu 1 o s y p o d e m o s d e d u c i r 11 a p a r t i r d e LL^

lo q u e d e t e r m i n a u n a a p i i c a c i ó n en &b . S u p o n e m o s , p o r el c o n -

t r a r i o , q u e ( 3 - 2 ) t i e n e u n a ú n i c a s o l u c i ó n u _, q u e d e p e n d e l i n e a l

y c o n t i n u a m e n t e d e U. x i . e . p a r a &tj &*, ••• f i j o s 23 es l i n e a l , a c o_

t a d o c o n d o m i n i o G& ( B é &

U n a f ó r m u l a del t i p o ( 3 - 2 ) s e d e n o m i n a b i n i v e l , a l u d i e n d o

a los d o s n i v e l e s t : ( n 4 i j ¿ t y £, * n &t ¿

q u e f i g u r a n en la m i s m a . O t r o s e s q u e m a s p u e d e n d a r l u g a r a f ó r m u -

las c o n m á s d e d o s n i v e l e s . C a s o s q u e . s e r á n e s t u d i a d o s m á s a d e -

l a n t e .

El c a m p o d e a p l i c a c i ó n d e (.3-2)^ no s e r e d u c e a e c u a c i o n e s

d e p r i m e r o r d e n en t , c o m o t a m p o c o el p r o b l e m a ( 3 - 1 ) se r e s t r i n g e

a d i c h o t i p o d e e c u a c i o n e s . La i n t r o d u c c i ó n d e v a r i a b l e s a u x i l i a -

reSj p e r m i t e n e s c r i b i r en la f o r m a ( 3 . 1 ) e c u a c i o n e s d e o r d e n s u p e -

r i o r al p r i m e r o .

V i m o s en 2 . q u e la e s t a b i l i d a d d e p e n d e de la r e l a c i ó n exij5_

t e n t e e n t r e los i n c r e m e n t o s ót, Áx, ¿y,-.-' e t c . . En a d e l a n t e s u p o n -

d r e m o s f i j a d a de a n t e m a n o la f o r m a en q u e ¿Sx, ¿fy... t i e n d e n a c e r o

c u a n d o lo h a c e ái . Es d e c i r , f i j a d a s ¿ x = g (¿i) ; * " $ - %

( 3 . 2 ) puede e s c r i b i r s e :

u.n+í-. Cc**i W ( 3 . 3 )

donde C¡ > =

E s t e j u e g o n o t a c i o n a l n o s p e r m i t e d e f i n i r m á s a p r o p i a d a -

m e n t e l o s c o n c e p t o s de c o n s i s t e n c i a , c o n v e r g e n c i a y e s t a b i l i d a d

de u n e s q u e m a :

CON

-236-

S I S T E M C I A La f a m i l i a C(^)se d i c e u n a a p r o x i m a c i ó n c o n s i s t e n t e

del p r o b l e m a de v a l o r e s i n i c i a l e s (3-1)

r Él^Lz-L _ A ]

y a d e m a s tA" - t ' e s d e n s o en

C O N V E R G E N C I A La f a m i l i a de o p e r a d o r e s *-*wtJ s u m i n i s t r a una apro_

x i m a c i ó n c o n v e r g e n t e ^ + f A i ¿ "* °

^> V u0 a <& , 4/ { ^ L i £ R M «,^t -fe , J--

d o n d e [ n j j i es u n a s u c e s i ó n de n ú m e r o s n a t u r a l e s , se v e r i f i c a

j

E S T A B I L I D A D La a p r o x i m a c i ó n Cf¿t) es e s t a b l e

e s t á a c o t a d o u n i f o r m e m e n t e

E q u i v a l e n t e m e n t e :

e s t á a c o t a d o u n i f o r m e m e n t e .

T E O R E M A ( L a x )

D a d o u n p r o b l e m a c o r r e c t a m e n t e p r o p u e s t o d e v a l o r e s i ni

c í a l e s y u n a a p r o x i m a c i ó n en d i f e r e n c i a s f i n i t a s ^ q u e s a t i s f a g a

las c o n d i c i o n e s d e c o n s i s t e n c i a , se t i e n e q u e .

-237-

E S T A B I L ! D A D < & C O N V E R G E N C I A

en los s e n t i d o s d e f i n i d o s a n t e r i o r m e n t e .

Demos t rae i ón:

„. •> ¡¡c''v> ''-

e s t á a c o t a d a . ( p o r r e d u c c i ó n al a b s u r d o : ( f a l s o ) ^ ^ C ^ . f J w

G C ¿a t) u-' / - - - -

t r a e r u n a s u b s u c e s i ó n

3 |¿,(*

sucesión no acotada de la que se puede ex-

t — ->

=>

un i formemen t e ESTABILIDAD

H Sea

d füfcj - x ¡I

Definiendo :

esta acotada

consistencia

A

«j^jtj J 'u

t;! E (cr*-Jov

Z -* c 'J

d o n d e K „ es la c o t a u n i f o r m e de v_ c ¿j" k) en la d e f i n i c i ó n de e s (

tab i 1 i d ad . r „.L¡ _ .

C C U¡

-238-

Basta e x t e n d e r este c o m p o r t a m i e n t o ^ : ^ o gracias a

la a c o t a c i ó n u n i f o r m e de C (¿ j fc J y E (t) —• »

C O N V E R G E N C I A

r cr > o

Ejemplo: Al resolver w t ; <r Uj,x | OÍJÍÍ a

*- °i t £ T

podemos usar la aproximación:

,

Es f á c i l p r o b a r , p o r r e d u c c i ó n al a b s u r d o , q u e el v a l o r

m á x i m o d e U-. s e a l c a n z a e n el c o n t o r n o (x = 0 , x = a , t = 0 ) . P o r lo

t a n t o e s t e r e s q u e m a e s e s t a b l e y_,el t e o r e m a a n t e r i o r i m p l i c a ^ a u e

e s t e e s q u e m a e s t a m b i é n c o n v e r g e n t e , si a d m i t i m o s , c o s a q u e o c u -

r r e , q u e s e v e r i f i c a la c o n s i s t e n c i a .

k. P r o b l e m a s d e v a l o r e s i n i c i a l e s c o n c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s

P a r a la c l a s e d e p r o b l e m a s q u e d e s c r i b i m o s a c o n t i n u a -

c i ó n , l o s c o n c e p t o s d e c o n s i s t e n c i a , c o n v e r g e n c i a y e s t a b i l i d a d

d e f i n i d o s en el a p a r t a d o a n t e r i o r 3.» a d o p t a n u n a f o r m a m á s sen_

c i l l a . El e s t u d i o d e e s t o s p r o b l e m a s g i r a a l r e d e d o r del a n á l i -

s i s d e F o u r i e r } d e a q u í l a s s i g u i e n t e s r e s t r i c c i o n e s :

i) C o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s : La m a t r i z A e n ( 3 - 1 ) t i e n e

c o m o e l e m e n t o s p o l i n o m i o s e n —

ii) C o n t o r n o s e n c i l l o p a r a q u e el a n á l i s i s d e F o u r i e r

s e f a c t i b l e .

i i i ) C o n d i c i o n e s d e c o n t o r n o r e m p í a z a b l e s p o r p e r i o d i c i -

d a d .

iv) D a t o i n i c i a l y s o l u c i ó n ( u ( x , t ) 6 IR ) p e r i ó d i c a s .

e í L,

El p e r i o d o lo n o t a r e m o s p o r Q = ] •' d o n d eo í y¿ í LJ.

d+1 es el número de variables independientes.

Notaremos por k, vectores 6 IR de componentes:

-239-

donde i rí ! c._, son números enteros

D e s a r r o l l a m o s las f u n c i o n e s u ( x ) m e d i a n t e

'uu>z ^Ck) donde " W ^ es la malla infini

ta d-dimensional de todas las d-uplas ( r> - • • v<¿ j de componentes

e n t e r a s .

La relación de Parseval

<.. - ti

nos p r o p o r c i o n a una n o r m a , de forma que con esta norma el espaciof *•

de las funciones u ( x ) : n\ _ @ |_ D

y el e s p a c i o de sus t r a n s f o r m a d a s v(k) :

son de B a n a c h ( d e hecho son de H i l b e r t ) .

La e c u a c i ó n —• - A U se traduce a e s p a c i o de las v(k)

en la forma s i g u i e n t e : — O'(kji) = A l¿¿) cr(k,-í) (4.1)

Alik) es la m a t r i z r e s u l t a n t e de sustituir en A, §. por ík.

La solución de (4.1) es

é A CU)t/Ck,é) - e Ü-(k,c) (4.2)

A u t o m á t i c a m e n t e s e s a t i s f a c e el p r i m e r r e q u e r i m i e n t o p a r a

q u e el p r o b l e m a s e C . P . : El c o n j u n t o d e t o d o s l o s p o l i n o m i o s t r i -

g o n o m é t r i c o s e s d e n s o e n Oh , y s i r v e n c o m o d a t o s i n i c i a l e s c o n

s o l u c i ó n ú n i ca^, p u é s ^ su s t r a n s f o r m a d o s v ( k , 0 ) t i e n e n ú n i c a m e n t e

u n . n ú m e r o f i n i t o d e c o m p o n e n t e s n o n u l a s . La s o l u c i ó n

i *>• x i, A (¿A.)

es ú n i c a .

- 2 4 0 -

t A (\\e)

La s e g u n d a c o n d i c i ó n p a r a c.p. n e c e s i t a e u n i f o r -

m e m e n t e a c o t a d a en ¿>C(k) lo q u e nos p r o p o r c i o n a r í a

¡I e

E s t a c o n d i c i ó n h a b r á d e s e r e s t u d i a d a e n c a d a c a s o . V e r n o s

t a m b i é n q u e la e l e c c i ó n d e l B a n a c h 0 ¿ e s f u n d a m e n t a l p a r a la f o r m u

l a c - i ó n c . p . d e l p r o b l e m a . E n l o q u e s i g u e s u p o n d r e m o s a u e la a c o -

t a c i ó n u n i f o r m e d e e t a m b i é n s e c u m p l e y e l p r o b l e m a e s c , p

Para resolver el problema de coeficientes constantes

se ha planteado, aplicamos la aproximación numérica mediante un

esquema de dos niveles t, por el momento.

La forma más general de dicho esquema es:

(h.3)

donde /?> r ^v/ 3*, - - • /^<¿) es un vector de componentes números

enteros, N- y N. son conjuntos de tales vectores, D* } O „

son matrices pxp de elementos constantes (aunque pueden depender

de ¿lv; y Á-t ) .

L1 amando

el e s q u e m a se t r a d u c e para las v ( k ) en :

H . d e p e n d e r á ú n i c a m e n t e de k y & t si s u p o n e m o s f i j a d a de antema^-

no la f o r m a Ax.*q.(&i) de t e n d e r ^*V a c e r o al h a c e r l o

-241-

D e f i n i c i ó n : D e c i m o s q u e el e s q u e m a es s o l u b l e y la s o l u c i ó n únii-

c a c u a n d o 3 H. • Entonces'.

La m a t r i z G se d e n o m i n a m a t r i z de a m p l i f i c a c i ó n y es la

r e p r e s e n t a c i ó n en dh de la G(&t> en ( 3 . 3 ) .

Supondremos q u e el e s q u e m a (4.3),, a sido o b t e n i d o , p o r s u s -

t i t u c i ó n d i r e c t a en la e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l y d e las d e r i v a d a s por

e x p r e s i o n e s t r u n c a d a s . T a m b i é n s u p o n d r e m o s i n c l u i d a en &*c, c~ í..d

la d e p e n d e n c i a en At .

D e f i n i c i ó n : D e c i m o s q u e la c o n d i c i ó n de c o n s i s t e n c i a se s a t i s f a -

ce <T > o

para c u a l q u i e r f u n c i ó n & s u f i c i e n t e s v e c e s d i f e r e n c i a b 1 e .

K- y K Q d e n o t a n los o p e r a d o r e s q u e a p a r e c e n en (4.3) tras

s u s t i t u i r

Esta d e f i n i c i ó n c o i n c i d e con la d e f i n i c i ó n de c o n s i s t e n -

cia p a r a el t e o r e m a de L a x :

Aplicando (4.6) a u cx.éj s u. Cx> y u Cx, ÍJ s é uo(X)

se tiene ( f¿± (¿ti + K te*' + A ) u° ~ ° (¿J

( U^ (Aí> Ai - X ) te. -- o O.) (Zí-6)

Llamando Oj^ c 05 al espacio de los polinomios trigono-

métricos de grado ¿ m, tenemos que L : 4¿ A^ (&*} - X no saca

de dicho .espacio, i.e. V K & (J3m ^ L u e (fo^

L l a m a n d o •' '',r, la norma r e s t r i n g i d a a ^"->^ ~y ¿ >

3 Aí 3 // L II m <- £ i. p u e s l a b a s e d e ^ ¿ « s a t i s f a c e

L¡Á-¿>(4-) Y I a d i m e n s i ó n de ^ ^ o ^ es f i n i t a

-242-

Aná1ogamente para üz suficientement e pequeño

Recordando que en el teorema de Lax Q.. . |4 (Ai)'' /•. <**>

Ü

X -< e, (¡x+Aiii

puesto que T la solución u(x,t)

(8.

-. A U. (*,

se tiene

- O Ui C°, Ti

Usando u la c o n s i s t e n c i a q u e d a p r o b a -

da.

Esta d e f i n i c i ó n de co n s i s t e n c i a j para los p r o b l e m a s de coe_

f i c i e n t e s c o n s t a n t e s y e s de fácil a p l i c a c i ó n ya q u e se limita a

e x i g i r q u e los e r r o r e s de t r u n c a c i ó n se a n u l e n al h a c e r l o bt .

5- E s t a b i l i d a d en p r o b l e m a s de c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s

E s t a b i l i d a d r e q u i e r e q u e J r > o $ G-(a€,k) e s t e unifo£_

m e m e n t e a c o t a d a i/ \ <<at< *"

Si K C'4*/ 3 es el ra d i o e s p e c t r a l de G ( ^ t , k ) (que

n o t a r e m o s p(G)) t e n e m o s q u e

E s t a b i l i d a d e x i g e q u e -J *• keX

supon ii e n d o , s i n p é r d i d a d e g e n e r a l i d a d , q u e C 1 £

-243-

y en p a r t I c u l a r

Ci está a c o t a d a por una e x p r e s i ó n lineal

en Le,!} con lo que t e n e m o s la

C O N D I C I Ó N DE VON N E U M A N N :

M | £ J I i/oí

L r i - . . p

d o n d e A , -cy-t~-p son los a u t o v a l o r e s de G.

E j e m p l o ; <líí . o - f__Ü- -A ¿ ¿* •- o~; & ;> &

con el esquema M¿ *'_ of¿ " ¿¿j+i - $ ¿<- + ^j-. ¿ Cf"

-3 " .¿3*- ¿

Si mediante ( 4 . 3 ) , (4.4) y (4.5) calculamos la matriz de ampli-

ficación encontramos:

y La c o n d i c i ó n de von Neumann se cumple! s i ^ = ^ - ^ x - Vg,

; . La condición de von Neumann .es necesaria.-aunque no. s.uf Iciente para

estabi l idad. Necesitamos"disponer dercrf ter ios pue garanticen ia.estabi1idad

de un-esquema. Así- una-.-candi-.ci=on- suf ic iente es simplemente

p u e s e n t o n c e s

11 (jr C¿t 1 1 M es t á u n i f o r m e m e n t e a c o t a d o

O t r a s c o n d i c i o n e s s u f i c i e n t e s :

1 - C o n d i c i ó n s u f i c i e n t e

Si G ( A t , k ) es n o r m a l : von N e u m a n n <£#> E s t a b i l i d a d

R e s u l t a d o l ó g i c o , pues en e s t e c a s o R.(&^,k) - \\ G-( ¿-Í. , h. \\\

(En el e j e m p l o a n t e r i o r el v a l o r *-£>/„ a s e g u r a la e s t a b i l i d a d )

-2kk-

2- Condición s u f i c i e n t e

i) Si los el e m e n t o s de G(o,k) están acotados en -C(k)

ii) G es t i ps ch i t z-cont i nua en ^ = 0 , i.e. Gíaé^k) -

•= C(c,h.)4 OC¿¿) c u a n c j 0 i ^ ^ con la cons t a n t e en 0 ( 4 t) independien-

te de k.

iii) |ICí*,t;ll*4.

E S T A B I L I D A D

La condición ii) puede s u s t i t u i r s e por G G L i psch i tz-con t i nu a en

D e m o s t r a c i ó n : D i a g o n a 1 i z a n d o p o r u n a u n i t a r i a :

- I/+ C Q (o, ¿tj+ o Cót > l + € £(o,¿t) +o r tj 31/-- 3> + O

2

por otro lado ffJ> > - ¡l GC0'k)lt ~ * y el espectro de

M = D+0( Át) está c o n t e n i d o en la unión de los círculos centra-

dos en los e l e m e n t o s diagona1 es (M . .) con radios respectivos

Se deduce por tanto que P (l/+ G + fî, ) G Cóé, k ) l/~ )•

- \\ G (4t,k) ¡\Z 6 f CJ>) + ^^ y Rc £ >L + O C¿¿)

que implica estabilidad.

3- Condición suficiente

Sea ¡fóttk) i a matriz de elementos C,- - / j donde

i ¡o"V . 7

' ' ' c~ *~.~'P I e s un conjunto completo linealmente independiente

de autovectores de G normalizados.

Sea ¿* = det T, r o <

von Neumann <£=£> E s t a b i l i d a d

D e m o s t r a c i ó n : Los elementos de T verifican ,^

-245-

por c o n s t r u c c i ó n . Como ^ - con D di a g o n a l , es

fácil demostrar que j ( G*) c; • ~ ~— P donde R=j°(D)

y por lo tanto " " ~* "~~" puesto que G es una

matriz pxp.

La condición de von Neumann implica K ¿ i + (- A^lcr c o n

lo que tenemos:

Estabilidad

Ejemplo:

La ecuación —• ~ c Sx- 1 m e d i a n t e el cambio

cu - C ^ J

adopta la forma (3-1)- c ^ ^ adopta la forma (3-1) - ] ^ c

O C —" \

r }cf )con u= \<L>) , A= ( w y que se puede t r a t a r con e l esque-

ma .'" (Courant, Friedrichs y Lev i (1928)):

W Jí - Uj W . - US •C i+ J

óhC

r f* ''* )

que conduce a la matriz de amplificación \*-ÍAit kj = ' "* /-<%*;

donde a = c ^/¿¿ s'n (k - á x ^ no normal.Si v y v son los autovectores normal izados de 6 se

encuentra ¡¿ | = U.f f^"^ ^^jj .- i- ° ¿T X'h * CK éx i

que en el caso C ó t ¿ ^ verifica /¿3) > 4.->-i»ei > o

-246-

_ ^ _Los a u t o v a l o r e s d e G A±>*-

v e r i f i c a n p a r a a £ 2 , I -3c I = *• , «. = ¿,a. y s e c u m p ] e i a c o n d i c i ó n

de N e u m a n n . En c o n c l u s i ó n p a r a r s -—— ^ ¿ e s t e e s q u e m a es e s -

t a b l e .

IV- C o n d i c i ó n s u f i c i e n t e

Si los elementos de G( á t ,k) están acotados * \ Le <£

• . . ( o ¿ ¿i t < z

y T M c | salvo a lo sumo, uno verifican I >í; | £ Jf < * s k. & ¿

von Neumann <^> E s t a b i l i d a d .

Demos t rae i ón

Toda m a t r i z puede ser triangu1 arizada por una unitaria:

B = U AU B= • 1 y además max | Be; \ 4. P max |A;¡1

V o • Ap / •

pues los ele m e n t o s de U son en m ó d u l o inferiores a 1.

Si max | 3 \ -Y t'U ^b, b *- S t - (B )c¡

que no pertenecen a la diagonal de B se llega a:

donde N J ~ '4. , --, o

í v-i V &n ^

F (r) es la serie Hype rgeomét r i ca Ff (y) ? Z. Y <*+>)-••(*+*>> •'

r ?=» ? 'convergente para / < 4 .

Comparando la norma de A con la de B, mayorada a su vez

por p max IB . .j tenemos :

que api icado a A r G( 4 t , k ) con elementos A., acotados y ^ - *

(von N e u m a n n ) ^ impl ica la acotación uniforme de G ( At,k) que

vale a e s t a b i l i d a d .

-247"

E j e mplo: Para la ecuación U =<rU se obtiene el esquema de tres

n i v e l e s : — _i _J .. - — i — - — ¿ — = o- lJ*" g •' ^ ¿Q-'z Át & ¿b (¿*j*

al d e s p e j a r ( - I e n l o s d e s a r r o l l o s d e T a y l o r :

j ' J - ó t ( — ) + 1 f¿&/ 7 í ~~ ) "*' j. OZ/ ^ t. -- j

//"+'U

y p r o m e d i a r d i c h a s e x p r e s i o n e s p a r a e l i m i n a r el c o e f i c i e n t e d e

E s t e e s q u e m a p u e d e r e d u c i r s e a o t r o b i - n i v e l p a r a su e s 1

t u d i o , si a ñ a d i m o s n u e v a s v a r i a b l e s :

c/. "" .

El c á l c u l o d e l a m a t r i z d e a m p l i f i c a c i ó n c o n d u c e a

l o s a u t o v a l o r e s d e G -' Y , -V s * - ' '-*" • f g V r v e r i f i c a n

i *

El cálculo de ^ conduce a ¿í 1=>c ¿//-/«•rccyi q U e s e puede

anular en el caso c< ? /„ y la 3" condición únicamente asegura e

tabilidad en el caso °*7 d/g mientras que la k- condición, más

potente en este c a s o , lo hace ¡/<=< > Q .

-248-

6. E s q u e m a s m u 1 t i n i v e 1 e s

En la c o n s t r u c c i ó n d e e s q u e m a s m á s p r e c i s o s , s e u s a n c o n

f r e c u e n c i a m á s n i v e l e s t_ q u e el m í n i m o r e q u e r i d o p o r el p r o b l e m a

A s í e n la e c u a c i ó n üt = o~u^^ el e s q u e m a :

c u y a e s t a b i l i d a d h a q u e d a d o a s e g u r a d a e n t o d o c a s o e n el a p a r t a -

d o a n t e r i o r 5. E s t e e s q u e m a e s d e t r e s n i v e l e s , p a r a r e s o l v e r l o

e s n e c e s a r i o c o n o c e r , a p a r t e d e ti. , U . n o d a d o p o r l a s c o n d i c i o -1 J J

n e s d e c o n t o r n o . E s t o s d a t o s U . h a n de s e r c a l c u l a d o s p o r a l g ú n

m é t o d o n u m é r i c o q u e n o s p r o p o r c i o n a un v a l o r a p r o x i m a d o del m i s -

m o .

En e s t e a p a r t a d o s e d i s c u t e las c o n d i c i o n e s d e c o n v e r g e ^

c í a , c o n s i s t e n c i a y e s t a b i l i d a d p a r a e s t o s e s q u e m a s .

P o r n o t a c i ó n s u p o n d r e m o s q u e el p r o b l e m a d e v a l o r e s i n i -

c i a l e s ( 3 - 1 ) e s t á a p r o x i m a d o p o r u n e s q u e m a d e q + 1 n i v e l e s .

k,

que p r o p o r c i o n a una s o l u c i ó n única u

t i n ú o de U ,...,IL :

U "ff

d e p e n d i e n d o de modo con-

con r< - v e r i f i c a n d o

(_]• e f£) (Oh) . C o m o d e c o s t u m b r e , h e m o s s u p u e s t o f i j a d o d e

a n t e m a n o el c o m p o r t a m i e n t o áx¿ = £ c

El e s p a c i o de s o l u c i o n e s se toma

con la n o r m a " ( r)\\ : liuu*+ ntrn\ .. C O n u,v e

ma d e f i n i d a en

, de Banach

ji <-<-H , la ñor

En

-249-

íi "*'-'-

se definen y

c ± a

O T

V

\

a

( 6 . 2 ) s e p u e d e e s c r i b i r e n la f o r m a

y el p r o b l e m a q u e d a r e d u c i d o a d o s n i v e l e s , e q u i v a l e n t e a i n t r o -

d u c i r n u e v a s v a r i a b l e s a u x i l i a r e s c/' r U'

Por otro lado el valor de u(t) en t = 0 , ¿ t, 2<¿ t,...(q-1)At

deben de ser dados o calculados (por a p r o x i m a c i ó n ) . Suponiendo aue

son e x a c t o s : •*- / E ( (1-n ¿¿ ) <¿<r

j = S

donde S r

u.c

A s í la s o l u c i ó n a p r o x i m a d a q u e n o s p r o p o r c i o n a el e s a u e -

m a e n d i f e r e n c i a s f i n i t a s e s f - (fr^t ¡^ S^íTo s o l u c i ó n a c o m p a r a r

con £ (h¿&) S't£? solución exacta.

Llamamos u-^ al s u b e s p a c i o formado por los vectores de

Oí? con todas sus componentes iguales :

-250-

OAl • Ai-^-t . C ( I- ) Lc° - t< (é) & ^sP

C u a n d o z> £•*•<? y n ac-*j, s e t i e n e q u e c > c / ^

e s la s o l u c i ó n a la q u e t i e n d e ¿ r f t J . S ¿c° d a d o q u e

S -v I c u a n d o 4 t -*• 0 . L a s s o l u c i o n e s e x a c t a s p e r t e n e c e n al

s u b e s p a c i o u o a u n q u e l a s s o l u c i o n e s a p r o x i m a d a s n o lo h a q a n .

P o r o t r o l a d o h e m o s s u p u e s t o q u e V " e s c o n o c i d o e x a c t a m e n t e ,

c o s a q u e n o o c u r r e e n la r e a l i d a d , d o n d e s e d i s p o n e ú n i c a m e n t e

d e u n a a p r o x i m a c i ó n r y o b t e n i d a p o r a l g ú n m é t o d o n u m é r i c o , a

la c u a l ú n i c a m e n t e e x i g i m o s q u e Vf ~ z-t e

C o n e s t a n o t a c i ó n , l a s d e f i n i c i o n e s d e e s t a b i l i d a d , con_

s i s t e n c i a y c o n v e r g e n c i a p a r a e s q u e m a s m u l t i n i v e l e s s o n a n á l o g a s

a l a s p r e s e n t a d a s e n 3- p a r a s i s t e m a s b i n i v e l e s :

E S T A B 1 L I D A D L a a p r o x i m a c i ó n C ( ¿ t ) e s e s t a b l e

e s t á u n i f o r m e m e n t e

a c o t a d o (•££ (3.^) sea un s i s t e m a e s t a b l e )

C O N S I S T E N C I A La a p r o x i m a c i ó n CCte) e s c o n s i s t e n t e

<• y J V° denso en Oo (V = (ftJ ¿ e elementos iniciales de

s . g. 3 V tt* & 1/ " i/ €. >c 2 <T>c > i/ Aé < J~

S u (í>\\ <€. 6t V C

z i •"' /V £(6> W /

v

CONVERGENCIA Q (¿k) es convergente

J ~*"

- o

- 2 5 1 -

TEOREMA y p r o b l e m a c . p . y F a p r o x i m a c i ó n W/ ¿ * 7 s a t i s f a c i e n d o

c o n s i s t e n c i a : E s t a b i l i d a d ^ C o n v e r g e n c i a

La d e m o s t r a c i ó n e s a n á l o g a al del t e o r e m a c o r r e s p o n d i e n t e a es q u e _

m a s b i n i v e l e s en 3- s a l v o e n lo c o n c e r n i e n t e a la a p r o x i m a c i ó n

i n i c i a l ,

A n á l o g a m e n t e a lo q u e o c u r r í a e n l o s e s q u e m a s b i n i v e l e s ,

d i s p o n e m o s e n l o s p r o b l e m a s d e c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s , d e un m e -

d i o m á s s e n c i l l o q u e la d e f i n i c i ó n ^ p r e s e n t a d a a n t e r i o r m e n t e d e

p r o b a r la c o n s i s t e n c i a :

P a r a p r o b l e m a s d e c o e f i c i e n t e s c o n s t a n t e s , l a s a p r o x i m a -

c i o n e s m u l t i n i v e l e s ( 6 . 1 ) s o n c o n s i s t e n t e s si el e r r o r d e t r u n c a

c i ó n s e a n u l a al h a c e r l o <¿i t y el e s q u e m a e s e s t a b l e , i . e .

c u a n

U (h f <f¿i) ¿ - • • -r Ko U (é) - (}£ - ¿J * (t) = O

do Át-> 0 V u(t) suficientes veces d i f erenc i ab 1 e .

La d e m o s t r a c i ó n e s d e : ; n u e v o a n á l o g a a la p r e s e n t a d a en

h. p a r a el c a s o b i n i v e l . La r e s t r i c c i ó n d e e s t a b i l i d a d , a u e e n

d i c h o c a s o n o a p a r e c í a , v i e n e i m p u e s t a p o r la n e c e s i d a d d e a s e -

g u r a r la c o n v e r g e n c i a u n i f o r m e d e

S i n e m b a r a o

e s t a r e s t r i c c i ó n n o r e d u c e la a p 1 i c a b i 1 i d a d d e e s t a d e f i n i c i ó n ,

al c a r e c e r d e s e n t i d o p r á c t i c o la u t i l i z a c i ó n d e e s q u e m a s n o e s -

t a b l e s .

- 2 5 2 -

A . 1 . A p é n d i c e : E j e m p l o p r á c t i c o p a r a l a e c u a c i ó n d e l c a l o r

P a r a l a e c u a c i ó n

DUFORT y FRANKEl (195 3) propusieron el esauema

Para estudiar su consistencia debemos examinar el error

de t ru ncac i ón:

«

C oh 1°

J

Consistencia ex i je que /fa° cuando ^fr-»* } en el caso con_

trario en el que Aiy _ ^ cuando ¿k-*& .el esquema sería con-

sistente con la ecuación ff— -<r<7J* +<ry¡>í~ *Jí — o y no con la

propuesta.

- 2 5 3 -

P a r a e s t u d i a r s u e s t a b i l i d a d , d e b e m o s h a l l a r l a m a t r i z

d e a m p l i f i c a c i ó n d e l e s q u e m a b i - n i v e l e q u i v a l e n t e :

r u - u • "*'

^ d

i/.

p a r a e l l o h a l l a m o s l a s m a t r i c e s B ^ u t i l i z a d a s e n

u

r o

resultando 6 í

- <ry

con ellas se c o n s t r u y e n H . i = 1,0 según (k.k):

Oí

- d

a- 44/V

y por ú l t i m o G ( Á t , k ) s e g ú n ( 4 . 5 ) *

con

P a r a e s t u d i a r la c o n d i c i ó n d e v o n N e u m a n n , h a y q u e e n c o n -

t r a r s u s a u t o v a l o r e s :

•±+»<

resultando \ A i — ^ / ' I

P o r lo t a n t o , la c o n d i c i ó n n e c e s a r i a d e v o n N e u m a n n s e c u m p l e , y

p o : l

m a e s e s t a b l eí°< .

al m i s m o t i e m p o : l a k- c o n d i c i ó n s u f i c i e n t e , p o r lo q u e e s t e e s q u e _

-255-

A2 Apéndice: Un esquema para la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV)

(ML a e c u a c i ó n d e K o r t e w e g d e V r i e s f u e p r e s e n t a d a o r i g i n a 1 m e n t

m e n t e p a r a l a d e s c r i p c i ó n d e o n d a s e s t a c i o n a r i a s e n c a n a l e s , p o s -

t e r i o r m e n t e , s e h a a p l i c a d o a l a d e s c r i p c i ó n d e o n d a s m a g n e t o h y d r o

on(7)

d i n á m i c a s e n p l a s m a s , o n d a s a c ú s t i c a s e n c r i s t a l e s a n h a r m ó n i c o s '

y o n d a s i ó n i c o a c ú s t i c a s

U n a d e l a s f o r m a s e n q u e d i c h a e c u a c i ó n a p a r e c e e n 1 a 1 i t e r a -

t u r a e s

A S j o b e r g ( 1 9 6 7 ) y P.D. Lax ( 1 9 6 8 P 9 ' han m o s t r a d o la e x i s t e n -

cia y u n i c i d a d de s o l u c i o n e s de (A . 1 ) b a j o c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s

a p r o p i a d a s . M . J . Z a b u s k y y M . D . K r u s k a l , e n c o n t r a r o n n u m é r i c a m e r

te o n d a s s o l i t a r i a s ("sol i t o n e s " ) e n t r e las s o l u c i o n e s d e ( A . I ) , m e -

d i a n t e el e s q u e m a t r i - n i v e l :

El c a r á c t e r t r i - n i v e l de e s t e e s q u e m a h a c e n e c e s a r i o el conocimien_

to d e 7 % q u e se p u e d e o b t e n e r m e d i a n t e

(ÓX)

E s t e e s q u e m a n o e s 1 i n e a l , p o r lo q u e n o p o d e m o s e s t u d i a r d i r e c t a -

m e n t e su e s t á b i l i d a d . B a j o a r g u m e n t o s d e s u a v i d a d e n la s o l u c i ó n ,

se p u e d e e s t u d i a r u n e s q u e m a " l o c a l " l i n e a r i z a d o , d o n d e en c a d a pa_

so s e s u p o n e ¡? a p r o x i m a d a m e n t e c o n s t a n t e . A s í e s t u d i a r e m o s el e^_í

q u e m a :

- 2 5 6 -

c o r r e s p o n d i e n t e a la e c u a c i ó n 1 i n e a r i z a d a

h •*- £ * >7 + l? = o

P a r a e s t u d i a r la e s t á b i l i d a d d e A . k d e b e m o s p a s a r al e s q u e m a

b i - n i v e 1 :

IX

y c o n s t r u i r las m a t r i c e s C y y ^ i , *~i c ' ¿

/e - e -/ -i

yC o n H n y H 1 la m a t r i z d e a m p l i f i c a c i ó n e s i n m e d i a t a .

-257-

, , A tr c py.< í- Lcon 61 = -2 <-

Los autovalores de G son soluciones de - - ^ A

luego ' ' " " y la condición de von Neumann se cumpli

ra u n i c a m e n t e s i |/-l \ - \ A

que conduce a

- ( i o y

Condiciones s u f i c i e n t e s :

1- G no es normal r ^ No se verifica

con l o q u e G- r ^ ¿ ,

No se verifica

,= ¿

3a- Los autovectores ? i / e j f = ¿ /"fl

forman la matriz

cuyo determinante

sen@= oí sen f s

a s í que Éi. fe \l?l 4. -4 ~1 ¿ 4 es una c o n d i c i ó n sufi

ciente para la estabilidad de (A.k)

k- No api ¡cable pues / A'"j - / /? '** | = :i

R e s u m i e n d o : el esquema 1 inearizado (A.4) es estable cuando

1 ^ _. S i n e m b a r g o , e s t o e s ú n i c a -

m e n t e u n a g u f a , q u e n o p u e d e a s e g u r a r la e s t a b i l i d a d d e ( A . 2 /

En l a p r a c t i c a s e ha c o m p r o b a d o q u e p a r a v a l o r e s d e r i g u a l e s , e i n c l u _

t a b l e

s o , l i g e r a m e n t e s u p e r i o r e s a l a u n i d a d , e l e s - q u e m a s i g u e s i e n d o e s -( 1 3 )

-258-

RE F E R E N C I AS Y N O T A S

1) E . Á n g e l , R. Bel I m á n . : " D y n a m i c P r o g r a m i n g a n d P a r t í a l D i f f e r e n t i a 1

E q u a t i o n s " A c a d e m i c P r e s s , N . Y . ( 1 9 7 2 ) .

2) R . D . R i c h t m y e r . : " D i f f e r e n c e M e t h o d s f o r Iníti a 1-va 1ue P r o b l e m s "

I n t e r s c i e n c e P u b . N . Y . ( 1 9 5 7 )

3 ) El p r o b l e m a i n h o m o g é n e o : ^ > = 4 u í ¿ ; + 5 í í ) , u ^ s W o

e s t a t r a t a d o en R . D . R í c h t m e y e r , K . W . M o r t o n " D i f e r e n c e M e t h o d s foi

Initi a l - V a l u e P r o b l e m s " 2 - e d i c i ó n , I n t e r s c i e n c e P u b , N . Y . (1367)

k) D . J . K o r t e w e g , G . d e V r i e s : P h i l . M a g . ( S e r . 5 ) 13_. 4 2 2 (1895)

5 ) C . S . G a r d n e r , C . K . M o r i k a w a . : C o m m . P u r é A p p l . M a t h . J_8_, 35 (1965)

y Courant Inst. of Math. Sci. Report H2 N Y O - 9 0 8 2 ( 1 9 6 0 )

T . K a k u t a n i , T . K a w a h a r a , T . T a n i u t i . : J . P h y s . S o c . J a p a n 2_3_, 1 1 3 8

( 1 9 6 7 )

6 ) N . J . Z a b u s k y , en " P r o c e e d i n g s o f the C o n f e r e n c e o n t h e M a t h e m a t l -

cal m o d e l s in t h e P h y s i c a l S c i e n c e s " e d . S t e f a n D r o b o t , P r e n t í c e

H a ! 1 I n c . N . Y . (1 9 6 3 )

7) H . W a s h i m i , T . T a n i u t i , P h y s . R e v . L e t t e r s \J_, 9 6 6 ( 1 9 6 6 )

8) A . S j ó b e r g . : " O n t h e K o r t e w e g - d e V r i e s e q u a t i o n " U p p s a l a U n f v .

D e p t . o f e o m p u t e r s S c i . R e p o r t ( 1 9 6 7 ) .

9) P . D . L a x . : C o m m . P u r é A p p l i e d M a t h , 2A_, k&7 ( 1 9 6 8 )

1 0 ) N . J . Z a b u s k y , M . D . K r u s k a l . : P h y s . R e v . L e t t e r s J_5_, 2 4 0 ( 1 9 6 5 )

11) R . D . R i c h t m y e r , K . W . H o r t o n . : en r e f e r e n c i a 3-

12) En los e s q u e m a s no l i n e a l e s , a p a r e c e n i n e s t a b i l i d a d e s , a ú n cuand<

la v e r s i ó n 1 i n e a r i z a d a del e s q u e m a es e s t a b l e . Se e s p e c u l a s o b r e

la e x i s t e n c i a de u m b r a l e s de e s t a b i l i d a d en d i c h o s e s q u e m a s . Un

e s t u d i o de e s t e p r o b l e m a p u e d e v e r s e en el a r t í c u l o de H . J . S e t t e

s o b r e e s t a b i l i d a d de a l g o r i t m o s d i s c r e t o s no l i n e a l e s en " N u m e r i

cal S o l u t i o n o f F i e l d P r o b l e m s in C o n t i n u u m P h y s i c s " V o l . I I .

E d . G . B i r k h o f f , R . S . V a r g a . A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y . P r o v i -

d e n c e R h o d e I s l a n d ( 1 9 7 6 ) .

1 3 ) A . C . V I i e g e n h a r t . : J o u r n a l of E n g i n e e r i n g M a t h . 5 , 1 3 7 ( 1 9 7 2 ) .

J.E.N. 401

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Madrid.

"Ecuaciones de onda no-lineales:Tecriicas matemáticas"!Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas de U,C.M.(i978)258pp, 13ref.

Se presenta una puesta a punto, de algunas técnicas matemáticas bien establecidas en

el tratamiento de las ecuaciones diferenciales no l ineales.

En el marco estr icto del Análisis Funcional cabe insertar las técnicas de semigrupos

en espacios de Banach y el método variacional de puntos cr í t icos. Se citan con deta l le ' '

posibles aplicaciones a la demostración de existencia de soluciones (locales y globales),,

del problema de pauchy, así como a la estabil idad de soluciones estacionarlas.

El método formal de invariancia de Lie merece atención por su amplia apl icabi l idad,

si bien las soluciones explícitas que resultan no permiten un-análisis profundo de las

ecuaciones. • . ,

Se ha puesto especial énfasis en lo referente al método de scattering inverso y a los

solitones de ciertas ecuaciones relevantes de Física. En ésta y otras cuestiones ha juga-,

J.E.N. 401 .


"Ecuaciones de onda no-lineales ¡Técnicas matemáticas"Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas de U.C.M.(1978)258 pp.13ref.


el tratamiento de las ecuaciones diferenciales no l ineales.

En el marco estr icto 'del Análisis Funcional cabe insertar '.as técnicas de semigrupos

en espacios de Banach y el método variacional de puntos cr í t i cos . Se citan con detalle

posibles aplicaciones a la demostración de existencia de soluciones (locales y globales)

del problema de Cauchy, así como a la estabil idad de soluciones estacionarias.


si bien las soluciones explícitas que resultan no permiten un análisis profundo de las

ecuaciones.


solitones de ciertas ecuaciones relevantes de Física. En ésta y otras cuestiones ha juga

J.E.N. 401


"Ecuaciones de onda no-lineales ¡Técnicas matemáticas"Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas de U.C.M.(i978)258pp.13rofs.


el tratamiento de las ecuaciones diferenciales no l ineales.En el marco estr icto del Análisis Funcional cabe insertar las técnicas de semigrupos

en espacios de Banach y el método variacional de puntos cr í t i cos . Se citan con detal leposibles aplicaciones a la demostración- de existencia de soluciones (locales y globales)del problema de Cauchy, así como a la estabil idad de soluciones estacionarias.


si bien las soluciones explícitas que resultan no permiten un análisis profundo de las

ecuaciones.


solitones de ciertas ecuaciones relevantes de Física. En ésta y otras cuestiones ha juga

J.E.N. 401

. Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Madrid.

"Ecuaciones de onda no-lineales ¡Técnicas matemáticas"Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas de U.C.M. (I978)258pp.13ref.

Sepresenta una puesta a punto, de algunas técnicas matemáticas bien establecidas en

el tratamiento de las ecuaciones diferenciales no l ineales.En el marco estr icto del Análisis Funcional cabe insertar las técnicas de semigrupos

en espacios de Banach y el método variacional do puntos cr í t i cos . Se citan con detalleposibles aplicaciones a la demostración de existencia de soluciones (locales y globales)del problema de Cauchy, así como a la estabilidad de soluciones estacionarias.

El método formal de invariancia de Lie merece atención por su amplia apl icabil idad,

si bien las soluciones explícitas que resultar, no permiten un análisis profundo de las

ecuaci ones.

Se ha puesto .especial énfasis en lo referente al método de scattering inverso y a los

•solitones de ciertas ecuaciones relevantes de Física. En ésta y otras cuestiones r-, juga i

do un papel crucial el cálculo numérico, del que se ofrece un análisis parcial pero de-tallado sobre problemas de estabilidad y convergencia.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Diferential equations. Inverse scattering pro-blera. Cauchy problera. Solitons. Clathematics.

ido un papel crucial el cálculo numérico, del que se ofrece un análisis parcial poro tle-' tallado sobre problemas de estabilidad y convergencia.

i CLASIFICACIÓN INIS Y KSCRIPTORES: F51. Diferential equations. Inverse scattering pro-blem. Cauchy problem. Solitons. Mathemátics.

do un papel crucial el cálculo numérico, del que se ofrece un análisis parcial pero de-tallado sobre problemas de estabilidad y convergencia.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Diferential equations. Inverse scattering pro-blem. Cauchy problem. Solitons. Mathematics.

do un papel crucial el cálculo numérico, del que SB ofrece, un análisis parcial pero de-tallado sobre problemas de estabilidad y convergencia.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Diferential equatious. Invorse scattering pro-blem. Caychy problem. Solitons. Hathemátics.

J . E . N . 401

Junta do Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Madrid.

"Non-linear wave equations: Matematical .techniques"Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas de U.C-M.(1978)258pp,13refs.

This volunie preserrts an account of certain wnll-established mathematical methods,which .prove useful to deal with non-linear partial differential equations.

Within the strict framework of Functional Analysis, i t describes Semigroup Techniquesin Flanach Spaces as well as variational approaches towards crit ical points.. Detailedproofs are given of the existence of local and global solutions of the Cauchy problem .•and of the stability of stationary solutions. The formal approach based upon invarianceundcr Lie transfonnations deserves attention due to. i ts wide range of applicability,eyen i f the explicit solutions thus obtained do not allow for a deep analysis of the :

equations. ' ' . •

A comprehensivía introduction to tho inverse scattering approach and to the solutionconcept for certain non-linoar equations of physical interest are also presented. A

J . E . N . 401

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Hadrid."Non- l inear wave equat ions : Matemat ica l techniques"

Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas de U.C.M.(1978)258pp.13refs,This volunie presents an account of certain well-esíablished mathematical methods,

wliich prove useful to deal with non-linear partial differential equaticns. 'Within the str ict framework of Functional Analysis, i t describes Semigroup Techniques

in Bana'eh Spaces as well as variational approaches towards crit ical points. Detailedproofs are given of the existence of local and global solutions of the Cauchy problemand of the stabil ity of stationary solutions. Tho formal approach based upon invarianceunder Lie transfonnations deserves attention due to i ts wide range of applicability,even i f the explicit solutions thus obtained do not allow for a deep analysis of theequations.

A comprehensive introduction to the inverse scattering approach and to the solutionconcept for certain non-linear equations of physical interest are also presented. A

J.E.N. 401Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Hadrid.

"Non-linear wave equations: Matematical techniques"Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas de U.C.H.(1978)25íipp."l3refs.

This volunte presents an account of certain well-established mathematical methods,which prove useful to deal with non-linear partial differential equations.

Within the str ict framework of Functional Analysis, i t descri bes Semigroup Techniqueiin Banach Spaces as well as variational appr,oaches towards crit ical points. Dotailodproofs aro given of the existence of local and global solutions of the Cauchy problemand of the stabil ity of stationary solutions. The formal approach based upon invariariCBunder Lie transfonnations desorves attention due to i ts wide range of applicability,even i f ta expncit solutions thus obtained do not allow for a doep analysis of thoequations..

h comprehensiva introduction to "the Inversa scattering approach and to the solution.1.!-.-. _ _l..._!__1 !„.!.., I „„

J.E.N. 401

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Hadrid.

¡ " N o n - l i n e a r wave e q u a t i o n s : M a t e m a t i c a l t e c h n i q u e s "'•'Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias Físicas de U.C.M.(i978)258pp. 13 ref:

This volume presents an account of certain well-established mathematical methods,which prove useful to deal with non-linear partial differential equations.

Within the strict framework of Functional Analysis, i t describes Semigroup Techniquesin Banach Spaces as well as variational approaches towards crit ical points. Detailedproofs are given of the existence of local and global solutions of the Cauchy probloinand of the stability of stationary solutions. The formal approache based upon invarianceunder Lie transfonnations deserves attention due to i ts wide range of applicability,

even i f the oxplicit solutions thus obtained do not a'l1ow f o r a a n a l>' s 1 s o f i h s

equations.A comprehensi ve introduction to tbe Inverse scattering approach and to the soluiier,

nonron+ 'Ffir rprbiin nnn-lirmar eauations of physical interest are also presented. A

detailed discussion is made about certain convergence and stability.problems which

arise in the nwrer-ical analysis of non-linear equations, whose importance need not be

emphasized.

INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS: F51. Dif ferent ial equations. Inverse scattering

problem. Cauchy problem. Solitons. Mathematics.

detailod discussion is made about certain convergence and s tab i l i t y problems which

arise in the numérica! analysis of non-linear oquations, whose importance need not be

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INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS: R31. Dif ferent ial equations. Inverse scattering

problem. Cauchy problem. Solitons. Hathematics.

detailed discussion is made about certain convergence and s tab i l i t y problems which

arise in the numerical analysis of non-linear equations, whose importance need not be

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problem. Cauchy problem. Solitons. Mathematics.

detailed discussion is made about certain convergence and s tab i l i t y problems which

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INIS CLASSIFICATION AND DESCRIPTORS: F51. Differential equations. Inverse scattering

problem. Caychy problem. Solitons. Mathematics.

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por la Cátedra de Física Teórica de la Facultad de ... · ii) Los métodos variacionales en espacios de dimensión infinita son herramienta adecuada para la discusión de soluciones