Portada tesis doctorado Evaristo Hernandez Marceliz Evaristo... · el balanceo de rotores en baja velocidad o rotores rígidos es un proceso relativamente simple y existen una gran

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Mecánica

TESIS DOCTORAL

Balanceo de Rotores Flexibles Mediante el Análisis Modal

presentada por

Evaristo Hernández Marceliz M. en C. en Ingeniería Mecánica por el I. P. N,

como requisito para la obtención del grado de: Doctor en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Director de tesis: Dr. Jorge Enrique Aguirre Romano

Co-Director de tesis: Dr. Alfonso Cuauhtemoc García Reynoso

Cuernavaca, Morelos, México. 1 de Julio de 2008

AGRADECIMIENTOS

Dios, por darme el valor de vivir y surfear los problemas de la vida, Atener el valor de vencerlos y aprender de ellos. l Instituto Tecnológico de Veracruz y a la Universidad Veracruzana su Aapoyo para la realización de mis estudios de Doctorado. Al Cenidet quien me abrió las puertas como alumno para llevar a cabo mi eta para realizar mis estudios doctorales, nunca olvidaré a ésta mi casa m

de estudios. Al Conacyt y al Cosnet, por el soporte económico para lograr establecer el aboratorio de dinámica de máquinas en donde se llevó a cabo la lexperimentación del presente trabajo. Muy especialmente a mis directores de tesis los Doctores Jorge Enrique Aguirre Romano y Alfonso Cuauhtémoc García Reynoso. Gracias por su aciencia, consejos y la generosidad en la comunicación de sus

los no hubiese terminado el proyecto. pconocimientos, sin el A mi comité revisor:

Dr. Dariuz Szwedowicz WasikDr. Enrique Simón Gutierrez Wing Dr. Jorge Bedolla Hernández r. Martín Eduardo Baltazar López racias por todas sus observaciones. DG

DEDICATORIAS

A la memoria de mis padres: Evaristo y Teresa Por todas sus enseñanzas, su recuerdo ilumina mi camino y mis momentos difíciles

A la Compañera de mi Vida:

Morayma Gracias por todo tu apoyo en cada momento de mi vida

A mis hijos: Elmer

Danny Evaristo

Recuerden que en la vida se puede lograr las metas que se propongan

ÍNDICE

SIMBOLOGÍA iiiÍNDICE DE FIGURAS vÍNIDICE DE TABLAS viINTRODUCCIÓN 1CAPÍTULO I

BALANCEO MODAL DE ROTORES FLEXIBLES 1. Descripción General y Filosofía 21.1.1. Problemática para Implementar el Balanceo Modal 41.2 Método de Balanceo Propuesto 4

1.2.1 Integración del Método de Balanceo Moda 51.2.2 Problemática a Resolver 7

CAPÍTULO II DISEÑO, CONSTRUCCIÓN Y PUESTA A PUNTO DEL ROTOR EXPERIMENTAL

2.1 Diseño Dinámico del Rotor 2.2 Diseño Por Resistencia

2.2.1 Cálculo de esfuerzo a partir de los datos arrojados por NATFRE.

2.2.2 Determinación de la máxima deformación real para cada uno de los modos.

2.2.3 Cálculo del polinomio de la elástica que adopta el rotor para cada modo de vibración

2.2.4 Diseño por la teoría de Fallas 2.3 Caracterización dinámica del rotor Construido

2.3.1 Prueba de análisis modal experimental 2.3.2 Prueba en bajada con sensores de desplazamiento 2.3.3 Instrumentación

2.4 Análisis de Resultados

915

15

16

18213535373839

CAPITULO III MODELOS DINÁMICOS Y TÉCNICAS DE ACOPLAMIENTOS DE MODELOS

3.1 Modelos Dinámico 423.1.1 Modelo de Respuesta 433.1.2 Regeneración de las curvas de las Funciones de

Respuestas de Frecuencias 443.1.3 Ejemplo de Aplicación 46

3.2 Técnica de Acoplamiento de Impedancias 553.2.1 Ejemplo de aplicación 56

CAPITULO IV DETERMINACIÓN DE LA IMPEDANCIA MECÁNICA DE LOS APOYOS

4.1 Metodología Propuesta 61

i

4.1.1 Metodología para el caso de dos apoyos 624.2 Ejemplo Desarrollado 644.3 Cálculo de la masa modal 674.4 Comentarios generales a la metodología 68

CAPÍTULO V BALANCEO DINÁMICO DEL ROTOR

5.1 Cálculo de masa modal. 695.2 Cálculo de las masas de balanceo 715.3 Descripción, Gráficas y Resultados del Balanceo 715.4 Evaluación del Balanceo Modal del Rotor 72

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 74BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 78ANEXOS 79

ii

SIMBOLOGÍA A Área

nA Área del diagrama de momentos nMb Ancho del apoyo C Coeficiente de amortiguamiento

tm CC , Coeficientes para impacto y fatiga del código ASME.

cC Constante crítica de amortiguamiento φ,d diámetro

crdxyd 12

2

=

Reciproco del radio de curvatura de la curva de la elástica.

E Módulo de elasticidad FRF Función de Respuesta de Frecuencia

FS Factor de seguridad )(xf Ecuación del polinomio de la elástica )('','' xfy Segunda derivada del polinomio de la elástica g Gravedad h Espesor del apoyo i Plano de Balanceo ak Factor de superficie

bk Factor de tamaño

ck Factor de confiabilidad

dk Factor de temperatura

ek Factor de modificación para concentración de esfuerzos

fk Factor de concentración de esfuerzos con fatiga

qk Otros Factores

fK Factor de concentración de esfuerzos con fatiga

tk Factor de concentración de esfuerzos debido a cambio de sección I Momento de inercia de área L Longitud

M Momento flexionante mM

m Masa modal Masa

bm Masa de balanceo

dm Masa de desbalance me Desbalance N Grados de libertad n Revoluciones por minuto q Sensibilidad a la ranura R Radio en donde se colocan los pesos de balanceo

iii

nR Reacción en el apoyo n r Modo de vibración T Par de torsión X Amplitud de vibración

rη Amortiguamiento estructural σ Esfuerzo σ Esfuerzo normal equivalente estático

mσ Esfuerzo medio

rσ Esfuerzo variable σe fatiga corregido

Esfuerzo limite de

σ’e Esfuerzo limite de fatiga reversible 2,1σ Esfuerzos principales

ypσ Esfuerzo de fluencia

uσ Esfuerzo ultimo

τ Esfuerzo de corte equivalente estático

maxτ Esfuerzo cortante máximo τm Esfuerzo cortante medio τr Esfuerzo cortante variable ζ Factor o relación de amortiguamiento ω Frecuencia

rω Velocidad crítica de modo

uamiento ta de frecuencias FRF

ancia les normalizada con respecto a la masa

n

jkr A Constante modal

[ ]D Matriz de amortig[ ]H Matriz de función de respues[ ]K Matriz de rigideces [ ]M Matriz de masa [ ]R Matriz residual [ ]Z Matriz de imped[ ]Φ Matriz de formas moda[ ]Ψ Matriz de formas modales [ ]rλ Matriz de igen-valores

iv

ÍNDICE DE FIGURAS PÁGINA

1.1 7

2.1 13

2.2 18

2.3 28

2.4 35

2.5 39

3.1 42

3.2 43

3.3 46

3.4 52

3.5 53

3.6 53

3.7 54

3.8 54

3.9 59

3.10 59

3.11 60

4.1 64

4.2 68

5.1 72

5.2 72

v

vi

ÍNDICE DE TABLAS

TABLA PÁGINA

2.1 10 2.2 11 2.3 11 2.4 13 2.5 14 2.6 14 2.7 15 2.8 19 2.9 20

2.10 20 2.11 21 2.12 26 2.13 36 2.14 36 2.15 37 2.16 38 2.17 39 3.1 46 3.2 48 3.3 49 3.4 50 3.5 51 3.6 52 3.7 57 3.8 57 3.9 58

3.10 58 4.1 64 4.2 65 4.3 66 5.1 69 5.2 69 5.3 70 5.4 70

1

INTRODUCCIÓN

En este trabajo de investigación se propone una metodología de balanceo modal,

basada en el acoplamiento dinámico de modelos obtenidos mediante pruebas de análisis

modal experimental.

El contenido se divide en cinco partes. En la primera se realiza una descripción general

del trabajo y de la filosofía del método de balanceo modal, describiendo la problemática

existente para su aplicación, asimismo se plantean las estrategias que se seguirán para

lograr aplicar el método de balanceo modal en un rotor experimental.

En la segunda parte se expone todo lo relacionado con el diseño, construcción y puesta a

punto del rotor experimental en donde se realizará la aplicación del método de balanceo

modal.

La tercera parte se dedica a presentar lo relacionado con los modelos dinámicos que se

aplicarán al rotor experimental, de manera muy particular el modelo modal y el modelo

de respuesta. Se exponen algunos trabajos realizados para obtener modelos de respuesta

y modales, particularmente el de un rotor construido de manera especial para establecer

un método de obtención de modelos de respuesta a partir de pruebas de análisis modal

experimental. Asimismo se plantea el método de acoplamiento de modelos que se usó

durante el trabajo de investigación.

En la cuarta parte se realiza un planteamiento del método utilizado para calcular un

conjunto de valores de la impedancia mecánica de los apoyos para cada uno de los

modos de vibración del rotor. Se presenta un ejemplo para probar el funcionamiento del

método de acoplamiento de impedancias, en el cual se acoplan al modelo de respuesta

de un rotor teórico dos apoyos de rigidez fija y sin amortiguamiento, para efectuar una

comparación con el acoplamiento de los modelos mediante un programa para la

generación de modelos dinámicos espaciales, NATFRE.

La siguiente parte del trabajo consiste en la presentación de los datos que se obtuvieron

durante el balanceo del rotor experimental y la discusión de resultados.

BALANCEO MODAL DE ROTORES FLEXIBLES

CAPITULO I

BALANCEO MODAL DE ROTORES FLEXIBLES Los procedimientos de balanceo modal se caracterizan por el uso de la naturaleza modal de la respuesta de los rotores. Se busca balancear el rotor, un modo a la vez, con un conjunto de masas que se seleccionan específicamente para no perturbar los modos inferiores previamente balanceados.

1.1 Descripción general y filosofía La tendencia en el diseño de las máquinas rotatorias ha sido hacia la reducción del peso y el incremento de la velocidad de operación, con el objeto de aumentar la eficiencia de operación y reducir costos. Por lo que estos diseños más eficientes resultan en un incremento de la flexibilidad del rotor y son en general más susceptibles a una variedad de fenómenos rotodinámicos indeseables. En particular el incremento de la flexibilidad del rotor complica sustancialmente los requerimientos de balanceo. Existen importantes diferencias entre el balanceo de rotores en baja y en alta velocidad, el balanceo de rotores en baja velocidad o rotores rígidos es un proceso relativamente simple y existen una gran variedad de máquinas disponibles. Estas máquinas proporcionan un eficiente balanceo para tal tipo de rotores pero no son tan eficientes tratándose de rotores de alta velocidad. A menudo los componentes de los rotores de alta velocidad se balancean separadamente usando máquinas balanceadoras de rotores de baja velocidad y posteriormente son ensamblados, por lo que si el montaje de estos componentes es excéntrico con respecto al centro de rotación, lo cual invariablemente es cierto en mayor o menor grado, el balanceo realizado en banco puede ser erróneo. El balanceo de los rotores es necesario debido a la presencia de excentricidades del eje centroidal de masa de la flecha rotatoria, relativa al centro de rotación. Tal excentricidad genera fuerzas centrífugas cuyas amplitudes son proporcionales al cuadrado de la velocidad de rotación. Los rotores que operan a alta velocidad tienden a ser más esbeltos y por lo tanto mas flexibles que los que operan a baja velocidad, consecuentemente, los rotores que operan a alta velocidad se deforman significativamente bajo la acción de fuerzas desbalanceadas. La forma del rotor cambia dramáticamente con los cambios de la velocidad de operación, y no con el efecto de la distribución de la masa desbalanceada. Los rotores que exhiben tal comportamiento se les denomina de manera general como rotores flexibles. En la práctica, este desbalance es debido a imperfecciones en la manufactura y ensamble del rotor. El término de balanceo de rotores cubre un gran rango de procedimientos los cuales tienden a reducir el desbalance del rotor. Esto se logra en la realidad, no por remoción del desbalance, sino aplicando desbalances compensatorios, o removiendo masas por maquinado. Debido a que el desbalance del rotor está generalmente distribuido a lo largo de la longitud del rotor y los desbalances

2


compensatorios se aplican en localizaciones axiales discretas, la eliminación completa del desbalance es usualmente imposible, asimismo puede ser innecesaria. Los métodos de balanceo de rotores flexibles se pueden clasificar en dos grupos [1][2][3]:

1. Balanceo por Coeficientes de Influencia 2. Balanceo modal.

La suposición de que la respuesta del rotor es proporcional al desbalance es básica en virtualmente todos los métodos de balanceo para ambos rotores, rígidos y flexibles. Una suposición adicional inherente también en muchos métodos de balanceo, es que los efectos de desbalances individuales se pueden superponer para dar el efecto del conjunto. El método de coeficientes de influencia determina el efecto de una masa unitaria desbalanceada en algunos puntos a lo largo del eje longitudinal del rotor. La premisa detrás del método de coeficientes de influencia se basa en las dos suposiciones anteriores, en las cuales se supone que un rotor puede ser caracterizado desde un conjunto de corridas realizadas con masas de pruebas, esta caracterización puede ser usada para definir una combinación de estas masas las cuales eliminarán o minimizarán la respuesta síncrona del rotor debida al desbalance. Los problemas principales que presenta el método de coeficientes de influencia son los siguientes:

1. Un número significativo de corridas de pruebas son necesarias para obtener datos de la sensibilidad del rotor en altas velocidades de operación.

2. Los coeficientes de influencia cambian con condiciones físicas tales como la temperatura del rotor y la alineación.

3. El desconocimiento de las características dinámicas del rotor y de su comportamiento debido a la naturaleza empírica del método.

El procedimiento de balanceo modal se caracteriza por el uso de la respuesta de los rotores la cual es de naturaleza modal. Se busca balancear el rotor, un modo a la vez, con un conjunto de masas que se seleccionan específicamente para no perturbar los modos inferiores previamente balanceados. La aplicación del método de balanceo modal, en el mejor de los casos, requiere de solo una corrida para balancear al rotor o al conjunto de rotores, y esta corrida no es con una masa de prueba, sino solamente la corrida con la cual se mide la vibración inicial del rotor. La aplicación de ese método de balanceo modal tiene las ventajas siguientes:

3


1. En principio no necesita corridas con masas de pruebas para calcular las masas de balanceo del rotor, solo es necesaria la corrida inicial en donde se mide vibración del rotor.

2. Debido a la disminución de las corridas de pruebas se logran ahorros significativos en el mantenimiento de conjuntos de rotores en donde para lograr cada corrida de prueba se requieren de hasta ocho horas, y se conoce que la suma de los esfuerzos térmicos de cada rodado determina la vida de un rotor.

3. Se conocen las características modales de respuesta del rotor. 4. Se logra balancear cada modo específico separadamente sin afectar a otros

modos, lo que mejora el control del proceso de balanceo, en especial en los casos en los que se requiera afinar el balanceo. Esto además de que sea posible determinar un conjunto de masas de corrección que en conjunto balanceen a cada uno de los modos.

1.1.1 Problemática para implementar el balanceo modal La problemática para aplicar el método de balanceo modal está relacionada con el desconocimiento de [4]:

1. Las vibraciones en los planos de balanceo de los rotores. Con los rotores montados en sus chumaceras reales se conocen las medidas de vibración en los planos de medición y debido a su comportamiento de rotores flexibles, no es posible conocer las vibraciones en los planos de balanceo.

2. Las formas modales del rotor en sus apoyos reales. Se pueden conocer de manera experimental o con modelos computacionales las formas modales del rotor en condiciones de apoyo libre-libre, pero no es posible conocer con confiabilidad las formas modales del rotor en sus apoyos reales.

3. Un modelo confiable de los soportes del rotor, en conjunto con la película de aceite de las chumaceras, la cimentación de los soportes del rotor, etc.

4. Las masas modales del rotor en sus apoyos.

1.2 Método de Balanceo Propuesto El método de balanceo que se propone realizar se basa en las siguientes premisas:

Los modelos dinámicos de los rotores obtenidos mediante una prueba de análisis modal experimental son muy confiables, siendo éstos el modelo modal y el modelo de respuesta.

La confiabilidad de ellos es en general mayor que la del modelo espacial obtenido mediante mediciones o planos del rotor y un programa que utilice métodos como el de elemento finito. De hecho, es común que los primeros se utilicen para calibrar los segundos.

Es posible desarrollar una metodología para realizar un acoplamiento de los modelos del rotor obtenidos en condiciones de apoyo libre-libre con un conjunto de impedancias mecánicas que representan el comportamiento dinámico de los

4


soportes del rotor, incluyendo todos sus componentes, para cada uno de los modos de vibración.

El método de balanceo modal propuesto se desarrollará haciendo uso de un rotor experimental, el cual se diseñará y construirá de manera especial para aplicar en él un método de balanceo modal. Las etapas que se considera se tienen que realizar para lograr el balanceo modal en el rotor experimental son las siguientes:

1) Diseño y construcción de un rotor flexible experimental. 2) Realización de pruebas de análisis modal experimental. 3) Diseño y construcción de un rotor flexible experimental. 4) Desarrollo de una metodología de acoplamiento de modelos dinámicos. 5) Desarrollo de un método de adquisición de datos durante una corrida del rotor. 6) Cálculo de las impedancias mecánicas de los soportes del rotor. 7) Obtención del modelo modal del rotor en sus apoyos. 8) Balanceo del rotor.

El método de balanceo propuesto tiene las siguientes ventajas:

1. Eliminar corridas de prueba. La corrida que, en cualquier caso, se requiere para determinar el desbalance del rotor se puede usar para obtener los datos necesarios.

2. Mayor conocimiento del comportamiento del rotor. 3. Mayor confiabilidad y precisión, aprovechar la confiabilidad y precisión tanto de

los modelos modales experimentales como de las mediciones de vibración en campo.

1.2.1 Integración del método de balanceo modal.

El método de balanceo modal propuesto requiere el conocimiento de [5]: 1. La forma modal del rotor en sus apoyos para cada una de las velocidades

críticas, así como los valores de los coeficientes modales en los planos de balanceo y en los planos en donde se colocan los sensores de vibración.

2. La forma modal debe estar normalizada con respecto a su masa. 3. La masa modal para cada uno de los modos de vibración. 4. Los diagramas polares de respuesta obtenidos durante una corrida de bajada.

Para calcular la forma modal del rotor en sus apoyos se sigue la siguiente metodología propuesta:

1. Se comienza con la realización de una prueba de análisis modal experimental al rotor en condiciones de apoyo libre-libre.

2. De la prueba de análisis modal se obtienen los parámetros modales mediante el uso de un programa de extracción de parámetros modales.

5


3. A partir de los parámetros modales se obtiene el modelo modal del rotor en condiciones de apoyo libre-libre.

4. La forma modal obtenida por esta metodología está normalizada con respecto a su masa.

5. El paso siguiente es calcular el modelo de respuesta del rotor experimental. 6. Se supone un conjunto inicial de valores de impedancia mecánica para cada uno

de los apoyos, esto para el modo que se desea balancear. 7. Se aplica la metodología desarrollada en la investigación doctoral para realizar

el acoplamiento del modelo de respuesta del rotor en condiciones de apoyo libre-libre al conjunto de impedancias mecánicas para cada uno de los apoyos.

8. Del resultado de la aplicación de la metodología aplicada en el punto anterior, se obtiene el modelo modal del rotor en sus apoyos reales, donde la forma modal está normalizada con respecto a la masa modal y es posible conocer la masa modal para el modo de vibración que se esté balanceando.

Con el conocimiento para cada modo de vibración de: la masa modal, la forma modal del rotor en sus apoyos y las amplitudes de vibración en los puntos de medición, se procede a realizar el balanceo utilizando los pasos siguientes:

1. En resonancia la fuerza de excitación eM 2ω está compensada solamente por la

fuerza de amortiguamiento XCω . 2. La fuerza de balanceo está en sentido opuesto a la fuerza de excitación y en la

dirección de la fuerza de amortiguamiento. 3. La constante de amortiguamiento está dada por rrrr mC ζω2= , en donde rm es

la masa modal referida al plano de balanceo, r es el modo de estudio, Cr la constante de amortiguamiento del modo de vibración y rζ , el factor de amortiguamiento.

4. La fuerza de amortiguamiento es rrr XCF ω= y la fuerza de balanceo es 2

rb en donde bm es la masa de balanceo y R es el radio del punto de colocación de la masa de balanceo.

b RmF ω=

5. En resonancia, la fuerza de balanceo es igual a la fuerza de amortiguamiento modal, por lo que

r

rb

rrrb

RXC

m

XCRm

ω

ωω

=

=2

6. Si se conoce que rr , se tiene r mC ζω2=

RXm

m rrb

ζ2=

que es la masa de balanceo del modo correspondiente. 7. Esta masa se debe repartir en los planos de balanceo, que serán cuatro para el

caso del rotor experimental, el cual en sus apoyos tendrá cuatro modos de vibración y ésta no deberá afectar a los otros modos. Debido a esto se debe calcular las masas en cada uno de los planos resolviendo el siguiente conjunto de ecuaciones:

6


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

14

444

14

343

14

242

14

141

13

434

13

333

13

232

13

131

12

424

12

323

12

222

12

121

11

414

11

313

11

212

11

1111

0

0

0

XX

FXX

FXX

FXX

F

XX

FXX

FXX

FXX

F

XX

FXX

FXX

FXX

F

XX

FXX

FXX

FXX

FF

bpbpbppb

bpbpbppb

bpbpbppb

bpbpbppbb

1.1

con estas ecuaciones se calcula un conjunto de cuatro masas de balanceo para el

primer modo sin afectar los otros modos. Este procedimiento se debe repetir para cada uno de los modos.

DESPLAZAMIENTO

VELOCIDADACELERACIÓN kX

CωX MXω2

Meω2

0o

90o

1800

270o

00

90o

180o

270o

ω ω

FUERZA DERESTITUCIÓN

FUERZA DEAMORTIGUAMIENTO FUERZA DE

INERCIA

FUERZA DEEXCITACIÓN

Figura 1.1 Relación de Fuerzas y Parámetros Cinemáticos en Resonancia

1.2.2 Problemática a Resolver

La aplicación del método de balanceo modal propuesto requiere contar con un método confiable que proporcione información de las formas modales de los rotores acoplados en sus apoyos reales.

7


8

Si fuera posible calcular un conjunto de impedancias mecánicas de todo el sistema de soporte del conjunto de los rotores acoplados, lo que incluye rodamientos, chumaceras, soportes, cimentación etc., para cada uno de los modos de vibración y conociendo además el modelo modal y el modelo de respuesta en condiciones de apoyo libre-libre del rotor experimental, es posible entonces realizar un acoplamiento de modelos para obtener las formas modales del conjunto de rotores acoplados de cada uno de los modos del sistema. Se estima que se tienen los elementos suficientes para implantar al menos en un rotor experimental el método de balanceo modal. La obtención de los valores de la impedancia mecánica que se propone en la investigación se basa en una metodología de acoplamientos y desacoplamientos de modelos dinámicos del rotor obtenidos experimentalmente. Es importante hacer notar que el método de balanceo se basa en la determinación de un modelo modal y un modelo de respuesta obtenido a partir de una prueba de análisis modal experimental. Si bien es cierto que la experiencia muestra que estos modelos son más fáciles de obtener y también mas confiables que los modelos físicos modelados con programas basados en el método del elemento finito, también es cierto que en mayor o menor grado se introducen errores en la medición aún cuando estos datos son los más confiable para describir el comportamiento real del rotor.

DISEÑO, CONSTRUCCIÓN Y PUESTA A PUNTO DEL ROTOR EXPERIMENTAL

CAPITULO II


La primera etapa en el diseño del rotor experimental, fue concebir un rotor que en su comportamiento dinámico tuviera características dinámicas similares a un par de rotores flexibles acoplados y que su velocidad de operación fuese por arriba de su tercera velocidad crítica, de tal manera que inicialmente se realizó el diseño dinámico del mismo, posteriormente y cuando el diseño dinámico fue aceptable se procedió a evaluar la resistencia mecánica del mismo, se pasó a la etapa de construcción, y cuando ésta concluyó, se realizaron pruebas para caracterizar dinámicamente el comportamiento del mismo.

2.1 Diseño Dinámico del Rotor En esta parte se desarrolla toda la teoría referente al diseño conceptual del rotor, empleando el programa de cómputo NATFRE, que permite determinar todos los componentes que requiere el rotor para que tenga las características dinámicas especificadas. Se requiere un rotor que tenga tres modos flexibles en el intervalo de operación de 0 a 3600 rpm, éstas deben ser bien espaciadas en el intervalo de velocidad lo cual permitirá analizar mas detalladamente el comportamiento del rotor. Estas frecuencias dependerán directamente de que tan flexibles sean los apoyos del rotor. Debido a las altas velocidades a la que el rotor estará sujeto y al hecho de que será utilizado cerca de sus límites de seguridad, éste es un factor importante a considerar en el diseño del mismo. Se usarán para seguridad de los operantes del rotor, en primer lugar guardas para las masas, abrazaderas para soportes y tornillos. Se construirá además una pared de resguardo que impedirá que salgan proyectiles del rotor. La ejecución del programa NATFRE requiere de varias variables que se deben proporcionar y que a continuación se describen.

Longitud del rotor Número de soportes Posición de soportes y rigidez del mismo Número de cambios de diámetros Diámetro interno Diámetro externo Número de vértices de temperaturas Temperatura exterior derecha e izquierda Número de masas concentradas Posición de las masas Cambio de material

9


A continuación se presenta un análisis de las variables que se ingresaron a NATFRE.

Longitud del rotor Esta variable se determinó de acuerdo a las necesidades de balanceo que se requieren, de la existencia de cinco planos para la colocación de masas, y con características tales que se pudieran tener las tres velocidades críticas dentro del intervalo de operación; se decidió por una longitud de 1.243 m.

Diámetro de la flecha del rotor Esta variable se determinó en función de las corridas con el programa NATFRE, probando con diferentes valores de diámetro, por lo que se tomó como diámetro el de ½ '' (0.0127 m), el cual será constante en toda la longitud de la flecha.

Posición y Número de soportes Al igual que en la longitud del rotor la decisión de tomar el número de apoyos es de acuerdo a la distancia total del rotor que es de 1.243 m y de que éste se encuentra unido por un cople en su centro, y por similitud con las turbomáquinas a las que simula, por lo que el rotor tiene cuatro apoyos, que son chumaceras de catálogo, con un masa de 0.75 Kg. En la tabla siguiente se presentan los cuatro apoyos y su posición que guardan dentro del rotor.

APOYO POSICIÓN (m)

1 0.071 2 0.317 3 0.5195 4 1.217

Tabla 2.1 Apoyo y su posición dentro del rotor

Número de Masas concentradas, peso y posición. Para el diseño experimental, éstas fueron las variables junto con la rigidez de los apoyos de mayor interés para nuestro estudio, se tuvieron que hacer pruebas con diferentes valores de masas, y en diferentes posiciones en el rotor. Se consideró como masa concentrada la masa de los apoyos, coples, volantes de inercia, poleas, etc. En la tabla 2.2 se presentan las masas concentradas en el rotor.

10


NÚMERO DE MASA POSICIÓN (m) MASA (Kg.) 1 0.0 1.0638

2 Soporte 0.071 0.75 3 0.192 1.2852

4 Soporte 0.317 0.75 5 Cople 0.420 0.2832

6 Soporte 0.5195 0.75 7 0.68 2.0604 8 0.891 2.0135 9 1.102 2.0604

10 Soporte 1.217 0.75

Tabla 2.2 Masas Concentradas del Rotor

Material del rotor Se estableció el construir el rotor con un acero tipo 4140.

Rigidez de los soportes La rigidez en los apoyos es uno de los parámetros que se variaron en las corridas del programa NATFRE ya que se probaron diferentes valores de rigidez. El rango de velocidades al que se hicieron las corridas fue de 10,000 rpm, con incrementos de 50 rpm y los resultados se presentan en la tabla siguiente:

Número de rotor

Valor de la rigidez (N / m)

Velocidades críticas (rpm)

Rotor 1

1 x 107

1367.68 4300.94 7305.99 8844.85

Rotor 2

0.5 x 107

1354.51 4228.87 7211.63 8424.70

Rotor 3

1 x 106

1270.60 3771.08 6130.32 6473.25

Rotor 4

0.5 x 106

1198.00 3389.49 4775.00 5680.09

Rotor 5

1 x 105

934.69 2136.99 2369.18 3488.63

Rotor 6

0.5 x 105

784.52 1588.64 1770.70 2947.67

Rotor 7

1 x 104

441.85 730.92 1042.64 2445.27

Tabla 2.3 Diferentes Rigideces de los Apoyos

11


Como se puede observar en la tabla anterior, el programa NATFRE proporciona tres rotores con las características deseadas para el funcionamiento dinámico del rotor, por lo que debe definirse cual es el mas adecuado en función de la rigidez de los apoyos. Se realizó un análisis de los apoyos para cada caso de rigidez y poder determinar así cual es el más adecuado para el rotor que se está diseñando.

Diseño de los apoyos Los apoyos se proyectaron construirlos como una viga en voladizo, esto porque es necesario tener un ajuste fino en los valores de la rigidez de cada uno de los apoyos. La rigidez para una viga empotrada en un extremo y libre en el otro está dada por la siguiente expresión [6]:

3Lk =

3EI 2.1

En donde: ( )

( )( )mefectivaLongitudL

máreadeinerciadeMomentoIGPaacerodeldelasticidadeMóduloE

m

==

=4

)9.206(

NRigidezk =

Se realizaron varias combinaciones de los valores involucrados en la rigidez de la viga en voladizo, esto es en sus dimensiones de ancho, espesor y longitud efectiva, llegando a las siguientes conclusiones: 1. La longitud efectiva L = 0.13 m. 2. El ancho del apoyo b, está limitado básicamente por las dimensiones de la chumacera,

su valor es de 51 mm. 3. Para el espesor del apoyo h se tomaron diferentes valores para estimar la rigidez de

los apoyos, ésta fue la variable que se trató con más cuidado debido a la posible falla de los apoyos.

La figura 2.1 muestra la sección transversal A-A’de la viga en voladizo, que se diseño.

12


Figura 2.1 Apoyos del Rotor

Al realizar las iteraciones se obtuvieron los siguientes valores de espesor de los apoyos.

mNRigidez

Tabla 2.4

Valor de “h” (mm)

1 x 105 4.3677 0.5 x 105 3.4667 1 x 104 2.0273

Valor del espesor en función de la rigidez. Se tomó la decisión de seleccionar el espesor de 4.3677 mm como el mas adecuado, pero para usos prácticos se tomó el valor comercial de solera mas aproximado y se determinó trabajar con el espesor 4.7625 mm (3/16”). El siguiente paso es recalcular el valor de la rigidez, con las dimensiones que se determinaron y además corroborar si esta nueva rigidez permite obtener las tres velocidades críticas que se requieren en el rango de 0 a 3600 rpm. Los valores definitivos de los apoyos son:

mhm

NE

mbmL

3

211

107625.4

10068.2

051.013.0

−×=

×=

==

Realizando los cálculos correspondientes se tiene como valor de la rigidez de

mNK 51031.1 ×=

13


Ahora con este valor de rigidez se calculan las velocidades críticas para verificar que arrojen los tres valores que se necesitan, mediante el programa NATFRE. La corrida del programa indica las siguientes velocidades críticas:

986.53 rpm 2358.16 rpm 2659.06 rpm 3773.41 rpm

Análisis de Resultados En la tabla siguiente se comparan las velocidades críticas obtenidas con el valor seleccionado inicialmente en el programa NATFRE, y con la corrección de los valores de la rigidez en cada uno de los apoyos.

Valor de la rigidez (N / m2) 1 x 105 1.31 x 105

Velocidades críticas (rpm) 934.69 2136.99 2369.18 3488.63

986.53 2358.16 2659.06 3773.41

Tabla 2.5 Comparación para cada valor de rigidez con sus respectivas velocidades críticas.

Características Físicas del rotor El rotor contará con las siguientes características según lo obtenido en los puntos 2.2 y 2.3, lo que nos permitirá su construcción:

Longitud de la flecha del rotor: 1.243 m Diámetro de la flecha del rotor: el rotor contará con un diámetro de ½” (0.0127

m). Posición y rigidez de los apoyos: el rotor contará con cuatro apoyos distribuidos a

lo largo del mismo y con una rigidez de 1.3 x 105 N/m, como se puede observar en la tabla 2.6.

APOYO POSICIÓN (m) RIGIDEZ(N/m)

1 0.071 0.13x106

2 0.317 0.13x106 3 0.5195 0.13x106 4 1.217 0.13x106

Tabla 2.6 Valores de rigidez de los apoyos del rotor

14


Posición y Rigidez de los apoyos.

Posición y valor de las masas concentradas: estarán distribuidas según la tabla siguiente en la que se específica su posición y su valor, además de la función que realizarán en el rotor cada una de ellas.

TIPO DE MASA POSICIÓN (m) MASA (Kg.)

1. Polea 0.0 1.0638 2. Apoyo 0.071 0.75 3. Plano de balanceo 0.192 1.2852 4. Apoyo 0.317 0.75 5. Cople 0.420 0.2832 6. Apoyo 0.5195 0.75 7. Plano de balanceo 0.68 2.0604 8. Plano de balanceo 0.891 2.0135 9. Plano de balanceo 1.102 2.0604 10. Apoyo 1.217 0.75

Tabla 2.7 Posición y valor de las masas concentradas en el rotor.

Tipo de material del que está hecho el rotor: El rotor se construirá de un acero

4140. Tipo de motor a utilizar. El motor a utilizar para obtener las revoluciones de

diseño del rotor (0-3600 rpm), será un motor trifásico de 3 HP en 3600 rpm a 220/440 VCA 60 Hz.

Sistema de transmisión de potencia. El sistema de transmisión de potencia elegida para el rotor fue la de un sistema de embrague cónico, lo cual se consideró por seguridad, ya que se requería el aislamiento de las revoluciones del rotor de las revoluciones del motor, y los sistemas de bandas y tensor que fueron las otras consideraciones, solo podrían realizarse con sistemas mecánicos riesgosos para el operador.

En la anexo 5 se presenta un dibujo del rotor experimental.

2.2 Diseño por Resistencia Para determinar los esfuerzos que actúan en el rotor en cada modo de vibración se obtiene una ecuación matemática de la forma modal para cada una de las velocidades críticas del rotor para, posteriormente, calcular el momento que actúa en ese modo de vibración y obtener el esfuerzo que origina ese momento. También se calculan los esfuerzos originados por las masas con que cuenta el rotor, esto se hace por medio de teorías de diseño, como son: la ecuación de la ASME, la teoría del esfuerzo cortante máximo y criterios de Soderberg.

2.2.1 Cálculo de esfuerzo a partir de los datos arrojados por NATFRE 1. El cálculo de los esfuerzos se realiza a partir de los datos arrojados por NATFRE.

15


2. Se ajusta el mejor polinomio a los datos que se tienen de la forma modal relativa al punto de máxima deformación para cada uno de los modos de vibración. Para esto se realizó un programa en MATLAB.

3. Se calcula el momento para todos los puntos del rotor a partir del polinomio que se ajustó de la elástica, calculando su segunda derivada y sustituyendo en la ecuación [7]:

EIM

dxyd=2

2

2.2

4. En la siguiente etapa se calculan los esfuerzos mediante la ecuación:

3

32dM

πσ =

2.3

2.2.2 Determinación de la máxima deformación real para cada uno de los modos.

Los cálculos de los esfuerzos para cada modo de vibración se realizaron bajo la suposición que la máxima deformación para cada modo de vibración en el rotor experimental, no excedería el valor de 0.5 mm. La justificación para estos valores se hace tomando en consideración los criterios que a continuación se exponen. Para determinar la masa de desbalance que se colocará en el rotor, se tratará bajo las siguientes condiciones:

1. Los cálculos para la obtención de la masa de desbalance se hará con base en que el rotor está plenamente balanceado.

2. Se trabajará con los valores de las velocidades críticas obtenidas por NATFRE

986.53 rpm = 103.309 rad/s 2358.16 rpm = 246.940 rad/s 2659.06 rpm = 278.450 rad/s

3. La masa del rotor es de 13 Kg. (28.66 Lb. de peso), la masa de desbalance se coloca en el plano 8, en un radio de 0.0762 m (3”). Se calcula el desbalance residual para cada modo del rotor mediante la tabla del anexo 1 que indica los valores recomendados de vibración residual de acuerdo a los diversos tipos de rotores.

4. Se consideró al rotor como turbina de gas o turbogenerador de clase G2.5 (anexo 1) y para la primera velocidad crítica hasta la banda de las clases de tolerancias que para nuestro caso es G2.5 se determina que el desbalance residual por libra de masa del rotor es ( )( ) ( )lb/plg8 . oz10 3−×

4

5. Realizando los cálculos se obtiene que el desbalance residual es − Kgmemd 106622.1 ×=

16


6. Con el valor del radio donde se colocará la masa de desbalance que es m , se tiene una masa de desbalance grme 0762.0= d 2.2=

Ahora se procederá a determinar la deflexión originada por la masa de desbalance al pasar por cada uno de los modos de vibración. Para determinar el valor de la deflexión originada por la masa de 2.2 gr. se recurre a la teoría de cabeceo de ejes rotatorios donde se hacen las consideraciones siguientes:

El factor de amortiguamiento para la primera velocidad crítica es ζ = 0.03266, el cual se encontró realizando una prueba de análisis modal del rotor en sus apoyos.

El valor de la primera velocidad crítica es de rad/s 309.103 rpm 53.986 ==ω A partir de los datos que arroja NATFRE, se realizó un programa en una hoja de

cálculo para determinar la masa modal para cada uno de los modos de vibración. La masa modal para el primer modo de vibración es Kg4.4 .

El paso siguiente es calcular los valores de la rigidez modal, que da un valor de

mNk 09.46960= .

Suponiendo que el sistema tiene un amortiguamiento estructural, el factor de amortiguamiento es igual a

ccc=ζ

en donde: ζ = Factor de amortiguamiento c = Coeficiente de amortiguamiento cc = Amortiguamiento crítico La constante crítica de amortiguamiento se calcula mediante la ecuación nmc Mc ω2= , el valor de la constante de amortiguamiento es c mNs /6.29= Los valores calculados se sustituyen en la ecuación:

( ) ( )222

2

ωω

ω

cMk

emxrm

nd

+−==

2.4

El valor de la excentricidad es , de aquí se puede concluir que el valor que se tomó como máxima deformación para estimar el valor de los esfuerzos en cada modo es correcto. La deflexión en los siguientes modos de vibración es menor, por lo que está comprobación solo se presenta para el primer modo.

mx 41024.5 −×=

17


2.2.3 Cálculo del polinomio de la elástica que adopta el rotor para cada modo de vibración

El cálculo del polinomio de la elástica se realiza a partir de los archivos obtenidos de la corrida del programa NATFRE, en el cual para cada velocidad crítica se tiene los valores de la deformación para los puntos en que se dividió el rotor, normalizados con respecto a la máxima deformación. En la figura 2.2 se presenta una gráfica con las formas modales del rotor experimental en sus apoyos para cada uno de los modos de vibración. Se realizó un programa en MATLAB para obtener el mejor polinomio que puede ajustarse a los valores calculados y se determinó lo siguiente:

2-4- 6-8-10-

-16-19-22-26

3.1080x10- 1.6243x104.0045x10-3.9054x10 1.8259x10- 4.84032x107.20902x10-5.99172x102.61201x10-4.6748x10)(

xxxx

xxxxxf

++

++=234

67891

-13 x 5

2-4-7-8-10-

-13-16-19-22-26

1.4963x108.0298x104.3925x101.3742x10-1.25405x10 4.7882x10-8.9890x108.7069x10-4.1940x10-7.9775x10)(

+−++

++=

xxxx

xxxxxxf234

567892

-14-6-8--10

-13-16-19-23-27

5.01606x103.3352x108.3425x106.6834x10-1.9584x10 3.1703x103.1768x101.9466x106.5734x10-9.2017x10)(

+−++

−+−+=

xxxx

xxxxxxf234

567893

Figura 2.2 Formas Modales del Rotor Experimental

La segunda derivada de cada uno de los polinomios es:

6-7-9-

-12-14-17-20-24

8.0091x10-2.3432x102.1911x10- 9.6806x10 2.1627x10-2.5165x101.4627x10-3.36591x10")(

xx

xxxxxxf

+

++=2

345671

18


7-8-9-

-12-14-17-20-24

8.7851x108.2450x10-1.5048x10 9.5764x10-2.6967x103.6569x10-2.3486x10-5.7438x10")(

++

++=

xx

xxxxxxf2

345672

1.66851x104.01000x10-102.3501x ++ x 5-7-9-

-12-15-18-21-25 x106.34050-9.5306x108.17609x10- 3.6811x10 0-6.62528x1")( ++= xxxxxxf2

345673

x

Con la segunda derivada ya calculada se pueden obtener los esfuerzos para cada uno de los modos de vibración, los cuales se presentan en las tablas siguientes.

Posición Deformación ''y Momento ( N-mm) Esfuerzos (Mpa) 0 -0.0311 - 0.000008009 -2,138.600 -10.6344 20 -0.0291 - 0.000004125 -1,101.400 -5.4771

110 -0.0298 0.000001353 361.261 1.7964 298.33 -0.0023 0.000002477 661.356 3.2887

400 0.0447 0.000004346 1,160.400 5.77 520 0.1554 0.000003459 923.545 4.5925 620 0.2842 - 0.000000337 - 89.967 -0.4474 743 0.4326 - 0.000005660 -1,511.300 -7.5151 806 0.4806 - 0.000007355 -1,963.900 -9.7656 848 0.4967 - 0.000007914 -2,113.100 -10.5079 869 0.4996 - 0.000008033 - 2,145.000 -10.6661 910 0.4951 - 0.000008015 -2,140.100 -10.642 1016 0.4221 - 0.000007168 -1,913.900 -9.5174 1122 0.2694 - 0.000004914 -1,312.200 -6.5249 1144 0.2297 - 0.000003627 -968.399 -4.8155 1188 0.1459 0.000001220 325.799 1.6201 1210 0.1043 0.000005418 1,446.600 7.1932 1220 0.0861 0.000007873 2,102.100 10.453 1223 0.0808 0.000008686 2,319.400 11.5336 1224 0.079 0.000008966 2,394.100 11.9049

Tabla 2.8 Esfuerzos del Primer Modo de Vibración

19


Posición Deformación ''y Momento ( N-mm) Esfuerzos (Mpa)0 0.015 0.00000087851 234.577 1.16650

40 -0.0171 - 0.00000055923 -149.324 -0.74250 110 -0.0743 0.00000067138 179.271 0.89140 360 -0.2626 - 0.00000212390 -567.118 -2.82010 480 -0.376 0.00000220760 589.468 2.93120 600 -0.4518 0.00001096100 2,926.800 14.55410 620 -0.4525 0.00001218600 3,253.800 16.17990 640 -0.4483 0.00001320400 3,525.600 17.53140 660 -0.4389 0.00001396800 3,729.700 18.54660 680 -0.4238 0.00001443900 3,855.300 19.17120 701 -0.4018 0.00001458000 3,893.000 19.35870 722 -0.3734 0.00001433200 3,827.000 19.03010 743 -0.3387 0.00001368000 3,652.900 18.16460 869 -0.0261 0.00000221070 590.284 2.93530 974 0.2679 - 0.00001044800 -2,789.700 -13.87220 1058 0.4301 - 0.00001437700 -3,839.000 -19.08990 1122 0.4884 - 0.00001155400 -3,085.100 -15.34120 1166 0.5003 - 0.00000820960 -2,192.100 -10.90060 1210 0.496 - 0.00000701250 -1,872.500 -9.31110 1240 0.485 - 0.00001008300 -2,692.300 -13.38780

Tabla 2.9 Esfuerzos del Segundo Modo de Vibración

Posición Deformación ''y Momento ( N-mm) Esfuerzos (Mpa)

0 0.5016 0.0000166850 4,455.20 22.15410 20 0.4978 0.0000095558 2,551.60 12.68800 110 0.501 - 0.0000061574 -1,644.10 -8.17570 255 0.4119 - 0.0000054362 -1,451.50 -7.21800 400 0.216 0.0000007765 207.34 1.03100 520 0.0583 0.0000040856 1,090.90 5.42480 580 -0.0012 0.0000050039 1,336.10 6.64410 620 -0.0311 0.0000053638 1,432.20 7.12190 680 -0.0598 0.0000055221 1,474.50 7.33220 743 -0.0687 0.0000051648 1,379.10 6.85780 806 -0.0573 0.0000042329 1,130.20 5.62030 890 -0.0172 0.0000021311 569.05 2.82970 974 0.0376 - 0.0000005791 -154.63 -0.76890

1058 0.0884 - 0.0000028944 -772.87 -3.84320 1122 0.1147 - 0.0000033284 -888.73 -4.41930 1210 0.1311 0.0000000909 24.28 0.12080 1240 0.1351 0.0000028228 753.73 3.74810

Tabla 2.10 Esfuerzos del Tercer Modo de Vibración

20


2.2.4 Diseño por las teorías de fallas Para este caso de estudio se analizará el rotor tomando en consideración los siguientes puntos:

1. Determinar los momentos que actúan en el rotor, tal y como fue diseñado arriba,

tomando en consideración las masas de los discos. 2. Realizar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flexionantes que

actúan en el rotor debido a esas cargas.

Cálculo del diagrama de Momentos

Para determinar el diagrama de momentos, se usará en la ecuación de los tres momentos, ya que el rotor se modela como una viga estáticamente indeterminada, dicha ecuación es la siguiente: 2.5

Como se trabaja con el valor de la masa de los discos que están montados en el rotor se calcula el peso de los mismos en Newton para después hacer la conversión, se tiene que: Ahora se puede construir el diagrama de cuerpo libre del rotor:

( )0

741.0071.044.10=

−==

D

A

MmNM

Masa Concentrada Masa(Kg.) Peso (N) 1. Polea 1.0638 10.44

2. Plano de balanceo 1.2852 12.61 3. Cople 0.2832 2.78

4. Plano de balanceo 2.0604 20.21 5. Plano de balanceo 2.0135 19.75 6. Plano de balanceo 2.0604 20.21

Tabla 2.11 Pesos Concentrados del Rotor

BC

BCAB

LxAxA

LM)LL(MLM 21 662 −−=+++

10.44 N

ABBCBABAA L

12.61 N 20.21 N 20.21 N19.75 N2.78 N

RD

0.071m 0.121 m 0.125 m 0.16 m 0.211 m 0.211 m0.10 m0.103 m

RA RB RC

0.115 m

21


Para el análisis, se considerará al rotor en dos tramos, uno de las reacciones RA-RB-RC y el otro tramo de las reacciones RB-RC-RD. Analizando el tramo de RA- RB- RC 2.78 N12.61 N

0.071m 0.121 m 0.125 m 0.10 m0.103 m

RA RB RC

10.44 N Para el tramo RA- RB se tiene que:

12.61 N

0.121 m 0.125 m

.maxM

RA RB

1x

LPabM =max

( )( ) mNM −== 7753.0246.

125.0121.061.12max

Para el cálculo del área y distancia centroidal del diagrama de momentos, se tiene:

( )( )

mxbx

mmbx

mNmmNA

1236.01236.0246.0

1236.03

246.0125.03

09536.0246.07753.021

1

2

=−=−=

=+

=+

=

−=−=

De la ecuación de los tres momentos se tiene:

22


( )

( )( ) 22

2

21

28453.0246.0

12233.009356.066

662

mNm

mmNL

XA

LXA

LXALMLLMLM

BC

BC

BC

BC

AB

ABBCBABAA

−−=−

−=−

−−=+++

Para el tramo de RB- RC se tiene que:

2.78 N

0.10 m0.103 m

RB RC

2x

.maxM

( )( )( ) mNM

LPabM

−==

=

14105.0203.0

101.0103.78.2max

max

Para el cálculo del área y distancia centroidal del diagrama de momentos, se tiene: ( )( )

mxbx

mmbx

mNmmNA

101.0102.0203.0

102.03

103.0203.03

01432.0203.01405.021

2

2

=−=−=

=+

=+

=

−=−= De la ecuación de los tres momentos se tiene que:

( )( ) 22

2 04275.0203.0

101.001432.066 mNm

mmNL

xA

BC

BC −−=−

−=

Sustituyendo estos valores en la ecuación 2.5 se tiene:

23


( )

1449448.0203.0898.0

662 21

−=+

−−=+++

CB

BC

BC

AB

ABCCBABAA

MML

XAL

XALMLLMLM

(a)

Ahora se analiza el tramo de RB- RC- RD:

2.78 N 20.21 N 20.21 N19.75 N

0.10 m0.103 m 0.16 m 0.211 m 0.211 m 0.115 m

RC RDRB

Para el tramo de RB- RC se tiene que: 2.78 N

0.10 m0.103 m

RB

.maxM

1x

( )( )( )

mNM

M

LPabM

−=

=

=

14105.0203.0

101.0103.078.2

Para el cálculo del área y distancia centroidal del diagrama de momentos, se tiene:

( )( )

mmbx

mNmmNA

102.03

103.0203.03

01432.0203.01405.021

1

2

=+

=+

=

−=−= De la ecuación de los tres momentos se tiene:

24


( )( ) 2043163 mN −2

2 .0203.0

102.0014317.066m

mmNL

xA

BC

BC −=−

−=−

Para el tramo de RC- RD: Para calcular los momentos que actúan en el tramo de RC- RD, se determinan por Estática las reacciones en los apoyos en este tramo y se resuelve como viga simplemente apoyada, para posteriormente calcular el diagrama de fuerzas cortantes, para de ahí obtener el diagrama de momentos. Por la suma de momentos en RC, se tiene que:

( ) ( ) ( )

N.R.R.

R.......M

D

D

D

C

033232307226970

06970582021203710751916021200

=

==+−−−

=Σ Ahora se efectúa la suma de fuerzas en y.

N.R....R

Fy

C

C

142800332212075192120

0

=

=+−−−=Σ

De lo anterior se construye el diagrama de fuerzas cortantes y diagrama de momentos que es con el cual se está trabajando.

20.21 N 20.21 N19.75 N

RC

0.16 m 0.211 m 0.211 m 0.115 m

RD

1M

2M

3M

1

4

5

3

26

2x

28.14 N

-32.03 N-11.82 N

7.93 N

25


Del diagrama de fuerzas cortantes se calcula los momentos que origina cada fuerza, por lo que:

mNMmNM

mNM

−=−=

−=

6816.317563.65024.4

3

2

1

Para el cálculo del área, como la gráfica de momentos no es una figura geométrica conocida, se dividirá en formas geométricas conocidas para poder determinar el área total de la misma. ( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )

( )( ) 26

25

24

23

22

21

21169011506816321

7768190211068163

2631021106815317563621

1765021105024417563621

950502442110

36019201605024421

mN...A

mN...A

mN....A

mN....A

mN...A

mN...A

−==

−==

−=−=

−=−=

−==

−==

∑ −=6

1

273832 mN.AnEl área total es: Para el cálculo de 2x , se utilizará el diagrama de momentos para construir la siguiente tabla:

No. figura ΔA(N-m2) x (m) x ΔA(N-m3) 1 0.360192 0.10666 0.0384208 2 0.95 0.2656 0.252225 3 0.1765 0.3006 0.0530676 4 0.26312 0.44133 0.1161236 5 0.776819 0.4765 0.370154 6 0.21169 0.62033 0.131318

Tabla 2.12 Cálculo de 2x

Con los resultados obtenidos de la tabla se tiene que: ΣΔA= 2.7383 N-m2 y Σ xΔA= 0.961309 N-m3

26


Por lo que se calcula 2x mediante la siguiente expresión:

m.x

m.m.xLx

m..mN.mN.

AAxx

34590

3510606970

351060073832

9613090

2

2

2

3

=

−=−=

=−−

=ΣΔΔΣ

= De la ecuación de los tres momentos:

( )( ) 2mN −

22 1536.8

697.03459.07383.266

mmmN

LxA

CD

CD −=−

−=−

Sustituyendo estos valores en la ecuación (2.5) para determinar la ecuación de los tres momentos se tiene:

( )196775.88.1203.0

15536.8043163.00697.0203.02203.0−=+

−−=++

CB

CB

MMMM

(b)

Resolviendo las ecuaciones (a) y (b):

)b.........(.M.M.)a........(.M.M.

CB

CB

19677508800120301449448020308980

−=+

−=+ Se obtienen los momentos flexionantes que actúan en B y C:

mNMmNM

C

B

−−=−=

65.49.0

Dibujando los diagramas de cuerpo libre de cada una de las tres partes de la viga y formulando entonces las ecuaciones de equilibrio estático, se obtienen las reacciones:

RA = 23.52 N RB = -17.56 N RC = 54.68 N RD = 25.30 N

Con esta información se puede construir el diagrama de fuerzas cortantes y Momentos flexionantes, como se muestra en la figura 2.3:

27


Figura 2.3 Diagrama de Fuerzas cortantes y Momentos flexionantes

10.44 N 12.61 N 20.21 N 20.21 N19.75 N2.78 N

RD

0.071m 0.121 m 0.125 m 0.16 m 0.211 m 0.211 m 0.115 m0.10 m0.103 m

RA RB RC

-10.44

13.08

0.47

-19.87-17.09

14.6

34.81

-5.17

-25.3

0.90019

0.8414

-0.7412

--2.84708

-0.86

4.71

5.80312

2.7225

Análisis de esfuerzos a los que esta sometido el rotor. Después de haber calculado los momentos a los que se encuentra sometido el rotor, se procede a hacer un análisis de los esfuerzos que originan los pesos que se encuentran montados en el rotor. Para realizar dicho análisis se hacen las siguientes consideraciones:

1. El rotor trabaja en un rango de velocidades de operación de 0-3300 rpm. 2. En la alimentación eléctrica del motor se miden 1.1461 kW. de potencia para

mover el rotor hasta 3300 rpm. Esta potencia fue tomada directamente del motor realizando una prueba en plena carga del rotor, dicha medición fue tomada mediante un Analizador de calidad de energía.

3. Las propiedades del material de que está hecho el rotor, que es un Acero 4140

son las siguientes:

MPaPsiMPaPsi

yp

u

475.427000,62 633.613000,89

==σ = = σ

28


El Análisis de esfuerzos del rotor se efectúa por medio de la ecuación de la ASME para ejes de transmisión. Esta ecuación se aplica cuando el elemento soporta cargas combinadas de flexión y torsión, ya que el momento flector “M” produce una tensión normal en la dirección axial y el par torsional “T’’ produce corte en el eje [8]. Dicha ecuación se representa matemáticamente de la siguiente forma:

2.6 ( ) ( )223

16 TCMCd tmmáx +=π

τ

donde τmáx.=

d= M =

T=Cm y Ct =

Esfuerzo cortante Máximo. Diámetro Momento Flector Par torsional Coeficientes numéricos combinados para impacto y fatiga

Para este caso se emplea la ecuación 2.6 para calcular el diámetro que se requiere bajo las condiciones de carga al cual está sometido el rotor, para posteriormente compararlo con el diámetro previamente determinado del rotor que es de 12.7 mm. Para realizar el cálculo del diámetro se tiene que:

1. El rotor está sometido a las siguientes cargas a. Momento Flector mNM −= 80312.

2371.2 T

5 b. Par Torsional, el motor consume a plena carga una potencia de

kW a 3300 rpm, de ahí que mmN −= 032.6474

%18max =

2. Cálculo del esfuerzo cortante máximo, como el material que se utilizó es un acero

4140, así que para el cálculo del momento máximo se toman en cuenta las siguientes consideraciones:

MPayp 27.128%30max ==

MPau 48.110=στ

στ

MPa48.110max Por lo que el cortante máximo es: =τ 3. Determinación de las constantes de la ecuación del código ASME, Para el caso

del rotor que gira se consideran cargas aplicadas bruscamente, con pequeños impactos, por lo que:

5.1=0.1=tC

mC

Despejando el diámetro “d” de la ecuación 2.6 y sustituyendo los demás valores se tiene que:

29


( )( )[ ] ( )( )[ ]mmd

d

93.7

032.7474112.58305.148.110

16 22

=

+=π

Del resultado obtenido anteriormente se puede ver que el valor es mucho más pequeño que el diámetro de diseño del rotor, el cual es de 12.7 mm, por lo que se concluye que el rotor no falla bajo esas condiciones de carga. Análisis de esfuerzos del rotor por medio de la Teoría del esfuerzo cortante máximo

Esta teoría se aplica cuando los esfuerzos normales y cortantes en un eje varían con el tiempo, es por ello que se utiliza esta teoría para el análisis de esfuerzos en el rotor sometido a cargas variables. La ecuación de esta teoría es la siguiente:

2.7 S.F

. yp.máx

σ=

σ−σ=τ

502

21

donde:

τmáx.= Esfuerzo cortante máximo σ1,2= Esfuerzos principales σyp= Esfuerzo de fluencia F.S. = Factor de seguridad.

Para calcular los esfuerzos principales que actúan en el rotor, se emplea la siguiente ecuación:

2.8 2

2

21 22τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ±

σ=σ ,

Donde:

σ1,2 = Esfuerzos principales σ = Esfuerzo normal equivalente estático

τ = Esfuerzo de corte equivalente estático Para determinar el valor del esfuerzo normal y de corte equivalentes estáticos, se aplicará la teoría de Soderberg para cargas variables, la cual tiene por expresiones matemáticas:

30


2.9

e

yprfm

e

yprfm

k

k

σστ

+τ=τ

σσσ

+σ=σ

Donde:

fluencia de Esfuerzofatigacon esfuerzos deión concentrac deFactor k

variablecortante Esfuerzomedio cortante Esfuerzo

variableEsfuerzomedio Esfuerzo

yp

f

r

r

======

σ

ττσσ

m

m

Para realizar el cálculo de las variables que se involucran en cada ecuación, se hacen las siguientes consideraciones:

1. El material es un acero 4140 cuyas propiedades son las siguientes:

MPa.Psi,MPa.Psi,

yp

u

4754270006263361300089

==σ

==σ

2. El diámetro de la flecha del rotor es de ½”=12.7 mm 3. El rotor está sometido a un momento flexionante mmN −M = 12.5803 4. El rotor está sometido a un par T transmitido por el motor, el cual toma del motor

una potencia de 1.14610 kW. a 3300 rpm a plena carga, por lo que se utiliza la ecuación (3.5) y se despeja T, obteniendo:

mNT −= 74.3316

5. Como el rotor gira se tiene σm= 0 y como el par del rotor es constante, entonces

τr= 0; así que las ecuaciones 2.9 quedan de la siguiente manera

2.10

2.11m

e

yprfk

τ=τ

σ

σσ=σ

31


De lo anterior se pueden realizar los cálculos de las variables de las ecuaciones 2.10 y 2.11.

Cálculo del esfuerzo Variable (σr)

reversible fatiga de límite Esfuerzo' =eσ

psi89000

( )( )

MPa.mm.

mm.N.dM

r 85287121258033232

33 =π

=π

=σ

Cálculo del esfuerzo medio cortante (τm= τ)

( )( )

Cálculo del esfuerzo limite a la fatiga corregido (σe)

Para realizar el cálculo de esta variable se usará la siguiente ecuación:

MPa.mm.

mm.N.dT

m 2587127433161616

33 =π

=π

=τ

gedcbaee kkkkkk'

σ = σDonde:

factores Otrosesfuerzos deión concentrac paraón Modificaci deFactor

aTemperatur deFactor dadconfiabili deFactor

tamañodeFactor superficie deFactor

======

g

e

d

c

b

a

kkkkkk

Cálculo de σ’e

( ) PsiPsi..' ue 44500890005050 ==σ=σ Cálculo del Factor de superficie (ka). Como el material es un acero 4140 laminado en caliente, el esfuerzo último es de

, e ingresando con este valor a la gráfica del anexo II, se obtiene un valor de ka= 0.58

Cálculo del factor de tamaño (kb).

32


El valor de este factor está en función del diámetro del eje, que es de ½” por lo que se trabaja bajo la siguiente consideración:

09708690 .

b d.k −= lgpudlgpu. 1030 ≤≤ Por lo que se calcula el valor de kb

( ) 9290508690 0970 ."..k .b == −

Los demás factores tienen valor de 1 ya que no hay especificaciones para su cálculo y obtención. De lo anterior se determina el valor de σe

( )( )( )( ) Psi.,..Psie 7598823192890580445000 MPa.396165===σ Cálculo del factor de concentración de esfuerzos kf. Para calcular este factor se utiliza la siguiente ecuación ( )11 −+= tf kqk donde

sección de cambio al debido esfuerzos deión concentrac deFactor ranura la de adSensibilid

fatigacon esfuerzos deión concentrac deFactor

==

=

t

f

Kq

k

Como la flecha con que cuenta el rotor es continua, o sea que no hay cambio de sección, el valor de kt= 1, y no presenta ranuras la flecha, por lo que se puede concluir que el valor del Factor de concentración de esfuerzos con fatiga es kf= 1 Cálculo del esfuerzo normal equivalente estático σ De los resultados obtenidos anteriormente se puede calcular ahora el esfuerzo normal equivalente estático σ , con la ecuación 2.10, así que: Cálculo del esfuerzo de corte equivalente estático τ

( )( )( )( )

MPaMPa

MPaMPa

k

e

yprf

58.74396.165

475.42785.281

=

=

=

σ

σ

σσσ

σ

33


Como se mencionó anteriormente el par es constante, por lo que únicamente actúa el esfuerzo cortante medio, es decir:

mτ=τ Por lo que:

MPa25.8=τ Ahora se calcula el valor de los esfuerzos principales:

22

21 22τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ±

σ=σ ,

Sustituyendo ahora los valores del esfuerzo normal y de corte equivalentes estáticos se tiene que:

( )

18382837

25825874

25874

21

22

21

..

...

,

,

±=σ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±=σ

De lo anterior se obtienen los siguientes valores de esfuerzos principales:

MPa.

MPa.

90

4675

2

1

−=σ

=σ De la ecuación 2.7 se calcula el valor del esfuerzo cortante máximo que originan los esfuerzos principales

MPa.

..

.máx

.máx

1838

2904675

=τ

+=τ

De ecuación 2.7 se despeja el factor de seguridad y se sustituye el esfuerzo cortante máximo y el esfuerzo de fluencia, para obtener:

59.5

5.0

5.0

max

max

=

=

=

FS

FS

FSyp

yp

τσ

στ

34


Por lo que se puede concluir que nuestro rotor no falla ya que el factor de seguridad cumple con la siguiente condición:

1≥S.F

2.3 Caracterización dinámica del rotor construido Al rotor construido se le hicieron pruebas de análisis modal experimental, tal y como está montado en sus apoyos, y además de que se instrumentó para realizar mediciones durante una corrida de deceleración del rotor desde la velocidad de operación hasta el reposo.

2.3.1 Prueba de análisis modal experimental La prueba de análisis modal experimental consta de las etapas siguientes: 1. Colocación del acelerómetro en un punto del rotor, excitando el mismo con un golpe

del martillo instrumentado en un punto dado. 2. Las señales generadas por el acelerómetro y el martillo se llevan a un acondicionador

de señales en donde se amplifican y se filtran. 3. Las señales acondicionadas se llevan al analizador de Fourier, el cual calcula el

espectro de Fourier de cada una de ellas y de allí la FRF. 4. Se realizaron 30 promedios en cada punto de medición. 5. Los datos de cada una de las FRFs obtenidas se guardan en un formato ASCII con el

objetivo de llevarlas a un programa de extracción de parámetros modales, que en nuestro caso fue el programa AMODAL. En la figura 2.4 se muestra un esquema de la instrumentación realizada en la prueba en análisis modal experimental.

AnalizadorBruel &Kjaer tipo 2035

Amplificador de señal

Canal 1Canal 2

1 8 197652 3 4 0

Sensor de aceleracion

Martillo Instrumentado

KISTLER

Figura 2.4 Esquema de la Prueba de Análisis Modal Experimental

Los datos obtenidos de AMODAL, y tratados con la metodología que se desarrolló para obtener las formas modales para cada uno de los modos se presentan en las tablas siguientes:

35


PRIMER MODO 1139 RPM

AMORT1GUAMIENTO = 0.03266 Punto Magnitud de la constante 1φ Posición(mm) 71 0.0089982 0.02608557 0.0 72 0.0077613 0.02249983 71.0 73 0.0025117 0.00728136 192.0 74 -0.0012694 -0.00367996 317.0 75 -0.024095 -0.06985085 420.0 76 -0.0037973 -0.01100829 519.5 77 -0.11899 0.34494927 -0.34494927 680.0 78 -0.16146 -0.46806883 891.0 79 -0.10121 -0.29340546 1102.0 710 -0.050556 -0.14656068 1217.0

Tabla 2.13 Forma Modal Primer Modo

SEGUNDO MODO 2252.29 RPM AMORT1GUAMIENTO = 0.01730

Punto Magnitud de la constante

2φ Posición (mm) 71 0.027745 0.08301902 c 0.0 72 0.015228 0.04556546 71.0 73 -0.012221 -0.03656786 192.0 74 -0.014901 -0.044587 317.0 75 -0.024095 -0.07209743 420.0 76 -0.27605 -0.82600106 519.5 77 -0.11169 0.33420054 -0.33420054 680.0 78 -0.0020363 -0.00609305 891.0 79 0.1205 0.36056195 1102.0 710 0.15307 0.45801841 1217.0

Tabla 2.14 Forma Modal Segundo Modo

36


TERCER MODO 3234.26 RPM AMORT1GUAMIENTO = 0.01719

Punto Magnitud de la constante 3φ mm 71 0.021023 0.33888677 0.0 72 0.0083715 0.13494699 71.0 73 -0.017324 -0.27925959 192.0 74 -0.017848 -0.28770637 317.0 75 -0.028547 -0.46017222 420.0 76 -0.017719 -0.28562692 519.5 77 -0.0038484 0.06203547 -0.06203548 680.0 78 0.014947 0.2409428 891.0 79 -0.0069692 -0.11234218 1102.0 710 -0.025031 -0.40349497 1217.0

Tabla 2.15 Forma Modal tercer Modo

2.3.2 Prueba en bajada con sensores de desplazamiento. Esta prueba se realiza para la adquisición de los datos medidos en el rotor durante el proceso de bajada desde la velocidad de operación hasta el reposo. El procedimiento consta de los pasos siguientes:

1. Instrumentación del rotor 2. Programación del variador de velocidad a la velocidad de operación 3. Calibración del sensor óptico 4. Calibración del sensor de desplazamiento 5. Programación del analizador HP35670A para que realice el filtrado síncrono 6. Desenergización del motor

Los diagramas de Bode y de Nyquist que se obtuvieron durante un proceso de adquisición de datos durante una bajada del rotor se muestran a continuación.

37


Diagrama de Bode mostrado al tomar la lectura en el apoyo 1

Diagrama de Nyquist arrojada al tomar la lectura en el apoyo 1 Los resultados obtenidos en cada prueba se procesaron mediante un programa de cómputo denominado AMODAL. Dicho programa promedia los datos obtenidos en cada una de las pruebas dando como resultado las siguientes velocidades críticas, para cada modo de vibración. En la tabla 2.16 se presentan las velocidades críticas obtenidas en la prueba en bajada realizada al rotor.

Modo de vibración Prueba en Bajada (rpm) 1er. Modo 1134 2do. Modo 2182 3er. Modo 3144

Tabla 2.16 Resultados obtenidos en la prueba en bajada.

2.3.3 Instrumentación En la figura 2.5 se muestra una representación esquemática de la instrumentación necesaria para la realización de esta prueba con el sensor de desplazamiento y el sensor óptico (Tacómetro).

38


Figura 2.5 Esquema de la Instrumentación para la Adquisición de datos durante una bajada del

Rotor

Activadorexterno Canal 1

Canal 2

1 432

Sensor deDesplazamineto

Sensor Óptico(Tacómetro)

Driver del sensor dedesplazamiento

Modulo de interfasedel sensor óptico

Tacómetro

Parte Trasera Parte Frontal

Analizador HP35670A

2.3.4 Análisis de resultados A continuación se muestra una tabla comparativa con los resultados obtenidos de las velocidades críticas del rotor experimental obtenidas mediante la adquisición de datos durante una bajada del rotor, por medio del análisis modal experimental y por medio del diseño conceptual efectuado.

Modo de vibración NATFRE (rpm) Análisis Modal (rpm) Bajada (rpm) 1er. Modo 986.53 1139.00 1134 2do. Modo 2358.16 2252.29 2182 3er. Modo 2659.06 3234.26 3144

Tabla 2.17 Comparación de las velocidades críticas del rotor

A continuación se presentan algunas fotografías del rotor experimental.

39


Primer Rotor Construido

40


41

MODELOS DINÁMICOS DEL ROTOR Y TÉCNICAS DE ACOPLAMIENTOS DE MODELOS

CAPITULO III

MODELOS DINÁMICOS DEL ROTOR Y TÉCNICAS DE ACOPLAMIENTO DE MODELOS

3.1 MODELOS DINÁMICOS Las propiedades dinámicas de un sistema con N grados de libertad, como el mostrado en la Figura siguiente, pueden describirse utilizando tres tipos de modelos completos: el modelo espacial, el modelo modal y el modelo de respuesta [9].

Figura 3.1

Esquema de un sistema dinámico con N grados de libertad En el primer caso, las características dinámicas del sistema están contenidas en la distribución de sus propiedades de masa, rigidez y amortiguamiento, descritas respectivamente por las matrices [M], [K] y [D] (o [C] para amortiguamiento viscoso) de

. El modelo espacial, definido por las matrices anteriores conduce al problema de valores y vectores característicos, que al resolverse constituye el modelo modal (N frecuencias naturales de vibración, N factores de amortiguamiento modales y N vectores de formas modales) contenidos en las matrices [ y [

NN ×

]2rλ ]Φ .

Si se toma el modelo modal y de las propiedades de ortogonalidad de la matriz modal (suponiendo amortiguamiento estructural), se tiene: (3.1) ][]][[][ IMT =ΦΦ

)]i1(][[][ 22rr

T K ηω ++Φ (3.2) [][]]][[i rD λ ==Φ

1−donde [I] es una matriz identidad, i la unidad imaginaria , rω son las frecuencias naturales del sistema y rη el factor de amortiguamiento estructural por cada uno de los r modos del sistema. Por lo tanto: (3.3) ][][][ 1 MT =ΦΦ −−

][i][][ 12 DKrT +Φ −− ω (3.4) [])][i1( r =Φ+ η

El modelo modal produce el modelo de respuesta:

[ ] }{}{][][][ 2 FXDiMK =+− ω (3.5)

42


}{X }{F son vectores que contienen los desplazamientos y fuerzas del sistema dinámico, respectivamente. La ecuación anterior puede expresarse como: }{}{)]([ 1 FX =−ωα (3.6) y de la relación inversa de la ecuación (3.4), se puede concluir que: (3.7) T

rr i ][])1(][[)]([ 122 Φ−+Φ= −ωηωωα La matriz )]([ ωα se conoce como función de receptancia y constituye un modelo de respuesta del sistema dinámico. La Figura siguiente esquematiza la relación de los diferentes tipos de modelos para un sistema dinámico no amortiguado [10].

Figura 3.2

Relación entre los diferentes tipos de modelos (caso no amortiguado)

3.1.1 Modelo de Respuesta Cuando se parte de datos obtenidos de una prueba experimental el objetivo es obtener un modelo dinámico modal y de respuesta. Existen dos requerimientos principales en el desarrollo de un modelo de respuesta, el primero de ellos es la regeneración de las curvas teóricas para las funciones de respuestas de frecuencias medidas y analizadas y la segunda es la síntesis de otras funciones las cuales no se han medido.

43


En general, la forma del modelo de respuesta es una matriz de Función de Respuesta en la Frecuencia (FRF) cuyo orden está en función del número de coordenadas incluidas en la prueba, las cuales no son necesariamente iguales al número de modos estudiados. En la práctica no es conveniente medir y analizar todos los elementos de la FRF sino una fracción de ésta, un renglón o una columna. Por lo que si se desea construir un modelo aceptable, es necesario sintetizar aquellos elementos que no han sido medidos directamente. La matriz de la FRF se puede calcular utilizando un modelo modal de la manera siguiente la cual es una variación de la ecuación 3.7:

[ ] [ ] ( )[ ] [ ] nxmT

mxnrnxmnxnH φωλφ122 −

−= (3.8)

3.1.2 Regeneración de las curvas de las Funciones de Respuestas de Frecuencias

Es una práctica usual regenerar una curva de FRF usando los resultados del análisis modal para analizar lo que está sucediendo con el proceso de ajuste de curvas. Para realizar la regeneración de las curvas es necesario tomar en cuenta los modos que caen fuera del rango de medición: los modos rígidos y los modos superiores. Una de las implicaciones de la ecuación (3.8) es el hecho de que es posible sintetizar curvas de las FRF que no fueron medidas experimentalmente, sin embargo existe la limitación de que solamente se están estudiando los modos dentro del rango de frecuencia que se determinaron en el estudio de análisis modal, y para lograr una regeneración adecuada de las curvas de las FRF, es necesario tomar en cuenta los modos superiores e inferiores, que quedan fueran del rango de frecuencia seleccionado [11]. La ecuación adecuada para un modelo de respuesta correcto derivado de un conjunto de propiedades modales es:

[ ] [ ] ([ )] [ ] [ ]T−122 RH nxmmxnrnxmnxn +−= φωλφ (3.9)

Para obtener todos los datos necesarios para formar el modelo de respuesta, se deberá primero derivar el modelo modal y entonces por algún medio determinar o estimar los elementos de la matriz residual. Esta tarea se puede lograr de manera más precisa midiendo todos o al menos más de la mitad de los elementos de la matriz de FRF, pero esto constituye una mayor escalación en la cantidad de datos a ser medidos y analizados. Una segunda posibilidad, y una práctica razonable es extender el rango de frecuencias en la prueba modal mas allá del rango en que sea requerido por el modelo, por este medio muchos de los términos residuales superiores se incluyen como modos separados y sus magnitudes reales se reducen a valores de dimensiones relativamente no importantes.

44


Una tercera posibilidad es tratar de determinar cuales de los elementos de las FRF necesitan un gran valor de los términos residuales para tener la seguridad de que ellos estén incluidos en la lista de los cuales sean medidos y analizados. Los puntos de movilidad son los que se espera que tengan valores altos de los términos residuales. Un punto de movilidad es aquel donde se excita y se mide la respuesta de la estructura simultáneamente. Para calcular los valores de los términos residuales se recurre a la teoría de la regeneración de las curvas de las FRF a partir de los parámetros modales extraídos de una prueba de análisis modal, la cual genera la curva de la FRF mediante una serie de términos complejos para cada uno de los modos obtenidos durante la prueba. Se usará una fórmula del tipo:

[ ] ∑= +−

=2

1

222

m

mr rrr

jkrjk i

AH

ωηωω

(3.10)

en la que la serie modal tiene como límites m1 y m2, lo cual refleja el hecho de que no siempre el desarrollo de la serie se inicia abajo del primer modo, además de que siempre existen modos superiores al modo que se eligió como modo superior. La ecuación (3.10) puede ser reescrita, sin perder su generalidad de la forma:

[ ] ∑∑ ∑+=

−

= = +−++=

N

mr rrr

jkrm

r

m

mrjk i

AH

1222

1

1 2

1 2

1ωηωω

(3.11)

En esta ecuación el primero de los tres términos corresponde a los llamados modos de baja frecuencia, el tercer término corresponde a los modos de alta frecuencia, mientras que el segundo término relaciona los modos identificados durante la prueba de análisis modal. Se ha demostrado que dentro del rango de frecuencias de interés, el primer término tiende aproximadamente a un comportamiento de masa, mientras que el tercer término, para los modos de alta frecuencia se aproxima a un efecto de rigidez, y tomando esto en consideración se pueden reescribir los términos residuales de la forma siguiente:

[ ] Rjk

m

mr rrr

jkrRjk

jk KiA

MH 11 2

1

2222 ++−

+−≅ ∑= ωηωωω

(3.12)

en donde las cantidades MR

jk y KRjk son la masa residual y la rigidez residual para cada

FRF en particular y también para cada rango de frecuencias seleccionado.

45


3.1.3 Ejemplo de aplicación En la figura siguiente se presenta el dibujo del rotor que fue fabricado para aplicar la técnica de obtención de un modelo modal y de un modelo de respuesta a partir de una prueba de análisis modal experimental. Cuenta con seis puntos de estudio, dos representan los puntos de apoyo de los soportes, otros dos los puntos de los planos de balanceo y los dos siguientes los puntos de acoplamiento [12].

Figura 3.3

Rotor de Prueba La matriz de FRF es de , debido a que son seis puntos de estudio en el rotor, y se decidió tomar como base para construir el modelo de respuesta los datos obtenidos al estudiar los dos primeros renglones de la mencionada matriz

66×

A

Los parámetros modales se obtuvieron mediante el programa AMODAL, a partir de los datos experimentales obtenidos en un analizador de espectros de Fourier. Para el cálculo de las formas modales se utilizará la ecuación siguiente:

krjkjkr φ φ= (3.13)

Cálculo de las formas modales Para facilitar la presentación, en este ejemplo solo se considerarán dentro del intervalo de medición los dos primeros modos flexibles del elemento estudiado. Para el primer renglón de la matriz de FRF los parámetros modales obtenidos son los siguientes: Constante Modal Fase (º)

111 A =0.4278 -84.51º

84263.0 121 =A 95.42º2558.0131 =A 95.43º065819.0141 =A 95.49º2665.0151 =A 84.50º19502.0161 =A 96.40º

Tabla 3.1 Constantes Modales

46


Para el punto de movilidad se tiene:

65406.04278.011111

2111111111

−===

==

A

A

φ

φφφ

(3.14)

el signo negativo es debido al ángulo de fase que refleja el sentido en que se midieron tanto la fuerza con la aceleración y si los ángulos representan atraso o adelanto del desplazamiento con respecto a la fuerza. Para los puntos siguientes los valores de estudio en la curva modal son:

29817.065406.019502.0

4075.065406.02665.0

1006.065406.0

065819.0

39109.065406.02558.0

1288.065406.084263.0

11

16116

11

15115

11

14114

11

13113

11

12112

===

−===

===

===

===

φφ

φφ

φφ

φφ

φφ

A

A

A

A

A

Por lo que la forma modal correspondiente al primer modo del primer renglón de la matriz de FRF es:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

29817.04075.0

1006.039109.01288.065406.0

1φ

(3.15)

El procedimiento se repite para el segundo modo del primer renglón de los valores de la matriz de FRF. Para calcular los valores de la curva modal correspondientes al segundo modo se sigue el mismo procedimiento anterior:

krjrjkr A φφ= (3.16)

2121212112 φφφ ==A (3.17)

47


Constante Modal Fase (º) 112 A =0.11357 -88.53º

19989.0122 =A 87.95º21906.0132 =A -91.24º16449.0142 =A -91.28º078028.0152 =A 94.21º23631.0162 =A -91.82º

Tabla 3.2 Constante modales

337.011357.011212 −=== Aφ

Esto es para el punto de movilidad y, con este punto calculado, se pueden calcular los puntos siguientes:

70121.0337.0

23631.0

23153.0337.0

078028.0

4881.0337.0

16449.0

65.0337.0

21906.0

59314.0337.0

19989.0

12

16162

12

15152

12

14142

12

13232

12

12222

−===

===

−===

−===

===

φφ

φφ

φφ

φφ

φφ

A

A

A

A

A

La matriz que representa la segunda forma modal de la matriz de FRF es:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

=

70121.023153.0

4881.065.0

59314.0337.0

2φ

(3.18)

La matriz que representa las dos formas modales de la matriz de FRF es la siguiente:

48


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

70121.029817.025153.04075.0

4881.01006.065.039109.0

59314.01288.0337.065406.0

φ

(3.19)

Cálculo de las formas modales del segundo renglón Para el segundo renglón de la matriz de FRF, los parámetros modales obtenidos a partir de los datos experimentales son los siguientes:

Constante Modal Fase (º) 211 A =0.097614 -95.99º

016465.0=221 A 84.37º056598.0231 =A 84.37º014822.0241 =A -84.22º059848.0251 =A 96.06º044059.0261 =A -82.42º

Tabla 3.3 Primer modo del segundo renglón de parámetros modales

Realizando un cálculo similar al de primer renglón se obtiene la primera forma modal del segundo renglón de la FRF:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣−−

=

3433.04664.0

4881.044108.012826.0

1φ

⎤⎡− 7607.0

(3.20)

Las constantes modales correspondientes al segundo modo del segundo renglón de la matriz de las FRF son:

49


Constante Modal Fase (º) 212

Tabla 3.4

A = 0.21914 87.15º36533.0222 =A -95.72º39916.0232 =A 89.20º30659.0242 =A 89.20º14919.0252 =A -88.41º4436.0262 =A 91.90º

Segundo modo del segundo renglón de parámetros modales Siguiendo un procedimiento similar a los antes mencionados se calcula la matriz que representa la segunda forma modal del segundo renglón:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

73402.024683.05072.06044.06044.0

3326.0

φ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

−−

=

70121.0.29817.025153.04075.0

4881.01006.065.039109.0

59314.01288.0

φ

(3.21)

Resumen de las formas modales calculadas Las formas modales experimentales de los dos primeros modos para el primer renglón son:

(3.22)

⎡− 337.065406.0

Las formas modales experimentales de los dos primeros modos para el segundo renglón son:

50


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

73403.029817.024683.04075.05072.01006.06604.039109.06044.01288.0

3326.07607.0

φ

(3.23)

Construcción del modelo de respuesta

La construcción del modelo de respuesta, se realiza con la utilización de la ecuación siguiente:

( )[ ] (3.24)[ ] [ ] [ ] [ ]RH Tnxmmxnrnxmnxn +−=

−φωλφ

12 2

Los parámetros modales del rotor calculados del programa AMODAL, son los siguientes:

MODO 1 Frecuencia f Amortiguamiento (η)

429.2 Hz 0.0188 MODO 2

Frecuencia f Amortiguamiento (η) 1192.4 Hz 0.007

Tabla 3.5 Parámetros Modales

Se calcularon los valores de la matriz de residuos, los que incluyen la influencia de los modos rígidos y de los modos superiores en la regeneración de las curvas de las funciones de respuesta de frecuencia. Los valores de los elementos que se calcularon de la matriz de residuos con la ecuación

11

211 ×−

=ω

r son los siguientes:

11

211 ×−

=ω

r 9212 1021 −×+

−48.1×

=rω

9109.01 −×−−

=r 213 5.17×ω 9

214 1035.18

1 −×−×−

=ω

r

9215 105.1

5.51 −×+×

=ω

r 9216 103

151 −×−

×−

=ω

r

9222 105.0

5.21 −×−

×−

=ω

r 2.8

1223 ×−

=ω

r

51


10224 105

181 −×+

×−

=ω

r 24

1225 ×

=ω

r

9226 104

171 −×+

×−

=ω

r 9233 103

79.31 −×+

×−

=ω

r

10234 108

65.31 −×+

×−

=ω

r 9235 102

5.31 −×−

×−

=ω

r

901

236 ×−

=ω

r 9244 104.0

1.31 −×+

×−

=ω

r

9245 104.1

6.21 −×−

×−

=ω

r 9246 102.4

651 −×+

×−

=ω

r

18.21

255 ×−

=ω

r 35

1256 ×−

=ω

r

8266 103.2

4.31 −×+

×−

=ω

r

Tabla 3.6

Matriz de elementos residuales A continuación se presentan las curvas generadas mediante el modelo de respuesta (línea magenta) graficadas junto con las gráficas obtenidas de la prueba de análisis modal experimental. En la Figura 3.4 se presenta la curva en el punto de movilidad 1, que es donde mas influencia tienen los términos residuales

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 160010-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

Figura 3.4 RECEPTANCIA Punto 11

52



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 160010-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 160010-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

53



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 160010-11

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 160010-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

54


3.2 Técnica de acoplamiento de impedancias

La técnica de acoplamiento de impedancias utiliza modelos de los componentes derivados directamente de datos de funciones de respuesta en la frecuencia (FRF). Las propiedades dinámicas de estos modelos se sintetizan en términos de la matriz de FRFs y generalmente se denotan como [ ])(ωH

[ ]

(tal como las matrices de receptancia, movilidad o acelerancia). Las coordenadas involucradas en la conexión entre los dos componentes A y B se representarán con el subíndice c, mientras que las coordenadas restantes, es decir, las que no intervienen en el acoplamiento, se designarán con el subíndice i. Teniendo en cuenta la convención anterior, las matrices de FRF de los componentes pueden dividirse de la siguiente manera:

[ ][ ] [ ]

[ ] [

]]⎤⎡⎤⎡ HHHH

)(

[ ] [ ⎥⎦

⎢⎣

=⎥⎦

⎢⎣

=ccBciB

icBiiBB

ccAciA

icAiiAA HH

HHH

H )]([ ,)]([ ωω (3.25)

donde ωH )(A y ωH N N

}{}{}{ };0{}{}{ fffuu

B tienen y grados de libertad, respectivamente. A B

Estableciendo las ecuaciones de equilibrio de los desplazamientos (u) y las fuerzas (f) en la conexión de los componentes: ccBcAcBcA = = − =−= (3.26) La matriz de FRFs de la estructura acoplada resulta en:

[ ] 111 −−−

NNNN

)]([)]([)]([ ⊕= ωωω HHH BAC (3.27) Esta matriz de FRF resultante tendrá cBAC + −= grados de libertad, donde es la cantidad de grados de libertad que intervienen en la conexión. La operación

cN⊕

denota el acoplamiento y corresponde al siguiente ensamble de impedancias:

(3.28)

1]0[][][ −ZZ

)](

][][]0[][][][][)]([⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+=

iiBicB

ciBccBccAciA

icAiiA

C

ZZZZZZH ω

en esta última matriz, cada término [ ωZ

1)]([ −ωH representa una submatriz de impedancia

. El acoplamiento de impedancias, tal y como está indicado en las ecuaciones (3.27) y (3.28), aunque presenta claramente el papel que juega cada submatriz de FRF dentro del ensamble, tiene la desventaja de que requiere tres inversiones matriciales para cada frecuencia ω a determinar (en el caso de dos componentes). En ocasiones, lo anterior

55


puede significar un problema grave, al menos en ciertos intervalos de frecuencia; sobre todo con matrices de FRF deficientes en el rango, donde la rigidez local puede causar dependencia en los renglones de la matriz, que produzcan inestabilidad en los algoritmos de inversión de matrices. Una técnica de acoplamiento desarrollada por Jetmundsen et al. redujo de tres a una, el número de inversiones requeridas para cada frecuencia. Esta nueva técnica también posee la ventaja de que el tamaño de la matriz a invertir está dictado únicamente por el número de coordenadas a acoplar. Lo anterior tiene como resultado que este método además de acelerar los cálculos puede comportarse mejor en términos numéricos. La matriz de FRF de la estructura acoplada se obtiene a partir de:

[ ]

T

icB

ccA

icA

ccBccA

icB

ccA

icA

iiB

ccAciA

icAiiA

C

HHH

HHH

HH

HHHHH

H⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= −

][][][

][][][

][][

][]0[]0[]0[][][]0[][][

)]([ 1ω (3.29)

3.2.1 Ejemplo de aplicación Para probar la metodología de acoplamientos de modelos se realizó un trabajo con un rotor teórico, el cual se modeló con el programa NATFRE en condiciones de apoyo libre-libre, con dos apoyos en los cuales se consideró únicamente su rigidez sin tomar en cuenta al amortiguamiento.

Datos del rotor libre:

El rotor experimental teórico con que se trabajó se supone hecho de acero con módulo de elasticidad de Pa, relación de Poisson de 0.3, módulo de corte de

Pa y densidad de 7860 Kg/m3. El rotor tiene una longitud de 1.2 m y 0.02 m de diámetro constante.

9108.206 ×10109538.7 ×

Se utilizó el programa NATFRE para modelar el rotor; considerando que éste se encuentra en condiciones de apoyo libre-libre y dividido en seis segmentos, con puntos en las posiciones mostradas en la Tabla 3.7.

56


Modos de cuerpo rígido Modo Frecuencia (Hz)

1 0.1308 2 0.2263

Modos flexionantes Modo Frecuencia (Hz)

1 62.80 2 173.04 3 339.56 4 562.31 5 841.42 6 1175.89

Tabla 3.7

Frecuencias naturales obtenidas con NATFRE para el rotor libre-libre. Se agregaron apoyos con rigideces de 1 N/m, dado que el programa no puede modelar sistemas en condiciones de sujeción libre-libre; estos valores son lo suficientemente pequeños para no afectar la condición libre-libre del rotor. Para obtener el modelo modal del rotor es necesario:

1. Obtener las formas modales del rotor relacionadas con respecto a algún punto o alguna posición específica.

2. Obtener la masa modal de cada uno de los modos del rotor relativa al mismo punto del inciso anterior.

3. Obtener la forma modal del rotor normalizada con respecto a su masa modal.

Se desarrolló una hoja de cálculo en Excel que adquiere los datos de uno de los archivos generados por la corrida de NATFRE. Esta hoja realiza los tres pasos anteriores y con ello se obtiene el modelo modal del rotor en condiciones de apoyo libre-libre.

En la Tabla siguiente se presentan los valores de los coeficientes de las formas modales para los seis primeros modos de vibración del rotor libre-libre, obtenidas con NATFRE y normalizados con respecto a las masas modales. x

(m) Modo 1 Rígido

Modo 2 Rígido

ϕ(1) (m/m) ϕ(2) (m/m) ϕ(3) (m/m) ϕ(4) (m/m) ϕ(5) (m/m) ϕ(6) (m/m)

0 0.58130 -1.00534 -1.15733 -1.15149 -1.14565 -1.14245 -1.14490 -1.154480.1 0.58130 -0.8378 -0.70934 -0.40086 -0.11452 0.14697 0.37366 0.557760.4 0.58131 -0.33511 0.43087 0.75406 0.19576 -0.58815 -0.79768 -0.215440.6 0.58131 0 0.70543 0 -0.82726 0 0.82368 00.8 0.58131 0.33511 0.43088 -0.75406 0.19576 0.58815 -0.79768 0.215421.1 0.58130 0.8378 -0.70934 0.40086 -0.11452 -0.14697 0.37365 -0.557771.2 0.58130 1.00534 -1.15733 1.15149 -1.14565 1.14245 -1.14492 1.15486

Tabla 3.8

57


Coeficientes de las primeras seis formas modales obtenidas para el rotor en condiciones de apoyo libre-libre.

Con respecto al amortiguamiento, se considera que existe solamente amortiguamiento estructural, con un valor de ζ= 0.01 para todos los modos de vibración.

Datos de los apoyos:

Los apoyos que se acoplarán al rotor tienen rigideces de 1×108 N/m y se colocan a 0.1 m de los extremos. La matriz de impedancia mecánica para los apoyos propuestos del rotor en todas las frecuencias de análisis es la siguiente:

mNZ /10100101

)( 8

8

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

××

=ω

Rotor en los apoyos

Ahora se considera evaluar las características dinámicas del rotor con los apoyos propuestos. Para lograr esto se utiliza nuevamente el programa NATFRE, ahora con los datos de los apoyos y la información obtenida se muestra en la siguiente Tabla.

Modo 1 2 3 4 5 6 Frecuencia

(Hz) 39.76 155.71 336.70 553.29 747.66 923.56

Tabla 3.9

Frecuencias naturales obtenidas con NATFRE para el rotor en sus apoyos.

Para este sistema se aplica nuevamente la metodología desarrollada para obtener el modelo modal del rotor. Los valores de los coeficientes modales normalizados con respecto a la masa para los puntos seleccionados se muestran en la siguiente Tabla.

x (m) ϕ(1) (m/m) ϕ(2) (m/m) ϕ(3) (m/m) ϕ(4) (m/m) ϕ(5) (m/m) ϕ(6) (m/m) 0 -0.28158 -0.57330 -0.93894 -1.47526 -1.93331 -1.80983

0.1 0.00042 0.00252 0.00329 -0.01321 -0.06499 -0.126050.4 0.72375 0.82811 0.20254 -0.56285 -0.59048 0.071510.6 0.89406 1.6373E-06 -0.85169 1.6223E-05 0.63546 9.0555E-050.8 0.72375 -0.82811 0.20254 0.56283 -0.59065 -0.071691.1 0.00042 -0.00252 0.00329 0.01321 -0.06496 0.126101.2 -0.28158 0.57331 -0.93895 1.47521 -1.93306 1.80950

Tabla 3.10

Coeficientes de las primeras seis formas modales obtenidas para el rotor en sus apoyos.

58


Con el modelo modal del rotor en sus apoyos, se obtiene el modelo de respuesta del mismo. El cálculo del modelo de respuesta del rotor se realizó mediante un programa hecho con MATLAB.

Acoplamiento de los modelos

El rotor en condiciones de soporte libre-libre se unió con la matriz que representa las impedancias mecánicas de los apoyos mediante la técnica de acoplamiento de FRF definida en las ecuaciones (3.29) y como se indica en la siguiente Figura

A BA fc B fc

A uc B ucA ui

B ui

[ ] [ ][ ] [ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ccAciA

icAiiAA HH

HHH )]([ ω

[ ] [ ][ ] [ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ccBciB

icBiiBB HH

HHH )]([ ω

⊕

Figura 3.9

Representación de la técnica de acoplamiento de FRF

+ =k1 k2 k1 k2

[ ]

rotor

[ ] )()()( 11 ωωω ZHH =⊕ −−

rotor apoyos conjunto

[ ] )()( 1 ωω HZ =−

conjuntoconjunto Figura 3.10

Esquema del acoplamiento del rotor a sus apoyos Para ello se implementó la técnica en un programa de MATLAB que se encarga de:

1. Convertir la matriz de impedancia mecánica de los apoyos a la matriz de receptancia de los mismos.

2. Realizar el acoplamiento de las receptancias del rotor con las de los apoyos. 3. Graficar una de las receptancias obtenidas.

59


60

La siguiente Figura 3.11 muestra las curvas de las receptancias correspondientes al punto 1 (x = 0.0 m). Una de ellas corresponde al modelo del rotor en sus apoyos y la otra al acoplamiento del rotor en condiciones de apoyo libre-libre con la matriz de impedancias mecánicas de los apoyos. La coherencia entre las dos FRF se verificó utilizando el criterio FRAC, obteniéndose un valor de 0.6983. La diferencia existente entre las dos FRF puede explicarse por el hecho de que el método de acoplamiento utilizado requiere una gran cantidad de modos para producir una alta coherencia, o de manera inversa, utilizar un pequeño intervalo de frecuencias. Tomando esto en cuenta, si el intervalo de frecuencias de análisis se reduce por ejemplo hasta los 700 Hz, el valor del FRAC entre las dos FRF aumenta hasta 0.9884.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-160

-150

-140

-130

-120

-110

-100

-90

-80

Frecuencia (Hz)

Mag

. de

la F

RF,

dB

(Ref

=1)

Rotor modelado Por acoplamiento

Figura 3.11

Gráfica de la receptancia para el punto (1,1) del rotor en sus apoyos Con esto se demuestra que es posible obtener un modelo de respuesta de un rotor en sus apoyos reales a partir del conocimiento del modelo modal del rotor obtenido en condiciones de apoyo libre-libre, y de un conjunto de impedancias mecánicas de los apoyos mediante una técnica de acoplamiento de impedancias. Esto contribuye al desarrollo de una técnica de balanceo modal de rotores, partiendo del conocimiento de un modelo modal o bien de un modelo de respuesta obtenido experimentalmente, y desarrollando una metodología para encontrar un conjunto de valores de impedancias mecánicas de los apoyos reales del rotor para cada una de sus frecuencias naturales.

DETERMINACIÓN DE LA IMPEDANCIA MECÁNICA DE LOS APOYOS

CAPITULO IV

DETERMINACIÓN DE LA IMPEDANCIA MECÁNICA DE LOS APOYOS Para obtener un conjunto de valores de impedancia de los apoyos del rotor experimental se desarrolló una metodología para un rotor de m apoyos la cual se describe en la siguiente parte de este capítulo y se aplicó a un rotor de dos apoyos para mostrar el funcionamiento de la misma. Se parte de la suposición que se conoce el modelo de respuesta del rotor en condiciones de apoyo libre-libre, así como sus formas modales en las mismas condiciones de apoyo, además de conocerse tanto frecuencias naturales como formas modales (solo en los puntos de medición) del rotor en sus apoyos, las que se obtienen durante una bajada del rotor. Para simplificar el método se supone que las formas modales son planas por lo que pueden representarse por escalares.

4.1 Metodología Propuesta Para obtener un conjunto de valores de impedancia en los apoyos del rotor para cada modo de vibración se propone utilizar la metodología que de manera genérica se describe a continuación. La nomenclatura utilizada es la siguiente:

( )

( ) FRFefecto variaciónla ocurre donde apoyo del número

impedancia la varíase donde apoyo del númeromodo

ψoωpilamodalforma

angularvelocidad

=======

ωα

ψω

nmrR

iteracióninfluencia de ecoeficient

==

iC

Se parte del conocimiento de las matrices de FRF en condiciones de apoyo libre-libre del rotor para cada una de las frecuencias en el intervalo de velocidades durante la deceleración del rotor. Cuando el rotor se lleva a su velocidad de operación y se miden los desplazamientos en los apoyos, lo que se obtiene es un diagrama Polar o un diagrama de Nyquist del rotor durante su bajada desde la velocidad de operación hasta el reposo.

61


La información que se obtiene de las mediciones que se realizan durante la bajada del rotor proporciona los valores de las frecuencias naturales ω y las formas modales ψ para cada modo de vibración en cada uno de los apoyos. La frecuencia ω debe ser la misma en todos sus apoyos y uno de los valores de cada ψ para cada modo será siempre igual a uno, ya que se usa una coordenada para desdimensionar a las demás, por esto se tendrán

variaciones de ψ mas la variación de ω serán n variaciones para cada iteración. En cada iteración se hará un cambio en el valor de las rigideces.

1−n

Se propone obtener los coeficientes de influencia que representen el comportamiento del rotor cuando se realizan variaciones de los valores locales de la impedancia para cada uno de los apoyos, por lo que requieren tantas iteraciones como apoyos m, obteniéndose entonces coeficientes de influencia. Si se utiliza C para denotar los coeficientes de influencia de ambos tipos (tanto los de ω como los de ψ), C tendrá cinco índices: i iteración,

( mn× )

r modo, tipo, causa (m) y efecto (n), los cuales se denotan de la manera siguiente:

nR

nmi

rnmi

r

nmi

rnmi

rRn

mir ZZ

RRC 1

1

−

−

−−

= 4.1

4.1.1 Metodología para el caso de dos apoyos. Para el caso de contar solamente con dos apoyos (por ejemplo el número 1 y 2) la metodología específica que se aplica tiene las etapas siguientes para cada uno de los modos de vibración:

1. Inicialmente se debe medir durante una bajada del rotor la forma modal y el valor de la frecuencia del modo que se esté estudiando.

2. Se toma la impedancia de la iteración anterior o una impedancia inicial supuesta para cada uno de los apoyos 20

110

1 y Z en el modo en el cual se desea calcular los valores de impedancia.

Z

3. Se realiza el acoplamiento a la matriz de FRF del sistema en condiciones de apoyo libre-libre.

( ) ( )ωαωα AProtor + 4. Se calculan los parámetros modales para cada uno de los modos que se

encuentran en el rango de 0 a 60 Hz, debido a que la velocidad de operación del rotor experimental es de 3600 rpm.

5. Se calcula la forma modal haciendo que ψ1 sea igual a uno, es decir que los parámetros que se comparan son:

a. El valor de la frecuencia natural del modo b. El valor de la forma modal en el apoyo 2 denotada por ψ2

62


6. Se realiza una variación del valor de la impedancia del apoyo 101 y se acopla a la matriz de FRF del rotor en condiciones de apoyo libre-libre, es decir se realizan nuevamente los pasos 2, 3 y 4.

1110 ZZZ rrr −=Δ−

7. Se calculan los coeficientes de influencia que representan el efecto en el valor de velocidad crítica y en la forma modal cuando se realiza una pequeña variación de la impedancia, estos se presentan a continuación:

1011

101111

1

12

01

12

11

12

012

111

2

ωωω

ψ

ωω

ψψ

ZZC

ZZC

rr

rr

rrr

−−

=

−−

=

8. Se realiza una nueva variación del valor de la impedancia del apoyo 202

y se repiten nuevamente los pasos 2, 3 y 4. 1210 ZZZ rrr −=Δ−

9. Se calculan los coeficientes de influencia descritos en el punto 7 de esta metodología, que se expresan a continuación:

2021

202121

22

022

1

22

022

121

2

2

ωωω

ψ

ωω

ψψ

ZZC

ZZC

rr

rrr

rr

rrr

−−

=

−−

=

10. La matriz de coeficientes de influencia es entonces

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= 2111

21111

22 ψψ

ωω

CCCC

Crr

rrr

11. Con la matriz de influencia se calculan nuevos valores para la impedancia en cada uno de los apoyos, esto se realiza invirtiendo la matriz de coeficientes de influencia y multiplicándola por los valores iniciales de impedancias.

12. El objetivo es realizar incrementos pequeños en los valores de la impedancia en cada uno de los apoyos de manera sucesiva hasta llegar a sus valores reales.

13. En la figura 4.1 se muestra la forma en que se trata de llegar a los valores reales de la impedancia con incrementos pequeños.

63


IMPEDANCIA

0Z

ωψ ,

ωΔ

ZΔ

Figura 4.1

Método propuesto para obtener los valores de impedancia mecánica

14. Para cada nuevo conjunto de valores de impedancia se corre el programa de acoplamiento de modelos y se comparan las FRF obtenidas, las frecuencias naturales y los valores de las formas modales de los apoyos.

Esta metodología se basa en la siguiente suposición:

• Se realizan variaciones pequeñas en los valores de impedancia con el objeto de tratar de llevar las variaciones de la misma de una forma lineal, ya que se prevé que su comportamiento se puede presentar no lineal.

4.2 Ejemplo Desarrollado Para realizar el acoplamiento de un conjunto de impedancias mecánicas de los apoyos para cada modo de vibración, se desarrolló un ejemplo de un rotor teórico con las características siguientes:

POSICIÓN (m) MASA (Kg) DESCRIPCIÓN RIGIDEZ 0.07 0.75+0.243= 0.993 Apoyo 1 mNk /103.1 5×= 0.20 1.30 Plano de Balanceo 0.31 0.75+0.334 = 1.084 Apoyo 2 mNk /105.0 ×= 5 0.42 0.3 Cople

Tabla 4.1 Valores de Impedancia Mecánica

Para el caso de los apoyos, los valores que ahí se expresan corresponden a la masa

efectiva de los mismos g

mm chumaceraapoyoeff += 3.0 W

1.0

Los valores de la impedancia mecánica de cada uno de los apoyos, considerando un amortiguamiento estructural de =ζ , pueden calcularse mediante:

64


Impedancia del Apoyo 1 ( ) iZ apoyo ωω 41865.65823.0103.1 25

1 +−×= Impedancia del Apoyo 2 ( ) iZ apoyo ωω 231.4185.0105.0 25

2 +−×= Tabla 4.2

Valores de Impedancia Mecánica de cada Apoyo

Los valores de impedancia a los que se quiere llegar para la primera velocidad crítica son:

iZ

iZ

ap

ap

4155.5948594.32248

945346.812,112

2

1

+=

+=

y se desea llegar a la forma modal (supuestamente medida durante la adquisición de datos durante una bajada del rotor) y frecuencia natural que son:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

58.136.7

1

0ψ con una frecuencia sradHz /13.144230 ==ω

Nótese que solo se utilizan dos de los tres valores de la forma modal. El procedimiento utilizado fue el siguiente:

1. Se supone una rigidez dinámica inicial y se realiza el

acoplamiento al modelo dinámico del rotor en condiciones de apoyo libre-libre, obteniendo la frecuencia para el primer modo Hz

iziz

5000000,309000000,100

20

1

10

1

+=

+=

f 3.22= y la forma modal

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

−−

−−

=9.12

537.71

6202.08.0

6202.04675.0

6202.06202.0

1ψ

2. Se realiza una variación de la rigidez dinámica del apoyo 1

i iizzz 100010000)9000000,100(000,10000,11011

011

111

10 +=+−+=−=Δ−

3. Se realiza el acoplamiento y se calcula la frecuencia para el primer modo, que es

Hz y la forma modal es f 31.22=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

52.144378.81

2ψ , para calcular los dos primeros

coeficientes de influencia

65


iizzC

iizzC

rr

rr

rr

rr

10001000006283.

1000000,10)2(3.22)2(31.22

1000000,1062.1

1000000,109.1252.14

10112

102

111

11

210

211

210

211

11

12

+=

+−

=−−

=

+=

+−

=−−

=

ππωω

ψψ

ωωω

ψ

4. Se realiza una variación de la rigidez dinámica ahora del apoyo 2

( ) ( ) iiizzz 100050005000000,306000000,3521

021

121

10 +=+−+=−=Δ− 5. Se realiza el acoplamiento y se calcula la frecuencia para el primer modo

Hz y una forma modal f 99.23=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

5329.102632.61

3ψ , para calcular los dos

coeficientes de influencia restantes

iizzC

iizzC

rr

rr

rr

rr

10001000022.6

1000000,5)2(23)2(99.23

100050003671.2

100050009.125329.10

20212

202

212

11

220

221

220

221

21

12

+=

+−

=−−

=

+−

=+−

=−−

=

ππωω

ψψ

ωωω

ψ

6. Se realiza el planteamiento de los coeficientes de influencia mediante una analogía con los coeficientes de influencia para el balanceo de rotores

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )ωω

ψψ

πω

ψ2

11

211

110

21

12

1111

2)3.2223(

9.1258.13 220

CZCZ

CZCZ

apap

apapz

Δ+Δ=×−=Δ

Δ+Δ=−=Δ

7. De aquí se despeja la rigidez dinámica de cada uno de los apoyos obteniéndose los siguientes resultados:

iZ

iZ

ap

ap

167.408834.2040

155.1016553.10161

2

1

+=Δ

+=Δ

8. Los valores de impedancia a los que se llega son: ( ) ( )( ) ( ) iiiZ

iiiZ

ap

ap

167.5408834.32040167.408834.20405000000,30

155.016,10553.161,110155.1016553.101619000000,100

2

1

+=+++=

+=+++=

9. En la tabla siguiente se muestran los resultados de la rigidez dinámica calculados,

y los reales: Rigidez Dinámica Calculada

( ) ( )( ) ( ) iiiZ

iiiZ

ap

ap

167.5408834.32040167.408834.20405000000,30

155.016,10553.161,110155.1016553.101619000000,100

2

1

+=+++=

+=+++=

Rigidez Dinámica Real

iZ

iZ

ap

ap

4155.5948594.32248

945346.812,112

2

1

+=

+=

Tabla 4.3 Comparación de los valores de Impedancia Mecánica

66


Este procedimiento puede repetirse tantas veces como sea necesario para alcanzar la precisión deseada.

4.3 Cálculo de la masa modal

La masa modal es necesaria para calcular la masa de balanceo para cada modo de vibración. En este caso puede ser estimada de una prueba de análisis modal experimental del rotor en sus apoyos reales, sin embargo eso iría en contra del objetivo del desarrollo de este trabajo de investigación, ya que ésta debe ser evaluada a partir del modelo dinámico de respuesta del rotor obtenido en condiciones de apoyo libre-libre y del conjunto de valores de impedancias mecánicas de los apoyos del rotor para cada una de sus velocidades críticas. El procedimiento para calcular la masa modal para cada uno de las velocidades críticas del rotor consiste en los pasos siguientes:

1. Se debe de conocer el modelo de respuesta del rotor en condiciones de apoyo libre-libre obtenido de una prueba de análisis modal experimental del rotor, o bien a partir del modelo modal del rotor.

2. Mediante la metodología desarrollada, se deben de estimar los valores de las impedancias mecánicas para cada uno de los apoyos, esto para cada uno de las velocidades críticas.

3. Se realiza un acoplamiento del modelo de respuesta del rotor a la matriz de las impedancias mecánicas de los apoyos, este acoplamiento se realiza mediante la técnica de acoplamiento de impedancias descrita en la sección 3.2 de esta tesis y mediante el uso de la ecuación:

[ ]icB

ccA

icA

ccBccA

icB

ccA

icA

iiB

ccAciA

icAiiA

C

HHHH

HH

HHHH

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= −

][][][][

][][

][]0[]0[]0[][][)]([ 1ω

THHHH ][][]0[][][ 4.2

4. Se desarrolló un programa en MATLAB el cual realiza el acoplamiento de los modelos dinámicos y genera como resultado archivos de datos en EXCEL, los cuales deben de ser acondicionados para ser llevados al programa AMODAL, el cual extrae los parámetros modales.

5. El paso siguiente fue generar los modelos dinámicos modal y de respuesta, a partir de los datos obtenidos del programa AMODAL.

6. La masa modal se obtiene del diagrama de FRF de acelerancia graficado con los ejes en forma logarítmica para un punto determinado del rotor.

En la figura 4.2 se presenta una gráfica de acelerancia para el punto 1, de manera inicial se realizó un ajuste en el programa AMODAL para obtener los parámetros modales, posteriormente se regeneró esta curva en un programa desarrollado en MATLAB, de la cual se puede calcular el valor de la masa modal para el punto en particular.

67


68

Figura 4.2

Gráfica utilizada para calcular la masa modal

4.4 Comentarios Generales a la metodología Es importante hacer mención que en el ejemplo desarrollado que se aplicó a un rotor de dos apoyos se hicieron algunas consideraciones: 1. Se partió de valores de impedancia mecánicas de los apoyos cercanos a los valores

reales, los cuales ya eran conocidos. 2. El método se probó con diferentes rotores pero siempre con dos apoyos y se

estableció que cuando se parte de valores cercanos a los valores reales de impedancia la convergencia del mismo se garantiza.

3. Se desarrolló un programa en MATLAB para realizar el acoplamiento de las FRF del rotor en condiciones de apoyo libre-libre a la matriz que representa las impedancias mecánicas de los apoyos; esta parte de la metodología se tiene bien sistematizada.

4. La dificultad de automatizar completamente el proceso radica en el cálculo de los parámetros modales, los cuales se obtienen de un ajuste que se efectúa de manera manual en el programa AMODAL, y para cada iteración esta etapa es necesario realizarla de manera manual.

5. La masa modal para cada modo de vibración se obtiene del diagrama de FRF obtenido del acoplamiento del modelo dinámico de respuesta del rotor en condiciones de apoyo libre-libre acoplado con la matriz de impedancia mecánica de los apoyos. Para determinar la masa modal de las FRF, éstas deben estar en acelerancia y en una gráfica logarítmica-logarítmica.

BALANCEO DINÁMICO DEL ROTOR

CAPÍTULO V

BALANCEO DINÁMICO DEL ROTOR En este capítulo se presentan el procedimiento y los resultados obtenidos del balanceo dinámico del rotor.

5.1 Cálculo de la masa modal Para el cálculo de las masas de balanceo es necesario conocer la masa modal del rotor en sus apoyos, para cada uno de los modos de vibración. La metodología desarrollada para el cálculo de un conjunto de impedancias mecánicas de los apoyos del rotor para cada una de las velocidades críticas se aplicó solamente para rotores de dos apoyos, sin embargo el rotor experimental diseñado y construido tiene cuatro apoyos. La metodología para calcular las impedancias mecánicas de un rotor de cuatro apoyos es en principio la misma que la de un rotor de dos apoyos, pero la implementación de la misma no se llevó a cabo y se dejó como un posible tema de desarrollo de proyecto de investigación para un futuro. Se decidió que para calcular la masa modal del rotor en sus apoyos, ésta se obtuviera de una prueba de análisis modal experimental del rotor en sus apoyos, el procedimiento ha sido reiterativamente mencionado a lo largo de este trabajo. La obtención de la misma es a partir de la FRF de acelerancia colocada en una gráfica logarítmica-logarítmica. En las tablas 5.1 y 5.2 se muestran los resultados obtenidos de la prueba de análisis modal experimental para el rotor en sus apoyos, presentando solamente los valores de acelerancia en los planos 6, 7, 8, 9 10 del rotor.

MODO 1 1035 RPM

PLANO ACELERANCIA 6 0.4835 7 1.225 8 1.631 9 0.9849

10 0.4008 Tabla 5.1

Valores de Acelerancia en los Planos del Rotor Modo 1

MODO 2 1433 RPM

PLANO ACELERANCIA 6 0.005168 7 0.2055 8 0.4008 9 0.1860

10 0.007406 Tabla 5.2

Valores de Acelerancia en los Planos del Rotor Modo 2

69


Las sensibilidades de los transductores utilizados en la prueba de análisis modal son las siguientes:

SENSIBILIDAD Acelerómetro Martillo

gmVS roaceléromet 9.102=

NmVSmartillo 1=

Tabla 5.3 Sensibilidades de los Transductores

El valor de la acelerancia obtenida de las gráficas de la FRF está en ( )A mV

mV por lo

que para convertir los datos a masa modal se requiere hacer las siguientes conversiones con las unidades:

( )Kg

A

smkg

Ng

sm

NgA

gmV

NmV

mVmVAaaceleranci 1095333.0

81.9

9.1029.102

1

2

2=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

5.1

Por lo tanto la masa modal se calcula mediante la ecuación 5.2:

AAModalMasa 48987.10

09533.01

== 5.2

En la tabla 5.4 se presenta una visión general de los datos de la prueba de análisis modal experimental, así como el cálculo de la masa modal para cada uno de los planos del rotor experimental. La prueba anterior se realizó con un acelerómetro cuya sensibilidad

es de g

mVS roaceléromet 2.103= .

Tabla 5.4

Datos de la Prueba de Análisis Modal Experimental

70


5.2 Cálculo de las masas de balanceo Las masas de balanceo se calculan mediante la premisa de que en resonancia la fuerza de excitación solamente está compensada por la fuerza de amortiguamiento, de tal forma que:

RXm

m rrb

ζ2

balanceodeMasam =

= 5.3

en donde:

correccióndepesosloscolocaránsedondeRadioRientoamortiguamdelación

balanceodeplanoelenvibracióndeAmplitudX

r

b

===

Reζ

Durante la prueba de bajada se conocen las amplitudes de vibración en los planos donde está colocado el sensor, y sin embargo, con el conocimiento de las formas modales del rotor, se calcula la amplitud de vibración en el plano de balanceo. Conociendo la amplitud de vibración en el plano de balanceo y los parámetros de amortiguamiento y masa modal así como el radio donde se colocarán las masas de corrección es posible calcular estas masas. Cuando se tiene calculados las masas de corrección se debe de redistribuir las mismas para evitar afectar a otros modos, esto se realiza resolviendo un conjunto de ecuaciones en donde se toman en cuentan los modos y los planos de en los que se distribuirán las masas de corrección, para el caso de cuatro planos y cuatro modos la ecuación es la siguiente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=

14

444

14

343

14

242

14

141

13

434

13

333

13

232

13

131

12

424

12

323

12

222

12

121

11

414

11

313

11

212

11

1111

0

0

0

XX

FXX

FXX

FXX

F

XX

FXX

FXX

FXX

F

XX

FXX

FXX

FXX

F

XF

XF

XF

XFF

bpbpbppb

bpbpbppb

bpbpbppb

bpbpbppbb⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ XXXX

5.4

5.3 Descripción, gráficas y resultados del balanceo De la prueba en bajada del rotor se calcula el diagrama polar en el cual se determina la amplitud de vibración de los modos comprendidos debajo de la velocidad de operación.

71


En la figura 5.1 se presenta el diagrama polar obtenido durante una bajada del rotor:

Figura 5.1

Vibración Tal Cual Medida durante una Bajada

La masa de corrección calculado para el primer modo: ( )( )( )( ) grmb 4.20

0515.011271.00254.0plg262.0013.72

==

el cual se coloca en el plano 8 del rotor experimental. Después de colocar la masa de corrección se tomaron datos nuevamente durante una bajada del rotor y conservando la escala, se obtuvo la gráfica siguiente:

Figura 5.2

Gráfica obtenida durante una bajada con las masas de corrección

5.4 Evaluación del balanceo modal del rotor Se realizó el balanceo modal del rotor experimental en su primer modo bajo las consideraciones siguientes:

72


73

1. La masa modal para cada uno de los modos de vibración se obtuvo de una prueba de análisis modal experimental, aunque se presenta la metodología para obtenerla de acuerdo a lo planteado al inicio de este trabajo.

2. Solamente se realizó el balanceo del primer modo, esto debido a que el rotor se diseñó y construyó para tener un comportamiento muy flexible y se observó durante las pruebas de bajada que existe una vibración excesiva cuando el rotor pasa a través de alguna de sus resonancias por lo que, queriendo evitar algún accidente por rotura o fractura del mismo, se tomó la decisión de balancear solamente el primer modo.

3. la metodología que se aplicó para balancear el primer modo se hace extensiva para realizar el balanceo de los modos superiores, aunque cuando se balancean dos o más modos se debe de hacer una distribución de las masas de corrección adecuando la ecuación 5.4 al número de modos y de planos.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES En esta parte se condensa los avances logrados en las diferentes fases que se plantearon de manera inicial en el desarrollo del proyecto doctoral, para aplicar un método de balanceo modal en un rotor experimental concebido, diseñado y construido de manera especial.

Análisis Modal Experimental Se tiene completamente desarrollada la técnica de análisis modal experimental, se logró establecer un área dentro del laboratorio de dinámica de rotores de la UDIM (Unidad de Investigación en Ingeniería Mecánica) del programa de Maestría en Ingeniería Mecánica del Instituto Tecnológico de Veracruz dedicada exclusivamente al análisis modal experimental. Se cuenta con la instrumentación necesaria y además se tiene bien desarrollada la técnica de experimentación, contando además con al menos un programa de extracción de parámetros modales y se han realizado pruebas de calibración de la cadena de medición martillo, sensores y analizador de espectros obteniendo resultados confiables. También se han realizado diversas pruebas con diferentes tipos de estructuras para obtener los parámetros modales de las mismas, y se han hecho comparaciones con datos obtenidos de manera teórica dando resultados muy satisfactorios.

Desarrollo de Modelos Dinámicos del Rotor Experimental Se desarrolló una metodología para obtener el modelo modal de una estructura o de un rotor, con datos de parámetros modales obtenidos de una prueba de análisis modal experimental. Para probar la metodología se realizaron diversas pruebas, una de ellas fue construir una estructura con un diámetro constante y de un largo específico, la cual se colgó de manera vertical y se excitaron los modos en la dirección transversal, para después calcular los parámetros modales de los tres primeros modos y, a partir de ellos, se desarrolló un modelo modal. En la siguiente etapa se calcularon las formas modales de los tres primeros modos con base en la ecuación teórica. La siguiente etapa fue la comparación de las formas modales obtenidas de manera experimental con las obtenidas de manera teórica. Se desarrolló también una metodología para encontrar el modelo de respuesta de una estructura a partir de un modelo modal obtenido con datos experimentales. Se realizaron varios trabajos con diversas estructuras, en las que se desarrolló su modelo de respuesta, habiendo hecho varios programas de cómputo que utilizan MATLAB para realizar la obtención de los modelos dinámicos.

74


Acoplamiento de Modelos En lo relacionado con el acoplamiento de modelos, se realizaron diversas investigaciones para estudiar los métodos de acoplamiento de modelos. En esta parte se exploraron los acoplamientos de estructuras con base en el acoplamiento de modelos modales y también con base en el acoplamiento de FRF. Se realizaron diversos experimentos de acoplamiento de modelos basado en FRF, éstos se ejecutaron con las FRF obtenidas de un modelo modal experimental, pero también se desarrollaron acoplamientos de modelos modales obtenidos a partir de modelos físicos. Se resolvieron problemas de acoplamiento que se presentaron, tales como el tomar en cuenta los modos rígidos de las estructuras de las que se quiere desarrollar el modelo de respuesta. Igualmente se analizó si tomar en cuenta los residuos de baja frecuencia y los residuos de alta frecuencia que están fuera del rango de medición de la prueba de análisis modal experimental.

Diseño, Construcción y Puesta en Servicio de un Rotor Experimental Esta fue una de las etapas que mas tiempo llevó cumplirla, desde la concepción teórica del rotor, las etapas de diseño, de construcción y de prueba en servicio. Se construyó el rotor para que en el rango de operación de 0 a 3600 rpm presentara al menos tres velocidades críticas. En el diseño conceptual se utilizó el programa VELCRI desarrollado por el IIE. Cuando el diseño conceptual estuvo de acuerdo con los parámetros establecidos, la etapa siguiente fue el llevar los datos con que se realizó el diseño conceptual a la realidad del rotor, es decir diseñar unos apoyos que cumplieran con las rigideces que se establecieron durante el desarrollo conceptual, que las masas agregadas cumplieran con las condiciones de peso en el diseño de detalle, etc. La parte siguiente consistió en determinar el valor de los esfuerzos a que va estar sometido el rotor, en esta parte y de acuerdo con las condiciones de operación en las que el rotor se lleva al reposo desde la velocidad de operación pasando rápidamente por cada una de las velocidades críticas del mismo, se decidió calcular el valor de los esfuerzos a partir de la forma modal que toma el rotor en cada una de ellas. Sin embargo, para estar seguro de los esfuerzos a que está sometido el rotor también se realizó una verificación de los mismos utilizando la ecuación de Soderberg para esfuerzos variables. La siguiente etapa fue la construcción del rotor, y cuando estuvo construido se realizó la caracterización dinámica del mismo, para revisar qué tan alejado están los parámetros dinámicos del rotor construido en relación a los valores teóricos del mismo.

75


En la puesta en servicio, se desarrolló una metodología para realizar la adquisición de datos del rotor durante una corrida en bajada. Para esto se efectuó la instrumentación del mismo realizando pruebas con dos diferentes tipos de sensores: de desplazamiento y de aceleración. Para lograr la adquisición de señales durante una bajada del rotor se adquirieron dos programas:

1. Un módulo de filtrado síncrono (order tracking) para un analizador dinámico de vibraciones.

2. Un programa de adquisición de datos que utiliza una tarjeta digitalizadora, este programa llamado vectorscopio analiza dos canales simultáneamente, además del tacómetro óptico.

Determinación de las Impedancias en los apoyos Se desarrolló una metodología para calcular los valores de las impedancias mecánicas de los apoyos, basada en la estimación de un conjunto de valores iniciales de ellas para cada uno de los apoyos que después de ajustan al acoplarse al modelo dinámico de respuesta del rotor obtenido en condiciones de apoyo libre-libre, estimando con esto los valores de la velocidad crítica y de la forma modal que deberá coincidir con los valores medidos durante el proceso de obtención de datos durante una bajada del rotor. Este método se basa en el acoplamiento y desacoplamientos de modelos dinámicos del rotor. Se probó el método para un rotor teórico de dos apoyos, realizando varios ejercicios hasta estar seguro del funcionamiento del método, llegando a la conclusión que cuando se parte de valores de impedancia cercanos a los reales se garantiza la convergencia del mismo.

Balanceo del Rotor Experimental Debido a que el rotor experimental tiene cuatro apoyos y la metodología que se desarrolló para calcular los valores de impedancia mecánica para cada uno de los modos de vibración se aplicó solamente para un rotor de dos apoyos, se decidió balancear el rotor obteniendo las masas modales para cada una de las velocidades críticas del rotor de una prueba de análisis modal experimental del rotor en sus apoyos reales. Se llevó a cabo el balanceo del rotor experimental únicamente en su primer modo, esto fue debido a la alta flexibilidad y bajo amortiguamiento del rotor, lo cual ocasiona amplitudes de vibraciones excesivamente altas cuando pasa por algunas de las velocidades críticas del rotor que están por debajo de su velocidad de operación. Para remediar esta situación sería necesario diseñar e instalar amortiguadores al rotor o bien utilizar masas de balanceo sumamente pequeños, lo que implicaría un lapso prolongado, del cual ya no se dispone, para llevar a cabo tareas de medición y prueba con muy alta precisión, pero con mayor ruido en las señales.

76


77

No obstante, se aplicó la metodología de balanceo modal, se calcularon las masas de corrección y se colocaron en la posición calculada logando así el balanceo del primer modo.

Aportaciones del trabajo La principal aportación de este trabajo es el haber desarrollado una metodología de acoplamiento y desacoplamiento de modelos basados en el modelo dinámico de Respuesta, con ello se logró calcular un juego de valores de impedancia mecánica para cada uno de los modos de vibración y con ello con el conocimiento de los datos obtenidos durante una corrida de bajada del rotor calcular las formas modales del rotor en sus apoyos y su masa modal, esto para cada velocidad crítica del mismo y con ello lograr el balanceo modal del rotor sin realizar corridas con masas de pruebas.

Recomendaciones para trabajos futuros Con toda la experiencia lograda durante el desarrollo de este trabajo doctoral, en el cual las metas fueron alcanzadas aunque no exactamente con las condiciones inicialmente planteadas se pueden sugerir algunos trabajos a realizar derivados del desarrollo de este proyecto:

1. Aplicar la metodología desarrollada para determinar los valores de las impedancias mecánicas para un rotor con cuatro apoyos, esto involucra un proceso matemático tedioso en la inversión de matrices complejas de 44× , y se debe buscar un método para sistematizar este desarrollo.

2. Realizar el acoplamiento de modelos a partir de modelos modales del rotor obtenidos en una prueba de análisis modal experimental. En este trabajo el acoplamiento de modelos se efectuó con modelos de respuesta.

3. Realizar el balanceo modal del rotor experimental explorando el concepto de coeficientes de influencia modales.

4. Evaluar algún método alternativo para calcular un conjunto de impedancias mecánicas de los apoyos.

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 1) A.G. Parkinson, “An introduction to the vibration of rotating flexible shafts’’,

Bulletin of Mechanical Engineering Education, Vol. 6 pp. 47–66, 1967. 2) A.G. Parkinson and R.E.D. Bishop, “Vibration and balancing of rotating

continuous shafts’’, J. Mechanical Engineering Science, Vol. 3, 1961. 3) M.S. Darlow, “Balancing of High-Speed Machinery’’, Mechanical Engineering

Series, Springer-Verlag, New York, 1989. 4) E. Preciado, R. H. Bannister and J. E. Aguirre, “Influence coefficient method for

rotor balancing using multiple trial mass sets’’, 6th Int. Conf. on Vibrations in Rotating Machinery, London, September 9–12 1996, The Institution of Mechanical Engineers, London, Mechanical Engineering Pub., pp. 491–506.

5) Aguirre R. J. y Eduardo Preciado D. Análisis modal aplicado al balanceo de rotores: dos aspectos técnicos relevantes. Boletín IIE julio/agosto de 1991.

6) Inman, D. J., Engineering Vibration, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1994. 7) F.Beer, E. R. Johnston, “Mecánica de Materiales”, Cuarta Edición, Mc. Graw

Hill, 2007 8) M. F. Spotts, T. E. Shoup,” Design of Machine Elements”, seventh edition,

Prentice Hall, 1999 9) Ewins, D. J., (1995), Modal Testing: Theory and Practice, Second Edition,

Research Studies Press, England. 10) Mendes Maia, N.M., Montalvão e Silva, J. M., He, J., et al., (1997), Theoretical

and Experimental Modal Analysis, Research Studies Press, England. 11) Urgueira, A. P. V., (1989), Dynamics Analysis of Coupled Structures Using

Experimental Data, Ph. D. Thesis, Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London, England.

12) Maroño R. R. y Hernández M. E., (2000), Implementación de técnicas de acoplamiento dinámico, Reporte Interno, Laboratorio de Dinámica, Instituto Tecnológico de Veracruz.

78

. ANEXO I

Tolerancias Recomendadas para balanceo

Nota: Para rotores rígidos con dos planos de balanceo, generalmente se ingresa la mitad de la tolerancia recomendada

. , rotores con forma de disco se ingresa el valor completo de la

tolerancia recomendada

79

G.40 Bordes de las ruedas del coche de motor.

G.16 Piezas que rotan y oscilan del motor, apoyos en los ejes del apoyo, partes de máquinas para triturar y máquinas agrícolas.

G6.3 Apoyos en los ejes con requerimientos especiales, piezas centrífugas de tambores, de ventiladores, de cigüeñales (motores con cuatro y más cilindros), ruedas volantes de máquinas herramientas, armaduras del motor.

G2.5 Rotores de turbina de gas y de vapor, rotores de turbina y ventiladores, rotores para turbogeneradores, armaduras de las máquinas herramientas, armaduras medianas, grandes y pequeñas del motor.

G1 Turbinas para jet, registrador de cinta del gramófono, cortadoras, armaduras pequeñas del motor con requisitos especiales.

G0.4 Usos de las cortadoras de alta precisión, giroscopios.

Clases de tolerancias

80

ANEXO II

Gráfica para calcular el valor del Factor de Superficie Ka, en función del esfuerzo último y del acabado de la pieza.

81

ANEXO III Fotografías del rotor experimental en su ubicación final.

82

ANEXO IV

ALZADOCOTAS EN METROS

SIN ESCALA

0.53 0.50

Motor

Placa de acero de 1/2" deEspesor.

0.0150.202

0.430

0.690

0.9011.112

1.343

0.50 0.60

0.30

0.30

0.40

0.33

0.035

0.035

0.643

0.035

0.035

0.010

0.07

0.196 0.153 0.6480.05 0.05 0.05

0.643 0.643

0.7950.05

0.046

PLANTACOTAS EN METROS

SIN ESCALA

Figura 2.2

Dibujo del Rotor Experimental

83

Documents

Portada tesis doctorado Evaristo Hernandez Marceliz Evaristo... · el balanceo de rotores en baja velocidad o rotores rígidos es un proceso relativamente simple y existen una gran